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2024-2025学年江苏省南通市崇川区高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是直线的方向向量，是平面的法向量若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.随机变量的分布列为，，，则( )
A. B. C. D.
4.学校食堂的一个窗口共卖种菜，甲、乙、丙名同学每人从中选种，不同的选法共有( )
A. B. C. D.
5.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下
表所示．
零件数个
加工时间
由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
7.甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
8.某农科所在甲，乙，丙地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比，乙地块培育的一等种苗占比，丙地块培育的一等种苗占比，将三个地块培育的种苗混放在一起已知甲，乙，丙培育的种苗
数分别占总数的，，从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，则( )
A.
B. 是平面的法向量
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 向量，，共面
10.一个袋子中有个大小相同的球，其中有个红球、个白球从袋中不放回摸球次每次摸个球，记摸得红球个数为，从袋中有放回摸球次，每次摸个球，记摸得红球个数为，则( )
A. 的所有可能取值为或 B. 的所有可能取值为或
C. D.
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为______．
13.甲、乙、丙人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为，则至少有两人译出该密码的概率为______．
14.将数字，，，，排成一个位数，则前位数字之和大于后位数字之和的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某医院采用甲、乙两种方案治疗胃痛采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到下面两种疗法治疗数据的列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
从未治愈的名患者中随机抽取人进行电话回访，求人采用不同疗法的概率．
附：，
16.本小题分
五一假期即将来临，甲、乙、丙、丁名同学决定到南通的个著名景点“狼山”“启唐城”“忠孝博物馆”游览，每名同学只能选择一个景点．
若甲和乙不去同一个景点，则有多少种不同的安排方法？
若每个景点必须有同学去，则有多少种不同的安排方法？
若每个景点必须有同学去，且丙不去狼山，则有多少种不同的安排方法？
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
点在棱上，且平面，求的值．
18.本小题分
已知，，．
求；
求；
若，求取最大值时的值．
19.本小题分
如图，在一次传球训练中，甲、乙、丙、丁四人按照逆时针依次站在一个正方形的四个顶点处每次传球时，传球者将球传给其他三人中的一个已知第次由甲将球传出，且每次传球者沿着正方形的边传给队友的概率为，沿着正方形的对角线传给队友的概率为．
求第次传球者为乙的概率；
记前次传球中丙的传球次数为，求的概率分布列及方差；
求第次传球者为丁的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：零假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，因此可以认为不成立，即认为两种疗法效果没有差异；
从未治愈的名患者中随机抽取人，共有种不同取法，
两人采用不同疗法的取法共有种不同取法，
记“从未治愈的名患者中随机抽取人，人采用不同疗法”为事件，
则．
16.解：由题意可得：若甲和乙不去同一个景点，
则有种不同的安排方法；
若每个景点必须有同学去，
则有种不同的安排方法；
若每个景点必须有同学去，且丙不去狼山，
则有种不同的安排方法．
17.解：证明：连接，因为，，，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
因为，，
所以，
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
因为为的中点，所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则．
设，因为点在棱上，
设，
由得，，
所以，
所以．
因为平面，
所以，
所以，
解得，
所以．
18.解：对于且，
令得，；
令，可得，
令，可得．
由，可得，所以；
根据二项式定理，可知当，时，
．
由二项展开式系数的性质，可知当，即时，最大，
结合，，可知为系数的最大值，即．
19.解：前次传球后的结果如图所示，
其中第次传球者为乙的有两种情况：甲丙乙；甲丁乙．甲丙乙的概率为：；
甲丁乙的概率为：，
记事件：“第次传球者为乙”，则；
的可能取值为：，，
，
；
故的概率分布列为：
设第次传球者为甲的概率为，第次传球者为丁的概率为，则，
因为乙和丁相对于甲，地位是相等的，
所以第次传球者为乙的概率也为第次传球者为丙的概率也为，
因为，
所以，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故．
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