资源简介

猜押 04 函数综合
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
2024 年第 12 题（根据
围绕反比例函数的增减
增减性写 k 值）、2023 反比例函数是函数基础内
反比例函 性、象限分布、点坐标特
年第 6 题（判断反比例 容，武汉中考高频考点，2025 中
数的性质 征命题，以选择或填空题
函数结论）、2022 年第 年仍会结合性质综合考查。
形式考查，难度中等。
6 题（比较函数值大小）
2024 年第 6 题（圆柱体
注水深度变化）、2023 结合生活情境（如注水问
函数图象 函数图象应用体现数学建模
年第 10 题（格点多边形 题、运动轨迹），考查从
分析与实 思想，武汉中考近年持续考 中
面积计算）、2022 年第 图象获取信息或建立函数
际应用 查，2025 年延续命题趋势。
7 题（容器形状与水位 模型的能力，难度中等。
关系）
2024 年第 16 题（抛物
线对称性与根的关系）、
综合考查对称轴、顶点坐 二次函数是代数核心内容，
二次函数 2023 年第 15 题（抛物 中偏
标、根的判别式等，以解 中考压轴题常涉及，2025 年
小综合 线与方程根的情况）、 难
答题形式呈现，难度较高。 仍为重点难点题型。
2022 年第 15 题（二次
函数与不等式结合）
2024 年第 22 题（火箭
函数在实 运行轨迹分析）、2023 结合多知识点（如一次函
函数应用题体现数学实用
际问题中 年第 22 题（航模飞机飞 数、二次函数）解决实际
性，武汉中考每年必考，2025 中
的综合应 行高度建模）、2022 年 问题，侧重分析、转化与
年仍会作为综合考查题型。
用 第 22 题（黑球运动速度 计算能力，难度中等。
与距离关系）
题型一 反比例函数的性质
y 21．（2025·湖北武汉·模拟预测）函数 = - 中，在每个象限内，y 随 x 的增大而 ．
3x
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图为某同学用计算机中的一个绘图软件画出的反比例函数图象，若此函数
图象经过点 1,1 ，则当纵坐标为-5时 x 的值是（ ）
1 1
A． B．1 C．- D．5
5 5
2m + 6
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数 y = ，当 x < 0 时， y 随 x 的增大而增大，则m 的值可
x
以是 ．（写一个即可）
4．（2025·湖北武汉·一模）在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力F1 阻力臂 l1 = 动力F2 动
力臂 l2．现已知F1 = 20牛， l1 = 5米，F2 = m牛， l2 = n 米，则m 与 n 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，VOA1B1，VA1A2B2 ， A2 A3B3 ，…， An 1AnBn 都是斜边在 x﹣ 轴上的等腰
1
直角三角形，直角顶点B1，B2，B3，…，Bn 都在反比例函数 y = （ x > 0x ）的图象上，则 An （
n 为正整数）
的坐标是（　　）
A． 2 n ,0 B． 2n ,0
C． 2n n +1 ,0 D． 2n+1 ,0
6．（新情景）如图，在边长为 1 的正方形网格上建立直角坐标系，x 轴，y 轴都在格线上，其中反比例函数
y k= k 0，x > 0 的图象被撕掉了一部分，已知点 M，N 在格点上，则 k = ．
x
k
7．（新考向）已知点 A x1, y1 ，B x1 + m, y1 + 2 两点在反比例函数 y = 的图象上．则下列判断正确的是x
（ ）
A．若 k > 0 ，则m < 0 B．若 k < 0，则m 可能小于 0 也可能大于 0
C．若 k > 0 ，点A ， B 在同一象限，则m > 0 D．若 k < 0，点A ， B 在不同象限，则m > 0
8．（跨学科融合）公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅
的电路原理图，压力传感器 R 的阻值随其所受压力F 的变化关系如图（2）所示，电流 I 与压力传感器 R 的
阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（ ）
A．地磅所受的压力F 越大， R 的阻值越小
B．当F = 0N时， R 的阻值是50W
C．当F = 3 104 N 时，检测装置会自动报警
D．当地磅受到压力时，且 R 的阻值小于15W时，检测装置不会自动报警
12
9．（（新情景））如图是反比例函数 y = (x > 0)的图象，点 A 2,6 ，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为点 C，
x
在射线 CA 上，依次截取 AA1 = A1A2 = A2 A3 = A3A4 = CA，过点 A1， A2， A3， A4 分别作 x 轴的垂线，依次交
反比例函数的图象于点B1，B2，B3，B4．按照上述方法则线段 A11B11的长度为（ ）
11 60 1 27A． B． C． D．
2 11 2 5
题型二 函数图象分析与实际应用
1 2．（2025·湖北武汉·一模）如图，抛物线C1 : y = x - 4x 0 x 4 与 x 轴交于点O， A1，将抛物线C1向右依
次平移两次，分别得到抛物线C2 ，C3，与 x 轴交于点 A1， A2， A3，直线 y = m -4 < m < 0 与这 3 条抛物线
的 6 个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
2．（2025·湖北武汉·一模）如图，曲线 AB 是抛物线 y = -4x2 + 8x +1的一部分（其中A 是抛物线与 y 轴的交
k
点， B 是顶点），曲线BC 是反比例函数 y = k 0 的图象的一部分，由点C 开始不断重复形成一组“波浪
x
线”．若点P 2024,m 在该“波浪线”上，则m 的值为（　　）
5
A．1 B．5 C． D．2024
4
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数，函数 y = [x]的部分图象如图所示，若
2 1
方程[x] = ax + 在0 x < 3有 2 个解，则 a2 的取值范围是（ ）
1 a 3 1 a 3 5 a 3 5 3A． < B． < < C． < D． < a <
6 8 9 8 18 8 18 8
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 y = xn ，当 n 为偶数时，其图象关于 y 轴对称，例如：函数 y = x2
的图象关于 y 轴对称．如图是函数 y = x4 - 3x2 的图象的一部分，则方程 x5 -1 = 3x3的实数根的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．（新情境）如图，一个厚度 2cm ，宽度 AB 可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着 AB 的
变化，水面高度也发生变化．设 AB = xcm，水面高度为 ycm，则 y 随 x 变化的函数图象是如图所示的曲线，
它与直线 y = -x +10只有一个公共点 R．则盒子里水的体积是（ ）
A．20cm3 B．30cm3 C．40cm3 D．50cm3
6．（新情境）如图 1，四边形 ABCD为菱形，动点 P ，Q同时从A 点出发，点 P 以每秒 1 个单位长度沿线段
AD 向终点D运动；点Q沿线段 A- B- C - D 向终点D运动，当点 P 运动至终点时，另一点Q也恰好到达终
点．设运动时间为 x 秒， △APQ 的面积为 y 个平方单位，图 2 为 y 关于 x 的函数关系图象．下面四个结论
中：①菱形 ABCD的边长为 6；②点Q的运动速度为每秒 3 个单位长度；③当 2 x 5时，5 y 10；④
y 5 x2 15曲线 FG 段的函数解析式为 = - + x ，结论正确的是（ ）
4 2
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④
7．（新情境）如图是某广场上喷泉的两支水柱的示意图，从 A、B 两点喷出的两条形状相同的抛物线形水柱
在点M 处交汇，落地点分别是点D、C(A、C、D、B在同一水平线上），以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB
的垂直平分线OM 为 y 轴建立平面直角坐标系，已知OM = 2m ，两支水柱的最高点到 AB 的距离均为3m ，
且两支水柱最高点的水平距离为 4m ，则两支水柱落地点的距离CD为（ ）
A． 2 3 m B． 4 3 - 4 m
C． 4 - 2 3 m D． 2 3 - 2 m
8．（新情境）遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑在完全掌握
新事物规律或情况后遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，该曲线对人类记忆认知
研究产生了重大影响．对于艾宾浩斯遗忘曲线，有几种说法，请你观察图象判断正确的有（ ）个．
①完全掌握知识后不复习，在1.25天后还能保持50%的掌握度
②在图示的过程中，能拥有50%掌握度及以上的时间有1.75天
③完全掌握知识后不复习，在 2 天后会丢失80%的掌握程度
④艾宾浩斯遗忘曲线的知识掌握度与天数成反比例关系
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三 二次函数小综合
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 y = ax2 + bx + c经过点 1，1 ， m，0 ， 3，0 ，其中 c < 0．给出下列四
个结论：① abc > 0；② 4ac - b2 < 3a ；③5a + 2b < 0；④ 2am + 2a + b > 0．其中正确的结论是 （填序
号）．
2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，a < 0）经过 1,1 ， m,1
两点，且 2 < m < 4．下列四个结论：① c < 0；②若0 < x <1 2，则 a x +1 + b x +1 + c >1；③若m = 3，
5
c < -1，在抛物线上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 n n > 0 ，则 n > ；④点 A x1, y1 ，B x2 , y2 在抛3
7 5
物线上，若 x1 + x2 > ， x1 > x2 ，总有 y2 1
< y2 ，则 2 < m≤2 ．其中正确的是 （填写序号）．
3．（2025·湖北武汉·一模）抛物线 y = ax2 + bx + c（ a，b ，c是常数，a 0）经过点 -2,c ，下列五个结论：
①抛物线的对称轴是直线 x =1；
②若 c =1，则抛物线经过两个定点；
③若 c = a ，则抛物线与 x 轴有且只有一个公共点；
④若点 A 1, yA ，B m, yB ，C 4, yC 在抛物线上，且 yA < yB < yC ，则1< m < 4；
⑤若 a = -1，关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集恰好有 5 个整数解，则3 < c 8．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
4 2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线 y = ax + bx + c a 0 的对称轴为 x = -1，经过点 1, t ，顶
点为M ，下列四个结论：
①若 a > 0, t < 0 ，则bc < 0
②若 c与 t异号，则抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
③ 2方程 ax + b - t x + c = 0有两个不相等的实数根；
④设抛物线交 y 轴于点C ，不论 a为何值，直线MC 始终过点 3, t ．
其中结论正确的是 （填写序号）．
5．（新考向）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0)图象的一部分与 x 轴的一个交点坐标为 (1,0)，对称轴为
直线 x = -1，结合图象给出下列结论：
① abc < 0；② 9a - 3b + c = 0 ；③ a - b am2 + bm（m 为任意实数）；④若点 x1, y1 ， x2 , y2 ，均在二次
函数图像上，且满足 x1 +1 < x2 +1 ，则 y1 < y2 ；
其中正确的结论有 ．
6 2．（新考向）抛物线 y = ax + bx + c a < 0 的顶点为D -1,2 ，与 x 轴的一个交点A 在点 -3,0 和 -2,0 之
3 1
间，其部分图象如图，有以下结论：① 4ac - b2 > 0；②若 - , y , y y > y
è 2 1 ÷
， 2 ÷是图象上的两点，则2 1 2
；
è
③ a + b + c < 0；④若方程 ax 2 + bx + c - m = 0 没有实数根，则m > 2 ；⑤ 3a + c < 0．其中结论正确的是 ．
题型四 函数在实际问题中的综合应用
1．（2025·湖北武汉·一模）某超市购入一批进价为 40 元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于 45 元，且不
高于 60 元．经市场调查发现：日销售量 y （箱）与销售单价 x （元）（ x 为正整数）是一次函数关系，如图
所示．
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若日销售利润不少于 375 元，直接写出所有满足条件的销售单价．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如
图所示的一条抛物线，已知跳板 AB 长为 2米，跳板距水面CD的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点
水平距离 1 米时达到距水面最大高度 k 米，现以CD为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
(1)画出平面直角坐标系，并求当 k = 4时，这条抛物线的解析式；
(2)当 k = 5时，求运动员落水点与点 C 的距离；
9
(3)图中CE = 米．CF = 5米，若跳水运动员在区域EF 内（不含点E，F ）入水时才能达到训练要求，求 k
2
的取值范围．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）某商业体内矩形停车场（平面图如图所示）规划 A、B、C 三个矩
形区域（东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为 a米， 2a米， a米）作为停车区域和南北方向、东西方
向各两条行车道（车道宽度相同），所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为 1000 平方米．在停车区域内
划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为 a米，东西方向边长为 2.5 米．
(1)①求行车道的宽度；
②直接写出 a的值是_____；车位数量为_____个；
(2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现：按照每个车位每天收费 12 元的标准实施时，车位全部被
租完，当停车费每上涨 1 元时，出租车位的数量将减少 5 个．设停车费上涨 x 元（ x 为正整数），停车场当
天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值．
(3)通过对试营业期获取的数据进行研究后，停车场确定（从 1 月 1 日起）收费标准为：每个车位每天收费
16 元，同时将未出租的车位中的 a个普通车位改装为充电车位（充电车位必定能出租）．已知充电车位改装
费为：5000 元/车位．若停车场改装 a个车位后，要使得停车场的全年（按 365 天计）总收入（全年停车收
费扣除充电车位改装费用）高于未改装之前的全年（按 365 天计）停车场停车收费总金额最大值，直接写
出 a的最小值是_____．
4．（新考向）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约 700 吨，乙水果大约 1020 吨，一次
性运往外地销售．需要不同型号的 A、B 两种车皮共 30 节，A 种车皮每节运费 2500 元，B 种车皮每节运费
3000 元．
(1)设租车皮的总费用为 y 元，租 A 种车皮 x 节，请写出 y 和 x 之间的函数关系式．
(2)如果每节 A 车皮最多可装甲水果 30 吨和乙水果 20 吨，每节 B 车皮最多可装甲水果 25 吨和乙水果 40 吨，
装水果时按此要求安排 A、B 两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．
(3)计划下一次租用 A、B 两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用 A、B 两种车皮，请直接写出有哪
几种租车方案？
5．（新考向）甲乙两车同时从 A 地出发去相距 240 千米的 B 地运送物资，去时甲车的速度是乙车的1.5倍，
并且比乙车提前一个小时到达．到达后，乙车原路原速返回，甲车由于重载，放慢速度返回，计划和乙车
同时到达 A 地．甲车在距离 A 地 80 千米时发现，有一包货物遗落在途中，便以 60 千米/小时的速度原路返
回，找到，装好货物后立即赶往 A 地，恰好和乙车同时到达 A 地．（装卸货时间忽略不计）
(1) a = ，b = ．
(2)求甲车拾到货物加速返回 A 地时的图象函数解析式．
(3)直接写出甲乙两车在返回途中，最远相距多远？
6．（新情景）如图 1 所示是下承式桥（ throughbridge），是桥面系设置在桥跨主要承重结构（桁架、拱肋、
主梁）下面的桥梁．图 2 是下承式桥抽象出的模型，桥的拱肋OPA可视为抛物线的一部分，桥面水平线
（OA）与多根系杆连接并垂直，相邻系杆之间的间距均为5m（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度OA为
280m ，且桥的最高点 P 与桥面的距离 PQ为56m，以点O为原点，射线OA为 x 轴正方向建立平面直角坐标
系．
(1)求抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；
(2)若系杆MN 与桥拱中轴PQ相距70m，求系杆MN 的长度；
(3)小智说，“目测有一根系杆的长度恰好是PQ长度的一半”，请判断该说法是否正确，并说明理由．
7．（文化背景）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆
沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆
沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的 2倍，用1600元购进
蛋黄豆沙饼的数量比用700 元购进普通豆沙月饼的数量多50个．
(1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
(2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以6 元销售时，那么半个月可以售出 200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月
饼的单价每提高 2元，销量会相应减少 40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大
利润是多少？
附加中考真题
一、反比例函数
k
1．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数 y = 具有下列性质：当 x > 0时，y 随 x 的增大而减小，写出
x
一个满足条件的 k 的值是 ．
3
2．（2023·湖北武汉·中考真题）关于反比例函数 y = x ，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内， y 随 x 的增大而减小
D．图像经过点 a,a + 2 ，则 a =1
6
3．（2022·湖北武汉·中考真题）已知点 A x1, y1 ，B x2 , y2 在反比例函数 y = 的图象上，且 x1 < 0 < x ，则x 2
下列结论一定正确的是（ ）
A． y1 + y2 < 0 B． y1 + y2 > 0 C． y1 < y2 D． y1 > y2
二、图象及应用
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 y = x3 - 3x2 + 3x -1的图象，发现它关
于点 1,0 中心对称．若点 A1 0.1, y1 ，A2 0.2, y2 ，A3 0.3, y3 ，……，A19 1.9, y19 ，A20 2, y20 都在函数图
象上，这 20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 y1 + y2 + y3 +LL+ y19 + y20 的值是（ ）
A．-1 B．-0.729 C．0 D．1
5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀
速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度 h 与注水时间 t 的函数关系的是（ ）
A． B．
B．C． D．
6．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形
1
的面积 S = N + L -1，其中 N , L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、
2
纵坐标都是整数的点为格点．已知 A 0,30 ，B 20,10 ,O 0,0 ，则VABO 内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
7．（2022·湖北武汉·中考真题）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 h 随
时间 t的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C．
D．
三、二次函数小综合
8．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数， a<0）经过 -1,1 ， m,1 两点，
且0 < m <1．下列四个结论：
① b > 0；
②若0 < x <1，则 a x -1 2 + b x -1 + c >1；
③若 a = -1，则关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 2 无实数解；
④点 A x1, y1 ，B x
1
2 , y2 在抛物线上，若 x1 + x2 > - ， x1 > x2 ，总有 y1 < y2 ，则0
1
< m ．
2 2
其中正确的是 （填写序号）．
9．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线 y = ax2 + bx + c（ a,b,c是常数， c < 0）经过 (1,1), (m,0), (n,0)三点，
且 n 3．下列四个结论：
① b < 0；
② 4ac - b2 < 4a；
③当 n = 3时，若点 (2, t)在该抛物线上，则 t >1；
1
④若关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = x 有两个相等的实数根，则0 < m ．3
其中正确的是 （填写序号）．
10．（2022·湖北武汉·中考真题）已知抛物线 y = ax2 + bx + c（ a，b ，c是常数）开口向下，过 A -1,0 ，B m,0
两点，且1 < m < 2．下列四个结论：
① b > 0；
3
②若m = ，则 3a + 2c < 0；
2
③若点M x1, y1 ， N x2 , y2 在抛物线上， x1 < x2，且 x1 + x2 > 1，则 y1 > y2 ；
④当 a -1时，关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c =1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
四、函数的应用
11．（2024·湖北武汉·中考真题）16 世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始
祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿
直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为 x 轴，垂直于
1
地面的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 y = ax2 + x和直线 y = - x + b．其中，当火箭
2
运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．
①直接写出 a，b 的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出 a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
12．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于
出发点的飞行水平距离 x （单位：m）以、飞行高度 y （单位：m）随飞行时间 t（单位：s）变化的数据
如下表．
飞行时间 t /s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 x / m 0 10 20 30 40 …
飞行高度 y / m 0 22 40 54 64 …
探究发现： x 与 t， y 与 t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 x 关于 t的函数解析式
和 y 关于 t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据
上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为 0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN , AM =125m, MN = 5m．若飞机落到MN 内（不包括端点M , N ），求发
射平台相对于安全线的高度的变化范围．
13．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A 处开始减速，
此时白球在黑球前面 70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度 v（单位： cm/s）、运动距离 y （单位： cm）随运动时间 t（单位：s）变
化的数据，整理得下表．
运动时间 t / s 0 1 2 3 4
运动速度 v / cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 y / cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度 v与运动时间 t之间成一次函数关系，运动距离 y 与运动时间 t之间成二次函
数关系．
(1)直接写出 v关于 t的函数解析式和 y 关于 t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以 2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．猜押 04 函数综合
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
2024 年第 12 题（根据
围绕反比例函数的增减
增减性写 k 值）、2023 反比例函数是函数基础内
反比例函 性、象限分布、点坐标特
年第 6 题（判断反比例 容，武汉中考高频考点，2025 中
数的性质 征命题，以选择或填空题
函数结论）、2022 年第 年仍会结合性质综合考查。
形式考查，难度中等。
6 题（比较函数值大小）
2024 年第 6 题（圆柱体
注水深度变化）、2023 结合生活情境（如注水问
函数图象 函数图象应用体现数学建模
年第 10 题（格点多边形 题、运动轨迹），考查从
分析与实 思想，武汉中考近年持续考 中
面积计算）、2022 年第 图象获取信息或建立函数
际应用 查，2025 年延续命题趋势。
7 题（容器形状与水位 模型的能力，难度中等。
关系）
2024 年第 16 题（抛物
线对称性与根的关系）、
综合考查对称轴、顶点坐 二次函数是代数核心内容，
二次函数 2023 年第 15 题（抛物 中偏
标、根的判别式等，以解 中考压轴题常涉及，2025 年
小综合 线与方程根的情况）、 难
答题形式呈现，难度较高。 仍为重点难点题型。
2022 年第 15 题（二次
函数与不等式结合）
2024 年第 22 题（火箭
函数在实 运行轨迹分析）、2023 结合多知识点（如一次函
函数应用题体现数学实用
际问题中 年第 22 题（航模飞机飞 数、二次函数）解决实际
性，武汉中考每年必考，2025 中
的综合应 行高度建模）、2022 年 问题，侧重分析、转化与
年仍会作为综合考查题型。
用 第 22 题（黑球运动速度 计算能力，难度中等。
与距离关系）
题型一 反比例函数的性质
y 21．（2025·湖北武汉·模拟预测）函数 = - 中，在每个象限内，y 随 x 的增大而 ．
3x
【答案】增大
k
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数 y = k 0 ，当 k > 0
x
时，图象在每一象限内，y 随 x 增大而减小，当 k < 0时，图象在每一象限内，y 随 x 增大而增大．据此即可
求解．
2 2
【详解】解：∵函数 y = - 中， k = - < 0，
3x 3
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．
故答案为：增大．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图为某同学用计算机中的一个绘图软件画出的反比例函数图象，若此函数
图象经过点 1,1 ，则当纵坐标为-5时 x 的值是（ ）
1 1
A． B．1 C．- D．5
5 5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图形的性质，掌握待定系数法求解析式，由函数值求自变量的值的方法是
解题的关键．
根据函数图象经过点 1,1 得到反比例函数解析式，再令 y = -5时，求出自变量的值即可．
【详解】解：反比例函数图像经过点 1,1 ，
1
∴反比例函数解析式为 y = ，
x
y = -5 x 1∴当 时， = - ，
5
故选：C ．
2m + 6
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数 y = ，当 x < 0 时， y 随 x 的增大而增大，则m 的值可
x
以是 ．（写一个即可）
【答案】-4（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性可得 2m + 6 < 0，即m < -3，即可解答．
y 2m + 6【详解】解：∵反比例函数 = ，当 x < 0 时， y 随 x 的增大而增大，
x
∴ 2m + 6 < 0，即m < -3，
∴m 的值可以是-4．
故答案为：-4
4．（2025·湖北武汉·一模）在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力F1 阻力臂 l1 = 动力F2 动
力臂 l2．现已知F1 = 20牛， l1 = 5米，F2 = m牛， l2 = n 米，则m 与 n 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
利用阻力F1 阻力臂 l1 = 动力F2 动力臂 l2，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】解：∵阻力F1 阻力臂 l1 = 动力F2 动力臂 l2，已知阻力和阻力臂分别是 20 牛和 5 米，
∴动力m 关于动力臂 n 的函数解析式为：100＝mn，
m 100则 ＝ ，是反比例函数，B 选项符合，
n
故选：B．
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，VOA1B1，VA1A2B2 ， A2 A3B3 ，…， An﹣1AnBn 都是斜边在 x 轴上的等腰
1
直角三角形，直角顶点B1，B2，B3，…，Bn 都在反比例函数 y = （ x > 0x ）的图象上，则 An （
n 为正整数）
的坐标是（　　）
A． 2 n ,0 B． 2n ,0
C． 2n n +1 ,0 D n+1． 2 ,0
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌
握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过B1作 B1M1 ^ x轴于M1，根据等腰直角三角形的性质，
可知M1是OA1的中点，且B1M1 = OM1，求出B1的坐标，进一步得出 A1 2,0 ，同理，求出 A2、 A3、…的坐
标，找到规律即可得到 An 的坐标即可．
【详解】解：过B1作 B1M1 ^ x轴于M1，如图，
QVOA1B1是等腰直角三角形，
\M1是OA1的中点，且B1M1 = OM1，
设B1M1 = OM1 = m ，则B1 m,m
1
，代入反比例函数解析式 y = x > 0 ，
x
得m2 =1，
解得m =1，
\OA1 = 2OM1 = 2 1 = 2，
\ A1 2,0 ，
同理，过B2作B2M 2 ^ x 轴于M 2 ，则M 2 是 A1A2 的中点，B2M 2 = A1M 2 ，
设B2M 2 = A1M 2 = n，则B2 n + 2, n
1
，代入反比例函数解析式 y = x > 0 ，
x
得 n n + 2 =1，
解得 n = 2 -1，（负值已经舍去）
\OA2 = OA1 + A1A2 = OA1 + 2A1M 2 = 2 + 2 2 -1 = 2 2 ，
\ A2 2 2,0
同理可得 A3 2 3,0 ，……， An 2 n ,0 ，
\ An 2 n ,0 ，
故选：A．
6．（新情景）如图，在边长为 1 的正方形网格上建立直角坐标系，x 轴，y 轴都在格线上，其中反比例函数
y k= k 0，x > 0 的图象被撕掉了一部分，已知点 M，N 在格点上，则 k = ．
x
【答案】4
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点M (1,n)，则点 N(2,n -2)，将两点代入
反比例函数，可得出n = 2(n -2)，进而求出M (1,4)，则可得出 k 的值．
【详解】解：设点M (1,n)，则点 N(2,n -2)
将点M (1,n)，点 N(2,n -2)
k
代入反比例函数 y = 中，
x
得n = 2(n -2)，
解得 n = 4．
\点M (1,4)，
k = 4．
故答案为：4
7．（新考向）已知点 A x1, y1 ，B x1 + m, y1 + 2
k
两点在反比例函数 y = 的图象上．则下列判断正确的是
x
（ ）
A．若 k > 0 ，则m < 0 B．若 k < 0，则m 可能小于 0 也可能大于 0
C．若 k > 0 ，点A ， B 在同一象限，则m > 0 D．若 k < 0，点A ， B 在不同象限，则m > 0
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断 k > 0
和 k < 0，该反比例函数的增减性，确定m 的取值范围，即可求解；
【详解】A、若 k > 0 ，则 y 随 x 的增大而减小，不知道 y1 的值在哪个象限，无法判断m < 0，故 A 错误；
B．若 k < 0，点 A x1, y1 ，B x1 + m, y1 + 2 两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m 可能小于 0 也
可能大于 0，故 B 正确；
C．若 k > 0 ，点A ， B 在同一象限，则 y 随 x 的增大而减小，所以m < 0，故 C 错误；
D．若 k < 0，点A ， B 在不同象限，则m < 0，故 D 错误；
故选：B
8．（跨学科融合）公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅
的电路原理图，压力传感器 R 的阻值随其所受压力F 的变化关系如图（2）所示，电流 I 与压力传感器 R 的
阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（ ）
A．地磅所受的压力F 越大， R 的阻值越小
B．当F = 0N时， R 的阻值是50W
C．当F = 3 104 N 时，检测装置会自动报警
D．当地磅受到压力时，且 R 的阻值小于15W时，检测装置不会自动报警
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用；根据函数图象与电流与压力传感器的阻值的关系式
即可作出判断．
【详解】解：由图 2 知，地磅所受的压力F 越大， R 的阻值越小，故选项 A 说法正确；
由图 2 知，当F = 0N时， R 的阻值是50W ，故选项 B 说法正确；
当F = 3 104 N 时，由图 2 知，R <15W，由图 3 知， I > 0.6A ，则检测装置会自动报警，故选项 C 说法正
确；
12
由图 3 中 I = > 0.6，得R <15，结合图 2 知，压力 F 增大，此时检测装置会自动报警，故选项 D 说法
R + 5
错误；
故选：D．
12
9．（（新情景））如图是反比例函数 y = (x > 0)的图象，点 A 2,6 ，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为点 C，
x
在射线 CA 上，依次截取 AA1 = A1A2 = A2 A3 = A3A4 = CA，过点 A1， A2， A3， A4 分别作 x 轴的垂线，依次交
反比例函数的图象于点B1，B2，B3，B4．按照上述方法则线段 A11B11的长度为（ ）
11 60 27
A． B． C 1． 2 D．2 11 5
【答案】A
【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律．
根据 AA1 = A1A2 = A2 A3 = A3A4 = CA和 A 2,6 求出点 A1， A2， A3， A4 ， An 的坐标，再结合反比例函数的性
质求出点B1，B2，B3，B4，Bn 的坐标即可求解．
【详解】解：∵点 A 2,6 ， AA1 = A1A2 = A2 A3 = A3A4 = CA，
\ A1 4,6 ， A2 6,6 ， A3 8,6 ， A4 10,6 ， An 2n + 2,6 ．
12
∵点B1，B2，B3，B4，Bn 在反比例函数 y = (x > 0)的图象上，x
B 12 12 12 12 12\ 1 4, ÷，B4 2
6, ÷，B3 8, ÷，B4 10, ÷，Bn 2n + 2, ，
è è 6 è 8 è 10 è 2n + 2 ÷
\ A 12 12 121B1 = 6 - ， A2B2 = 6 - ， AnBn = 6 - ，4 6 2n + 2
\ n 11 A B 12 1 11当 = 时， 11 11 = 6 - = 6 - = ．2 11+ 2 2 2
故选：A．
题型二 函数图象分析与实际应用
1．（2025·湖北武汉· 2一模）如图，抛物线C1 : y = x - 4x 0 x 4 与 x 轴交于点O， A1，将抛物线C1向右依
次平移两次，分别得到抛物线C2 ，C3，与 x 轴交于点 A1， A2， A3，直线 y = m -4 < m < 0 与这 3 条抛物线
的 6 个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．
先求出 A1的坐标 A1(4,0)，得出抛物线C1向右每次平移的距离为 4，根据二次函数为零时两个根的关系即可
解答．
2
【详解】解：将 y = 0 带入抛物线C1 : y = x - 4x 0 x 4 ，
得 x = 0或 x = 4，即 A1(4,0)，
故抛物线C1向右每次平移距离为 4，
设B1，B2，B3，B4，B5，B6 的横坐标分别为x1， x2， x3 ， x4， x5 ， x6 ，
Q B1，B2同时在抛物线C1和直线 y = m -4 < m < 0 上，
即B1，B2为 y = x2 - 4x - m的根，
x b -4\ 1 + x2 = - = - = 4，a 1
x3 + x4 = x1 + 4 + x2 + 4 =12，
x5 + x6 = x3 + 4 + x4 + 4 = x1 + 4 + 4 + x2 + 4 + 4 = 20，
\直线 y = m -4 < m < 0 与这 3 条抛物线的 6 个交点的横坐标之和= 36．
故选 C．
2．（2025·湖北武汉·一模）如图，曲线 AB 是抛物线 y = -4x2 + 8x +1的一部分（其中A 是抛物线与 y 轴的交
k
点， B 是顶点），曲线BC 是反比例函数 y = k 0 的图象的一部分，由点C 开始不断重复形成一组“波浪
x
线”．若点P 2024,m 在该“波浪线”上，则m 的值为（　　）
5
A．1 B．5 C． D．2024
4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、找规律等知识点，找到规律，正
确求出点坐标是解答本题的关键．首先将抛物线的解析式配成顶点式得到点 B 的坐标，然后令抛物线中的
x = 0算出对应的函数值，可得点 A 的坐标；利用待定系数法求出反比例函数图象的解析式，将 x = 5代入反
比例函数解析式算出对应的函数值得到点 C 的坐标，从而发现 5 个单位为一个循环，进而即可得出点 P 的
5
纵坐标与 x = 4时对应的函数值相等，于是将 x = 4代入 y = 算出对应的函数值即可得到 m 的值．
x
【详解】解：将 x = 0代入抛物线 y = -4x2 + 8x +1，可得： y =1
∴ A 0,1 ，
b 8
∵ - = - =12a 2 -4 ，
将 x =1代入抛物线 y = -4x2 + 8x +1，可得： y = 5
∴ B 1,5 ，
k
∵点 B 在双曲线 y = k 0 上
x
∴ k = 5
x 5将 = 5代入 y = 可得： x =1
x
∴ C 5,1 ，
∵由点C 开始不断重复形成一组“波浪线”
又∵ 2024 5 = 404 × × ×4，
∴ P 点纵坐标和 x = 4时对应的函数值相等，
5
∴ 5将 x = 4代入 y = 得 y = ，
x 4
5
∴ m = ；
4
故选 C．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数，函数 y = [x]的部分图象如图所示，若
方程[x] = ax2
1
+ 在0 x < 32 有 2 个解，则
a的取值范围是（ ）
1 a 3 1 3 5A． < B． < a < C． < a
3 5 3
D． < a <
6 8 9 8 18 8 18 8
【答案】A
2 1
【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当 y = ax + (1,1)2 经过 、
(2, 2)、(2,1)、(3, 2) 2
1
时的图象，再由图象判断出函数 y = ax + 2 与函数
y = [x]的图象在0 x < 3有两个交点时
[x] = ax2 1+ 在0 x < 32 有两个解，即可解答此题．
2 1 2 1
【详解】解：当函数 y = ax + 2 与函数
y = [x]的图象在0 x < 3有两个交点时[x] = ax + 0 x < 32 在 有两个解，
2 1 1
令 y = ax + (1,1) a =2 经过 ，得 ，2
\ y 1= x2 1+
2 2 ，
3
令 y = ax2
1
+ 经过 (2, 2)2 ，得 a = ，8
3 1
\ y = x2 +
8 2 ，
2 1 1
令 y = ax + (2,1) a =2 经过 ，得 ，8
1 1
\ y = x2 +
8 2 ，
y = ax2 1令 + 经过 (3, 2)
1
2 ，得
a = ，
6
\ y 1 1= x2 +
6 2 ，
如图，
3 2 1 1
可以看出经过 (2, 2)的 y = x + 和经过 (3, 2) 的 y = x2
1
+ ，与函数 y = [x]8 2 的图象在0 x < 3有两个交点，6 2
\ 1 a 3< ，
6 8
故选：A ．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 y = xn ，当 n 为偶数时，其图象关于 y 轴对称，例如：函数 y = x2
的图象关于 y 轴对称．如图是函数 y = x4 - 3x2 的图象的一部分，则方程 x5 -1 = 3x3的实数根的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】该题主要考查了函数与方程的联系，解题的关键是数形结合．
1
将方程 x5 -1 = 3x3的实数根的个数转化为函数 y = x4 - 3x2 与函数 y = x 图象的交点个数，根据题意即可求解；
【详解】解：方程 x5 -1 = 3x3可变形为 x5 - 3x3 =1，
4 2 1
再变形为 x - 3x = ，
x
则方程 x5
1
-1 = 3x3 4 2的实数根的个数即为方程 x - 3x = 的实数根的个数，x
1
即为函数 y = x4 - 3x2 与函数 y = x 图象的交点个数，
1
由图象可知，当 x > 0时，函数 y = x4 - 3x2 与函数 y = x 的图象有 1 个交点，
∴方程 x5 -1 = 3x3有 1 个正实数根．
根据题意可得函数 y = x4 - 3x2 图像关于 y 轴对称，
∴当 x < 0
1
时，函数 y = x4 - 3x2 与函数 y = 2x 的图象有 个交点，
∴方程 x5 -1 = 3x3有 2 个负实数根．
综上所述，方程 x5 -1 = 3x3有三个实数根．
故选：C．
5．（新情境）如图，一个厚度 2cm ，宽度 AB 可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着 AB 的
变化，水面高度也发生变化．设 AB = xcm，水面高度为 ycm，则 y 随 x 变化的函数图象是如图所示的曲线，
它与直线 y = -x +10只有一个公共点 R．则盒子里水的体积是（ ）
A．20cm3 B．30cm3 C．40cm3 D．50cm3
【答案】D
【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况
V
求参数），求反比例函数解析式等知识点，依题意得出 y = 是解题的关键．
2x
V V
设长方体盒子中水的体积为Vcm3，依题意得V = 2xy ，即 y = ，将曲线 y = 与直线 y = -x +10相联立，2x 2x
V
得 = -x +10，整理得 2x2 - 20x +V = 0 ，由于该曲线与直线 y = -x +10只有一个公共点 R ，因而可得2x
D = 400 -8V = 0，由此即可求出V 的值．
【详解】解：设长方体盒子中水的体积为Vcm3，
依题意得：V = 2xy ，
V
即： y = ，
2x
V
将曲线 y = 与直线 y = -x +10相联立，得：
2x
V
= -x +10，
2x
整理，得： 2x2 - 20x +V = 0 ，
Q该曲线与直线 y = -x +10只有一个公共点 R ，
\D = b2 - 4ac = -20 2 - 4 2V = 400 -8V = 0，
\V = 50，
\长方体盒子中水的体积为50cm3 ，
故选：D ．
6．（新情境）如图 1，四边形 ABCD为菱形，动点 P ，Q同时从A 点出发，点 P 以每秒 1 个单位长度沿线段
AD 向终点D运动；点Q沿线段 A- B- C - D 向终点D运动，当点 P 运动至终点时，另一点Q也恰好到达终
点．设运动时间为 x 秒， △APQ 的面积为 y 个平方单位，图 2 为 y 关于 x 的函数关系图象．下面四个结论
中：①菱形 ABCD的边长为 6；②点Q的运动速度为每秒 3 个单位长度；③当 2 x 5时，5 y 10；④
5 15
曲线 FG 段的函数解析式为 y = - x2 + x ，结论正确的是（ ）
4 2
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④
【答案】A
【分析】根据当点 P 运动至终点时，另一点Q也恰好到达终点可知点 Q 的速度是点 P 速度的 3 倍，进而可
判断②正确；由图象可知，2 秒后点 Q 到达点 B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点 Q 到达点 C
时，△APQ 的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点 Q 运动到CD的中点时，作QE ^ AD 交 AD
AB BH
x 15 3 5 DQ = 3 = QE
5 APQ 25的延长线于 E，此时 = = ， AP = 5， ．证明 = △DQ QE ，求出 ， 的面积为 ，2 4
2 25 设曲线 FG 段的函数解析式为 y = ax + bx + c，把 4,10 , 5, ÷ , 6,0 代入求出函数解析式可判断④正确．
è 4
【详解】解：∵动点 P ，Q同时从A 点出发，同时到达点 D，
∴点 Q 的速度是点 P 速度的 3 倍，
∵点 P 以每秒 1 个单位长度的速度运动，
∴点Q的运动速度为每秒 3 个单位长度，故②正确；
由图象可知，2 秒后点 Q 到达点 B，
∴ AB = 2 3 = 6，即菱形 ABCD的边长为 6，故①正确；
作BH ^ AD于点 H，由图象可知，点 Q 到达点 B 时，即 x = 2时，△APQ 的面积为 5，此时 AP = 2 ，
1
∴ AP × BH = 5，
2
1
∴ 2BH = 5，
2
∴ BH = 5，
1
当点 Q 到达点 C 时，△APQ 的面积最大，此时 x =12 3 = 4， AP = 4 ，△APQ 的面积为 4 5 =10，即
2
当 2 x 5时，5 y 10，故③正确；
当点 Q 运动到点 D 时， x =18 3 = 6，
当点 Q 运动到CD的中点时，作QE ^ AD 交 AD 的延长线于 E，此时 x =15 3 = 5， AP = 5，DQ = 3．
∵ AB∥CD，
∴ A = CDE ，
∵ AHB = DEQ，
∴VABH∽VDQE ，
AB BH
∴ =DQ QE ，
6 5
∴ =3 QE ，
5
∴ QE = ，
2
1 5 25
∴△APQ 的面积为 5 = ，
2 2 4
设曲线 FG 段的函数解析式为 y = ax2 + bx + c，
把 4,10 , 5, 25 ÷ , 6,0 代入，得
è 4
ì16a + 4b + c =10

í25a + 5b + c
25
= ，
4
36a + 6b + c = 0
ì 5
a = -
4
b 15解得 í = ，
2
c = 0

5
∴ y = - x2
15
+ x ，故④正确．
4 2
故选 A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，数
形结合是解答本题的关键．
7．（新情境）如图是某广场上喷泉的两支水柱的示意图，从 A、B 两点喷出的两条形状相同的抛物线形水柱
在点M 处交汇，落地点分别是点D、C(A、C、D、B在同一水平线上），以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB
的垂直平分线OM 为 y 轴建立平面直角坐标系，已知OM = 2m ，两支水柱的最高点到 AB 的距离均为3m ，
且两支水柱最高点的水平距离为 4m ，则两支水柱落地点的距离CD为（ ）
A． 2 3 m B． 4 3 - 4 m
C． 4 - 2 3 m D． 2 3 - 2 m
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立函数关系式；由题意易得两支水柱的最高点坐
标分别为 2,3 , -2,3 ，然后可设顶点式，进而把点 M 坐标代入进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：两支水柱的最高点坐标分别为 2,3 , -2,3 ，点M 0,2 ，设其中一个水柱的函
数关系式为 y = a x - 2 2 + 3，则有： 2 = a 0 - 2 2 + 3，
a 1解得： = - ，
4
y 1∴ = - x - 2 2 + 3，
4
1
令 y = 0 ，则有：- x - 2 2 + 3 = 0，
4
解得： x1 = 2 + 2 3, x2 = 2 - 2 3 ，
∴ C 2 - 2 3,0 ，
同理可得：D 2 3 - 2,0 ，
∴ CD = 2 3 - 2 - 2 + 2 3 = 4 3 - 4 m；
故选：B．
8．（新情境）遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑在完全掌握
新事物规律或情况后遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，该曲线对人类记忆认知
研究产生了重大影响．对于艾宾浩斯遗忘曲线，有几种说法，请你观察图象判断正确的有（ ）个．
①完全掌握知识后不复习，在1.25天后还能保持50%的掌握度
②在图示的过程中，能拥有50%掌握度及以上的时间有1.75天
③完全掌握知识后不复习，在 2 天后会丢失80%的掌握程度
④艾宾浩斯遗忘曲线的知识掌握度与天数成反比例关系
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象，从图象中获取信息，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解
问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．根据图象的横纵坐标表示的意义，进行计算即可
得出答案．
【详解】解：由图象可得，完全掌握知识后不复习，在1.25天后还能保持50%的掌握度，故①说法正确；
在图示的过程中，能拥有50%掌握度及以上的时间小于1.25天，故②说法错误；
100 - 30
完全掌握知识后不复习，在 2 天后会丢失 100% = 70% 的掌握程度，故③说法错误；
100
艾宾浩斯遗忘曲线的知识掌握度在0 d 1时与天数不成反比例关系，故④说法错误．
所以判断正确的有 1 个．
故选：B．
题型三 二次函数小综合
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 y = ax2 + bx + c经过点 1，1 ， m，0 ， 3，0 ，其中 c < 0．给出下列四
个结论：① abc > 0；② 4ac - b2 < 3a ；③5a + 2b < 0；④ 2am + 2a + b > 0．其中正确的结论是 （填序
号）．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的综合等知识点，掌握数形结合
思想成为解题的关键．
先根据题意画出抛物线简图，然后根据二次函数图象的性质可得抛物线开口方向向下、对称轴大于零确定
2
a、b 4ac - b的符号，进而判定①；由抛物线可知抛物线的顶点坐标的纵坐标大于 1，即 >1，再结合 a < 0
4a
可得 4ac - b2 < 4a < 3a ，即可判定②；由抛物线 y = ax2 + bx + c经过点 3,0 、 1,1 可得
9a + 3b + c = 0,a + b + c =1 > 0 m + 3，进而判定③；抛物线的对称轴为直线 x = ，再利用抛物线的对称性可判
2
定④．
【详解】解：根据题意，画出抛物线的简图如下：
如图，由图可知，抛物线开口方向向下：即 a < 0，
b
对称轴- > 0，b > 0，
2a
∵ c < 0 ’
∴ abc > 0，故①正确；
4ac - b2
由题可知：抛物线的顶点坐标的纵坐标大于 1，即 >1，
4a
∵ a < 0，
∴ 4ac - b2 < 4a < 3a 故②正确．
Q抛物线 y = ax2 + bx + c经过点 3,0 ， 1,1 ，
\9a + 3b + c = 0,a + b + c =1 > 0，
\10a + 4b + 2c > 0，
\5a + 2b > -c > 0，故③错误．
∵抛物线过点 m，0 ， 3，0 ，
m + 3
∴抛物线的对称轴为直线 x = ，
2
\点 1,1 和点 2 + m,1 关于对称轴对称，
\a(2 + m)2 + b 2 + m + c > am2 + bm + c ，整理，得2am + 2a + b > 0，故④正确．
故答案为①②④．
2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，a < 0）经过 1,1 ， m,1
2
两点，且 2 < m < 4．下列四个结论：① c < 0；②若0 < x <1，则 a x +1 + b x +1 + c >1；③若m = 3，
5
c < -1，在抛物线上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 n n > 0 ，则 n > ；④点 A x1, y1 ，B x3 2
, y2 在抛
x 7+ x > x > x y < y 2 m 5物线上，若 1 2 ， 1 2 ，总有 1 2 ，则 < ≤2 ．其中正确的是 （填写序号）．2
【答案】②③④
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，由抛物线过 1,1 ， m,1 两点，得到
1 = a + b + c b m +1，抛物线对称轴为 x = - =2a 2 ，再结合 2 < m < 4逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数， a < 0）经过 1,1 ， m,1 两点，
∴1 = a + b + c b m +1，抛物线对称轴为 x = - =2a 2 ，
∴ a + b =1- c
∵ 2 < m < 4，
3 m +1 5 3 b 5
∴ < < ，即 < - < ，
2 2 2 2 2a 2
∵ a < 0，
∴ -3a < b < -5a ，
∴ 0 < -2a < a + b < -4a，
∴ 0 <1- c，解得 c <1，
故①错误；
∵抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数， a < 0）经过 1,1 ， m,1 两点，
∴不等式 ax2 + bx + c >1的解集为1< x < m，
∴ a x +1 2 + b x +1 + c >1不等式的解集为1< x +1< m，
解得0 < x < m -1
∵ 2 < m < 4，
∴ 0 < x <1< m -1，
故②正确；
∵ m = 3，
∴抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数， a < 0）经过 1,1 ， 3,1 两点，
∴ y = ax2 + bx + c = a x -1 x - 3 +1 = ax2 - 4ax + 3a +1 = a x - 2 2 +1- a ，
∴当 x = 2时，有最大值 y =1- a，
∵ c < -1，
2
∴ 3a +1< -1，解得 a < - ，
3
∴1- a
5
> ，
3
∵在抛物线上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 n n > 0 ，抛物线与 y = -n 必定有两个交点，
∴抛物线与 y = n 必定没有交点，
∴ n >1- a ，
n 1 a 5∴ > - > ，
3
故③正确；
∵抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数， a < 0）
∴函数图象开口向下，在对称轴右边 y 随 x 的增大而减小，
∵， x1 > x2 ，总有 y1 < y2 ，
x1 + x2 b∴ > - 恒成立，
2 2a
7
∵ x b m +11 + x2 > ， x = - = ，2 2a 2
x1 + x2 7 m +1∴ > ，
2 4 2
m 5解得 ，
2
∵ 2 < m < 4，
∴ 2 m 5< ≤2 ，
故④正确，
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
3．（2025·湖北武汉·一模）抛物线 y = ax2 + bx + c（ a，b ，c是常数，a 0）经过点 -2,c ，下列五个结论：
①抛物线的对称轴是直线 x =1；
②若 c =1，则抛物线经过两个定点；
③若 c = a ，则抛物线与 x 轴有且只有一个公共点；
④若点 A 1, yA ，B m, yB ，C 4, yC 在抛物线上，且 yA < yB < yC ，则1< m < 4；
⑤若 a = -1，关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集恰好有 5 个整数解，则3 < c 8．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】②③⑤
【分析】本题考查二次函数图像及性质，熟练掌握是解题的关键．
根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：①：当 x = 0时， y = c，
则抛物线 y = ax2 + bx + c经过点 (0,c)，
又Q抛物线经过点 -2,c ，
\抛物线的对称轴是直线 x = -1，故①错误；
②：当 c =1时，抛物线经过点( 0, 1)，点 (-2,1) ，故②正确；
③：若 c = a ，即抛物线 y = ax2 + bx + a ，将点 -2,c 带入抛物线得： a = 4a - 2b + a，
\b = 2a ，
则b2 - 4ac = b2 - 4a2 = 0，
则抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，故③正确；
④：如图所示，抛物线的对称轴是直线 x = -1，
又Q yA < yC ，
\抛物线开口向上，
\1 < m < 4或者-6 < m < -3，故④错误；
b
⑤：Q抛物线的对称轴是直线 x = - = -1， a = -1，
2a
\b = -2 ，
若关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集恰好有 5 个整数解，即-3，-2，-1，0 ，1；
ì-1- 2 + c > 0
则当 x =1时， y > 0，当 x = 2时， y 0，即 í
-4 - 4 + c
，
0
解得3 < c 8，故⑤正确；
故答案为②③⑤．
4．（24-25 九年级下·湖北武汉· 2阶段练习）抛物线 y = ax + bx + c a 0 的对称轴为 x = -1，经过点 1, t ，顶
点为M ，下列四个结论：
①若 a > 0, t < 0 ，则bc < 0
②若 c与 t异号，则抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
③ 2方程 ax + b - t x + c = 0有两个不相等的实数根；
④设抛物线交 y 轴于点C ，不论 a为何值，直线MC 始终过点 3, t ．
其中结论正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线对称轴为直线 x = -1，抛物线经过 1, t 可得 a，b，c 与 n 的关
系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含 c 和 n 代数式表示直线MC ，将 x = 3代
入解析式求解可判断④．
2
【详解】解： y = ax + bx + c a 0 的对称轴为直线 x = -1，
b
∴ - = -1，
2a
∴ b = 2a，
∵抛物线经过 1, t ，
∴ a + b + c = t ，即 c = t - 3a，
若 a > 0， t < 0，则 b = 2a > 0 ， c = t - 3a < 0 ，
∴ bc < 0 ，
故①正确；
∵ c = t - 3a，
t - c
∴ a = ，
3
2
∵ b2 2
4 t - c 4 t - c c
- 4ac = 4a - 4ac 4= - = t - c t - 4c ，
9 3 9
∵c 与 t 异号，
4
∴ t - c t - 4c > 0，
9
∴抛物线与 x 轴有 2 个不同交点，
故②正确；
∵ a + b + c = t ，
∴ b - t = -a - c ，
方程 ax2 + b - t x + c = 0 2中Δ = b - t - 4ac = -a - c 2 - 4ac = a - c 2，
∴ a = c 时，方程有两个相同实数解，
故③错误；
∵抛物线对称轴为直线 x = -1，
x = -1 y = ax2把 代入 + bx + c a 0 得 y = a - b + c = -a + c ，
∴抛物线顶点坐标为 -1, -a + c ，
把 x = 0代入 y = ax2 + bx + c得 y = c，
∴点 C 坐标为 0,c ，
设MC 解析式为 y = mx + n ，把 -1, -a + c ， 0,c 代入 y = mx + n 得
ìc = n
í
-m
，
+ n = -a + c
ìn = c
解得 í ，
m = a
t - c
∴ y = ax + c = x + c ，
3
t - c
把 x = 3代入 y = x + c得 y = t - c + c = t ，
3
∴不论 a为何值，直线PC 经过 3, t ，
故④正确．
故答案为：①②④．
5．（新考向）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0)图象的一部分与 x 轴的一个交点坐标为 (1,0)，对称轴为
直线 x = -1，结合图象给出下列结论：
① abc < 0；② 9a - 3b + c = 0 ；③ a - b am2 + bm（m 为任意实数）；④若点 x1, y1 ， x2 , y2 ，均在二次
函数图像上，且满足 x1 +1 < x2 +1 ，则 y1 < y2 ；
其中正确的结论有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知，开口向上，
\a > 0，
∵抛物线的对称轴为直线 x = -1，
\b>0，
∵抛物线交 y 轴负半轴，
\c < 0
\abc<0，故①正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 x = -1，与 x 轴的一个交点坐标为 (1,0)，根据抛物线的对称性可得，抛物线与 x 轴
的另一个交点坐标为 (-3,0)，
将该点坐标代入解析式可得：9a - 3b + c = 0 ，故②正确，符合题意；
∵抛物线顶点横坐标为 x = -1，当 x = -1时求得 y 值最小，即 y = a - b + c，
∴无论 x 取何值时， y = am2 + bm + c 总是大于或等于 y = a - b + c
即 a - b am2 + bm，故③正确，符合题意；
根据绝对值的几何意义可知， x1 +1，x2 +1 分别表示 x1, x2 到-1的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴
越远的点，其 y 坐标就越大，故④正确，符合题意．
故答案为：①②③④．
6 2．（新考向）抛物线 y = ax + bx + c a < 0 的顶点为D -1,2 ，与 x 轴的一个交点A 在点 -3,0 和 -2,0 之
3 1
间，其部分图象如图，有以下结论：① 4ac - b2 > 0；②若 - , y2 1 ÷，
, y2 ÷是图象上的两点，则 y1 > y2 ；
è è 2
③ a + b + c < 0；④若方程 ax 2 + bx + c - m = 0 没有实数根，则m > 2 ；⑤ 3a + c < 0．其中结论正确的是 ．
【答案】②③④⑤
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次
项系数 a决定抛物线的开口方向和大小：当 a > 0时，抛物线向上开口；当 a < 0时，抛物线向下开口；②一
次项系数b 和二次项系数 a共同决定对称轴的位置：当 a与b 同号时（即 ab > 0 )，对称轴在 y 轴左；当 a与b
异号时（即 ab < 0 )，对称轴在 y 轴右；③常数项 c决定抛物线与 y 轴交点．抛物线与 y 轴交于（0,c）．①根
据抛物线与 x 轴有两个交点，可得b2 - 4ac > 0，据此解答即可；②根据抛物线的对称轴 x = -1，开口向下，
据此判断即可；③根据抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（- 3，0）和（- 2，0）之间，可得抛物线与 x 轴的另一
个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当 x =1时 a + b + c < 0，据此判断即可；④根据 y = ax2 + bx + c的最大值
是 2，可得方程 ax 2 + bx + c - m = 0 没有实数根，则m > 2 ，据此判断即可；⑤首先根据抛物线的对称轴
x b= - = -1，可得b = 2a，然后根据 a + b + c < 0，判断出3a + c < 0即可．
2a
【详解】解：Q抛物线与 x 轴有两个交点，
\b2 - 4ac > 0，
\结论①不正确．
Q 3 1 抛物线的对称轴 x = -1，开口向下， - , y2 1 ÷，
, y 是图象上的两点，
è è 2 2 ÷
\ y1 > y2 ，
\结论②正确．
Q抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（- 3，0）和（- 2，0）之间，
\抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
\当 x =1时， a + b + c < 0，
\结论③正确．
Q y = ax2 + bx + c的最大值是 2，
\方程 ax 2 + bx + c - m = 0 没有实数根，则m > 2 ，
\结论④正确．
Q b抛物线的对称轴 x = - = -1，
2a
\b = 2a ，
Qa + b + c < 0，
\a + 2a + c < 0，
\3a + c < 0，
\结论⑤正确．
综上，可得正确结论的序号是：②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
题型四 函数在实际问题中的综合应用
1．（2025·湖北武汉·一模）某超市购入一批进价为 40 元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于 45 元，且不
高于 60 元．经市场调查发现：日销售量 y （箱）与销售单价 x （元）（ x 为正整数）是一次函数关系，如图
所示．
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若日销售利润不少于 375 元，直接写出所有满足条件的销售单价．
【答案】(1) y = -4x + 240 45 x 60
(2)当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是 400元
(3) 48元、 49元、50元、51元、52元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的最值，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
（1）设每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间的函数解析式为 y = kx + b，结合图形利用待定系数
法求解，即可解题；
（2）根据“每天利润=每件利润 每天的销售量”建立方程求解，即可解题；
（3）根据利润的表达式，即可解题．
【详解】（1）解：设 y = kx + b，将 (45,60) ， (55,20) 带入解析式，
ì60 = 45k + b
得： í
20 = 55k b
，
+
ìk = -4
解得 í
b = 240
，
即 y = -4x + 240．
（2）解：设日销售利润为w，
则w = (x - 40)(-4x + 240) = -4x2 + 400x - 9600 = -4(x - 50)2 + 400 ，
易得当销售单价为 50 元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是 400 元．
（3）解：日销售利润为w = -4(x - 50)2 + 400，
由题意得w 375，即-4(x - 50)2 + 400 375，
化简得 (x 50)2
25
- ，即 x - 50
5
，
4 2
Q x 为正整数，
\满足条件的销售单价为 48、 49、50、51、52．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如
图所示的一条抛物线，已知跳板 AB 长为 2米，跳板距水面CD的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点
水平距离 1 米时达到距水面最大高度 k 米，现以CD为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
(1)画出平面直角坐标系，并求当 k = 4时，这条抛物线的解析式；
(2)当 k = 5时，求运动员落水点与点 C 的距离；
9
(3)图中CE = 米．CF = 5米，若跳水运动员在区域EF 内（不含点E，F ）入水时才能达到训练要求，求 k
2
的取值范围．
【答案】(1)见解析， y = - x - 3 2 + 4
(2)3 10+ 米
2
(3) 4
27
< k <
5
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，理解函数图象，掌握待定系数法求二次函数解析式，
二次函数的顶点式，图象的性质等知识是解题的关键．
（1）根据题意作出坐标系，可得抛物线的顶点坐标为 (3, 4) ，且过点 A(2,3) ，设抛物线的解析式为
y = a(x - 3)2 + 4(a 0)，运用待定系数法即可求解；
（2）同理（1）求出函数解析式，令 y = 0 ，求出 x 即可；
（3）若跳水运动员在区域EF 内（含点E, F ）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为 y = m(x - 3)2 + k ，
9
中当 x = 米时， y > 0，当 x = 5米时， y < 0，解不等式即可得．
2
【详解】（1）解：如图所示：
根据题意可得，抛物线的顶点坐标为 (3, 4) ，点 A(2,3) ，
∴设抛物线的解析式为 y = a(x - 3)2 + 4(a 0)，
把点 A(2,3) 代入得， a(2 - 3)2 + 4 = 3，解得， a = -1，
∴抛物线的解析式为 y = -(x - 3)2 + 4 ．
（2）根据题意，抛物线解析式为： y = a x - 3 2 + 5，
2
把点 A 2,3 代入解析式得：3 = a 2 - 3 + 5，
解得： a = -2 ，
抛物线解析式为： y = -2 x - 3 2 + 5，
由题意可得：当 y = 0，则0 = -2 x - 3 2 + 5，
x 10解得： 1 = 3+ ， x 3
10
2 = - ，2 2
10 10
故抛物线与 x 轴交点为： 3+ ,02 ÷÷ ，
3- ,0÷÷，
è è 2
当 k = 5 10时，运动员落水点与点 C 的距离为3+ 米；
2
（3）解：根据题意，
∵跳板 AB 长为 2米，跳板距水面CD的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面
最大高度 k 米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为 y = m(x - 3)2 + k ，且过点 A(2,3) ，
∴ m + k = 3，则m = 3- k ，
∵ CE
9
= 米，CF = 5米，
2
x 9∴ = y m 9
2
9 27
当 时， = - 3÷ + k > 0，则 3 - k + k > 0，解得， k < ；2 è 2 4 5
当 x = 5时， y = m 5 - 3 2 + k < 0，则 4 3- k + k < 0，解得， k > 4；
27
综上所述， 4 < k < ．
5
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）某商业体内矩形停车场（平面图如图所示）规划 A、B、C 三个矩
形区域（东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为 a米， 2a米， a米）作为停车区域和南北方向、东西方
向各两条行车道（车道宽度相同），所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为 1000 平方米．在停车区域内
划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为 a米，东西方向边长为 2.5 米．
(1)①求行车道的宽度；
②直接写出 a的值是_____；车位数量为_____个；
(2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现：按照每个车位每天收费 12 元的标准实施时，车位全部被
租完，当停车费每上涨 1 元时，出租车位的数量将减少 5 个．设停车费上涨 x 元（ x 为正整数），停车场当
天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值．
(3)通过对试营业期获取的数据进行研究后，停车场确定（从 1 月 1 日起）收费标准为：每个车位每天收费
16 元，同时将未出租的车位中的 a个普通车位改装为充电车位（充电车位必定能出租）．已知充电车位改装
费为：5000 元/车位．若停车场改装 a个车位后，要使得停车场的全年（按 365 天计）总收入（全年停车收
费扣除充电车位改装费用）高于未改装之前的全年（按 365 天计）停车场停车收费总金额最大值，直接写
出 a的最小值是_____．
【答案】(1)①5 米；②5，80
(2)最大值为 980 元
(3)9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，正确建立方
程和不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）①设行车道的宽度为b 米，根据行车道的面积等于停车场总面积减去停车区域的面积建立方程，解方
程即可得；
②根据 A, B,C 区域的南北方向宽度与行车道的宽度之和等于 30 米建立方程，解方程即可得 a的值；再根据
车位的划分方法即可得车位数量；
（2）根据收费标准：停车场当天收费总金额=每个车位每天费用 出租车位的数量，建立w与 x 之间的函
数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（3）先求出当每个车位每天收费 16 元时，出租车位的数量为 60 个，再根据题意建立一元一次不等式，解
不等式求出正整数 a的最小值即可得．
【详解】（1）解：①设行车道的宽度为b 米，
由题意得：30b + 30b + 2b 60 - 2b = 60 30 -1000，
解得b = 5或b = 40 > 30（不符合题意，舍去），
答：行车道的宽度为 5 米．
②由题意得： a + 2a + a + 2 5 = 30 ，
解得 a = 5，
车位数量为 60 - 5 - 5 2.5 4 = 80 （个），
故答案为：5，80．
（2）解：由题意得：w = 12 + x 80 - 5x
= -5x2 + 20x + 960
= -5 x - 2 2 + 980，
由二次函数的性质可知，当 x = 2时，w取得最大值，最大值为 980，
答：停车场当天收费总金额的最大值为 980 元．
（3）解：由（2）可知，当每个车位每天收费 16 元时，出租车位的数量为80 - 16 -12 5 = 60（个），
则充电车位的数量0 < a 80 - 60，即0 < a 20 ，
由题意得：365 16 60 + a - 5000a > 365 980，
a 8 29解得 > ，
42
∵ a为正整数，
∴ a的最小值为 9，符合题意，
故答案为：9．
4．（新考向）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约 700 吨，乙水果大约 1020 吨，一次
性运往外地销售．需要不同型号的 A、B 两种车皮共 30 节，A 种车皮每节运费 2500 元，B 种车皮每节运费
3000 元．
(1)设租车皮的总费用为 y 元，租 A 种车皮 x 节，请写出 y 和 x 之间的函数关系式．
(2)如果每节 A 车皮最多可装甲水果 30 吨和乙水果 20 吨，每节 B 车皮最多可装甲水果 25 吨和乙水果 40 吨，
装水果时按此要求安排 A、B 两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．
(3)计划下一次租用 A、B 两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用 A、B 两种车皮，请直接写出有哪
几种租车方案？
【答案】(1) y = -500x + 90000
(2)共 10 种方案，A 种车皮 9 节，B 种车皮 21 节，最低费用为 85500 元
(3) x, y = 33,1 或 27,6 或 21,11 或 15,16 或 9,21 或 3,26 ，所以共 6 种租车方案．
【分析】本题考查了一次函数的建模和求解与不等式组、整数解分析和费用最小化等知识点，解题关键在
于正确建立函数模型并求解．
（1）根据关系，列出函数关系式，化简即可；
（2）根据题意列出不等式组，计算出 x 的取值范围，即可知有 10 种方案且计算出最低费用；
（3）列出方程式，解得其整数解即可．
【详解】（1）解： y = 2500x + 3000 30 - x = -500x + 90000 ，
\ y和 x 之间的函数关系式为 y = -500x + 90000；
ì 30x + 25 30 - x 700
（2）解： í
20x + 40 30
，
- x 1020
解得-10 x 9，
∵ x 0 ，
∴ x 的可能取值为0 x 9的整数，共 10 种方案，
Q费用函数 y = -500x + 90000中，y 随 x 增大而减小，
\当 x = 9 时，费用最低，
此时 y = -500 9 + 90000 = 85500元，
对应方案为 A 种车皮 9 节，B 种车皮 21 节，
故答案为：共 10 种方案，最低费用为 85500 元；
（3）解：解方程 2500x + 3000y = 85500，
化简为5x + 6y =171，满足 x 1， y 1，
整数解有： x, y = 33,1 或 27,6 或 21,11 或 15,16 或 9,21 或 3,26 ，所以共 6 种租车方案．
5．（新考向）甲乙两车同时从 A 地出发去相距 240 千米的 B 地运送物资，去时甲车的速度是乙车的1.5倍，
并且比乙车提前一个小时到达．到达后，乙车原路原速返回，甲车由于重载，放慢速度返回，计划和乙车
同时到达 A 地．甲车在距离 A 地 80 千米时发现，有一包货物遗落在途中，便以 60 千米/小时的速度原路返
回，找到，装好货物后立即赶往 A 地，恰好和乙车同时到达 A 地．（装卸货时间忽略不计）
(1) a = ，b = ．
(2)求甲车拾到货物加速返回 A 地时的图象函数解析式．
(3)直接写出甲乙两车在返回途中，最远相距多远？
【答案】(1)3，4
(2) y = -60x + 480
(3)最远相距 48 千米
【分析】 1 利用图象得到乙车去与返回的速度相同，且乙车的总时间为 8 小时，再利用甲车比乙车提前一
个小时到达的条件解答即可；
2 利用 1 的结论求得甲车速度，设甲车返回的路程是 x 千米，列方程求得 x 值，得到点 C 坐标，最后利
用待定系数法解答即可；
3 利用待定系数法求得 AC ， BE 的解析式，再利用一次函数的性质解答即可．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，点的坐标的特征，一次函数的应用，利用函数图象提炼信息是解
题的关键．
【详解】（1）解：由题意，Q乙车去与返回的速度相同，且乙车的总时间为 8 小时，
\乙车到达 B 地时用时 4 小时，即b = 4 ，
Q甲比乙车提前一小时到达，
\a = b -1 = 3．
故答案为：3，4；
（2）解：Q甲车计划和乙车同时返回 A 地，
\甲返回时候的速度是 240 8 - 3 = 48千米/小时．
x x + 80 240 -80
设甲车返回的路程是 x 千米，则有： + = 8 - 3 - ，
60 60 48
\ x =10，
13
可得 D 的坐标是 ,90÷，E 8,0 ，
è 2
设 yDE = kx + b，代入 D、E 坐标可得：
ì6.5k + b = 90
\í
8k + b
，
= 0
ìk = -60
\í ．
b = 480
\甲车拾到货物加速返回 A 地时的图象函数解析式为 y = -60x + 480．
（3）解：甲乙两车在返回途中，最远相距 48 千米．
240 -80 48 10= (小时 ) ，
3
\C 3 10 + ,80

3 ÷
，
è
由题意： A 3,240 ，
设直线 AC 的解析式为 y = kx + m ，
ì3k + m = 240
\ í19 ，
k + m = 80 3
ìk = -48
\í
m = 384
，
\直线 AC 的解析式为 y = -48x + 384，
同理可得直线 BE 的解析式为 y = -60x + 480，
\甲乙两车在返回途中，相距的路程为 -60x + 480 - -48x + 384 = -12x + 96，
Q-12 < 0， 4 x 8，
\当 x = 4时，相距的路程取得最大值为 48，
\甲乙两车在返回途中，最远相距 48 千米．
6．（新情景）如图 1 所示是下承式桥（ throughbridge），是桥面系设置在桥跨主要承重结构（桁架、拱肋、
主梁）下面的桥梁．图 2 是下承式桥抽象出的模型，桥的拱肋OPA可视为抛物线的一部分，桥面水平线
（OA）与多根系杆连接并垂直，相邻系杆之间的间距均为5m（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度OA为
280m ，且桥的最高点 P 与桥面的距离 PQ为56m，以点O为原点，射线OA为 x 轴正方向建立平面直角坐标
系．
(1)求抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；
(2)若系杆MN 与桥拱中轴PQ相距70m，求系杆MN 的长度；
(3)小智说，“目测有一根系杆的长度恰好是PQ长度的一半”，请判断该说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1) y
1
= - x -140 2 + 56
350
(2)42 米
(3)小智的说法不正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）先求出OA,OQ 的值，设设抛物线的解析式，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出点M 的横坐标，代入解析式求解即可；
（3）求出 PQ的一半，代入解析式，求解分析即可．
【详解】（1）解：（1）QOA = 280，
\OQ 1= OA = 140 ，
2
已知PQ = 56 2，设抛物线的解析式为 y = a x -140 + 56，
将点 0,0 2代入解析式，得0 = a 0 -140 + 56 ，
1
解得a = - ，
350
1
故抛物线的解析式为 y = - x -140 2 + 56．
350
（2）解：由题知， NQ = 70，
\ON = 140 - 70 = 70，
\点M 的横坐标为 70，
将 x = 70代入 y
1
= - x -140 2 + 56，得
350
y 1= - 70 -140 2 + 56 = 42，
350
∴系杆MN 的长度为 42 米．
（3）解：小智的说法不正确，理由如下：
设存在一根系杆的长度是 PQ的一半，即 28 米，
y = 28 y 1= - x -140 2将 代入 + 56，解得
350 x = 140 ± 70 2
．
Q相邻系杆之间的间距均为 5 米，
\每根系杆上的点的横坐标均为整数，
\ x = 140 ± 70 2 与实际不符，
\不存在一根系杆的长度恰好是 PQ长度的一半．
7．（文化背景）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆
沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆
沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的 2倍，用1600元购进
蛋黄豆沙饼的数量比用700 元购进普通豆沙月饼的数量多50个．
(1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
(2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以6 元销售时，那么半个月可以售出 200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月
饼的单价每提高 2元，销量会相应减少 40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大
利润是多少？
【答案】(1)普通豆沙饼的单价是 2元，蛋黄豆沙饼的单价是 4元
(2)当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720 元
【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，
（1）设普通豆沙饼的单价是 x 元，则蛋黄豆沙饼的单价是 2x元，根据“用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比
用700 元购进普通豆沙月饼的数量多50个”列出分式方程求解即可；
（2）设售价定为 a元，利润为W 元，根据题意列出W 关于 a的二次函数，结合二次函数的性质求解即可；
解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式．
【详解】（1）解：设普通豆沙饼的单价是 x 元，则蛋黄豆沙饼的单价是 2x元，
1600 700
依题意，得： - = 50，
2x x
解得： x = 2，
经检验： x = 2是所列方程的解且符合题意，
∴ 2x = 2 2 = 4（元），
答：普通豆沙饼的单价是 2元，蛋黄豆沙饼的单价是 4元；
（2）设售价定为 a元，利润为W 元，
é 40 a - 6W a ù= - 4 200 - = -20 a -10 2依题意，得： ê + 720，
2
ú

∵ -20 < 0
∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值，
∴当 a =10时，W 有最大值，最大值为720 元，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720 元．
附加中考真题
一、反比例函数
k
1．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数 y = 具有下列性质：当 x > 0时，y 随 x 的增大而减小，写出
x
一个满足条件的 k 的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 ，双曲线的两支分别位于
第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，当 k < 0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，
在每一象限内 y 随 x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可．
【详解】解：∵当 x > 0时，y 随 x 的增大而减小，
∴ k > 0
故答案为：1（答案不唯一）．
3
2．（2023·湖北武汉·中考真题）关于反比例函数 y = x ，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内， y 随 x 的增大而减小
D．图像经过点 a,a + 2 ，则 a =1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限
【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
3
【详解】解：A． y = x 的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
y 3B． = x 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
3
C． y = x 的图像所在的每一个象限内，
y 随 x 的增大而减小，故该选项符合题意；
3 3
D． 由 y = 的图像经过点 a,a + 2 ，则 a + 2 = ，计算得 a =1或 a = -3x a ，故该选项不符合题意．
故选 C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键．
6
3．（2022·湖北武汉·中考真题）已知点 A x1, y1 ，B x2 , y2 在反比例函数 y = 的图象上，且 x1 < 0 < x2 ，则x
下列结论一定正确的是（ ）
A． y1 + y2 < 0 B． y1 + y2 > 0 C． y1 < y2 D． y1 > y2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】把点 A 和点 B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出 y1 、 y2 的大小关系．
6
【详解】解：∵点 A x1, y1 ，B x2 , y2 ）是反比例函数 y = 的图象时的两点，x
∴ x1y1 = x2 y2 = 6．
∵ x1 < 0 < x2 ，
∴ y1 < 0 < y2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关
键．
二、图象及应用
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 y = x3 - 3x2 + 3x -1的图象，发现它关
于点 1,0 中心对称．若点 A1 0.1, y1 ，A2 0.2, y2 ，A3 0.3, y3 ，……，A19 1.9, y19 ，A20 2, y20 都在函数图
象上，这 20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 y1 + y2 + y3 +LL+ y19 + y20 的值是（ ）
A．-1 B．-0.729 C．0 D．1
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】点坐标规律探索、求自变量的值或函数值、成中心对称
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出 y1 + y2 + y3 +L y9 + y11L+ y19 = 0，
进而转化为求 y10 + y20 ，根据题意可得 y10 = 0 ， y20 =1，即可求解．
【详解】解：∵这 20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
0.1+1.9 0.2 +1.8 0.9 +1.1
∴ = = ××× =1，
2 2 2
∴ y1 + y2 + y3 +L y9 + y11L+ y19 = 0，
∴ y1 + y2 + y3 +LL+ y19 + y20 = y10 + y20 ，而 A10 1,0 即 y10 = 0 ，
∵ y = x3 - 3x2 + 3x -1，
当 x = 0时， y = -1，即 0, -1 ，
∵ 0, -1 关于点 1,0 中心对称的点为 2,1 ，
即当 x = 2时， y20 =1，
∴ y1 + y2 + y3 +LL+ y19 + y20 = y10 + y20 = 0 +1 =1，
故选：D．
5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀
速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度 h 与注水时间 t 的函数关系的是（ ）
A． B．
B．C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分 3 段分析，即可求解．
【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面
上升更慢，
所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故选：D．
6．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形
的面积 S
1
= N + L -1，其中 N , L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、
2
纵坐标都是整数的点为格点．已知 A 0,30 ，B 20,10 ,O 0,0 ，则VABO 内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】坐标与图形
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出VABO 的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，
∵ A 0,30 ，B 20,10 ,O 0,0 ，
S 1∴ VABO = 30 20 = 300 ，2
∵ OA上有 31 个格点，
OB 上的格点有 2,1 ， 4,2 ， 6,3 ， 8,4 ， 10,5 ， 12,6 ， 14,7 ， 16,8 ， 18,9 ， 20,10 ，共 10
个格点，
AB 上的格点有 1,29 ， 2,28 ， 3,27 ， 4,26 ， 5,25 ， 6, 24 ， 7,23 ， 8,22 ， 9,21 ， 10,20 ，
11,19 ， 12,18 ， 13,17 ， 16,14 ， 15,15 ， 16,14 ， 17,13 ， 18,12 ， 19,11 ，共 19 个格点，
∴边界上的格点个数 L = 31+10 +19 = 60，
∵ S = N
1
+ L -1，
2
300 N 1∴ = + 60 -1，
2
∴解得 N = 271．
∴VABO 内部的格点个数是 271．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
7．（2022·湖北武汉·中考真题）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 h 随
时间 t的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越
粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．
【详解】解：从函数图象可以看出：OA 段上升最慢，AB 段上升较快，BC 段上升最快，上升的快慢跟容器
的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，
∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的
关键．
三、二次函数小综合
8．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数， a<0）经过 -1,1 ， m,1 两点，
且0 < m <1．下列四个结论：
① b > 0；
②若0 < x <1，则 a x -1 2 + b x -1 + c >1；
③若 a = -1，则关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 2 无实数解；
④点 A x1, y1 ，B x
1 1
2 , y2 在抛物线上，若 x1 + x2 > - ， x1 > x2 ，总有 y1 < y2 ，则0 < m ．2 2
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【难度】0.4
【知识点】y=ax +bx+c 的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方
程根的情况
1 -1+ m
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴- < < 0，即可判断①，根据
2 2
-1,1 ， m,1 两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过 -1,1 得出 c = b + 2 ，代入顶点纵坐标，
1 -1+ m 1
求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴- < - ，解不等式，即可求解．
2 2 4
【详解】解：∵ y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数， a<0）经过 -1,1 ， m,1 两点，且0 < m <1．
b -1+ m 1 -1+ m
∴对称轴为直线 x = - = ， - < < 0，
2a 2 2 2
b
∵ x = - < 0， a < 0
2a
∴ b < 0，故①错误，
∵ 0 < m <1
∴ m - -1 >1，即 -1,1 ， m,1 两点之间的距离大于1
又∵ a < 0
∴ x = m -1时， y > 1
∴若0 < x <1，则 a x -1 2 + b x -1 + c >1，故②正确；
1 -1+ m
③由①可得- < < 0，
2 2
1 b
∴ - < < 0，即-1 < b < 0 ，
2 2
当 a = -1时，抛物线解析式为 y = -x2 + bx + c
4ac - b2 -4c - b2
设顶点纵坐标为 t = =
4a -4
∵抛物线 y = -x2 + bx + c （a，b，c 是常数， a<0）经过 -1,1 ，
∴ -1- b + c =1
∴ c = b + 2
∴ t -4c - b
2 b2 + 4c 1 b2 c 1 1= = = + = b2 + b + 2 = b + 2 2 +1
-4 4 4 4 4
1
∵ -1 < b < 0 ， > 0 ，对称轴为直线b = -2，
4
∴当b = 0时， t取得最大值为 2，而b < 0，
∴关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 2 无解，故③正确；
1
④∵ a < 0，抛物线开口向下，点 A x1, y1 ，B x2 , y2 在抛物线上， x1 + x2 > - ， x2 1 > x2 ，总有 y1 < y2 ，
x + x 1
又 x = 1 2 > - ，
2 4
∴点 A x1, y1 离 x
1
= - 较远，
4
1 -1+ m 1
∴对称轴- < -
2 2 4
解得：0
1
< m ，故④正确．
2
故答案为：②③④．
9．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线 y = ax2 + bx + c（ a,b,c是常数， c < 0）经过 (1,1), (m,0), (n,0)三点，
且 n 3．下列四个结论：
① b < 0；
② 4ac - b2 < 4a；
③当 n = 3时，若点 (2, t)在该抛物线上，则 t >1；
1
④若关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = x 有两个相等的实数根，则0 < m ．3
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【难度】0.4
【知识点】y=ax +bx+c 的图象与性质、根据一元二次方程根的情况求参数、根据二次函数的对称性求函数
值、抛物线与 x 轴的交点问题
【分析】①根据图象经过 1,1 ， c < 0，且抛物线与 x 轴的一个交点一定在 3,0 或 3,0 的右侧，判断出抛
物线的开口向下， a<0，再把 1,1 代入 y = ax2 + bx + c得 a + b + c =1，即可判断①错误；
② 4ac - b
2
先得出抛物线的对称轴在直线 x =1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点 1,1 的右侧，得出 >1，根
4a
据 4a < 0，即可得出 4ac - b2 < 4a，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 x =1.5的右侧，得出 1,1 到对称轴的距离大于 2, t 到对称轴的距离，根据 a<0，
抛物线开口向下，距离抛物线对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；
④ 2根据方程有两个相等的实数解，得出Δ = b -1 - 4ac = 0，把 1,1 代入 y = ax2 + bx + c得 a + b + c =1，即
1 1
1- b = a + c c，求出 a = c ，根据根与系数的关系得出mn = = 1，即 n = ，根据 n 3，得出 3a ，求出 mm m
的取值范围，即可判断④正确．
【详解】解：①图象经过 1,1 ，c < 0，即抛物线与 y 轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物
线与 x 轴的两个交点都在 1,0 的左侧，
∵ n,0 中 n 3，
∴抛物线与 x 轴的一个交点一定在 3,0 或 3,0 的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即 a<0，
把 1,1 代入 y = ax2 + bx + c得 a + b + c =1，
即b =1- a - c，
∵ a<0， c < 0，
∴ b > 0，故①错误；
②∵ a<0，b > 0， c < 0，
c
∴ > 0，
a
∴方程 ax2 + bx + c = 0的两个根的积大于 0，即mn > 0，
∵ n 3，
∴ m > 0，
m + n
∴ >1.5，
2
即抛物线的对称轴在直线 x =1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点 1,1 的右侧，
2
∴ 4ac - b >1，
4a
∵ 4a < 0，
∴ 4ac - b2 < 4a，故②正确；
③∵ m > 0，
m + n
∴当 n = 3时， >1.5，
2
∴抛物线对称轴在直线 x =1.5的右侧，
∴ 1,1 到对称轴的距离大于 2, t 到对称轴的距离，
∵ a<0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线对称轴越近的函数值越大，
∴ t >1，故③正确；
④方程 ax2 + bx + c = x ax2可变为 + b -1 x + c = x，
∵方程有两个相等的实数解，
∴V= b -1 2 - 4ac = 0，
∵把 1,1 代入 y = ax2 + bx + c得 a + b + c =1，即1- b = a + c，
∴ a + c 2 - 4ac = 0 ，
即 a2 + 2ac + c2 - 4ac = 0，
∴ a - c 2 = 0，
∴ a - c = 0，
即 a = c ，
∵ (m,0), (n,0) 在抛物线上，
∴ m ，n 为方程 ax2 + bx + c = 0的两个根，
∴ mn
c
= = 1
a ，
1
∴ n = ，
m
∵ n 3，
1
∴ 3，
m
1
∴ 0 < m ，故④正确；
3
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件
判断得出抛物线开口向下 a<0．
10．（2022·湖北武汉·中考真题）已知抛物线 y = ax2 + bx + c（ a，b ，c是常数）开口向下，过 A -1,0 ，B m,0
两点，且1 < m < 2．下列四个结论：
① b > 0；
3
②若m = ，则 3a + 2c < 0；
2
③若点M x1, y1 ， N x2 , y2 在抛物线上， x1 < x2，且 x1 + x2 > 1，则 y1 > y2 ；
④当 a -1时，关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c =1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【难度】0.65
【知识点】y=ax +bx+c 的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、
根据二次函数图象确定相应方程根的情况
b
【分析】首先判断对称轴 x = - ＞0，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过 A（-1，0），
2a
B m,0 m 3= 3 3，当 时， y = a x +1 x - ÷，求出 c = - a，再代入 3a + 2c判断②，抛物线2 è 2 2
y = ax2 + bx + c = a x +1 x - m = ax2 + a 1- m x - am，由点M x1, y1 ， N x2 , y2 在抛物线上，得
y = ax 21 1 + a 1- m x - am 21 ， y2 = ax2 + a 1- m x2 - am，把两个等式相减，整理得
y1 - y2 = a x1 - x2 x1 + x2 +1- m ，通过判断 x1 - x2 ， x1 + x2 +1- m的符号判断③；将方程 ax2 + bx + c =1写
1
成 a（x-m 2）（x+1）-1=0，整理，得 x + 1- m x - m - = 0 ，再利用判别式即可判断④．
a
【详解】解：Q抛物线过 A -1,0 ，B m,0 两点，且1< m < 2，
x b -1+ m\ = - = ，
2a 2
Q 1 < m < 2，
0 -1+ m 1 b\ < < ，即- ＞0 ，
2 2 2a
Q抛物线开口向下， a < 0，
\b＞0 ，故①正确；
3 3 2 1 3
若m = ，则 y = a x +1 x - ÷ = ax - ax - a ，2 è 2 2 2
c 3\ = - a ，
2
\3a + 2c 3= 3a + 2 - a

2 ÷
= 0，故②不正确；
è
Q 2抛物线 y = ax + bx + c = a x +1 x - m = ax2 + a 1- m x - am，点M x1, y1 ， N x2 , y2 在抛物线上，
∴ y1 = ax
2
1 + a 1- m x1 - am y = ax 2， 2 2 + a 1- m x2 - am，把两个等式相减，整理得
y1 - y2 = a x1 - x2 x1 + x2 +1- m ，
Qa < 0, x1 < x2 ， x1 + x2 > 1，1 < m < 2，
\ x1 - x2 < 0, x1 + x2 +1- m＞0 ，
\ y1 - y2 = a x1 - x2 x1 + x2 +1- m ＞0，
\ y1＞y 2 ，故③正确；
1
依题意，将方程 ax2 + bx + c =1写成 a（x-m）（x+1）-1=0 2，整理，得 x + 1- m x - m - = 0 ，a
\D = 1 1- m 2 - 4 -m - = m +1 2 4 a ÷ + ，è a
Q1 < m < 2， a -1，
4
\4 < m +1 2 < 9， -4，
a
\ m 4+1 2 + ＞0，
a 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
四、函数的应用
11．（2024·湖北武汉·中考真题）16 世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始
祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿
直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为 x 轴，垂直于
地面的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 y = ax2
1
+ x和直线 y = - x + b．其中，当火箭
2
运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．
①直接写出 a，b 的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出 a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
1
【答案】(1)① a = - ，b = 8.1；②8.4km
15
2
(2) - < a < 0
27
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k 的图象和性质、其他问题(实
际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，
一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
1 22 1 15 15
（1）①将 9,3.6 代入即可求解；②将 y = - x + x 变为 y = - x - ÷ + ，即可确定顶点坐标，得出15 15 è 2 4
y = 2.4km，进而求得当 y = 2.4km时，对应的 x 的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km，求得 a
2
= - ，即可求解．
27
【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km
1
∴抛物线 y = ax2 + x和直线 y = - x + b均经过点 9,3.6
2
1
∴ 3.6 = 81a + 9，3.6 = - 9 + b
2
1
解得 a = - ，b = 8.1．
15
1 1
②由① 2知， y = - x + 8.1， y = - x + x
2 15
2
∴ y 1 x2 x 1 15 15= - + = - x - +
15 15 ֏ 2 4
y 15∴最大值 = km
4
y 15当 = -1.35 = 2.4km 时，
4
1
则- x2 + x = 2.4
15
解得 x1 = 12 ， x2 = 3
又∵ x = 9 时， y = 3.6 > 2.4
∴当 y = 2.4km时，
1
则- x + 8.1 = 2.4
2
解得 x = 11.4
11.4 - 3 = 8.4 km
∴这两个位置之间的距离8.4km．
（2）解：当水平距离超过15km时，
火箭第二级的引发点为 9,81a + 9 ，
将 9,81a + 9 ， 15,0 代入 y 1= - x + b，得
2
81a 9 1 9 b 0 1+ = - + ， = - 15 + b
2 2
2
解得b = 7.5， a = -
27
2
∴ - < a < 0．
27
12．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于
出发点的飞行水平距离 x （单位：m）以、飞行高度 y （单位：m）随飞行时间 t（单位：s）变化的数据
如下表．
飞行时间 t /s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 x / m 0 10 20 30 40 …
飞行高度 y / m 0 22 40 54 64 …
探究发现： x 与 t， y 与 t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 x 关于 t的函数解析式
和 y 关于 t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据
上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为 0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN , AM =125m, MN = 5m．若飞机落到MN 内（不包括端点M , N ），求发
射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】探索发现： x = 5t, y
1
= - t 2 +12t ；问题解决：（1）120m；（2）大于12.5m且小于 26m
2
【难度】0.65
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数 y = 0 代入函数解析式即可求解；
1
（2 2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度 y = - t +12t + n．结合
2
25 < t < 26，即可求解.
【详解】探究发现：x 与 t 是一次函数关系，y 与 t 是二次函数关系，
设 x = kt ， y = at 2 + bt ，
ì4a + 2b = 22
由题意得：10 = 2k ， í
16a + 4b
，
= 40
1
解得： k = 5，a = - ，b =12，
2
∴ x = 5t y
1
， = - t 2 +12t ．
2
1 2
问题解决（1） 解：依题总，得- t +12t = 0．
2
解得， t1 = 0（舍）， t2 = 24，
当 t = 24时， x =120 ．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为nm
1 2
，飞机相对于安全线的飞行高度 y = - t +12t + n．
2
Q125 < x <130，
\125 < 5t <130，
\25 < t < 26，
1
在 y = - t 2 +12t + n中，
2
当 t = 25, y = 0时， n =12.5；
当 t = 26, y = 0时， n = 26．
\12.5 < n < 26 ．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于 26m．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分
析转变成数学模型．
13．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A 处开始减速，
此时白球在黑球前面 70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度 v（单位： cm/s）、运动距离 y （单位： cm）随运动时间 t（单位：s）变
化的数据，整理得下表．
运动时间 t / s 0 1 2 3 4
运动速度 v / cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 y / cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度 v与运动时间 t之间成一次函数关系，运动距离 y 与运动时间 t之间成二次函
数关系．
(1)直接写出 v关于 t的函数解析式和 y 关于 t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以 2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
1 1
【答案】(1) v = - t +10， y = - t 2 +10t
2 4
(2) 6cm/s
(3)黑、白两球的最小距离为6cm，大于 0，黑球不会碰到白球
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）根据黑球的运动速度 v与运动时间 t之间成一次函数关系，设表达式为 v=kt+b，代入两组数值
求解即可；根据运动距离 y 与运动时间 t之间成二次函数关系，设表达式为 y = at 2 + bt + c，代入三组数值求
解即可；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，代入（1）式中 y 关于 t的函数解析式求出时间 t，再将 t 代
入 v关于 t的函数解析式，求得速度 v 即可；（3）设黑白两球的距离为w cm，得到
w = 70 + 2t - y 1= t 2 -8t + 70，化简即可求出最小值，于是得到结论．
4
【详解】（1）根据黑球的运动速度 v与运动时间 t之间成一次函数关系，设表达式为 v=kt+b，代入（0，10），
（1，9.5）得，
ì 10 = b ì k
1
= -
í 2
9.5
，解得 ，
= k + b í b =10
v 1∴ = - t +10，
2
根据运动距离 y 与运动时间 t之间成二次函数关系，设表达式为 y = at 2 + bt + c，代入（0，0），（1，9.75），
（2，19）得
ì 1
ì 0 = c a = -
4
í9.75 = a + b ，解得 í b =10 ，
19 = 4a + 2b c = 0

1
∴ y = - t 2 +10t ;
4
1
（2 2）依题意，得- t +10t = 64，
4
∴ t 2 - 40t + 256 = 0 ，
解得， t1 = 8， t2 = 32；
当 t1 = 8时， v = 6；当 t2 = 32时， v = -6（舍）；
答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s．
（3）设黑白两球的距离为w cm，
w 70 2t y 1= + - = t 2 -8t + 70
4
1
= (t -16)2 + 6，
4
1
∵ > 0，∴当 t =16时，w的值最小为 6，
4
∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于 0，黑球不会碰到白球．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求
出函数表达式．

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