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板块十二 应用题(三)实际问题与二次函数
营销问题1 最值计算
典例精讲
【例】 (2024南充)某特产店销售A，B两类特产. A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元；购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A 类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为ω元，求ω与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元
典题精练
(2024烟台)某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元时，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180元.设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y元.
(1)求y 与x之间的函数关系式；
(2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(3)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅
营销问题2 最值求参
典例精讲
【例】 (2024贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(单位：盒)与销售单价x(单位：元)是一次函数关系，下表是 y与x的几组对应值.
销售单价x/元 ··· 12 14 16 18 20
日销售量y/盒 56 52 48 44 40
(1)求y 与x之间的函数关系式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大 最大利润是多少
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m 的值.
典题精练
(2023洪山区)北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国.某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个.
(1)直接写出 y与x的函数关系式及自变量x 的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元
(3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m 元(2≤m≤7)给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则m 的值是多少
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营销问题3 分段函数
典例精讲
【例】 (2024大庆)某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克),当1≤x≤20时,y= kx+b;当 时， 销量z(千克)与x的函数关系式为z=x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15 元/千克，设第x天的销售额为M(元).
(1)k= ,b= ;
(2)写出第x天的销售额M 与x之间的函数关系式；
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元
典题精练
(2024汉阳区)某龙虾养殖大户一次性收购了 10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000元，放养30天的总成本为178 000元.设这批小龙虾放养t天后的质量为a kg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a 与t的函数关系为 y与t 的函数关系如图所示.
(1)设每天的养殖成本为 m元，收购成本为n元，求m 与n的值；
(2)求y 与t的函数关系式；
(3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大 最大利润是多少
营销问题4关联变量
典例精讲
【例】 (2024 江岸区)根据市场调查，某公司计划投资销售 A，B两种商品.
信息一：销售A 商品x(吨)所获利润yA(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x(吨) 1 2 3 4
yA(万元) 6 12 18 24
信息二：销售 B 商品x(吨)所获利润yB(万元)之间存在二次函数关系： 且销售 2 吨时获利润20万元，销售4 吨时，可获利润32万元.
(1)直接写出yA与x之间的关系式为 ，并求出yB与x的函数关系式；
(2)如果企业同时对A，B两种产品共购进并销售10吨，每吨产品购进成本为4万元，请设计能获得最大利润的采购方案，并求出最大利润；
(3)假设购买A 商品的成本为3万元/吨，购买 B 商品的成本为5万元/吨，某公司准备投资44万元购进A，B两种商品并销售完毕，要求A 商品的数量不超过B 商品数量的2倍，且销售总利润不低于53万元，直接写出 B 商品的销售数量x的取值范围是 .
典题精练
(2023益阳)某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资 A 项目一年后的收益yA(万元)与投入资金x(万元)的函数关系式为 投资B 项目一年后的收益yB(万元)与投入资金x(万元)的函数关系式为
(1)若将10万元资金投入A 项目，一年后获得的收益是多少
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m(m>0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大 最大值是多少万元
应用题(三)实际问题与二次函数
营销问题1 最值计算
典例精讲
【例】 (2024南充)某特产店销售A，B两类特产. A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元；购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件 A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为ω元，求ω与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元
解:(1)设每件A类特产的售价为x元,则3x+5(132-x)=540,解得x=60.
∴每件B类特产的售价为132-60=72(元).
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件；
(2)由题意，∵每件A类特产降价x 元，又每降价1元，每天可多售出10件，
∴y=60+10x=10x+60(0≤x≤10);
(3)由题意,w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10(x-2) +1840.
∵--10<0,∴当x=2时,w有最大值1840.
∴A 类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元.
典题精练
(2024烟台)某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元时，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180 元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
(1)求y 与x之间的函数关系式；
(2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(3)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅
解：(1)由题意，得
(2)∵每辆轮椅的利润不低于180元,∴200-x≥180,∴x≤20.
∵当x<25时,y随x 的增大而增大,
∴当x=20时，每天的销售利润最大，最大利润为 元.
答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12 240元；
(3)当 y=12 160时) 解得 (不合题意，舍去)，
(辆).
答：这天售出了64辆轮椅.
营销问题2最值求参
典例精讲
【例】 (2024贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(单位：盒)与销售单价x(单位：元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40
(1)求y 与x之间的函数关系式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大 最大利润是多少
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m 的值.
解:(1)设y与x之间的函数关系式为y= kx+b,把x=12,y=56;x=20,y=40代入,
得 解得
∴y 与x 之间的函数关系式为y=-2x+80;
(2)设日销售利润为 w 元，根据题意，得
w=(x-10)·y
=(x-10)(-2x+80)
∴当x=25时,w有最大值,最大值为450,
∴糖果销售单价定为25 元时，
所获日销售利润最大，最大利润是450元；
(3)设日销售利润为 w'元，
根据题意，得
=(x-10-m)(-2x+80)
=--2x +(100+2m)x-800-80m,
∴当 时，w'有最大值，最大值为
∵该种糖果日销售获得的最大利润为392元，
化简得 解得
当m=58 时, 则每盒的利润为54-10-58<0,舍去,∴m 的值为2.
典题精练
(2023洪山区)北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国.某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个.
(1)直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元
(3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m 元(2≤m≤7)给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则m的值是多少
解:(1)y=500-10(x-40)=-10x+900(40≤x≤61);
(2)根据题意,得(-10x+900)(x-30)=8 960,解得x =62,x =58,∵40≤x≤61,∴x=58.
答：当销售单价是58元时，网店每天获利8960元；
(3)设每天扣除捐赠后可获得利润为W元，
则W=(-10x+900)(x-30-m)=-10x +(1200+10m)x-900(30+m)
∵对称轴
∴当40≤x≤61时,W 随x的增大而增大,∴x=61时,W取得最大值,
∴(61-30-m)(900-10×61)=8120,解得 m=3.
营销问题3 分段函数
典例精讲
【例】 (2024大庆)某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克),当1≤x≤20时,y= kx+b;当20(1)k= -1 ,b= 30 ;
(2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元
解：(1)由题意，得 解得
(2)由题意，当1≤x≤20时,由(1)得.y=-x+30,∴M=(x+10)(-x+30)=-x +20x+300;
当20≤x≤30时,M=15(x+10)=15x+150.∴M={-x +150(+300(3)由题意,当 1≤x≤20时,1
∵--1<0,∴当x=10时,M 取最大值为400.∴此时销售额不超过500元;
当20500,解得 ∴共有7天销售额超过500元.
典题精练
(2024汉阳区)某龙虾养殖大户一次性收购了10 000 kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为 166 000元，放养30天的总成本为178 000元.设这批小龙虾放养t天后的质量为a kg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a 与t的函数关系为 y与t的函数关系如图所示.
(1)设每天的养殖成本为 m元，收购成本为n元，求m与n的值；
(2)求y 与t 的函数关系式；
(3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W 元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大 最大利润是多少
解：(1)依题意，得解得
(2)当0≤t≤20时,可求得 当20可求得 综上
(3)当0≤t≤20时, ∵5400>0,∴当t=20时, 当20∵108500>108000,∴当t=25时,W取得最大值,该最大值为108 500元。
营销问题 4 关联变量
典例精讲
【例】 (2024江岸区)根据市场调查，某公司计划投资销售 A，B两种商品.
信息一：销售A 商品x(吨)所获利润yA(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：
信息二：销售B 商品x(吨)所获利润yB(万元)之间存在二次函数关系： 且销售2吨时获利润20万元，销售4 吨时，可获利润32万元.
x(吨) 1 2 3 4
yA(万元) 6 12 18 24
(1)直接写出yA 与x之间的关系式为 . ，并求出 yB 与x 的函数关系式；
(2)如果企业同时对A，B两种产品共购进并销售10吨，每吨产品购进成本为4万元，请设计能获得最大利润的采购方案，并求出最大利润；
(3)假设购买A 商品的成本为3万元/吨，购买 B 商品的成本为5万元/吨，某公司准备投资44万元购进A，B两种商品并销售完毕，要求A 商品的数量不超过B 商品数量的2倍，且销售总利润不低于53万元，直接写出 B 商品的销售数量x的取值范围是 4≤x≤7 .
解:(1)yA=6x,由信息二得 解得与x的函数关系式为
(2)设购进B商品m吨，总利润为w 万元，则v
∵--1<0,∴当m=3时,w最大=69,∴10-m=7(吨),
故购进A 商品7吨，购进B 商品3吨，最大利润为69万元；
当 时，解得
∴当 时,-5≤x≤7,由题意得 解得
典题精练
(2023益阳)某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A 项目一年后的收益yA(万元)与投入资金x(万元)的函数关系式为 投资B项目一年后的收益yB(万元)与投入资金x(万元)的函数关系式为
(1)若将10万元资金投入A 项目，一年后获得的收益是多少
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m(m>0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大 最大值是多少万元
解:(1)当x=10时, 万元)，∴一年后获得的收益是4万元；
(2)由题意得 解得 (舍去),∴m=8;
(3)设投入B 项目的资金是t 万元，投入A 项目的资金(32-t)，一年后获利为W万元，
则 ∴当t=4时, 此时32-t=28,
∴投入A 项目的资金是28万元，投入B 项目的资金4万元时，一年后获利最大.最大值是16万元.

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