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2024-2025学年山东省青岛六十八中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足为虚数单位，则在复平面内的共轭复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点( )
A. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变
B. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变
C. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变
D. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变
3.在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积( )
A. B. C. D.
4.一海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，分仲后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
5.已知向量满足，，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在四边形中，，，，，，则四边形绕旋转一周所成几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，点满足，且是边中点，若交于点且，则( )
A. B. C. D.
8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 若，则的虚部为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.函数其中，，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数图象的对称轴为直线
C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
11.长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则( )
A. 当船的航行距离最短时，
B. 当船的航行时间最短时，
C. 当时，船航行到达北岸的位置在的左侧
D. 当时，船的航行距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且为纯虚数，则复数 ______．
13.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．
14.已知中角，，所对的边分别为，
则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，及其所对的边，，，且．
求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
求的值；
若为线段上任意一点，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数在处取得最值，其中．
求函数的最小正周期；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若为锐角．，求
18.本小题分
如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱本题中将座舱视为圆周上的点．
Ⅰ求劣弧的弧长单位：；
Ⅱ设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
Ⅲ若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
若，且外接圆半径为，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理得，
即，
即，
因此，
又因为是三角形内角，所以，
因此，即．
又因为，所以，
因此，解得．
由知．
又因为，所以且，
因此．
又，所以，
因此，即，
所以的取值范围为．
16.解：以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，
因为，，，
所以∽，所以，
所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，
所以．
由知，，
设，，则，
所以，
因为，
所以当时，取得最大值，为；
当时，取得最小值，为，
故的取值范围为．
17.解：化简可得
，
函数在处取得最值，
，解得，，
又，，
，
最小正周期；
将函数的图象向左平移个单位得到的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
为锐角，，，
，

18.解：Ⅰ，
由弧长公式可得，；
Ⅱ设，其中
由题意，，
，
，，
，
当时，可得，
，得；
Ⅲ令，
，
则，，
，
而甲乙相差，
又，有甲乙都有最佳视觉效果．
19.解：，
根据正弦定理，得，
根据余弦定理，得，即，
得．
，
．
由于为锐角三角形，且，，
可得，
由正弦定理得，
可得，，
故的周长，
由于，则，
所以，
故周长的取值范围为
由，利用余弦定理得到是等边三角形，
，，，
，，
，，，
，，
，，
的取值范围为：．
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