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板块二 方程(组)与不等式(组)
专题突破1 一次方程(组)的应用(古代问题)
典例精讲
【例1】 (2021武汉中考)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何 ”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少 若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是( )
A.8(x-3)=7(x+4) B.8x+3=7x-4
【例2】 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺 如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列方程组是( )
典题精练
类型一 一元一次方程的应用
1.(2024盐城)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为 尺.
类型二 二元一次方程组的应用
2.(2024成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，进价各几何 其大意是：今有人合伙买进石，每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差3钱.问人数，琎价各是多少 设人数为x，进价为y，则可列方程组为( )
3.(2023绍兴)《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何 ”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛 设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是( )
专题突破2 一元二次方程的解法及简单应用
典例精讲
【例1】 (2024武汉元调改)解方程:
【例2】 (2024武汉元调)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，若A 分得奖金1000元，则B，C 所分得奖金分别为900和810.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 .(用百分数表示)
典题精练
类型一 解一元二次方程
1.(2023武汉二调改)解方程:
类型二 传播问题
2.(2024洪山区)有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是( )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感 B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可列方程( D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人患流感
类型三 面积问题
3.(2024东湖高新区)我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步 ”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步.若设宽为x步，则可列出方程( )
A. x(x-6)=864 B. x(x-12)=864 C. x(x+6)=864 D. x(x+12)=864
类型四 增长率问题
4.(2023武汉二调)某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
D.1999(1-2x)=1360
类型五 围栏问题
5.(2024武汉模拟)用一段长度为24 m的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是( )
C.36 m D.38 m
专题突破3 根的判别式及根与系数的关系
典例精讲
【例1】 (2024武珞路)若a+b+3c=0,则关于x的方程 的根的情况是 .
【例2】 (2024 乐山)若关于x 的一元二次方程 的两根为x ,x ,且 则p的值为 .
【例3】 (2024广安)若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 .
典题精练
类型一 判断一元二次方程根的情况
1.(2024武昌区)下列方程有两个相等实数根的是( )
类型二 求参数的值或取值范围
2.若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 .
3.(2024湖北元调)若关于 x 的方程 有两个实数根，则m 的取值范围是 .
4.(2024宿迁)规定:对于任意实数a,b,c,有[a,b]★c= ac+b,其中等式的右边是通常的乘法和加法运算,例如:[2,3]★1=2×1+3=5.若关于x的方程[x,x+1]★(mx)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 .
类型三 利用根与系数的关系求值
5.(2024眉山)已知方程 的两根分别为x ，x ，则 的值为 .
6.(2024烟台)若方程 的两根分别为 m，n，则 的值为 .
类型四 根的判别式及根与系数的关系的综合运用
7.(2024汉阳区)若关于x的一元二次方程 的两根互为相反数，则该方程的两根之积为 .
专题突破4 分式方程的解法及简单应用
典例精讲
【例1】 (2024武汉中考)分式方程 的解是 .
【例2】 (2024自贡)为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子
典题精练
类型一 分式方程的解
1.(2021武汉四调)方程 的解是 .
2.(2024 齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 的解是负数，那么 m 的取值范围是( )
A. m<1且m≠0 B. m<1 C. m>1 D. m<1且m≠-1
3.(2024达州)若关于x的方程 无解，则k 的值为 .
类型二 解分式方程
4.(2024包头)解方程:
类型三 分式方程的应用
5.(2024扬州)为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500 吨垃圾所用天数与B型机器处理300 吨垃圾所用天数相等. B型机器每天处理多少吨垃圾
专题突破5 一元一次不等式(组)的解法
典例精讲
【例】 (2024武汉中考)求不等式组的整数解.
典题精练
类型一 不等式的基本性质
1.(2024上海)如果x>y，那么下列不等式正确的是( )
A. x+55y D.-5x>-5y
类型二 不等式(组)的解集在数轴上表示
2.(2024赤峰)解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是( )
类型三 解一元一次不等式(组)
3.(2023武汉中考)解不等式组 请按下列步骤完成解答.
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是 .
4.(2023武汉四调)解不等式组 请按下列步骤完成解答：
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集是 .
5.(2024武汉三调)求满足不等式组 的整数解.
板块二 方程(组)与不等式(组)
专题突破1 一次方程(组)的应用(古代问题)
典例精讲
【例1】 (2021 武汉中考)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何 ”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少 若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是( D )
A.8(x-3)=7(x+4) B.8x+3=7x-4
【例2】 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺 如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列方程组是( D )
类型一 一元一次方程的应用
1.(2024盐城)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为 15 尺.
类型二 二元一次方程组的应用
2.(2024成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，进价各几何 其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差3钱.问人数，进价各是多少 设人数为x，进价为y，则可列方程组为( B )
3.(2023绍兴)《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何 ”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛 设大容器的容量为x 斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是( B )
专题突破2 一元二次方程的解法及简单应用
典例精讲
【例1】 (2024武汉元调改)解方程:
解:x --6x=4,∴x --6x+9=4+9,∴(x--3) =13,
或
【例2】 (2024武汉元调)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，若A 分得奖金1000元，则B，C 所分得奖金分别为900和810.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 50% .(用百分数表示)
典题精练
类型一 解一元二次方程
1.(2023武汉二调改)解方程:
解：原方程变形为
或
类型二 传播问题
2.(2024洪山区)有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则下列结论错误的是( D )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感 B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可列方程 D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人患流感
类型三 面积问题
3.(2024东湖高新区)我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步 ”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步.若设宽为x步，则可列出方程( D )
A. x(x-6)=864 B. x(x--12)=864 C. x(x+6)=864 D. x(x+12)=864
类型四 增长率问题
4.(2023武汉二调)某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( C )
D.1999(1-2x)=1360
类型五 围栏问题
5.(2024武汉模拟)用一段长度为24 m的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是( D )
D.38 m
解：设矩形的一边长为x m，面积为S m ，则相邻边长为(12-x)m，依题意，得 ∴x -12x+S=0,∴Δ=(-12) -4S≥0,∴S≤36.故选 D.
专题突破3 根的判别式及根与系数的关系
典例精讲
【例1】 (2024武珞路)若a+b+3c=0,则关于x的方程 的根的情况是 有两个不相等的实数根 .
【例2】 (2024 乐山)若关于 x 的一元二次方程 的两根为x ,x ,且 则 p 的值为
【例3】 (2024广安)若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是 m<0且m≠-1 .
典题精练
类型一 判断一元二次方程根的情况
1.(2024武昌区)下列方程有两个相等实数根的是( B )
类型二 求参数的值或取值范围
2.若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m<3 .
3.(2024湖北元调)若关于 x 的方程 有两个实数根，则m 的取值范围是 且m≠-2 .
4.(2024宿迁)规定:对于任意实数a,b,c,有[a,b]★c= ac+b,其中等式的右边是通常的乘法和加法运算,例如:[2,3]★1=2×1+3=5.若关于x的方程[[x,x+1]★(mx)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 且m≠0
类型三 利用根与系数的关系求值
5.(2024眉山)已知方程 的两根分别为x ，x ，则 的值为
6.(2024烟台)若方程 的两根分别为m，n，则 的值为 6 .
类型四 根的判别式及根与系数的关系的综合运用
7.(2024汉阳区)若关于x的一元二次方程 的两根互为相反数，则该方程的两根之积为 -2 .
专题突破4 分式方程的解法及简单应用
典例精讲
【例1】 (2024武汉中考)分式方程 的解是 x=-3 .
【例2】 (2024自贡)为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子
解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包(x+20)个粽子，根据题意，得 解得x=80,
经检验,x=80是原方程的解,且符合题意,x+20=100.
答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子。
典题精练
类型一 分式方程的解
1.(2021武汉四调)方程 的解是
2.(2024 齐齐哈尔)如果关于x 的分式方程 的解是负数，那么 m 的取值范围是( A )
A. m<1且m≠0 B. m<1 C. m>1 D. m<1且m≠--1
3.(2024达州)若关于x 的方程 无解,则 k 的值为 2或-1 .
类型二 解分式方程
4.(2024包头)解方程:
解:去分母,得x-2-2(x-4)=x,解得x=3,
把x=3代入x-4=3-4=-1≠0,∴原方程的解是x=3.
类型三 分式方程的应用
5.(2024扬州)为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500 吨垃圾所用天数与B型机器处理300 吨垃圾所用天数相等. B型机器每天处理多少吨垃圾
解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾，
根据题意，得 解得x=60,
经检验，x=60是所列分式方程的解，且符合题意.
答：B型机器每天处理60吨垃圾.
专题突破5 一元一次不等式(组)的解法
典例精讲
【例】 (2024武汉中考)求不等式组 的整数解.
解:解不等式①,得x>-2;解不等式②,得x≤1,
∴原不等式组的解集为-2典题精练
类型一 不等式的基本性质
1.(2024上海)如果x>y，那么下列不等式正确的是( C )
A. x+55y D.-5x>-5y
类型二 不等式(组)的解集在数轴上表示
2.(2024赤峰)解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是( C )
类型三 解一元一次不等式(组)
①.3.(2023武汉中考)解不等式组 请按下列步骤完成解答.
(1)解不等式①,得 x<3 ;
(2)解不等式②,得 x≥-1 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是 -1≤x<3 .
4.(2023武汉四调)解不等式组 请按下列步骤完成解答：
(Ⅰ)解不等式①,得 x<2 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 x≥-2 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集是 -2≤x<2 .
5.(2024武汉三调)求满足不等式组 的整数解.
解:解不等式①,得x<2;解不等式②,得x≥-1,
∴原不等式组的解集为-1≤x<2,∴其整数解为-1,0,1.

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