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板块三 函数及其图象
专题突破1 一次函数的图象与性质
典例精讲
【例1】 将直线y=2x+1向右平移2个单位后所得图象的函数解析式为( )
A. y=2x+5 B. y=2x+3 C. y=2x-2 D. y=2x-3
【例2】 关于x的一次函数y=(2a+1)x+a--2,若y随x的增大而增大,且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a 的取值范围是 .
【例3】 已知一次函数y= kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则
【例4】(2024广东)已知不等式 kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y= kx+b的图象大致是( )
典题精练
类型一 一次函数图象的平移
1.若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m 的值为 .
类型二 一次函数的增减性
2.(2024长春)已知直线y= kx+b(k,b是常数)经过点(1,1),且y随x的增大而减小,则b的值可以是 .(写出一个即可)
类型三 一次函数与方程(不等式)
3.(2024扬州)如图,已知一次函数y= kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点.若OA=2,OB=1,则关于x的方程 kx+b=0的解为 .
4.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k<0)的图象与直线 都经过点A(3,1),当 时，根据图象可知x 的取值范围是( )
A. x>3 B. x<3 C. x<1 D. x>1
专题突破2 反比例函数的图象与性质
典例精讲
【例1】 (2023武汉中考)关于反比例函数 下列结论正确的是( )
A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小D.图象经过点(a,a+2),则a=1
【例2】(2024北京)在平面直角坐标系xOy中，若函数 的图象经过点(3，y )和(--3,y ),则 的值是 .
典题精练
类型一 反比例函数的图象与性质
1.(2024陕西)已知点A(-2,y )和点 B(m,y )均在反比例函数 的图象上.若0类型二 k 的几何意义
2.(2024河池)如图,点 P(x,y)在双曲线 上,PA⊥x轴,垂足为点 A.若S△AOP=2,则该反比例函数的解析式为 .
类型三 反比例函数与不等式
3.(2024威海)如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于点A(--1,m),B(2,-1)..则满足 的x的取值范 围 .
4.如图,直线y= kx+b(k,b为常数)与双曲线 (m为常数)相交于A(2,a),B(--1,2)两点.
(1)在双曲线 上任取两点M(x ,y )和N(x ,y ),若 则y 和y 的大小关系是 ；
(2)关于x的不等式 的解集是 .
专题突破3 二次函数的图象与性质
典例精讲
【例】 下列关于二次函数 的说法正确的是( )
A.图象是一条开口向下的抛物线 B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时，y随x增大而增大 D.图象的顶点坐标是(2，-3)
典题精练
类型一 二次函数的图象与性质
1.(2024陕西改)已知一个二次函数 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向上 B.该函数有最小值
C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1
2.已知二次函数 下列说法正确的是( )
A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3
类型二 二次函数图象的平移
3.(2024包头)将抛物线 向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为( )
4.(2024内江改)已知二次函数 的图象向左平移2个单位长度得到抛物线 C，则点 P(2,9) (填“在”或“不在”)抛物线 C 上.
类型三 二次函数与方程、不等式
5.已知二次函数 当y>0时,-26.已知m>n>0,若关于x的方程 的解为 关于x 的方程 的解为 则下列结论正确的是( )
类型四 二次函数的图象与坐标轴的交点
7.(2024宁夏)若二次函数 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 .
8.(2024武汉中考)抛物线 交x轴于A,B 两点(点 A 在点 B 的右边),交 y 轴于点C.直接写出点 A，B，C的坐标.
专题突破4 待定系数法求二次函数的解析式
典例精讲
【例】 已知抛物线的顶点(2，k)在直线y=x+1上，且经过点(1，1)，求抛物线的解析式.
典题精练
类型一 由已知点求解析式
1.(2024甘肃)如图,抛物线 交x轴于A,C 两点,交 y轴于点B, OB=OC.求此抛物线的解析式.
类型二 由顶点求解析式
2.(2024浙江)已知二次函数 (b,c为常数)的图象经过点( ，对称轴为直线x= 求二次函数的解析式.
类型三 由几何条件求解析式
3.二次函数的图象与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴正半轴交于点C，O为坐标原点， 求二次函数的解析式.
4.已知抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于A,B 两点(点A 在点B 左侧).若 的面积为8，求抛物线的解析式.
专题突破5 利用图形变换求二次函数的解析式
典例精讲
【例】 已知抛物线 与抛物线 C 关于 y 轴对称，求抛物线( 的解析式.
典题精练
1.(2024烟台)开口向下的抛物线 与x轴交于A,B 两点(点 A 在点 B 的左边),与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为x=-1.将抛物线y 绕点O旋转 后得到新抛物线 y ，求抛物线 y 和y 的解析式.
2.(2024上海)已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过点 和B(5,0),求平移后新抛物线的解析式.
3.在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长度，求所得到的抛物线的解析式.
4.已知抛物线 经过点 A(1,0).
(1)求抛物线L 的解析式；
(2)将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L .若抛物线L 的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L 上，求m 的值.
专题突破6 含参数的二次函数与定点、定直线
典例精讲
【例1】 抛物线 过定点 P，求定点 P 的坐标.
【例2】 已知抛物线 的顶点为 A，求证：抛物线的顶点 A 在定直线l上，并求定直线l 的解析式.
典题精练
1.抛物线 过一个定点，求该定点的坐标.
2.抛物线 与x轴分别交于A,B 两点(A 在B 的左侧),求AB 的长.
3.二次函数 满足b-c=2,则这个函数的图象一定经过某一个定点，求这个定点的坐标.
4.已知抛物线 求证：抛物线的顶点在一条定直线上.
板块三 函数及其图象
专题突破1 一次函数的图象与性质
典例精讲
【例1】 将直线y=2x+1向右平移2个单位后所得图象的函数解析式为( D )
A. y=2x+5 B. y=2x+3 C. y=2x-2 D. y=2x-3
【例2】 关于x的一次函数y=(2a+1)x+a-2,若y随x的增大而增大,且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a 的取值范围是
【例3】 已知一次函数y= kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则
【例4】(2024广东)已知不等式 kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y= kx+b的图象大致是( B )
典题精练
类型一 一次函数图象的平移
1.若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m的值为 5 .
类型二 一次函数的增减性
2.(2024长春)已知直线y= kx+b(k,b是常数)经过点(1,1),且y随x的增大而减小,则b的值可以是 2(答案不唯一) .(写出一个即可)
类型三 一次函数与方程(不等式)
3.(2024扬州)如图,已知一次函数y= kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点.若OA=2,OB=1,则关于x的方程 kx+b=0的解为 x=-2 .
4.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k<0)的图象与直线 都经过点A(3,1),当 时，根据图象可知x 的取值范围是( A )
A. x>3 B. x<3 C. x<1 D. x>1
专题突破2 反比例函数的图象与性质
典例精讲
【例1】 (2023武汉中考)关于反比例函数 下列结论正确的是( C )
A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小D.图象经过点(a,a+2),则a=1
【例2】(2024北京)在平面直角坐标系xOy中，若函数 的图象经过点(3，y )和(--3,y ),则 的值是 0 .
典题精练
类型一 反比例函数的图象与性质
1.(2024陕西)已知点A(-2,y )和点 B(m,y )均在反比例函数 的图象上.若0类型二 k 的几何意义
2.(2024河池)如图,点 P(x,y)在双曲线 上,PA⊥x轴,垂足为点 A.若S△AOP=2,则该反比例函数的解析式为
类型三 反比例函数与不等式
3.(2024威海)如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于点A(-1,m),B(2,--1).则满足 的x的取值范围 -1≤x<0或x≥2 .
4.如图,直线y= kx+b(k,b 为常数)与双曲线 (m为常数)相交于 A(2,a),B(--1,2)两点.
(1)在双曲线 上任取两点M(x ,y )和N(x ,y ),若 则y 和y 的大小关系是 y >y ;
(2)关于x 的不等式 的解集是 x<-1或0解:(1)当 时，
(2)依据图象可知 的解集为x<-1或0专题突破3 二次函数的图象与性质
典例精讲
【例】 下列关于二次函数 的说法正确的是( D )
A.图象是一条开口向下的抛物线 B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x 增大而增大 D.图象的顶点坐标是(2，-3)
典题精练
类型一 二次函数的图象与性质
1.(2024陕西改)已知一个二次函数 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( D )
A.图象的开口向上 B.该函数有最小值
C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1
2.已知二次函数 下列说法正确的是( C )
A.对称轴为直线x=--2 B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3
类型二 二次函数图象的平移
3.(2024包头)将抛物线 向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为( A )
4.(2024内江改)已知二次函数 的图象向左平移2个单位长度得到抛物线 C，则点 P(2,9) 在 (填“在”或“不在”)抛物线 C 上.
类型三 二次函数与方程、不等式
5.已知二次函数 当y>0时,-26.已知m>n>0,若关于x 的方程 的解为 关于 x 的方程 的解为 则下列结论正确的是( B )
类型四 二次函数的图象与坐标轴的交点
7.(2024宁夏)若二次函数 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是
8.(2024武汉中考)抛物线 交x轴于A,B 两点(点 A 在点 B 的右边),交 y 轴于点C.直接写出点 A，B，C的坐标.
解:A(1,0),B(-5,0),c(0,-
专题突破4 待定系数法求二次函数的解析式
典例精讲
【例】 已知抛物线的顶点(2，k)在直线y=x+1上，且经过点(1，1)，求抛物线的解析式.
解:将(2,k)代入y=x+1得k=3,设抛物线的解析式为
将(1,1)代入. ,得a+3=1,解得a=-2,
∴抛物线解析式为
典题精练
类型一 由已知点求解析式
1.(2024甘肃)如图,抛物线 交x轴于A,C 两点,交 y轴于点B,5OA=OB=OC.求此抛物线的解析式.
解:当x=0时,y=-5, ∴OB=5=5OA=OC,∴A(1,0)、C(-5,0),
解得
故抛物线的解析式为
类型二 由顶点求解析式
2.(2024浙江)已知二次函数 (b,c为常数)的图象经过点(--2，5)，对称轴为直线x= 求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为 把(-2,5)代入,得 解得
∴二次函数的解析式为 或
类型三 由几何条件求解析式
3.二次函数的图象与x轴交于A(--1，0)，B(5，0)两点，与y轴正半轴交于点C，O为坐标原点， 求二次函数的解析式.
解： ∴点C 的坐标为(0，5)，设二次函数的解析式为 ∵二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,且过点C(0,5),
代入，得 解得 .二次函数的解析式为
4.已知抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于A,B 两点(点A 在点B 左侧).若△ABC 的面积为8,求抛物线的解析式.
解：设抛物线的解析式为 依题意，得 解得AB=4,
∵点A,B关于直线x=1对称,∴A(-1,0),B(3,0),∴4a+4=0,
∴a=-1，∴抛物线的解析式为
专题突破5 利用图形变换求二次函数的解析式
典例精讲
【例】 已知抛物线 与抛物线C 关于y 轴对称，求抛物线( 的解析式.
解：抛物线
∵抛物线C 与 C 关于 y轴对称.
∴抛物线C 的解析式为
典题精练
1.(2024烟台)开口向下的抛物线 与x 轴交于A,B 两点(点 A 在点 B 的左边),与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为x=--1.将抛物线y 绕点O 旋转180°后得到新抛物线y ，求抛物线 y 和y 的解析式.
解:由题意可知A(-3,0),B(1,0),C(0,3),∴可求得
2.(2024上海)已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过点 和B(5,0),求平移后新抛物线的解析式.
解：设平移抛物线 后得到的新抛物线为
J 解得新抛物线的解析式为
3.在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长度，求所得到的抛物线的解析式.
解：将抛物线 绕原点旋转180°后所得抛物线为 再将抛物线 向下平移5个单位长度得 ∴所得到的抛物线的解析式为
4.已知抛物线 经过点A(1,0).
(1)求抛物线L 的解析式；
(2)将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L .若抛物线L 的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L 上，求m 的值.
解:(1)把A(1,0)代入. 得 解得a=1,
(2)抛物线 的顶点为(-1,-4),
将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L ，则抛物线L 的顶点为(-1，-4+m)，而(-1,-4+m)关于原点的对称点为(1,4-m),把(1,4-m)代入
得1 +2×1-3=4-m,解得m=4.
专题突破6 含参数的二次函数与定点、定直线
典例精讲
【例1】 抛物线 过定点 P，求定点 P 的坐标.
解： 当 时,x=±2,代入,得y=-4,
∴定点P(2,-4)或(-2,-4).
【例2】 已知抛物线 的顶点为 A，求证：抛物线的顶点 A 在定直线l上，并求定直线l的解析式.
解
∴点A 在直线 上，即直线l的解析式为
典题精练
1.抛物线 过一个定点，求该定点的坐标.
解： ,当x=1时,y=-5,∴定点为(1,-5).
2.抛物线 与x轴分别交于A,B 两点(A 在B 的左侧),求AB 的长.解：由 得 解得
∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=3-(-1)=4.
3.二次函数 满足b—c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，求这个定点的坐标.
解:当x=-1时,y=1-b+c=1--(b-c),∵b-c=2,∴y=1-2=-1,∴这个定点是(-1,-1).
4.已知抛物线 求证：抛物线的顶点在一条定直线上.
解：
∴抛物线的顶点坐标为
∴抛物线的顶点在定直线 上.

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