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猜押 08 第 24 题 二次函数综合（压轴大题）
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
核心考点：1.二次函数与坐
标轴交点坐标求解 2.相似
2024 年第 24 题（抛物
三角形判定与性质 3.几何 命题规律：1.以“问题背景→
线与坐标轴交点、线段
变换（平移、对称）与函 探究→拓展”分层设问，体现
平分、相似三角形）2023
数解析式 4.代数与几何综 思维梯度 2.高频考点：相似
年第 24 题（抛物线平
二次函数 合运算（根与系数关系、 三角形、二次函数与直线交
移、相似三角形、定直 困难
综合 比例化简） 点、中点相关性质 3.2025 年
线探究）2022 年第 24
能力要求：复杂函数与几 可能融入新定义或动态几何
题（抛物线与坐标轴交
何图形的综合分析-参数 问题（如运动轨迹、最值问
点、点到直线距离、比
化推理与代数运算能力- 题）
例关系）
分类讨论与动态几何问题
处理
题型一 二次函数综合压轴
1．（2025·湖北武汉·一模）如图 1，抛物线 y = -x2 - x + 2交 x 轴于点A ，B （点A 在点 B 的左边），交 y 轴于
点C ．
(1)直接写出点A ， B ，C 的坐标；
(2)如图 2，连接BC ，点D在抛物线对称轴上，将线段BC 绕点D旋转180o得到对应线段EF ，若线段EF 的
中点M 恰好在抛物线上，求点D的坐标；
(3)如图 3，将直线 AC 向上平移 2 个单位长度得到直线 l，点 P 在直线 l上，过点 P 画两条不平行于 y 轴的直
线PG ，PH ，直线PG 与抛物线仅有一个公共点G ，直线PH 与抛物线仅有一个公共点 H ，求证：直线GH
经过定点，并求该定点的坐标．
【答案】(1) A -2,0 ，B 1,0 ，C 0,2
1 9
(2) - ,

è 2 8 ÷
(3)见解析，定点的坐标 -1,1
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数与一元二次方程，抛物线与坐标轴交点坐标，中心对称
等知识点；
（1）令 y = 0 ，解一元二次方程 y = -x2 - x + 2 = 0 ，点 A, B的坐标可求，令 x = 0，求出 y 的值即可求出点C 的
坐标；
（2）先求出线段BC 的中点坐标，再根据中心对称的性质求出点M 的坐标，最后求出点D的坐标；
（3）先求出直线 AC 平移后直线 y = x + 4 ，设直线 PG 解析式为 y = k1x + b1，直线PH 解析式为 y = k2x + b2 ，
直线GH 解析式为 y = kx + b，G xG , yG ，H xH , yH ，分别把三条直线与抛物线联立，然后消元计算即可．
【详解】（1）解：令 y = 0 ，则 y = -x2 - x + 2 = 0 ，解得 x1 = -2, x2 =1，
\ A -2,0 ，B 1,0 ，
令 x = 0，则 y = 0 + 0 + 2 = 2，
\C(0, 2)；
（2）解：设线段BC 的中点为 N ，如图，
QB 1,0 ，C(0,2) ，
x 1\ N = 0 +1
1 0 + 2
= ， yN = =1，2 2 2
1
\ N ,1
è 2 ÷
Q线段BC 绕点D旋转180°得到对应线段EF ，
\BC 与EF 关于点D对称，
\点M , N 关于点D对称，
xM + xN y + y\ = x ， y = M N ，
2 D D 2
-1 1
抛物线 y = -x2 - x + 2的对称轴为 x = - = -2 -1 2 ，
1
\ xD = - ，2
x 1M + 3
\ 2 1= - ，解得 xM = - ，
2 2 2
x 3
2
把 = - 代入 y = -x2 - x + 2 3 3 5，得 y = - - ÷ - -
+ 2 = ，
2 ÷è 2 è 2 4
\M 3 , 5 -

，
è 2 4 ÷
5
+1
y yM + yN 4 9\ ，D = = =2 2 8
\D 1 , 9- 2 8 ÷；è
（3）解：∵ A -2,0 ，C(0,2)
∴直线 AC 解析式为： y = x + 2 ，
∴平移后直线 y = x + 4 ，
设直线 PG 解析式为 y = k1x + b1，直线 PH 解析式为 y = k2x + b2 ，直线GH 解析式为 y = kx + b，G xG , yG ，
H xH , yH ，
∵直线PG 与抛物线仅有一个公共点G ，
ìy = k x + b
∴ 1 1 2联立 í 2 ，整理得方程 x + k1 +1 x + b1 - 2 = 0
y = -x - x + 2
有两等根，
x k +1∴ = - 1 x 2G ， G = b1 - 2，2
∴ k1 = -2x -1 b = x 2G ， 1 G + 2，
2
同理可得 k2 = -2xH -1，b2 = xH + 2 ，
ìy = k x + b
联立直线PG 与PH 1 1可得 í
y = k2x b
，
+ 2
b - b x 2G + 2 - x 2H + 2 x + x
解得 x 1 2 G HP = = = ，k2 - k1 -2xH -1- -2xG -1 2
x + x 2 x + x
代入 y = k G H G H1x + b1可得 yP = k1xP + b1 = -2xG -1 × + xG + 2 = 2 - x2 G xH - ，2
∵ P 在直线 y = x + 4 上，即 yP = xP + 4
∴ 2 - x x
x + x x + x
G H -
G H = G H + 4，
2 2
整理得 xG + xH + xG xH + 2 = 0，
ìy = kx + b
联立GH 与抛物线可得 í
y = -x
2 ，- x + 2
2
整理得 x + k +1 x + b - 2 = 0
∴ xG + xH = -k -1, xG xH = b - 2，
∴代入 xG + xH + xG xH + 2 = 0得-k -1+ b - 2 + 2 = 0，
整理得b = k +1，
∴直线GH 解析式为 y = kx + b = kx + k +1 = k x +1 +1，
∴当 x = -1时， y = kx + b = k x +1 +1 =1，即过定点 -1,1 ，
∴直线GH 经过定点，该定点的坐标 -1,1 ．
2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图（1），抛物线 y = -x2 + 2x + 3交 x 轴于A ， B 两点（A 在 B 的
左侧），交 y 轴于点C ．
(1)直接写出A ， B ，C 的坐标；
S
(2) 1 P VABP
4
如图（ ），点 是第一象限抛物线上的一点，若 =S 5 ，求点 P 的坐标；VACP
(3)如图（2），将抛物线 y = -x2 + 2x + 3的顶点平移到Q 0,1 ，此时新抛物线交 x 轴于G, H 两点（G 在 H 的左
侧），若点 N 为 x 轴上方新抛物线上任意一点，过 N 作直线 l（直线 l不与 x 轴垂直）与新抛物线仅有一个公
共点，在 y 轴上点Q的上方是否存在一点M ，使得直线 l与GM 、HM 分别交于点E、F ，且ME + MF 为定
值？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) A -1,0 ，B 3,0 ，C 0,3
5 7
(2) ,
è 2 4 ÷
(3)存在，M 0,2
【分析】（1）直接令 y = -x2 + 2x + 3 = 0和 x = 0代入求解即可；
（2）作出辅助线，连接BC ，交 AP 于点D，作CE ^ AP ，垂足为E ，作BF ^ AP，垂足为F 过点D作DM ^ OB，
垂足为M ，将问题转化为两条直线的交点，联立方程解二元一次方程组；
（3）先求出 lGM , lHM 的直线方程，联立方程消元，根据只有一个交点，利用的根的判别式建立等式求解，再
过E 作EK ^ OM 于K ，分别求出ME = 1+ m2 × -xE ，MF = 1+ m2 × xF ，最后代值计算即可求解．
【详解】（1）解：令 y = -x2 + 2x + 3 = 0，
解得 x = -1或 x = 3，
令 x = 0，则 y = 3，
∴ A -1,0 ，B 3,0 ，C 0,3 ；
（2）解：连接 BC ，交 AP 于点 D，作CE ^ AP ，垂足为 E ，作 BF ^ AP，垂足为 F 过点 D作 DM ^ OB，
垂足为M
S 1VABP = AP BF S
1
× ，
2 VACP
= AP ×CE
2
S
Q VABP
4
=
S ，VACP 5
BF 4
\ =
CE 5
Q CED = BFD = 90o， CDE = BDF
\VCDE∽VBDF
BF BD 4
\ = = ，
CE CD 5
BD 4
\ =
BC 9
QDM ∥OC ，
\VBDM∽VBCO ，
BD DM 4 DM
\ = = = ，
BC CO 9 3
4
\DM =
3
同理，求出 lBC : y = -x + 3
4
当 y = 时， x
5
= ，
3 3
D 5 , 4\ ，
è 3 3 ÷
设 lAP : y = kx + b ，
ì -k + b = 0
A 5将 -1,0 ，D ,
4
3 3 ÷代入得： í5è k + b
4
=
3 3
ì 1
k = 2
í
b 1=
2
\l : y 1AP = x
1
+
2 2
ìy 1 1 = x +
联立 í 2 2
y = -x
2 + 2x + 3
ì 5
ìx = -1 x =
\ 2í y 0 （舍）或 =
í
y 7=
4
5\点 P 的坐标是 ,
7
；
è 2 4 ÷
（3）解：由题意得，新抛物线是： y = -x2 +1，
令 y = 0 ，得-x2 +1 = 0，
\ x1 = -1， x2 =1，
\G -1,0 ，H 1,0
设 lGM : y = kx + b
把G -1,0 ，M 0, m 代入得
-k + b = 0 ， k = m
b = m， b = m
\lGM : y = mx + m
同理， lHM : y = -mx + m
ì y = ex + f
设直线EF : y = ex + f ，联立 í 2 得 x
2 + ex + f -1 = 0
y = -x +1
Q直线EF 与抛物线只有一个公共点
\Δ = e2 - 4 f -1 = e2 - 4 f + 4 = 0，
2
\ f e= +1，
4
2
\l eEF : y = ex + +1，4
ì 2 2
y = ex
e
+ +1 e
4 m - -1联立 í 解得 4 ，
x = y = mx + m
E e - m
ì e2 e2 y = ex + +1
4 m - -1联立 í 解得 4
xy = -mx + m F
=
e + m
过E 作EK ^ OM 于K ，则EK = -xE ，MK = m - yE = m - mxE - m = -mxE ，
\ME = x 2E + -mx
2 2
E = 1+ m × -xE ，同理MF = 1+ m2 × xF
ME + MF = 1+ m2 xf - xE

m e
2 e2
- -1 m - -1÷
= 1+ m2 4 - 4 ÷
e + m e - m ÷÷
è
2
1 m2 m e 1 -2m= + -4 ֏ e
2 - m2
1+ m2 e2m - 4m2 + 4m
= × ，
2 e2 - m2
2
要ME + MF -4m + 4m为定值，则m = ，
-m2
\m = 2，
\M 0,2 ．
【点睛】本题考查了二次函数，三角形相似，二次函数的平移，解二元一次方程组等知识点，解题的关键
是作出相应的辅助线，将问题转化为解方程组，利用方程的思想来求解．
3．（24-25 2九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图 1，抛物线 y = x + bx + c a > 0 过 A，B，C 三点，
OC = 3OA = 6．
(1)求抛物线的解析式：
(2)连接 AC ，点D为线段 AC 上一点，过点D作直线 l ^ AC ，交抛物线右侧于点E ，设DE 的长度为 t，求 t
的最大值；
(3)如图 2，将（1）中抛物线平移后，使其顶点与原点重合，点M 坐标为 1,1 ，点 N 为抛物线对称轴左侧
的动点（不与原点重合），过 M、N 两点作直线MG ， NG 交于点G ，过点G 作 y 轴平行线交抛物线于点
H ，若直线MG ， NG 与抛物线都只有唯一交点，且MN = 2GH ，求 N 点坐标．
【答案】(1) y = x2 - 5x + 6
(2)16 10
9
7 49
(3) N - ,
è 3 9 ÷
【分析】（1）先根据OC = 3OA = 6，求出 A 2,0 ，C 0,6 ，代入抛物线解析式，求出 b、c 的值即可得出
抛物线的解析式；
（2）根据图形得出点 D 越靠上，DE 的长度越长，得出当点 D 与点 C 重合时，DE 最大，过点 E 作EF ^ y
EF CF CE 2
轴于点 F，证明VCEF∽VACO ，得出 = = ，设点 E 的坐标为 e,e - 5e + 6 e > 0 ，得出 EF = e，
OC AO AC
e e2 - 5e t
CE = e2 - 5e + 6 - 6 = e2 - 5e ， AC = 22 + 62 = 2 10 ，即 = = ，求出结果即可；6 2 2 10
（3）将（1）中抛物线平移后，使其顶点与原点重合，根据平移后抛物线的解析式为：y = x2，根据直线GM
经过 M 1,1 ，直线GM 与抛物线只有一个交点，求出直线GM 的解析式为： y = 2x -1，设点 G 的坐标为
m, 2m -1 m < 0 2，则H m,m ，得出GH 2 = m -1 4 ，设直线 NG 的解析式为： y = k x + b k < 0 ，把
G m, 2m -1 ，根据直线GN 与抛物线只有一个交点，得出直线 NG 的解析式为：
y = 4m - 2 x - 4m2 + 4m -1，求出 N é 2m -1, 2m -1
2 ù
，根据MN
2 = 4GH 2 ，得出 4 m -1 2 4m2 +1 = 4 m -1 4，
2 2
求出m = 0或m =1或m = - ，根据m < 0，得出m = - ，最后得出点 N 的坐标即可．
3 3
【详解】（1）解：∵ OC = 3OA = 6，
∴OA = 2，
∴ A 2,0 ，C 0,6 ，
把 A 2,0 ，C 0,6 代入 y = x2 + bx + c a > 0 得：
ì4 + 2b + c = 0
íc 6 ， =
ìb = -5
解得： íc 6 ， =
∴抛物线的解析式为 y = x2 - 5x + 6；
（2）解：∵抛物线的开口向上，
∴根据图形可知：点 D 越靠上，DE 的长度越长，
∴当点 D 与点 C 重合时，DE 最大，
如图，过点 E 作EF ^ y轴于点 F，
则 EFC = ACE = AOC = 90°，
∴ ECF + CEF = ECF + ACO = 90°，
∴ CEF = ACO，
∴VCEF∽VACO ，
EF CF CE
∴ = = ，
OC AO AC
设点 E 2的坐标为 e,e - 5e + 6 e > 0 ，
则EF = e，CF = e2 - 5e + 6 - 6 = e2 - 5e， AC = 22 + 62 = 2 10 ，
e e2 - 5e t
∴ = = ，
6 2 2 10
e 16解得： = ， e = 0（舍去），
3
16
∴ 3 t= ，
6 2 10
16 10
解得： t = ，
9
t 16 10即 的最大值为 ．
9
（3）解：∵将（1）中抛物线平移后，使其顶点与原点重合，
∴平移后抛物线的解析式为： y = x2，
设直线GM 的解析式为： y = kx + b，把M 1,1 代入得：
k + b =1，
解得：b =1- k ，
∴直线GM 的解析式为： y = kx +1- k ，
令 x2 = kx +1- k ，
整理得： x2 - kx -1+ k = 0 ，
∵直线GM 与抛物线只有一个交点，
∴ k 2 - 4 -1+ k = 0，
解得：k1 = k2 = 2，
∴ b =1- 2 = -1，
∴直线GM 的解析式为： y = 2x -1，
设点 G 的坐标为 m, 2m -1 m < 0 2，则H m,m ，
GH = m2 - 2m +1 = m -1 2，
∴ GH 2 = m -1 4 ，
设直线 NG 的解析式为： y = k x + b k < 0 ，把G m, 2m -1 ，代入得：
mk + b = 2m -1，
解得：b = 2m -1- mk = 2 - k m -1，
∴直线 NG 的解析式为： y = k x + 2 - k m -1，
2
令 x = k x + 2 - k m -1，
2
整理得： x - k x - 2 - k m +1 = 0，
∵直线GN 与抛物线只有一个交点，
∴ k 2 + 4 2 - k m - 4 = 0，
∴ k - 4m + 2 k - 2 = 0，
∵ k < 0 ，
∴ k - 2 < 0，
∴ k - 4m + 2 = 0，
解得： k = 4m - 2，
∴ b = 2m -1- m 4m - 2 = -4m2 + 4m -1
∴ 2直线 NG 的解析式为： y = 4m - 2 x - 4m + 4m -1，
令 x2 = 4m - 2 x - 4m2 + 4m -1，
2 2
整理得： x - 4m - 2 x + 4m - 4m +1 = 0，
2
∴ éx - 2m -1 ù = 0 ，
解得： x1 = x2 = 2m -1，
2
∴ N é2m -1, 2m -1 ù ，
2
∴ MN 2 = 2m -1-1 2 + é 2m -1
2 -1ù
= 22m - 2 2 + é 2m -1-1 2m -1+1 ù
= 4 2m -1 2 + é2 m -1 ×2mù
= 4 m -1 2 +16m2 m -1 2
= m -1 2 16m2 + 4 ，
= 4 m -1 2 4m2 +1 ，
∵ MN = 2GH ，
∴ MN 2 = 4GH 2 ，
2
∴ 4 m -1 4m2 +1 = 4 m -1 4，
∴ m -1 2 4m2 +1 = m -1 4，
∴ m -1 2 4m2 +1 - m -1 4 = 0，
m -1 2 é 4m2 +1 - m -1 2∴ ù = 0 ，
2
整理得：m m -1 3m + 2 = 0，
2
解得：m = 0或m =1或m = - ，
3
∵ m < 0，
∴ m
2
= - ，
3
é 2 2 4 ù
∴点 N 的坐标为 ê2 - ÷ -1, - -1÷ ú ，
ê è 3 è 3 ú
即 N
7 49
- , ．
è 3 9 ÷
【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的综合应用，求二次函数解析式，两点间距离公式，求一次函
数解析式，相似三角形的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
1 3
4 2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，抛物线 y = - x - x + 2交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B
2 2
的左边），交 y 轴于点 C．
(1)直接写出点 A、B、C 的坐标；
S 3(2)P 是第二象限内对称轴左侧抛物线上一点，连BP交 AC 于 Q，若 △CPQ = S4 △CBQ
，求点 P 的坐标；
2
(3)过原点的直线交抛物线于点 D、E，过点 E 的直线 y = x + b 交抛物线于另一点 F，若DF ^ EF ，求 b 的
3
值．
【答案】(1) A -4,0 , B 1,0 ，C 0,2
P 5 , 21 (2) -
è 2 8 ÷
(3)b = 4
【分析】本题考查了二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，面积问题，特殊角度问题，一元
二次方程的根与系数的关系，图象与坐标轴交点，综合性强，计算量大．
（1）分别令 y = 0, x = 0，即可求解抛物线与坐标轴的交点；
1
（2）过点P,Q 作PN ^ AB,QM ^ AB 于点 N , M ，则PN QM ，直线 AC 表达式为 y = x + 2，直线BP表
2
达式为 y = nx - n
4 + 2n 4 + 2n
，联立直线 AC 和直线BP表达式得解得： x = ，即 xQ = ，联立直线BP和抛物2n -1 2n -1
2
线表达式整理得： x + 2n + 3 x - 2n + 4 = 0，则 xB × xP = -2n - 4，那么 xP = -2n - 4
3
，由 S△CPQ = S4 △CBQ
得
PQ 3 x - x 4 + 2n
到 = ，由PN QM
BM BQ 4
= = B Q
4
，得到 ，则 =
1-
BQ 4 ，那么BN BP 7 x x 7 2n -1
4
= ，整理得：16n
2 + 32n +15 = 0 ，
B - P 1+ 2n + 4 7
再解方程即可；
（3）过点 F 作 x 轴的平行线，与过点E, D 作 x 轴的垂线，交于点H ,G ，设直线DE : y = k1x，与抛物线联立
2 4
整理得： x + 2k1 + 3 x - 4 = 0
2
，则 xD + xE = -2k1 - 3, xD × xE = -4，那么 xD = - x ，联立直线 y = x + b 与抛E 3
13 13
物线整理得：3x2 +13x + 6b -12 = 0，则 xE + xF = - , x3 E
× xF = 6b -12，那么 xF = - - x3 E
，故
x x 4 13 y - y+ = - - - x F E xF - xED F x 3 E ，可得△HEF∽△GFD ，则
=
x - x y - y ，那么代入化简证明得到
xD + xF = 0，
E D F F D
4 13
则- - - xE = 0 2
4 28 2
x 3 ，整理得：3xE +13xE +12 = 0，求出
E -3,2 或E - , ÷，再代入直线 y = x + b 即
E è 3 9 3
可求解b ．
1 3
【详解】（1 2）解：当 y = 0 时，- x - x + 2 = 0，
2 2
解得： x1 = -4, x2 =1，
∴ A -4,0 , B 1,0 ，
当 x = 0时， y = 2 ，
∴ C 0,2 ；
（2）解：过点P,Q 作PN ^ AB,QM ^ AB 于点 N , M ，则PN QM ，
设直线 AC 表达式为 y = kx + b，
则代入 A -4,0 ,C 0, 2 得：
ì-4k + b = 0
í
b = 2
ì
k
1
=
解得： í 2 ，
b = 2
1
∴直线 AC 表达式为 y = x + 2，
2
∵ B 1,0 ，
∴同理可求直线BP表达式为 y = nx - n，
ì
y
1
= x + 2
联立直线 AC 和直线BP表达式得 í 2 ，
y = nx - n
4 + 2n 4 + 2n
解得： x = ，即 x
2n -1 Q
= ，
2n -1
ì 1 3
y = - x2 - x + 2
联立直线BP和抛物线表达式得： í 2 2 ，
y = nx - n
2
整理得： x + 2n + 3 x - 2n + 4 = 0，
∴ xB × xP = -2n - 4，
∴ xP = -2n - 4，
∵ S
3
△CPQ = S△CBQ ，4
PQ 3
∴ =BQ 4 ，
∵ PN QM ，
BM BQ 4
∴ = = ，
BN BP 7
x - x 4
∴ B Q = ，
xB - xP 7
1 4 + 2n∴ - 2n -1 4= ，
1+ 2n + 4 7
整理得：16n2 + 32n +15 = 0 ，
3 5
解得： n1 = - , n2 = - ，4 4
5 3
∴ xP = - 或 xP = - （在对称轴上，不合题意，舍去），2 2
P 5 21 ∴ - , ；
è 2 8 ÷
（3）解：过点 F 作 x 轴的平行线，与过点E, D 作 x 轴的垂线，交于点H ,G ，
ìy = k x
1
设直线DE : y = k1x，与抛物线联立得： í 1 3
y = - x
2 - x + 2
2 2
2
整理得： x + 2k1 + 3 x - 4 = 0，
∴ xD + xE = -2k1 - 3, xD × xE = -4，
4
∴ xD = - xE
ìy 2 = x + b
联立直线 y
2
= x + b 3与抛物线得：
3 í y 1 3
，
= - x2 - x + 2
2 2
整理得：3x2 +13x + 6b -12 = 0，
13
∴ xE + xF = - , xE × xF = 6b -12，3
13
∴ xF = - - x ，3 E
x x 4 13∴ D + F = - - - xxE 3
E ，
∵ DF ^ EF , EH ^ HG,GD ^ HG ，
∴ H = G = EFD = 90°，
∴ HEF = GFD = 90° - HFE ，
∴△HEF∽△GFD ，
HE HF
∴ = ，
FG DG
yF - yE xF - x∴ = ExD - xF yF - y
，
D
2 x + b - 2 x + b
3 F 3 E ÷
∴ è
x
= F
- xE
xD - xF 1
，
- x 2 3F - x
1
+ 2 - - x 2 3- x + 2
2 2 F D D ֏ 2 2
2 x
3 F
- xE xF - x∴ = E ，
xD - x 1F xD + xF xD - x
3
F + xD - xF 2 2
∴ xD + xF = 0
4 13
∴ - - - xE = 0x ，E 3
2
整理得：3xE +13xE +12 = 0，
解得： x
4
E = -3或 xE = - ，3
∴ E -3,2 或E 4 - ,
28
，
è 3 9 ÷
当E -3,2 2时， -3 + b = 2，
3
∴ b = 4 ；
E 4 , 28 2- 4 28当 ÷时， - ÷ + b = ，
è 3 9 3 è 3 9
∴ b = 4 ，
综上所述：b = 4 ．
5．（24-25 2九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 y1 = ax + bx + c 与 x 轴负半轴交于点 A，与正半轴交
于点 B，与 y 轴正半轴交于点 C，对称轴为 x =1，且OB = OC = 3OA．
(1)直接写出抛物线 y1 的解析式为______．
(2)如图 1，点 D 为抛物线 y1 顶点，点 E 是第一象限抛物线 y1 上一点，使得，cos ECD
10
= ，求 E 点坐标．
10
(3)将抛物线 y1 关于 y 轴翻折得到抛物线 y2 ，如图 2，它与 x 轴负半轴交于点 P，与正半轴交于点 Q，与 y 轴
正半轴交于点 C，直线MN 与抛物线 y2 交于 M，N 两点，且CP平分 MPN ，求点 P 到直线MN 的最大距
离．
(1) y = -x2【答案】 1 + 2x + 3
(2) E
5 7
,
è 2 4 ÷
(3)点 P 到直线MN 的最大距离 17
【分析】本题考查二次函数综合体，涉及到待定系数法求解析式，三角函数，二次函数与定点问题，相似
三角形的判定与性质等知识点；
1 1
（1）先求出C 0,c ，再由OB = OC = 3OA = c ，得到 B c,0 ， A - c,0÷ ，求出抛物线对称轴为 x = c =1，
è 3 3
解得 c = 3，再根据交点式求解析式即可；
（2）先求出顶点D 1,4 ，过D作DF ^ CD交CE于F ，DM ^ y 轴于M ，过F 作 FN ^ DM 交直线DM 于
N ，则 DMC = N = CDF = 90°， CM = DM =1， OM = 4 10 CD，由 cos ECD = = 可得 DF = 3CD，
10 CF
V DM MC CD再证明 MDC∽VNFD得到 = = ，代入数值后即可求出F 4,1 ，再求出直线CF 解析式，最后
NF DN DF
5 7
联立二次函数解析式解方程即可得到E ,2 4 ÷；è
（3 2）先求出抛物线 y1 = -x + 2x + 3关于 y
2
轴翻折得到抛物线解析式为 y2 = -x - 2x + 3，得到P -3,0 ，
Q 1,0 ， OC = OP = 3，则 CPO = 45°，过 P 作PG ^ x轴，过M 作MG ^ PG 于G ，过 N 作 NH ^ x轴于
MG
H ，则 G = GPO = NHP = 90°，即可得到 MPG = NPH ， tan MPG = = tan NPH
NH
= ，再分别
PG PH
设直线PM 解析式为 y = k1 x + 3 ，直线PN 解析式为 y = k2 x + 3 ，与抛物线联立后得到M 1- k1, -k 21 + 4k1 ，
N 1- k , -k 22 2 + 4k2 ，代入得到 k1k2 =1，设直线MN 解析式为 y = mx + n ，与抛物线联立后得到
xN + xM = m + 2, xN ×xM = n - 3，代入关系式消元后得到n = m + 5，即可得到直线MN 过定点Q -1,5 ，最后
由垂线段最短可得：点 P 到直线MN 的距离不超过PQ = 29 ，据此求解即可．
2
【详解】（1）解：令 x = 0，则 y1 = ax + bx + c = c，
∴ C 0,c ，
∴ OB = OC = 3OA = c ，
1
∴ B c,0 ， A - c,0

÷ ，
è 3
c + 1- c
∴抛物线对称轴为 ÷x è 3 1 c，= =
2 3
∵对称轴为 x =1，
∴ x
1
= c =1，解得 c = 3，
3
∴ B 3,0 ， A -1,0 ，C 0,3 ，
∴ y1 = ax
2 + bx + c = ax2 + bx + 3 = a x - 3 x +1 = ax2 - 2ax - 3a ，
∴ -3a = 3，解得 a = -1，
∴ 2抛物线 y1 的解析式为 y1 = -x + 2x + 3，
y = -x2故答案为： 1 + 2x + 3．
（2）解：∵ y1 = -x
2 + 2x + 3 = - x -1 2 + 4 ，
∴顶点D 1,4 ，
如图，过D作DF ^ CD交CE于F ，DM ^ y 轴于M ，过F 作 FN ^ DM 交直线DM 于 N ，则
DMC = N = CDF = 90°，
∵ D 1,4 ，C 0,3 ，
∴ CM = DM =1，OM = 4，
∵ cos ECD 10 CD = = ，
10 CF
∴ CF = 10CD ，
∴ DF = CF 2 + CD2 = 3CD ，
∵ DMC = N = CDF = 90°，
∴ MDC = DFN = 90°- NDF ，
∴VMDC∽VNFD，
DM MC CD
∴ = = ，
NF DN DF
1 1 CD 1
∴ = = = ，
NF DN 3CD 3
∴ NF = DN = 3，
∴ F 4,1 ，
设直线CF 解析式为 y = k3x +3，把F 4,1 代入得1= 4k3 +3，解得 k 13 = - ，2
1
∴直线CF 解析式为 y = - x + 3，
2
5
ì 1 ì
y = - x + 3 ìx = 0
x =
2
联立 í 2 ，解得 í 或 ，
y = -x2 + 2x + 3 y = 3
í
1 y
7
=
4
E 5 7 ∴ ,
è 2 4 ÷
；

（3）解：∵点 x, y 关于 y 轴翻折得到点 -x, y ，
∴抛物线 y 21 = -x + 2x + 3
2
关于 y 轴翻折得到抛物线解析式为 y2 = - -x + 2 -x + 3 = -x2 - 2x + 3，
令 y2 = -x
2 - 2x + 3 = 0，解得 x1 =1, x2 = -3，
∴ P -3,0 ，Q 1,0 ，
∴ OC = OP = 3，
∴ CPO = 45°，
如图，过 P 作PG ^ x轴，过M 作MG ^ PG 于G ，过 N 作 NH ^ x轴于 H ，则 G = GPO = NHP = 90°，
∴ CPO = CPG = 45°，
∵ CP平分 MPN ，
∴ CPM = CPN ，
∴ CPO - CPN = CPG - CPM ，即 MPG = NPH ，
∴ tan MPG
MG tan NPH NH = = = ，
PG PH
∵ P -3,0 ，
∴设直线PM 解析式为 y = k1 x + 3 ，直线PN 解析式为 y = k2 x + 3 ，
ìy = k1 x + 3 ìx = -3 ìx =1- k1
联立 í ，解得 或 ，
y = -x
2 í í
2 - 2x + 3
2
y = 0 y = -k1 + 4k1
∴ M 1- k , -k 21 1 + 4k1 ，
同理 N 1- k 22 , -k2 + 4k2 ，
∴ MG =1- k1 +3 = 4 - k1, PG = -k
2
1 + 4k1，PH =1- k2 +3 = 4 - k2 , NH = -k
2
2 + 4k2 ，
MG 4 - k NH -k 2 + 4k
∴ = 1 = = 2 2 ，
PG -k 21 + 4k1 PH 4 - k2
整理得 k1k2 =1，
设直线MN 解析式为 y = mx + n ，
ìy = mx + n 2
联立 í 2 ，整理得 x + m + 2 x + n - 3 = 0，
y2 = -x - 2x + 3
∴ xN + xM = - m + 2 , xN × xM = n - 3，
∴1- k1 +1- k2 = - m + 2 , 1- k1 1- k2 = n - 3，
整理得 k1 + k2 = m + 4 1- k1 1- k2 =1- k1 + k2 + k1k2 = n - 3，
∴1- m + 4 +1 = n - 3，
整理得 n =1- m，
∴直线MN 解析式为 y = mx + n = mx +1- m = m x -1 +1，
当 x =1时， y =1，即直线MN 过定点Q 1,1 ，
∴ PQ = 1+ 3 2 +12 = 17 ，
∵由垂线段最短可得：点 P 到直线MN 的距离不超过PQ = 17 ，
∴点 P 到直线MN 的最大距离 17 ．
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图 1，抛物线 y = ax2 - 2ax + c 与 x 轴交于点 A, B两点，与 y 轴交
于点C ，直线BC 的解析式为 y = -x + 3．
(1)直接写出 a = ___________， c = ___________；
PE
(2) P 是直线BC 上方抛物线上一点，连接 AP 交BC 于点E ，当 最大时，求点 P 的坐标，并求出这个最大
EA
值；
(3)如图 2，过线段BC 的中点 H 作直线MN 交抛物线于M , N 两点（点M 在点 N 左侧），直线MC 与直线BN
交于点G ，求HG的最小值．
【答案】(1) -1,3
3
(2) P ,
15 EP 9
2 4 ÷，
=
è AE 16
(3) 9 2
4
【分析】（1）先求出B 3,0 ，C 0,3 ，再代入 y = ax2 - 2ax + c ，由待定系数法即可求解；
（2）作PE2∥y 轴，交直线BC 于点E2 ，交 x 轴于点G2 ，过A 作 AF2∥BC 交 PE2 于点F2，作PC2 ^ BC 于点
C2 ，交 AF2 于点D2 ，设 AF2 交 y 轴于点 I2，作CH2 ^ AF2于H2 ，由平行线分线段成比例得
PE PC
= 2
PE PC
= 2 2 2，进而可得 最大时， PE2 最大满足题意，设 P p,- p + 2 p + 3 ，则 E2 p,- p + 3AE C ，2D2 E2F2 C2D2
3 2 9 3 15 PE
得PE2 = - p
2 + 3p = - p - 2 ÷
+ ，即可求得P ,2 4 ÷，进而可求 ；è 4 è AE
2
（3）设M m, -m + 2m + 3 ，N n,-n2 + 2n + 3 ，求出直线MN 表达式为 y = -m - n + 2 x + mn + 3，代入点
H 3 , 3 3mn 9 m 9 n 27 ÷得： = + - ，求直线MC ，直线BN ，联立直线MC 、BN 表达式，得
è 2 2 2 2 2
45 9 15
G 3n , 9 + 9n - 3mn - 3m
3n + n - m
即 , 2 2 2
÷ 15
÷ ÷，求出经过点G 的直线为 y = -x + ，设
è 3 - m + n 3 - m + n 3 - m + n 3 - m + n ÷ 2
è
G x, -x
15
+ ÷ ，利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求出HG的最小值。
è 2
【详解】（1）解：Q直线BC 的解析式为 y = -x + 3．
\ x = 0时， y = 3； y = 0 时， x = 3，
\OC = OB = 3， B 3,0 ，C 0,3 ，
将B 3,0 ，C 0,3 代入 y = ax2 - 2ax + c
ì c = 3
得 í9a ， - 6a + c = 0
ìa = -1
解得 í c 3 ， =
故答案为：-1,3；
（2）解：如图，作PE2∥y 轴，交直线BC 于点E2 ，交 x 轴于点G2 ，过A 作 AF2∥BC 交 PE2 于点F2，作PC2 ^ BC
于点C2 ，交 AF2 于点D2 ，设 AF2 交 y 轴于点 I2，作CH2 ^ AF2于H2 ，
Qa = -1,c = 3，
\ y = -x2 + 2x + 3，
当 y = 0 时，-x2 + 2x + 3 = 0，
\ x1 = -1， x2 = 3，
\ A -1,0 ，
设直线 AF2 为 y = -x + m，
将 A -1,0 代入得，1+ m = 0，
\m = -1，
\ y = -x -1, I2 0,-1 ，
\OA = OI2 , OAL2 = OI2 A = 45°，CI2 = 4，
\ I2CH2 = OI2 A，
\CH2 = I2H2 = sin 45° ×CI2 = 2 2 ，
\CH2 = C2D2 = 2 2 ，
Q PE2∥y 轴，
\ CI2H2 = PF2D2 = 45°，
QAF2∥BC ，
\ PF2D2 = PE2C2 = 45°，
PE PC\ 22 = = 2PC ，sin 45° 2
QAF2∥BC ，
PE PC2 PE\ = = 2
AE C D E F ，2 2 2 2
PE PC2
若 最大，则 C D 最大，AE 2 2
QC2D2 = 2 2 ，
PC
\PC 22 最大时， C 最大，2D2
而PE2 = 2PC2，
\ PC2 最大时， PE2 最大满足题意，
设P p,- p2 + 2 p + 3 ，则E2 p, - p + 3 ，
2
\PE p2 3p 3 92 = - + = -

p -

2 ÷
+ ，
è 4
3 9 2
\ p = 3 3 15时，PE 2
2 2max
= ，- p + 2 p + 3 = -
4 2 ÷
+ 2 + 3 = ，
è 2 4
3 15
\P , ÷ ，
è 2 4
9
PC PE= 2 4 9 22 = =
，
2 2 8
9 2
PE PC
\ = 2 = 8 9= ；
AE C2D2 2 2 16
（3）解： QB 3,0 ，C 0,3 ，
3 3
\BC 的中点为H ,2 2 ÷
，
è
设M m, -m2 + 2m + 3 ， N n,-n2 + 2n + 3 ，
直线MN 表达式为 y = kx + b，
ì-m2 + 2m + 3 = km + b
将M、N 代入得： í 2 ，
-n + 2n + 3 = kn + b
ìk = -m - n + 2
解得： í
b = mn 3
，
+
\直线MN 表达式为 y = -m - n + 2 x + mn + 3，
H 3 3 代入点 , ÷得：3mn
9 m 9 27= + n - ，
è 2 2 2 2 2
同理可求直线MC ： y = -m + 2 x + 3，
直线BN ： y = -n -1 x + 3n + 3，
ì y = -m + 2 x + 3
联立直线MC BN

、 表达式得： í
y =
，
-n -1 x + 3n + 3
ì
x
3n
=
3- m + n
解得 í
y 9 + 9n - 3mn 3m
，
-
=
3- m + n
45 9 15
3n 9 + 9n - 3mn - 3m 3n + n - m

÷
\G , 即 , 2 2 2 ，
è 3 - m + n 3- m + n ÷ 3- m + n 3- m + n
÷
÷
è
设经过点G 的直线为 y = px + q ，
45 9 n 15 3n + - m
代入G , 2 2 2
÷
÷，
3 - m + n 3- m + n ÷
è
45 9 n 15+ - m
得 2 2 2 3p + q n + 3q - qm= ：
3- m + n 3 - m + n
ìq 15 = 2
比较系数得： í ，
3p + q 9=
2
ìq 15 = 2
解得： í ，
p = -1

ì
q
15
=
2 45 9 n 15+ - m
当 í ，无论m、n为何值， 2 2 2 3p + q n + 3q - qm
15
= 该式子恒成立，点G 在直线 y = -x + p = -1 3- m + n 3- m + n 2

上运动，
设G
x, x 15- + ÷ ，
è 2
2 2
\GH 3 15 3= - x
+ -x + -
2 ÷ ÷è è 2 2
= 2x2 -15x 153+
4
15 22 x 81= - ÷ + ，
è 4 8
Q2 > 0，
x 15\ =
4 时，GH
81 9 2
min = = ．8 4
【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标，相似三角形的判定和性质、二次函数与一次函数综
合问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图 1，二次函数 y = x2 + 2x - 3与 x 轴相交于点A 、 B （点 A 在
点 B 的左侧），与 y 轴相交于点C ，抛物线的顶点为点D．
(1)直接写出点 B 、C 、D的坐标；
(2)如图 1，连接BC ，点 P 为抛物线上一点，使 PAB = 2 OCB，求点 P 的坐标；
(3)如图 2，直线 y = mx + 2m - 2与抛物线相交于M，N 两点（点M 在 y 轴左侧，点 N 在 y 轴右侧），过点 N
与点H -2，- 4 的直线交抛物线于Q，若直线MQ 必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式．
【答案】(1) B 1,0 ，C 0,-3 ，D -1, -4
1 , 39 7 57(2) -

或
4 16 ÷
,
è è 4 16 ÷
(3) y = -2x
【分析】（1）将解析式化为顶点式，当 x = 0及 y = 0 时，即可求解；
（2）由待定系数法得直线BC 的解析式为 y = 3x - 3作点 B 关于 y 轴的对称点 F，连接CF ①当点 P 在 x 轴
下方时，如图中点P1处，连接 AP1交BC 于 E，点 B、点 F 关于 y 轴的对称，由对称的性质及等腰三角形的
1 12
性质得 AE = AB = 4，设点 E 坐标为 x,3x - 3 2，由勾股定理得 x + 3 + 3x - 3 2 = 42，即可求出E ,-
è 5 5 ÷
，

3 9
由待定系数法得直线 AE 的解析式为 y = - x - ，即可求解； ②当点 P 在 x 轴上方时，如图中点P2处， AP4 4 2
与 AP
1 12
1关于 x 轴对称E , ，同理可求；
è 5 5 ÷
（3）M
y1 - yx 31, y1 ，N x2 , y2 ，Q x3 , y3 ，由待定系数法得直线MQ 的解析为 y = k1x + b1中 k1 = = x + x + 2x1 - x 1 3
，
3
y 2
同理可得直线 NQ 的解析为 y = 2
+ 4 2 y2 + 4 k y2 + 4 x y = k x + bx + - 4，可得 = = 2 +1 ì 2 22 ， 联立x í 22 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x + 2 y = x + 2x - 3
，
2
-2x2 - 3
由根与系数的关系 x3 = k2 - 2 - x2 = ，同理可求 x1x2 = -5 - 2 xx + 2 1 + x2 ，代入可求 k1，即可求解．2
【详解】（1）解： y = x2 + 2x - 3
= x +1 2 - 4，
\ D -1, -4 ，
当 x = 0时， y=- 3，
\ C 0, -3
令 y = 0 ，
x2 + 2x - 3 = 0 ，
解得： x1 =1或 x2 = -3，
\ A -3,0 ，B 1,0 ．
（2）解：∵ A -3,0 ，B 1,0 ．
∴ AB = 4，
设直线BC 的解析式为 y = kx + b，则有
ì0 = k + b
í
-3 = b
，
ìk = 3
解得： í ，
b = -3
∴直线BC 的解析式为 y = 3x - 3
作点 B 关于 y 轴的对称点 F，连接CF ，如图，
①当点 P 在 x 轴下方时，如图中点P1处，
连接 AP1交BC 于 E，
Q点 B、点 F 关于 y 轴的对称，
∴ OF = OB ，
\ BCO = FCO，
CBO = CFO，
∴ BCF = 2 BCO，
∵ P1AB = 2 OCB ，
∴ BCF = P1AB ，
∵ BFC =180° - ABC - BCF ，
AEB =180° - P1AB - ABC ，
∴ AEB = BFC = ABC ，
∴ AE = AB = 4，
设点 E 坐标为 x,3x - 3 ，
∴ x + 3 2 + 3x - 3 2 = 42，
∴ 5x2 - 6x +1 = 0，
1
解得： x1 = ， x5 2
=1（舍去），
E 1∴ ,
12
-
5 5 ÷，è
设直线 AE 的解析式为 y = sx + t ，则有
ì0 = -3s + t

í 12 1 ，
- = s + t 5 5
ì
s
3
= -
4
解得： í ，
t 9= -
4
3 9
∴直线 AE 的解析式为 y = - x - ，
4 4
ì
y
3 9
= - x -
联立得 í 4 4 ，
y = x
2 + 2x - 3
ì
x
1
=
1 4 ìx2 = -3
解得： í 39 ， íy （舍去） y 2 = 01 = - 16
P 1 39 ∴ 1 , -
è 4 16 ÷
；

②当点 P 在 x 轴上方时，如图中点P2处，
∵ P2 AB = 2 OCB = P1AB ，
∴ AP2 与 AP1关于 x 轴对称，
1 12
\ E , ，
è 5 5 ÷
3 9
同理可求经过E 的直线 AP2 的解析式为 y = x + ，4 4
ìy 3 9 = x +
联立得 í 4 4 ，
y = x
2 + 2x - 3
ì 7
ìx x2 =1 = -3 4
解得： íy 0 （舍去）， í ， 1 = y 57=
2 16
P 7 , 57 ∴ 2
è 4 16 ÷
1 , 39 7 57综上，点 P 的坐标为 -

÷或4 16
, ．
è è 4 16 ÷
（3）解：设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，Q x3 , y3 ，
\ y 21 = x1 + 2x1 - 3，
y = x 22 2 + 2x2 - 3，
y3 = x
2
3 + 2x3 - 3，
\ y - y = x 21 3 1 + 2x1 - 3 - x 23 + 2x3 - 3
= x1 - x3 x1 + x3 + 2 ，
设直线MQ 的解析为 y = k1x + b1，则有
ìy1 = k1x1 + b1
í ，
y3 = k1x3 + b1
k y= 1 - y3解得： 1 x ，1 - x3
x1 - xk 3 x\ 1 + x3 + 2 1 = x1 - x3
= x1 + x3 + 2，
设直线 NQ 的解析为 y = k2x + b2 ，
Q经过H -2, -4 ，
ìk y2 + 4 2 =
\
x2 + 2
同理可求 í
2 y
，
+ 4
b

2 =
2 - 4
x2 + 2
\直线 NQ
y
的解析为 y = 2
+ 4 2 y2 + 4x + - 4，
x2 + 2 x2 + 2
y + 4
\ k 22 = x2 + 2
x 22 + 2x2 - 3 + 4=
x2 + 2
x2 +1
2
= ，
x2 + 2
2 2
\直线 NQ
x +1 2 x +1
的解析为 y = 2 x + 2 - 4 ，
x2 + 2 x2 + 2
ìy = k2x + b2
联立 í 2 ，
y = x + 2x - 3
x2整理得： + 2 - k2 x - 3 - b2 = 0，
\ x2 + x3 = k2 - 2，
\ x3 = k2 - 2 - x2
x2 +1
2
= - 2 - x
x 22 + 2
-2x2 - 3=
x2 + 2
，
ìy = x2 + 2x - 3
联立 í ，
y = mx + 2m - 2
x2整理得： + 2 - m x - 2m -1 = 0，
ìx1 + x2 = m - 2①\í ，
x1x2 = -2m -1②
① 2 +②得：
2 x1 + x2 + x1x2 = -5，
\ x1x2 = -5 - 2 x1 + x2 ，
\ k1 = x1 + x3 + 2
x -2x2 - 3= 1 + + 2x2 + 2
x x + 2x +1
= 1 2 1
x2 + 2
-5 - 2 x1 + x2 + 2x1 +1=
x2 + 2
-2x2 - 4=
x2 + 2
= -2 ，
\直线MQ 的解析式为 y = -2x + b，
\直线MQ 必与直线 y = -2x 平行，
故这条直线的函数解析式为 y = -2x ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用中的角度问题，待定系数法，轴对称的性质，等腰三角形的判定及
性质，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数综合应用中的角度问题的典型解法，并能熟练利用待
定系数法及一元二次方程根与系数的关系进行求解是解题的关键．
8．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线 y = tx + 2t 过定点A ，抛物线 y = ax2 - ax - 4与 x 轴交
于 A、B两点，与 y 轴负半轴交于C 点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，D -1,n 在抛物线上，过D点的直线 l： y = kx + b交线段OB 于点 H ，交 y 轴于点G ，交抛物线
于点E ，若DG + EH = 2GH ，求 k 的值；
(3)如图 2，P 是线段 AC 上一个动点，F 点在线段 AB 上，且 AF = m，若有且只有两个不同的 P 点使VAPF
和VBCP 相似，求m 的值．
2 2 2
【答案】(1)抛物线解析式为 y = x - x - 4
3 3
(2) k 6 + 2 21=
3
(3) m =1
【分析】（1）由 y = tx + 2t = x + 2 t 求出定点 A -2,0 ，再把 A -2,0 代入 y = ax2 - ax - 4计算即可；
D -1, 8- D -1, 8- y = kx + b b 8= k - G 0, k 8- 8 （2）先求出 ÷， ÷代入 得 ，得到 ÷，H -1+ ,0÷，再联
è 3 è 3 3 è 3 è 3k
ìy = kx 8+ k -
3 3 3
立 í x =1+ k - x = 2 + k2 2 ，得到 E D ，根据
DG + EH = 2GH ，得到DE = 3GH ，过D作DM ^ x
y = x2 - x - 4 2 2
3 3
GH OH
轴，过E 作EM ^ y 轴交DM 于M ，根据VGOH∽VDME ，得到 = ，代入列方程计算即可；
DE EM
（3）先求出B 3,0 ，C 0, -4 ，得到 AB = BC = 5，则 PAF = BCP，即可得到VBCP∽VPAF 或
VBCP∽VFAP ，再根据有且只有两个不同的 P 点使VAPF 和VBCP 相似，求解即可．
【详解】（1）解：∵ y = tx + 2t = x + 2 t ，
∴当 x = -2时， y = 0 ，
∴定点 A -2,0 ，
把 A -2,0 代入 y = ax2 - ax - 4得0 = 4a + 2a - 4，
2
解得 a = ，
3
2 2 2∴抛物线解析式为 y = x - x - 4 ；
3 3
（2）解：∵ D -1,n 在抛物线上，
2 2 2
∴ n = -1 - -1 - 4 8= - ，
3 3 3
D 8 ∴ -1, - ÷，
è 3
D -1, 8- y = kx + b 8 k b b k 8把 ÷代入 得- = - + ，得到 = - ，
è 3 3 3
∴ y
8
= kx + k - ，
3
8
令 x = 0，则 y = k - ，
3
令 y 0
8
= ，则 x = -1+ ，
3k
G 0, k 8 H 1 8- ∴ ÷， - + ,0 ，
è 3 è 3k ÷
ìy 8= kx + k -
3 2 x2 2 k x 4联立 í 2 2 ，整理得
- + ÷ - - k = 0，
y x2 3 3 3= - x - 4 è
3 3
∴ x x 1
3
D + E = + k ，2
x 1 3 k x 2 3∴ E = + -2 D
= + k ，
2
∵ DG + EH = 2GH ，
∴ DG + EH + GH = 3GH ，即DE = 3GH ，
3
过D作DM ^ x轴，过E 作EM ^ y 轴交DM 于M ，则EM = xE - xD = 3 + k ，2
∴VGOH∽VDME ，
GH OH
∴ = ，
DE EM
-1 8+ GH 1
∴ 3k3 = = ，3 + k DE 3
2
整理得3k 2 +12k -16 = 0 ，
6 ± 2 21
解得 k = ，
3
∵过D点的直线 l： y = kx + b交线段OB 于点 H ，
∴ k > 0 ，
∴ k 6 + 2 21= ；
3
2 2 2 2
（3 y = x2）解：令 - x - 4 = 0，解得 x1 = -2, x2 = 3 2，令 x = 0，则 y = x - x - 4 = -4，3 3 3 3
∴ B 3,0 ，C 0, -4 ，
∴ OB = 3，OA = 2，OC = 4，
∴ BC = OC2 + OB2 = 32 + 42 = 5， AB = OA + OB = 5， AC = OC 2 + OA2 = 22 + 42 = 2 5 ，
∴ AB = BC = 5，
∴ PAF = BCP，
∵ C 0, -4 ， A -2,0 ，
∴设直线 AC 解析式为 y = k1x - 4，代入 A -2,0 可得0 = -2k1 - 4，
解得 k1 = -2，
∴直线 AC 解析式为 y = -2x - 4，
设P t, -2t - 4 ，
过 P 作PH ^ AB 于 H ，则PH = 2t + 4，BH = OB + OH = 3 - t ，
∴ PB2 = BH 2 + PH 2 = 2t + 4 2 + 3- t 2，
∵ P 是线段 AC 上一个动点，F 点在线段 AB 上，且 AF = m，
∴ 0 < m < 5，
∵VAPF 和VBCP 相似，
∴VBCP∽VPAF 或VBCP∽VFAP ，
当VBCP∽VFAP
PC BC
时， = ，
AP AF
PC 5
∴ = ，
2 5 - PC m
10 5
解得PC = ，
m + 5
∴当0 < m < 5时，0 < PC < 2 5 成立，即此时存在一个点使VBCP∽VFAP ；
当VBCP∽VPAF 时， APF = PBC ，
∵ APB = PBC + ACB = APF + FPB，
∴ ACB = FPB，
∴VBPF∽VBAP ，
BP BF
∴ = ，
AB BP
∴ BP2 = AB × BF = 5 5 - m ，
∴ BP2 = 2t + 4 2 + 3- t 2 = 5 5 - m ，
整理得 t 2 + 2t + m = 0 ，
∵有且只有两个不同的 P 点使VAPF 和VBCP 相似，
∴方程 t 2 + 2t + m = 0 有且唯一解，
∴ D = 22 - 4m = 0，
解得m =1．
9．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c与 x 轴交于 A -8,0 ,O 0,0 两点，与
直线 y = kx 交于点B -10,5 ．
(1)直接写出 a,b,k 的值；
(2)取点C -2.5,0 ，在抛物形上取点 P ，使 PBO = ACB，求点 P 的坐标；
(3)点Q是抛物线上的动点，直线 AQ ， BQ分别与抛物线的对称轴相交于G ， F 两点，M 是抛物线的顶点，
MF
求 的值．
MG
1 1
【答案】(1) a = ,b = 2,k = -
4 2
5 ,105 15 (2)符合条件的 P 点的坐标为 2 16 ÷
或 -5, - 4 ÷è è
MF 3
(3) =
MG 2
【分析】（1）把 A -8,0 ,O 0,0 ，B -10,5 代入 y = ax2 + bx + c求出 a、b、c 的值，把B -10,5 代入 y = kx
求出 k 的值即可；
（2）在 x 轴上取点M ，使 OMB = OBC ，延长MB交抛物线于点 P ，求出M -50,0 ，再用待定系数法
ìy 1 x 25= +
MB : y 1 x 25

求出直线 = +
8 4
，联立 í ，求出点 P1 的坐标；将MP 关于直线
OB 对称后与抛物线的
8 4 y = x2 + 2x
4
交点也是符合条件的 P 点，取直线MB上点D -2，6 ，作点 D 关于直线OB 的对称点 N，连接DN ，交OB 于
7 25
点 E，连接BN ，交抛物线于点P ，此时点P 符合要求，求出 N -6, -2 ，得出直线 NB : y = - x - ，联4 2
ì 1 2
y = x + 2x 4
立 í ，求出P
15
7 25
-5, - ÷．
y 4= - x - è
4 2
（3）设Q m, n ，设直线QA的解析式为 y = sx + t ，把 A -8,0 ，Q m, n 代入，求出直线QA的解析式为
y 1= mx + 2m，同理得出直线QB
1 5
的解析式为 y = m - 2 x + m，求出抛物线的对称轴为直线 x = -4，顶
4 4 2
点坐标为M -4, -4 y 1 1 5 3，得出 G = -4 m + 2m = m ， yF = -4 m - 2 + m = m + 2，求出4 4 2 2
MG 3 3= m + 4, MF = m + 6 = m + 4 ，最后得出答案即可．
2 2
【详解】（1）解：把 A -8,0 ,O 0,0 ，B -10,5 代入 y = ax2 + bx + c得：
ì64a -8b + c = 0

íc = 0 ，

100a -10b + c = 5
ì
a
1
=
4
解得： íb = 2 ，

c = 0

把B -10,5 代入 y = kx 得：-10k = 5，
1
解得： k = - ；
2
（2）解：在 x 轴上取点M ，使 OMB = OBC ，延长MB交抛物线于点 P ，如图所示：
∵ PBO = OMB + BOM ， OBC + BOM = ACB ，
∴ PBO = ACB，
∴此时 P 是符合条件的点，
Q OMB = OBC, MOB = BOC ，
\VOBM∽VOCB，
OB OM
∴ = ，
OC OB
\OB2 = OC ×OM ，
∵ B -10,5 ，
∴ -10 - 0 2 + 5 - 0 2 = 2.5OM ，
解得：OM = 50 ，
∴ M -50,0 ，
设直线MB的解析式为： y = kx + b k 0 ，把B -10,5 ，M -50,0 代入得：
ì-10k + b = 5
í ，
-50k + b = 0
ìk 1 = 8
解得： í
b 25
，
=
4
MB : y 1 x 25∴直线 = + ，
8 4
ì 1
y = x
25
+
8 4
联立 í ，
y 1= x2 + 2x
4
ì 5
ìx = -10 x = 2
解得： íy = 5 ， í 105 ， y =
16
P 5 ,105 ∴ ；
è 2 16 ÷
将MP 关于直线OB 对称后与抛物线的交点也是符合条件的 P 点，
取直线MB上点D -2，6 ，作点 D 关于直线OB 的对称点 N，连接DN ，交OB 于点 E，连接BN ，交抛物线
于点P ，此时点P 符合要求，
则DN ^ OB，DE = EN ，
∴ BED = 90°，
1
∵直线OB 的解析式为 y = - x，
2

∴设E m,
1
- m -10 < m < -2 ，
è 2 ÷
根据勾股定理得：BE2 + DE2 = BD2 ，
2 2
∴ -10 - m 2 + 1 5 + m÷ + -2 - m
2 1+ 6 + m

÷ = -2 +10
2 + 6 - 5 2 ，
è 2 è 2
解得：m = -4或m = -14（舍去），
∴ E -4,2 ，
∵点 E 为DN 的中点，
∴ N -4 2 + 2,2 2 - 6 ，
即 N -6, -2 ，
设直线 NB的解析式为 y = k x + b ，把 N -6, -2 ，B -10,5 代入得：
ì-6k + b = -2
í
-10k
，
+ b = 5
ì
k
7
= -
4
解得： í
b 25
，
= -
2
7 25
∴直线 NB : y = - x - ，
4 2
1
根据解析（1 2）可知，抛物线的解析式为 y = x + 2x
4
ì 1 2
y = x + 2x 4
联立 í ，
y 7 25= - x -
4 2
ìx = -5
ìx = -10
解得 íy 15
或 í
= - y
，
= 5
4
P 15\ -5,- 4 ÷
．
è
5 105 15
综上分析可知，符合条件的 P 点的坐标为 , ÷ 或 -5, -
è 2 16 è 4 ÷
．

（3）解：设Q m, n ，设直线QA的解析式为 y = sx + t ，把 A -8,0 ，Q m, n 代入得：
ìn = sm + t
í
0 = -8s + t
，
ìs 1 = m
解得： í 4 ，
t = 2m
\直线QA
1
的解析式为 y = mx + 2m，
4
1 5
同理，直线QB 的解析式为 y = m - 2 x + m，
4 2
1 2 1 2∵抛物线的解析式为 y = x + 2x = x + 4 - 4 ，
4 4
∴抛物线的对称轴为直线 x = -4，顶点坐标为M -4, -4 ，
∵直线 AQ ，BQ分别与抛物线的对称轴相交于G ，F 两点，
1
\ yG =
1 5
-4 m + 2m = m， yF = -4 m - 2 + m
3
= m + 2，
4 4 2 2
\MG = m + 4, MF 3= m + 6 3= m + 4 ，
2 2
3
MF m + 4 3
\ = 2 = ．
MG m + 4 2
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，相似三角形的性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，
解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
10．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 y = ax2 - ax - 6a与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 点
左边），与 y 轴负半轴交于 C 点，OC = 2OB ．
(1)求抛物线的解析式；
tan PAC 1(2)点 P 是 x 轴下方抛物线上一点，若 = ，求 P 点横坐标；
2
(3)如图 2，直线 y = mx + n 与抛物线交于点 E、F，点D 4,6 在抛物线上，连接DE 、DF 分别交 y 轴正半轴
于点 M、N，若OM ×ON = 4，求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】(1) y = x2 - x - 6
(2)P 点横坐标为 2
3 5
(3)证明见解析，定点 - , -
è 2 2 ÷
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求解析式，三角函数，相似三角形的判定与性质，二次函数与定
点问题等知识点；
（1）先求出 A -2,0 ，B 3,0 ，得到C 0, -6 ，再把C 0, -6 代入 y = ax2 - ax - 6a求解即可；
1
（2）如图，过C 作CM ^ AC ，使CM = AC ，连接 AM ， AC ，CM ，过M 作MN ^ y轴于 N ，则
2
tan MAC CM 1 = = = tan PAC ，点 P 为直线 AM 与抛物线的交点，再证明VAOC∽VCNM ，得MN = 3，
AC 2
CN =1，ON = OC - CN =1，求出M 3, -5 ，再求出直线 AM 解析式，最后与抛物线联立求解方程即可；
（3）由D 4,6 ，设直线DE 解析式为 y = k1 x - 4 + 6 ，直线DF 解析式为 y = k2 x - 4 + 6，则
OM = -4k1 + 6，ON = -4k2 + 6，由OM ×ON = 4，整理得到 2k1k2 - 3 k1 + k2 + 4 = 0，再分别联立直线 DE 、
DF 解析式和抛物线解析式得到 xE = k1 - 3， xF = k2 - 3，联立直线EF 解析式和抛物线解析式得到
xE × xF = -6 - n， xE + xF =1+ m，代入整理得到 k1 + k2 = m + 7， k1k2 = 3m - n + 6，代入
2k1k2 - 3 k1 + k 4
3 5 3 5
2 + = 0 n
3 m 5 ，整理得 = - ，即可得到 y = mx + n = mx + m - = m x + - ，即可求出
2 2 2 2 ֏ 2 2
直线EF 经过定点．
【详解】（1）解：令 y = ax2 - ax - 6a = 0，解得 x1 = 3, x2 = -2 ，
∵抛物线 y = ax2 - ax - 6a与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 点左边），
∴ A -2,0 ，B 3,0 ，
∴ OB = 3，OA = 2，
∴ OC = 2OB = 6，
∴ C 0, -6 ，
把C 0, -6 代入 y = ax2 - ax - 6a得 -6a = -6，解得 a =1，
∴抛物线的解析式为 y = x2 - x - 6；
1
（2）解：如图，过C 作CM ^ AC ，使CM = AC ，连接 AM ， AC ，CM ，过M 作MN ^ y轴于 N ，
2
tan MAC CM 1∴ = = = tan PAC ，
AC 2
∴点 P 为直线 AM 与抛物线的交点，
∵ CM ^ AC ，MN ^ y轴，
∴ AOC = MNC = ACM = 90°， ACO = NMC = 90° - NCM ，
∴VAOC∽VCNM ，
CM MN CN
∴ = = ，
AC OC OA
CM MN CN 1
∴ = = = ，
AC 6 2 2
∴ MN = 3，CN =1，ON = OC - CN =1，
∴ M 3, -5 ，
ì-5 = 3k + b
设直线 AM 解析式为 y = kx + b，把M 3, -5 ， A -2,0 代入得 í
0
，
= -2k + b
ìk = -1
解得 íb ， = -2
∴直线 AM 解析式为y = -x - 2，
ìy = -x - 2 ìx = -2 ìx = 2
联立 íy x2 x 6，解得= - - íy 0 或= í y 4
，
= -
∵点 P 为直线 AM 与抛物线的交点， A -2,0 ，
∴P 点横坐标为 2；
（3）证明：∵ D 4,6 ，
∴设直线DE 解析式为 y = k1 x - 4 + 6 ，直线DF 解析式为 y = k2 x - 4 + 6，
∵ DE 、DF 分别交 y 轴正半轴于点 M、N，
∴ M 0, -4k1 + 6 ， N 0, -4k2 + 6 ，
∴ OM = -4k1 + 6，ON = -4k2 + 6，
∵ OM ×ON = 4，
∴ -4k1 + 6 -4k2 + 6 = 4 ，
整理得 2k1k2 - 3 k1 + k2 + 4 = 0，
ìy = k1 x - 4 + 6 x2联立 í 得 - 1+ k x + 4ky = x2 - x - 6 1 1
-12 = 0，

∴ xE + xD =1+ k1，即 xE + 4 =1+ k1，
解得 xE = k1 - 3，
同理得到 xF = k2 - 3，
ìy = mx + n x2联立 í - 1+ m x - 6 - n = 0
y = x
2 - x 6得到 ，-
∴ xE × xF = -6 - n， xE + xF =1+ m，
∴ k1 - 3 k2 - 3 = -6 - n ， k1 - 3 + k2 - 3 =1+ m ，
整理得 k1 + k2 = m + 7， k1k2 = 3m - n + 6，
∵ 2k1k2 - 3 k1 + k2 + 4 = 0，
∴ 2 3m - n + 6 - 3 m + 7 + 4 = 0，
整理得 n
3 m 5= - ，
2 2
∴ y = mx n
3 5 3 5
+ = mx + m - = m x + ÷ - ，2 2 è 2 2
x 3 5当 = - 时， y = - ，
2 2
∴直线 y = mx + n
3 5
经过定点 - , -

．
è 2 2 ÷
11．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线C1： y = ax2 + bx + 3经过 A -3,0 ，B 1,0 两点，
且与 y 轴的正半轴交于点 C．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)如图 1，D 在第二象限内抛物线C1上，BD交 AC 于点 E，连接BC ，若VBCE 的面积是△DCE 面积的 2
倍，求点 D 的坐标；
(3)如图 2，将抛物线C1向右平移 2 个单位长度，得到抛物线C2 ，若Q 3,3 ，点 H 与点 Q 关于 x 轴对称，
点 F 是对称轴左侧抛物线上一动点，连接FQ交抛物线C2 于点 M，连接FH 并延长交抛物线于点 N，连接
MN ，若直线MN 的解析式为 y = kx + b，求 k 的值．
【答案】(1) y = -x2 - 2x + 3
(2) -1,4 或 -2,3
(3) -4
【分析】（1）将 A -3,0 ，B 1,0 两点代入解析式，即可求解；
（2）过D作DG∥ x轴交 AE 的延长线于G ，由相似三角形的判定方法得VABE∽VGDE ，由相似三角形的
AB BE 2 2
性质得 = ，由三角形的面积得BE = 2DE ，设D t,-t - 2t + 3 ，G t + 2, -t - 2t + 3 ，待定系数法求
GD DE
出直线 AC 的解析式，将G 的坐标代入，即可求解；
2 2
（3）设F f , - f + 2 f + 3 ，M m,-m + 2m + 3 ，N n,-n2 + 2n + 3 ，由待定系数法得直线FM 的解析式为
y = 2 - f - m x + fm + 3，直线FN 的解析式为 y = 2 - f - n x + fn + 3，直线MN 的解析式为
y = 2 - m - n x + mn + 3，将Q、 H 的坐标分别代入直线FM 、FN 的解析式，将两式相加整理得
3 - f m + n - 6 = 0， 联立C1抛物线与直线MN 解析式得m + n = - k - 2 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
ì9a - 3b + 3 = 0
í ，
a + b + 3 = 0
ìa = -1
解得： í
b 2
，
= -
\抛物线C1的解析式： y = -x2 - 2x + 3；
（2）解：过D作DG∥ x轴交 AE 的延长线于G ，
\VABE∽VGDE ，
AB BE
\ = ，
GD DE
\SVBCE = 2SVDCE ，
\BE = 2DE ，
AB
\ = 2，
GD
Q A -3,0 ，B 1,0 ，
\ AB = 4 ，
4
\ = 2，
GD
解得：GD = 2，
设D t, -t 2 - 2t + 3 ，
\G t + 2, -t 2 - 2t + 3 ，
当 x = 0时， y = 3，
\C 0,3 ，
设直线 AC 的解析式： y = k1x + b1，则有
ì-3k + b = 0
í
k + b
，
= 0
ìk1 =1
解得： í
b1 = 3
，
\直线 AC 的解析式： y = x + 3，
\t + 2 + 3 = -t 2 - 2t + 3，
解得： t1 = -1， t2 = -2，
当 t = -1时，
y = - -1 2 - 2 -1 + 3
= 4，
当 t = -2时，
y = - -2 2 - 2 -2 + 3
= 3，
\点 D 的坐标为 -1,4 或 -2,3 ；
（3）解：由题意得
C 21的解析式为： y = - x +1- 2 + 4
= -x2 + 2x + 3，
设F f , - f 2 + 2 f + 3 ，
M m, -m2 + 2m + 3 ，
N n,-n2 + 2n + 3 ，
设直线FM 的解析式为 y = k2x + b2 ，则有
ì fk2 + b2 = - f
2 + 2 f + 3
í ，
mk2 + b = -m
2
2 + 2m + 3
ìk2 = 2 - f - m
解得： í
b
，
2 = fm + 3
\直线FM 的解析式为 y = 2 - f - m x + fm + 3，
同理可求：
直线FN 的解析式为 y = 2 - f - n x + fn + 3，
直线MN 的解析式为 y = 2 - m - n x + mn + 3，
Q H 是Q 3,3 关于 x 轴的对称点，
\H 3, -3 ，
\ 3 2 - f - m + fm + 3 = 3，
3 2 - f - n + fn + 3 = -3，
整理得：3 f + 3m - fm - 6 = 0 ①，
3 f + 3n - fn -12 = 0 ②，
① + ②得：
6 f + 3m + 3n - fm - fn -18 = 0，
整理得：
3 - f m + n - 6 = 0，
Q点 F 是对称轴左侧抛物线上一动点，
\3 - f 0，
\m + n - 6 = 0，
\m + n = 6，
ìy = -x2 + 2x + 3
联立得 í ，
y = kx + b
\ x2 + k - 2 x + b - 3 = 0，
QM 、 N 在C1抛物线上，
\m + n = - k - 2 ，
\- k - 2 = 6，
解得： k = -4 ；
故 k 得值为-4．
【点睛】本题考查了待定系数法，相似三角形的判定及性质，直线与抛物线交点中的一元二次方程根与系
数关系，理解直线与线与抛物线交点中的一元二次方程根与系数关系，能熟练利用待定系数法求解一次函
数和二次函数的解析式及相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．
12．（24-25 九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线C1 : y = ax
2 + bx + c 3的对称轴是直线 x = ，与 x 轴交
2
于 A -1,0 ，与 y 轴交于点C 0, - 4 ．
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)如图 1，点 E 是抛物线C1上一动点，过点 E 作DE ^ x轴，若 ACO = AED ，求点 D 的坐标．2
3
(3)如图 2，将抛物线C1向左平移 个单位长度得到抛物线C2 ．点 P 为抛物线C2 上一动点，过 P 作PH ^ x2
轴，点 Q 为射线PH 上一点，过点 Q 的直线交抛物线于 M，N 两点，若VPQM 与VPQN 的面积之积为 2．点
Q 的轨迹是否确定？若确定，求出轨迹的解析式：若不确定，请说明理由．
【答案】(1)抛物线为： y = x2 - 3x - 4
17 ,0 (2)
47
D的坐标为： ÷ 或 ,0 ．
è 8 è 8 ÷
ìm2 17 5 5- - m 4 è 2 2 ÷
(3)点 Q 的轨迹是抛物线，解析式为 n = í
m2 33- 5 m > 或m
5
< -
4 2 2 ÷ è
【分析】（1）由抛物线C1 : y = ax
2 + bx + c 的对称轴是直线 x
3
= ，与 x 轴交于 A -1,0 ，与 y 轴交于点
2
C 0, - 4 ，再建立方程组解题即可；
（2）如图，在 y 轴上取点K ，使 AK = CK ，可得 AKO = 2 ACO ，延长 AK 交抛物线于E ，
1
AKO = AED = 2 ACO，满足 ACO = AED ，如图，当E 在 x 轴的上方时，取K 关于 x 轴的对应点
2
K ，直线 AK 与抛物线的交点为E ， AKK = AK K = AED，再进一步解答即可；
C 3 y x2 25（3）将抛物线 1向左平移 个单位长度得到抛物线C2 ．可得C2 为： = - ；再分两种情况讨论：如图，2 4
M x , y N x , y P m, m2 25设 1 1 ， 2 2 ， -
5 5 2 25
÷，Q m, n ，当 - m 2 2 时，可得PQ = n - m + ，令è 4 4
k x - m + n = x2 25 25- ，可得 x1 + x2 = k ， x1x2 = km - n - ，结合VPQM 与VPQN 的面积之积为 2，可得4 4
1 PQ m x 1- 1 PQ x2 - m 2
5 5
= ，再整理即可，当m > 或m < - 时，同理可得结论．
2 2 2 2
3
【详解】（1）解：∵抛物线C1：y = ax2 + bx + c的对称轴是直线 x = ，与 x 轴交于 A -1,0 ，与 y 轴交于点2
C 0, - 4 ．
ìc = -4
ìa =1 b 3
∴ í- = ，解得： b = -3，
2a 2
í

a - b + c = 0 c = -4
∴抛物线为： y = x2 - 3x - 4 ．
（2）解：如图，在 y 轴上取点K ，使 AK = CK ，
∴ ACO = KAO，
∴ AKO = 2 ACO ，
延长 AK 交抛物线于E ，
∵ ED ^ y 轴，
∴ DE∥ y 轴，
1
∴ AKO = AED = 2 ACO，满足 ACO = AED ，
2
设 AK = CK = m，而 A -1,0 ，C 0, -4 ，
∴ OK = 4 - m ，
∴ m2 = 4 - m 2 +12 ，
17
解得：m = ，
8
∴ OK = 4
17 15
- = ，
8 8
K 0, 15- ∴ ，
è 8 ÷
15
设直线KE 为 y = kx - ，
8
15 15
∴ -k - = 0，解得： k = - ，
8 8
y 15 x 15∴直线KE 为： = - - ，
8 8
15 x 15令- - = x2 - 3x - 4，
8 8
x2 9 x 17∴ - - = 0，
8 8
∴ x
9
E -1 = ，8
∴ x
17
E = ，8
∴ D
17
,0

，
è 8 ÷
如图，当E 在 x 轴的上方时，取K 关于 x 轴的对应点K ，直线 AK 与抛物线的交点为E ，
∴ AKK = AK K = AED，
15 15
同理可得： AK 为 y = x + ，
8 8
15 x 15+ = x2令 - 3x - 4，
8 8
x2 39 x 47∴ - - = 0，
8 8
∴ xE -1
39
= ，
8
x 47∴ E = ，8
47
∴ D ,0 ，
è 8 ÷
17
综上：D的坐标为： ,0
47
8 ÷
或 ,0 ．
è è 8 ÷
2
（3）解： y = x2 - 3x - 4 = x 3 25 - ÷ - ，
è 2 4
3
将抛物线C1向左平移 个单位长度得到抛物线C ．2 2
∴ C2 为： y = x2
25
- ；
4
5 5
如图，当 - m M x , y N x , y P m, m2 25- 2 2 时，设 1 1 ， 2 2 ， ，è 4 ÷
∴ xQ = m ，
设直线MN 为： y = k x - m + n，
∴ Q m, n ，
PQ n m2 25∴ = - + ，
4
令 k x - m + n x2 25= - ，
4
x2 kx km n 25∴ - + - - = 0，
4
∴ x1 + x2 = k
25
， x1x2 = km - n - ，4
∵VPQM 与VPQN 的面积之积为 2，
1
∴ PQ m - x 11 PQ x - m = 2，2 2 2
∴ 1
2

n
25
- m2 + ÷ ém x1 + x2 - x1x2 - m
2 ù = 2，4 è 4
1 25 2∴ n - m
2 + ÷ n - m
2 25+
4 ÷
= 2
è 4 è 4
∴ n - m2
25
+ = 2，
4
n m2 17∴ = - ，
4
n m2 17∴点 Q 的轨迹是抛物线，解析式为 = - ．
4
m 5 5当 > 或m < - 时，如图，
2 2
设M x1, y1 ， N x2 , y2 P ， m, m2
25
- ，
è 4 ÷
∴ xQ = m ，
设直线MN 为： y = k x - m + n，
∴ Q m, n ，
PQ m2 25∴ = - - n，
4
k x m n x2 25令 - + = - ，
4
x2 kx km n 25∴ - + - - = 0，
4
∴ x1 + x2 = k ， x1x2 = km - n
25
- ，
4
∵VPQM 与VPQN 的面积之积为 2，
1
∴ PQ m - x1
1
PQ m - x2 = 2，2 2
2
∴ 1 m2 25 - - n

÷ é-m x1 + x
2
2 + x1x2 + m ù = 2，4 è 4
∴ 1
2
m2 25 n m2 25- - - - n
4 4 ÷ 4 ÷
= 2
è è
25
∴ m2 - - n = 2 ，
4
∴ n
33
= m2 - ，
4
∴ Q 2
33
点 的轨迹是抛物线，解析式为 n = m - ．
4
ìm2 17 5 5 -

- m

÷
n =
4 è 2 2
综上：点 Q 的轨迹是抛物线为 í
m2 33 m 5- > m 5< - 或 ÷ 4 è 2 2
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合，角度问题，
二次函数与一元二次方程的关系，本题的计算量很大，熟练的利用数形结合的方法，细心的计算是解本题
的关键．
13．（24-25 九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知抛物线 y = x2 + 2x - 3，点 B 为抛物线与 x 轴的右侧
交点，点 A 坐标为 -4,5 ，点 P 为抛物线对称轴上一点，点 Q 在抛物线上．
(1)当 A、B、P、Q 围成的四边形是以 AB 为对角线的平行四边形时，求 P、Q 两点的坐标；
(2)是否存在 P、Q 点使得VABP与VABQ 全等？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由（P、
Q 不重合，（1）中情况除外）．
(3)过点 A 作直线 L，使得 L 与 x 轴夹角的正切值为 4，平移直线 L，设直线 L 与抛物线的交点为 C、D（点
C 在 x 轴上方、点 D 在 x 轴下方），M 为 x 轴上的点，当 CM - DM 取得最大值时，求点 M 的坐标．
【答案】(1) P -1,8 , Q -2, -3
(2)存在，Q1 7 -1,3 ,Q2 - 7 -1,3 ,Q3 6 -1, 2 ,Q4 - 6 -1,2
(3) 1,0 或 -3,0
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴和 B 点坐标，设出 P、Q 点的坐标，根据 AB 为平行四边形的对角线，
列出方程求解便可；
（2）有题意可得VABP≌VABQ ，所以 AP = AQ, BP = BQ，设出 P，Q 两点坐标，用两点间距离公式表示出
AP, AQ, BP, BQ ，利用前面的式子列方程，即可解决；
（3）因为直线 L 与 x 轴夹角的正切值为 4，故可设平移后的直线 L 的解析式为 y = 4x + b 或 y = -4x + b，以
y = -4x + b为例，过 D 作 x 轴的对称点 D ，当 C， D ，M 三点共线时， CM - DM 取得最大值，可以证明
此时 CMO = DMO，过点 C 作CE ^ x轴于 E，设DD 交 x 轴于 F，证明VCEM∽VDFM ，得到
CE EM
= ，设出 C，D 两点坐标，联立直线 L 和抛物线的解析式，利用根与系数关系得到相关式子，利用
DF FM
比例式列出方程，即可解决．
【详解】（1）解：∵ y = x2 + 2x - 3 = x +1 2 - 4，
∴抛物线的对称轴为 x = -1，
令 y = 0 ，则 x2 + 2x - 3 = 0 ，
∴ x = -3或 1，
∴ B 1,0 ，
设P -1, n ,Q m,m2 + 2m - 3 ，
当 A、B、P、Q 围成的四边形是以 AB 为对角线的平行四边形时，
ì -4 +1 = -1+ m
í
5 + 0 = n m
2 2m 3，+ + -
ìm = -2
解得 í
n
，
= 8
∴ P -1,8 ,Q -2, -3 ；
2 2（ ）解：设P -1, n ,Q m,m + 2m - 3 ，
∴ AP2 = -4 +1 2 + 5 - n 2 = n2 -10n + 34， AQ2 = m4 + 4m3 -11m2 - 24m + 80，BP2 = n2 + 4，
BQ2 = m4 + 4m3 - m2 -14m +10，
若△APB≌△AQB ，则 AP = AQ, BP = BQ，
ìn2 -10n + 34 = m4 + 4m3 -11m2 - 24m + 80
∴ í n2 + 4 = m
4 + 4m3 - m2 -14m +10
两方程相减得， n = m2 + m - 4，
方程组消去 n 整理得，m3 + 3m2 - 3m - 5 = 0，
∴ m3 +1+ 3 m2 - m - 2 = 0，
∴ m +1 m2 - m +1 + 3 m +1 m - 2 = 0，
∴ m +1 m2 + 2m - 5 = 0，
解得：m = -1或m = -1± 6 ，
当m = -1时，Q -1, -4 ， n = -4，此时P -1, -4
则点 P 与点 Q 重合，不合题意，舍去；
当m = -1± 6 时，Q -1- 6,2 或Q -1+ 6,2 ；
即Q1 7 -1,3 ,Q2 - 7 -1,3 ,Q3 6 -1,2 ,Q4 - 6 -1, 2 ；
（3）解：设直线 L与坐标轴交点为 S ,T ，如图：
SO
由题意得： = 4，
TO
如上图，设 S 0, 4m ,T -m,0 ，m > 0，
∴直线 L 解析式为 y = kx + b，
∴ -mk + b = 0,b = 4m，
解得： k = 4，
同理可得： k = -4 ，
∴平移后的直线 L 的解析式为 y = 4x + b 或者 y = -4x + b，
设C x1, y1 , D x2 , y2 , M t,0 ，
过 D 作 x 轴的对称点 D ，当 C， D ，M 三点共线时， CM - DM 的值最大，
∵ OM 垂直平分DD ，
∴ CMO = DMO，
过 C 作CE ^ x轴于 E，设DD 交 x 轴于 F，
∴ CEM = DFM = 90°，
∴VCEM∽VDFM ，
CE EM
∴ = ，
DF FM
①当直线 L 的解析式为 y = -4x + b时，
ì y = -4x + b
联立 í
y x
2 2x 3，= + -
化简得， x2 + 6x - 3 - b = 0，
∴ x1 + x2 = -6, x1x2 = -3- b ，
CE EM
∵ = ，
DF FM
-4x1 + b t - x∴ = 14x2 - b t - x
，
2
化简得， b +12 t -1 = 0，
∴ b = -12或 t =1，
当b = -12时，可得 x2 + 6x + 9 = 0 ，此时D = 0，直线CD与抛物线只有一个交点，矛盾，故舍去，
当 t =1时，点 M 的坐标为 1,0 ，
②当直线 L 的解析式为 y = 4x + b ，
ì y = 4x + b
联立 í 2
y = x + 2x - 3
得，
∴ x2 - 2x - 3 - b = 0，
∴ x1 + x2 = 2, x1x2 = -3- b，
CE EM
∵ = ，
DF FM
4x1 + b x1 - t
则 =4x2 - b x2 - t
，
化简得， b + 4 t + 3 = 0，
∴ b = -4或 t = -3，
当b = -4时，可得 x2 - 2x +1 = 0，此时方程有两个相等的根，直线CD与抛物线只有一个交点，故舍去，
当 t = -3时，点 M 的坐标为 -3,0 ，
∴点 M 的坐标为 1,0 或 -3,0 ．
【点睛】本题是一道二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三
角形的性质，二次函数的平移问题，难度很大，结合题意，画出草图，数形结合，是解决此题的突破口，
同时，还考查了线段差的最值问题，利用轴对称变换来解决，是解题通法．
14．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）图，抛物线 y = x2 - 2x - 3与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．
(1)直接写出点 A，B，C 的坐标；
(2)如图 1，连接 AC ，点 D 在抛物线上，连接 AD ，若 DAB = ACO ，求点 D 的坐标；
(3)如图 2，点 P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行 y 轴的直线 l 与抛物线有唯一公共点 P．平移直线 l，使
其经过点 0, -4 ，与抛物线交于 M，N 两点，连接 AP 交 MN 于点 E，Q 为MN 的中点，连接 AQ ，设点
P 的横坐标为 m，若△AEQ 的面积为 2，求 m 的值．
【答案】(1) A -1,0 ，B 3,0 ，C 0,-3
10 13 8 11
(2) , ÷或 , - ÷
è 3 9 è 3 9
(3) m = 3
【分析】（1）根据 x2 - 2x- 3=0求得方程的解，求出当 x = 0时 y 的值即可得解；
2
（2）作DE ^ x轴于E ，设D m, m - 2m - 3 ，则 AE = m +1 2，DE = m - 2m - 3 ，结合 DAB = ACO ，得
m2 - 2m - 3
出 tan DAB = tan ACO，进而得出 1= ，计算即可得解；
m +1 3
（3）设P m, m2 - 2m - 3 ，结合直线 l 与抛物线有唯一公共点 P，求出直线 l 的解析式为
y = 2 m -1 x - m2 - 3，从而可得平移后的直线MN 的解析式为 y = 2 m -1 x - 4 ，求出MN 的中点 Q 的坐标
为 m, 2m2 - 2m - 4 ，得出PQ∥ y 轴，PQ = m2 -1，求出 AP 的解析式为 y = m - 3 x + m - 3 ，进而可得
E 1, 2m - 6 ，再结合△AEQ 的面积=△APQ 的面积-△PEQ的面积列方程计算即可得解．
【详解】（1）解：由 y = 0 得出 x2 - 2x- 3=0，
解得： x1 = -1， x2 = 3，
∴ A -1,0 ，B 3,0 ，
当 x = 0时， y=- 3，
∴ C 0, -3
（2）解：如图，作DE ^ x轴于E ，
设D m, m2 - 2m - 3 ，
∴ AE = m +1 DE = m2， - 2m - 3 ，
∵ DAB = ACO ，
∴ tan DAB = tan ACO，
OA DE
∴ = ，
OC AE
m2 - 2m - 3
∴ 1= ，
m +1 3
10 8
解得：m = 或m = 3，3
m 10= y 10
2
=
10 13 10 13
当 时，
3 3 ÷
- 2 - 3= ，此时D , ÷，
è 3 9 è 3 9
8 2 8 11
当m

= y 8= 8 113时， ÷ - 2 - 3 = - ，此时
D ,-3 9 ÷，è 3 3 9 è
10 13 8 11
综上，点 D 的坐标为 , 或 , -
è 3 9 ÷ è 3 9 ÷
（3）解：设P m, m2 - 2m - 3 ，
∴设直线 l 的解析式为 y = k x - m + m2 - 2m - 3，
ìy = k x - m + m2 - 2m - 3 x2由 í 2 得 - k + 2 x + km - m
2 + 2m = 0，
y = x - 2x - 3
Q直线 l 与抛物线有唯一公共点 P，
\此方程有两个相等的实数根，
∴ Δ = é - k + 2
2
ù - 4 1 km - m2 + 2m = 0，
\ m k + 2= ，
2
\ k = 2m - 2 ，
直线 l 2的解析式为 y = 2 m -1 x - m - 3，
\平移后的直线MN 的解析式为 y = 2 m -1 x - 4 ，
ìy = x2 - 2x - 3
由 í 2y = 2 m -1 x 4得- x - 2mx +1 = 0，
\ xm + xn = 2m，
∴ ym + yn = 2m - 2 × xm + xn -8 = 4m2 - 4m -8，
∴ MN 的中点 Q 的坐标为 m, 2m2 - 2m - 4 ，
∴ PQ∥ y 轴，PQ = m2 -1，
设直线 AP 的解析式为 y = px + q ，
ì- p + q = 0 ì p = m - 3
ímp + q = m +1 m - 3 ，解得 í q = m - 3
，
\ AP 的解析式为 y = m - 3 x + m - 3 ，
ì y = 2 m -1 x - 4 ìx =1
联立 íy ，解得 = m - 3 x + m - 3
í
y = 2m 6
，
-
\ E 1,2m - 6 ，
\△AEQ 的面积=△APQ 的面积-△PEQ
1
的面积= m +1 m2 -1 1- m -1 m2 -1 = m2 -1 2 2
\ m2 -1 = 2，
\m1 = - 3 （舍去），m2 = 3，
\ m = 3 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数综合—角度问题、二次函数综合—面积问题、
解直角三角形、一元二次方程根与系数的关系、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
15．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）如图，二次函数 y = x2 + 2x - 3与 x 轴相交于点 A, B（点A 在点 B 的左
侧），与 y 轴相交于点C ，抛物线的顶点为点D．
(1)直接写出点 A, B,C 的坐标；
1
(2)如图（1），连接 AD ，BD，点 P 为抛物线上一点，使 PAO = ADB，求点 P 的坐标；
2
(3)如图（2），过定点 H -2, -1 的直线与抛物线相交于M ， N 两点（点M 在 y 轴左侧，点 N 在 y 轴右侧），
过点M 的直线 y = -2x + b与抛物线交于点Q，求证：直线 NQ 必过定点．
【答案】(1) A -3,0 , B 1,0 ,C 0, -3
3 9 1 7
(2) , ÷或 , -
è 2 4 2 4 ÷ è
(3)见解析
【分析】（1）对于 y = x2 + 2x - 3，当 x = 0时， y=- 3，当 y = 0 时，则 x =1或-3，即可求解；
（2）①点 P 在 x 轴上方时，过点D作DE ^ AB于点E ，过点 B 向上作BF ^ AB交 AP 于点 F ，由抛物线
1
的对称性可得， ADE = BDE = ADB ，证明VAED≌VFBA得 AE = FB = 2，求出直线PA的解析式为
2
1 3
y 1 x 3
ì
y = x +
= + ，联立 í 2 2 ，求解即可；2 2 y = x
2 + 2x - 3
1 3
1 3 ì y = - x +
②点 P 在 x 轴下方时，同理可求得 lPA : y = - x - ，联立： í 2 2 ，求解即可；2 2 y = x
2 + 2x - 3
（3）设M m, m2 + 2m - 3 , N n, n2 + 2n - 3 ,Q q,q2 + 2q - 3 ，求出直线 lQN : y = q + n + 2 x - qn - 3，同理可
得，直线 lMN : y = m + n + 2 x - mn - 3，直线 lMQ : y = m + q + 2 x - mq - 3，因为直线MN 经过定点
H -2, -1 -nq + 2，得到 nq = -2n - 2q - 2 ，求出直线 NQ 解析式为 y = x - qn - 3，即可求解．
2
【详解】（1）解：Q二次函数 y = x2 + 2x - 3与 x 轴相交于点 A, B（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点C ，
\令 y = 0 ，得 x = -3或1，令 x = 0，得 y=- 3，
\ A -3,0 , B 1,0 ,C 0,-3 ；
b
（2）解：当 x = - = -1时， y = -4 ，即顶点D的坐标为 -1, -4 ，
2a
①点 P 在 x 轴上方时，过点D作DE ^ AB于点E ，过点 B 向上作BF ^ AB交 AP 于点 F ，
Q A -3,0 , B 1,0 , D -1, -4 ，
\ AE = BE = 2, DE = AB = 2 ，
1
由抛物线的对称性可得， ADE = BDE = ADB ，
2
Q PAO 1= ADB ，
2
\ FAB = ADE ，
又 AED = ABF = 90°，
\ AFB = DAE ，
\VAED≌VFBA，
\ AE = FB = 2，
\点F 的坐标为 1,2 ，
设直线PA的解析式为 y = kx + b k 0 ，将A 、F 两点坐标代入得：
ì0 = -3k + b
í
2 = k + b
，
ì 1

k =
2
解得： í ，
b 3=
2
\ 1 3直线 lPA : y = x + ，2 2
ìy 1 3 = x +
联立： í 2 2 ，
y = x2 + 2x - 3
x 3解得： 1 = -3, x2 = ，2
x 3 1 3 3 9当 = 时， y = + = ，
2 2 2 2 4
3 9\ 点 P 的坐标为 , ；
è 2 4 ÷
②点 P 在 x 轴下方时，
1 3
同理可求得 lPA : y = - x - ，2 2
ìy 1 x 3 = - +
联立： í 2 2 ，
y = x
2 + 2x - 3
1
解得： x1 = -3, x2 = ，2
x 1 y 1 1 3 7当 = 时， = - - = - ，
2 2 2 2 4
1 7\ 点 P 的坐标为 , - ，
è 2 4 ÷
3
综上所述，点 P 的坐标为 ,
9 1 , 7- ÷或 ÷；
è 2 4 è 2 4
（3 2）解：设M m, m + 2m - 3 , N n, n2 + 2n - 3 ,Q q,q2 + 2q - 3 ，
设直线QN 的解析式为 y = k x + b k 0 ，
ìy = k x + b
联立： íy x2 2x 3， = + -
2
得 x + 2 - k x - 3- b = 0 ，
由根与系数关系可知， q + n = k - 2, qn = -3- b ，
\直线 lQN : y = q + n + 2 x - qn - 3，
同理可得，直线 lMN : y = m + n + 2 x - mn - 3，直线 lMQ : y = m + q + 2 x - mq - 3，
\m + q + 2 = -2，
即m + q = -4，
Q直线MN 经过定点H -2, -1 ，
\-1 = -2 m + n + 2 - mn - 3，
整理得mn = -2m - 2n - 6 ，
将m = -q - 4代入mn = -2m - 2n - 6 中，得 -q - 4 n = -2 -q - 4 - 2n - 6 ，
整理得 nq = -2n - 2q - 2 ，
直线QN 解析式 y = q + n + 2 x - qn - 3 y -nq + 2为 = x - qn - 3，
2
\当 x = -2时， y = -5，
\直线 NQ 必过定点 -2, -5 ．
【点睛】本题考查了二次函数与 x 轴、 y 轴的交点坐标，顶点坐标，全等三角形的判定与性质，待定系数法
求一次函数解析式，求二次函数与一次函数的交点，一次函数过定点问题，熟练掌握以上知识点是解答本
题的关键．
题型二 几何综合新考向、新情境、文化背景
1．如图（1），二次函数 y = ax2 + bx + c的图象经过点 A -1,0 , B 3,0 ,C 0,3 ．把过 A，C 两点的直线绕点 A
旋转，旋转过程中记作直线 l，l 与抛物线的交于点 P．
(1)①求这个二次函数的解析式；②若直线 l 始终与线段 BC 有交点，点 B，C 到直线 l 的距离分别为 d1, d2，
求 d1 + d2 的最大值，并说明理由；
(2)如图（2），当点 P 是抛物线的顶点时，过 P 作PH ^ AB 于 H．若点 Q 在对称轴右侧的抛物线上，过点 Q
作QM ^ AP于 M，VPQM 与VAPH 相似，求点 Q 的坐标．
1
(3)直线 l 与 AC 的夹角为a （a 为锐角），若 tana = ，直接写出点 P 的坐标．
2
【答案】(1)① y = -x2 + 2x + 3；②3 2，见解析
7 20
(2)Q ,
è 3 9 ÷
(3)点 P 坐标为 2,3 或 10, -77
【分析】（1）①利用待定系数法即可解决问题；
②如图 1 中，作BM ^直线 l 于 M，CN ^直线 l 于 N．则 d1 = BM BD, d2 = CN CD，可得
d1 + d2 CD + BD ，推出 d1 + d2 BC ，即可解决问题；
（2）如图 2 中，延长 PQ交 x 轴于 N．首先证明 AN = NP ，设 AN = NP = m，在Rt△PHN 中，利用勾股定
理求出 m 的值，再求出直线 AN 的解析式，构建方程组确定点 P 坐标即可；
（3）如图 3 中，设直线PA交 y 轴与 D，作DE ^ AC 于 E．设DE = k ．首先求出直线 AP 的解析式，利用
方程组确定解得 P 坐标，再根据对称性，求出直线 AP 关于直线 AC 的对称的直线 AD 的解析式，利用方程
组确定交点坐标即可；
【详解】（1）①∵二次函数 y = ax2 + bx + c的图象经过点 A -1,0 , B 3,0 ,C 0,3 ，
∴ y = a x +1 x - 3 ，
把C 0,3 代入得：3 = a 0 +1 0 - 3 ，解得： a = -1，
∴ y = - x +1 x - 3 = -x2 + 2x + 3．
②如图 1 中， 作BM ^直线 l 于 M，CN ^直线 l 于 N．
则 d1 = BM BD, d2 = CN CD，
∴ d1 + d2 CD + BD ，
∴ d1 + d2 BC ，
∵ B 3,0 ,C 0,3 ，
∴ OC = OB = 3，
∴ BC = 3 2 ，
∴ d1 + d2 的最大值为3 2．
（2）如图 2 中，延长 PQ交 x 轴于 N．
∵ y = -x2 + 2x + 3 = - x -1 2 + 4 ，
∴ P 1,4 ．
∵VPQM 与VAPH 相似，
观察图象可知，只有 QPM = PAH ，
∴ NA = PN ，设 NA = PN = m，
∵ PH ^ x轴，
∴ PH = 4,OH =1，
∴ AH = 2，
∴ HN = m - 2，
在RtVPNH 中，∵ PH 2 + NH 2 = PN 2 ，
∴ m2 = 42 + m - 2 2 ，
解得m = 5，
∴ ON = 4，
∴ N 4,0 ，
设直线PN 的解析式为 y = kx + b k 0 ，
ì 4
ì4k + b = 0 k = - 3
则： ík b 4 ，解得： í 16 ， + = b =
3
4 16
∴直线PN 的解析式为 y = - x + ，
3 3
ì 7
ìy 4 x 16 = - + ìx =1
x =
3
由 í 3 3 ，得 í
y = -x2 + 2x + 3 y = 4
或 í ，
y
20
=
9
7 20
∴Q , ÷．
è 3 9
（3）如图 3 中，设直线PA交 y 轴与 D，作DE ^ AC 于 E．设DE = k ．
∵ tan
AE 1 CE 1
EAD = = , tan DCE = = ，
DE 2 DE 3
∴ AE = 2k, EC = 3k ，
∴ AC = 5k ，
∵ AC = OA2 + OC 2 = 10 ，
∴ k 10= ，
5
∴ DE 10 3 10= , EC = ，
5 5
∴ CD = DE2 + CE2 = 2，
∴ D 0,1 ，
同（2）法可得直线 AP 的解析式为 y = x +1，
ìy = x +1 ìx = -1 ìx = 2
由 íy x2 2x 3，解得 íy 0 或 íy 3， = - + + = =
∴ P 2,3 ．
作点 D 关于直线 AC 的对称点 D ，过点E 作EH ^ x轴，
∵ AE = 2k 2 10= ，
5
∴ EH AE sin CAO AE OC 2 10 3 6= × = × = = ， AH = AE ×cos CAO AE OA 2 10 1 2 = × = = ，
AC 5 10 5 AC 5 10 5
∴ OH
2 3
=1- = ，
5 5
3- , 6 ∴E ，
è 5 5 ÷
∵ D 0,1 ，
∴ D
6 7
- , ÷ ，
è 5 5
同法可得：直线 AD 的解析式为 y = -7x - 7，
ìy = -7x - 7 ìx = -1 ìx =10
由 í
y = -x
2 解得+ 2x + 3 í y = 0
或 íy 77 ， = -
∴ P 10, -77 ，
综上所述，满足条件的点 P 坐标为 2,3 或 10, -77 ．
【点睛】本题考查二次函数综合题、垂线段最短、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，学会利用参数构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标解决问
题，属于中考压轴题．
2．如图，抛物线 y = ax2 + x +6交 y 轴于点 A， 交 x 轴于 B、C 两点，OA = 2BO ．
(1)求 a 的值；
1
(2)如图 2， 直线 y = x + m 交 x 轴、y 轴于 D、E 两点， 交线段 AB 、 AC 于 F、G 两点，VCDG 的面
2
积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，不要求写出自变量 m 的取值范围；
(3)如图 3， 在（2）的条件下， AP∥x 轴交抛物线于点 P， 连接OP 交 AC 于点 H， 绕点 O 把线段 OP
顺时针旋转90°得到线段 OQ ，M、N 为线段 AC 延长线上两点，连接线段EM 、FN 交于点 K，
FGM + 2 GEM - GFN =180° ， AG = 2MN = 4CN ， 连接MQ ， 求直线 QM 的解析式．
1
【答案】(1) a = -
3
2
(2) S = m2 + 4m +6
3
1
(3) y = x - 6
2
【分析】（1）由 y = ax2 + x + 6，OA = 2BO ，得到OB 的长度，进而得到B -3,0 ，代入抛物线解析式，即
可求解，
1 1 2
（2）将 y = 0 ，代入 y = x + m ，得到D -2m,0 ，由 y = - x + x + 6，得到C 6,0 ， A 0,6 ，进而求得直
2 3
2 2 1
线 AC 的解析式 y = -x + 6，与直线DE 联立得到G 4 - m, m + 2÷，由 S = 6 - -2m
2 m + 2 ，整理后即
è 3 3 2 3
可求解，
1 2
（3）将 y = 6，代入 y = - x + x + 6，得到 P 3,6 ，由旋转的性质得到VPAO≌VOIQ AAS ， AP = IO = 3，
3
IQ = AO = 6，进而得到Q 6, -3 ，由 A 0,6 ，B -3,0 ，得到直线 AB 解析式为： y = 2x + 6 ，与直线DE 联
2 4 2 2
立得到F m - 4, m - 2÷，结合G 4 - m, m + 2÷，得到FE = GE ，结合 FJE = GLE = 90°，
è 3 3 è 3 3
FEJ = GEL ，得到VFJE≌VGLE AAS ，FJ = GL，由 FGM + 2 GEM - GFN =180°，得到
FGM + GEM + EKF =180°，结合 FGM + GEM + GME =180°，得到 EKF = GME ，由
VFJK≌VGLM AAS ，FK = GM ，由 NKM = NMK ，得到 NK = NM ，根据 AG = 2MN = 4CN ，设

N 6 2 n, 2

CN = n，则 AG = 4n ， NM = NK = 2n， + - n÷÷ ，M
3 2 3 2
6 + n, - n÷÷ ，进而得到
è 2 2 è 2 2
GC = AC - AG = 6 2 - 4n，FK = GM = GC +CN + NM = 6 2 - 4n + n + 2n = 6 2 - n ，
2 2 2
FN = FK + KN = 6 2 - n + 2n = 6 2 + n ，由G 4 - m, m + 2÷， AG = 4n = 2 4 - m÷ ，得到
è 3 3 è 3
2 4 2 2
m = 6 - 3 2n，代入F m - 4, m - 2÷，得F -2 2n,6 - 4 2n ，结合 N 6 + n,- n÷÷ ，根据两点间距è 3 3 è 2 2
2 2
é 2 ù é 2 ù 2
离公式，得到 ê6 + n - -2 2n ú + ê- n - 6 - 4 2n ú = 6 2 + n 2 2，解得： n = ，代入
2 2 3
3 2 M 6 + n,
3 2
- n÷÷ ，即可得到M 8,-2 ，结合Q 6, -3 ，即可求解，
è 2 2
【详解】（1）解：∵ y = ax2 + x + 6，OA = 2BO ，
1 1
∴ OA = 6，OB = OA = 6 = 3，
2 2
1
∴ B -3,0 ，代入 y = ax2 + x + 6 2，得0 = a -3 + -3 + 6，解得： a = - ，
3
故答案为： a
1
= - ，
3
1 1
（2）解：将 y = 0 ，代入 y = x + m ，得0 = x + m ，解得： x = -2m，
2 2
∴ D -2m,0 ，
∵ y
1
= - x2 + x + 6，解得： x = -3， x = 6，
3 1 2
∴ C 6,0 ， A 0,6 ，
ì0 = 6k + b ìk = -1
设直线 AC 的解析式为： y = kx + b，代入得 í 6 b ，解得：= í ， b = 6
∴直线 AC 的解析式为： y = -x + 6，
ì y = -x + 6 ìx
2
= 4 - m
3
与直线DE 联立得： íy 1
，解得： ，
= x m
í
+ 2
2 y = m + 2 3
∴ G
4 2 - m,
2 m + 2
3 3 ÷
，
è
1
∴ S = 6 - -2m 2 m + 2 2= m + 3 2 2= m2 + 4m + 6，
2 3 3 3
2 2
故答案为： S = m + 4m +6，
3
1
3 2（ ）解：将 y = 6，代入 y = - x + x + 6解得： x1 = 0 ， x2 = 3，3
∴ P 3,6 ，
过点Q作QI ^ x 轴，垂足为 I ，
∵ APO + AOP = 90°， IOQ + AOP = 90°，
∴ APO = IOQ ，
由旋转的性质可得：OP = QO ，
又∵ PAO = OIQ = 90°，
∴VPAO≌VOIQ AAS ，
∴ AP = IO = 3， IQ = AO = 6，
∴ Q 6, -3 ，
∵ A 0,6 ，B -3,0 ，
ì 6 = b ìk = 2
设直线 AB 1 1的解析式为： y = k1x + b1，代入得 í0 3k b ，解得： í ， = - 1 + 1 b1 = 6
∴直线 AB 解析式为： y = 2x + 6 ，
y = 2x + 6 ìx 2ì = m - 4 3
与直线DE 联立得： í 1 ，解得： í ，

y = x + m
2 y
4
= m - 2
3
F 2∴ m - 4,
4 m - 2 ÷，
è 3 3
2 2 2 m - 4 + 2
又∵ G 4 - m, m + 2÷， 3
4 - m÷
è 3 3 è
3 0 ，=
2
∴ FG 的中点在 y 轴上，FE = GE ，
作FJ ^ EM ，GL ^ EM ，垂足分别为 J 、 L，
又∵ FJE = GLE = 90°， FEJ = GEL ，
∴VFJE≌VGLE AAS ，
∴ FJ = GL，
∵ FGM + 2 GEM - GFN =180°，
∴ FGM + GEM + GEM - GFN =180°，即 FGM + GEM + EKF =180°，
又∵ FGM + GEM + GME =180°，
∴ EKF = GME ，
又∵ FJK = GLM = 90°，
∴VFJK≌VGLM AAS ，
∴ FK = GM ，
∵ EKF = GME ，
∴ NKM = NMK ，
∴ NK = NM ，
∵ AG = 2MN = 4CN ，
2 2 3 2 3 2
设CN = n，则 AG = 4n ， NM = NK = 2n， N 6 + n,- n÷÷ ，M 6 + n, - n÷÷ ，
è 2 2 è 2 2
∴ GC = AC - AG = 6 2 - 4n，FK = GM = GC +CN + NM = 6 2 - 4n + n + 2n = 6 2 - n ，
∴ FN = FK + KN = 6 2 - n + 2n = 6 2 + n ，
∵ G
2
4 - m,
2 m + 2 ， AG = 4n
2
= 2 4 - m ，解得： ，
è 3 3 ÷ 3 ÷
m = 6 - 3 2n
è
F 2 m 4, 4代入 - m - 2

÷，得：F -2 2n,6 - 4 2n ，
è 3 3
2
又∵ N 6 + n,
2
- n÷÷ ，
è 2 2
2 2
é ù é ù 2
∴ ê6
2
+ n - -2 2n 2ú + ê- n - 6 - 4 2n ú = 6 2 + n n 2 2，解得： = ，
2 2 3
3 2 3 2
代入M 6 + n, - n÷÷ ，即：M 8,-2 ，
è 2 2
又∵ Q 6, -3 ，
ì-2 = 8k + b ì k 1=
设直线QM
2 2 2
的解析式为： y = k2x + b2 ，代入得 í 23 6k b ，解得： í ， - = 2 + 2 b2 = -6
∴直线QM
1
的解析式为： y = x - 6 ．
2
【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，两点间距离公
式，二次函数的综合，解题的关键是：根据已知条件得到VPAO≌VOIQ AAS ，根据两点间距离列出等量关
系猜押 08 第 24 题 二次函数综合（压轴大题）
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
核心考点：1.二次函数与坐
标轴交点坐标求解 2.相似
2024 年第 24 题（抛物
三角形判定与性质 3.几何 命题规律：1.以“问题背景→
线与坐标轴交点、线段
变换（平移、对称）与函 探究→拓展”分层设问，体现
平分、相似三角形）2023
数解析式 4.代数与几何综 思维梯度 2.高频考点：相似
年第 24 题（抛物线平
二次函数 合运算（根与系数关系、 三角形、二次函数与直线交
移、相似三角形、定直 困难
综合 比例化简） 点、中点相关性质 3.2025 年
线探究）2022 年第 24
能力要求：复杂函数与几 可能融入新定义或动态几何
题（抛物线与坐标轴交
何图形的综合分析-参数 问题（如运动轨迹、最值问
点、点到直线距离、比
化推理与代数运算能力- 题）
例关系）
分类讨论与动态几何问题
处理
题型一 二次函数综合压轴
1．（2025·湖北武汉·一模）如图 1，抛物线 y = -x2 - x + 2交 x 轴于点A ，B （点A 在点 B 的左边），交 y 轴于
点C ．
(1)直接写出点A ， B ，C 的坐标；
(2)如图 2，连接BC ，点D在抛物线对称轴上，将线段BC 绕点D旋转180o得到对应线段EF ，若线段EF 的
中点M 恰好在抛物线上，求点D的坐标；
(3)如图 3，将直线 AC 向上平移 2 个单位长度得到直线 l，点 P 在直线 l上，过点 P 画两条不平行于 y 轴的直
线PG ，PH ，直线PG 与抛物线仅有一个公共点G ，直线PH 与抛物线仅有一个公共点 H ，求证：直线GH
经过定点，并求该定点的坐标．
2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图（1），抛物线 y = -x2 + 2x + 3交 x 轴于A ， B 两点（A 在 B 的
左侧），交 y 轴于点C ．
(1)直接写出A ， B ，C 的坐标；
S 4
(2)如图（1 VABP），点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 =S 5 ，求点 P 的坐标；VACP
(3)如图（2），将抛物线 y = -x2 + 2x + 3的顶点平移到Q 0,1 ，此时新抛物线交 x 轴于G, H 两点（G 在 H 的左
侧），若点 N 为 x 轴上方新抛物线上任意一点，过 N 作直线 l（直线 l不与 x 轴垂直）与新抛物线仅有一个公
共点，在 y 轴上点Q的上方是否存在一点M ，使得直线 l与GM 、HM 分别交于点E、F ，且ME + MF 为定
值？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．
3 2．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图 1，抛物线 y = x + bx + c a > 0 过 A，B，C 三点，
OC = 3OA = 6．
(1)求抛物线的解析式：
(2)连接 AC ，点D为线段 AC 上一点，过点D作直线 l ^ AC ，交抛物线右侧于点E ，设DE 的长度为 t，求 t
的最大值；
(3)如图 2，将（1）中抛物线平移后，使其顶点与原点重合，点M 坐标为 1,1 ，点 N 为抛物线对称轴左侧
的动点（不与原点重合），过 M、N 两点作直线MG ， NG 交于点G ，过点G 作 y 轴平行线交抛物线于点
H ，若直线MG ， NG 与抛物线都只有唯一交点，且MN = 2GH ，求 N 点坐标．
1 2 34．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，抛物线 y = - x - x + 2交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B
2 2
的左边），交 y 轴于点 C．
(1)直接写出点 A、B、C 的坐标；
3
(2)P 是第二象限内对称轴左侧抛物线上一点，连BP交 AC 于 Q，若 S△CPQ = S△CBQ ，求点 P 的坐标；4
2
(3)过原点的直线交抛物线于点 D、E，过点 E 的直线 y = x + b 交抛物线于另一点 F，若DF ^ EF ，求 b 的
3
值．
5．（24-25 2九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 y1 = ax + bx + c 与 x 轴负半轴交于点 A，与正半轴交
于点 B，与 y 轴正半轴交于点 C，对称轴为 x =1，且OB = OC = 3OA．
(1)直接写出抛物线 y1 的解析式为______．
(2)如图 1，点 D 为抛物线 y1 顶点，点 E 是第一象限抛物线 y1 上一点，使得，cos ECD
10
= ，求 E 点坐标．
10
(3)将抛物线 y1 关于 y 轴翻折得到抛物线 y2 ，如图 2，它与 x 轴负半轴交于点 P，与正半轴交于点 Q，与 y 轴
正半轴交于点 C，直线MN 与抛物线 y2 交于 M，N 两点，且CP平分 MPN ，求点 P 到直线MN 的最大距
离．
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图 1，抛物线 y = ax2 - 2ax + c 与 x 轴交于点 A, B两点，与 y 轴交
于点C ，直线BC 的解析式为 y = -x + 3．
(1)直接写出 a = ___________， c = ___________；
PE
(2) P 是直线BC 上方抛物线上一点，连接 AP 交BC 于点E ，当 最大时，求点 P 的坐标，并求出这个最大
EA
值；
(3)如图 2，过线段BC 的中点 H 作直线MN 交抛物线于M , N 两点（点M 在点 N 左侧），直线MC 与直线BN
交于点G ，求HG的最小值．
7．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图 1，二次函数 y = x2 + 2x - 3与 x 轴相交于点A 、 B （点 A 在
点 B 的左侧），与 y 轴相交于点C ，抛物线的顶点为点D．
(1)直接写出点 B 、C 、D的坐标；
(2)如图 1，连接BC ，点 P 为抛物线上一点，使 PAB = 2 OCB，求点 P 的坐标；
(3)如图 2，直线 y = mx + 2m - 2与抛物线相交于M，N 两点（点M 在 y 轴左侧，点 N 在 y 轴右侧），过点 N
与点H -2，- 4 的直线交抛物线于Q，若直线MQ 必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式．
8．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线 y = tx + 2t 过定点A ，抛物线 y = ax2 - ax - 4与 x 轴交
于 A、B两点，与 y 轴负半轴交于C 点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，D -1,n 在抛物线上，过D点的直线 l： y = kx + b交线段OB 于点 H ，交 y 轴于点G ，交抛物线
于点E ，若DG + EH = 2GH ，求 k 的值；
(3)如图 2，P 是线段 AC 上一个动点，F 点在线段 AB 上，且 AF = m，若有且只有两个不同的 P 点使VAPF
和VBCP 相似，求m 的值．
9．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c与 x 轴交于 A -8,0 ,O 0,0 两点，与
直线 y = kx 交于点B -10,5 ．
(1)直接写出 a,b,k 的值；
(2)取点C -2.5,0 ，在抛物形上取点 P ，使 PBO = ACB，求点 P 的坐标；
(3)点Q是抛物线上的动点，直线 AQ ， BQ分别与抛物线的对称轴相交于G ， F 两点，M 是抛物线的顶点，
MF
求 的值．
MG
10．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 y = ax2 - ax - 6a与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 点
左边），与 y 轴负半轴交于 C 点，OC = 2OB ．
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)点 P 是 x 轴下方抛物线上一点，若 tan PAC = ，求 P 点横坐标；
2
(3)如图 2，直线 y = mx + n 与抛物线交于点 E、F，点D 4,6 在抛物线上，连接DE 、DF 分别交 y 轴正半轴
于点 M、N，若OM ×ON = 4，求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标．
11．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线C 21： y = ax + bx + 3经过 A -3,0 ，B 1,0 两点，
且与 y 轴的正半轴交于点 C．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)如图 1，D 在第二象限内抛物线C1上，BD交 AC 于点 E，连接BC ，若VBCE 的面积是△DCE 面积的 2
倍，求点 D 的坐标；
(3)如图 2，将抛物线C1向右平移 2 个单位长度，得到抛物线C2 ，若Q 3,3 ，点 H 与点 Q 关于 x 轴对称，
点 F 是对称轴左侧抛物线上一动点，连接FQ交抛物线C2 于点 M，连接FH 并延长交抛物线于点 N，连接
MN ，若直线MN 的解析式为 y = kx + b，求 k 的值．
3
12．（24-25 九年级上· 2湖北武汉·阶段练习）已知抛物线C1 : y = ax + bx + c 的对称轴是直线 x = ，与 x 轴交2
于 A -1,0 ，与 y 轴交于点C 0, - 4 ．
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)如图 1，点 E 是抛物线C1上一动点，过点 E 作DE ^ x轴，若 ACO = AED ，求点 D 的坐标．2
3
(3)如图 2，将抛物线C1向左平移 个单位长度得到抛物线C2 ．点 P 为抛物线C2 上一动点，过 P 作PH ^ x2
轴，点 Q 为射线PH 上一点，过点 Q 的直线交抛物线于 M，N 两点，若VPQM 与VPQN 的面积之积为 2．点
Q 的轨迹是否确定？若确定，求出轨迹的解析式：若不确定，请说明理由．
13．（24-25 九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知抛物线 y = x2 + 2x - 3，点 B 为抛物线与 x 轴的右侧
交点，点 A 坐标为 -4,5 ，点 P 为抛物线对称轴上一点，点 Q 在抛物线上．
(1)当 A、B、P、Q 围成的四边形是以 AB 为对角线的平行四边形时，求 P、Q 两点的坐标；
(2)是否存在 P、Q 点使得VABP与VABQ 全等？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由（P、
Q 不重合，（1）中情况除外）．
(3)过点 A 作直线 L，使得 L 与 x 轴夹角的正切值为 4，平移直线 L，设直线 L 与抛物线的交点为 C、D（点
C 在 x 轴上方、点 D 在 x 轴下方），M 为 x 轴上的点，当 CM - DM 取得最大值时，求点 M 的坐标．
14．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）图，抛物线 y = x2 - 2x - 3与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．
(1)直接写出点 A，B，C 的坐标；
(2)如图 1，连接 AC ，点 D 在抛物线上，连接 AD ，若 DAB = ACO ，求点 D 的坐标；
(3)如图 2，点 P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行 y 轴的直线 l 与抛物线有唯一公共点 P．平移直线 l，使
其经过点 0, -4 ，与抛物线交于 M，N 两点，连接 AP 交 MN 于点 E，Q 为MN 的中点，连接 AQ ，设点
P 的横坐标为 m，若△AEQ 的面积为 2，求 m 的值．
15．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）如图，二次函数 y = x2 + 2x - 3与 x 轴相交于点 A, B（点A 在点 B 的左
侧），与 y 轴相交于点C ，抛物线的顶点为点D．
(1)直接写出点 A, B,C 的坐标；
1
(2)如图（1），连接 AD ，BD，点 P 为抛物线上一点，使 PAO = ADB，求点 P 的坐标；
2
(3)如图（2），过定点 H -2, -1 的直线与抛物线相交于M ， N 两点（点M 在 y 轴左侧，点 N 在 y 轴右侧），
过点M 的直线 y = -2x + b与抛物线交于点Q，求证：直线 NQ 必过定点．
题型二 几何综合新考向、新情境、文化背景
1．如图（1），二次函数 y = ax2 + bx + c的图象经过点 A -1,0 , B 3,0 ,C 0,3 ．把过 A，C 两点的直线绕点 A
旋转，旋转过程中记作直线 l，l 与抛物线的交于点 P．
(1)①求这个二次函数的解析式；②若直线 l 始终与线段 BC 有交点，点 B，C 到直线 l 的距离分别为 d1, d2，
求 d1 + d2 的最大值，并说明理由；
(2)如图（2），当点 P 是抛物线的顶点时，过 P 作PH ^ AB 于 H．若点 Q 在对称轴右侧的抛物线上，过点 Q
作QM ^ AP于 M，VPQM 与VAPH 相似，求点 Q 的坐标．
1
(3)直线 l 与 AC 的夹角为a （a 为锐角），若 tana = ，直接写出点 P 的坐标．
2
2．如图，抛物线 y = ax2 + x +6交 y 轴于点 A， 交 x 轴于 B、C 两点，OA = 2BO ．
(1)求 a 的值；
1
(2)如图 2， 直线 y = x + m 交 x 轴、y 轴于 D、E 两点， 交线段 AB 、 AC 于 F、G 两点，VCDG 的面
2
积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，不要求写出自变量 m 的取值范围；
(3)如图 3， 在（2）的条件下， AP∥x 轴交抛物线于点 P， 连接OP 交 AC 于点 H， 绕点 O 把线段 OP
顺时针旋转90°得到线段 OQ ，M、N 为线段 AC 延长线上两点，连接线段EM 、FN 交于点 K，
FGM + 2 GEM - GFN =180° ， AG = 2MN = 4CN ， 连接MQ ， 求直线 QM 的解析式．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2 - 2x- 3与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点
C，点P m, n 抛物线上一动点．
(1)求VABC 的面积；
(2)当 n 随 m 的增大而减小时，直接写出 m 的取值范围；
(3)当 n 随 m 的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q．使得△OPQ 是以 O 为直角顶点的等腰
直角三角形，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)作点 P 关于 x 轴的对称点，设为点P ，过点 P 作PD ^ y 轴，垂足为 D，以 PD，PP 为邻边构造矩形
PDEP ，当抛物线与矩形PDEP 的边有两个公共点时，直接写出 m 的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，抛物线 y = -x2 + bx + c 的图象经过 A 0,3 ，B 6,3 两点，点 P 为 y 轴右侧抛物线
上不与点 B 重合的一动点，作PD ^ x 轴于点D，交直线OB 于点C ，交直线 AB 于点E ，设点 P 的横坐标为
m ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 1，连接PA，当点 P 在 AB 上方， APE = ABO时，求点 P 的坐标．
(3)令 d = PC - CD ．
①求 d 关于m 的函数解析式；
②当CE
1
OA时，请直接写出 d 的取值范围．
3
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = ax2 + 4的顶点为 D，点 A、B 在抛物线上，且都在 y 轴
右侧，横坐标分别是 m，m +1．
(1)连接 AD 、BD，求 cot ODA - cot ODB 的值（结果用含 a 的代数式表示）；
(2)如果 y 轴上存在点 C，使得 AC ^ BC ，且 AC = BC ，
①求抛物线的表达式；
②若 AB = 10 ，点 E 在 y 轴上，且VADE 与VABC 相似，求点 E 的坐标
6．如图 1，抛物线C : y = ax2 + bx - 3与坐标轴分别交于 A、B、D 三点，其中A 点坐标为 4,0 ，3OB = OD ．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 P 是直线 AD 下方抛物线上的一动点，点Q是 x 轴上一动点，当四边形OAPD 的面积最大时，求
PQ 5+ QB的最小值；
5
(3)在（2）条件下，将抛物线C 沿 x 轴翻折得到C1，则 P 点的对应点为P1，并将C1沿射线P1B方向平移 4 13
个单位长度得到C2 ，记P1在抛物线C2 上的对应点为P2，过P2作P2E ^ x 轴于点E，F 是直线DE 上一点，连
接 AF ，则是否存在点F 使得 AFD = AED + DAF ；若存在，请直接写出点F 的坐标．
1
7．如图 1，抛物线 y = ax2 + bx + 3(a 0)与 x 轴交于 A，B 3,0 两点，与 y 轴交于点 C， tan ACO = ．
3
(1)求抛物线的函数解析式：
(2)点 D 是直线BC 上方抛物线上一动点（点 B，C 除外），连接OD ，交BC 于点 E，设VBDE 的面积为
S
S △BDE△BDE ，△ BOE 的面积为 SVBOE ，请探究 S 是否存在最大值，若存在，求出其最大值；若不存在，请说明△BOE
理由；
(3)如图 2，抛物线的对称轴交 x 轴于点 H，已知点K 2,4 ，直线 y = kx - 3k +1与抛物线交于不同两点 M，
N，直线KM 与抛物线交于点 P，直线 KN 与抛物线交于点 Q，判断直线 PQ与CH 的位置关系，并说明理由．
8．如图，以点G 0, -3 为圆心，以 6 个单位长为半径作eG ，与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于 C，
1
D 2两点．二次函数 y = x + c 的图象经过 A，B，C 三点．
3
(1)求 c 的值；
(2)连接 AG，BG，AD 和BD，求证：四边形 ADBG 为菱形；
(3)如果横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点．已知位于 x 轴下方的抛物线上有两个整点 R，T，连接 RT ，
那么在 x 轴下方的二次函数的图象上，是否存在点 P，使 RPT = 45°？如果存在，请求出点 P 的坐标；如
果不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c与 x 轴交于点 A -1,0 ，B 3,0 ，与 y 轴交于点C 0,3 ，点
M m,0 为线段OB 上一动点，以点M 为圆心，OM 为半径作圆，与 x 轴另一交点为F ．过点C 作eM 的切
线与 x 轴相交于点D，切点为E ，连接EF ．
(1)求抛物线 y = ax2 + bx + c的解析式；
(2)如图 1，若D， B 点重合时，求 tan FED的值；
(3) 2 DF 10如图 ，若 = ，点Q是抛物线 y = ax2 + bx + c上的点，满足 QCO = FED，求点Q的坐标．
EF 8
3
10．已知二次函数 y = ax2 - 3x + c 的图像与 x 轴交于A 、B 两点，且点B 1,0 ，其对称轴为过点 - ,02 ÷且平è
行于 y 轴的直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点D 0, -3 作 x 轴的平行线与二次函数图像交于点 M、N，点E 为直线MN 上一动点，点 P 为二次函数
图像上一动点（ P 不与 B 重合），连接BP、PE、 BE ，将VBPE 沿直线BP翻折得到VBPE ．
①当点E 在对称轴左侧，点E 与点A 重合时，求点 P 的坐标．
②当以点B 、E、P、E 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点E 的坐标．
1
11 2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 y = x + bx + c经过点O 0,0 ，与 x 轴正半轴交于点
2
A，点 A 坐标 3,0 ．
(1)求 b，c 的值；
(2)如图 1，点 P 为第二象限内抛物线上一点，连接PA, PO ，设点 P 的横坐标为 t，VAOP 的面积为 S，求 S
与 t 的函数解析式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；
(3)如图 2，在（2）的条件下，t = -2，点 D 在OA上，DF ^ OA，交PA于点 C，CF = CD ，点 E 在第二象
限，连接 EC ，EC ^ CD，连接ED，过点 E 作ED的垂线，交过点 F 且平行 AC 的直线于点 G，连接DG 交
AC 2于点 M，过点 A 作 x 轴的垂线，交 EC 的延长线于点 B，交DG 的延长线于点 R，CM = RB，连接RE
3
并延长交抛物线于点 N，RA = RN ，点 T 在△ADM 内，连接 AT ,CT ， ATC =135°，DH ^ AT ，交 AT 的
延长线于点 H，HT = 2DH ，求直线CT 的解析式．
12．如图 1，已知抛物线 y = ax2 - 4ax 与 x 轴交于点M ，且图象经过点B 1,3 ，抛物线与直线 y = x 在第一
象限交于点A ， AOM = 45° ；
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 2，若点C 为OA上方抛物线上的动点，求C 到直线OA距离的最大值；
(3)若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，满足 POM = AOB，请在图 3 用尺规作图，作出满足条件点 P 的位置
（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点 P 的坐标．
13．已知四个不同的点 A(x1, y1)， B(x2 , y2 ) ，C(x3 , y3)， D(x4 , y4 ) 都在关于 x 的函数 y = ax2 + bx + c（a，b，
c 是常数， a 0）的图象上．
(1)当 A，B 两点的坐标分别为 -1, -4 ， 3,4 时，求代数式 2024a +1012b 3+ 的值；
7
(2) A B a2当 ， 两点的坐标满足 + 2(y1 + y2 )a + 4y1 y2 = 0时，请你判断此函数图象与 x 轴的公共点的个数，并
说明理由；
(3)当 a > 0时，该函数图象与 x 轴交于 E，F 两点，且 A，B，C，D 四点的坐标满足：
2a2 + 2(y1 + y2 )a + y
2
1 + y
2
2 = 0， 2a
2 - 2(y3 + y
2 2
4 )a + y3 + y4 = 0．请问是否存在实数m(m >1) ，使得 AB ，CD，
m × EF 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1: 2 : 3？若存在，求出 m 的值和
此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m × EF 表示一条长度等于EF 的 m 倍的线段）．
14．已知 A(a,b) ，B(m,n)
b
，如果点C (x, y)的坐标满足 x = 2a + m， y = + n，就称点 C 是点 A，B 的“巧合
2
3
点”，例如： A(-1,3) ，B(2,5)，当C (x, y)满足 x = -1 2 + 2 = 0， y = + 5 = 6.5时，则点C(0,6.5)是点 A，B
2
的“巧合点”．
(1)已知点 A(-2,6)， B(3,7) ，点 C 是点 A，B 的“巧合点”，求 C 的坐标．
(2)如果点E( p, q)，点F ( p + q, p - q)的“巧合点”是D(5,5)，求点 E 和点 F 的坐标．
(3)已知点M (a,b)是直线 y = x 上的一动点，点 N (m,n) 是抛物线 y = x2上一动点，点Q(x, y) 是点 M，N 的“巧
合点”，请求出 Q 中 y 关于 x 的函数表达式（表达式中含有 a），并根据表达式判断，该函数图象是否有最低
点，如果有，请写出最低点坐标；如果没有，请说明理由．
(4)在（3）y 关于 x 的函数中，当自变量-1 x 3时 y 的最大值与最小值的差为 16，求 a 的值．
15．综合与实践
问题提出
如图，在VABC 中， AB =10，过点 A 作 AD ^ BC 于点 D， AD = 8，点 E 从点 B 出发沿BA向点 A 运动，
速度为 1 个单位长度/秒，点 P 从点 D 出发沿DC 向点 C 运动，速度为 2 个单位长度/秒，过点 E 作
EF∥BC ，过点 P 作PF∥ AB，点 P 在点 E 出发 2 秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运
动．设点 E 的运动时间为 t 秒，△AEF 的面积为 S．
初步感知
（1）如图 1，当0 < t 2时，解答下列问题：
（1）若 t = 2，则 S 的值为________；
（2）S 关于 t 的函数解析式为________．
（2）如图 2，当 t > 2时，经探究发现 S 是关于 t 的二次函数，并绘制成如图 3 所示的不完整的图象．请根
据图象信息，解答下列问题：
①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量 t 的取值范围；
②连接EP，若四边形 AEPF 是平行四边形，求 S 的值．
延伸探究
（3）当 t > 2时，是否存在某一时刻 t，使以点 A，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出 t 的
值；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线 y = x2 + bx + c（b、c为常数）的对称轴为直线 x =1，
与 y 轴交于点M 0,2 ．点 A 是该抛物线上一点，点 A 在 y 轴右侧，横坐标为m ；点 B 是该抛物线上异于点
A 的一点（点 B 不与点M 重合），点 B 的横坐标为3 - m．连接 AB ，以 AB 为边，点M 为对称中心作
YABCD ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当YABCD 的一条边与 x 轴平行时，求m 的值；
(3)当点A 在点 B 的右侧时，设YABCD 的边 AD 与抛物线交于点 N （点 N 不与 A、D重合），若△MAB 的面
积是△MBN 的面积的3倍，求m 的值；
(4)当YABCD 的顶点C、D恰好落在同一象限内时，直接写出m 的取值范围．
17．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + 6经过点 -1,3 ，且与一次函数 y = x 的图象交于点
A 和点B 3,3 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某学习小组发现，将抛物线在直线 AB 上方的部分沿 AB 翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含 A、B
两点），如图 2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图 3 所示，矩形 AMNK 的边MN 与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点
C______（填坐标），边 NK 与心形图右边缘相切于点 D，点 D 与点 C 关于直线 y = x 对称；请你帮小聪计算
出矩形 AMNK 的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图 4 所示，矩形EFGH 的边EH 过点 A，边EF 与心形图的左边缘相切，边GH
与心形图的右边缘相切，边 FG 与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH 的面积为______；请
你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
18 2．定义：已知二次函数 y = ax + bx + c a 0 ，若函数h = y - ax，则函数 h 叫做二次函数
y = ax2 + bx +（c a 0）的“奇异函数”．
(1)已知二次函数 y = x2 + bx +1的“奇异函数”为 h ；
1
①若“奇异函数” h 图象的对称轴为直线 x = ，求二次函数的解析式；
4
②小明同学在研究“奇异函数”的过程中发现猜想：二次函数 y = x2 + bx +1图象顶点与其“奇异函数” h 图象顶
点都在另一个函数 y1 的图象上，请问小明的猜想成立吗？若成立，请求出函数 y1 的解析式；若不成立，请
说明理由；
(2)已知二次函数 y = ax2 + bx + c（ a与b 异号）的“奇异函数” h 图象的对称轴为直线 x=n，将抛物线
y = ax2 + bx + c沿直线 x=n翻折得到抛物线 y ，抛物线 y 与“奇异函数” h 的图象交于点 H ，且点H 的横坐标
3 5
为 ，二次函数 y = ax2 + bx + c图象顶点为 P ，“奇异函数” h 图象的顶点为Q，恰好PQ = ，求 a，b 的值．2 2
19．若点P(m, n) 满足m + n = t ，则称点 P 为“t 系点”，例如：P -1,4 满足-1+ 4 = 3，则称P -1,4 为“3 系
点”．
(1)关于 x 的二次函数 y = x2 - 5x + 7的图象上是否存在“3 系点”，若存在，请求出该“3 系点”，若不存在，请
说明理由；
-4
(2)关于 x 的函数y = ax 2 - 2x + b 与反比例函数 y = 的图象在第二象限存在同一个“3 系点”，且函数x
y = ax 2 - 2x + b 的图象与坐标轴只有 2 个交点，求 a 的值；
(3) 2已知关于 x 的二次函数 y = x - 2mx
61
+ (m > 0) 的图象上存在 2 个不同的“3 系点”A、B，且对于该二次函
4
数有当m - 3 x1 5，m - 3 x2 5时，x1， x2相应的函数值 y1 ， y2 总满足 y1 - y2 8，请求出线段 AB 长
度的取值范围．
20．若函数“Y ”图象上存在一点向左平移 2个单位长度，正好落在函数“ X ”图象上，则称函数“Y ”是函数
“ X ”的“遥感函数”，这个点（平移后的点）称为函数“Y ”关于函数“ X ”的“遥感点”．
(1)点 2, p 是函数“Y ”： y = x +1关于函数“ X ”： y = -x + b的“遥感点”，求函数“ X ”的解析式；
(2)函数“Y ”： y = x + m 是函数“ X1 ”： y = kx + b的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“Y ”： y = x + m
b
关于函数“ X 2 ”： y = 有两个不同的“遥感点”，设它们为A ，B ．当VAOB 为等边三角形时，求VAOB 的面x
积；
1
(3)函数“Y ”： y1 = - x
2 + tx - 2 （其中 t为常数，且 t > 2）的顶点 P 恰为函数“Y ”关于函数“ X ”： y = x - 3b
2
1 1 1
的“遥感点”．设抛物线 y2 = x
2 - 2x “Y ” y = - x2 + tx - 2 2与函数 ： 1 的交点为C ，D，抛物线 y2 = x - 2x2 2 2
顶点为Q．当四边形PCQD为矩形时，求函数“ X ”的解析式．
附加中考真题
1 5
1．（2024· 2湖北武汉·中考真题）抛物线 y = x + 2x - 交 x 轴于A ， B 两点（A 在 B 的右边），交 y 轴于点
2 2
C ．
(1)直接写出点A ， B ，C 的坐标；
(2)如图（1），连接 AC ，BC ，过第三象限的抛物线上的点 P 作直线PQ∥ AC ，交 y 轴于点Q．若BC 平分
线段 PQ，求点 P 的坐标；
(3)如图（2），点D与原点O关于点C 对称，过原点的直线EF 交抛物线于E ，F 两点（点E 在 x 轴下方），
线段DE 交抛物线于另一点G ，连接 FG ．若 EGF = 90°，求直线DE 的解析式．
2．（2023·湖北武汉· 2中考真题）抛物线C1 : y = x - 2x -8交 x 轴于 A, B两点（A 在 B 的左边），交 y 轴于点
C ．
(1)直接写出 A, B,C 三点的坐标；
(2)如图（1），作直线 x = t 0 < t < 4 ，分别交 x 轴，线段BC ，抛物线C1于D, E, F 三点，连接CF ．若VBDE
与△CEF 相似，求 t的值；
(3)如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2 ，其顶点为原点．直线 y = 2x与抛物线C2 交于O,G两点，过OG
的中点 H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线C2 于M , N 两点，直线MO 与直线GN 交于点 P ．问点 P 是
否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
3．（2022·湖北武汉·中考真题）抛物线 y=x2 - 2x- 3交 x 轴于 A， B 两点（A 在 B 的左边），C 是第一象限抛
物线上一点，直线 AC 交 y 轴于点 P ．
(1)直接写出 A， B 两点的坐标；
(2)如图（1），当OP = OA时，在抛物线上存在点D（异于点 B ），使 B ，D两点到 AC 的距离相等，求出所
有满足条件的点D的横坐标；
FP
(3)如图（2），直线BP交抛物线于另一点E ，连接CE交 y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ．求 的值（用
OP
含m 的式子表示）．

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