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2024-2025学年湖南省名校联考联合体高二（下）期中
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，是虚数单位，则的共轭复数等于( )
A. B. C. D.
3.已知，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若的最小正周期为，则( )
A. B. C. D.
5.小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为，，在张家界去徒步爬山的概率为，在长沙去徒步爬山的概率为，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.棱长为的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知各项均不为零的数列，其前项和为，，且下列结论中错误的是( )
A.
B. 不存在实数，使为递减数列
C. 存在实数，使得为等比数列
D. ，使得当时，总有
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在的展开式中二项式系数和为
B. 在的展开式中常数项为
C. 在的展开式中系数最大的项是第项
D. 在的展开式中各项系数的和为
10.已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点点在第二象限，则( )
A. 可能为等边三角形
B.
C. 若直线的倾斜角为，则
D. 若直线的倾斜角为，则的面积为
11.已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则( )
A. 函数不可能有三个零点
B. 函数的减区间为
C. 对于任意的，函数在区间内均存在零点，则
D. 存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，，，则 ______．
13.某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，体育堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不同排法种数是______用数字作答
14.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
人工智能简称的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能每人只能选一项，统计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响．
从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列，数学期望以及方差．
16.本小题分
在中，，，分别为角，，的对边，．
求角的大小；
若为的中点，，的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知函数，为实数．
若函数在处的切线经过点，求的值；
若有极小值，且极小值大于，求的取值范围；
若对任意的，且，，恒成立，求的取值范围为自然常数
18.本小题分
如图，矩形中为中点，将沿着折叠至．
证明：平面；
设平面平面，点．
当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为；
在满足条件的情况下，过作一截面，与棱，，分别交于点，，，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，点，，分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为．
求椭圆的标准方程；
已知，两点，其中点在线段上运动不含端点，与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线，的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，．
求的面积的最大值；
求证：为定值，并求出该定值．
参考答案
1.
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14.
15.解：根据题意可得该地区的大学生最喜爱“视频创作”的概率为．
因为“视频创作”和“图象修复”的人数分别为人和人，
所以可得“视频创作”和“图象修复”的人数分别为人和人，
从这人中随机抽取人，其中“视频创作”的人数为，
则的可能取值为，，，
又，
所以随机变量的分布列为：
所以，
．
16.解：根据题意可知，，，
，，
，，，
，，即；
的面积为，，，
，，
，
，，，
由余弦定理可得，解得，
，的周长为．
17.解：由题意可得，，
又，函数在处的切线方程为，
切线经过点，，解得；
由知，定义域为，，
当时，在上恒成立，在上单调递增，无极值，
当时，令，得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，函数有极小值，极小值为，
由，，的取值范围为；
由得，
令，对任意的，且，，恒成立，
在单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，
二次函数在上单调递增，
函数在上的最小值为，
，即的取值范围是．
18.解：证明：根据题目：矩形中为中点，将沿着折叠至．
，，，
所以，即，
，所以，即，
又，，平面，所以平面；
，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以
以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，，，
，
设平面的法向量为，
则 即
令，得，，，
记直线与平面所成角为，则，
化简得，解得，所以．
当为时，直线与平面所成角的正弦值为；
由知，，
，即三等分点，
又平面，
，三等分点，
，，四边形为平行四边形，
，即四等分点，
．
又，
．
19.解：因为点，，分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，
并且的离心率为．
那么可得，所以，
因此；
设为点到的距离，
因此三角形的面积，
显然当过点且与平行的直线与椭圆相切时取得最大值，
由于，，因此，设为，即，
联立椭圆方程和直线可得，得，
根据根的判别式，解得正值舍去，
因此为，又因为点到的距离，
因此的最大值为，
那么；
证明：设，那么，
因此，
又因为直线为，联立椭圆方程可得，化简得，
因此，那么，
即，同理可得，
因此
，
由于，所以，因此，那么，
因此
，
因此．
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