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2024-2025学年陕西省西安市高新一中高一（下）期中
数学试卷
一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量不共线，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A. B.
C. D.
4.在中，，，则角的大小为( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角，间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为为弧度角，则、和所满足的恒等关系为( )
A. B. C. D.
7.已知实数是函数的一个零点，实数、、满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知点为外接圆的圆心，内角、、的对边分别为、、，且，，内角取最大值时的面积为( )
A. B. C. D.
9.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，且与的夹角为钝角，则
C. 若平面向量两两的夹角相等，且，则
D. 若，且，则四边形为菱形
10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若，则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
11.已知三个内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______．
13.如图，在四边形中，，，，，，则的面积 ．
14.平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，为了测量两山顶，间的距离，，，，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在，两点进行测量，途中在点测得，，在点测得，，测得．
求点和点之间的距离；
求两山顶，间的距离．
16.本小题分
函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．
18.本小题分
已知函数满足，函数．
求函数的解析式；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
19.本小题分
设，是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作在如图所示的斜坐标系中，若分别是，的中点，，分别与交于，两点．
试求向量的坐标，并求出当时的值；
若为锐角，求的取值范围；
若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：由题意可得，，，
所以，
在中，根据正弦定理，，，
即，即，
即；
在中，，，
由正弦定理可得：，，
中，，
由余弦定理得：
，
所以．
所以两山顶，间的距离为．
16.解：由图可知，，
函数的最小正周期为，
，
，
，
，
则，
，则，
故；
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，
再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
当时，，
则，
所以，
在区间上的值域为．
17.解：根据题意可知，，即，
因为，所以，
所以，即，
因为为三角形的内角，
所以，所以；
已知，，
所以
，
因为，即，解得，
所以，
所以，所以，
．
18.解：因为，
所以，
故联立上述方程组，解得．
由知，，．
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，所以在上恒成立，
所以，在上恒成立，
因为，所以当时，取得最大值，最大值为，
所以在上恒成立，则，
所以的取值范围是．
方程等价于，
即，，
令，则，
因为方程有四个不同的实数解，
所以，有两个不同的正根，
记，所以，．
综上，的取值范围为
19.解：由题意得，故，
因为为的中点，，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
同理，，，为的中点，所以，
故，
则，
即，
又，，，
故
，
故；
，
，
若为锐角，则且不同向共线，
由于，两向量显然不共线，
其中
，
故，，
又，是平面内相交成角的两条不共线射线，
故，
在上单调递减，
设，故，其中为锐角，
而在上单调递增，所以，
而，故；
证明：连接，与相交于点，连接，，
则，且，点为中点，四边形为平行四边形，
其中，，
所以，
设，则，，
所以，
故四边形与平行四边形的面积比为，
又平行四边形与平行四边形的面积比为，
故四边形与平行四边形的面积之比为，为定值．
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