资源简介

2024-2025学年山东省青岛二中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2.为研究光照时长小时和种子发芽数量颗之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. ，不具有线性相关性
B. 决定系数变大
C. 相关系数变小
D. 残差平方和变小
3.某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知两个变量和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组，的样本数据如表所示：根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是( )
A. B. C. D.
5.某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.设，则( )
A. B. C. D.
7.某校高二年级有名同学计划前往崂山、黄山、华山三个景点旅游已知名同学中有名男生，名女生每个景点至少有名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这名同学游玩行程的方法数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列结论中正确的是( )
A. 展开式中二项式系数最大项为第项
B. 当时，除以的余数是
C.
D.
10.有个编号分别为，，，，的盒子，号盒子中有个白球和个黑球，其余盒子中均有个白球和个黑球现从号盒子任取一球放入号盒子；再从号盒子任取一球放入号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数在处取得极值，且在上单调，则下列结论中正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 不可能有两个零点
C. 当时，过点作曲线的切线有且仅有两条
D. 当时，的图象与图象交点的纵坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______．
13.已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围______．
14.某盒中有个大小相同的球，分别标号为，，，，从盒中任取个球，记为取出的个球的标号之和被除的余数，则随机变量的期望为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分布直方图：
从这名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人，用表示这人中属于的人数，求的分布列和数学期望；
每天的体育活动时间不低于分钟的同学被称为“体育爱好者”以这名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取名，求其中“体育爱好者”人数的均值和方差．
16.本小题分
某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量单位：千辆与年使用人次单位：千次的数据如表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型给出判断即可，不必说明理由？并求出关于的回归方程；
公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中台进行保养，测试结束后，有台报废，其中保养过的共享电动车占比请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
参考数据：，．
参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，，，其中．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，平局双方均得分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
若，求甲学员恰好在第局比赛后赢得比赛的概率；
当时，若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值．
19.本小题分
已知函数；
当时，求的最大值；
当时，证明：；
若，且，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为体育活动时间位于和的频率分别为和，
所以抽取的名学生中位于的有人，
位于的有人，
所以随机变量所有可能取值为，，，，
且服从超几何分布，
故，
，
，
，
所以的分布列为：
所以；
由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于分钟的频率为：
，
则，
所以，．
16.解：由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．
由，两边同时取常用对数得，设，则．
因为，，，，
所以．
把代入，得，所以，
所以，则，
故关于的回归方程为；
设零假设：是否报废与是否保养无关．由题意，报废电动车中保养过得共台，
未保养的电动车共台，补充列联表如下：
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．
17.解：，
当，，在上单调递增，
若当，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上所述：当，在上单调递增，
当，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，即，
即恒成立．
令，则．
令，则在恒成立，
在单调递增，
，
令，解得，
当时，即，则单调递减；
当时，即，则单调递增，
，
．
18.解：记事件为每局比赛“甲获胜”，
记事件为每局比赛“乙获胜”，
记事件为每局比赛“甲乙两人平局”，
此时，，，
记“进行局比赛后甲学员赢得比赛”为事件，
则事件包括事件，，，，这种情况，
此时
；
若，
此时每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，
则，
此时的所有取值为，，，
可得，
，
，
则的分布列为：
则，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
则
此时，
故E的最大值为．
19.解：当时，，
所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以；
证明：要证，
只需证，
令，
，
令，，
当时，，在单调递减；
当时，在单调递增；
所以，即，，
所以当时，在单调递增；
所以当时，在单调递减；所以，，
即，．
证明：由，可得，
两边取以为底的对数并整理得，，
即，
因为，不妨设，
由知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，而，且当时，恒成立，得到，
记，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
于是，
又在上单调递减，所以，
所以．
第1页，共3页

展开更多......

收起↑