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2024-2025学年江苏省南京市中华中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量服从正态分布，，则实数等于( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是( )
A. B. C. D.
3.二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.若函数，则( )
A. B. C. D.
5.设向量，，若，，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.我们熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.对于事件，，，下列命题中正确的有( )
A. 若，则与互为对立事件
B. 若，则
C. 若，是的对立事件，则
D. 若，，则
11.如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，为底面上的动点则下列说法正确的是( )
A. 若，则点的轨迹长度为
B. 若在线段上运动，周长的最小值为
C. 若是的中点，则平面截正方体所得截面的面积为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有名男生和名女生随机站成一排合影，记“名女生恰好相邻”为事件，则的概率 ______．
13.杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且，在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就有出现如图所示，在“杨辉三角”中，从开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，，，，，，，，，则在该数列中，第项是______．
14.某学校在假期组织位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆个城市参加研学活动每个学生可自由选择个城市中的任意个不要求每个城市必须要有学生选择若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有______个学生选择前往北京或上海研学的概率最大．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有人“通关”就可获得“团体奖”根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
若三人各自比赛时互不影响．
求甲、乙两人至少有人“通关”的概率；
在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
16.本小题分
已知，其中，，，，且展开式中仅有第项的二项式系数最大．
求用数值作答；
若，求二项式的值被除的余数．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，
证明：；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱某果园从一批个数很多成熟的脐橙中随机抽取了个，按质量单位：将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为个，个，个．
从这个脐橙中任取个，求个果都为一级果的概率；
按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取个脐橙进行检测，再从个脐橙中抽取个脐橙作进一步检测，这个脐橙中特级果的个数为，求的分布列和数学期望；
若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取个，求个脐橙中二级果的个数的期望与方差．
19.本小题分
已知函数．
若，求函数在处的切线方程；
若函数在上单调递减，求的取值范围；
若函数有两个极值点，，求证：．
参考答案
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15.解：根据题意，设甲通关为事件，乙通关为事件，
则，，
则甲乙都没有通关的概率，
故甲、乙两人至少有人“通关”的概率；
根据题意，设丙通关为事件，三人小组获得“团体奖”为事件，
，
，
，
故．
16.解：已知，
其中，，，，且展开式中仅有第项的二项式系数最大，
根据二项式系数性质可知第项的二项式系数为，
因此可知，
令，可得；
令，可得，
即；
若，则二项式为：
；
因此二项式的值被除的余数为．
17.证明：，，
取的中点，连接，，因为，所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
因此，
因为，所以平面，
又因为平面，
所以；
解：以为坐标原点，作交于，
以，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题设得，，，，
，，，
设是平面的法向量，
则，即，可取，可得，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由题意可知，个果都为一级果的概率为；
由分层抽样可知，抽取的个脐橙中二级果，一级果，特级果分别有个，个，个，
所以的所有可能取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为：


所以；
因为样本中二级果的概率为，
所以，
所以，．
19.解：当时，，则，
又，则，
所以函数在处的切线方程为，即；
，，
若函数在上单调递减，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
根据二次函数的性质可知，，
所以，即的取值范围为．
证明：依题意可得，
又函数的定义域为，且，
若，即，则，此时的单调减区间为，不符合题意；
若，即，则的两根为，
所以当或时，
当时，
所以的单调减区间为，，单调增区间为，
所以当时，函数有两个极值点，，且，．
因为
，
要证，只需证，
令，，
则，所以在上单调递增，
又，，且在定义域连续，
由零点存在定理，可知在上唯一实根，
且当时，当时，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以的最小值为，又，
因为，
当时，，又，所以，
所以恒成立，
所以，
所以．
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