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板块四 统计与概率
专题突破1 与统计有关的概念
典例精讲
【例1】 (2024赤峰)在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是( )
A.为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B.了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D.甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差 则发挥稳定的是甲
【例2】 (2024绥化)某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表.如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的( )
鞋码 36 37 38 39 40
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
典题精练
类型一 全面调查与抽样调查
1.(2024镇江)下列各项调查适合普查的是( )
A.长江中现有鱼的种类 B.某班每位同学视力情况
C.某市家庭年收支情况 D.某品牌灯泡使用寿命
类型二 总体、个体、样本、样本容量
2.某校有4 000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是( )
A.总体是该校 4 000 名学生的体重 B.个体是每一个学生
C.样本是抽取的400名学生的体重 D.样本容量是 400
类型三 平均数、众数、中位数、方差
3.申报某个项目时，某7个区域提交的申报表数量的前5名的数据统计如图所示，则这7个区域提交该项目的申报表数量的中位数是( )
A.8 B.7
C.6 D.5
4.(2024江西)如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是( )
A.这组数据的极差是4 天
B.这组数据的众数是15 天
C.这组数据的中位数是15天
D.这组数据的平均数是15天
专题突破2统计单图表
典例精讲
类型一 条形统计图
【例】 (2024 日照)如图是某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图，则该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( )
A.9,9 B.14,9 C.14,8.5 D.9,8.5
典题精练
类型二 折线统计图
1.血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力.收缩压的正常范围是 90~140mmHg,舒张压的正常范围是 60~90 mmHg.现五人 A，B，C，D，E的血压测量值统计如图所示，则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有 个.
类型三 扇形统计图
2.(2024济宁)为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查(每名同学只选其中的一类)，依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图(如图所示).下列说法正确的是( )
A.班主任采用的是抽样调查 B.喜爱动画节目的同学最多
C.喜爱戏曲节目的同学有6名 D.“体育”对应扇形的圆心角为 72°
类型四 频数分布直方图
3.(2024广州)为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地 50个公园的用地面积,按照0A. a 的值为20
B.用地面积在8C.用地面积在4D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
类型五 频数分布表
4.某厂生产了1 000 只灯泡.为了解这1 000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：小时)，数据整理如下：
使用寿命 x<1 000 1 000≤x<1 600 1 600≤x<2 200 2 200≤x<2 800 x≥2 800
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000 只灯泡中使用寿命不小于2 200小时的灯泡的数量为 只.
专题突破3 统计双图表(一)统计表与扇形图
典例精讲
【例】 (2024武汉中考)为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分.随机抽取m 名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表.根据图表信息，解答下列问题：
(1)直接写出m，n的值和样本的众数；
(2)若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数.
测试成绩频数分布表 测试成绩扇形统计图
成绩 频数
4 12
3 a
2 15
1 b
0 6
典题精练
(2023武汉中考)某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t(单位：h)作为样本，将收集的数据整理后分为 A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为0.5,0.4,0.4,0.4,0.3,绘制成如下不完整的统计图表.
请根据所给信息，解答下列问题.
(2)本次调查的样本容量是 ，B组所在扇形的圆心角的大小是 ；
(3)若该校有 1 200名学生，估计该校学生劳动时间超过1 h的人数.
各组劳动时间的频数分布表 各组劳动时间的扇形统计图
组别 时间t/h 频数
A 0B 0.5C 1D 1.5E t>2 8
中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破4 统计双图表(二)条形图与扇形图
典例精讲
【例】 (2024天津)为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间(单位：h)，随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1 和图2.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空:a 的值为 ,图1中 m 的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ;
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9 h的人数约为多少.
典题精练
(2024 江汉区)请阅读以下材料，并解决下列问题：
调查主题：某中学八年级学生的春游需求
调查人员：该中学数学兴趣小组
调查方法：抽样调查
背景介绍：某中学计划组织八年级学生前往武汉市5个景点中的1个开展春游活动，这5个景点为：A.黄鹤楼；B.晴川阁；C.东湖；D.省博；E.园博园.该中学数学兴趣小组针对八年级学生的意向目的地开展抽样调查并出具如下调查报告(注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点).
报告内容如图所示(说明：以下仅展示部分内容).
(1)求本次被抽样调查的学生人数；
(2)在扇形统计图中，求“A.黄鹤楼”对应的圆心角度数；
(3)该校八年级学生为500人，估计八年级意向前往“E.园博园”的学生人数.
专题突破5 必然事件、不可能事件、随机事件
典例精讲
【例1】 (2024武汉中考)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( )
A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件
【例2】 (2024湖北中考)在下列事件中，必然事件是( )
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3 B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D.任意画一个三角形，其内角和是180°
【例3】 (2023武汉中考)掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A.点数的和为1 B.点数的和为6 C.点数的和大于12 D.点数的和小于 13
典题精练
1.(2024洪山区)下列成语，是必然事件的是( )
A.画饼充饥 B.不期而遇 C.水中捞月 D.旭日东升
2.下列事件中的必然事件是( )
A.地球绕着太阳转 B.射击运动员射击一次，命中靶心
C.天空出现三个太阳 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3.下列事件是必然事件的是( )
A.四边形内角和是360° B.校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C.掷一枚硬币时，正面朝上 D.打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
4.(2024江汉区)事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：掷一枚骰子2次，向上一面的点数和是13，下列说法中，正确的是( )
A.事件1是必然事件，事件2是不可能事件 B.事件1是随机事件，事件2是不可能事件
C.事件1是随机事件，事件2是必然事件 D.事件1是不可能事件，事件2是随机事件
5.(2023武汉四调)袋子中装有3个黑球和1个白球，随机摸出两个球.下列事件是必然事件的是( )
A.至少摸出一个黑球 B.至少摸出一个白球
C.摸出两个黑球 D.摸出两个白球
6.(2024青山区)下列关于事件的说法，错误的是( )
A.“通常温度降到0℃以下时，纯净的水结冰”是必然事件
B.“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件
C.“从地面发射1枚导弹，未击中目标”是不可能事件
D.“在平面内，任意一个五边形的外角和都为360°”是必然事件
专题突破6 一步概率
典例精讲
【例1】 有7 张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是( )
【例2】 (2024辽宁)一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 的是( )
A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出绿球 D.摸出黑球
典题精练
类型一 概率的意义
1.(2024贵州)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( )
A.小星定点投篮1次，不一定能投中 B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4 次 D.小星定点投篮4 次，一定投中1 次
类型二
2.(2024资阳)一个不透明的袋中装有6个白球和m 个红球，这些球除颜色外无其他差别.充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为 ,则m= .
3.(2024汉阳区)在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是( )
A.
4.从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为( )
A. B. C. D.
类型三 几何概率
5.(2024青山区)如图,4×2的正方形网格中,在A,B,C,D 四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为 .
6.(2024徐州)如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 ABCD 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为( )
A. B. C.
专题突破7 二步概率(一)选填题
典例精讲
【例1】 (2024武汉中考)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是( )
A. B. C. D.
【例2】 (2024武汉三调)武汉旅游资源丰富，“五一”期间，甲、乙两位同学分别在黄鹤楼、东湖、动物园三个景点随机选择一个游玩，则他俩选择同一个景点的概率是( )
B. C. D. A.
【例3】 (2022武汉中考)班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是( )
A. B. C. D.
【例4】 (2022武汉四调)如图是两个可以自由转动的质地均匀的转盘，每个转盘被分成3个相同的扇形.游戏规定：小美与小丽分别转动转盘 A，B，指针指向的数字较大者获胜.小美获胜的概率是( )
A. B. C. D.
典题精练
1.(2023武汉中考)某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100 米”“400 米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( )
A. B. C. D.
2.(2023江岸区)一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 .
3.(2023武汉四调)“石头、剪子、布”是大家常玩的游戏，规则是：甲、乙两人随机做出“石头”“剪子”“布”三种手势中的一种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，布”赢“石头”，手势相同不分输赢.则甲不输的概率是 .
4.(2024江岸区)将A，B，C，D四个字母随机标注在一个四边形的四个顶点处，则AC恰好为对角线的概率为 .
5.(2024黄陂区)一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
专题突破8 二步概率(二)解答题
典例精讲
【例】 如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净.
现将这4 张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1张卡片，求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率.
典题精练
(2024甘肃)在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
专题突破9 三步概率
典例精讲
【例1】 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“□□□”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A. B. C. D.
【例2】 (2024武昌区)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段，然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是 .
典题精练
1.小明步行上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等.他上学经过三个路口时，不全是红灯的概率是( )
A. B. C. D.
2.(2024江岸区)某文学名著上、中、下各1册，随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是 .
3.(2024汉阳区)假定鸟卵孵化后，孵化出的雏鸟是雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的概率是 .
4.某中学举行校庆文艺汇演，准备随机从七、八、九三个年级各选出1名学生担任晚会主持人，现已知这三个年级每个年级分别选送一男一女，共6名学生作为备选人.
(1)若先从三名女同学中随机选出，其中一位恰好是八年级的概率是 ；
(2)请你利用树状图求选出“一男两女”三名晚会主持人的概率.
专题突破10统计与概率
典例精讲
类型一 用频率估计概率
【例】 (2024江岸区)某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是( )
A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
典题精练
类型二 统计与概率结合
(2023黄冈、孝感、咸宁)打造书香文化，培养阅读习惯.崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
根据图中信息，请回答下列问题：
(1)条形图中的m= ,n= ,文学类书籍对应扇形圆心角等于 度；
(2)若该校有 2 000 名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
(3)甲同学从 A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或列表法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率.
板块四 统计与概率
专题突破1 与统计有关的概念
典例精讲
【例1】 (2024赤峰)在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是( D )
A.为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B.了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D.甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差 ，则发挥稳定的是甲
【例2】 (2024绥化)某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表.如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的( C )
鞋码 36 37 38 39 40
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
典题精练
类型一 全面调查与抽样调查
1.(2024镇江)下列各项调查适合普查的是( B )
A.长江中现有鱼的种类 B.某班每位同学视力情况
C.某市家庭年收支情况 D.某品牌灯泡使用寿命
类型二 总体、个体、样本、样本容量
2.某校有4 000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是( B )
A.总体是该校4 000名学生的体重 B.个体是每一个学生
C.样本是抽取的400名学生的体重 D.样本容量是400
类型三 平均数、众数、中位数、方差
3.申报某个项目时，某7个区域提交的申报表数量的前5名的数据统计如图所示，则这7个区域提交该项目的申报表数量的中位数是( C )
A.8 B.7
C.6 D.5
4.(2024江西)如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是( D )
A.这组数据的极差是 4天
B.这组数据的众数是 15 天
C.这组数据的中位数是15天
D.这组数据的平均数是 15 天
专题突破2统计单图表
典例精讲
类型一 条形统计图
【例】 (2024日照)如图是某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图，则该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( A )
A.9,9 B.14,9 C.14,8.5 D.9,8.5
典题精练
类型二 折线统计图
1.血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力.收缩压的正常范围是90~140mmHg,舒张压的正常范围是 60~90 mmHg.现五人 A，B，C，D，E的血压测量值统计如图所示，则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有 3 个.
类型三 扇形统计图
2.(2024济宁)为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查(每名同学只选其中的一类)，依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图(如图所示).下列说法正确的是( D )
A.班主任采用的是抽样调查 B.喜爱动画节目的同学最多
C.喜爱戏曲节目的同学有6名 D.“体育”对应扇形的圆心角为72°
类型四 频数分布直方图
3.(2024广州)为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积,按照0A. a 的值为20
B.用地面积在8C.用地面积在4D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
类型五 频数分布表
4.某厂生产了1 000 只灯泡.为了解这1 000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：小时)，数据整理如下：
使用寿命 x<1 000 1 000≤x<1 600 1 600≤x<2 200 2 200≤x<2 800 x≥2 800
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000 只灯泡中使用寿命不小于2 200小时的灯泡的数量为 460 只.
专题突破3 统计双图表(一)统计表与扇形图
典例精讲
【例】 (2024武汉中考)为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分.随机抽取m 名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表.根据图表信息，解答下列问题：
(1)直接写出m，n的值和样本的众数；
(2)若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数.
解：(1)依题意 测试成绩频数分布表 测试成绩扇形统计图
成绩 频数
4 12
3 a
2 15
1 b
0 6
b=60-12-18-15-6=9,
∵3分的人数为18个，出现次数最多，∴众数为3分；
(人),
答：该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数为450人。
典题精练
(2023武汉中考)某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t(单位：h)作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为0.5,0.4,0.4,0.4,0.3,绘制成如下不完整的统计图表.
请根据所给信息，解答下列问题. 各组劳动时间的频数分布表 各组劳动时间的扇形统计图
(2)本次调查的样本容量是 60 ，B组所在扇形的圆心角的大小是 72° ；
(3)若该校有1 200名学生，估计该校学生劳动时间超过1 h的人数.
解:(1)0.4;
(2)依题意,得15÷25%=60,∴a=60-5-20-15-8=12,
故答案为60,72°;
(名).
答：估计该校学生劳动时间超过1 h的人数为860.
专题突破4 统计双图表(二)条形图与扇形图
典例精讲
【例】 (2024天津)为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间(单位：h)，随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空:a 的值为 50 ,图1中 m 的值为 34 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 8 和 8 ;
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9 h的人数约为多少.
解:(1)50,34,8,8;
∴这组数据的平均数是8.36；
(3)∵500×30%=150(人).
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数为150.
典题精练
(2024江汉区)请阅读以下材料，并解决下列问题：
调查主题：某中学八年级学生的春游需求
调查人员：该中学数学兴趣小组
调查方法：抽样调查
背景介绍：某中学计划组织八年级学生前往武汉市5个景点中的1个开展春游活动，这5个景点为：A.黄鹤楼；B.晴川阁；C.东湖；D.省博；E.园博园.该中学数学兴趣小组针对八年级学生的意向目的地开展抽样调查并出具如下调查报告(注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点).
报告内容如图所示(说明：以下仅展示部分内容).
(1)求本次被抽样调查的学生人数；
(2)在扇形统计图中，求“A.黄鹤楼”对应的圆心角度数；
(3)该校八年级学生为500人，估计八年级意向前往“E.园博园”的学生人数.
解:(1)15÷15%=100(人).
答：本次被抽样调查的学生人数为100；
(2)“A.黄鹤楼”对应的圆心角度数为360×30%=108°,
答：“A.黄鹤楼”对应的圆心角度数为 108°；
(人).
答：估计八年级意向前往“E.园博园”的学生人数为65.
专题突破5必然事件、不可能事件、随机事件
典例精讲
【例1】 (2024武汉中考)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( A )
A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件
【例2】 (2024湖北中考)在下列事件中，必然事件是( D )
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3 B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D.任意画一个三角形，其内角和是180°
【例3】 (2023武汉中考)掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( B )
A.点数的和为1 B.点数的和为6 C.点数的和大于12 D.点数的和小于 13
解：A.点数和为1，是不可能事件，不符合题意；B.点数和为6，是随机事件，符合题意；C.点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；D.点数的和小于13，是必然事件，不符合题意.故选B.
典题精练
1.(2024洪山区)下列成语，是必然事件的是( D )
A.画饼充饥 B.不期而遇 C.水中捞月 D.旭日东升
2.下列事件中的必然事件是( A )
A.地球绕着太阳转 B.射击运动员射击一次，命中靶心
C.天空出现三个太阳 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3.下列事件是必然事件的是( A )
A.四边形内角和是360° B.校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C.掷一枚硬币时，正面朝上 D.打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
4.(2024江汉区)事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：掷一枚骰子2次，向上一面的点数和是 13，下列说法中，正确的是( B )
A.事件1是必然事件，事件2是不可能事件 B.事件1是随机事件，事件2是不可能事件
C.事件1是随机事件，事件2是必然事件 D.事件1是不可能事件，事件2是随机事件
5.(2023武汉四调)袋子中装有3个黑球和1个白球，随机摸出两个球.下列事件是必然事件的是( A )
A.至少摸出一个黑球 B.至少摸出一个白球
C.摸出两个黑球 D.摸出两个白球
6.(2024青山区)下列关于事件的说法，错误的是( C )
A.“通常温度降到0℃以下时，纯净的水结冰”是必然事件
B.“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件
C.“从地面发射1枚导弹，未击中目标”是不可能事件
D.“在平面内，任意一个五边形的外角和都为360°”是必然事件
专题突破6 一步概率
典例精讲
【例1】 有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是( B )
【例2】 (2024辽宁)一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 的是( B )
A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出绿球 D.摸出黑球
典题精练
类型一 概率的意义
1.(2024贵州)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( A )
A.小星定点投篮1次，不一定能投中 B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4次 D.小星定点投篮4次，一定投中1次
类型二
2.(2024资阳)一个不透明的袋中装有6个白球和m 个红球，这些球除颜色外无其他差别.充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为 ,则m= 9 .
3.(2024汉阳区)在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是( A )
A. B. C. D.
4.从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为( B )
A. B. C. D.
类型三 几何概率
5.(2024青山区)如图,4×2的正方形网格中,在A,B,C,D 四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为 .
6.(2024徐州)如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 ABCD 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为( C )
A. B. C.
专题突破7 二步概率(一)选填题
典例精讲
【例1】 (2024武汉中考)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是( D )
A. B. C. D.
【例2】 (2024武汉三调)武汉旅游资源丰富，“五一”期间，甲、乙两位同学分别在黄鹤楼、东湖、动物园三个景点随机选择一个游玩，则他俩选择同一个景点的概率是( C )
A. B. C. D.
【例3】 (2022武汉中考)班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是( C )
A. B. C. D.
【例4】 (2022武汉四调)如图是两个可以自由转动的质地均匀的转盘，每个转盘被分成3个相同的扇形.游戏规定：小美与小丽分别转动转盘A，B，指针指向的数字较大者获胜.小美获胜的概率是( C)
A. B. C. D.
典题精练
1.(2023武汉中考)某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100 米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( C )
A. B. C. D.
2.(2023江岸区)一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 .
3.(2023武汉四调)“石头、剪子、布”是大家常玩的游戏，规则是：甲、乙两人随机做出“石头”“剪子”“布”三种手势中的一种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，布”赢“石头”，手势相同不分输赢.则甲不输的概率是 .
4.(2024江岸区)将A，B，C，D四个字母随机标注在一个四边形的四个顶点处，则AC恰好为对角线的概率为 .
5.(2024黄陂区)一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( C )
A. B. C. D.
专题突破8 二步概率(二)解答题
典例精讲
【例】 如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净.
现将这4张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 ;
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率.
解：(1)共有4张卡片，第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 .故答案为
(2)画树状图如图所示：
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种.
∴P(至少一张卡片图案为“A唐僧”)
答:两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧” B C D B C D A B C D B C D
第二次的概率为
典题精练
(2024甘肃)在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
解：(1)画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
∴甲获胜的概率为
(2这个游戏规则对甲、乙双方不公平，理由如下：
由(1)中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
∴乙获胜的概率为
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
专题突破9 三步概率
典例精讲
【例1】 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“□□□”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( B )
A. B. C. D.
【例2】 (2024武昌区)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段，然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是 .
典题精练
1.小明步行上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等.他上学经过三个路口时，不全是红灯的概率是( D )
A. B. C. D.
2.(2024江岸区)某文学名著上、中、下各1册，随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是 .
3.(2024汉阳区)假定鸟卵孵化后，孵化出的雏鸟是雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的概率是 .
4.某中学举行校庆文艺汇演，准备随机从七、八、九三个年级各选出1名学生担任晚会主持人，现已知这三个年级每个年级分别选送一男一女，共6名学生作为备选人.
(1)若先从三名女同学中随机选出，其中一位恰好是八年级的概率是 ;
(2)请你利用树状图求选出“一男两女”三名晚会主持人的概率.
解:(1)
(2)用树状图列出所有可能结果：
从右图可知，共有8种等可能的结果，其中“一男两女”的结果有3种，
所以选出“一男两女”三名晚会主持人的概率为
专题突破10 统计与概率
典例精讲
类型一 用频率估计概率
【例】 (2024江岸区)某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是( C )
A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
典题精练
类型二 统计与概率结合
(2023黄冈、孝感、咸宁)打造书香文化，培养阅读习惯.崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
根据图中信息，请回答下列问题：
(1)条形图中的m= 18 ,n= 6 ,文学类书籍对应扇形圆心角等于 72 度；
(2)若该校有 2 000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
(3)甲同学从 A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或列表法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率.
解:(1)18,6,72;
(人).
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
(3)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB，CC，∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为

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