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2024-2025学年江苏省苏州工业园区星海中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则它的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
4.把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则为( )
A. B. C. D.
5.年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在三角学准则中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用角表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用角表示，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示设为图中个正六边形边长为的某一个顶点，，为两个固定顶点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.有一直角转弯的走廊两侧与顶部都封闭，已知走廊的宽度与高度都是米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为米为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.设，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若是纯虚数，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则名
11.设函数，已知在上有且仅有个零点，则( )
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有个
C. 的图象与直线在上的交点恰有个
D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______．
13.设，且，则的最小值为______．
14.已知内角，，的对边分别为，，，为的中点，为的中点，延长交于点，若，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设两个非零向量与不共线．
若，，求证：，，三点共线；
试确定实数，使和共线．
16.本小题分
已知向量，，
若，求的值；
记，若对于任意，，恒成立，求实数的最小值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
若，且边的中线长为，求的面积；
若是锐角三角形，求的范围．
18.本小题分
如图，正方形的边长为，点，，，分别在边，，，上，，，与交于点，，记．
记四边形的面积为的函数，周长为的函数，
证明：；
求的最大值；
求四边形面积的最小值．
19.本小题分
法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”如图，的内角，，的对边分别为，，，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为，，．
求角；
若，且的周长为，求；
若的面积为，求的角平分线的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：
，
与共线
两个向量有公共点，
，，三点共线．
和共线，则存在实数，使得，
即，
非零向量与不共线，
且，
．
16.解：由，
则，
即，
即，
又，
则；
，
又，
则，
则，
又对于任意，，而恒成立，
则，
故实数的最小值为．
17.解：因为，
由余弦定理可得，整理可得，，
所以，
因为，所以，
又，，
联立得，解得，
因为为边中线，则，
两边平方可得，长为，
所以，即，解得或舍，
所以的面积为；
由正弦定理得：
，
因为是锐角三角形，则，
解得，所以，
而，，
所以，
所以，
所以．
18.解：由题知：，，
所以．
由，当且仅当时，即时取等号，
所以，即的最大值为；
因为，
令，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，
令，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则在上单调递减，所以，
综上，当时，四边形面积最小值为；
当时，四边形面积最小值为．
19.解：在中，由及正弦定理，
可得，
又，
则，
又，于是，
又，所以；
由知，由的周长为，得，
依题意，，
，，
在中，由余弦定理得，
则，即，
在中，由余弦定理得，即，
联立，解得，
所以
；
由正的面积为，得，
由知：，即，
由，
得，
于是，
又，则，
又，
即，解得，
因此，设，则，
则，
令函数，
而函数与在上均单调递增，
则函数在上单调递增，
从而，则，
所以的最大值是．
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