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2024-2025学年陕西省校际联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.将化为弧度制，正确的是( )
A. B. C. D.
3.圆心角为，半径为的扇形，其弧长为( )
A. B. C. D.
4.以下说法中正确的是( )
A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
C. 单位向量都是共线向量
D. 零向量的长度为，没有方向
5.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知向量、满足，则在方向上的投影数量为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为( )
A. B.
C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，且与的夹角为，则( )
A. B.
C. D.
10.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件，“点数小于”记为事件，“点数小于”记为事件下列说法正确的是( )
A. 与互斥 B. 与对立
C. 与相互独立 D.
11.已知，函数，下列选项正确的有( )
A. 若，则的最小正周期
B. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某高中的三个年级共有学生人，其中高一人，高二人，高三人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．
13.若，则 ______．
14.在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为实数，若向量，，．
若与垂直，求的值；
当为何值时，，，三点共线．
16.本小题分
已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
求的解析式和单调递增区间；
求函数在区间上值域．
17.本小题分
设锐角的内角、、的对边分别为．
Ⅰ求角；
Ⅱ若边，面积为，求的周长．
18.本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
Ⅰ已知在时刻单位：时点距离地面的高度是关于的函数其中，，，求函数的解析式；
Ⅱ当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌．
参考答案
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15.解：，，
则，
与垂直，，
则，解得．
，，．
则，，
，，三点共线，
则，
所以，解得或．
16.解：因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，
所以，，则，，
又因为当，时函数单调递增，
即，，
所以函数的单调递增区间为；
当时，，所以，
所以函数在区间的值域为．
17.解：Ⅰ因为锐角的内角、、的对边分别为，
所以，
又，
所以，
又为锐角，
所以；
Ⅱ由得，则，
由余弦定理得，
所以，
所以，
所以的周长为．
18.解：当时，，
，
，
，解得，
故不等式解集为；
函数的图象过点，
，解得，即，
，
关于的方程有实根，
有解，
方程有实根，
令，
，则，所以值域为，
，解得，
故的取值范围是．
19.解：Ⅰ由题意知，，，，所以，
即，
又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，
所以，解得，
又，所以，
所以．
Ⅱ从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌，
由Ⅰ知，得，即，
解得，，即，，
又，所以游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌．
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