资源简介

板块二十 与三角形、四边形有关的计算
方法突破1 全等构造
典例精讲
技巧一 “一线两直角”→构“一线三直角”全等
【例1】 (2022武汉中考)如图,在 Rt△ABC 中, ，分别以 的三边为边向外作三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB 的垂线CJ,垂足为J,分别交 DF,LH 于点I,K.若CI=5,CJ=4,则四边形 AJKL 的面积是 .
技巧二 张角相等(蝶形)→构“手拉手”全等
【例2】 如图，在 中， D 为 外一点，且 .若 则AC 的长为 .
技巧三 “SA”→构“SAS”全等
【例3】 如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E,F 分别是线段OB,OA 上的一点.若. ,则 BF 的长为 .
典题精练
技巧四 隐“一线两等角”→构“一线三等角”全等
1.(2024青山区)如图,在四边形ABCD中, ⊥BC 于点E.若BC=11,CD=3,则 BE 的长为 .
C
技巧五 隐夹半角→构旋转全等
2.(2024汉南区)如图,在△ABC 中,. ,D 是 BC 边上一点,且 .若BD=2, ,则 AB 的长为 .
C
技巧六 “长短手”(等腰+逆等线)→构“X”型全等
3.(2024武汉模拟)如图,等边三角形 ABC 的边AB 上有一点P,过点 P 作 于点E,Q为BC延长线上一点,且AP=CQ,连接PQ交AC 于点D.若DE=2,则BC的长为 .
技巧七 共端点等线段→构旋转全等
4.(2023武汉二调)如图,D 是 内一点，∠ 则 BC 的长是 .
方法突破2 相似构造
典例精讲
技巧一 隐垂直→构“垂十字”型相似
【例1】 (2020武汉中考)如图,折叠矩形纸片ABCD,使点D 落在AB 边上的点M处,EF 为折痕,AB=1,AD=2.设AM 的长为t,用含t 的式子表示四边形CDEF 的面积是 .
技巧二 共顶点等角→构旋转型相似
【例2】 (2023汉阳区)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,点 D 在CB 的延长线上,点 E 在 BC 上,且∠DAE=120°.若 则CE 的长为 .
典题精练
技巧三 分点(中点)+平行→构“A(X)”型相似
1.(2024武汉中考改)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,E是AB 的中点,F是BC上一点,EF与BD 相交于点G,△BEG,△BFG的面积分别记为S ,S .若. ，则用含 k 的式子表示 的值是 .
技巧四 “一线两等角”→构“一线三等角”型相似
2.(2024武昌区)如图,在△ABC 中,AB方法突破3 图形变换
典例精讲
技巧一 平移变换→拼接线段
【例1】 如图,在矩形ABCD 中,AB=2AD,线段EF 在边AB上,且EF=1,G是AD 的中点,连接GE,CF.若∠AEG=∠BFC,GE+CF=3 则矩形 ABCD 的面积为 .
技巧二 旋转变换→构“手拉手”型
【例2】 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=5,E 是平面内一点,且 连接CE,以CE 为斜边作等腰直角三角形CDE. F 是AE 上的一点,连接 BD,BF,且∠FBD=45°,则AF 的长为 .
典题精练
技巧三 平移变换→构特殊图形
1.(2024重庆改)如图,D 是等边 的边BC上的一动点( ，点D 关于直线 AB 的对称点为E，F 是AD上的一动点，且 ,延长EF交AC于点G,则 的值为 .
技巧四 翻折变换→构二倍角
2.(2024汉阳区)如图,在四边形ABCD 中,BD⊥CD.若. ,则 AC 的长为 .
类型突破1 中点的运用
典例精讲
技巧一 中点+“中点”→构中位线
【例1】 如图,D 为△ABC 内的一点,E 为AC 的中点,连接DE, ,且∠ABD=∠EDC.若DE=3,BC=10,则AB 的长为 .
技巧二 中点+直角→构中位线+斜边上的中线
【例2】 (2024武汉中考改)如图,在四边形 ABCD 中, ,E 是AB 的中点,点 F 在BC 上,EF 与BD 交于点G, 的面积分别记为 若 则 的值为 .(结果用含k 的式子表示)
技巧三 等腰+直角→(隐中点)构斜边上的中线
【例3】 如图,在四边形 ABCD 中,AD=3,CD=4,∠ABC=∠ADC=90°,BD=BC,则AB 的长为 .
C
技巧四 中点+平行→构“X”型全等
【例4】 (2024宜昌)如图,E 是菱形ABCD 的边AB 的中点,F 是边AD 上一点,连接EC,EF.若 ,则CE 的长为 .
典题精练
1.(2024山东四市)如图,E 为 ABCD 的对角线AC上的一点,AC=5,CE=1,连接DE 并延长至点 F,使EF=DE,连接 BF,则 BF 的长为 .
技巧五 中点十等腰→构“三线合一”
2.(2023东西湖区)如图,F为△ABC 的边 BC上一点,D为AC的中点,BA=BC=6,CA=CF=4,连接DF,则 DF 的长为 .
技巧六 中线倍长(中心对称)→构“X”型全等
3.(2024洪山区)如图,在△ABC中,∠C=45°,D是AB 的中点,点 E,F 分别在边BC,AC上,且∠EDF=90°,连接EF.若AF=3 ,EF=5,则BE 的长为 .
技巧七 中点+隐直角→构斜边上的中线
4.(2023重庆)如图,在正方形 ABCD 中,O为对角线AC的中点,E 为正方形内一点,连接BE,且BE=BA,连接CE 并延长,与∠ABE 的平分线交于点F,连接OF.若AB=2,则OF 的长为 .
类型突破2 角平分线的运用
典例精讲
技巧一 隐角平分线+“双垂”→构双全等
【例1】 如图,在四边形 ABCD 中,AC=AD,∠ADB=∠ACB=30°,若. 3,则AB 的长为 ·
技巧二 角平分线+垂直→构“三线合一”(等腰)
【例2】 (2023武昌区)如图,在△ABC 中,ABC
典题精练
技巧三 角平分线为轴→构翻折型全等
1.(2024包头)如图,在菱形 ABCD 中,, ，E是对角线AC 上的一点， AB 于点F,连接DE.若CE=AF,则 DE 的长为 .
技巧四 角平分线十“平行”→构等腰三角形
2.如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,D 是BC 边上的一点,连接AD,将 沿 AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的点 E 处.若 则 BE 的长为 .
类型突破3 角度问题
典例精讲
技巧一 知特殊角→等角代换构直角
【例1】 如图,在△ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=120°,点 D,E 在边 BC 上,且∠DAE=60°.若 则 BD 的长为 .
技巧二 发现特殊角→构直角三角形
【例2】 (2023 贵州改)如图,在矩形 ABCD 中, E为矩形内一点，且∠BAE=75°,∠BCE=60°,则CE 的长为 .
典题精练
技巧三 共边二倍角→延长构等腰三角形
1.如图,在四边形 ABCD 中,∠BCD=90°,AB=AC=5,BC=6,且. 则AD的长为 .
技巧四 轴对称(翻折)→构二倍角
2.(2023武汉外校)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D 是AB 上一点,且 若AD=26,BD=11,则 BC 的长为 .
类型突破4 列函数式
典例精讲
技巧一 共线共端点线段之比→构“X(A)”型相似
【例1】 (2024武汉中考)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 交正方形ABCD 的两边于点E,F,记正方形 ABCD 的面积为S ,正方形 MNPQ的面积为S .若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示 的值是 .
技巧二 翻折的对应角相等→导全等或相似
【例2】 (2023武汉中考)如图,DE 平分等边△ABC 的面积,折叠. 得到△FDE,AC·分别与DF,EF 相交于点G,H.若 DG=m,EH=n,用含 m,n的式子表示GH 的长是
典题精练
技巧三 轴对称(翻折)→线段相等列方程
1.(武汉中考)如图，折叠矩形纸片ABCD，使点 D 落在边AB上的点M 处，EF 为折痕， AD=2.设AM 的长为t,用含 t 的式子表示四边形CDEF 的面积是 .
技巧四 “三垂直”→构“一线三直角”相似
2.(2024硚口区)如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别在AB,BC 边(不含端点)上运动,满足 2BF,正方形 EFGH 的边 HG 所在直线交AD 于点I,交 BC 于点 J,记四边形 AEHI 的面积为S ,△FGJ 的面积为 S ,∠BEF 为α,用含α的三角函数的式子表示 的值是 .
实践操作1 动态图形与分类讨论
典例精讲
类型一 图形状态变化的分类讨论
【例】 (2024河南改)定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图,在 Rt△ABC 中, ,分别在边 BC,AC 上取点 M,N,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，BN 的长为 .
典题精练
类型二 旋转方向不明的分类讨论
1.(2023绥化)在等腰三角形 ABC 中, 将 绕点B 旋转 得到 (点 A 与 对应)，延长 交直线BC 于点D，则 D 的长为 .
类型三 动点位置不明的分类讨论
2.(2024上海)在 中， 是锐角，将CD沿直线l翻折，使得点 C，D的对应点( 都恰好落在直线AB 上.若 则 C的值为 .
实践操作2 图形拼接
典例精讲
【例】 (2024东湖高新区)如图1,在 Rt△ABC 中, 四边形ACDE,四边形 CBFG都是正方形，过C，B两点将正方形CBFG 分别沿与AB 平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形 ACDE，△ABC一起拼成图2，点 H 在BP 上.若 则tan∠BAC 的值为 .
典题精练
类型一 方案选择+相似
1.(2024青山区)如图，将一个边长为8的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形.若裁切线 AG 的长为10，则裁切线MN 的长是 .
类型二 面积关系+方程
2.(2024硚口区)如图1,四边形 ABCD 纸片满足. 把该纸片折叠，折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的正方形EFGH(如图2)，则CD的长是 .
板块二十 与三角形、四边形有关的计算
方法突破1 全等构造
典例精讲
技巧一 “一线两直角”→构“一线三直角”全等
【例1】 (2022武汉中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC 的三边为边向外作三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB 的垂线CJ,垂足为J,分别交 DF,LH 于点I,K.若CI=5,CJ=4,则四边形 AJKL 的面积是 80 .
解:过点D 作DM⊥CI,交CI的延长线于点M,过点 F 作 FN⊥CI 于点 N.
∵△ACJ≌△CDM,△BCJ≌△CFN,∴AJ=CM,DM=CJ=NF=4,
∴△DMI≌△FNI,∴DI=FI,MI=NI,∵∠DCF=90°,
∴DI=FI=CI=5,在Rt△DMI中,
∴NI=MI=3,∴AJ=CM=CI+MI=5+3=8,BJ=CN=CI-NI=5-3=2,
∴AB=AJ+BJ=8+2=10,∵四边形ABHL 为正方形,∴AL=AB=10,
∵四边形AJKL 为矩形,∴四边形AJKL 的面积为AL·AJ=10×8=80.
技巧二 张角相等(蝶形)→构“手拉手”全等
【例2】 如图,在△ABC中,AB=AC,D 为△ABC 外一点,且. 若BD=4CD,AD=2 则AC 的长为 2 .
解:在BD 上取点E,使BE=CD,连接AE.∵∠BDC=∠BAC,
∴∠ABE=∠ACD.∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴AE=AD,∠BAE=∠CAD,∴∠EAD=∠BAC=120°,∴∠ADE=
∠AED=30°,∴可求 设BE=CD=a,则BD=a+6,
∴a+6=4a,∴a=2,即BD=8,CD=2.过点A 作AH⊥CD 于点H,则
技巧三 “SA”→构“SAS”全等
【例3】 如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E,F 分别是线段OB,OA 上的一点.若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,则BF 的长为
解:在OA 上取一点M,使AM=BE=3,过点B 作BH⊥OA 于点H.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠OAB=∠OBA.∵AB=BA,
∴△ABE≌△BAM(SAS),∴BM=AE=BF.∵BH⊥FM,
.
典题精练
技巧四 隐“一线两等角”→构“一线三等角”全等
1.(2024青山区)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=60°,AE⊥BC 于点E.若BC=11,CD=3,则BE的长为 .
解:在CB 的延长线上取一点F,连接AF,使∠F=60°,连接BD.
∵AB=AD,∠BAD=∠BCD=60°,∴△ABD 是等边三角形,
∴AB=BD,∠ABD=∠F=∠BCD=60°,
∴可证△ABF≌△BDC(AAS),∴AF=BC=11,BF=CD=3.
技巧五 隐夹半角→构旋转全等
2.(2024汉南区)如图,在△ABC 中,∠B=30°,D 是BC 边上一点,且 .若BD=2, 则AB 的长为
解:延长BC至点E,使AE=AB.∵∠B=30°,∴∠AEB=∠B=30°,∴∠BAE=120°.将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△AEF,连接CF,过点 F 作FG⊥CE 于点G.由旋转知∠DAF=120°,AD=AF,∵∠DAC=60°,∴∠DAC=∠FAC,∴△ACD≌△ACF,∴CF=CD=2 .∵EF=BD=2,∠AEF=∠B=30°,∴∠FEG=60°,∴ ∴可求
技巧六 “长短手”(等腰+逆等线)→构“X”型全等
3.(2024武汉模拟)如图,等边三角形ABC 的边AB 上有一点P,过点 P 作PE⊥AC 于点E,Q为BC 延长线上一点,且AP=CQ,连接PQ交AC 于点D.若DE=2,则 BC 的长为 4 .
解:作PF∥BC交AC 于点F.∵△ABC是等边三角形,PF∥BC,
∴∠APF=∠AFP=∠B=∠ACB=60°,∴△APF 是等边三角形,∴AP=PF,∵AP=CQ,∴PF=CQ.∵∠FPD=∠Q,∠PDF=∠QDC,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD.∵PE⊥AC,AP=PF,∴AE=EF,∴AE+DC=EF+FD,
技巧七 共端点等线段→构旋转全等
4.(2023武汉二调)如图,D 是△ABC 内一点,∠ 则 BC 的长是
解:将△DAC 绕点D 顺时针旋转 90°得到△DEB,BE 交AC 于点 F,连接AE,则 13
解得
.
方法突破2 相似构造
典例精讲
技巧一 隐垂直→构“垂十字”型相似
【例1】 (2020武汉中考)如图,折叠矩形纸片ABCD,使点 D 落在AB 边上的点M处,EF 为折痕,AB=1,AD=2.设AM 的长为t,用含t的式子表示四边形 CDEF 的面积是
解:连接DM,过点 E 作 EG⊥BC 于点 G.设 DE =x=EM,则 EA =2--x, 由折叠得EF⊥DM,∵EG⊥
技巧二 共顶点等角→构旋转型相似
【例2】 (2023汉阳区)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,点 D 在CB 的延长线上,点E 在BC上,且∠DAE=120°.若AB=2,DB=3,则CE 的长为 .
解:在AC 上取一点F,使 EF =EC,则∠EFC=∠C=∠ABC=30°,∠ABD=∠AFE=150°,CF= EF.∵∠DAE=∠BAC=120°,∴∠DAB =∠EAF,∴△ABD∽△AFE,∴AB=BDF.设 EF =EC=a,则 即
典题精练
技巧三 分点(中点)+平行→构“A(X)”型相似
1.(2024武汉中考改)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,E是AB 的中点,F是BC上一点,EF与BD 相交于点G,△BEG,△BFG的面积分别记为S ,S .若AD=kBF,则用含k的式子表示 的值是
解:过点 E 作EM∥AD,交 BD 于点M,则 设BF=a,则
技巧四 “一线两等角”→构“一线三等角”型相似
2.(2024武昌区)如图,在△ABC中,AB解:连接AG,CG.∵BD 平分∠ABC,∴可设∠EBG=∠FBG=α.
∵EF⊥BD,∴∠EGB=∠FGB=90°,∴∠BEG=∠BFG=90°-α,
∴BE=BF,∴EG=FG.∵G 是△ABC的内心,∴∠AGC=∠AEG=∠CFG= ∴EG=GF=3 ,∴EF=EG+FG=6
方法突破3 图形变换
典例精讲
技巧一 平移变换→拼接线段
【例1】 如图,在矩形ABCD 中,AB=2AD,线段EF 在边AB上,且EF=1,G是AD 的中点,连接GE,CF.若∠AEG=∠BFC,GE+CF=3 则矩形 ABCD 的面积为 8 .
解：在CD 上截取CH=EF=1，连接HE 并延长交 DA 的延长线于点G'，则可证四边形EFCH 是平行四边形,∴HE∥CF,HE=CF,∴∠BFC=∠BEH=∠AEG'=∠AEG,∴可证△AEG≌△AEG',∴AG'=AG,G'E=GE,∴GE+CF=G'E+ 设AD=2x,则 .在Rt△G'DH 中, ,即 2 1(负值已舍),∴AD=2,AB=4,∴矩形ABCD 的面积为8.
技巧二 旋转变换→构“手拉手”型
【例2】 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=5,E 是平面内一点,且AE= 连接CE,以CE 为斜边作等腰直角三角形CDE. F 是 AE 上的一点,连接 BD,BF,且∠FBD=45°,则AF 的长为
解:将△BDC 绕点D 顺时针旋转90°得到△HDE,延长HE 交BC 于点G,连接BH.
∵△HDE≌△BDC,∴∠EHD=∠CBD,EH=BC=5,HD=BD.
∵∠BDH=90°,∴△BDH 是等腰直角三角形,∠BGH=∠BDH=90°,
∴点 F 在BH 上.∵∠ABC=90°,∴AB∥EH,
即
典题精练
技巧三 平移变换→构特殊图形
1.(2024重庆改)如图,D 是等边△ABC的边 BC上的一动点(BD解:过点B 作 BQ∥EG,分别交AD,AC 于点 P,Q,则∠BPD=∠EFD=60°,连接BE.
∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.∵∠BPD=∠BAD+∠ABQ=∠ABQ+∠CBQ=60°,∴∠BAD=∠CBQ,∴△ABD≌△BCQ,∴BD=CQ=BE.∵∠EBD+∠C=120°+60°=180°,∴BE∥AC,∴四边形EBQG 是平行四边形,∴GQ=BE=CQ,即CG=2BE.
可求
技巧四 翻折变换→构二倍角
2.(2024汉阳区)如图,在四边形ABCD中,BD⊥CD.若AB=7,CD=12,∠ABD=2∠BCD,2∠BAC+∠ACB=90°,则AC 的长为 20 .
解:将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF,∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBF=
∠CBD.∵∠ABD=2∠BCD,∴∠ABD =∠DCF.∵∠BDC=∠F=90°,
∴∠DCF+∠DBF=180°,∴∠ABD+∠DBF=180°,∴A,B,F 三点共线,
∴∠BAC+∠ACF=90°.∵2∠BAC+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠BCF,
∴△FCB∽△FAC,∴CF =FB·FA.设FB=x,则 FA=x+7,∴x(x+7)=12 ,
∴x=9或x=-16(舍去),.
类型突破1 中点的运用
典例精讲
技巧一 中点+“中点”→构中位线
【例1】 如图,D 为△ABC 内的一点,E 为AC 的中点,连接DE,∠BDC=90°,且∠ABD=∠EDC.若DE=3,BC=10,则AB 的长为 8 .
解:取BC的中点O,连接EO,DO,延长ED 交AB 于点 F.∵E 是AC的中点,∴OE∥AB,OE= AB.∵∠BDC=90°,∴∠EDC+∠BDF=90°,又∵∠ABD=∠EDC,∴∠ABD+∠BDF=90°,∴∠AFE=90°,∴∠OED=∠AFE=90°.∵∠BDC=90°,BC=10,O是BC的中点，
技巧二 中点+直角→构中位线+斜边上的中线
【例2】 (2024武汉中考改)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠BCD=90°,E 是AB 的中点,点F在BC上,EF 与BD 交于点G,△ABD,△CBD 的面积分别记为S ,S .若BG=GF, 则 的值为 (结果用含 k 的式子表示)
解:取BD的中点H,连接EH,CH.∵∠BCD=90°,∴CH=BH,∴∠HBC=∠HCB.∵BG=FG,∴∠GBF=∠GFB=∠HCB,∴EF∥CH.∵E 是AB 的中点,AD∥BC,∴EH∥AD∥BC,EH= AD,∴四边形EFCH 是平行四边形,∴CF=EH=
技巧三 等腰+直角→(隐中点)构斜边上的中线
【例3】 如图,在四边形ABCD 中,AD=3,CD=4,∠ABC=∠ADC=90°,BD=BC,则AB 的长为 .
解:延长DA 交CB 的延长线于点 E,连接AC.∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD.∵∠ADC=90°,∴∠BDC+∠ADB =∠BCD +∠E =90°,∴∠ADB=∠E,∴BD = BE = BC. ∵∠ABC =90°,∴AE = AC =√AD +CD =5,∴DE=AD+AE=8,CE=√DE +CD =4
技巧四 中点+平行→构“X”型全等
【例4】 (2024宜昌)如图,E 是菱形ABCD 的边AB 的中点,F 是边AD 上一点,连接EC,EF.若AE=3,EF=2AF=4,则CE的长为 6 .
解：延长FE 交CB 的延长线于点M.∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC,AD∥BC.∵E是AB的中点,∴△AEF≌△BEM,
∴ME=EF=4,MB=AF=2,∴MC=MB+BC=8,
∴CE=2EB=6.
典题精练
1.(2024山东四市)如图,E 为□ABCD 的对角线AC上的一点, ，连接DE 并延长至点 F,使EF=DE,连接 BF,则 BF 的长为 3 .
解:连接BD 交AC 于点O.∵四边形ABCD 是平行四边形,
即BF=2OE=3.
技巧五 中点十等腰→构“三线合一”
2.(2023东西湖区)如图,F为△ABC的边 BC 上一点,D为AC的中点,B =4,连接DF,则 DF 的长为
解:连接BD,过点D 作DE⊥BC于点E.∵BA=BC,AD=CD=2,∴BD⊥AC.由△DEC∽△BDC,得( 由 得
技巧六 中线倍长(中心对称)→构“X”型全等
3.(2024洪山区)如图,在△ABC中,∠C=45°,D是AB 的中点,点 E,F 分别在边BC,AC上,且∠EDF=90°,连接EF.若 则 BE 的长为 1 .
解:延长FD至点M,使DM=DF,连接ME,MB,则EM=EF=5,易证△BDM≌△ADF,∴BM⊥AF,
过点 M 作MN⊥BC 于点N,则∠MBN=∠C=45°,
.
技巧七 中点+隐直角→构斜边上的中线
4.(2023重庆)如图，在正方形ABCD 中，O为对角线AC的中点，E 为正方形内一点，连接BE，且BE=BA,连接CE 并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF.若AB=2,则OF的长为 .
解:连接AF.∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BE=BC,∠ABC=90°,AC= AB=2 ,∴∠BEC=∠BCE.设∠CBE=α,则 ∠ABE=90°-α.∵BF 平分∠ ∠BEC-∠EBF=45°.∵△ABF≌△EBF(SAS),∴∠BFA=∠BFE=45°,
∴∠AFC=90°.∵O 是AC 的中点,
类型突破2 角平分线的运用
典例精讲
技巧一 隐角平分线+“双垂”→构双全等
【例1】 如图,在四边形ABCD中,AC=AD,∠ADB=∠ACB=30°,若BD=5,BC=3,则AB 的长为
解:过点A 分别作直线BC,BD 的垂线,垂足分别为M,N,∴△AMC≌△AND,∴AM=AN,MC=ND,∴△ABM≌△ABN,∴BM=BN,设BM=BN=x,则ND=5-x,MC=3+x,∴5-x=3+x,∴x=1,MC=4,
技巧二 角平分线+垂直→构“三线合一”(等腰)
【例2】 (2023武昌区)如图,在△ABC中,AB解:延长AD 交BC 于点E,过点C 作CH⊥AB 于点 H. ∴可设CH=2a,则 BD=BD,∴△ABD≌△EBD,∴AD=ED,∴S△mE=S△mA,S△cmx=S△OA,∴S△ND= S△ANC=3
典题精练
技巧三 角平分线为轴→构翻折型全等
1.(2024包头)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,E 是对角线AC 上的一点,EF⊥AB 于点F,连接DE.若CE=AF,则 DE 的长为 2 .
解:连接BE.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=BC,AC平分∠BAD,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴BE=DE.∵∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴∠EAF=60°,AC=AB=6.设CE=AF=a,则.AE=2a,EF= a,∴AC=AE+CE=2a+a=6,∴a=2,∴AF=2,EF=2 ,BF=AB-AF=4,
技巧四 角平分线十“平行”→构等腰三角形
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D 是BC边上的一点,连接AD,将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的点E 处.若 则 BE 的长为 3 .
解:过点C 作CF∥AB,交AD 的延长线于点F,则∠F=∠DAE.由折叠知,DE=CD= ,∠DAE=∠CAF,∴∠F=∠CAF,∴CF=CA.∵CF∥AB,
..可设CF=CA=a,则AB=2a,
∴在 Rt△ABC中, (负值已舍),∴AC=AE=3,AB=6,∴BE=AB-AE=3.
类型突破3 角度问题
典例精讲
技巧一 知特殊角→等角代换构直角
【例1】 如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,点 D,E 在边BC 上,且∠DAE=60°.若 则 BD 的长为
解:过点A 作AG⊥BC 于点G.∵AB=AC=4,∠BAC=120°,∴AG= AB= =
技巧二 发现特殊角→构直角三角形
【例2】 (2023 贵州改)如图,在矩形 ABCD 中, E 为矩形内一点，且∠BAE=75°,∠BCE=60°,则CE 的长为
解:过点A 作AG⊥CE,交CE 的延长线于点G,连接AC.∵四边形ABCD 是矩形,
∴AC=2AB=2.∵∠BAE=75°,∠BCE=60°,∴∠CAE=15°,∠ACE=30°,
典题精练
技巧三 共边二倍角→延长构等腰三角形
1.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,AB=AC=5,BC=6,且. 则AD的长为
解:延长AD,BC 交于点Q,过点 A 作AE⊥BC 于点 E.∵AB=AC=5,BC=6,∴ ∠Q=2∠CBD,∴∠CBD=∠Q,∴DB=DQ.∵∠BCD=90°,∴BC=CQ=6,
技巧四 轴对称(翻折)→构二倍角
2.(2023武汉外校)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D 是AB 上一点,且∠ACD=2∠BCD.若AD=26,BD=11,则 BC 的长为 55 .
解:将△BCD 沿CD 翻折得到△ECD,延长DE 交AC 于点 F.由翻折知DE=BD=11,∠DEC=∠FEC=∠B=90°,∠DCE=∠BCD.∵∠ACD=2∠BCD,∴∠DCE=∠FCE,∴△DCE≌△FCE,∴EF=DE=11,DF=22.
∵∠ADF+∠BDE=∠BDE+∠BCE=180°,∴∠ADF=∠BCE=2∠BCD= ∴可设AC=13a,则CD=1
类型突破4 列函数式
典例精讲
技巧一 共线共端点线段之比→构“X(A)”型相似
【例1】 (2024武汉中考)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E,F,记正方形ABCD 的面积为S ,正方形 MNPQ的面积为S .若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示 的值是 1
解:过点A 作AG⊥AM,交FE 的延长线于点G,设AM=a.由题意知,△AGM 是等腰直角三角形,∴AG=AM=a.可证△AEG∽△BEP,∴BF=BE=k,∴BP= ka=AN.∵BN=AM=a,∴PN=BP-BN=(k-1)a,∴S =AB =AN +BN =
技巧二 翻折的对应角相等→导全等或相似
【例2】 (2023武汉中考)如图,DE 平分等边△ABC 的面积,折叠△BDE 得到△FDE,AC·分别与DF,EF 相交于点G,H.若 DG=m,EH=n,用含 m,n 的式子表示GH 的长是
解:∵△ABC 是等边三角形,△FDE 是由△BDE 折叠得到,∴∠A=∠B=∠C=∠F=60°,S△FDE=S△BDE.∵DE 平分△ABC 的面积,∴S△FGH=S△AD +S△CEH,∵∠AGD=∠FGH,②,得
典题精练
技巧三 轴对称(翻折)→线段相等列方程
1.(武汉中考)如图,折叠矩形纸片ABCD,使点 D 落在边AB 上的点M 处,EF 为折痕,AB=1,AD=2.设AM 的长为t，用含 t 的式子表示四边形CDEF 的面积是
解:设DE=EM=x,则 设CF=y,则FB=2-y.连接 FM,FD,则FD ∴四边形CDEF 的面积为
技巧四 “三垂直”→构“一线三直角”相似
2.(2024硚口区)如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别在AB,BC 边(不含端点)上运动,满足AE=2BF,正方形 EFGH 的边 HG 所在直线交AD 于点I,交 BC 于点 J,记四边形 AEHI的面积为S ,△FGJ 的面积为S ,∠BEF为α,用含α的三角函数的式子表示 的值是
解:延长AD,EH 交于点 P.∵四边形ABCD,EFGH 都是正方形,∴可证△AEP∽ 即PE=2EF.∵EF=EH=FG,∴PH=EH=FG,∴可证△PIH≌△FJG,∴S△PIH=S .1可证
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实践操作1 动态图形与分类讨论
典例精讲
类型一 图形状态变化的分类讨论
【例】 (2024河南改)定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,分别在边 BC,AC上取点 M,N,使四边形 ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，BN 的长为 J 解:由定义知MN⊥AC,∴△CMN∽△CAB,
①当AB=BM 时,如图1,则
②当
AN=MN 时,如图 .可设AN=MN=3a,则CN=4a,∴AC=AN+CN=7a=5, 。
③当AB=AN 时,则△ABM≌△ANM,∴BM=NM,故不符合题意.综上所述,BN 的长为 或
典题精练
类型二 旋转方向不明的分类讨论
1.(2023绥化)在等腰三角形ABC 中,∠A=120°,AB=2.将△ABC 绕点B 旋转45°得到△A′BC'(点 A 与A'对应),延长C'A'交直线BC 于点D,则A'D 的长为 -2
解:过点 D 作DG⊥BC'于点G.∵∠A=120°,AB=AC=2,
①当△ABC 绕点 B 顺时针旋转45°时(如图1),则 ∴DG=BG.设DG=BG=a,则( 'D=
②当△ABC 绕点B 逆时针旋转45°时(如图2),则∠DBG= 同理可求 .综上所述，A'D的长为 或
类型三 动点位置不明的分类讨论
2.(2024上海)在 ABCD 中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l 翻折,使得点C,D 的对应点C',D'都恰好落在直线AB 上.若AC':AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC 的值为 或 .
解：设直线 l 交 BC 于点 F.由翻折的性质，知 ∠FC'D'=∠FCD.∵AB∥CD,∴∠B+∠FCD =180°= BC.过点 F 作 FG⊥BC'于点 G,则 设 则
①当点 C′在线段AB 上时(如图1), ,∴在 Rt△BFG中 ②当点C′在线段BA 的延长线上时(如图2)，1 ∴在 Rt△BFG 中 综上所述,cos∠ABC 的值为 或
实践操作2 图形拼接
典例精讲
【例】 (2024东湖高新区)如图1,在 Rt△ABC 中, 四边形ACDE,四边形CBFG 都是正方形，过C，B两点将正方形CBFG分别沿与AB 平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形 ACDE，△ABC 一起拼成图2，点 H 在BP 上.若 则tan∠BAC 的值为
解:如图1,由题意,得BT=BH,TN=PH.设BT=5a,则TN=PH=7a,BN=12a.∵四边形CBFG 是正方形,CM⊥BN,∴△BCM≌△FBN,∴CM=BN=12a.可证△BCT∽△MBT,∴BT =CT·MT.设CT=x,则MT=12a-x, 即
∴x=(6± )a.∵AC可证∠BAC=∠CBT,∴tan∠BAC=tan∠CBT=CT= +
典题精练
类型一 方案选择+相似
1.(2024青山区)如图，将一个边长为8的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形.若裁切线AG 的长为10，则裁切线MN 的长是 3.9 .
解：依题意，将正方形ABCD 剪拼后得到矩形AGFE，如图所示.
∴EF=AG=10,MN=HF,∠1=∠2,∠3=∠4,∠E=∠F=∠D=90°,
∴△ADG∽△AEB,∴AE:AD=AB:AG,即AE:8=8:10,∴AE=6.4,
∴BE=√AB -AE =4.8,∴BF=EF-BE=10-4.8=5.2.
∵△ABE∽△BHF,∴AE:BF=BE:HF,即6.4:5.2=4.8:HF,
∴HF=3.9,∴MN=HF=3.9,即裁切线MN 的长是3.9.
类型二 面积关系+方程
2.(2024硚口区)如图1,四边形ABCD 纸片满足AB∥CD,CD解：由折叠的性质，得正方形 EFGH 的面积为四边形ABCD 的面积的一半， 正方形 EFGH 的面积为 设CD=x,则FN=FM+MN=3+x=BF,∵四边形ABCD 的面积为 解得

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