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板块十三 平行线的判定与性质
典例精讲
类型一 求角度
【例1】 (2024武汉三调)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气中时，要发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若∠1=45°,∠2=122°,则∠3+∠4的大小是( )
A.167° B.103° C.93° D.90°
类型二 证角等
【例2】如图,在四边形 ABCD 中, ,点 E 在 BA 的延长线上，连接CE.
(1)求证:∠E=∠ECD;
(2)若∠E=60°,CE 平分∠BCD,直接写出△BCE 的形状.
类型三 证平行
【例3】 (2022武汉中考)如图,在四边形ABCD 中,
(1)求 的度数；
(2)AE 平分 交BC 于点E, .求证:AE∥DC.
典题精练
1.(2024洪山区)如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD 都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°,要使 AM与CB 平行,则∠MAC 的度数是( )
A.60° B.66° C.114° D.120°
2.(2024江岸区)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P,F 为焦点.若∠1=152°,∠3=50°,则∠2的度数为( )
A.18° B.22° C.28° D.32°
3.(2021武汉四调)如图,B,E分别是AC,DF 上的点,AE∥BF,∠A=∠F.求证:∠C=∠D.
4.如图,AB∥CD,EF 分别交AB,CD 于点G,H,∠BGH,∠DHF 的平分线分别为GM,HN,求证:GM∥HN.
5.(2022武汉四调)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠BCD=110°,BE 平分∠ABC交AD于点E,DF∥BE 交BC 于点 F.
(1)求∠ABC 的大小;
(2)求∠CDF 的大小.
板块十三 平行线的判定与性质
典例精讲
类型一 求角度
【例1】 (2024武汉三调)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气中时，要发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若∠1=45°,∠2=122°,则∠3+∠4的大小是( B )
A.167° B.103° C.93° D.90°
解:由平行线的性质得∠1=∠3,∠2+∠4=180°.∵∠1=45°,∠2=122°,∴∠3=45°,∠4=58°,∴∠3+∠4=45°+58°=103°,故选 B.
类型二 证角等
【例2】 (2023武汉中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E 在BA 的延长线上，连接CE.
(1)求证:∠E=∠ECD;
(2)若∠E=60°,CE 平分∠BCD,直接写出△BCE 的形状.
解:(1)∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B.∵∠B=∠D,
∴∠EAD=∠D,∴BE∥CD,∴∠E=∠ECD;
(2)∵∠E=60°,∠E=∠ECD,∴∠ECD=∠E=60°.
∵CE 平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECD=60°,∴∠BCE=∠E=60°,
∴∠B=180°-∠BCE-∠E=60°,∴∠BCE=∠E=∠B,∴△BCE 是等边三角形.
类型三 证平行
【例3】 (2022武汉中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°.
(1)求∠BAD 的度数;
(2)AE 平分∠BAD 交BC 于点E,∠BCD=50°.求证:AE∥DC.
解:(1)∵AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=80°,∴∠BAD=100°;
(2)∵AE 平分
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=50°.
∵∠BCD=50°,∴∠AEB=∠BCD,∴AE∥DC.
典题精练
1.(2024洪山区)如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°,要使AM与CB 平行,则∠MAC的度数是( B )
A.60° B.66° C.114°
解:由题意得AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD=60°.
∵AM∥CB,
∴∠MAC=∠MAB-∠BAC=66°,故选 B.
2.(2024江岸区)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P,F 为焦点.若∠1=152°,∠3=50°,则∠2的度数为( B )
A.18° B.22° C.28° D.32°
解:由题意得∠1+∠PFO=180°,
∵∠3=50°,∴∠POF=∠3-∠PFO=22°,
∴∠2=∠POF=22°.故选 B.
3.(2021武汉四调)如图,B,E 分别是AC,DF 上的点, 求证:∠C=∠D.
证明:∵AE∥BF,∴∠F+∠AEF=180°.
∵∠A=∠F,∴∠A+∠AEF=180°,
∴AC∥DF,∴∠C=∠D.
4.(2019武汉四调)如图,AB∥CD,EF 分别交AB,CD 于点G,H,∠BGH,∠DHF 的平分线分别为GM,HN,求证:GM∥HN.
证明:∵AB∥CD,∴∠BGH=∠DHF.
又∵GM,HN 分别为∠BGH,∠DHF 的平分线,
∴∠MGH=∠NHF,∴GM∥HN.
5.(2022武汉四调)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=110°,BE 平分∠ABC 交AD于点E,DF∥BE 交 BC 于点F.
(1)求∠ABC 的大小;
(2)求∠CDF 的大小.
解:(1)∵AB∥CD,∠BCD=110°,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠ABC=70°;
(2)∵∠ABC=70°,BE 平分
∵DF∥BE,∴∠DFC=∠EBF=35°.
∵∠DFC+∠BCD+∠CDF=180°,∴∠CDF=180°-35°-110°=35°.

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