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2024-2025学年河南省九师联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知样本，，，，的方差为，则样本，，，，的标准差为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知的外接圆的半径为，，点满足，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列各组条件中使得有两个解的是( )
A. B.
C. D.
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，点是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 若在线段上，且，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边经过点，且，则 ______．
13.已知，是相互独立事件，且，，则 ______．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 ______，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为第二象限角，且．
求和的值；
求的值．
16.本小题分
已知向量，．
求；
若向量，且，求的值；
求与垂直的单位向量的坐标．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示求的解析式及单调递减区间；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，点是边上的一点，且，求的长；
若是锐角三角形，，点为的中点，求的取值范围．
19.本小题分
设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：
已知向量，满足，，，求的值；
若向量，满足，，求证：；
已知向量，，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为为第二象限角，且，
所以，
；
．
16.解：由已知，，所以；
由已知，，，
因为，所以，解得；
由已知，，与垂直的向量可取或，
的单位向量为或，
故与垂直的单位向量的坐标为或
17.解：由图可得，函数的最小正周期为，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以，
令，
解得，
所以的单调递减区间为；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到，
当时，，
所以，
若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
所以，
解得，即的取值范围是．
18.解：因为，所以，
由余弦定理得，又，所以；
由余弦定理得，即，
所以，
又点是上的一点，且，所以，
在中，由余弦定理得，
即；
设，，则，，，所以，
又是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，
又，所以，即，即的取值范围是．
19.解：由，，得，
解得，
所以．
证明：由，，得，，
则，
，
所以．
由得，而，，
于是，
，
当且仅当，即时取等号；所以的最小值是．
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