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2024-2025学年广东省清远市四校联盟高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用，，，，可以排成数字不重复的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A.
B. 若函数满足，则
C.
D.
3.设，为两个随机事件，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.若且，则实数( )
A. B. 或 C. D. 或
5.从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.位男生和位女生共位同学站成一排，若位女生中有且只有位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A. B. C. D.
7.已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中( )
A. 二项式系数之和为 B. 第项的系数最大
C. 所有项系数之和为 D. 不含常数项
10.某中学，，，，五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是( )
A. 所有不同的分派方案共种
B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共种
C. 若每个社团至少派名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共种
D. 若每个社团至少有个学生选，且学生，不安排到同一社团，则所有不同分派方案共种
11.已知函数存在两个极值点、，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的含的系数为______用数字填写作答．
13.在半径为的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为______．
14.已知函数，对于任意，且，都有，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如表所示．
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率
比赛胜率
当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．
当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率．
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求曲线在点处的切线方程；
若对都有恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知是等差数列，是等比数列，且，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面底面，四边形为直角梯形，，，，，．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
参考答案
1.
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6.
7.
8.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件，
则，
所以当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率为；
，
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率为．
16.解：因为函数，所以，
又函数在处取得极值，则有，
即，解得，
所以函数，则，，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
由知，令，解得，，
在时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增 单调递减
由表可知，当时，函数有极小值；
因为，故函数在上的最小值为，
对都有恒成立，所以，即的取值范围是．
17.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，即，
由，得，
根据组成方程组，解得或舍去，
故，；
由题意得，
设数列的前项和为，则，
两边都乘以，可得．
由，可得，所以．
18.解：证明：由题意，在四棱锥中，平面底面，四边形为直角梯形，，，，，，
可得，
由，可得，
又由平面底面，，且平面底面，
可得平面，
又由于平面，
可得，
又，，平面，
可得平面，得证；
过作交于，
则，
由知，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，
设平面的一个法向量为，
则，从而可得，
令，解得，
设平面的一个法向量为，
则，从而可得，
令，解得，
设平面与平面所成角为，由图可知，该角为锐角，
可得，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
19.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
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