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2024-2025学年四川省成都外国语学校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算结果不正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等比数列，若，公比，则的前项和( )
A. B. C. D.
4.已知函数的极小值点，那么函数的极大值为( )
A. B. C. D.
5.用数字，，，，组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A. B. C. D.
6.函数图象上一点到直线的最短距离为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的通项公式为，若对于任意正整数，都有成立，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为，其导数满足，则( )
A. B. C. D.
11.如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，，为坐标原点设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是( )
A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和 ______．
13.有名男生、名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数．______．
14.若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且在处的切线斜率为．
求实数的值；
判断函数的单调性．
16.本小题分
已知数列的前项和为．
求的通项公式；
设，是数列的前项和，求．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
求在上的最大值．
18.本小题分
已知数列满足，，记．
求证：是等比数列；
设，数列的前项和为．
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”．
判断是否是上的“函数”？请说明理由；
证明：当是与无关的实数，是上的“函数”时，；
已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，，当时，，求的最大值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：函数，则，
在处的切线斜率为，则，
解得；
由可知，
令，解得；令，解得．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
16.解：由于数列的前项和为，
则当时，；
当时，，
又适合上式，所以；
由知：，
所以，
．
17.解：的定义域是，
，，
时，令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
时，，在递减；
综上：时，在递增，在递减，
时，在递减；
由时，在单调递减，
，
时，在递增，在递减，
，
时，在上单调递增，
，
综上：时，，
时，，
时，．
18.解：证明：由已知，，
，
，，
又，
，
数列中任意一项不为，，
数列是首项为，公比为的等比数列，；
由第问知，，则，设数列的前项和为，
所以，
，
所以可得：
，
所以；
(ⅱ)由，得，
化简得．
当 为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以．
综上，的取值范围为．
19.解：是上的“函数”，理由如下：
，．
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”．
证明：是上的“函数”，
在上恒成立，
设，则，
在上单调递增，且．
又，，即．
在上单调递增，，
．
，，
是上的“函数”，
在上恒成立，
即在上恒成立．
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；
当时，恒成立，
设，，
则，函数在上单调递减，
，即；
当时，恒成立，
设，，
则，函数在上单调递减，
，即．
综上所述，．
，，当时，，
，即．
令，，
则由题意可知：存在，使得在上为增函数，
即存在，使得，即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
而函数在上单调递增，，即．
另一方面，当，时，，，
可知恒成立，满足题意，
实数的最大值为．
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