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2024-2025学年河南省郑州市十校联考高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.直线不平行于平面，且直线不属于，则下列结论成立的是( )
A. 内的所有直线与异面 B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一的直线与平行 D. 内的直线与都相交
3.已知等边三角形的边长为，，，，那么( )
A. B. C. D.
4.已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为( )
A.
B.
C.
D.
5.若非零向量与满足，为( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
6.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知的外接圆圆心，且，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论错误的是( )
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则一定为直角三角形
D. 若，则可以是钝角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. 若是实数，则
D. 若，，则在复平面内对应的点的轨迹为一条线段
10.如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则( )
A. 此圆锥的侧面积为
B. 球的表面积为
C. 原玻璃杯中溶液的体积为
D. 溢出溶液的体积为
11.在中，，，，点为边上一动点，则( )
A.
B. 当为角的角平分线时，
C. 当点为边上点，时，
D. 若点为内任一点，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三个平面最多可以将空间分成几个部分______．
13.如图，测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得：，，，，则的距离是______．
14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，若点为坐标原点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、．
求顶点的坐标；
在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由．
16.本小题分
已知复数
若在复平面内的对应点位于上，求的值；
若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标．
17.本小题分
如图是一个奖杯的三视图，尺寸如图，单位：试根据奖杯的三视图计算它的
体积；
表面积参考数据：，，
18.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，
求角；
若，的面积为，求，；
若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围．
19.本小题分
如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，已知在仿射坐标系下．
求向量，的仿射坐标；
当时，求；
设，若对恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设，又、、，
，，
又四边形是平行四边形，所以，
故解得
顶点的坐标为．
存在．
由可知，，，，
设，则．
又，，即，
解得，，即．
16.解：由，
得，则其在复平面内的对应点为，
由题意得，整理得，
解得或；
复数在复平面内的对应点为，
由点位于第二象限，
得，解得，
则的取值范围为；
已知为纯虚数，则，解得，
则，，，，
可得，，
则向量在向量上的投影向量的坐标为．
17.解：根据三视图知几何体由四棱台，棱柱，球组合而成，
又，
，，
所以这个奖杯的体积：，
所以体积约为；
奖杯底座的侧面上的斜高等于和，
这个奖杯的表面积：
．
18.解：，
由正弦定理知可得，
，
即，
，即，
又，
，则．
由及题设可得，即，
整理得，
即负值舍去，故．
因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，则，
所以，
所以中线的取值范围是．
19.解：由已知得：，
所以的仿射坐标为，
同理，所以的仿射坐标为；
当时，．，
所以，
，
，
所以；
因为，
，
，，
因为，所以，
所以对恒成立，
又因为所以，得，
此时．
因为，且，所以，
所以，所以的最大值为．
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