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2024-2025学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列的通项公式为，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等比数列，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和，则数列的通项公式为( )
A. B.
C. D.
4.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 在上单调递减
B. 是的极小值点
C. 是的极大值点
D. 曲线在处的切线斜率为
6.我国古代数学名著九章算术第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问：各得几何？”意思是：五个人分五钱“钱”是古代的一种计量单位，每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少在这个问题中分得最少的一个得到( )
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
7.等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则的公差为( )
A. B. C. D.
8.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
10.已知函数若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知函数，则 ______．
12.已知数列满足为其前项和，若，则 ______．
13.等比数列满足如下条件：，数列单调递减，写出满足上述两个条件的数列的一个通项公式 ______．
14.分别过点和作曲线的切线，切线的斜率分别为______和______．
15.若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是______．
16.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的．选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程．若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：
，；
，，；
，使得当时，总有；
，使得当时，总有．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列满足，．
求数列的通项公式；
若数列满足，再从、、这三个条件中选择一个作为已知，若，求数列的前项和．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知函数在处取得极大值当变化时，导函数变化情况如下表所示．
写出函数的单调区间，以及的值；
求函数的解析式；
求函数在上的最大值．
19.本小题分
已知数列中，且．
Ⅰ求数列的第，，项；
Ⅱ根据Ⅰ的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数的图像在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
证明：当时，．
21.本小题分
若无穷数列满足：对于任意正整数，，如果，那么，则称数列具有性质．
已知数列具有性质，且，，，求；
已知无穷数列是首项为，公差为的等差数列，无穷数列是首项为，公比为的等比数列，，判断数列是否具有性质，并说明理由；
各项均为正数的两个无穷数列求证：“对任意，数列都具有性质”的充要条件为“数列是常数数列”．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
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5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】答案不唯一
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.解：设等差数列的公差为，因为，
所以，
解得，所以，
所以数列的通项公式；
若选，由可知是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
；
若选，由可知是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
；
若选，由，可得，
所以可知是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以
．
18.解：由表格可知，当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
所以时，取得极小值，
时，取得极大值，即，
的单调减区间是和，
的单调增区间是．
由可得，
由可知，的零点是，
由韦达定理可得，解得，
由在取得极大值，即，
所以，，则．
由可知，在和上单调递减，在上单调递增，
且，，，，且，
所以函数在上的最大值为．
19.解：Ⅰ且，
，，；
Ⅱ根据Ⅰ的计算结果，可猜想数，
证明如下：当时，等式成立，
假设当时等式成立，即，
那么当时，，
所以当时，等式成立，
由，对于任何，．
20.解：当时，，所以．
得，点处的切线斜率为，
所以函数的图像在点处的切线方程为：．
由得，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由可知，当时，
的最小值．
要证，
只需证
只需证
设
则，
令得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，
所以得证，
即得证．
21.解：由，则，所以，．
根据题目定义：若无穷数列满足：对于任意正整数，，
如果，那么，则称数列具有性质．
，，
，
，但，，所以数列不具有性质．
证明：充分性：
当为常数列时，，
对任意给定的，只要，则由，必有，充分性得证．
必要性：
若对任意，数列都具有性质，则，
设函数，，
由，图象可得，对于任意的，二者图象必有一个交点，
所以一定能找到一个，使得，
所以，所以，
故，所以是常数列，必要性得证．
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