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板块六 数学思想在代数中的应用
专题突破1 整体思想
典例精讲
类型一 整体求值
【例1】 当代数式 的值为7 时，则代数式 的值为 .类型二 整体消元
【例2】 (2024武昌区)方程 的一个根为( )
A. x=1 B. x=-1 C. x=b-c D. x=-a
类型三 整体换元
【例3】 已知方程 的根是 则方程( 的根为 .
典题精练
1.已知 则代数式 的值为 .
2.(2024江汉区)若 m,n 是一元二次方程 的两个实数根，则 ( )
A.-3 C. D.3
3.函数 的图象经过((a,m+2 ),(b,m) 两点，则代数式 的值是( )
B. C.0
4.(2024青山区)已知m,n是方程 的两根，则
A.0 B.2 C. -5 D. -3
5.(2024硚口区)杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知a+b=1, ab=-1,①由( 可得 ②由 可得 依此方法计算 的值是 .
专题突破2 转化思想
典例精讲
【例】 (2024江岸区)已知函数y=x" ,当 n 为偶数时，其图象关于 y 轴对称，例如：函数 的图象关于 y轴对称.如图是函数 的图象的一部分，则方程 的实数根的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
典题精练
类型一 式子结构的转化
1.若m+2n=1,则 的值为 .
类型二 特殊与一般的转化
2.(2023洪山区)如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成.图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15 条线段，…，以此类推，第6个图中有( )条线段.
A.63 B.65 C.127 D.255
类型三 数与形的转化
3.(2024武昌区)“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.若关于x的方程 有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k 的取值范围是( )
A.0类型四 函数与方程的转化
4.已知x ,x ,x 为方程 的三个实数根，则下列结论一定正确的是( )
板块六 数学思想在代数中的应用
专题突破1 整体思想
典例精讲
类型一 整体求值
【例1】 当代数式 的值为7时，则代数式 的值为 4 .类型二 整体消元
【例2】 (2024武昌区)方程 的一个根为( A )
A. x=1 B. x=--1 C. x=b-c D. x=-a
类型三 整体换元
【例3】 已知方程 的根是 则方程( 的根为
典题精练
1.已知 则代数式 的值为 -6 .
2.(2024江汉区)若 m,n 是一元二次方程 的两个实数根，则 ( D )
A. -3 C. D.3
3.函数 的图象经过( ,(b,m)两点，则代数式 的值是( A )
B. C.0
4.(2024青山区)已知m,n 是方程 的两根，则
A.0 B.2 C. -5 D. -3
解： ,即
2+5(n-3)=4(m+n)--13=-5.故选 C.
5.(2024硚口区)杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知a+b=1, ab=-1,(①由( 可得 ②由 可得 依此方法计算 的值是 29 .
解：由(a 导 ∴(a +b )(a +b )=a +b +a b (a+b),∴4×7=a +b -1,∴a +b =29.
专题突破2 转化思想
典例精讲
【例】 (2024江岸区)已知函数y=x",当 n 为偶数时，其图象关于 y 轴对称，例如：函数 的图象关于 y轴对称.如图是函数 的图象的一部分，则方程 的实数根的个数为( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：方程变形为 即问题为函数 与函数 图象的交点个数，根据题意可得函数 图象关于 y 轴对称，∴函数 与函数 的图象有3个交点，方程 有三个实数根.故选 C.
典题精练
类型一 式子结构的转化
1.若m+2n=1,则 的值为 3 .
解:∵m+2n=1,∴3m +6mn+6n=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3.
类型二 特殊与一般的转化
2.(2023洪山区)如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成.图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15条线段，…，以此类推，第6个图中有( C )条线段.
A.63 B.65 C.127 D.255
解：由题意，得第n 个图形有线段： ，则第6个图形中有线段 .故选C.
类型三 数与形的转化
3.(2024武昌区)“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.若关于x 的方程 有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k 的取值范围是( A )
A.0解：
∴直线y=k 与抛物线 和 组成的图形有三个不同的交点，且三个实数根的和为正数，由函数图象可得，0类型四 函数与方程的转化
4.已知x ,x ,x 为方程 的三个实数根，则下列结论一定正确的是( D )
解:∵ x 可以看作是抛物线 与反比例函数 的三个交点的横坐标，由函数图象可知 根据已知条件无法判定. 0,故选 D.

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