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2024-2025学年上海市静安区市北中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.袋中装有个白球，个黄球，个红球，从中任取一球，抽到白球的概率为( )
A. B. C. D. 非以上答案
2.已知函数和在区间上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
3.设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则( )
A. B. C. D.
4.对任意实数，恒有成立，关于的方程有两根为，，则下列结论正确的为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.抛物线的准线方程为______．
6.满足方程的正整数 ______．
7.如果双曲线上一点到焦点的距离等于，那么点到另一焦点的距离是______．
8.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______．
9.若直线是双曲线的一条渐近线，则 ______．
10.函数在点处的切线方程为______．
11.某校的名体育教师对足球、篮球、羽毛球个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有______种
12.直线被曲线截得的弦长为，则实数 ______．
13.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
14.已知，若函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．
15.已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么______点为坐标原点．
16.某校高一数学兴趣小组一共有名学生，学号分别为，，，，，老师要随机挑选四学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于，则有______种不同的选择方法用数值作答
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且经过点，．
求圆的标准方程；
求过原点且与圆相切的直线方程．
18.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求在上的单调区间和最小值．
19.本小题分
如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在时，拱顶离水面，水面宽那么当水面下降后．
水面的宽为多少？
求此时横截面中水面中心到抛物线上的点距离的最小值．
20.本小题分
已知双曲线：，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点．
求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
若，求直线的方程；
若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．
21.本小题分
若定义在上的函数和分别存在导函数和且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”我们将满足方程的称为“导控点”．
试问函数是否为函数的“导控函数”？
若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：已知圆的圆心在直线上，且经过点，，
则线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线斜率为，方程为，即，
由，解得，，因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为；
过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为，
即直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为，
解得，因此切线方程为，
综上，经过原点且与圆相切的直线方程为或．
18.解：因为，所以．
因为函数在处取得极值．
所以，，
所以，．
经检验，，符合题意．
由知，
则．
令，得或．
当时，；当时，．
在上单调递减，在，上单调递增．
故在上的单调递增区间为，，单调递减区间为．
又，，所以在上的最小值为．
在上的单调递增区间为，，单调递减区间为，最小值为．
19.解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可设抛物线的方程为，其中，
又结合题意可得：在抛物线上，
则，
即，
即抛物线的方程为，
设，其中，
则，
即，
即水面的宽为；
由题意可得：，
设抛物线上的点为，
则，
当时取等号，
即此时横截面中水面中心到抛物线上的点距离的最小值为
20.解：由题，右焦点，
渐近线方程为，
因此焦点到渐近线的距离为；
显然，直线不与轴重合，设直线方程为，
由，得，
联立方程，得，
其中，恒成立，，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直线的方程为；
延长交双曲线于点，延长交双曲线于点则由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的倍，
由题，设，直线程为，直线方程，
由第问，易得，
因为，得，即，因而，
平行线与之间的距离为，
因此，，
令，则，
故
得在上是严格增函数，
故等号当且仅当时成立
所以，四边形面积的取值范围为．
21.解：因为，所以函数是函数的“导控函数”；
由题意可知：恒成立，
令，则，所以，所以，即．
又因为恒成立，所以，
所以，故“导控点”为；
充分性：若存在常数，使得恒成立，
所以为偶函数，所以，即，
所以；
必要性：若，则，所以是偶函数．
又因为函数是函数的“导控函数”，所以，
又因为，，所以函数是函数的“导控函数”，
所以，即，所以，
综上可知：记，则．
所以存在常数使得恒成立．
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