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2024-2025学年天津一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
2.设曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A. 当时，取得极小值
B. 在上是增函数
C. 当时，取得极大值
D. 在上是增函数，在上是减函数
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，函数的递增区间为( )
A. B. C. D.
7.把件不同产品随机摆成一排，则产品与产品相邻，且产品与产品不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
8.函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.在哪吒之魔童闹海中，哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠，土拨鼠小队眼神清澈，手拿破碗，穿着破烂，吃着南瓜粥，过着自给自足，与世无争的生活若在某天清晨，土拨鼠小队长带领另外只土拨鼠排队出门巡逻，小队长只能在排头或结尾；甲土拨鼠是新手，不能离队长超过只土拨鼠距离；乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻，请问这支土拨鼠小队总共有种排队巡逻方式．
A. B. C. D.
10.若定义在上的函数，，，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在的展开式中，项的系数为______．
12.过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______．
13.已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______用数字作答
14.已知函数在定义域上单调递增，则实数的最大值是______．
15.某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择．
若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有______种；
若定义事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ______．
16.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面的夹角余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数在处取得极值．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ求曲线在上的最大值和最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
若，且；
求的值；
求的最大值．
20.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若，恒成立，求实数的取值范围；
若正实数，满足，证明：．
参考答案
1.
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7.
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10.
11.
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14.
15.
16.
17.解：Ⅰ证明：取的中点，连接，，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，
所以平面
Ⅱ建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
有，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则，，
则，
令，得，，，，
所以，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
Ⅲ由，平面的一个法向量为，
得，
即点到平面的距离为．
18.解：Ⅰ由已知可得，
因为函数在处取得极值，
则，
解得或，
当，时，则恒成立，
此时，函数在上为增函数，不合乎题意；
当，时，，
由可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时，函数在处取得极小值，合乎题意．
综上，函数的解析式．
Ⅱ由Ⅰ可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
故当时，函数的最大值为，最小值为．
19.解：函数，
当时，的展开式共有项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以或；
的通项公式为
，，
且，
所以，解得，
所以，，
令，得，
的通项公式为，
所以，，
设为中的最大值，则，
解得，，，所以，
所以．
20.解：函数的定义域为，，
令，可得，
当时，，当时，，
故的单调递减区间，单调递增区间；
由，即对恒成立，
设，，则，
，
当时，，则在上单调递增，
故，符合题意；
当时，令，则，因，
则该一元二方程存在两个根，，又，，则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递增减，
则当时，不符合题意，
综上，实数的取值范围为．
证明：令，，，
令，
则
，
设，，则，则在上单调递增，
当时，，则，；
当时，，则，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
由可知，当时，，则
综上可知，．
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