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猜押 05 几何小题综合
（含轴对称图形、三视图、解直角三角形、圆、几何小题压轴）
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
2024 年第 1 题（汉字对
以选择题形式考查汉字对
称性判断）2023 年第 2 轴对称是几何基础考点，结
轴对称图 称性，需根据对称轴折叠
题（轴对称汉字识别） 合传统文化元素，符合中考 中
形 重合性判断，侧重基础概
2022 年第 3 题（对称汉 命题趋势，2025 年仍会延续
念理解
字选择）
2024 年第 3 题（组合体
考查几何体不同视角的投
主视图判断）2023 年第 三视图是立体几何基础，武
影形状，需掌握主视图、
三视图 5 题（小正方体组合左 汉中考高频考点，2025 年继 中
左视图的观察方法和空间
视图）2022 年第 5 题 续结合组合体考查
想象能力
（主视图选择）
2024 年第 14 题（无人
结合实际情境（测量、架
机测楼高）2023 年第 13 解直角三角形是几何应用核
解直角三 桥等），需作辅助线构造
题（角度与刻度尺读数） 心，常与实际问题结合，2025 中
角形 直角三角形，应用三角函
2022 年第 14 题（架桥 年仍为重点
数求解
距离计算）
2024 年第 9 题（圆内接
四边形半径计算）2023
综合考查圆周角定理、切 圆是几何重难点，常与三角
年第 9 题（圆切线与三 中偏
圆 线性质、勾股定理等，需 形、四边形综合，2025 年继
角函数）2022 年第 9 题 难
灵活添加辅助线解决问题 续作为压轴考点
（圆内接四边形内切
圆）
2024 年第 15 题（赵爽
以复杂几何图形为背景，
弦图面积比）2023 年第 几何压轴题体现思维深度，
几何小题 综合相似三角形、勾股定
16 题（折叠与相似三角 武汉中考每年必考，2025 年 难
压轴 理、面积转化等知识，需
形）2022 年第 16 题（正 仍为区分度题型
较高逻辑推理能力
方形与矩形面积计算）
题型一 轴对称图形
1．（2025·湖北武汉·一模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字
是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（新情境）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（新情境）未来将是一个可以预见的 AI时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对
称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（文化背景）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类
非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民
众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 三视图
1．（2025·湖北武汉·一模）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由一个底面为正方形的长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
3．（新考向）如图是由 5 个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
B．C． D．
4．（新考向）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
5．（新情景）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据
介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”
及其主视图与俯视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
题型三 解直角三角形
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为O点，针尖
4
计为A 点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点 B ，连接 AB ，若 tan OAB = ，AB = 53 ，则指针的长度是 ．
2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国
的科学实验提供了极大的支持，如图，科学家为了观察飞船的发射情况，预设了两个飞船上升位置A 与 B ，
飞船从地面O处发射，当飞船到达点A 时，从位于地面C 处的雷达站测得A ，C 间的距离是8 km，仰角为
30o ，10 s后飞船到达点 B 时，测得仰角为 45o ．点 B 离地面的高度BO是 km（结果精确到0.1 km ，参考
数据： 3 1.73）．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）武汉长江大桥是武汉市重要的历史标志性建筑之一，素有“万里长
江第一桥”美誉．毛泽东同志一句“一桥飞架南北，天堑变通途”吟唱出长江大桥的气势磅礴．如图，某校数
学“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量武汉长江大桥的长度，测量过程中，小组成员遥控无人机飞
到桥 AB 的正上方 612 米的点C 处悬停，此时测得桥上 A, B两处的俯角分别为30°和 45°，则桥 AB 之间的距
离是 米．（ 3 1.732，结果保留整数）
4．（新考向）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是1: 3 ，河堤的高BC =10米，则坡面 AB 的长度是
米．（坡比也叫坡度．坡比是1: 3 指点 B 向水平面作垂线BC ，垂足为 C，BC : AC =1: 3 ．）
5．（新情景）图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机，图 2 是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A
与 B 之间的距离为10cm，双翼的边缘 AC = BD = 80cm ，且与闸机侧立面夹角 ACP = BDQ = 32°．当双
翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．（参考数据： sin32° 0.53， cos32° 0.85，
tan32° 0.62）
6．（新情景）太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点 C 是 AB 的中
点，AB = 80cm．当太阳光与地面的夹角为53°，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，
则此时支架 C 端离地面的高度为 cm；（结果精确到1cm；参考数据： sin 53° 0.80 ， cos53° 0.60，
tan 53° 1.33）
题型四 圆
1．（2025·湖北武汉·一模）如图， AB 是eO 的直径，BC 是eO 的弦，M 是B C 的中点，MD ^ AB，垂足
为D，若 AD = BC = 8，则OD 的长是（ ）
A．2 B． 3 C．3 D． 6
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在平面中eP和eQ 分别与直线 l1相切，eP的直径为 4，eQ 的
直径为 6，做直线 l1与eP相切于点 A 且平行于直线 l，直线 l2与eQ 相切于点 B 且平行于直线 l，若线段 AB
与直线 l1的夹角恰为30°，则两圆心PQ的距离是（ ）
A．9 B． 4 3 C． 13 D．10
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， AB 、 AC 是eO 的弦，D是弧 AC 的中点，E 是 AB 上的
一点，连接DC ，DE ．若BE = 5 6 ，DC = DE ，且 CDE = 90°，则eO 的半径为（ ）
A．5 2 B．5 3 C． 6 2 D．9
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形 ABCD内接于eO ， AB = AC ，BD ^ AC ，垂足为
E ．若 AB = 8，CD = 4，则BC 的长是（ ）
8 16 16
A． 3 B
8
． 3 C． 55 D． 55 5 5
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，AB 是eO 的直径，点C 为半圆的中点，点D为B C 的中点，
OP
点 P 是直径 AB 上的一动点，当PC + PD 最小时， 的值为（　　）
OB
A 2． 2 B． 2 -1 C． D．2 2 +1
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形 ABCD内接于eO, DAB = 90o ，点C 为D B的中点，
DCA =15o，AB + AD = 4，CM ^ AB 于M ，下面的四个结论中正确结论的选项为（　　）
A AM =1 B 3 3 3 2 6． ． SVABC = 2 + C．BC = D．eO 的半径为3 2 3
7．（新考向）如图，点 A，B，C 是eO 上的点，且 ACB = 60 o ，若 AC = BC = 4 3 ，则图中阴影部分的面
积为（　　）
A．8 - 4 3 B．32 -16 3 C．16 -8 3 D．16 - 4 3
8．（新考向）如图，Rt△ABC 中， ACB = 90°，CE是斜边 AB 上的中线，过点E 作EF ^ AB交 AC 于点
3
F ．若△AEF 的面积为 25， sin CEF = ，则BC 的长为（ ）
5
A．6 B． 4 5 C． 2 5 D．10
9．（新考向）如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，点 O 在边 AB 上，eO 经过点 B，交BC 于点 D，连接
AD ， AD 恰好是eO 的切线．若 AC = 3，BC = 6，则 AD 的长为（ ）
A 9 5 B 3 5 C 3 5 9 5． ． ． D．
2 5 2 5
10（．新考向）如图，PA、PB分别与eO 相切于点A，B，连接PO并延长与eO 交于点C、D，若CD =12，PA = 8，
则 sin ADB的值为 ．
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
11．（新考向）如图，VABC 内接于eO ，将VABC 绕点 A 逆时针旋转90°得到VADE ，点 C 的对应 B 点 E
在eO 上，连接 BE ．若 AB =17 2 ，BC =10，则 AC 的长为（ ）
A．13 2 B．13 C．26 D．24
题型五 几何小题压轴
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点E 是边长为 2的正方形 ABCD内一点，连接BE, AE ，点 P 在线段DC
上运动，连接EP，则 AE + EP + BE 的最小值是 ．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长BH 交CD于点 M，连
MN
接 AH 并延长交CD于点 N，若 = k 2 (k > 0)，则正方形 ABCD与正方形EFHG 的面积的比值为 （用
CD
含 k 的式子表示）．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，E 是正方形 ABCD内一点， BEC = 90°，连接DE ，过点 A
作DE 的垂线，垂足为 G，连接CG ，若DG = 9 ，GE = 4 ，则CG 的长为 ．
1
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在菱形 ABCD中， AB = 4 5 ，连接BD， tan CBD = ，2
动点E ，F 分别在边 AB,CD 上，且 AE = CF ，过点D作DG ^ EF 于G ，当E 点从A 点运动到 B 点（含端
点），线段CG 的取值范围为 ．
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形 ABCD，AB = 2，BC =1，点E 在线段 AC 上，点F 在
线段CD上， AE = CF ．当BE + BF 的值最小时，线段CF 的长度是 ．
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，点D是边 AC 上一动点，连
接BD，将线段BD绕点 B 顺时针旋转60°得到线段 BE ，连接CE，若 AB = 2 10 ，BC = 3AB ，则线段CE
的最小值是 ．
7．（新考向）如图，已知 P 是平行四边形 ABCD的边BC 上一点，将VABP沿直线 AP 折叠，点 B 落在平行四
边形 ABCD内的点E 处，且EA = ED，如果 AB = 5， AD = 8， B 的正弦值为0.8，那么BP的长为 ．
8．（新考向）如图，在VABC 中，AC = 5、AB = 4、BC = 3，D 是平面内一点，CD =1，连接 AD 、E 为 AD
的中点，连接 BE ，则 BE 的最小值为 ，最大值为 ．
9．（新考向）如图，点D为等边VABC 的边BC 上的一个动点，BC = 6，过点D作DE ^ AC 于点E ，DF ^ BC
交边 AB 于点F ，连接EF ，则VDEF 的面积最大值为 ．
10．（新考向）如图，正方形 ABCD边长为 4，点E 在边 AD 上，且DE =1．将VCDE沿CE翻折至
△CFE．（1） sin ECF = ；（2）连接BF ．则BF = ．
11．（新考向）如图，在Rt△ABC 中，已知 ACB = 90o， AC = 4，BC = 2 5 ，点D、E 分别是 AB 、 AC
边上的两个动点，且始终保持 AD = CE ，连接BE、CD，则当CD + BE 取最小值时， AE = ．
12．（新考向）如图，在正方形 ABCD中，AB = 4，点 E、F 分别在边 AB 、CD上，且BE = DF ，将线段EF
绕点 F 顺时针旋转90°得到线段MF ，连接 AM ，则线段 AM 的最小值为 ．
附加中考真题
一、轴对称图形
1．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列
汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列
汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列
汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、三视图
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北武汉·中考真题）如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
三、解直角三角形
7．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综
合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距
水平地面102m的 C 处，测得黄鹤楼顶端 A 的俯角为 45°，底端 B 的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是
m．（参考数据： tan63° 2）
8．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，将 45°的∠AOB 按图摆放在一把刻度尺上，顶点 O 与尺下沿的端点重
合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数为 2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC 放置
在该尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 cm
（结果精确到 0.1 cm，参考数据：sin37° 0.60，cos37° 0.80， tan37° 0.75）
9．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿 AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 AB 上湖的另一边的D
处同时施工．取 ABC =150° ，BC =1600m ， BCD =105°，则C ，D两点的距离是 m．
四、圆
10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形 ABCD内接于eO ， ABC = 60°， BAC = CAD = 45°，
AB + AD = 2 ，则eO 的半径是（ ）
A 6 B 2 2 3 2． ． C． D．
3 3 2 2
11．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD, AD ^ AB ，以D为圆心， AD 为半径
AB 1
的弧恰好与BC 相切，切点为E ．若 = ，则 sin C 的值是（
CD 3 ）
2
A B 5
3
． ． C 7． D．
3 3 4 4
12．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料 ABCD中， AD∥BC ， A = 90°， AD = 9cm，
AB = 20cm，BC = 24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
110
A． cm B．8cm C．
13 6 2cm
D．10cm
五、几何小题压轴
13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它
是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形 ABCD．直线MP 交正方形
ABCD的两边于点 E ， F ，记正方形 ABCD的面积为 S1，正方形 MNPQ的面积为 S2．若 BE = kAE(k >1) ，
S1
则用含 k 的式子表示 S 的值是 ．2
14．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE 平分等边VABC 的面积，折叠VBDE 得到△FDE, AC 分别与
DF , EF 相交于G, H 两点．若DG = m, EH = n，用含m, n的式子表示GH 的长是 ．
15．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在RtVABC 中， ACB = 90°， AC > BC ，分别以VABC 的三边为边
向外作三个正方形 ABHL， ACDE ， BCFG ，连接 DF ．过点C 作 AB 的垂线CJ ，垂足为 J ，分别交 DF ，
LH 于点 I ，K ．若CI = 5，CJ = 4 ，则四边形 AJKL的面积是 ．猜押 05 几何小题综合
（含轴对称图形、三视图、解直角三角形、圆、几何小题压轴）
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
2024 年第 1 题（汉字对
以选择题形式考查汉字对
称性判断）2023 年第 2 轴对称是几何基础考点，结
轴对称图 称性，需根据对称轴折叠
题（轴对称汉字识别） 合传统文化元素，符合中考 中
形 重合性判断，侧重基础概
2022 年第 3 题（对称汉 命题趋势，2025 年仍会延续
念理解
字选择）
2024 年第 3 题（组合体
考查几何体不同视角的投
主视图判断）2023 年第 三视图是立体几何基础，武
影形状，需掌握主视图、
三视图 5 题（小正方体组合左 汉中考高频考点，2025 年继 中
左视图的观察方法和空间
视图）2022 年第 5 题 续结合组合体考查
想象能力
（主视图选择）
2024 年第 14 题（无人
结合实际情境（测量、架
机测楼高）2023 年第 13 解直角三角形是几何应用核
解直角三 桥等），需作辅助线构造
题（角度与刻度尺读数） 心，常与实际问题结合，2025 中
角形 直角三角形，应用三角函
2022 年第 14 题（架桥 年仍为重点
数求解
距离计算）
2024 年第 9 题（圆内接
四边形半径计算）2023
综合考查圆周角定理、切 圆是几何重难点，常与三角
年第 9 题（圆切线与三 中偏
圆 线性质、勾股定理等，需 形、四边形综合，2025 年继
角函数）2022 年第 9 题 难
灵活添加辅助线解决问题 续作为压轴考点
（圆内接四边形内切
圆）
2024 年第 15 题（赵爽
以复杂几何图形为背景，
弦图面积比）2023 年第 几何压轴题体现思维深度，
几何小题 综合相似三角形、勾股定
16 题（折叠与相似三角 武汉中考每年必考，2025 年 难
压轴 理、面积转化等知识，需
形）2022 年第 16 题（正 仍为区分度题型
较高逻辑推理能力
方形与矩形面积计算）
题型一 轴对称图形
1．（2025·湖北武汉·一模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字
是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
利用轴对称图形的概念可得答案．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（新情境）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析
即可．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3．（新情境）未来将是一个可以预见的 AI时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对
称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
4．（文化背景）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类
非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民
众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对
各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转 180 度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选 C．
题型二 三视图
1．（2025·湖北武汉·一模）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是一道关于三视图的题目，熟练掌握主视图的定义是解题的关键．
正面观察该几何体，将看到的图形和选项中的图形进行对照即可解答．
【详解】解：从正面看几何体得到的图形是下面一个长方形，上面是一个圆柱体的侧面也是长方形，
故选：B．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由一个底面为正方形的长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查简单几何体的三视图的画法，画三视图时要注意“长对正、宽相等、高平齐”成为解题
的关键．
根据简单几何体的主视图的画法求解即可．
【详解】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选
项 A 的图形符合题意．
故选：A．
3．（新考向）如图是由 5 个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
B．C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看得到的平面图形如图所示：
，
故选：A．
4．（新考向）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，根据三视图判断这个几何体的形状即可，掌握几何的的
三视图是解题的关键．
【详解】解：由主视图和左视图都是长方形可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三
棱柱，
故选：D．
5．（新情景）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据
介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”
及其主视图与俯视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握从几何体左侧看到的图形是左视图成为解题的关键．
根据左视图的定义以及三视图中看不见的线条用虚线表示即可解答．
【详解】解：其左视图是一个矩形，且中间有两条虚线，即
故选：D．
题型三 解直角三角形
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为O点，针尖
4
计为A 点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点 B ，连接 AB ，若 tan OAB = 3 ，AB = 5，则指针的长度是 ．
25 1
【答案】 / 4
6 6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的计算，勾股定理的运用，掌握锐角三角函数值的
计算方法是解题的关键．
1 5
根据题意可得，OA = OB，如图所示，过点O作 AC ^ AB于点C ，得到 AC = BC = AB = ，由锐角三角
2 2
函数的计算得到OC
4 AC 4 5 10= = = ，由勾股定理即可求解．
3 3 2 3
【详解】解：根据题意可得，OA = OB，如图所示，过点O作 AC ^ AB于点C ，
∴ AC = BC
1 5
= AB = ，
2 2
4
∵ tan OAB = ，
3
OC 4
∴ = ，
AC 3
OC 4 AC 4 5 10∴ = = = ，
3 3 2 3
2 2
∴ OA = AC 2 + OC 2 5= 10 25 ÷ +

2 ÷
= ，
è è 3 6
25
∴指针的长度是 ，
6
25
故答案为： ．
6
2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国
的科学实验提供了极大的支持，如图，科学家为了观察飞船的发射情况，预设了两个飞船上升位置A 与 B ，
飞船从地面O处发射，当飞船到达点A 时，从位于地面C 处的雷达站测得A ，C 间的距离是8 km，仰角为
30o ，10 s后飞船到达点 B 时，测得仰角为 45o ．点 B 离地面的高度BO是 km（结果精确到0.1 km ，参考
数据： 3 1.73）．
【答案】6.9
【分析】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在RtVAOC 中，∵ AOC = 90°， ACO = 30°，AC = 8km ，
1 1
∴ AO = AC = 8 = 4 km ，OC = 4 3km，
2 2
在RtVAOB 中， BCO = 45°，
∴ BCO = OBC = 45° ，
∴ OB = OC = 4 3 4 1.73 6.9km,
所以，点 B 离地面的高度BO为6.9km．
故答案为：6.9．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）武汉长江大桥是武汉市重要的历史标志性建筑之一，素有“万里长
江第一桥”美誉．毛泽东同志一句“一桥飞架南北，天堑变通途”吟唱出长江大桥的气势磅礴．如图，某校数
学“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量武汉长江大桥的长度，测量过程中，小组成员遥控无人机飞
到桥 AB 的正上方 612 米的点C 处悬停，此时测得桥上 A, B两处的俯角分别为30°和 45°，则桥 AB 之间的距
离是 米．（ 3 1.732，结果保留整数）
【答案】1672
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点 C 作CD ^ AB ，垂足为 D，根据题意可得CD = 612米，
MCA = 30°， NCB = 45°，MN P AB，从而可求出∠A = 30°，∠B = 45°，然后分别在Rt△ACD 和Rt△BCD
中，利用锐角三角函数的定义求出 AD，BD 的长，进行计算即可解答．
【详解】解：过点 C 作CD ^ AB ，垂足为 D，
由题意得∶
CD = 612米， MCA = 30°， NCB = 45°，MN P AB
∴ MCA = A = 30°， NCB = B = 45°，
AD CD 612= = = 612 3
在Rt△ACD 中， t an 30° 3 ，
3
CD 612
在Rt△BCD 中，BD = = = 612 ，
tan 45° 1
∴ AB = AD + BD = 612 3 + 612 612 1.732 + 612 1672，
∴桥 AB 的长度是 1672 米，
故答案为：1672．
4．（新考向）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是1: 3 ，河堤的高BC =10米，则坡面 AB 的长度是
米．（坡比也叫坡度．坡比是1: 3 指点 B 向水平面作垂线BC ，垂足为 C，BC : AC =1: 3 ．）
【答案】 20
3
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡 AB 的坡比为1: 3 得出 tan BAC = ，再
3
根据BC =10米，得出 AC 的值，再根据勾股定理求解即可．
1 3
【详解】解：由题意得 tan BAC = = ，
3 3
∴ AC
BC
= =10 3 =10 3 （米），
tan BAC
∴ AB = AC 2 + BC 2
2
= 10 3 +102 = 20（米）．
故答案为： 20．
5．（新情景）图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机，图 2 是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A
与 B 之间的距离为10cm，双翼的边缘 AC = BD = 80cm ，且与闸机侧立面夹角 ACP = BDQ = 32°．当双
翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．（参考数据： sin32° 0.53， cos32° 0.85，
tan32° 0.62）
【答案】94.8
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A 作 AE ^ CP 于点E ，过点 B 作BF ^ DQ 于点F ，利用含30°
的直角三角形的性质，求解 AE ， BF ，从而可得答案．正确进行计算是解题关键．
【详解】解：如图，过点A 作 AE ^ CP 于点E ，过点 B 作BF ^ DQ 于点F ，
Q在RtVACE 中， ACE = 32°，
\ AE = AC sin 32° 42.4cm，
同理可得， BF = 42.4cm ，
Q双翼边缘的端点A 与 B 之间的距离为10cm，
\42.4 +10 + 42.4 = 94.8cm
\当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为94.8cm ．
故答案为：94.8．
6．（新情景）太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点 C 是 AB 的中
点，AB = 80cm．当太阳光与地面的夹角为53°，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，
则此时支架 C 端离地面的高度为 cm；（结果精确到1cm；参考数据： sin 53° 0.80 ， cos53° 0.60，
tan 53° 1.33）
【答案】 24
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意算出 CBH = 37°，再结合线段的中点得
BC 1 AB 40cm cos BCH CH= = ，运用直角三角形的两个锐角互余得 BCH = 53°，然后根据 = ，代入数值
2 40
进行计算，即可作答．
【详解】解：过点 C 作CH ^ BD ，如图所示：
∴太阳光与地面的夹角为53°，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高
∴ CBH =180° - 53° - 90° = 37°，
∵点 C 是 AB 的中点， AB = 80cm，
1
∴ BC = AB = 40cm
2
cos BCH CH在Rt△CBH 中， BCH = 90° - 37° = 53°， = ，
40
∴ cos53
CH
° = 0.60，
40cm
∴ CH = 24cm ，
故答案为： 24．
题型四 圆
1．（2025·湖北武汉·一模）如图， AB 是eO 的直径，BC 是eO 的弦，M 是B C 的中点，MD ^ AB，垂足
为D，若 AD = BC = 8，则OD 的长是（ ）
A．2 B． 3 C．3 D． 6
【答案】C
【分析】本题主要考查的是垂径定理，全等三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．
连接OM 交BC 于点E ，QM 是B C 的中点，\OE ^ BC ，BE = CE ，先证明RtVODM 和Rt△OEB全等，得
OE = OD，设eO 的半径为 r ，在△ BOE 中根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：如图所示，连接OM 交BC 于点E ，
QM 是B C 的中点，
\OE ^ BC ，BE = CE ，
在RtVODM 和Rt△OEB中：
ì DOM = EOB
í ，
OM = OB
\△ODM ≌△OEB，
\OE = OD ，
设eO 的半径为 r ，则OE = OD = 8 - r，
则在△ BOE 中：BE2 + OE2 = OB2 ，
即 42 + (8 - r)2 = r2 ，
解得 r = 5，
\OD = 8 - r = 3，
故选 C．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在平面中eP和eQ 分别与直线 l1相切，eP的直径为 4，eQ 的
直径为 6，做直线 l1与eP相切于点 A 且平行于直线 l，直线 l2与eQ 相切于点 B 且平行于直线 l，若线段 AB
与直线 l1的夹角恰为30°，则两圆心PQ的距离是（ ）
A．9 B． 4 3 C． 13 D．10
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，连接 AP 并延长交直线 l 于点 C，连接BQ并延
长交直线 l 于点 D，过点 A 作 AE ^ BD于点 E，过点 P 作PE ^ BD于点 F，连接PQ，则有 APFE 、ACDE
是矩形，先根据正切的定义求出PF 长，然后利用勾股定理求出 PQ 长解题．
【详解】解：连接 AP 并延长交直线 l 于点 C，连接 BQ并延长交直线 l 于点 D，过点 A 作 AE ^ BD于点 E，
过点 P 作PE ^ BD于点 F，连接PQ，
根据题意可得 PAE = AED = CFD = FDC = PCD = 90°， AC = 4，BD = 6，
∴ APFE 、 ACDE 是矩形，
∴ AC = DE = 4，
∴ BE = BD - DE = 6 - 4 = 2，
又∵线段 AB 与直线 l1的夹角恰为30°，
BE
∴ AE = = 2 3 ，
tan BAE
∴ PF = AE = 2 3 ，
又∵ PC = DF = 2，DQ = 3，
∴ QF =1
∴ PQ = PF 2 + QF 2 = 22 3 +12 = 13 ，
故选：C．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， AB 、 AC 是eO 的弦，D是弧 AC 的中点，E 是 AB 上的
一点，连接DC ，DE ．若BE = 5 6 ，DC = DE ，且 CDE = 90°，则eO 的半径为（ ）
A．5 2 B．5 3 C． 6 2 D．9
【答案】B
【分析】连接DA、DB、CB，结合弧、弦、圆心角的关系，等边对等角证明VBCD≌VBED ，根据全等三
角形的性质推出BC = 5 6 ， CDB = 45°，连接OB ，OC ，由圆周角定理可得 COB = 90°，再用勾股定理
解直角三角形即可求解．
【详解】解：连接DA、DB、CB，
QD 是弧 AC 的中点，
\ ABD = CBD，DA = DC = DE ，
\ DAE = DEA，
Q DAE + BCD =180° = DEA + BED，
\ BCD = BED，
Q在VBCD 和VBED中，
ì BCD = BED

í CBD = EBD ，

BD = BD
\VBCD≌VBED AAS ，
CDB EDB 1\BC = BE = 5 6 ， = = CDE = 45°，2
连接OB ，OC ，
\ COB = 2 CDB = 90° ，
2
OB OC BC 25 6\ = = = = 5 3 ．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是利用弧、弦、圆心角的关系求证，等边对等角，全等三角形的判定与性质，
用勾股定理解三角形，圆周角定理，解题关键是熟练掌握圆的相关性质．
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形 ABCD内接于eO ， AB = AC ，BD ^ AC ，垂足为
E ．若 AB = 8，CD = 4，则BC 的长是（ ）
8 3 16A B 3 C 8
16
． ． ． 5 5
5 5 5
D．
5
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质．连接 AO ，并延长交BC 于
G ，交eO 于 H ，证明RtVACH≌RtVABH HL ，推出 CAH = BAH ，再证明C D = C H = B H ，求得
CD = BH 8= 4，在Rt△ABH 中，利用勾股定理求得 AH 的长，再利用等积法求得BG = 5 ，据此求解即可．
5
【详解】解：连接 AO ，并延长交BC 于G ，交eO 于 H ，
∵ AH 为eO 的直径，
∴ ACH = ABH = 90°，
∵ AB = AC ， AH = AH ，
∴ RtVACH≌RtVABH HL ，
∴ CAH = BAH ，
∵ AB = AC ，
∴ AG ^ BC ，C H = B H ，
∴ BC = 2BG ，
∵ BD ^ AC ，
∴ CH ∥BD ，
∴ CBD = BCH ，
∴ C D = C H = B H ，
∴ CD = BH = 4，
在Rt△ABH 中， AH = AB2 + BH 2 = 82 + 42 = 4 5 ，
S 1 AB BH 1∵ △ABH = = AH BG ，即8 4 = 4 5BG ，2 2
∴ BG
8
= 5 ，
5
∴ BC 2BG
16
= = 5 ，
5
故选：D．
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，AB 是eO 的直径，点C 为半圆的中点，点D为B C 的中点，
OP
点 P 是直径 AB 上的一动点，当PC + PD 最小时， 的值为（　　）
OB
A． 2 B
2
． 2 -1 C． D．2 2 +1
【答案】B
【分析】本题结合图形的性质，考查轴对称--最短路线问题，涉及特殊角的直角三角形、等腰直角三角形的
性质、角平分线的性质等知识．其中求出 BOC 的度数是解题的关键．本题是要在 AB 上找一点 P ，使
OP
PC + PD 的值最小时，求 的值，设C1是C 关于 AB 的对称点，连接COB 1
D ，与 AB 的交点即为点 P ．此时
PC + PD = C1D是最小值，连接OD 、BC ，作PQ ^ BC 于Q，可证OP = PQ，从而得出结果．
【详解】解：连接CO并延长交eO 于C1，连接C1D ，交 AB 于点 P ， 连接OD 、BC ，作PQ ^ BC 于Q，
Q AB 是eO 的直径，点C 为半圆的中点，
\ BOC = BOC1 = 90°，点C 与C1关于 AB 对称，
\ OCB = OBC = 45°，
\PC = PC1， PCO = PC1O ，
此时PC + PD = PC1 + PD = C1D是最小值，
Q点D为B C 的中点，

\CD = BD ，
\ COD = BOD = 45°，
QOC1 = OD，
\ OC1D = ODC1，
Q COD = OC1D + ODC1，
\ OC1D = ODC1 = 22.5°，
\ PCO = PC1O = 22.5°，
\ PCO = PCB = 22.5°，
\CP 平分 BCO，
Q PO ^ OC ，PQ ^ BC ，
\OP = PQ，
Q PQB = 90°，
\ BPQ = 45° = OBC ，
\PQ = BQ ，
设OP = PQ = BQ = a，
BP PQ\ = = 2PQ = 2a ，
sin OBC
\OB = OP + BP = 2 +1 a ，
OP a
\ = = 2 -1
OB 2 +1 a ．
故选：B．
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形 ABCD内接于eO, DAB = 90o ，点C 为D B的中点，
DCA =15o，AB + AD = 4，CM ^ AB 于M ，下面的四个结论中正确结论的选项为（　　）
A． AM =1 B S 3 3 3 2 6． VABC = 2 + C．BC = D．eO 的半径为3 2 3
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接BD，证明BD为eO 的直径，得出 BCD = 90°，求得 BDC = CBD = BAC = 45°，从而可求得
BCM = 30°， ACM = BAC = 45°，BC = 2BM ， AM = CM
设BM = x ，则DC = BC = 2x， AM = CM = 3x，BD = 2 2x
AD = 4 - AB = 4 - AM + BM = 4 - 3x + x = 4 - 3 +1 x，然后在Rt△ABD 中，由勾股定理得：
2 2é 4 - 3 +1 xù + é 3 +1 xù =
2
2 2x ，解得： x1 = 2（舍去）， x
2 3
2 = ，从而可求得 AM = 3x = 2，可3
1 2 3 4 3 2 6
判定 A；根据 SVABC = AB ×CM = 2 + 可判定 B；BC = 2x = ，可判定 C；eO 的半径为 ，可判2 3 3 3
定 D．
【详解】解：连接BD，
∵ DAB = 90o
∴ BD为eO 的直径，
∴ BCD = 90°
∵点C 为D B的中点
∴ B C = D C
∴ BDC = CBD = BAC = 45°
∵ DCA =15o
∴ ABD = DCA =15o
∴ ABC = ABD + CBD = 60°
∵CM ^ AB
∴ AMC = BMC = 90°
∴ BCM = 30°， ACM = BAC = 45°
∴ BC = 2BM ， AM = CM
设BM = x ，则DC = BC = 2x， AM = CM = 3x，
∴ BD = 2 2x
∵ AB + AD = 4
∴ AD = 4 - AB = 4 - AM + BM = 4 - 3x + x = 4 - 3 +1 x
2 2
在Rt△ABD 中，由勾股定理得： é4 - 3 +1 xù + é ù 3 +1 x = 2 2x
2
2 3
解得： x1 = 2（舍去）， x2 = ，3
∴ AM = 3x = 2；
故 A 选项不符合题意；
∴ CM = AM = 2， AB = AM + BM = 3 1 x 2 2 3+ = + 3
∴ S 1VABC = AB CM 2
2 3
× = +
2 3
故 B 选项不符合题意；
∴ BC 2x 4 3= = ，
3
故 C 选项不符合题意；
∴ BD 2 2x 4 6= =
3
∴ eO 1的半径= BD 1 4 6 2 6= =
2 2 3 3
故 D 选项符合题意；
故选：D．
7．（新考向）如图，点 A，B，C 是eO 上的点，且 ACB = 60 o ，若 AC = BC = 4 3 ，则图中阴影部分的面
积为（　　）
A．8 - 4 3 B．32 -16 3 C．16 -8 3 D．16 - 4 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂径定理、含 30 度角的直角三角形、勾股定理等知识，
正确作出辅助线是解题关键．连接OC ，过点O作OE ^ BC 于点E ，首先证明VOAC ≌VOBC ，由全等三角
形的性质易得 SVOAC = SVOBC ， OCA = OCB ，进而可知 OCA = OCB = 30°，结合垂径定理以及含 30 度
CE 1角的直角三角形的性质，可得 = BC = 2 3 ，OC = 2OE ，结合勾股定理解得OE ，OC 的值，然后根据
2
阴影部分的面积 S = SeO - SVOAC - SVOBC 求解即可．
【详解】解：如下图，连接OC ，过点O作OE ^ BC 于点E ，
在VOAC 和△OBC 中，
ìOA = OB

íOC = OC ，

AC = BC = 4 3
∴VOAC≌VOBC SSS ，
∴ SVOAC = SVOBC ， OCA = OCB ，
∵ ACB = 60 o ，
OCA OCB 1∴ = = 60° = 30°，
2
∵ OE ^ BC ，
1
∴ CE = BC = 2 3 ，OC = 2OE ，
2
2
又∵OE 2 + CE 2 = OC2 ，即OE2 + 2 3 = 2OE 2 ，
解得OE = 2 ，
∴ OC = 2OE = 4，
S 1 1∴ VOAC = SVOBC = BC ×OE = 4 3 2 = 4 3，2 2
∴阴影部分的面积 S = S - S - S = 42eO VOAC VOBC - 4 3 - 4 3 =16 -8 3 ．
故选：C．
8．（新考向）如图，Rt△ABC 中， ACB = 90°，CE是斜边 AB 上的中线，过点E 作EF ^ AB交 AC 于点
3
F ．若△AEF 的面积为 25， sin CEF = ，则BC 的长为（ ）
5
A．6 B． 4 5 C． 2 5 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，线段垂直平分线的性质以及圆周角定理等知识，连接BF ,由线段垂直平
1
分线的性质可得BF = AF ， SVABF = 2SVAEF = BF × BC = 50，由 ACB = BEF = 90°得B, E, F ,C 四点共圆，得2
CBF = CEF ，从而得 sin CBF
3 CF
= = ，设CF = 3x ，则BF = 5x ，由勾股定理得
5 BF
BC = BF 2 - CF 2 = 5x 2 - 3x 2
1
= 4x ，由 BF × BC = 50列方程求出 x 的值即可得出结论．2
【详解】解：：连接 BF ，
∵ CE是斜边 AB 上的中线，EF ^ AB，
∴ EF 是 AB 的垂直平分线，
∴ AF = BF ， SVAFE = SVBFE = 25，
S 2S 1∴ VAFB = VAEF = 50 = AF × BC ，2
∴ AF × BC =100 ；
∵ ACB = BEF = 90°，
∴ B, E, F ,C 四点共圆，
∴ CBF = CEF ，
∵ sin CEF
3
= ，
5
∴ sin
3 CF
CBF = = ，
5 BF
设CF = 3x ，则BF = 5x ，
由勾股定理得BC = BF 2 - CF 2 = 5x 2 - 3x 2 = 4x ，
∵ AF × BC =100 ，
∴ 5x 4x =100，
解得， x = 5 （负值舍去），
∴ BC = 4 5 ,
故选：B．
9．（新考向）如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，点 O 在边 AB 上，eO 经过点 B，交BC 于点 D，连接
AD ， AD 恰好是eO 的切线．若 AC = 3，BC = 6，则 AD 的长为（ ）
A 9 5 B 3 5 3 5 9 5． ． C． D．
2 5 2 5
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明VDAC∽VABC 是解题的关键．
AD AC
先证明VDAC∽VABC 得到 =BA BC ，根据勾股定理求得BA = 3 5，代入比例式即可求解．
【详解】解：如图，连接OD ．
∵ AD 是eO 的切线，
∴ OD ^ AD ．
∴ ADO = 90°．
∴ ODB + ADC = 90°．
∵ C = 90°．
∴ CAD + ADC = 90°．
∴ CAD = ODB．
∵ OB = OD ．
∴ ODB = B ．
∴ CAD = B ．
又∵ C = C ，
∴VDAC∽VABC ．
AD AC
∴ =BA BC ．
在Rt△ABC 中，BA = AC 2 + BC 2 = 32 + 62 = 3 5 ．
AD 3
∴ =
3 5 6
．
∴ AD 3 5= ．
2
故选：C．
10（．新考向）如图，PA、PB分别与eO 相切于点A，B，连接PO并延长与eO 交于点C、D，若CD =12，PA = 8，
则 sin ADB的值为 ．
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、正弦的定义和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是
解决本题的关键．
连接OA、OB，根据切线的性质得到OA ^ PA，根据勾股定理求出OP ，根据圆周角定理得到
ADB = AOP ，根据正弦的定义（在直角三角形中，任意一锐角 A的对边与斜边的比叫做 A的正弦）
计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，
∵ CD =12，
∴ AO = 6
∵ PA与eO 相切于点 A，
∴ OA ^ PA，
∴ OP = OA2 + PA2 = 62 + 82 =10，
1
由圆周角定理可得： ADB = AOB，
2
∵ PA、PB分别与eO 相切于点 A，B，
∴ APO = BPO ， OAP = OBP = 90°，
∴ AOP = BOP，
∴ ADB = AOP ，
sin ADB sin AOP PA 8 4∴ = = = = ，
OP 10 5
故选：A．
11．（新考向）如图，VABC 内接于eO ，将VABC 绕点 A 逆时针旋转90°得到VADE ，点 C 的对应 B 点 E
在eO 上，连接 BE ．若 AB =17 2 ，BC =10，则 AC 的长为（ ）
A．13 2 B．13 C．26 D．24
【答案】A
【分析】连接CE，根据旋转的性质得到DE = BC = 10， DAB = CAE = 90°，AD = AB ，推出VDAB，VCAE
是等腰直角三角形，得到 BD = 2AB = 34，求得 BE = BD - DE = 24 ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接CE，
Q将VABC 绕点A 逆时针旋转90°得到VADE ，
\ DE = BC = 10， DAB = CAE = 90°， AD = AB ，
\ VDAB，VCAE 是等腰直角三角形，
Q AED = ACB ， AEB + ACB =180°，
\ AED + AEB =180°，
\ D ，E ， B 三点共线，
Q AB =17 2 ，
\ BD = 2AB = 34 ，
\ BE = BD - DE = 24，
Q CAE = 90°，
\ CBE = 90°，
\CE = BE2 + BC 2 = 242 +102 = 26，
2
\ AC = CE = 13 2 ，
2
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，正确地
作出辅助线是解题的关键．
题型五 几何小题压轴
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点E 是边长为 2的正方形 ABCD内一点，连接BE, AE ，点 P 在线段DC
上运动，连接EP，则 AE + EP + BE 的最小值是 ．
【答案】 3 + 2 / 2 + 3
【分析】如图所示，将VABE 绕点 B 顺时针旋转60°得到VA BE ，连接EE ，过点 A 作 A G ^ DC ，交 AB,CD
于点F ,G ，则 EBE = ABA = 60°，FG = CB = 2，BF = CG ，可证VBEE 是等边三角形，得到
AE + BE + PE = A E + E E + EP ，当点 A , E , E, P 四点共线且 A P ^ CD时，取得最小值 A G ，即可求解．
【详解】解：如图所示，将VABE 绕点 B 顺时针旋转60°得到VA BE ，连接EE ，过点 A 作 A G ^ DC ，交
AB,CD 于点F ,G ，则 EBE = ABA = 60°，FG = CB = 2，
∴VABE≌VA BE ，
∴ AE = AE ，BE = BE ，
∴VBEE 是等边三角形，
∴ BE = EE ，
∴ AE + BE + PE = A E + E E + EP ，
当点 A , E , E, P 四点共线且 A P ^ CD时，取得最小值 A G ，
∵四边形 ABCD是正方形，边长为 2，VABE 绕点 B 顺时针旋转60°得到VA BE ，
∴ A B = AB = 2, ABA = 60°， BA F = 30°，
∴ BF
1
= A B =1，
2
∴ A F = A B2 - BF 2 = 22 -1 = 3 ，
∴ A G = A F + FG = 3 + 2，
∴ AE + EP + BE 的最小值是 3 + 2，
故答案为： 3 + 2 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性
质，勾股定理的运用，将VABE 绕点 B 顺时针旋转60°得到VA BE ，得到 AE + BE + PE = A E + E E + EP 是
解题的关键．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长BH 交CD于点 M，连
MN
AH CD N = k 2接 并延长交 于点 ，若 (k > 0)，则正方形 ABCD与正方形EFHG 的面积的比值为 （用
CD
含 k 的式子表示）．
1+ k 2
【答案】
(1- k)2
MN MN
= = k 2【分析】证明 ，设 AE = x, EG = y，可得 AG = BH = x + y ，证明△BCH∽△CMH ，可得
AB CD
MH CH
2 x2 1
= = ，证明△ABH∽△NMH ，进一步可得 y = -1 xk ÷ ，再进一步解答即可．BH x + y è
【详解】解：Q四边形 ABCD是正方形，
\ AB∥CD AB = CD，
MN MN
\ = = k 2 ，
AB CD
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴ AE = BG = CH ,EG = GH ．
设 AE = x, EG = y，
\ AG = BH = x + y，
\S = AB2 = (x + y)2 + x2正方形ABCD ，
∵ BCD = 90° = CHB = CNM ，
∴ BCH + MCH = 90° = MCH + CMH ，
∴△BCH∽△CMH ，
BH CH
\ = ，
CH MH
MH CH
2 x2
\ = = ，
BH x + y
∵ AB∥CD ，
\△ABH∽△NMH ，
MN MH x2
\ = = ，
AB BH (x + y)2
x2
\ = k 22 ，(x + y)
y 1\ = -1

k ÷
x，
è
2
\S正方形ABCD = AB
2 = (x + y)2 1+ k+ x2 = 2 x
2 ，
k
2
S = y2 (1- k) 2正方形EFHG = x ，k 2
S正方形ABCD 1+ k 2\ =
S正方形EFHG (1 k)
2 ；-
1+ k 2
故答案为：
(1- k)2
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，本题的难度较大，清
晰的分析问题，确定相似三角形是解本题的关键．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，E 是正方形 ABCD内一点， BEC = 90°，连接DE ，过点 A
作DE 的垂线，垂足为 G，连接CG ，若DG = 9 ，GE = 4 ，则CG 的长为 ．
【答案】 181
【分析】过点C 作CH ^ DE 交DE 延长线于点 H，延长CH 交 BE 于点F ，设EH = x ，证明
VAGD≌VDHC AAS ，则DG = CH = 9 ，证明△DCE≌△CBF ASA ，则CF = DE ，那么HF = GE = 4 ，证
EH HF
明△EHF∽△CHE ，则 = ，求出 x = 6，最后在Rt△GHC 中，由勾股定理得即可求解．
CH HE
【详解】解：过点C 作CH ^ DE 交DE 延长线于点 H，延长CH 交 BE 于点F ，设EH = x
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ ADC = BCD = 90°， AD = CD = BC ，
∵ AG ^ DE ，
∴ AGD = 90°，
∴ 1 = 6 = 90° - 4 ，
∵ AGD = DHC = 90°，
∴VAGD≌VDHC AAS ，
∴ DG = CH = 9 ，
∵同理 1 = 2 = 90° - DCH ，
∵ BEC = DCB = 90°，
∴ 3 = DCE = 90° - BCE
∴△DCE≌△CBF ASA ，
∴ CF = DE ，
∴ DG + GE = CH + HF ，
∴ HF = GE = 4 ，
∵ FEH = ECH = 90° - CEH ，
∵ CF ^ EH ，
∴ EHF = CHE ，
∴△EHF∽△CHE ，
EH HF
∴ = ，
CH HE
x 4
∴ = ，
9 x
解得： x = 6
∴ CG = CH 2 + GH 2 = 92 +102 = 181，
故答案为： 181 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难
度大，解题的关键在于构造全等三角形和相似三角形．
1
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在菱形 ABCD中， AB = 4 5 ，连接BD， tan CBD = ，2
动点E ，F 分别在边 AB,CD 上，且 AE = CF ，过点D作DG ^ EF 于G ，当E 点从A 点运动到 B 点（含端
点），线段CG 的取值范围为 ．
【答案】 4 2 - 4 CG 4 5
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上中线性质，取EF 与BD交于
点O，连接 AC ，取OD 中点 H ，连接HG，CH ，先证VBOE≌VDOF AAS ，得到OB = OD ，即O是BD
1 OC
中点，即可根据对角线 AC 与BD互相垂直平分得到O是 AC 中点，且 AC ^ BD ，再由 tan CBD = =
2 OB
求出OC 4
1
= ，OB = OD = 2OC = 8，然后根据斜边中线得到HG = OH = DH = OD = 4，根据
2
CG CH - HG = 4 2 - 4，得到当C 、H 、G 三点共线时CG = CH - HG = 4 2 - 4 最小，最后根据当E 点从
A 点运动到 B 点（含端点），运动过程中线段CG 的长度先减小，取最小值后又继续增大，求解即可．
【详解】解：如图，EF 与BD交于点O，连接 AC ，取OD 中点 H ，连接HG，CH ，
∵菱形 ABCD中， AB = 4 5 ，
∴ AB = AD = BC = CD = 4 5 ， AB∥CD ，对角线 AC 与BD互相垂直平分，
∴ ABD = CDB ，
∵ AE = CF ，
∴ AB - AE = CD - CF ，即BE = DF ，
∵ BOE = DOF ，
∴VBOE≌VDOF AAS ，
∴ OB = OD ，即O是BD中点，
∴ O是 AC 中点，且 AC ^ BD ，
∴ tan CBD
1 OC
= = ，
2 OB
∴ OB = 2OC ，
∵ OB2 + OC 2 = BC 2 ，
2
∴ 2OC 2 + OC 2 = 4 5 ，
解得OC = 4（负值舍去），
∴ OB = OD = 2OC = 8，
∵ DG ^ EF ，OD 中点 H ，
∴ HG = OH = DH
1
= OD = 4，
2
∴ CH = OH 2 +OC 2 = 4 2 ，
∵ CG CH - HG = 4 2 - 4，
∴当C 、 H 、G 三点共线时CG = CH - HG = 4 2 - 4 最小，
当E 点在点A 处时，F 点在点C 处，G 与O重合，此时CG = OC = 4；
当E 点在点 B 处时，F 和G 点都在点D处，此时CG = CD = 4 5 ；
∵当E 点从A 点运动到 B 点（含端点），运动过程中线段CG 的长度先减小，取最小值后又继续增大，
∴当E 点从A 点运动到 B 点（含端点），线段CG 的取值范围为 4 2 - 4 CG 4 5 ，
故答案为： 4 2 - 4 CG 4 5 ．
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形 ABCD，AB = 2，BC =1，点E 在线段 AC 上，点F 在
线段CD上， AE = CF ．当BE + BF 的值最小时，线段CF 的长度是 ．
【答案】 4 5 -8 / -8 + 4 5
【分析】在CD右侧作 GCD = BAE ，且截取CG = AB = 2 ，连接BG, FG ，则VABE≌VCGF SAS ，那么
BE + BF = FG + BF BG ，则当点B, F ,G 共线时，BE + BF 最小，即为BG ，过点 G 作GJ ^ CD 于点 J ，
1 2
由勾股定理得 AC = AB2 + BC 2 = 5 ，由 sin GCD = sin BAC ，可得GJ = 2 = 5 ，那么5 5
4
CJ = CG2 - GJ 2 4= 5 ，可证明△GJF∽△BCF 5 - CF，则 2 5 = 5 ，即可求解CF ．5 5 CF
【详解】解：在CD右侧作 GCD = BAE ，且截取CG = AB = 2 ，连接BG, FG ，
∵ AE = CF ，
∴VABE≌VCGF SAS ，
∴ BE = FG，
∴ BE + BF = FG + BF BG ，
当点B, F ,G 共线时，BE + BF 最小，即为BG ，如图：
过点 G 作GJ ^ CD 于点 J ，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ ABC = BCD = 90°，
∴ AC = AB2 + BC 2 = 5 ，
∵ GCD = BAE ，
∴ sin GCD = sin BAC ，
GJ BC
∴ = ，
CG AC
GJ 1 2∴ = 2 = 5 ，
5 5
CJ CG2 GJ 2 4∴ = - = 5 ，
5
∵ GJ ^ CD ， BCD = 90°
∴ BC∥GJ ，
∴△GJF∽△BCF ，
GJ JF
∴ =
BC FC
4
∴ 2 5 - CF5 = 5
5 CF
∴ CF = 4 5 -8，
故答案为： 4 5 -8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判
定与性质，综合性强，解题的关键在于构造全等三角形进行转化．
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，点D是边 AC 上一动点，连
接BD，将线段BD绕点 B 顺时针旋转60°得到线段 BE ，连接CE，若 AB = 2 10 ，BC = 3AB ，则线段CE
的最小值是 ．
【答案】9 3 - 3
【分析】将线段BC 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段 BF ，连接CF 、DF ，根据旋转的性质可得VBCF 为等
边三角形、△BCE≌△BFD ，推出CE = FD，易知当FD ^ AC 时，FD 取最小值， 即为FD ．过点F 分别作

FD
FD OF
^ AC 于点 D ，FH ^ BC 于点 H ，FH 交 AC 于点O，从而证明△OHC∽△OD F ，即 = ．在等
CH OC
边VBCF 中，通过FH ^ BC ，求出CH = 3 10 ，OC =10，OF = 3 30 - 10 ，即可求出FD ，从而求出线
段CE的最小值．
【详解】解：如图，将线段BC 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段 BF ，连接CF 、DF ，
根据旋转的性质可得：VBCF 为等边三角形，
Q线段 BE 是线段BD绕点 B 顺时针旋转60°所得，
\BD = BE ， DBE = 60°，
\ DBF = EBC ，
\△BCE≌△BFD SAS ，
\CE = FD ，
\线段CE长度最小时，FD 的长度也最小，
而FD ^ AC 时，FD 取最小值， 即为FD ．
过点F 分别作FD ^ AC 于点 D ，FH ^ BC 于点 H ，FH 交 AC 于点O，
Q FD O = CHO = 90°， D OF = HOC ，
\△OHC∽△OD F ，
FD OF
\ = ，
CH OC
在等边VBCF 中，QFH ^ BC ，
CH 1 BC 1\ = = 3AB = 3 10 FH 3 3，2 2 = BC = 6 10 = 3 30
，
2 2
Q ABC = 90°，
OH 1 AB 10 OC 1 AC 1 1\ = = ， = = AB2 + BC 2 = 20 =10，
2 2 2 2
\OF = FH - OH = 3 30 - 10 ，
FD 3 30 - 10
\ = ，
3 10 10
\FD = 9 3 - 3，
\ FD 的最小值为9 3 - 3，
\ CE的最小值为9 3 - 3，
故答案为：9 3 - 3．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、等边三
角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用以上知识点，
学会用转化的思想思考问题．
7．（新考向）如图，已知 P 是平行四边形 ABCD的边BC 上一点，将VABP沿直线 AP 折叠，点 B 落在平行四
边形 ABCD内的点E 处，且EA = ED，如果 AB = 5， AD = 8， B 的正弦值为0.8，那么BP的长为 ．
25
【答案】
7
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角函数等，如图，过点C 作CF ^ AD 于F ，过点E
作MN ^ AD 于 N ，交BC 于M ，可证四边形MNFC 是矩形，可得CF = MN ，NF = MC ，利用勾股定理求
出CF、NE、CM、EM 的长，再由勾股定理即可求出BP的长，添加恰当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C 作CF ^ AD 于F ，过点E 作MN ^ AD 于 N ，交BC 于M ，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD = 5， AD = BC = 8， B = ADC ， AD∥BC ，
∵ AD∥BC ，MN ^ AD ，CF ^ AD ，
∴ MN ^ BC ，CF ^ BC ，
∴ MNF = CFN = CMN = MCF = 90°，
∴四边形MNFC 是矩形，
∴ CF = MN ， NF = MC ，
sin B sin ADC CF 4∵ = = = ，
CD 5
∴ CF = 4，
∴ MN = 4，DF = CD2 - CF 2 = 25 -16 = 3，
∵将VABP沿直线 AP 折叠，
∴ AB = AE = 5，BP = PE ，
∵ EA = ED = 5， N E ^ A D ，
∴ AN = DN = 4，
∴ NF = MC =1， NE = AE2 - AN 2 = 25 -16 = 3，
∴ ME = MN - NE = 4 - 3 =1，
∵ BP + PM + MC = BC = 8，
∴ BP + PM = 7，
∵ PE2 = EM 2 + PM 2 ，
∴ PB2 =1+ 7 - BP 2 ，
BP 25∴ = ，
7
25
故答案为： .
7
8．（新考向）如图，在VABC 中，AC = 5、AB = 4、BC = 3，D 是平面内一点，CD =1，连接 AD 、E 为 AD
的中点，连接 BE ，则 BE 的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 2 3
1 1 1
【分析】如图，取 AC 的中点Q，连接EQ，求解EQ = CD = ，E 在以Q为圆心，2 为半径的eQ 上运动，2 2
连接BQ交eQ 于E, E ，则 BE 为最小，BE 为最长，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，取 AC 的中点Q，连接EQ，
∵ E 为 AD 的中点，CD =1，
EQ 1 CD 1∴ = = ，
2 2
∴ E 在以Q 1为圆心， 2 为半径的eQ 上运动，
连接BQ交eQ 于E、E ，则 BE 为最小，BE 为最长，
∵ AC = 5、AB = 4、BC = 3，
∴ AB2 + BC 2 = 25 = AB2 ，
∴ ABC = 90°，
∵ Q为 AC 中点，
BQ 1 5∴ = AC = ，
2 2
∴ BE = 2.5 - 0.5 = 2，BE = 2.5 + 0.5 = 3，
∴ BE 的最小值为 2，最大值为 3；
故答案为：2，3
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，圆的确定，圆外一点
与圆上各点的距离的最值问题，确定 E 的轨迹是解本题的关键．
9．（新考向）如图，点D为等边VABC 的边BC 上的一个动点，BC = 6，过点D作DE ^ AC 于点E ，DF ^ BC
交边 AB 于点F ，连接EF ，则VDEF 的面积最大值为 ．
27 3
【答案】
8
【分析】本题考查等边三角形的性质，30°直角三角形的性质，二次函数的最值，过 E 作 EM ^ DF 于 M ，
根据等边三角形可得Rt△BDF ，Rt△CDE ，RtVDEM 都是30°直角三角形，设 BD = x ，利用30°直角三角形
3 1
的性质和勾股定理即可表示出DF = 3x，EM = 6 - x ，然后根据 S4 VDEF = EM × DF 列出解析式，最后根2
据二次函数的性质求最大值即可．
【详解】解：过E 作EM ^ DF 于M ，
∵等边VABC ，BC = 6，
∴ AB = BC = AC = 6， B = C = 60°，
∵ DE ^ AC ，DF ^ BC ，
∴ BDF = DEC = 90°，
∴ BFD = EDC = 30°，
∴ EDF = 90° - EDC = 60°，
∴ MFD = 30°，
设 BD = x ，则CD = BC - BD = 6 - x ，
Rt△BDF 中， BD = x ， BFD = 30°，
∴ BF = 2BD = 2x，DF = BF 2 - BD2 = 3x ，
同理，Rt△CDE 3 3中，由 EDC = 30°可得DE = 3CE = CD = 6 - x ，
2 2
RtVDEM 3 3中，由 MFD = 30°可得EM = 3DM = DE = 6 - x ，
2 4
∴ S 1 EM 1 3 3 3= × DF = 6 - x 3x = - x2VDEF - 6x 3 3= - x - 3 2 27 3+ ，2 2 4 8 8 8
∵ 3 3- < 0，
8
∴当 x = 3 27 3时， SVDEF = 最大，8
27 3
即VDEF 的面积最大值为 ．
8
10．（新考向）如图，正方形 ABCD边长为 4，点E 在边 AD 上，且DE =1．将VCDE沿CE翻折至
△CFE．（1） sin ECF = ；（2）连接BF ．则BF = ．
17 1 12
【答案】 / 17 12 34 / 34
17 17 17 17
【分析】本题主要考查了正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，
灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由正方形的性质以及勾股定理可得CE = 17 ，再根据翻折的性质可得
EF = DE =1, CFE = EDC = 90°，然后根据正切的定义解答即可；
（2）如图：连接DF 交CE于 O，作FG⊥CD，垂足为 G，作FH ^ BC ，垂足为 H，则 AD∥FG ，由折叠
的性质可得CE垂足平分FD ，即CE ^ FD，OF = OD ，CF = CD = 4；再证明VEFO∽VECF 可得
FO 4 17 8 17= ，即FD = 2FO = ；再根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换可得
17 17
8 60
DFG = ECF ，再解直角三角形可得DG = ，则CG = ；再证明四边形FHCG是矩形可得
17 17
FH CG 60= = ，进而得到FH = CG
60 36
= ，再运用勾股定理以及线段的和差可得BH = ，最后根据勾股定
17 17 17
理求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形 ABCD边长为 4，
∴ CDA = 90°，
∴ CE = CD2 +DE2 = 42 +12 = 17，
∵将VCDE沿CE翻折至△CFE，
∴ EF = DE =1, CFE = EDC = 90°，
∴ sin ECF EF 1 17 = = = ．
CE 17 17
17
故答案为： ．
17
（2）如图：连接DF 交CE于 O，作FG⊥CD，垂足为 G，作FH ^ BC ，垂足为 H，则 AD∥FG ，
∵将VCDE沿CE翻折至△CFE，
∴ CE垂足平分FD ，即CE ^ FD，OF = OD ，CF = CD = 4，
∴ FCE + CFD = 90° ，
∵ EFD + CFD = CFE = 90°，
∴ EFD = FCE ，
∵ FEO = FEC ，
∴VEFO∽VECF ，
FO EF FO 1
∴ = 4 17，即 =
FC EC 4
，解得： ，
17 FO = 17
∴ FD = 2FO 8 17= ，
17
∵ AD∥FG ，
∴ EDF = DFG ，
∵ DE = EF =1，
∴ EDF = DFE ，
∴ DFG = ECF ，
DG 17
= 8
∴ sin DFG DG= = sin ECF 17= ，即 8 17 17 ，解得：DG = ，
FD 17 17
17
8 60
∴ CG = CD - DG = 4 - = ，
17 17
∵ FG⊥CD，FH ^ BC ， HCG = 90°，
∴四边形FHCG是矩形，
∴ FH = CG
60
= ，
17
2
∴ CH 60 32= FC 2 - FH 2 = 42 - 17 ÷
= ，
è 17
∴ BH = BC - CH = 4
32 36
- = ，
17 17
∴ BF BH 2 FH 2 36
2 2
= + =
60
+
12 34
= ．
è 17 ÷ ÷ è 17 17
12 34
故答案为： ．
17
11．（新考向）如图，在Rt△ABC 中，已知 ACB = 90o， AC = 4，BC = 2 5 ，点D、E 分别是 AB 、 AC
边上的两个动点，且始终保持 AD = CE ，连接BE、CD，则当CD + BE 取最小值时， AE = ．
12
【答案】
5
【分析】本题考查相似三角形和全等三角形的综合应用，同时涉及勾股定理和最值问题．本题综合性较强，
能合理构建出全等三角形以及转化线段是学生解决本题的关键．先构建出VCEC ≌VADC ，转化
CD + BE = C E + BE ，即可利用三角形三边关系得出 (CD + BE)min = BC ，进一步根据VABE∽CC E 以及勾
股定理进行分析即可．
【详解】解：将△ADC 移动至△CEC ，使A 与C 、D与E 分别重合，
则 A = ECC ，CD = C E ，CC = AC = 4 ,
\CD + BE = C E + BE BC ，
\当B、E、C 三点共线时， (CD + BE)min = BC ,
Q A = C CE ，
\ ABPCC ,
\ ABE = CC E ,
Q A = ECC ， ABE = CC E ，
\VABE∽VCC E ，
AE AB
此时 = ,
CE CC
Q ACB = 90°, AC = 4, BC = 2 5 ，
2
\在Rt△ABC 中由勾股定理可得 AB = 42 + 2 5 = 6，
AE 6
\ = ，
4 - AE 4
AE 12\ = ．
5
12
故答案为： ．
5
12．（新考向）如图，在正方形 ABCD中，AB = 4，点 E、F 分别在边 AB 、CD上，且BE = DF ，将线段EF
绕点 F 顺时针旋转90°得到线段MF ，连接 AM ，则线段 AM 的最小值为 ．
8 8 5
【答案】 5 /
5 5
【分析】以点A 为原点， AB, AD所在直线为坐标轴构造平面直角坐标系，过点E 作EG ^ CD ，过点M 作
MH ^ CD，设 AE = x，则：BE = DF = 4 - x ，证明四边形 AEGD 为矩形，得到DG = AE = x ，
FG = 4 - 2x，证明VFHM≌VEGF ，求出点M 的坐标，进而得到点M 在直线 y = 2x + 8上运动，求出直线与
坐标轴的交点，过点A 作 AK ^直线 y = 2x + 8，得到当M 于点K 重合时， AM 最小，等积法求出 AK 的长
即可．
【详解】解：∵正方形 ABCD，
∴ AB = CD = AD = 4, DAB = ADC = 90°，
以点A 为原点， AB, AD所在直线为坐标轴构造平面直角坐标系，过点E 作EG ^ CD ，过点M 作
MH ^ CD，设 AE = x，则：DF = BE = AB - AE = 4 - x ，四边形 AEGD 为矩形，
∴ DG = AE = x ，EG = AD = 4，
∴ FG = DF - DG = 4 - 2x ，
∵旋转，
∴ EF = FM , EFM = 90°，
又∵ MHF = EGF = 90°
∴ HMF = EFG = 90° - HFM ，
∴VFHM≌VEGF ，
∴ MH = FG = 4 - 2x ，FH = EG = 4 ，
∴ DH = FH - DF = x，
∴点M -x, 4 + 4 - 2x ，即：M -x,8 - 2x ，
∴点M 在直线 y = 2x + 8上运动，
设直线 y = 2x + 8与 x 轴交于点 I ，与 y 轴交于点 J ，过点A 作 AK ^直线 y = 2x + 8，
当 y = 0 时， x = -4，当 x = 0时， y = 8，
∴ I -4,0 ， J 0,8 ，
∴ AI = 4, AJ = 8，
∴ IJ = 42 + 82 = 4 5 ，
∵ AK ^直线 y = 2x + 8，
S 1 1∴ VAIJ = 4 8 = 4 5 × AK ，2 2
∴ AK 8= 55 ，
∵点M 在直线 y = 2x + 8上运动，
∴ 8当点M 与点K 重合时， AM 的值最小为 55 ．
8
故答案为： 55
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
一次函数与几何的综合应用，解题的关键是构造坐标系，确定动点M 的轨迹．
附加中考真题
一、轴对称图形
1．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列
汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形，
C 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
故选：C．
2．（2023·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列
汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念即可解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（2022·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列
汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形．
二、三视图
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的
定义逐项判断即可．
【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，
故选：B．
5．（2023·湖北武汉·中考真题）如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项 A 的
图形符合题意．
【详解】解：从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项 A 的图形符合题
意，故 A 正确．
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确三视图的形状是正确判断的前提．
6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．
【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．
三、解直角三角形
7．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综
合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距
水平地面102m的 C 处，测得黄鹤楼顶端 A 的俯角为 45°，底端 B 的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是
m．（参考数据： tan63° 2）
【答案】51
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA交距水平地面102m
的水平线于点 D，根据 tan63° 2，求出DC = AD 51m，即可求解．
【详解】解：延长BA交距水平地面102m的水平线于点 D，如图，
由题可知，BD =102m ，
设 AD = x ，
∵ DCA = 45°
∴ DC = AD = x
∴ tan63
BD 102
° = = 2
DC x
∴ DC = AD 51m
∴ AB = BD - AD =102 - 51 51m
故答案为：51．
8．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，将 45°的∠AOB 按图摆放在一把刻度尺上，顶点 O 与尺下沿的端点重
合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数为 2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC 放置
在该尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 cm
（结果精确到 0.1 cm，参考数据：sin37° 0.60，cos37° 0.80， tan37° 0.75）
【答案】2.7．
【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角
函数值．
过点 B 作 BD⊥OA 于 D，过点 C 作 CE⊥OA 于 E．
在△BOD 中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE 中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
CE
∵ tan 37° = 0.75，∴OE≈2.7cm．
OE
∴OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 2.7cm．
9．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿 AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 AB 上湖的另一边的D
处同时施工．取 ABC =150° ，BC =1600m ， BCD =105°，则C ，D两点的距离是 m．
【答案】800 2
【分析】如图所示：过点C 作CE ^ BD 于点E ，先求出CE = 800m ，再根据勾股定理即可求出CD的长．
【详解】如图所示：过点C 作CE ^ BD 于点E ，则∠BEC=∠DEC=90°，
Q ABC = 150°，
\ CBD = 30°，
∴∠BCE=90°-30°=60°，
又Q BCD =105°，
\ CDB = 45° ，
∴∠ECD=45°=∠D，
∴ CE = DE ，
QBC =1600m，
\CE 1 1= BC = 1600 = 800m，
2 2
\CD2 = CE2 + DE2 = 2CE2 ，即CD = 2CE = 800 2m．
故答案为：800 2 ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的
关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．
四、圆
10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形 ABCD内接于eO ， ABC = 60°， BAC = CAD = 45°，
AB + AD = 2 ，则eO 的半径是（ ）
A 6 B 2 2 3 2． ． C． D．
3 3 2 2
【答案】A
【分析】延长 AB 至点 E，使BE = AD ，连接BD，连接CO并延长交eO 于点 F，连接 AF ，即可证得
VADC≌VEBC SAS ，进而可求得 AC = cos 45° × AE = 2 ，再利用圆周角定理得到 AFC = 60°，结合三角
函数即可求解．
【详解】解：延长 AB 至点 E，使BE = AD ，连接BD，连接CO并延长交eO 于点 F，连接 AF ，
∵四边形 ABCD内接于eO ，
∴ ADC + ABC = ABC + CBE =180°
∴ ADC = CBE
∵ BAC = CAD = 45°
∴ CBD = CDB = 45° ， DAB = 90°
∴ BD是eO 的直径，
∴ DCB = 90°
∴△DCB是等腰直角三角形，
∴ DC = BC
∵ BE = AD
∴VADC≌VEBC SAS
∴ ACD = ECB， AC = CE ,
∵ AB + AD = 2
∴ AB + BE = AE = 2
又∵ DCB = 90°
∴ ACE = 90°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴ AC = cos 45° × AE = 2
∵ ABC = 60°
∴ AFC = 60°
∵ FAC = 90°
∴ CF AC 2 6= =
sin 60° 3
∴ OF 1 6= OC = CF =
2 3
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等
知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD, AD ^ AB ，以D为圆心， AD 为半径
AB 1
的弧恰好与BC 相切，切点为E ．若 = ，则 sin C 的值是（ ）
CD 3
2
A B 5
3
． ． C D 7． ．
3 3 4 4
【答案】B
【分析】作CF ^ AB延长线于F 点，连接DE ，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求
解在Rt△DEC 和Rt△BFC ，最终得到DE ，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作CF ^ AB延长线于F 点，连接DE ，
∵ AD ^ AB， AB∥CD ，
∴ FAD = ADC = F = 90°，
∴四边形 ADCF 为矩形， AF = DC ， AD = FC ，
∴ AB 为eD的切线，
由题意， BE 为eD的切线，
∴ DE ^ BC ， AB = BE，
AB 1
∵ = ，
CD 3
∴设 AB = BE = a，CD = 3a ，CE = x ，
则BF = AF - AB = CD - AB = 2a ，BC = BE + CE = a + x ，
在Rt△DEC 中，DE2 = CD2 - CE2 = 9a2 - x2 ，
在Rt△BFC 中，FC 2 = BC 2 - BF 2 = a + x 2 - 2a 2 ，
∵ DE = DA = FC ，
∴ 9a2 - x2 = a + x 2 - 2a 2 ，
解得： x = 2a或 x = -3a （不合题意，舍去），
∴ CE = 2a ，
∴ DE = CD2 - CE2 = 9a2 - 4a2 = 5a ，
∴ sin C DE 5a 5= = = ，
DC 3a 3
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运
用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
12．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料 ABCD中， AD∥BC ， A = 90°， AD = 9cm，
AB = 20cm，BC = 24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
110
A． cm B．8cm C．6 2cm D．10cm13
【答案】B
【分析】如图所示，延长 BA 交 CD 延长线于 E，当这个圆为△BCE 的内切圆时，此圆的面积最大，据此求
解即可．
【详解】解：如图所示，延长 BA 交 CD 延长线于 E，当这个圆为△BCE 的内切圆时，此圆的面积最大，
∵ AD∥BC ，∠BAD=90°，
∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，
EA AD EA 9
∴ = ，即 = ，
EB BC EA + 20 24
∴ EA = 12cm ，
∴EB=32cm，
∴ EC = EB2 + BC2 = 40cm ，
设这个圆的圆心为 O，与 EB，BC，EC 分别相切于 F，G，H，
∴OF=OG=OH，
∵ S△EBC =S△EOB + S△COB + S△EOC ，
1 EB BC 1 1∴ × = EB ×OF + BC ×OG
1
+ EC ×OH ，
2 2 2 2
∴ 24 32= 24 + 32 + 40 ×OF ，
∴OF = 8cm，
∴此圆的半径为 8cm，
故选 B．
【点睛】
本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
五、几何小题压轴
13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它
是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形 ABCD．直线MP 交正方形
ABCD的两边于点 E ， F ，记正方形 ABCD的面积为 S1，正方形 MNPQ的面积为 S2．若 BE = kAE(k >1) ，
S1
则用含 k 的式子表示 S 的值是 ．2
k 2 +1
【答案】
(k -1)2
【分析】作 EG ^ AN 交 AN 于点G ，不妨设MN = a ，设 EG = 1，通过四边形MNPQ是正方形，推出
EMG = PMN = 45°，得到EG = MG =1，然后证明VAEG∽VABN ，利用相似三角形对应边成比例，得到
AE 1 AG 1
= = = AG MN 2 2，从而表示出 ， 的长度，最后利用 S1 = AB = BN + AN
2
和 S = MN 2 = a2 表
AB BN AN k +1 2
S
示出正方形 ABCD和MNPQ 1的面积，从而得到 S ．2
【详解】解：作 EG ^ AN 交 AN 于点G ，不妨设MN = a ，设 EG = 1
Q四边形MNPQ是正方形
\ PMN = 45°
\ EMG = PMN = 45°
\ EG = MG = 1
在△AEG 和VABN 中， EAG = BAN ， AGE = ANB = 90°
\VAEG∽VABN
AE EG AG
\ = =
AB BN AN
QBE = kAE(k >1)
\ AB = AE + BE = AE(k +1)
AE 1 AG 1
\ = = =
AB BN AN k +1
\BN =1+ k
由题意可知，△ABN≌△DAM
\BN = AM =1+ k
\ AG = AM - GM =1+ k -1 = k
AG AG k 1
\ = = =
AN AM + MN k +1+ a k +1
\a = k 2 -1
\ AN = AG + GM + MN = k +1+ k 2 -1 = k 2 + k
\ ABCD S = AB2 = BN 2 + AN 2 = (k +1)2 + (k 2 + k)2 = (k +1)2 2正方形 的面积 1 (k +1)，
MNPQ S 2 2 2 2 2 2正方形 的面积 2 = MN = a = (k -1) = (k +1) (k -1)
S (k +1)2 (k 21 +1)\ =
S 2 22 (k +1) (k -1)
Qk >1
\(k +1)2 0
S k 2 +1
\ 1 = ；
S2 (k -1)
2
k 2 +1
故答案为： k -1 2 .
【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，
勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE 平分等边VABC 的面积，折叠VBDE 得到△FDE, AC 分别与
DF , EF 相交于G, H 两点．若DG = m, EH = n，用含m, n的式子表示GH 的长是 ．
【答案】 m2 + n2
【分析】先根据折叠的性质可得 S△BDE = S△FDE ， F = B = 60°，从而可得 SVFHG = SVADG + SVCHE ，再根据相
2 2
似三角形的判定可证VADG∽VFHG,VCHE VFHG
S DG m∽ ，根据相似三角形的性质可得 VADG = ÷ = 2 ，SVFHG è GH GH
SVCHE EH
2
n2= ÷ = ，然后将两个等式相加即可得．SVFHG è GH GH
2
【详解】解：QVABC 是等边三角形，
\ A = B = C = 60°，
∵折叠VBDE 得到VFDE ，
\VBDE≌VFDE ，
\SVBDE = SVFDE ， F = B = 60° = A = C ，
QDE 平分等边VABC 的面积，
\S
梯形ACED = SVBDE = SVFDE ，
\SVFHG = SVADG + SVCHE ，
又Q AGD = FGH , CHE = FHG ，
\VADG∽VFHG,VCHE∽VFHG，
S DG 2 m2VADG SVCHE EH
2
n2\ =
S ÷
= ， = ÷ = ，
VFHG è GH GH
2 SVFHG è GH GH
2
S 2 2
\ VADG
S
+ VCHE
m + n S
= = VADG
+ SVCHE
2 =1，SVFHG SVFHG GH SVFHG
\GH 2 = m2 + n2 ，
解得GH = m2 + n2 或GH = - m2 + n2 （不符合题意，舍去），
故答案为： m2 + n2 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题关键．
15．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在RtVABC 中， ACB = 90°， AC > BC ，分别以VABC 的三边为边
向外作三个正方形 ABHL， ACDE ， BCFG ，连接 DF ．过点C 作 AB 的垂线CJ ，垂足为 J ，分别交 DF ，
LH 于点 I ，K ．若CI = 5，CJ = 4 ，则四边形 AJKL的面积是 ．
【答案】80
【分析】连接 LC、EC、EB，LJ，由平行线间同底的面积相等可以推导出： SVJAL = SVCAL，SVBAE = SVEAC ,由
VCAL @VEAB ，可得 SVCAL = SVEAB ，故 SVJAL = SVCAL = SVBAE = SVEAC ，证得四边形 ALKJ 是矩形，可得
S矩形ALKJ = 2SVALJ ，在正方形 ACDE 中可得： S正方形ACDE = 2S 2VEAC ，故得出： S矩形ALKJ = AC ．由VACJ :VCBJ ，
CJ AJ
可得 = ，即可求出 AJ = 8，可得出
BJ CJ
【详解】连接 LC、EC、EB，LJ，
在正方形 ABHL， ACDE ，BCFG 中
ALK = LAB = EAC = ACD = BCF = 90°, AL = AB, EA = AC, BC = CF , AC = CD, AE P CD，AB P LH，
S正方形ACDE = 2SVEAC ．
∵ CK ^ LH ，
∴ CKL = 90° ，CK ^ AB
∴ CKL + ALK =180°， CJA = CJB = 90°
∴ CK ∥ AL，
∴ SVCAL = SVJAL ．
∵ JKL = ALK = JAL = 90°，
∴四边形 ALKJ 是矩形，
∴ S矩形ALKJ = 2SVALJ ．
∵ LAB = EAC ，
∴ LAB + BAC = EAC + BAC ，
∴ EAB = CAL，
∵ AL = AB, EA = AC,
∴VCAL @VEAB ，
∴ SVCAL = SVEAB ．
∵ AE∥CD ，
∴ SVEAB = SVEAC ．
∴ SVJAL = SVCAL = SVBAE = SVEAC
∴ S 2矩形ALKJ = 2SVEAC = S正方形ACDE = AC ．
∵ DCA = BCF = 90°, DCF = BCD .
∴ DCF = BCD = 90° ,
∵ BC = CF , AC = CD,
∴VABC @VDCF ，
∴ CAB = CDF , AB = DF ，
∵ ACB = 90°, CJB = 90°，
∴ CAB + ABC = 90°, JCB + CBJ = 90°，
∴ CAB = JCB ，
∵ DCI = JCB ,
∴ DCI = IDC ，
∴ ID = CI = 5，
∵ IDC + DFC = 90°, DIC + ICF = 90°，
∴ ICF = IFC ，
∴ IF = CI = 5，
∴ DF =10，
∴ AB =10．
设 AJ = x, BJ =10 - x，
∵ CAJ = BCJ , CJA = CJB,
∴VACJ :VCBJ ，
CJ AJ
∴ = ，
BJ CJ
4 x
∴ = ，
10 - x 4
∴ x1 = 2，x2 = 8，
∵ AC > BC ，
∴ AJ > BJ ，
∴ x >10 - x，
∴ x > 5，
∴ x = 8．
∴ AC 2 = CJ 2 + AJ 2 = 42 + 82 = 80，
∴ S矩形ALKJ = AC
2 = 80．
故答案为：80．
【点睛】此题考查正方形的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理，平行线间同
底的两个三角形，面积相等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决
本题的关键．

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