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板块九 二次函数多结论
拆分突破1 二次函数的性质
典例精讲
【例】 已知 P (x ,y ),P (x ,y )均是抛物线 (a是常数,a≠0).上的点.以下结论：①该抛物线的对称轴是直线x=--2；②点(0，3)在抛物线上；③若 则 ④若 则 其中结论正确的序号为 .
典题精练
(2024连云港)已知抛物线 (a,b,c是常数，a<0)的顶点为(1，2).对于以下结论:①abc<0;②当x>1时,y 随x的增大而减小;③若 的一个根为3，则a= ④抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2 个单位得到的.其中结论一定正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
拆分突破2 系数a，b，c的关系判断
典例精讲
【例】 如图，抛物线 的顶点为(1,n),与x轴的一个交点B(3,0),与y轴的交点在(0,-3)和(0,-2)之间.下列结论:(① /c>0;②-2典题精练
(2024江汉区)如图，抛物线 的对称轴为x=-1，下列结论中：( ②3a+c>0; ④当图象经过点 时，方程 的两根为x ， 则 其中正确的结论是 (填写序号).
拆分突破3 函数值的大小比较
典例精讲
【例】 已知抛物线 上有三点 则y ,y ,y 的大小关系为 .
典题精练
(2023仙桃、潜江、天门)抛物线 与 x轴相交于点A(---3,0),B(1,0).下列结论:①abc<0;②b -4ac>0;③3b+2c=0;④若点 P(m-2,y ),Q(m,y )在抛物线上,且y 拆分突破4 一元二次方程根的判定
典例精讲
【例】 (2022武汉中考)已知抛物线 (a,b,c是常数)开口向下，过 0),B(m,0)两点,且10;②若 则 ③若点 y ),N(x ,y )在抛物线上， 且 则 ；④当a≤--1时，关于x的一元二次方程 必有两个不相等的实数根.其中正确的结论是 (填序号).
典题精练
(2024日照)已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(--1，0)，对称轴为直线x=2.对于下列结论：( ②a+c=b;③多项式 可因式分解为(x+1)(x--5);④当 时，关于x的方程 无实数根.其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
拆分突破5 一元二次方程根的分析
典例精讲
【例】 (2023洪山区)二次函数 的部分图象如图所示.对称轴为x=1,且9a+3b+c=0,以下结论:①abc<0;②4a-2b+c<0;③关于x 的不等式 的解集为--1典题精练
(2024 遂宁)如图，已知抛物线 (a,b,c为常数，且a≠0)的对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点 B 在(0,-2),(0,-3)之间(不含端点),则下列结论:①abc>0;②9a-3b+c>0; ④若方程 的两根为m,n(mA.1个 B.2个 C.3个 D.4个
拆分突破6 二次函数与不等式
典例精讲
【例】 已知抛物线 (m为常数).下列四个结论：①无论 m为何值，抛物线过定点(-1，-1)；②它的顶点在抛物线 上运动；③当它与x轴有唯一交点时，m=0；④当x<1时, 其中正确的结论是 (填序号).
典题精练
(2024雅安)已知一元二次方程 有两实根 且 abc>0.下列结论:①2a+b=0;(②抛物线 的顶点坐标为(1, );③a<0;(④若m(am+b)<4a+2b,则0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
板块九 二次函数多结论
拆分突破1 二次函数的性质
典例精讲
【例】 已知P (x ,y ),P (x ,y )均是抛物线 (a是常数，a≠0)上的点.以下结论：①该抛物线的对称轴是直线x=--2；②点(0，3)在抛物线上；③若 则 ④若 则 其中结论正确的序号为 ①② .
解：∵抛物线 的对称轴为直线 ∴①正确;当x=0时,y=3,则点(0,3)在抛物线上，∴②正确；当a>0时，若. 则 当a<0时,若 则 ③错误；若 则 .④错误.
典题精练
(2024连云港)已知抛物线 (a,b,c是常数，a<0)的顶点为(1，2).对于以下结论:①abc<0;②当x>1时,y 随x的增大而减小;③若 的一个根为3，则a= ④抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中结论一定正确的是( B )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解:∵-bzx=1,∴b=-2a.∵a<0,∴b>0.∵a+b+c=2,∴c=2-a-b=2-a--(-2a)=2+a,∴c无法判断,故①错误;∵a<0,对称轴为x=1,∴当x>1时,y随x的增大而减小,故②正确;∵b=-2a,c=2+ 当x=3时,y=9a-6a+2+a=0,∴a=- 故③正确； ∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线. 故④错误.故选 B.
拆分突破2 系数a，b，c的关系判断
典例精讲
【例】 如图，抛物线 的顶点为(1,n),与x轴的一个交点B(3,0),与y轴的交点在(0,--3)和(0,--2)之间.下列结论:(① /c>0;②-2解：由图象知①正确；∵对称轴 ∵当x=3时,y=9a+3b+ ②错误;当x=-1时,y=a-1 角；当x=1 ④错误.
典题精练
(2024江汉区)如图，抛物线 的对称轴为x=--1,下列结论中:①abc>0;②3a+c>0; ④当图象经过点 时，方程 的两根为x ， 则 其中正确的结论是 ②③④ (填写序号).
解：易知①错误，②正确； 故③正确；由对称性可得方程 的两根为 故④正确.
拆分突破3 函数值的大小比较
典例精讲
【例】 已知抛物线 上有三点A(--2,y ),B(--1,y ),C(2,y ),则y ,y ，y 的大小关系为
解：方法一(性质法)由抛物线的对称性可知，C(2，y )和(0，y )关于对称轴x=1对称， 开口向上，∴当x<1时，y随x的增大而减小，
方法二(距离法)∵抛物线的对称轴为.x=1,∴A(-2,y ),B(-1,y ),C(2,y )三个点与x=1的距离从大到小依次为A，B，C，又抛物线的开口向上，
方法三(作差法)
典题精练
(2023仙桃、潜江、天门)抛物线 与x轴相交于点A(--3,0),B(1,0).下列结论:①abc<0;②b -4ac>0;③3b+2c=0;④若点 P(m--2,y ),Q(m,y )在抛物线上,且y 解:∵. 3a,又∵a<0,∴abc>0,故①错误; bx+c=0有两个不相等的实数根， 故②正确;∵3b+2c=6a-6a=0,故③正确;∵a<0,对称轴为x=-1,且y |m--(-1) | ,解得m<0,故④错误.
拆分突破4 一元二次方程根的判定
典例精讲
【例】 (2022武汉中考)已知抛物线 (a,b,c是常数)开口向下，过A(--1，0),B(m,0)两点,且10;②若 则3a+2c<0;③若点M(x ,y ),N(x ,y )在抛物线上， 且 则 ;④当a≤-1时,关于x 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根.其中正确的结论是 ①③④ (填序号).
解：对于④， ，∴顶点的纵坐标为 又 ∴顶点的纵坐标大于1，故④正确.
典题精练
(2024日照)已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(--1，0)，对称轴为直线x=2.对于下列结论：①abc<0；②a+c=b;③多项式 可因式分解为(x+1)(x-5);④当m>--9a时，关于x的方程 无实数根.其中结论正确的有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
拆分突破5 一元二次方程根的分析
典例精讲
【例】 (2023洪山区)二次函数 的部分图象如图所示.对称轴为x=1,且9a+3b+c=0,以下结论:①abc<0;②4a-2b+c<0;③关于x 的不等式 的解集为--1解：对于④，得 又∵
典题精练
(2024遂宁)如图，已知抛物线 (a,b,c为常数，且a≠0)的对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点 B 在(0,-2),(0,-3)之间(不含端点),则下列结论:①abc>0;②9a-3b+c>0; ④若方程 的两根为m,n(mA.1个 B.2个 C.3个 D.4个
拆分突破6 二次函数与不等式
典例精讲
【例】 已知抛物线 (m为常数).下列四个结论：①无论 m为何值，抛物线过定点(-1，-1)；②它的顶点在抛物线 上运动；③当它与x轴有唯一交点时，m=0；④当x<1时, 其中正确的结论是 ①② (填序号).
解:∵当x=-1时,y=-1,故①正确; ∴顶点为 ∴它的顶点在抛物线 上运动，故②正确；由 ,得m=0或m=-4,故③错误;∵抛物线 与直线y=x的交点为(-1，-1)，且顶点在抛物线 上运动，∴顶点可以为(-2，0)，由图象可知，当-2典题精练
(2024雅安)已知一元二次方程 有两实根 且 abc>0.下列结论:①2a+b=0;②抛物线 的顶点坐标为(1, );③a<0;④若m(am+b)<4a+2b,则0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

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