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2024-2025学年江苏省无锡市锡东高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图斜二测画法是一个边长为的正方形，则这个平面图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，，，，则这个三角形的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为( )
A. B. C. D.
5.已知是边长为的正的边上靠近的四等分点，为的中点，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点．若点在线段上，且满足平面，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点为三角形的重心，且，当取最大值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
A. 为实数
B. 若，则的最小值为
C.
D. 若，则
10.下列结论正确的是( )
A. 在正方体中，直线与是异面直线
B. 不共面的四点可以确定个平面
C. 圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的倍
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
11.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则面积的最大值为
C. 若，且只有一解，则的取值范围为
D. 为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的内角，，所对边分别为，，，已知，，，则 ______．
13.已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为______．
14.如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求；
若，求的值；
若与的夹角为锐角，求的取值范围．
16.本小题分
平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，．
求；
设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，为的中点，设平面与底面的交线为．
证明：平面；
证明：平面．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，．
求证：；
求的面积．
19.本小题分
几何原本是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范书中第Ⅰ卷第号命题是著名的毕达哥拉斯勾股定理，证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形如图某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图，已知满足，，设，四边形、四边形、四边形都是正方形．
当时，求的长度；
求长度的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：已知，为两个夹角成的单位向量，，，
则，，
则，
即；
设存在实数，使得是以为斜边的直角三角形，
则，
即，
又，，
又，
则，
即，
解得，
即存在实数，使得是以为斜边的直角三角形．
17.证明：如图，连接与交于点，连接
在三棱柱中，侧面为平行四边形，
所以为的中点，
又因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
在三棱柱中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
18.证明：因为，，所以，
根据正弦定理得，，
又，
所以，即．
解：由余弦定理得，
由得，结合可得，
即，
解得或舍去，
所以．
19.解：在中，，，，则，，
因为，所以，
在中，，，
由余弦定理，
所以的长度为．
在中，，所以，
设，在中，，
所以 ，
在中，由正弦定理得，
所以，
代入可得，
因为，
所以，
当即时，的最大值为，
所以长度的最大值为．
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