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2024-2025学年天津市滨海新区汉沽一中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.若，，，的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则实数的值是( )
A. B. C. D.
4.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面底面除外其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
，，，，
，，，
其中正确命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知向量，的夹角为，且，，则在上投影向量的坐标为( )
A. B. ， C. D.
8.已知非零向量，，那么“、的夹角为钝角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
10.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
11.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A. B. C. D.
12.如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形已知正八边形的边长为，是线段的中点，为正八边形内的一点含边界，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.是虚数单位，则的值为 ．
14.已知两个球的表面积之比为：，则这两个球的体积之比为______．
15.已知向量，则 ______．
16.在中，，，，则 ______；若为边上一点，且，则 ______．
17.侧棱长为，底面边长为正四棱柱的表面积为______，外接球体积为______．
18.已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积 ______，体积 ______．
19.在边长为的正方形中，点为线段的三等分点，，，则 ______；为线段上的中点，则的值为______．
20.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成如图，也可由正方体切割而成如图在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为，则该几何体的体积为______．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知，．
设向量的夹角为，求的值；
求向量在向量上的投影向量的坐标；
若，求的值．
22.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
23.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
求三棱锥的体积；
求证：平面；
若为的中点，求证：平面平面．
24.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，且满足．
求角的大小；
若的面积，内切圆的半径为，求；
若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.：
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.解：因为，，
所以，，，
所以；
向量在向量上的投影向量的坐标为；
，，
因为，
所以，解得．
22.解：因为，，，
由余弦定理可得，
解得：；
，，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
因为，，
所以，，
，可得，
所以，
所以的值为．
23.解：正方体中，为的中点，
底面，
故三棱锥的体积
；
证明：如图，连接交于点，
是的中点，是的中点，，
平面，平面，
平面；
证明：是的中点，是的中点，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面，由知平面，
，
平面平面．
24.解：由，得，
在中，，
所以，
即，
而，所以；
由等面积法得：，即，
因此且，
在中，由余弦定理得，
即，
所以；
法由平分，得，
在中，设，则，
在中，由正弦定理，得，则，
在中，由正弦定理，得，则，
得，故有．
在中，由正弦定理，得，则，
得代入式，可得，即．
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”．
于是，即的面积的最小值为．
法因为的平分线交于，且，
可得，
即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以的最小值为．
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