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2024-2025学年宁夏银川市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知正三角形边长为，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )
A. B. C. D.
4.在中，内角、、的对边分别为、、，且，，，则为( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，是的中点，若，则实数的值是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知中，，，则( )
A. 或 B. C. D. 或
8.已知中，，，是内一点，且满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下化简正确的有( )
A. B.
C. D.
10.要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点( )
A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的倍
D. 先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
11.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移，已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为______焦耳．
13.函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ______．
14.在中，已知，是的方程的两个实根，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面直角坐标系中，点为原点，，．
求的坐标及的值；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的值；
若，且，求的面积．
17.本小题分
正四棱台两底面边长分别为和．
若侧棱长为，求棱台的表面积；
若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
18.本小题分
设向量，，且．
求向量与的夹角；
求的值；
若且，求的值．
19.本小题分
已知函数，若存在实数、，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
若，求函数的“平衡”数对；
若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：，，
则，
故；
，，
则．
16.
17.解：如图，设，分别为上，下底面的中心，
分别取，的中点，，连接，，，则为正四棱台的斜高，
，
则棱台的表面积．
两底面面积之和为，
正四棱台的侧面积为，解得，
正四棱台的高．
18.
19.解：根据题意可知，对于任意实数，，
即，即对于任意实数恒成立，
只有，，
故函数的“平衡”数对为；
若，则，
，
要使得为“可平衡”函数，需使对于任意实数均成立，只有，
此时，，故存在，
所以是“可平衡”函数；
假设存在实数、，对于定义域内的任意均有成立，
则，
，
，
，
均为函数的“平衡”数对，
，
，，，
，
，函数单调递增，
，即，
的取值范围为．
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