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猜押 07 第 23 题 几何综合（压轴大题）
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
核心考点：1.特殊四边形
（矩形、菱形）性质 2.全
2024 年第 23 题（矩形 等/相似三角形判定与性质 命题规律：1.以“问题背景→
中点与相似三角形综 3.直角三角形斜边中线定 探究→拓展”分层设问，体现
合）2023 年第 23 题（菱 理 4.勾股定理与代数运算 思维梯度 2.高频考点：中点
几何综合
形与等腰三角形综合） 结合 相关性质、相似三角形、直 困难
压轴
2022 年第 23 题（三角 能力要求：-复杂几何图形 角三角形 3.2025 年可能结合
形中点与相似三角形综 的分解与重构-辅助线添 其他知识点或新定义问题创
合） 加策略（中点、垂线、平 新题型
行线）-多知识点综合推理
能力
题型一 几何综合压轴
1．（2025·湖北武汉·一模）如图，BD是四边形 ABCD的对角线，已知 ABC = ADC = 90°．
(1)如图 1，点E 在BC 的延长线上，若 BDE = 90°，求证：△ADB∽△CDE ；
(2)如图 2，若 ABD = 60°，求证： AB + 3BC = 2BD；
(3)如图 3，若DA = DB ， tan DBC = k ，直接写出 tan BDC 的值（用含 k 的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
2
(3) tan BDC 1- k =
2k
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形外接圆、圆内接四边形的性质，正切的定义等，
熟练掌握是解题的关键．
（1）分别证明 CDE = ADB、 DCE = DAB即可；
（2）连接 AC ，以 AC 为半径作圆，易得点 B 、点D在圆上，四边形 ABCD为圆内接四边形，根据托勒密
CD AD
定理得 AC × BD = AB ×CD + BC × AD，即BD = AB + BC ，又弦CD所对圆周角
AC AC
CD 1
CAD = CBD = 90° - ABD = 30° = AD 3 BD 1， ，AC 2 =
， = AB 3+ BC ， AB + 3BC = 2BD；
AC 2 2 2
（3） BDC = 90° - ADB = 90° - (180° - 2 A) = 90° - (180° - 2(90° - DBC)) = 90° - 2 DBC ，如图所示，构
造三角形，即可求出 tan BDC 的值．
【详解】（1）解：Q CDE + BDC = ADB + BDC = 90°，
\ CDE = ADB ，
Q A + BCD + ABC + ADC = 360°，
\ A + BCD =180°，
又Q DCE + BCD =180°，
\ DCE = A，
\VADB∽VCDE ．
（2）解：如图所示，连接 AC ，以 AC 为半径作圆，
易得点 B 、点D在圆上，
\四边形 ABCD为圆内接四边形，
根据同弦所对圆周角相等，设 ADB = ACB = 1， BAC = BDC = 2， CAD = CBD = 3，
ACD = ABD = 4， AB = a ，BC = b，CD = c ， AD = d ， AC = e，BD = f ，
如图所示，分别将△ABD ，VABC ，VACD的边长与 e、 d 、 a相乘，得：
将上述三个三角形拼接，得：
Q 1+ 2 + 3 + 4 = 180°，
\新图形为平行四边形，
\ef = ac + bd ，
CD AD
即 AC × BD = AB ×CD + BC × AD，即BD = AB + BC ，
AC AC
又Q弦CD所对圆周角 CAD = CBD = 90° - ABD = 30°，
CD 1
\ = AD 3， ，
AC 2 =AC 2
1 3
\BD = AB + BC ，
2 2
\ AB + 3BC = 2BD ．
（3）解： BDC = 90° - ADB
= 90° - (180° - 2 A)
= 90° - (180° - 2(90° - DBC))
= 90° - 2 DBC ，
如图所示，作等腰三角形EFG ， FEG 为锐角， EF = EG ，EM ^ FG ，设MG = k ，EM =1，
则 tan MEG = k ，FG = 2k ，
EG = MG2 + EM 2 = k 2 +1，
1
S EM × FGFN △EFG 2 2k= 1 = = ，2EG 1 EG k +1
2 2
2 2 2 2 2
EN EF 2 FN 2 k 2 1 4k (k +1) - 4k (k -1)
2 1- k 2
= - = + - 2 = 2 = 2 = ，k +1 k +1 k +1 k 2 +1
tan 2 MEG tan FEG FN 2k = = = ，
EN 1- k 2
根据上述结论，Q tan DBC = k ，
tan2 DBC 2k则 = ，
1- k 2
tan A D B A
B
如图所示，作矩形，设 = = m，
A D
B C A D 1
则 tan(90° - A D B ) = tan B D C = = = ，
C D A B m
2k
根据上述结论，Q tan2 DBC =
1- k 2
，
1- k 2
\ tan(90° - 2 DBC) = ，
2k
2
\ tan BDC = tan(90° - 2 DBC) 1- k= ，
2k
2
答： tan BDC 1- k= ．
2k
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景 如图（1），在矩形 ABCD中，E 为 DC 上一点，F 为 BC 上一点，
且 AE ^ EF ，求证：△ADE∽△ECF ．
问题探究 如图（2），以 AE 为边作等边△AEG ，G 点在CB 的延长线上，当EF：GF = 2：7的时候，求△GEF
与VAGE 的面积之比．
问题拓展 3如图（3），G 在BC 的延长线上，连接EG ，当 EGC = EFA = 60°，EC = 3 ，FG = 4 时直2
接写出 AG 的长度．
2
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
15 2 21
【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角形的等
知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据矩形的性质和垂直的定义得到两组对应角相等即可证明结论；
（2）如图：过 F 作FH ^ EG ，过 G 作GK ^ AE ，设EF = 2x，则GF = 7x；根据等边三角形的性质和垂直
1
的定义可得HF = EF = x，再运用勾股定理可得HE = 3x, HG = 4 3x,然后根据等边三角形的性质以及勾
2
股定理可得KG
15
= x，最后代入面积公式求解即可；
2
3
（3）先说明 GEC = 30°，易得 GEC = 30°；再解直角三角形可得EG = 3、CG = 、 ；再运用相
2 AE = 39
9 5
似三角形的性质可得 AD = , DE = 3 ，最后运用线段的和差以及勾股定理即可解答．
2 2
【详解】解：（1）∵在矩形 ABCD， AE ^ EF ，
∴ D = C = 90°, AED + FEC = 90°，
∴ AED + DAE = 90°，
∴ DAE = FEC ，
∴△ADE∽△ECF ；
（2）如图：过 F 作FH ^ EG ，过 G 作GK ^ AE ，
设EF = 2x，则GF = 7x，
∵等边△AEG ，
1
∴ KGE = AGE = 30°，GE = AE, AEG = AGE = 60°，
2
∴ HEF = AEF - AEG = 30°，
1
∴ HF = EF = x，
2
∴ HE = EF 2 - HE2 = 3x, HG = CF 2 - HF 2 = 4 3x,
∴ AE = EG = HE + HG = 5 3x，
∵ KGE = 30°，GK ^ AE ，
EK 1∴ = AE
5
= 3x ，
2 2
15
∴ KG = GE2 + KE2 = x，
2
1 1
s EG × HF 5 3x × x
∴ VGEF
2
= 21 =
2 = ；
sVAGE AE 1 15×GK 5 3x × x 15
2 2 2
（3）∵ EGC = 60°, BCE = 90°，
∴ GEC = 30°，
3
∵ EC = 3 ，
2
3
EG CE
3
∴ = = 2 = 3cos30 ，CG
1 3
= EG =
° 3 ，2 2
2
∵ FG = 4 ，
∴ FC = FG - CG 4
3 5
= - = ，
2 2
∴ EF = EC 2 + FC 2 = 13，
∵ EFA = 60°, AEF = 90°，
∴ AE = tan 60° × EF = 3 × 13 = 39 ，
∵△ADE∽△ECF ，
AE AD DE 39 AD DE 9 5
∴ = = = =，即 5 ，解得： AD = , DE = 3 ，
EF EC CF 13 3 3
2 2
2 2
9
∴ BC = AD = , AB = DC = DE + EC = 4 3 ，
2
∴ BG = BC + CG
9 3
= + = 6，
2 2
2
∴ AG = AB2 + BG2 = 4 3 + 62 = 2 21．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题提出
DE AE
（1）如图（1），在VABC 中，DE∥BC ，且DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，则 ____ ．（填“>”“<”
BC AC
或“=”）．FH·BG = FG·BC
问题探究
（2）如图（2），BD是VABC 的角平分线，过点 D 作DE∥ AB 交BC 于点 E，求证：DE·AC = AD·BC ．
问题拓展
（3）如图（3），在菱形 ABCD中， ADC = 60°，点 G 在射线CD上，且CG = 3BC ．连接BG 交 AC 于点
F，过点 F 作CD∥FH BC H 3 13交 于点 ，若FH × BG = 3 13,FG = ，求BG 的长．
2
【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）BG = 2 13
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、等腰三角形的判定与性质、勾
股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先判定VADC∽VABC ，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答；
BE AD
（2）由平行线等分线段定理可得 ABD = EDB 、 = ，再根据平行线的性质、角平分线的定义以及
BC AC
BE AD
等角对等角可得DE = BE ，再结合 = 以及等量代换即可证明结论；
BC AC
（3）由菱形的性质可得 AD∥BC, ADC = 60°，类比（2）可得FH·BG = FG·BC 再结合已知条件可得
1
BC = 2、CG = 6，进而得到CQ = BC =1、BQ = 3 ，最后利用勾股定理求解即可．
2
【详解】解：∵ DE∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴ DE AE=BC AC ．
故答案为：=．
（2）证明：∵ DE∥ AB ，
BE AD
∴ ABD = EDB ， = ，
BC AC
∵ BD是VABC 的角平分线，
∴ ABD = DBE
∴ EDB = DBE ，
∴ DE = BE ，
DE AD
∴ = ，
BC AC
∴ DE·AC = AD·BC ．
（3）∵菱形 ABCD，
∴ AD∥BC, ADC = 60°，
又∵ GD∥FH ，
∴类比由(2)中结论可得∶ FH·BG = FG·BC ，
∵ FH·BG = 3 13 ，
∴ FG·BC = 3 13 3 13，即 ·BC = 3 13 ，解得：BC = 2，
2
∴ CG = 3BC = 6，
如图，过点 B 作BQ ^ CD，垂足为点 Q，
∵ AD∥BC, ADC = 60°，
∴ BCQ = 60°，
∴ CBQ = 30°，
∴ CQ
1
= BC =1，BQ = BC 2 - CQ2 = 3 ，
2
∴ BG = QG2 + BQ2 = 6 +1 2 + 3 2 = 2 13．
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题背景：在直角三角形 ABC 中， C = 90°，D为 AC 上一点．
(1)如图1，过点D作DE ^ AB于E ，求证： AD × AC = AE × AB ；
(2)如图 2，在（1）的条件下，将VADE 绕A 点逆时针旋转，连接 DB，CE，取 BD的中点M ，连接CM ，
AB CM
求证： = ．
2AC CE
(3)如图3，BD平分 ABC ， AC = 4，BC = 3，点E 为BC 上一点，点C 关于 AE 的对称点为C ，若点C
恰好落在BD上，直接写出BC 的长度是_____．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) 2 5 - 11
【分析】（1）证明VAED∽VACB，由相似三角形的性质即可得证；
（2）延长CM 到 F，使得CM = FM ，连接DF，EF ，可证明△BMC≌△DMF ，得到
DF = BC，∠MDF =∠MBC ；导角证明 EDF = CAE ，进而可证明△CAE∽△FDE ，得到
CE AC CE EF
= ， DEF = AEC ，则可证明 CEF = ACB = 90°， = ，进一步可证明△ABC∽△CFE ，
EF DF AC BC
据此可证明结论；
（3）过点 D 作 DF ^ AB 于 F，过点 A 作 AH ^ BD交 BD延长线于 H，则CD = FD；由勾股定理得 AB = 5，
AD AB 5 5 3 3 5
根据等面积法得到 = = ，则 AD = ，CD = ；由勾股定理得BD = ；证明△ABH∽△DBC ，CD BC 3 2 2 2
由相似三角形的性质求解BH = 2 5 ， AH = 5 ，由轴对称的性质可得 AC = AC = 4，再由由勾股定理得
C H = 11，则BC = BH - C H = 2 5 - 11．
【详解】（1）证明：Q C = 90° ，DE ^ AB，
\ AED = C = 90°，
Q EAD = CAB ，
\VAED∽VACB，
AD AE
\ = ，
AB AC
\ AD × AC = AE × AB；
（2）证明：如图所示，延长CM 到 F，使得CM = FM ，连接DF，EF ，
∵M 为BD的中点，
∴ DM = BM ，
又∵ CM = FM ， BMC = DMF ，
∴△BMC≌△DMF SAS ，
∴ DF = BC，∠MDF =∠MBC ；
∵VAED∽VACB，
AE DE
∴∠DAE =∠BAC，∠ADE =∠ABC ， = ，
AC BC
∵ ACB + CBD + ADB + CAD = 360° ，∠ADE +∠EDF +∠BDF +∠ADB = 360° ，
∴∠ACB +∠CAD =∠ADE +∠EDF ，
∴ 90° +∠CAD = 90° -∠DAE +∠EDF ，
∴∠EDF =∠CAD +∠DAE =∠CAE ；
AE DE
∵ = ，DF = BC ，
AC BC
AE DE AE AC
∴ = ，即 = ，
AC DF DE DF
∴△CAE∽△FDE ，
CE AC
∴ = ， DEF = AEC ，
EF DF
CE AC
∴∠CEF =∠CED +∠DEF =∠CED +∠AEC =∠AED = 90° ， = ，
EF BC
∴ CEF = ACB 90
CE EF
= °， = ，
AC BC
∴△ABC∽△CFE ，
AB AC AB CF 2CM
∴ = ，即 = = ，
CF CE AC CE CE
AB CM
∴ = ；
2AC CE
（3）解：如图所示，过点 D 作DF ^ AB 于 F，过点 A 作 AH ^ BD交BD延长线于 H，
∵ BD平分 ABC ， AH ^ BD， C = 90°，
∴ CD = FD；
在Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB = AC 2 + BC 2 = 5，
1
S AB × DF
1 AD × BC
∵ △ABD = 2 = 2
S 1 ，△CBD BC ×CD 1 BC ×CD
2 2
∴ AD AB 5= = ，
CD BC 3
∵ AC = 4，
∴ AD
5 3
= ，CD = ；
2 2
在Rt△DBC 3 5中，由勾股定理得BD = CD2 + BC2 = ；
2
∵∠H =∠C = 90°，∠ABH =∠DBC （角平分线的定义），
∴△ABH∽△DBC ，
BH AH 5
BH AH AB = 3 =∴ = = ，即 3
BC CD BD 3 5
，
2 2
∴ BH = 2 5 ， AH = 5 ，
由轴对称的性质可得 AC = AC = 4，
在RtVAHC 中，由勾股定理得C H = C A2 - AH 2 = 11，
∴ BC = BH - C H = 2 5 - 11．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性
质等等，解（2）的关键在于通过倍长中线构造全等三角形，通过全等进而构造相似三角形；解（3）的关
键在于利用角平分线的性质结合等面积法求出 AD，CD 的长，进而证明三角形相似求解．
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）在矩形 ABCD中，BC = kAB，点E 是CD边上不与端点C 、D重
合的动点，CH ^ BE 于 H ，
【课本再现】（1）如图（1）当 k =1时，CH 交线段 AD 于点F ，求证：VBCE≌VCDF ；
GH
【类比迁移】（2）如图（2）在（1）的条件下，CH 交线段BD于点G ，若点E 是CD的中点，求 的值；
CH
【拓展延伸】（3）如图（3）若DE = kCE ，直接写出 tan HDE 的值_____（结果用含有 k 的式子表示）．
2 k
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
3 k 4 + k 3 +1
【分析】本题主要考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及圆周角定理等
知识，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
（1）判断矩形 ABCD是正方形，证明 1 = 3，根据ASA 可证明VBCE≌VCDF ；
1 1
（2）延长CH ，交 AD 于点F ，求出 tan 1 = ， tan 3 = ，设EH = a，则CH = 2a, BH = 4a，得
2 2
4
BE = 5a ，CF = 5a ，证明VGFD∽VGCB，得出GH = a，从而可得结论；
3
（3）求出 tan 1
1
= tan 3 = 2 2
k k HC = k k +1+1 ，设EH =1， ，BH = k
2 k +1 ，得BE = k 2 k +1 +1，求
出 tan HFE
k
=
k 4 3
，由F 、 H 、E 、D四点共圆，运用圆周角定理可得结论
+ k +1
【详解】解：（1）证明：当 k =1时，BC = AB，
\矩形 ABCD是正方形，
\BC = CD， BCD = D = 90°，
QCH ^ BE ，
\ BHC = 90° ，
\ 1+ 2 = 2 + 3 = 90°，
\ 1 = 3，
在VBCE 和VCDF 中
ì 1 = 3

í BC = CD

BCE = CDF
\VBCE≌VCDF ASA
（2）延长CH ，交 AD 于点F ，
由（1）可知：VBCE≌VCDF
\CE = DF ，BE = CF ．
Q点E 是CD中点，
\CD = 2CE ，
\BC = 2CE = 2DF ，
\ tan 1 1= ，
2
tan 3 1\ = ，
2
设EH = a，则CH = 2a, BH = 4a，
\BE = BH + EH = 5a ，
\CF = BE = 5a，
Q AD P BC ，
\VGFD∽VGCB ，
FD FG 1
\ = = ，
BC GC 2
\FG 1= CF 5= a ，
3 3
\GH = CF - FG - CH 4= a ，
3
GH 2
\ = ．
HC 3
（3）∵ DE = kCE ，
∴ CD = DE + CE = k +1 CE,
CE 1∴ = CD ,
k +1
∵ BC = kAB = kCD ，
∴ tan 1
CE 1
= =
BC k k +1 ,
∵ 1 = 3 ,
\ tan 3 1=
k k +1 ，
设EH =1，HC = k k +1 BH = k 2 k +1 2，
\BE = k 2 k +1 2 +1，
QVBCE∽VCDF ，
1 k 2 k +1CF BE
2 +1
\ = =
k k
k 2 k +1 2 +1 k 4 + k 3 +1
\FH = - k k +1 = ，
k k
tan HFE k\ =
k 4 3
，
+ k +1
QF 、 H 、E 、D四点共圆，
k
\ tan HDE =
k 4 + k 3 +1
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题提出 如图 1，VABC 是等边三角形，点 D 是BC 边上一点
（点 D 不与端点重合），BD < CD，点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E，连接 AD, DE ．在直线 AD 上取一点
F，使 EFD = BAC ，直线EF 与直线 AC 交于点 G．探究线段CG 与DE 之间的数量关系．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图 2，当点 D 为BC 的中点时，点 A、F、G 重合，直接写出此时CG 与 BE 的数量
关系为_________；线段CG 与DE 的数量关系为________；
（2）再探究一般情形，如图 1，求线段CG 与DE 的数量关系；
延伸应用
（3）如图 3，EG 与 AB 交于点 H tan ADC 3 3， = ， AH = 6，直接写出CD的长为_________．
2
25
【答案】（1）CG = 2BE 3； CG 3= DE ；（2）DE = CG；（3）
2 2 4
【分析】（1）由轴对称性质和等边三角形的性质可得BE = DC = BD,△ADE 为等边三角形，则DE = AD，
在 Rt 3△GCD 中，CG cos C = CD ，则CG = 2CD，在 Rt△GCD 中，CG sin C = AD ，则 CG = AD ，
2
3
即 CG = DE ；
2
（2）连接 BE ，在CG 上截取CT = BD，证明VABD≌VBCT SAS ，然后导角得到EG∥BT ，由对称得，
EBA = DBA = 60°，BE = BD，DE ^ AB，DO = EO，则 EBC =120° ，则 EBC + C =180°，故
BE 1∥GC ，那么四边形EBTG 为平行四边形，可得CG = 2BD ，即BD = CG ，再解△EBD即可；
2
（3）过点A 作 AN ^ BC 于点 N ，过点 H 作HM ^ AC 于点M ，由对角互补可得 ADC = HGM ，则
tan ADC = tan HGM AN HM 3 3，即 = = ，设 DN = 2x, AN = 3 3x ，则 CN = 3x， BD = BN - DN = x ，
DN GM 2
BC = CA = 6x，CG = 2BD = 2x ，则 AG = AC - CG = 4x，在Rt△HAM 中， HM = 3 3， AM = 3，则
5
GM = 2，故 AG = 4x = 5，则 x = ，则由CD = 5x即可求解．
4
【详解】（1）解：∵VABC 为等边三角形，D为BC 中点，
∴ AD ^ BC, ACB = 60°， DAB = CAD
1
= BAC = 30°，DB = DC ，
2
由对称得： AD = AE ，BE = BD， DAB = EAB = 30°，
∴ BE = DC ， EAD = 60°
在Rt△GCD 中，CG cos C = CD ，
∴ CG = 2CD，
∴ CG = 2BE ，
∵ AD = AE ， EAD = 60°，
∴VADE 为等边三角形，
∴ AD = DE ，
在Rt△GCD 中，CG sin C = AD ，
∴ 3 CG = AD ，
2
∴ 3 CG = DE ，
2
3
故答案为：CG = 2BE ； CG = DE ；
2
（2）连接 BE ，在CG 上截取CT = BD，
∵VABC 为等边三角形，
∴ BAC = C = ABC = 60°, BC = BA，
∴VABD≌VBCT SAS ，
∴ CBT = BAD ，
∴ BJD = BAD + ABJ = CBT + ABJ = ABC = 60°，
∵ EFD = BAC = 60°，
∴ EFD = BJD ，
∴ EG∥BT ，
由对称得， EBA = DBA = 60°，BE = BD，DE ^ AB，DO = EO，
∴ EBC =120° ，
∴ EBC + C =180°，
∴ BE∥GC ，
∴四边形EBTG 为平行四边形，
∴ BE = TG = BD = CT ，
1
∴ CG = 2BD ，即BD = CG
2
3
在Rt△BDO中，OD = BD sin ABC = BD ，
2
∴ DE = 3BD，
∴ DE 3= CG；
2
（3）解：过点A 作 AN ^ BC 于点 N ，过点 H 作HM ^ AC 于点M ，
∵ EFD = C = 60°，
∴ DFG + C = DFG + EFD =180°，
∴ ADC + FGC =180°，
∵ HGM + FGC =180°，
∴ ADC = HGM ，
∴ tan ADC = tan HGM ，
∴ AN HM 3 3= = ，
DN GM 2
设DN = 2x, AN = 3 3x ，
AN
则CN = = 3x，
tan C
∴由（1）知BN = CN = 3x，
∴ BD = BN - DN = x ，BC = CA = 6x
∴由（2）得CG = 2BD = 2x ，
∴ AG = AC - CG = 6x - 2x = 4x，
在Rt△HAM 中， AH = 6, BAC = 60°，
∴ HM = AH sin BAC = 3 3 ， AM = AH cos BAC = 3，
∵ HM 3 3= ，
GM 2
∴ GM = 2，
∴ AG = 4x = 3+ 2 = 5，
∴ x
5
= ，
4
CD CN DN 3x 2x 5x 25∴ = + = + = = ，
4
25
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了图形的轴对称变化，涉及解直角三角形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判
定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）将正方形 ABCD的边 AD ，绕着点D顺时针旋转至DE ，连接 AE ．
(1)如图 1，连接CE，若 ADE = 60°，则 AEC = ___________．
(2)如图 2，VADE 与VCBF 关于正方形 ABCD的中心对称（其中点 A, D的对称点分别是点C, B)，连接 AF ，
过点 B 作BG∥ AF 交EA的延长线于点G ，连接DG ．
①求 AGD的度数；
②若 AG = 3 2, BG =1，请直接写出 AF 的长．
【答案】(1) 45°
(2)① 45°；② AF = 8
【分析】（1）由正方形 ABCD和旋转可得，AD = DE = DC ， ADC = 90°，结合 ADE = 60°得到VADE 是
等边三角形，即可得到 CDE =150°，利用等腰三角形得到 DEC =15°，求出 AEC = 45°，
（2）①连接 AC 与BD交于点O，连接 EC ，过点 A 作 AQ ^ AG ，交BG 延长线于点 Q，设 DAE = a ，则
DEA DAE 90 a DEC DCE 45 a = = ° - ， = = ° - ，得到
2 2
AEC = DEA - DEC = 45°，再由对称得到OA = OC ，OE = OF ，BF = DE，即可得到四边形 AECF 是平
行四边形，得到BG∥CE∥ AF ，推出 AGQ = CEA = 45°，再证明VAGD≌VAQB SAS ，得到
AGD = Q = 45°；
②过点A 作 AM ^ BQ 于M ，过点 B 作BN ^ AF 于M ，先证明四边形 AMBN 是矩形，得到 AN = BM ，再
证明VAMG是等腰直角三角形，得到 AM = MG = 3，则 AN = BM = MG + BG = 4，最后根据BF = AB结合
三线合一得到 AF = 2AN = 8．
【详解】（1）解：∵正方形 ABCD的边 AD ，绕着点D顺时针旋转至DE ，
∴ AD = DE = DC ， ADC = 90°，
∵ ADE = 60°，
∴VADE 是等边三角形，
∴ DEA = ADE = 60°，
∴ CDE = ADE + ADC = 90° + 60° =150°，
DEC 180° -150°∴ = =15°，
2
∴ AEC = DEA - DEC = 60° -15° = 45° ，
故答案为： 45°；
（2）解：①连接 AC 与BD交于点O，连接 EC ，过点 A 作 AQ ^ AG ，交BG 延长线于点 Q，
则 GAQ = 90°，
∵四边形 ABCD是正方形，DE = AD，
∴ DE = CD = AD ， ADC = DAB = 90°，正方形 ABCD的中心为 O，
\ DEC = DCE ， DEA = DAE ，
设 DAE = a ，
DEA DAE 180° -a\ = = = 90 a DEC DCE 180° - 90° -a a° - ， = = = 45° - ，
2 2 2 2
\ AEC = DEA - DEC 90 a= ° - - 45
a
° - ÷ = 45°，2 è 2
∵点 A、E 的对称点分别是点 C、F，
∴ OA = OC ，OE = OF ，BF = DE，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
\ AF∥ CE ，
又QBG∥ AF ，
\BG∥CE ，
\ AGQ = CEA = 45°，
\ AGQ = Q = 45°，
\ AG = AQ ，
Q DAB = GAQ = 90°，
\ DAB + BAG = GAQ + BAG ，
即 DAG = BAQ ，
在△AGD和VAQB 中，
ìAD = AB

í DAG = BAQ ，

AG = AQ
\VAGD≌VAQB SAS ，
\ AGD = Q = 45°；
②过点A 作 AM ^ BQ 于M ，过点 B 作BN ^ AF 于 N ，则 AMG = ANB = 90° ，
QBG∥ AF ，
∴ AMG = ANB = MBN = MAN = 90°，
∴四边形 AMBN 是矩形，
∴ AN = BM ，
∵ AGQ = 45°， AG = 3 2 ，
∴ AGM = MAG = 45°，
∴ AM = MG = 3，
∵ BG =1，
∴ AN = BM = MG + BG = 4，
∵ BF = DE = AD = AB，BN ^ AF ，
∴ AF = 2AN = 8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，
等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质．
8．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图 1，在等腰Rt△ABC
中， BAC = 90°，点 E 在BC 边上，以CE为边作正方形CEFD，点 F 在 AC 边上，连接 BF ，点 P 为线段 BF
的中点，连接 AP，EP．以点 P 为对称中心，画出!PEF 关于点 P 对称的图形，并直接写出 AP 与PE的位
置及大小关系_____；
（2）【类比探究】在等边VABC 中，D、E 分别是 AC、BC 边上一点，且CD = CE ，以CE、CD为邻边作菱
形CEFD，再将菱形CEFD绕 C 点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形CE F D如图 2，连接BF ，点 P 为
线段BF 的中点，连接 AP 、PE ，判断 AP 与PE 的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若 AC = 4，CE = 1，菱形CEFD在旋转过程中，当 AP 最小时，直接写
出 S△ABP 的值_________．
3 3
【答案】（1） AP ^ PE ， AP = PE；（2） AP ^ PE ， AP = 3PE ；见解析；（3）
2
【分析】（1）延长EP至 G，使PG = PE ，连接BG ，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可
得PE = BP = PF ， AP = BP = PF ，得出 AP = PE，再证得 APE = 90°，即可得出答案；
（2）作VPE F 关于点 P 成中心对称的△PQB ，连接 AQ 、 AE ，延长 AE 、BQ 交于点T ，则PQ = PE ，
PB = PF ， BPQ = F PE ，进而可得BQ∥E F ，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的
判定和性质即可求得答案；
（3）过点 A 作 AH ^ BC 于点 H，连接PH、CF ，CF 交D E 于点 L，利用三角形中位线定理可得
PH 1 CF 3= = ，又点 H 是定点，得出点 P 在以 H 为圆心，PH 为半径的圆上运动，可求得 AP 的最小值，
2 2
再利用三角形面积公式即可求得答案．
【详解】解：（1）如图 1，延长EP至 G，使PG = PE ，连接BG ，
则△PGB 与!PEF 关于点 P 对称，△PGB 即为所求作的图形．
∵四边形CDFE是正方形，
∴ CEF = 90°，
∴ BEF =180° - 90° = 90°，
∵点 P 为线段 BF 的中点， BAC = 90°，
∴ PE = BP = PF = AP，
∴ PAB = PBA， PEB = PBE ，
∴ APF = PAB + PBA = 2 PBA，
∴ EPF = PEB + PBE = 2 PBE ，
∵VABC 是等腰直角三角形，
∴ ABC = 45°，
∴ APE = APF + EPF = 2 PBA + 2 PBE = 2 PBA + PBE = 2 ABC = 90°，
∴ AP ^ PE ，
故答案为： AP ^ PE ， AP = PE；
（2）结论： AP ^ PE ， AP = 3PE ；证明如下：
如图2，作VPE F 关于点P成中心对称的△PQB ，连接 AQ 、AE ，延长 AE 、BQ 交于点T ，则VPQB≌VPE F ，
则PQ = PE ，PB = PF ，BQ = F E ， PBQ = PF E ，
∴ BQ∥E F ，
由题意可知：四边形CE F D 是菱形， D CE = ACB = 60°，
∴ CD ∥E F ，CD = E F = CE ，
∴ CD ∥BQ ，
∴ T = D CE = 60°，
∴ TBC + TCB =120°，即 ABQ + ABC + TCB =120°，
∵VABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ， ABC = ACB = BAC = 60°，
∴ ABC + TCB + ACE =120°，
∴ ABQ = ACE ，
∴VABQ≌VACE SAS ，
∴ AQ = AE ， BAQ = CAE ，
∴ QAE = BAQ + BAE = CAE + BAE = BAC = 60°，
∴VAQE 是等边三角形，
∴ AE = QE = 2PE ，
∵ PQ = PE ，
∴ AP ^ PE ，
在Rt△APE 中， AP = AE2 - PE 2 = 2PE 2 - PE 2 = 3PE ；
（3）如图 3，过点 A 作 AH ^ BC 于点 H，连接PH、CF ，CF 交D E 于点 L，
由旋转得CD = CD =1，CE = CE =1，
∵四边形CD F E 是菱形， D CE = 60°，
∴VD CE 是等边三角形，E L
1
= 2 3，CL = CE ' - E L22 = 2
∴ CF = 2CL = 3 ，
∵VABC 是等边三角形， AC = 4， AH ^ BC ，
∴同理可知：H 是BC 的中点， AH = 2 3 ，
又∵点 P 为线段BF 的中点，
∴ PH 是△BCF 的中位线，
∴ PH 1= CF 3= ，
2 2
∵点 H 是定点，
∴点 P 在以 H 为圆心，PH 为半径的圆上运动，
设 AH 交eH 于点P ，当点 P 与点P 重合时，
AP AP AH PH 2 3 3 3 3= = - = - = 为最小值，
2 2
S 1 AP BH 1 3 3 2 3 3此时， VABP = × = = ，2 2 2 2
3 3
故答案为： ．
2
【点睛】本题是四边形综合题，考查了点和圆的位置关系，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形
和菱形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三
角形是解题关键．
9．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）在VABC 和VDEC 中， ACB = DCE = 90°， AC = BC ，CD = CE ，
连BD，F ，G 分别为 AB ，BD的中点， H 为DE 中点，连GH ，GF ．
(1)如图 1，求证：VADC ≌VBEC ；
(2)如图 1，探究线段GH ，GF 间的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)当CD = 2 ，CA = 10 ，VDEC 绕点C 旋转过程中，若A ，D，E 三点在同一条直线上，请画出旋转后
的对应图形，并直接写出C ，G 两点的距离．
【答案】(1)见解析
(2)GH = GF ，GH ^ GF ；理由见解析
(3)2 或 1
【分析】（1）根据SAS可证明VADC ≌VBEC ；
1 1
（2）由三角形中位线定理得出GF∥ AD，GF = AD，GH ∥BE ，GH = BE，由全等三角形的性质得
2 2
出 EBC = DAC ，BE = AD ，证出GH ^ GF ，则可得出结论；
（3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ ACB = DCE = 90°，
∴ ACD = BCE ，
∵ CA = CB ，CD = CE ，
∴VADC≌VBEC SAS ；
（2）解：GH = GF ，GH ^ GF ；理由如下：
∵F，G，H 分别是 AB ，BD，DE 的中点，
∴ GH 是VBDE中位线，GF 是VABD 中位线，
1 1
∴ GF∥ AD，GF = AD，GH ∥BE ，GH = BE，
2 2
∴ BFG = BAD ， DGH = DBE ，
∵VADC ≌VBEC ，
∴ EBC = DAC ，BE = AD ，
∴ GF = GH ， DGH = DBE = EBC + DBC = DAC + DAB，
∵ DGF = DBA + BFG ，
∴ DGF = DBA + DAB ，
∴ FGH = DGF + DGH = DBA + DAB + DBC + DAC = ABC + BAC = 90°，
∴ GH ^ GF ，
∴ GF = GH ，GF ^ GH ；
（3）解：分以下两种情况：
当 A，E，D 位于点 C 的上方，
由（1）可知 BEC = ADC =135°， CED = 45°，
∴ AEB = 90°，
由（2）可知GH 为VBED的中位线，
1
∴ GH ∥BE ，GH = BE，
2
∴ AEB = GHD = 90°，
∵ CD = 2 ， H 为DE 中点，
∴ CH = EH = DH = 1， CHD = 90°，
∴ AH = AC 2 - CH 2 = 3， CHD + GHD =180°，
∴ AE = 4，C，H，G 三点共线，
∴ AD = BE = AH - DH = 3 -1 = 2 ，
∴ GH
1
= BE =1，
2
∴ CG = CH + GH = 2；
当 A，E，D 位点 C 的下方，同理可得BE = AD = 4，GH = 2，
∴ CG = GH - CH =1．
综上所述，CG 的长为 2 或 1．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运
用全等三角形的性质是解本题的关键．
10．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）在 RtVABC 中， ACB = 90°, D 是 AB 的中点，过点D作DE ^ CD 交
CA的延长线于点E ．
(1)如图 1，若 B = 30°, BC = 3，请直接写出 AE 的长；
(2)如图 2， AC < BC ，线段 AE, EC, BC 存在怎样的数量关系？给出你的结论并加以证明；
(3)若 AE + BC = 17, AE < BC, SVADE = 15，请直接写出DE 的长．
【答案】(1) AE = 3
(2) EC 2 = AE2 + BC 2 ，证明见详解
(3) ED = 3 13
【分析】（1）运用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得CD = AD ，再证明VACD是等边三角形，
结合勾股定理算出 AB = 2 3 ，根据外角性质，则 ADE = E, AE = AD = 3，即可作答．
（2）先延长CD至点 H ，使得DH = CD ，连接 AH , BH , EH ，证明四边形 AHBC 是矩形，结合过点D作
DE ^ CD 交CA的延长线于点E ，且DH = CD ，证明ED是CH 的垂直平分线，在Rt△AEH 中，
EH 2 = AE2 + AH 2，即EC 2 = AE2 + BC 2 ；
HD 1
（3）过点D作HD ^ EC ，证明VCAB∽VHAD ，得出 = ，因为 AE + BC =17,所以
BC 2
BC =17 - AE, HD 1= 17 - AE ，结合 SVADE = 15，解得 AE = 5,或 AE =12 ，因为 AE < BC ，故 AE = 5，2
1 1
BC =12，由（2）得EC 2 = AE2 + BC 2 ，则EC =13， AB = 4 13 ，因为 CD ED = SVCED = CE HD，算2 2
ED CE HD出 = = 3 13 ，即可作答．
CD
【详解】（1）解：∵ ACB = 90°, D 是 AB 的中点，
∴ CD = AD ，
∵ B = 30°, BC = 3，
1
∴ AC = AB， CAB = 60°，
2
∴ BC 2 = AB2 - AC 2, VACD是等边三角形，
9 3 2则 = AB ， ACD = 60°，
4
解得 AB = 2 3 ，
∴ AD = 3 ，
∵过点D作DE ^ CD 交CA的延长线于点E ，
∴ DEC = 90°, E = 90° - ACD = 30°，
∵ CAB = 60°，
∴ ADE = 60° - 30° = 30° = E, AE = AD = 3 ．
（2）解：EC 2 = AE2 + BC 2 ，证明过程如下：
延长CD至点 H ，使得DH = CD ，连接 AH , BH , EH ，如图所示：
∵ D是 AB 的中点，
∴ AD = BD ，
∵ DH = CD ，
∴四边形 AHBC 是平行四边形，
∵ ACB = 90°，
∴四边形 AHBC 是矩形，
∴ CAH = 90°, BC = AH ，
∵过点D作DE ^ CD 交CA的延长线于点E ，且DH = CD ，
∴ ED是CH 的垂直平分线，
∴ EC = EH ，
在Rt△AEH 中，EH 2 = AE2 + AH 2，
即EC 2 = AE2 + BC 2 ；
（3）解：过点D作HD ^ EC ，如图所示：
∵ ACB = 90°，HD ^ EC ，
∴ EHD = ACB = 90°，
∵ CAB = CAB，
∴VCAB∽VHAD ，
HD AD
∴ = ，
BC AB
∵ D是 AB 的中点，
∴ AD
1
= AB，
2
HD 1
∴ = ，
BC 2
∵ AE + BC =17,
1
∴ BC =17 - AE, HD = 17 - AE ，
2
∵ SVADE = 15，
1
∴ 17 AE AE 1- =15，
2 2
整理得 AE - 5 AE -12 = 0，
解得 AE = 5,或 AE =12 ，
∵ AE < BC ，
∴ AE = 5，BC =12，
∴ BC =12，
由（2）得EC 2 = AE2 + BC 2 ，
则EC = 52 +122 =13， AC =13 - 5 = 8，
1
∴ AB = BC 2 + AC 2 = 4 13 ，CD = AB = 2 13，2
1 CD ED S 1∵ = = CE HD，
2 VCED 2
∴ CD ED = CE HD ，
ED CE HD 13 6即 = = = 3 13CD ．2 13
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，
直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题型二 几何综合新考向、新情境、文化背景
1．在正方形 ABCD中，点E 为CD边上一点，连接 AE ，将△AED 沿 AE 翻折得到△AEF ，连接 BF 并延长
交CD于点G ．
(1)如图 1，若 AF = BF ，直接写出EG 和 FG 的数量关系和 EGF 的度数．
AB
(2)如图 2，若F 为BG 的中点，求 的值．
AE
DE 2
(3)如图 3，连接CF 并延长交 AE 于点 H ，若 = ，FH = 3 5 ，直接写出 AB 的长．CG 3
【答案】(1) EG = FG， EGF = 120°
(2) 3
2
(3)15
【分析】（1）由正方形和翻折的性质可得△ABF 是等边三角形，得 ABF = AFB = 60°，进而求得
EFG = 180° - AFE - AFB = 30°， BGC = ABF = 60°，再利用平行线和三角形外角的性质得出
GEF = EFG 和 EGF = 120°，最后根据等角对等边即可得出结论；
（2）由正方形和翻折的性质可得 DAE = FAE， AB = AF ，延长EF 交 AB 延长线于点M ，可证得
△BFM≌△GFE ，得到MF = EF ，进而可知 AF 垂直平分ME ，得 AM = AE ，可知
MAF = FAE = DAE = 30°，在RtVADE AD 3利用余弦的定义得出 = cos30° = ，即可求解；
AE 2
（3）延长EF 交BC 于点 N ，连接 AN 交BG 于点M ，利用正方形和翻折的性质证出RtVABN≌RtVAFN ，
得到BN = FN ，得出 AN 是 BF 的垂直平分线，证出VABN≌VBCG ，得到BN = CG ，设EF = DE = 2a ，表
示出EF ，设BC = CD = b ，在Rt△CEN 中利用勾股定理列出方程，解得b = 6a ，再通过证明VEHF∽VEAN
FH EF
得到 = ，求出 AN 的长，再在Rt△ABN 中利用勾股定理解出 a的值，即可求出 AB 的长．
AN EN
【详解】（1）解：∵正方形 ABCD，
∴ AB = AD ， AB∥CD， D = 90°，
由翻折的性质可得 AD = AF ， D = AFE = 90°，
∴ AB = AF ，
又∵ AF = BF ，
∴ AB = AF = BF ，即△ABF 是等边三角形，
∴ ABF = AFB = 60°，
∴ EFG = 180° - AFE - AFB = 30°，
∵ AB∥CD，
∴ BGC = ABF = 60°， EGF =180° - ABF =120°，
∴ GEF = BGC - EFG = 30° ，
∴ GEF = EFG ，
∴ EG = FG，
∴综上所述，EG = FG， EGF = 120°．
（2）解：∵正方形 ABCD，
∴ AB = AD ， AB∥CD， BAD = D = 90° ，
由翻折的性质可得 AD = AF ， D = AFE = 90°， DAE = FAE，
∴ AB = AF ，
∵ F 为BG 的中点，
∴ BF = FG ，
延长EF 交 AB 延长线于点M ，
∵ AB∥CD，
∴ M = FEG，
又∵ BFM = GFE ，
∴VBFM≌VGFE AAS ，
∴ MF = EF ，
又∵ AFE = 90°，即 AF ^ ME ，
∴ AF 垂直平分ME ，
∴ AM = AE ，
∴ MAF = FAE ，
∴ MAF = FAE = DAE
1
= 90° = 30°
3 ，
在RtVADE AD中， cos DAE = = cos30 3° = ，
AE 2
∴ AB AD 3= = ；
AE AE 2
（3）解：如图，延长EF 交BC 于点 N ，连接 AN 交BG 于点M ，
∵正方形 ABCD，
∴ AB = BC = CD = AD ， ABC = BCD = D = 90°，
由翻折的性质可得 AD = AF ，DE = EF ， D = AFE = 90°，
∴ AB = AF ， AFN =180° - AFE = 90°，
∴ ABN = AFN = 90°，
又∵ AN = AN ，
∴ RtVABN≌RtVAFN HL ，
∴ BN = FN ，
∴ AN 是 BF 的垂直平分线，
∴ AN ^ BF ，BM = FM ，
∴ ABM + BAN = 90°，
又∵ ABM + CBG = 90°，
∴ ABM + BAN = ABM + CBG ，即 BAN = CBG，
又∵ ABN = BCG = 90°， AB = BC ，
∴VABN≌VBCG ASA ，
∴ BN = CG ，
∴ FN = CG ，
DE 2
∵ = ，
CG 3
∴设EF = DE = 2a ，则BN = FN = CG = 3a ，
∴ EN = EF + FN = 5a ，
设BC = CD = b ，则CN = BC - BN = b - 3a ，CE = CD - DE = b - 2a ，
在Rt△CEN 中，CE2 + CN 2 = EN 2，
∴ b - 2a 2 + b - 3a 2 = 5a 2 ，
解得：b = 6a 或 b = -a （舍去），
∴ BC = CD = 6a，
1
∴ BN = BC ，即BN = CN ，
2
又∵ BM = FM ，
∴ MN ∥CF ，即 AN ∥HF ，
∴VEHF∽VEAN ，
FH EF 2a 2
∴ = = = ，
AN EN 5a 5
∴ AN 5 FH 5 3 5 15 5= = = ，
2 2 2
在Rt△ABN 中， AB2 + BN 2 = AN 2 ，
2

∴ 6a 2 3a 2 15 5

+ = 2 ÷÷
，
è
5
解得： a = ，
2
∴ AB = 6a = 6
5
=15．
2
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、特殊角的三角函数值、全等三角形的性质与判定、相似
三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三
角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
2．如图①，在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 8，BC = 6，点 D 和点 E 分别在边 AC 和 AB 上，连接
DE ，将VABC 沿DE 折叠，使点 A 落在直线BC 上的点 G 处．
(1)如图②，若EG∥ AC ，求证：四边形 ADGE 是菱形；
(2)如图③，当点 G 落在线段BC 的延长线上，且CG = 2 时，直接写出线段 AE 的长；
(3)如图④，四边形BCDE 中， DEB = DCB = 90°，CE = BE = 5，对角线CE与BD交于点 F，
sin DCE 3= ，求线段CF 的长．
5
【答案】(1)见解析
85
(2)
13
70
(3)
39
【分析】 1 设 AG 与DE 相交于点 F，由折叠的性质得 AD = GD ，AE = GE ，则DE 是线段 AG 的垂直平分
线， DAG = DGA，进而证明VGFD 和VGFE 全等得GD = GE ，由此得 AD = GD = AE = GE ，据此即可得
出结论；
2 过点 E 作EH ^ BC 于点 H，先求出 AB =10，设BE = a ，则 AE =10 - a ，由折叠的性质得
4a 3a 3a
GE = AE =10 - a ，证明△BEH 和VBAC 相似得EH = ，BH = ，则GH = 8 - ，在RtVEGH 中，由
5 5 5
45
勾股定理可求出 a = ，由此可得 AE 的长；
13
3 过点 E 作EN∥BC 交CD的延长线于点 N，作 EM ^ BC 于点 M，交BD于点 O，过点 D 作DT⊥CE于点
T，过点 O 作OK ^ CE于点 K，则，四边形CMEN 是矩形，解Rt△CEN 得EN = 3，CN = 4，则
7
CM = EN = BM = 3，EM = CN
9
= 4，证明△MBE 和△NDE 相似得DN = ，则CD = ，解RtVCDT 得4 4
DT 21 7 7 25 15= ，CT = ，证明OM 是△BCD的中位线得OM = ，则OE = ，解Rt△EOK 得OK = ，
20 5 8 8 8
EK 5 TK 11 TF DT 14= ，则 = ，再证明VDTF 和VOKF 相似得 = = ，设TF =14x，KF = 25x，则
2 10 KF OK 25
39x 11 11 77= ，由此解得 x = ，则TF =14x = ，然后根据CF = CT +TF 即可得出答案．
10 390 195
【详解】（1）证明：设 AG 与DE 相交于点 F，如图②所示：
由折叠的性质得： AD = GD ， AE = GE ，
\DE 是线段 AG 的垂直平分线， DAG = DGA，
\ GFD = GFE = 90° ，
QEG∥AC ，
\ EGA = DAG，
\ DGA = EGA，
在VGFD 和VGFE 中，
ì DGA = EGA

í GF = GF ，

GFD = GFE = 90°
\VGFD≌VGFE ASA ，
\GD = GE ，
Q AD = GD ， AE = GE ，
\ AD = GD = AE = GE，
\四边形 ADGE 是菱形；
（2）解：过点 E 作EH ^ BC 于点 H，如图③所示：
在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 8，BC = 6，
由勾股定理得： AB = AC 2 + BC 2 = 82 + 62 =10，
设BE = a ，则 AE = AB - BE =10 - a ，
由折叠的性质得：GE = AE =10 - a ，
QCG = 2，
\BG = BC + CG = 8，
Q ACB = 90°，EH ^ BC ，
\EH P AC ，
\VBEH∽VBAC ，
EH BH BE
\ = = ，
AC BC AB
EH BH a
\ = = ，
8 6 10
\EH 4a 3a= ，BH = ，
5 5
\GH = BG - BH 8 3a= - ，
5
在Rt△EGH 中，由勾股定理得：GE2 = GH 2 + EH 2 ，
2 2
\ 10 - a 2 = 8 3a 4a- + 5 ÷ ÷è è 5
45
解得： a = ，
13
45 85
\ AE =10 - a =10 - = ；
13 13
（3）解：过点 E 作EN∥BC 交CD的延长线于点 N，作 EM ^ BC 于点 M，交BD于点 O，过点 D 作DT⊥CE
于点 T，过点 O 作OK ^ CE于点 K，如图④所示：
Q DEB = DCB = 90°，
\ N = DCB = EMC = EMB = 90°，
\四边形CMEN 是矩形，
QCM = EN ，EM = CN ，
在Rt△CEN 中，CE = 5， sin DCE
EN 3
= = ，
CE 5
3
\EN = CE = 3，
5
由勾股定理得：CN = CE2 - EN 2 = 52 - 32 = 4，
\CM = EN = 3，EM = CN = 4，
QCE = BE = 5， EM ^ BC ，
\BM = CM = 3，
在四边形BCDE 中， DEB = DCB = 90°，
\ MBE + CDE =180°，
Q NDE + CDE =180°，
\ MBE = NDE ，
又Q EMB = N = 90°，
\VMBE∽VNDE ，
BM EM
\ = ，
DN EN
DN BM × EN 3 3 9\ = = = ，
EM 4 4
\CD = CN 9 7- DN = 4 - = ，
4 4
在RtVCDT 中， sin DCE
DT 3
= = ，
CD 5
DT 3 CD 3 7 21\ = = = ，
5 5 4 20
由勾股定理得：CT = CD2 - DT 2 = (7)2 - ( 21)2 7= ，
4 20 5
QEM∥CN ，BM = CM = 3，
BM BO
∴ = =1，
CM OD
∴ BO = OD ，
\OM 是△BCD的中位线， OEK = DCE ，
OM 1 1 7 7 3\ = CD = = ， sin OEK = sin DCE = ，
2 2 4 8 5
\OE = EM - OM = 4 7 25- = ，
8 8
sin OEK OK 3在Rt△EOK 中， = = ，
OE 5
OK 3 OE 3 25 15\ = = = ，
5 5 8 8
25 15 5
由勾股定理得：EK = OE2 - OK 2 = ( )2 - ( )2 = ，
8 8 2
\TK = CE - CT - EK = 5 7 5 11- - = ，
5 2 10
QDT ^ CE ，OK ^ CE，
\DT∥OK ，
\VDTF ∽VOKF ，
21
TF DT
\ = = 20 14= ，
KF OK 15 25
8
\设TF =14x，KF = 25x，
\TK = TF + KF 11= 39x = ，
10
11
解得： x = ，
390
TF 14x 14 11 77\ = = = ，
390 195
CF CT TF 7 77 70\ = + = + = ．
5 195 39
【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解直角
三角形，熟练掌握图形的折叠变换与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似
三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理进行计算是解决问题的关键．
3．在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ．D是边 AB 上的动点（不与点 A， B 重合），连接CD．在CD上
任取一点E ，将线段CE绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ．延长FE交 AC 于点G ．
(1)如图 1，当点F 在边 AB 上时，求证： CGF = BCD；
(2)如图 2，当点F 在VABC 内时，作点C 关于直线 AB 的对称点 H ，连接FH ．取FH 的中点M ，连接
BE，BM，BH ．用等式表示线段 BE 与 BM 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) BE = 2BM ，证明见解析
【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，
正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
（1）由直角三角形的性质可得 BCD + GCE = 90°，再根据旋转的性质以及直角三角形的性质可得
CGF + GCE = 90°，然后根据同角的余角相等即可证明结论；
（2）如图：连接EM 并延长EM 至 N ，使MN = EM ，延长EF 交BH 于Q，连接BN，HN ．易证
VEFM≌VNHM 可得 BHN = GQH ；再根据垂直平分线的性质可得CB = BH 、 CBH = 2 CBA = 90°；
然后证明VBCE≌VBHN 可得BC = BH 、 CBE = NBH ，进而得到BM ^ EM 、BM = EM ，最后根据勾股
定理即可解答．
【详解】（1）解：Q ACB = 90°，
\ BCD + GCE = 90°，
QCD 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，
\ CEG = 90°，
\ CGF + GCE = 90°，
\ CGF = BCD．
（2）解：BE = 2BM ，证明如下：
如图：连接EM 并延长EM 至 N ，使MN = EM ，延长EF 交BH 于Q，连接BN，HN ．
Q FM = MH ， FME = HMN
\VEFM≌VNHM SAS ，
\ HN = EF ， FEM = MNH ，
\EF∥HN ，
\ BHN = GQH ，
Q点C ， H 关于直线 AB 对称，
\CB = BH ， CBH = 2 CBA = 90°，
\BH ∥CA，
\ CGQ = GQH ，
由（1）得 CGQ = BCD ，
\ BCD = BHN ，
QCB = BH ，HN = EF = CE ，
\VBCE≌VBHN SAS ，
\BC = BH ， CBE = NBH ，
\ NBE = HBC = 90°，
Q MN = EM ，
\BM ^ EM ，BM = EM ，
\BE = BM 2 + EM 2 = 2BM ．
4．如图，在YABCD 中， B = 45°， AD = 2AB，点 P 在线段BC 上运动， AP 绕点A 逆时针旋转90°得到
线段 AE ，连接PE、 AC 、CE．
(1)求证：当 BAP = 45°时，四边形 APCE 是正方形；
(2)若 AB = 4，eO 为△ACE的外接圆，设eO 的面积为S ．
①求S 的取值范围（结果保留 π）；
②连接DE ，直线DE 能否与eO 相切，如果能，求BP的长度；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① 4π S 8π；②直线DE 能与eO 相切，此时BP的长度为 4
【分析】（1）根据旋转的性质得到 PAE = 90°，AP = AE，由 B = BAP = 45°得出△APB 是等腰直角三角
2 2
形，再利用平行四边形和等腰直角三角形的性质得到 AE∥PC ，PC = AB ， AE = AB，得出
2 2
AE = PC ，再利用正方形的判定定理即可证明；
（2）①先画出示意图，通过证明VABP≌VACE 得到 APB = AEC ，推出四边形 APCE 是圆内接四边形，
结合eO 为△ACE的外接圆以及 PAE = 90°，得到PE是eO 的直径，利用等腰直角三角形的性质求出PE
的取值范围，即可求出S 的取值范围；②设直线DE 与eO 相切，则 OED = 90°，得出 AED =135°，由①
1
中的结论VABP≌VACE 得到BP = CE ，再通过证明VACE≌VDCE得到 AEC = AED = 67.5°，进而得出
2
CE = AC = 4 ，即可求出BP的长度．
【详解】（1）证明：如图，
由旋转的性质得： PAE = 90°， AP = AE，
Q B = BAP = 45°，
\VAPB是等腰直角三角形，
\ APB = 90° AP BP 2， = = AB ，
2
\ PAE = APB = 90°，
\ AE∥PC ，
QYABCD ，
\BC = AD，
又Q AD = 2AB ，
\BC = 2AB，
2
\PC = BC - BP = AB ，
2
又Q AE 2= AP = AB ，
2
\ AE = PC ，
\四边形 APCE 是平行四边形，
又Q PAE = 90°，
\平行四边形 APCE 是矩形，
又Q AP = AE ，
\矩形 APCE 是正方形．
（2）解：①如图，
由（1）中的结论得， ACB = ACP = 45° ，
\ ACB = B = 45°，
\VACB是等腰直角三角形，即 AB = AC ， BAC = 90°，
\ BAC = PAE = 90°，
\ BAC - PAC = PAE - PAC ，即 BAP = CAE，
又Q AP = AE ，
\VABP≌VACE ，
\ APB = AEC ，
\ APC + AEC = APC + APB =180°，
\四边形 APCE 是圆内接四边形，
QeO为△ACE的外接圆，
\点 P 也在eO 上，
又Q PAE = 90°，
\PE 是eO 的直径，
Q PAE = 90°， AP = AE，
\PE = AP2 + AE2 = 2AP，
Q点 P 在线段BC 上运动，
\当 AP ^ BC 时， AP 有最小值；当点 P 与点C 重合时， AP 有最大值；
当 AP ^ BC 时，由（1 2）中的结论得 AP = AB = 2 2 ，
2
当点 P 与点C 重合时， AP = AC = AB = 4 ，
\2 2 AP 4，
\4 PE 4 2 ，
PE 2QS p p又 = ÷ = × PE
2 ，
è 2 4
\S 的取值范围为 4p S 8p ．
②如图，设直线DE 与eO 相切，则 OED = 90°，
Q AE = AP ， PAE = 90°，
\ AEP = 45°，
\ AED = AEP + OED =135°，
由①中的结论得，VABP≌VACE ，
\ ACE = B = 45°，BP = CE ，
Q AB = CD = 4， AB∥CD ， BAC = 90°， AC = AB ，
\ ACD = BAC = 90°， AC = CD = 4，
\ DCE = ACD - ACE = 45°，
\ ACE = DCE = 45°，
又QCE = CE ，
\VACE≌VDCE ，
AEC DEC 1\ = = AED = 67.5°，
2
\ CAE =180° - ACE - AEC = 67.5°，
\ CAE = AEC ，
\CE = AC = 4，
\BP = CE = 4，
\综上所述，直线DE 能与eO 相切，此时BP的长度为 4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、旋转的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质与判定、
三角形外接圆的性质、切线的性质，熟练掌握相关知识点，结合题意正确画出对应的示意图是解题的关
键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和推理论证能力，适合有能力解决几何难题的学生．
5．问题提出
1
（1）如图①，在等边三角形 ABC 中， AE = CD = BC = 2，点F 为BC 上一动点，求EF + DF 的最小值；
3
问题解决
（2）如图②，某市计划将四边形 ABCD修建为一个批发市场，其中 E 为该批发市场的车辆入口，VBCG 为
货物零售区域，现需在 AD 边上的点 F 处设置一个快递分类装车点，并修建车道EF , FG用来运送货物．已
知 ABC = 60°, BCD = ADC = 90°, ABG + DCG = 90°, AB = BC = 300 3m,CE = DE ．为节约成本，需将
车道EF , FG修建的尽可能短，则EF + FG 的值是否存在最小值？若存在，求EF + FG 的最小值；若不存在，
请说明理由．（结果保留根号）
【答案】（1）6 ；（2）存在最小值，为 75 37 - 300 m
【分析】（1）作点D关于BC 的对称点 D ，连接ED 、FD ，如图所示，从而得到EF + DF = EF + D F ，由
由三角形三边关系可知，则当E、F、D 三点共线时，EF + D F 有最小值，为ED ，由等边三角形性质及平
行四边形的判定与性质即可得到答案；
（2）根据题意，由“定弦定角”模型可知，点G 在VBCG 的外接圆上运动，进而得到点G 在B GC 上运动，
作点E 关于 AD 的对称点E ，连接E F 、E D、E O，如图所示，求EF + FG 的最小值就是求E O - VBCG
的外接圆半径，为便于计算，将图补全，在圆中结合圆内接四边形、垂径定理和含30°的直角三角形性质求
出线段长即可得到答案．
【详解】解：（1）作点D关于BC 的对称点 D ，连接ED 、FD ，如图所示：
Q点D与点 D 关于BC 对称，
\FD = FD，则EF + DF = EF + D F ，
QEF + D F ED ，
由三角形三边关系可知，则当E、F、D 三点共线时，EF + D F 有最小值，为ED ，
连接CD ，如图所示：
在等边三角形 ABC 中， A = 60°， AE = CD
1
= BC = 2；由对称性可知， D CB = ACB = 60°，
3
CD = CD ，
\ A + D CA =180°，则 AE∥CD ，
Q AE = D C ，
\四边形 AED C 是平行四边形，则ED = AC = 6，
故EF + DF 的最小值为6 ；
（2）存在最小值，
Q ABG + DCG = 90°， BCG + DCG = 90°，
\ BCG = ABG ，
Q ABC = 60° = ABG + CBG，
\由三角形内角和定理可知， BGC = 120°，
Q BC = 300 3m，
\由“定弦定角”模型可知，点G 在VBCG 的外接圆上运动，如图所示：
Q计划将四边形 ABCD修建为一个批发市场，VBCG 为货物零售区域，
\点G 在B GC 上运动，
作点E 关于 AD 的对称点E ，连接E F 、E D、E O，如图所示：
将图补全，作出VBCG 的外接圆，作线段 BC 的中垂线，交eO 于点 H ，过点O作OI ^ BC ，作OO ^ CD ，
过A 作 AI ^ BC ，如图所示：
在圆内接四边形BHCG中， BGC = 120°，则 H = 60° ，
\ COI = 60°，
在RtVCOI 中，由垂径定理可知CI
1
= BC =150 3m ，则OI =150m,CO = 300m，
2
1
在RtVABI 中， AB = 300 3m ， BAI = 30°，则BI = AB =150 3m， AI = 450m ，2
\ I 与 I 重合，
\ CE ED 1 450 450= = CD = m，则DE = DE = m，
2 2 2
在RtVO OE O E E D DC CO
450
中， = + + = + 450 +150 = 825m，OO = CI =150 3m ，则由勾股定理可得2
OE = 8252 + 2150 3 = 75 133m，
Q VBCG 的外接圆半径CO = 300m ，
\ EF + FG 的最小值为 75 133 - 300 m．
【点睛】本题属于中考数学压轴题，考查动点最值问题的两种类型：①轨迹是直线型；②轨迹是圆弧型；
综合性强、难度较大，涉及动点最值问题-将军饮马模型的解法、动点最值问题-点圆模型的解法，主要知识
点是对称性、三角形三边关系、平行四边形的判定与性质、辅助圆定弦定角模型、圆内接四边形、垂径定
理、勾股定理和含30°的直角三角形性质等，掌握动点最值问题的基本模型及解法是解决问题的关键．
6．如图，将正方形 ABCD沿 AB 方向平移得到正方形EFGH ，其中点A 的对应点E 在线段 AB 上运动，连
接BD，交EG 于点M ，交EH 于点 N ，交 AH 于点K ，连接 AM ，HM ．
(1)直接写出 AE 和 NH 的数量关系；
(2)判断 AH 和 AM 的数量关系，并说明理由；
(3)设VAKD的面积为 S1，△KHM 的面积为 S2，△AEM 的面积为 S3 ．
①若正方形 ABCD的边长为 4，当点E 运动到何处时， S3 取得最大值？求出 S3 的最大值；
②求证： S1 - S2 = S3 ．
【答案】(1) AE = NH
(2) AH = 2AM ，理由见解析
(3)① E 为 AB 中点时， S3 有最大值1；②证明见解析．
【分析】（1）根据正方形的性质及平移的性质证明四边形 ADHE 是矩形，由等角对等边推出DH = NH ，即
可得出结论；
（2）如图，连接 AC ，根据正方形的性质得 AC = AB2 + BC 2 = 2AB，再推出
CH = BE = EM 2 + BM 2 = 2BM ， 证明△AHC∽△AMB ，由相似三角形的性质可得结论；
（3）①过点M 作MQ ^ AB垂足为Q，设 AE = x，则BE = 4 - x，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边
4 - x 1 1 2
上的中线等于斜边的一半得MQ = ，进一步得到 S3 = AE × MQ = - x - 2 +1，再根据二次函数的最2 2 4
值可得结论；
②如图，设点A 到DH 的距离为h1，点M 到DH 的距离为h2 ，得 h1 - h2 = MQ ，推出
S 11 - S2 = S△ADH - S△MDH = DH h1 - h2
1
= DH × MQ， S
1
2 2 3
= AE × MQ，即可得证．
2
【详解】（1）解：∵ BD是正方形 ABCD的对角线，
∴ CDB = ADB = 45° = ABD， CDA = DAB = 90°，CD = AD = AB ，
∵将正方形 ABCD沿 AB 方向平移得到正方形EFGH ，
∴ AD = EH ， AD∥EH ， GHE = 90° = HEF ，
∴四边形 ADHE 是平行四边形， HND = ADB = 45° = CDB，
∴四边形 ADHE 是矩形，DH = NH ，
∴ AE = DH = NH ，
∴ AE 和 NH 的数量关系为： AE = NH ；
（2） AH = 2AM ．
理由：如图，连接 AC ，
∵ AC 、BD是正方形 ABCD的对角线，
∴ DCA = 45° = DBA， GEF = 45°， DCB = CBA = 90°，CD = BC = AB ，
∴ AC = AB2 + BC 2 = AB2 + AB2 = 2AB，
∵将正方形 ABCD沿 AB 方向平移得到正方形EFGH ，EG 是正方形EFGH 的对角线，
∴ GHE = HEF = 90°， GEF = 45°，
∴ HCB = CBE = 90° = CHE ，
BME =180° - MBE - MEB =180° - 45° - 45° = 90°，
∴四边形BCHE 是矩形，
∴ CH = BE，
∵ MEB = 45° = MBE ，
∴ ME = MB ，
∴ CH = BE = EM 2 + BM 2 = BM 2 + BM 2 = 2BM ，
CH 2 AC∴ = = ， HCA = MBA，
BM AB
∴△AHC∽△AMB ，
AH AC
∴ = = 2 ，
AM AB
∴ AH = 2AM ；
（3）①过点M 作MQ ^ AB垂足为Q，
设 AE = x，
∵正方形 ABCD的边长为 4，
∴ BE = AB - AE = 4 - x ，
∵ BME = 90°，ME = MB ，
∴ MQ 是 BE 边上的中线，
∴ MQ
1
= BE 4 - x= ，
2 2
1 1 4 - x 1
∴ S3 = AE × MQ = x × = - x - 2
2 +1，
2 2 2 4
1
∵ - < 0，
4
∴当 x = 2时（此时E 为 AB 中点）， S3 取得最大值，此时 S3 =1，
∴ E 为 AB 中点时， S3 有最大值1；
②证明：如图，设点A 到DH 的距离为h1，点M 到DH 的距离为h2 ，
∴ h1 - h2 = MQ ，
∴ S
1 1
1 - S2 = S△ADH - S△MDH = DH h1 - h2 = DH × MQ，2 2
∵ S
1
3 = AE × MQ， DH = AE ，2
1 1
∴ S1 - S2 = DH × MQ = AE × MQ = S3 ，2 2
即 S1 - S2 = S3 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识点．掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质、二
次函数的最值是解题的关键．
7．综合与探究
在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动．
实践操作：
如图，在矩形纸片 ABCD中， AB = 8, BC =10，
第一步：如图 1，将矩形纸片 ABCD沿 过点C 的直线折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，得到折痕CE，
然后把纸片展平．
第二步：如图 2，再将矩形纸片沿 BF 折叠，此时点A 恰好落在CF 上 的点 N 处，BF , BN 分别与CE交于点
G,M ， 然后展平． 问题解决：
（1）求 AE 的长．
（2）判断EF , MN 与CD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图 3，延长CE, DA相交于点 P ， 请直接写出PM 的长．
【答案】（1）3；（2）EF + MN = CD ，理由见解析；（3）5 5
【分析】（1）由四边形 ABCD是矩形，可得 AD = BC =10,CD = AB = 8, BAD = D = 90°.由折叠，可得
CF = BC =10, EF = BE ，设 AE = x． 则EF = BE = AB - AE = 8 - x，在Rt△CDF 中，
DF = CF 2 - CD2 = 102 -82 = 6 ，可得 AF = AD - DF =10 - 6 = 4.最后由勾股定理求解即可；
（2）由第一步折叠，可得CE垂直平分BF , BE = EF ， BGE = BGM = 90°.由第二步折叠，可得
EBG = MBG, BN = AB，再证明VEBG≌VMBG(ASA).最后由全等三角形的性质可得结论；
（3）连接MF ．由四边形 ABCD是矩形，可得 AD∥BC, BAD = D = 90°.再证明VAPE∽VBCE.可得
AP AE
= , 求得 AP = 6，由线段垂直平分线的性质可得BE = EF , BM = MF.再求得PF = AP + AF =10.最后
BC BE
由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）Q四边形 ABCD是矩形，
\ AD = BC =10,CD = AB = 8, BAD = D = 90°.
由折叠，可得CF = BC =10, EF = BE ．
设 AE = x． 则EF = BE = AB - AE = 8 - x．
在Rt△CDF 中，DF = CF 2 - CD2 = 102 -82 = 6 ，
\ AF = AD - DF =10 - 6 = 4.
在RtVAEF 中， AE 2 + AF 2 = EF 2 ，
即 x2 + 42 = (8 - x)2 ．
解得 x = 3．
\ AE = 3.
（2）EF + MN = CD ． 理由：
由第一步折叠，可得CE垂直平分BF , BE = EF ．
\ BGE = BGM = 90°.
由第二步折叠，可得 EBG = MBG, BN = AB．
\BN = CD.
在VEBG和△MBG中
ì BGE = BGM ,

íBG = BG,

EBG = MBG,
\VEBG≌VMBG(ASA).
\BE = BM .
\EF = BM .
QBM + MN = BN.
\EF + MN = CD.
（3）解：Q四边形 ABCD是矩形，
\ AD∥BC, BAD = D = 90°.
\ P = BCE. PAE = CBE.
\VAPE∽VBCE.
AP AE
\ = ,
BC BE
Q AE = 3.AB = 8.
\BE = AB - AE = 5.
AP 3
\ = ,
10 5
\ AP = 6，
如图，连接MF ．
QCE 垂直平分 BF ．
\BE = EF , BM = MF.
由（2）得BE = BM ．
\BE = EF = BM = MF.
\四边形BEFM 是菱形．
\MF = BE = 5, BE∥MF.
\ PFM =180° - BAD = 90°.
Q AP = 6.AF = 4.
\PF = AP + AF =10.
在Rt△PFM 中PM = PF 2 + MF 2 = 102 + 52 = 5 5 ．
【点睛】本题考查了矩形性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作出正确的辅助线．
8．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点A ， B 的坐标分别是 A 0, 3 和B 1,0 ，连接 AB ，以线段 AB 为
边向右侧作菱形 ABCD，点C 在 x 轴上．
(1)填空：点D的坐标为 ， ABC = 度．
(2)连接 AC ，点E 是线段 AC 上一动点，点F 在 x 轴上，且 DEF = ABC ．过点D作EF 的平行线，过点F
作DE 的平行线，两线相交于点G ．
①求证：四边形DEFG 是菱形；
②当VEFC 是等腰三角形时，直接写出 AE 的长度．
(3)在（2）的条件下，设 AE = t ，四边形DEFG 的面积为S ，求S 关于 t的函数关系式．
【答案】(1) (2, 3) ，120
(2)①见解析；② 3 -1或 3或 3 +1
(3) S = 2 3 - 3t 3+ t 2
2
【分析】（1）利用勾股定理，可求得 AB ，从而知道菱形的边长，从而求得点D，借助
tan OAB OB 1 3 = = = 求得 OAB，从而算得 ABC ；
AO 3 3
（2）①连接 BE ，设 AB 交EF 于点 H ，先利用菱形的性质，求得 DAC = BAC = ACB = 30°，接着利用
外角得到 DEF = 60° + ADE + AHE ，从而推出 BHF + ADE = 60°，接着证明VABE≌VADE ，得到
BE = DE ， ADE = ABE，接着证明 BHF + ADE = 60°，推出 BFG = ABE ，从而知道
EFB = EBF ，EF = BE = ED，借助ED∥FG ，EF∥DG，可得到四边形EFGD是平行四边形，加上邻
边相等，得证；②分成EC = CF ，EF = EC ，EF = FC 三种情况分类讨论，利用等腰三线合一，勾股定理，
30 度所对的直角边等于斜边的一半计算即可得出答案；
3
（3）作DQ ^ AC ，作ER ^ FG，先利用勾股定理，得出ER = EF ，得到
2
S 3 3 2 Rt△ADQ AQ EQ
菱形EFGD = FG × ER = EF × ER = EF EF = EF ，在 中利用勾股定理求得 ，从而表示出 ，2 2
得出ED2 = EQ2 + DQ2 ，从而得到函数关系式．
【详解】（1）解：Q点A ， B 的坐标分别是 A 0, 3 和B 1,0 ，
\OA = 3 ，OB =1，
Q AOB = 90°，
OB 1 3
\ AB = OA2 + OB2 = 2， tan OAB = = = ，AO 3 3
\ AOB = 30°，
\ ABO = 60°，
\ ABC =180° - ABO =120° ，
Q以线段 AB 为边向右侧作菱形 ABCD，
\ AD = AB = BC = 2 ， AD∥BC ，
\D(2, 3) ，
故答案为： (2, 3) ，120；
（2）①证明：连接 BE ，设 AB 交EF 于点 H ，如图所示，
由（1）可知，四边形 ABCD是菱形， ABC =120° ， AB = 2 ， ABO = 60°，
Q四边形 ABCD是菱形， ABC =120° ，
\ AD∥BC ， AD = AB = BC = CD，
BAC BCA 180° - ABC 180° -120°\ DAB = ABO = 60°， = = = = 30°，
2 2
\ DAC = ACB = BAC = 30°，
Q DEF = ABC =120°，
\ DEF = DEC + FEC = DAE + ADE + CAB + AHE = 60° + ADE + AHE ，
\ ADE + AHE = 60°，
\ BHF + ADE = 60°，
在VABE 和VADE 中，
ìAD = AB

í DAC = BAC = 30°，

AE = AE
\△ABE≌△ADE ，
\ BE = DE ， ADE = ABE，
QED∥FG ，EF∥DG，
\四边形EFGD是平行四边形， DEF + EFG = 180°，
Q DEF =120°，
\ EFG = 60°，
Q ABC = BHF + HFB = BHF + EFG + BFG =120°，
\ BHF + BFG =120° - EFG =120° - 60° = 60°，
又\ BHF + ADE = 60°，
\ BFG = ADE ，
\ BFG = ABE ，
Q EFG = ABO = 60°，
\ BFG + EFG = ABE + ABO ，
\ EFB = EBF ，
\EF = EB ，
\EF = ED，
\四边形EFGD是菱形；
②解： 3 -1或 3或 3 +1，理由如下：
当EC = CF 时，点F 在OC 上时，作DM ^ AC 交 AC 于M ，如图，
由①可知， ACB = 30°，OA = 3，∠AOC=90°，
180° - ACB 180° - 30°
\ AC = 2AO = 2 3 ， FEC = EFC = = = 75°，
2 2
\ DEC = DEF - FEC =120° - 75° = 45°，
\VEDM 是等腰直角三角形，
\ EM = DM ，
Q DAM = 30° ， AD = 2，
\DM = EM =1，
\ AM = AD2 - DM 2 = 22 -12 = 3，
\ AE = AM - EM = 3 -1；
当EF = FC ，点F 在BC 的延长线上时，作DN ^ AC ，如图，
Q ACB = 30°，EF = FC ，
\ CEF 1 1= CFE = ACB = 30° =15°，
2 2
Q DEF =120°，
\ DEN =180° - DEF - CEF =180° -120° -15° = 45°，
Q END = 90°，
\DN = NE ，
又Q AD = 2 ， DAC = 30°， AND = 90°
\DN =1，
\ AN = AD2 - DN 2 = 22 -12 = 3，
\ AE = AN + NE = AN + DN = 3 +1；
当EF = EC 时，
QEF = EB ，
\EB = EC ，
\EB = EF = EC ，
Q B 、F 、C 都在 x 轴上，
\ EB和EF 重合，或者EF 和 EC 重合，
QEB = EF ，
\ EBF = ACB = 30°，
\ BEF =120°，
\只能是EF 和 EC 重合，如图所示：
此时VEFC 不存在，故矛盾；
当EF = FC ，如图，
Q ACB = 30°，EF = FC ，
\ CEF = ACB = 30°，
\ EFC =180° - CEF - FCE =180° - 30° - 30° =120°，
\ EFC = ACB ，
\ EF∥AB，
Q DEF =120°，
\ DEC = DEF - FEC =120° - 30° = 90°，
\ AED = 90°，
Q AD = 2 ， DAC = 30°，
∴DE =1，
\ AE = AD2 - DE2 = 22 -12 = 3 ；
综上所述， AE 的长度为 3 -1或 3或 3 +1．
（3）解：作DQ ^ AC ，作ER ^ FG，如图所示：
Q四边形EFGD是菱形，
\ED = EF = EG = DG，
Q AD = 2 ， DAC = 30°，
\ DQ = 1，
\ AQ = AD2 - DQ2 = 3 ，
Q AE = t ，
\EQ = AQ - AE = 3 - t ，
\DE2 = DQ2 + EQ2 =12 + ( 3 - t)2 = 4 - 2 3t + t 2 ，
\EF 2 = DE2 = 4 - 2 3t + t 2，
Q EFG = 60°，
\ FER = 30°，
\FR 1= EF ，
2
\ER = EF 2 - FR2 = EF 2 1 3- EF 2 = EF ，
4 2
S FG ER EF ER EF 3 EF 3 EF 2 3\ EFGD = × = × = = = (4
3
- 2 3t + t 2 ) = 2 3 - 3t + t 2 ．
菱形 2 2 2 2
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角，30 度所对
的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并数形结
合分类讨论是解题的关键．
9．在等边VABC 中，AD ^ BC 于点 D，点 E 是线段 AD 上一点，连接CE，将线段 AE 绕点 A 顺时针旋转60°
到 AF ，连接 BF ．
(1)如图 1， AE = 4 3 ， tan ABF 3= ，求VABC 的面积：
6
(2)如图 2，以CE为边在CE右侧作等边VCEG，延长CG 交FA的延长线于点 H．若 2 ABF = 3 BAD，求证：
AD 1= AH + 2BF ；
2
(3)如图 3，BD = 4DE = 8，点 K 为平面内一动点，连接CK 、EK ，将△CEK 沿CK 所在直线翻折至VABC
所在平面内，得到VCE K ，连接BE ．点 M 是线段BE 的中点，以点 M 为直角顶点，BM 为直角边，在 BM
上方作RtVBMN ，∠MBN = 30°，连接CN ，当线段CN 取最大值时，请直接写出△BCN 的面积．
【答案】(1)81 3
(2)见解析
(3) 64 3 + 8 51
3
【分析】（1）过点 E 作EG ^ AC 于点 G，根据等边三角形的性质得到 CAD = 30°，求出EG = 2 3 ，即可
求出 AG = 6，根据旋转的性质易得 BAF = CAD = 30°, AE = AF ，证明VABF≌VACE SAS ，推出
ABF = ACE，由正切的定义求出CG =12，得到BC = AC =18，利用勾股定理求出 AD = 9 3 ，即可求出
VABC 的面积；
（2）连接FE, BE ，过点 G 作GP ^ AC 于点 P，根据 2 ABF = 3 BAD结合 BAD = 30°，求出
ABF = 45°，同理（1）可得VABF≌VACE ，得到BF = CE ，由等边三角形的性质得到BE = CE ，进而得
到BE = BF ，易证VABF≌VABE SSS ，得到 EBF = 90°，求出EF = 2BF ，证明VAEF 是等边三角形，
得到 AE = EF ，根据等边三角形的性质证明VCED≌VCGP ASA ，得到GP = DE ，
CP = CD 1= BC 1 AC GP CP 1= ，再求出 FAC = 90°，易证VCGP∽VCHA，得到 = = ，得到
2 2 AH AC 2
DE = GP 1= AH ，即可证明结论；
2
（3）在 AD 上取点O，使得 CBO = 30°，连接BO,ON , DM ,CO ，由翻折的性质得到CE = CE 为定值，即
可得到点E 在以C 为圆心，CE长为半径的圆上运动，由BD = 4DE = 8，求出BE = CE = CE = 2 17 ，再证
VBCE DM 1明DM 是 的中位线，得到 = CE = 17, DM P CE ，推出到点M 在以D为圆心，DM 长为半径
2
的圆上运动，证明VBDM∽VBON ，即可得到点 N 在以O为圆心，ON 长为半径的圆上运动，利用相似三角
2 3 2 51
形的性质求出ON = DM = ，结合图形得到当C,O, N 三点共线，且点 O 在线段CN 上时，线段CN
3 3
CN CO ON BO ON 16 3 + 2 51取最大值，此时 最大值为 + = + = ，过点 N 作 NT ^ BC 于点 T，根据垂直平
3
1
分线的性质，求出 BCO = 30°，进而求出 NT = CN 8 3 + 51= ，即可求出此时△BCN 的面积．
2 3
【详解】（1）解：过点 E 作EG ^ AC 于点 G，
∵等边VABC 中， AD ^ BC 于点 D，
∴ CAD = 30°，
∵ AE = 4 3 ，
EG 1∴ = AE = 2 3 ，
2
∴ AG = AE2 + EG2 = 6，
由旋转的性质得 AE = AF , EAF = 60°，
∴ CAE + BAD = BAD + BAF = 60° ，
∴ BAF = CAD = 30°，
∵ AB = AC ，
∴VABF≌VACE SAS ，
∴ ABF = ACE，
∵ tan ABF 3= ，
6
∴ tan ABF tan ACE 3 EG = = = ，
6 CG
∴ CG =12，
∴ BC = AC = AG + CG =18，
CD 1∴ = BC = 9，
2
∴ AD = AC 2 - CD2 = 9 3 ，
1 1
∴VABC 的面积为 BC·AD = 18 9 3 = 81 3 ；
2 2
（2）证明：连接FE, BE ，过点 G 作GP ^ AC 于点 P，
∵ 2 ABF = 3 BAD， BAD = 30°，
∴ 2 ABF = 3 BAD = 90° ，
∴ ABF = 45°，
同理（1）可得VABF≌VACE ，
∴ BF = CE ，
∵等边VABC 中， AD ^ BC 于点 D，
∴ AD 垂直平分BC ，
∴ BE = CE ，
∴ BE = BF ，
由旋转的性质得 AE = AF ，
∵ AB = AB ，
∴VABF≌VABE SSS ，
∴ ABF = ABE = 45°，
∴ EBF = 90°，
∴VBEF 是等腰直角三角形，
∴ EF = 2BF ，
∵ EAF = 60°, AE = AF ，
∴VAEF 是等边三角形，
∴ AE = EF = 2BF ；
∵VCGE,VABC 是等边三角形，
∴ ACB = ECG = 60°，CE = CG，
∴ DCE + ACE = ACE + GCP = 60°，
∴ DCE = GCP ，
∵ CDE = CPG = 90°，
∴VCED≌VCGP ASA ，
CP 1 1∴ GP = DE ， = CD = BC = AC ，
2 2
∵ FAC = FAE + CAD = 90°，
∴ CAH = 90°，
∵ CPG = 90°，
∴ AH P GP ，
∴VCGP∽VCHA，
GP CP 1
∴ = = ，
AH AC 2
∴ DE = GP
1
= AH ，
2
1
∴ AD = DE + AE = AH + 2BF ；
2
（3）解：在 AD 上取点O，使得 CBO = 30°，连接BO,ON , DM ,CO ，
由翻折的性质得到CE = CE 为定值，
∴点E 在以C 为圆心，CE长为半径的圆上运动，
∵ BD = 4DE = 8，
∴ DE = 2，
∴ CE = CE = BE = BD2 + DE2 = 2 17 ，
∵点M , D 分别是BE , BC 的中点，
∴ DM 是VBCE 的中位线，
∴ DM
1
= CE = 17, DM P CE ，
2
∴点M 在以D为圆心，DM 长为半径的圆上运动，
∵ MBN = CBO = 30°，即 CBE + OBE = OBE + OBN ，
∴ CBE = OBN ，
∵ BM cos MBN cos30 3 BD= = ° = , = cos CBO = cos30 3° = ，
BN 2 BO 2
BM BD BM BN
∴ = ，即 = ，
BN BO BD BO
∴VBDM∽VBON ，
∴点 N 在以O为圆心，ON 长为半径的圆上运动，
∴ BD DM 3= = ，
BO ON 2
∴ ON 2 3 DM 2 51= = ，
3 3
当C,O, N 三点共线，且点 O 在线段CN 上时，线段CN 取最大值，
此时CN 最大值为CO ON BO ON 16 3 + 2 51+ = + = ，
3
过点 N 作 NT ^ BC 于点 T，
由（2）知 AD 垂直平分BC ，
∴ OB = OC ，
∴ CBO = BCO = 30°，
∴ NT 1 CN 8 3 + 51= = ，
2 3
∴此时△BCN 1 BC·NT 1 2BD·NT 1 2 8 8 3 + 51 64 3 + 8 51的面积为 = = = ．
2 2 2 3 3
【点睛】本题考查旋转和对称的几何变换，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解
直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握瓜豆原理是解题的关键．
10．综合与实践
【初步感知】如图 1，点 E，F 是YABCD 的对角线BD上两点，且BE = DF ，连接 AE ，CF ．则 AE 与CF
的数量关系是______；
【尝试探索】如图 2，在Rt△ABD 中，E，F 是斜边BD上两个动点，且BE = DF ，连接 AE ， AF ，若
AB = 4，AD = 6 ．求 AE + AF 的最小值；
【拓展应用】如图 3，在YABCD 中（其中CD > BC ），BC = 2, CBD = 60°，点 M，N 为对角线BD上的两
1 1
个动点，连接 AM ，CN ．若BN = DM ，求 AM + CN 的最小值．
2 2
1
【答案】初步感知： AE = CF ；尝试探索： AE + AF 的最小值 2 13；拓展应用： AM + CN 的最小值2
3 3
2
【分析】初步感知：证明VABE≌VCDF SAS 即可；
尝试探索：构造矩形 ABCD，证明VABE≌VCDF SAS ，得到 AE = CF ， AE + AF = CF + AF AC = 2 13 ，
当F 在 AC 上时， AE + AF = AC = 2 13 最小；
拓展应用：取BC 中点Q，过Q作QG ^ BD于G ，QK P BD，取MD 中点F ，过M 作ME = AF ，
ME∥ AF ，连接EF 交QK 于 P ，过A 作 AH ^ PQ于 H ，交BD于O，先证明VADF≌VCBN SAS ，得
CN = AF ，再证明四边形 AMEF ，MNCE 是平行四边形，得到ME = AF = CN ， AM = EF ，
CE∥ BD∥ PQ 1 1，再根据BC 中点Q，得到得到PF = PE = EF = AM ，
2 2
1 AM + CN = PF + AF AP AH 1，当 P 、 F 、 A 三点共线，且 H 与 P 重合时 AM + CN = AP = AH 最小，
2 2
利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出 AH 的长即可．
【详解】解：初步感知：∵YABCD ，
∴ AB = CD， AB∥CD ，
∴ ABD = CDB ，
∵ BE = DF ，
∴VABE≌VCDF SAS ，
∴ AE = CF ；
尝试探索：过 B 作BC ^ AB，过D作DC ^ AD交BC 于C ，连接 AC ，CF ，
∵ Rt△ABD 中， AB = 4，AD = 6 ，斜边BD，
∴ BAD = 90°，BD = AB2 + AD2 = 42 + 62 = 2 13 ，
∴四边形 ABCD为矩形，
∴ AC = BD = 2 13 ， AB = CD， AB∥CD ，
∴ ABD = CDB ，
∵ BE = DF ，
∴VABE≌VCDF SAS ，
∴ AE = CF ；
∴ AE + AF = CF + AF AC = 2 13 ，
∴当F 在 AC 上时， AE + AF = AC = 2 13 最小；
拓展应用：如图，取BC 中点Q，过Q作QG ^ BD于G ，QK P BD，取MD 中点F ，过M 作ME = AF ，
ME∥ AF ，连接EF 交QK 于 P ，过A 作 AH ^ PQ于 H ，交BD于O，连接CE；
1
∵ MD 中点为F ，BN = DM ，
2
BN DF 1∴ = = DM ，
2
∵YABCD ，BC = 2， CBD = 60°，
∴ BC = AD = 2，BC∥DA，
∴ ADB = CBD = 60°，
∵ BN = DF ，
∴VADF≌VCBN SAS ，
∴ CN = AF ， CNB = AFD，
∴ CND = AFB，
∴ CN P AF ；
∵ ME = AF ，ME∥ AF ，
∴ ME = AF = CN ，四边形 AMEF 是平行四边形，
∴ CN P ME ， AM = EF ，
∴四边形MNCE 是平行四边形，
∴ CE∥MN ，
QP∥BD ，
∴ CE∥ BD∥ PQ ，
CQ EP
∴ =BQ PF ，
∵ BC 中点为Q，
∴ CQ = BQ
1
= BC = 1，
2
∴ PF = PE
1
= EF 1= AM ，
2 2
1
∴ AM + CN = PF + AF AP ，
2
∵ AH ^ PQ，
∴ AP AH ，
1
∴当 P 、F 、A 三点共线，且 H 与 P 重合时， AM + CN = AP = AH 最小，
2
∵ QP∥BD ，QG ^ BD， AH ^ PQ，
∴四边形QGOH 为矩形，
∴ QG = OH ， HOD = AOD = 90°，
Rt△BQG中， CBD = 60°，BQ =1，
则 BQG = 30
1 1
° ，BG = BQ = 3，
2 2 QG = OH =
，
2
1
RtVAOD中， ADB = 60°， AD = 2，则 DAO = 30°，OD = AD =1， ，
2 OA = 3
∴ AH OH AO 3 3 3 3= + = + = ，
2 2
1
∴ AM + CN 3 3的最小值为 ．
2 2
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，30°直角三角
形，勾股定理，平行线分线段成比例．
11．如图，VABC 与△CED 均为直角三角形， ABC = ECD = 90°．
(1)如图 1，点 B 与点E 重合，过点 B 作BG ^ AC 于点G ，BD与 AC 相交于点F ，若CD = EC = 2，
DF = 6 - 2 ，求 FBG 的度数．
(2)如图 2，点 E 在 AB 上， AB = CB， EC = CD ，连接 BD，点G 为 AC 的中点，点 H 在 BD上，连接GH 、
CH ， HGC = 45°，请写出 AE 、 AC 、GH 的数量关系并予以证明．
(3)在（2）的条件下，如图 3，点E 为直线 AB 上的动点，点 B 关于直线 EC 的对称点为点K ，点F 为线段BC
1 GK
的中点，连接 AK 、FK 、GK ，当 AK - 2KF 的值最大时，求 的值．2 AC
【答案】(1) FBG =15°
(2) AE 2+ 2GH = AC ，证明见解析
2
(3) 30 + 5
10
【分析】（1）过点 F 作FM ^ CD，由题意可知 BDC = CBD = 45° ，解直角三角形可得
FM
FM = DM = DF ×cos BDC = 3 -1，CM = CD - DM = 3 - 3 ，根据 tan FCM = ，得 FCM = 30°，CM
BCA = 60°，进而可得 GBC = 30°，即可求解；
（2）过点C 作CM ^ AC 交 AB 延长线于M ，连接 AD ，延长CH 交 AD 于 N ，则 ACM = 90°，先证△ACM
为等腰直角三角形，得 AB = BC = BM ，再证VACD≌VMCE SAS ，得 DAC = M = 45°， AD = ME ，再证
AG NH
AN∥GH ，则 = = 1，可知 H 为CN 的中点，则 AN = 2GH ，再证BC∥ADCG CH ，进而可证得
VBCH≌VDNH AAS ，得 BC = DN = BM ，由 AD = ME ，即 AN + DN = BE + BM ，得 AN = BE = 2GH ，则
AB = AE + BE = AE + 2GH ，再结合 AB = AC × cos 45
2
° = AC 即可得结论；
2
CG CK 2
（3）设 AB = BC = 2，连接CK ，由折叠可知，CK = BC = 2，可得 = = ，易知△KCG∽△ACK ，
CK AC 2
CK 2
CK CL
得 = AK ，延长CB 至 L使得CL = 2BC = 4，可得 = = 2 △LCK∽△KCF LK = 2KFCF CK ，易得 ，得 ，可知2
1 AK - 2KF 2 2= AK - 2KF 2= KG - LK 2 1 LG ，即当点K 在 LG 的延长线上时， AK - 2KF2 2 2 2 2 2
取得最大值，连接 AL ，BG ，过点K 作KR ^ AC ，可得△ABL ，△ACL 均等腰直角三角形，求得
tan AGL = tan KGR KR= = 2 GR = a Rt△CKR 2
GR ，设 ，在 中，CR + KR
2 = CK 2，列出方程求得 a，进而求得GK ，
即可求解．
【详解】（1）解：过点 F 作FM ^ CD，
∵ ECD = 90°，CD = EC = 2，
∴ BDC = CBD = 45° ，
∵ DF = 6 - 2 ，
∴ FM = DM = DF ×cos BDC = 6 - 2 2 = 3 -1，2
CM = CD - DM = 3 - 3 ，
则 tan FCM FM 3 -1 3= = = ，
CM 3- 3 3
即 FCM = 30°，
∴ BCA = 60°，
∵过点 B 作BG ^ AC 于点G ，
∴ GBC = 30°，
∴ FBG = 45° - 30° =15°；
（2） AE + 2GH 2= AC ，证明如下：
2
过点C 作CM ^ AC 交 AB 延长线于M ，连接 AD ，延长CH 交 AD 于 N ，则 ACM = 90°，
∵ ABC = 90°， AB = CB，
∴ BAC = BCA = 45°，则 M = 45°，
∴ AC = MC ，则△ACM 为等腰直角三角形，
∴ AB = BC = BM ，
∵ ECD = 90°，则 ECD - ACE = ACM - ACE ，
∴ ACD = MCE ，
又∵ EC = CD ，
∴VACD≌VMCE SAS ，
∴ DAC = M = 45°， AD = ME ，
∵点G 为 AC 的中点，
∴ AG = CG ，
∵ HGC = 45°，即 DAC = HGC = 45°，
AG NH
∴ AN∥GH ，则 = = 1CG CH ，
∴ NH = CH ，则 H 为CN 的中点，
∴ AN = 2GH ，
又∵ DAC = BCA = 45° ，
∴ BC∥AD，
∴ CBH = NDH ， BCH = DNH ，
∴VBCH≌VDNH AAS ，
∴ BC = DN = BM ，
又∵ AD = ME ，即 AN + DN = BE + BM ，
∴ AN = BE = 2GH ，
则 AB = AE + BE = AE + 2GH ，
∵ AB = AC × cos 45 2° = AC ，
2
∴ AE 2+ 2GH = AC ；
2
（3）设 AB = BC = 2，则 AC = 2 2 ， AG = CG = 2 ，
连接CK ，由折叠可知，CK = BC = 2 CG 2 CK 2 2 CG CK，则 = ， = = ，即 =
CK 2 AC 2 2 2 CK AC
，
∵ ACK = KCG ，
∴ KCG ACK KG CG 2△ ∽△ ，则 = = ，
AK CK 2
∴ GK 2= AK ，
2
∵点F 为线段BC 的中点，
∴ BF = CF =1，
延长CB 至 L使得CL = 2BC = 4，
CK
∴ = 2
CL 4 CK CL
， = = 2CF CK 2 ，即
= = 2
CF CK ，
又∵ LCK = KCF ，
∴△LCK∽△KCF ，
LK CK
∴ = = 2KF CF ，
∴ LK = 2KF ，
1 2 2 2 2
∵ AK - 2KF = AK - 2KF = KG - LK LG ，当点K 在 LG 的延长线上时取等号，2 2 2 2 2
1
∴当点K 在 LG 的延长线上时， AK - 2KF 取得最大值，2
连接 AL ，BG ，过点K 作KR ^ AC ，
BG = AG = CG 1= AC = 2
2 ，
∵ BL = AB = 2，则△ABL ，△ACL 均等腰直角三角形，
AL
∴ AL = 2 2 ，则 tan AGL = = 2AG
∵ KR AGL = KGR，即 tan AGL = tan KGR = = 2GR ，
∴设GR = a ，则 KR = 2a，CR = 2 = a，GK = GR2 + KR2 = 5a ，
2
在Rt△CKR
2
中，CR2 + KR2 = CK 2，即 2 - a + 2a = 22，
2 3 + 2
解得： a = （负值舍去），
5
∴ GK 5a 2 15 + 10= = ，
5
2 15 + 10
∴ GK 5 30 + 5= = ．
AC 2 2 10
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，
解直角三角形等知识点，添加辅助线构造相似三角形和全等三角形是解决问题的关键．
12．【问题探究】
（1）如图 1，在矩形 ABCD中， AB = 12, AD = 9 ，点E 为 AB 左侧一动点，连接 AE、BE, AF ^ BE 于点
F , AE = 2EF ，点G 为矩形 ABCD内一点，连接 AG、BG、CG、DG, AGB + AEB =180°，求VCDG 面积
的最小值；
【问题解决】
（2）如图 2，直线 l为一条笔直小路，矩形种植地 ABCD的边CD在直线 l上，且BC = 2AB = 80米，赵叔叔
计划对这块种植地重新进行规划利用，在边BC 和点C 上方的小路 l上分别取点E、F ，使得CF = 2BE ，沿
AE、BF 修建两条通道（记通道 AE 与 BF 的交点为G ），并在 BF 上取点 N ，沿CN 修建第三条通道，使得
CN∥AE ，在△BCN 的内心 P 处修建一个观赏台，并在△ ADP 内种植某种新品种作物，根据赵叔叔的规划要
求，观赏台 P 到 A、D两点的距离相等，请你计算此时△ ADP 的面积．
【答案】（1）54 -12 3 ；（2） 3200 -1600 2 平方米
【分析】（1）作VABG 的外接圆eO ，连接OA、OB，则点G 为矩形 ABCD内eO 上的动点，且
AGB =120°，要使VCDG 的面积最小，只需CD边上的高最小．取 AB 的中点M ，连接OM 并延长，分别
交劣弧 AB 和CD于点G 和 N ，连接CG 、DG ，再求解即可；
（2）由四边形 ABCD是矩形可得 ABE = BCF = 90°．连接PB、PC ，如图 2，则BP平分 CBN ,CP平分
BCN ，可得 CBP + BCP = 45°，作VBCP 的外接圆eO ，连接OB、OC ，则点 P 为矩形 ABCD内eO 上
的动点，且 BPC =135° ， BOC = 2 180° - BPC = 90°, 取BC 的中点M ，连接OM 并延长，分别交劣弧B C
和 AD 于点P 和T ，连接 AP 、DP ，再求解即可．
【详解】解：（1）Q AF ^ BE 于点F , AE = 2EF ,
\ AEB = 60°，
Q AGB + AEB =180°,
\ AGB =120°，
作VABG 的外接圆eO ，连接OA、OB，如图 1，
则点G 为矩形 ABCD内eO 上的动点，且 AGB =120°，
\ AOB = 2 180° - AGB =120°,
\ OAB = OBA = 30°，
Q四边形 ABCD为矩形，
\CD∥AB,CD = AB =12，
\要使VCDG 的面积最小，只需CD边上的高最小．
取 AB 的中点M ，连接OM 并延长，分别交劣弧 AB 和CD于点G 和 N ，
连接CG 、DG ，如图 1．
QM 为 AB 的中点，
\OM ^ AB,
\ON ^ CD ，
\MN = AD = 9, AM 1= AB = 6,
2
\OM = 2 3,OG = OA = 4 3，
\MG = OG - OM = 2 3,
\G N = MN - MG = 9 - 2 3 ，
易得当点G 与点G 重合时，点G 到CD的距离最小，
即VCDG 中CD边上的高最小，最小值为G N = 9 - 2 3 ，
\VCDG 1面积的最小值为 12
2 9 - 2 3 = 54 -12 3．
（2）Q四边形 ABCD是矩形，
\ ABE = BCF = 90°．
QBC = 2AB,CF = 2BE,
\VABE ~VBCF ,
\ BAE = CBF ，
Q CBF + ABG = 90°,
\ BAE + ABG = 90°,
\ AGB = 90°，
QCN∥AE,
\ BNC = BGE = AGB = 90°，
连接PB、PC ，如图 2，则BP平分 CBN ,CP平分 BCN ，
\ CBP + BCP 1= CBN 1+ BCN = 180° - 90° = 45°，
2 2
\ BPC =180° - CBP + BCP =135°．
作VBCP 的外接圆eO ，连接OB、OC ，如图 2，
则点 P 为矩形 ABCD内eO 上的动点，且 BPC =135° ，\ BOC = 2 180° - BPC = 90°,
\ OBC = OCB = 45°，
取BC 的中点M ，连接OM 并延长，分别交劣弧B C 和 AD 于点P 和T ，连接 AP 、DP ，如图 2．
由OB = OC, BM = CM 可得OM 垂直平分BC ，
\OT 垂直平分 AD,
\ AP = DP ，
\根据赵叔叔的规划要求，点 P 应在点P 的位置．
Q四边形 ABCD为矩形，
\ AD∥BC, AD = BC = 80 米，
又Q OM 垂直平分BC,OT 垂直平分 AD, OBC = OCB = 45°，
\MT = AB 40 1= 米，BM = BC = 40米，
2
\OM = 40 米，OP = OB = 40 2 米，
\MP = OP - OM = 40 2 - 40 米，
\P T = MT - MP = 80 - 40 2 米．
S 1\ VADP = 80 80 - 40 22 = 3200 -1600 2 （平方米），
即此时△ ADP 的面积为 3200 -1600 2 平方米．
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的有关性质，最短线段问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关
键是熟练掌握矩形的性质，圆的有关性质，垂线段最短．
13．综合与探究
问题情境
如图 1，在正方形 ABCD中， AB = 2 ，点 E 为线段BC 上的一个动点，连接 AE ，以 AE 为边，在 AE 右上方
作正方形 AEFG ，连接DG ．
探索发现
（1）猜想 BE 与DG 的数量关系，并说明理由．
猜想证明
（2）如图 2，在图 1 的基础上连接BD，EG 交于点 H，连接 AH ．猜想△AEH 的形状，并说明理由．
拓展延伸
（3）若点 E 为射线BC 上的一个动点，连接EG 与射线BD交于点 H，连接CF ，其他条件不变．当点 H 落
在 ECF 的平分线上时，请直接写出 S△BEH : S△ECF 的值．
【答案】（1）BE = DG 2 +1，理由见解析；（2）△AEH猜押 07 第 23 题 几何综合（压轴大题）
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
核心考点：1.特殊四边形
（矩形、菱形）性质 2.全
2024 年第 23 题（矩形 等/相似三角形判定与性质 命题规律：1.以“问题背景→
中点与相似三角形综 3.直角三角形斜边中线定 探究→拓展”分层设问，体现
合）2023 年第 23 题（菱 理 4.勾股定理与代数运算 思维梯度 2.高频考点：中点
几何综合
形与等腰三角形综合） 结合 相关性质、相似三角形、直 困难
压轴
2022 年第 23 题（三角 能力要求：-复杂几何图形 角三角形 3.2025 年可能结合
形中点与相似三角形综 的分解与重构-辅助线添 其他知识点或新定义问题创
合） 加策略（中点、垂线、平 新题型
行线）-多知识点综合推理
能力
题型一 几何综合压轴
1．（2025·湖北武汉·一模）如图，BD是四边形 ABCD的对角线，已知 ABC = ADC = 90°．
(1)如图 1，点E 在BC 的延长线上，若 BDE = 90°，求证：△ADB∽△CDE ；
(2)如图 2，若 ABD = 60°，求证： AB + 3BC = 2BD；
(3)如图 3，若DA = DB ， tan DBC = k ，直接写出 tan BDC 的值（用含 k 的式子表示）．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景 如图（1），在矩形 ABCD中，E 为 DC 上一点，F 为 BC 上一点，
且 AE ^ EF ，求证：△ADE∽△ECF ．
问题探究 如图（2），以 AE 为边作等边△AEG ，G 点在CB 的延长线上，当EF：GF = 2：7的时候，求△GEF
与VAGE 的面积之比．
问题拓展 如图（3），G 在BC 的延长线上，连接EG ，当 EGC = EFA = 60°，EC 3= 3 ，FG = 4 时直2
接写出 AG 的长度．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题提出
DE AE
（1）如图（1），在VABC 中，DE∥BC ，且DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，则 ____ ．（填“>”“<”
BC AC
或“=”）．FH·BG = FG·BC
问题探究
（2）如图（2），BD是VABC 的角平分线，过点 D 作DE∥ AB 交BC 于点 E，求证：DE·AC = AD·BC ．
问题拓展
（3）如图（3），在菱形 ABCD中， ADC = 60°，点 G 在射线CD上，且CG = 3BC ．连接BG 交 AC 于点
F，过点 F 作CD∥FH 3 13交BC 于点 H，若FH × BG = 3 13,FG = ，求BG 的长．
2
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题背景：在直角三角形 ABC 中， C = 90°，D为 AC 上一点．
(1)如图1，过点D作DE ^ AB于E ，求证： AD × AC = AE × AB ；
(2)如图 2，在（1）的条件下，将VADE 绕A 点逆时针旋转，连接 DB，CE，取 BD的中点M ，连接CM ，
AB CM
求证： = ．
2AC CE
(3)如图3，BD平分 ABC ， AC = 4，BC = 3，点E 为BC 上一点，点C 关于 AE 的对称点为C ，若点C
恰好落在BD上，直接写出BC 的长度是_____．
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）在矩形 ABCD中，BC = kAB，点E 是CD边上不与端点C 、D重
合的动点，CH ^ BE 于 H ，
【课本再现】（1）如图（1）当 k =1时，CH 交线段 AD 于点F ，求证：VBCE≌VCDF ；
GH
【类比迁移】（2）如图（2）在（1）的条件下，CH 交线段BD于点G ，若点E 是CD的中点，求 的值；
CH
【拓展延伸】（3）如图（3）若DE = kCE ，直接写出 tan HDE 的值_____（结果用含有 k 的式子表示）．
6．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题提出 如图 1，VABC 是等边三角形，点 D 是BC 边上一点
（点 D 不与端点重合），BD < CD，点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E，连接 AD, DE ．在直线 AD 上取一点
F，使 EFD = BAC ，直线EF 与直线 AC 交于点 G．探究线段CG 与DE 之间的数量关系．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图 2，当点 D 为BC 的中点时，点 A、F、G 重合，直接写出此时CG 与 BE 的数量
关系为_________；线段CG 与DE 的数量关系为________；
（2）再探究一般情形，如图 1，求线段CG 与DE 的数量关系；
延伸应用
3 3 3（ ）如图 3，EG 与 AB 交于点 H， tan ADC = ， AH = 6，直接写出CD的长为_________．
2
7．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）将正方形 ABCD的边 AD ，绕着点D顺时针旋转至DE ，连接 AE ．
(1)如图 1，连接CE，若 ADE = 60°，则 AEC = ___________．
(2)如图 2，VADE 与VCBF 关于正方形 ABCD的中心对称（其中点 A, D的对称点分别是点C, B)，连接 AF ，
过点 B 作BG∥ AF 交EA的延长线于点G ，连接DG ．
①求 AGD的度数；
②若 AG = 3 2, BG =1，请直接写出 AF 的长．
8．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图 1，在等腰Rt△ABC
中， BAC = 90°，点 E 在BC 边上，以CE为边作正方形CEFD，点 F 在 AC 边上，连接 BF ，点 P 为线段 BF
的中点，连接 AP，EP．以点 P 为对称中心，画出!PEF 关于点 P 对称的图形，并直接写出 AP 与PE的位
置及大小关系_____；
（2）【类比探究】在等边VABC 中，D、E 分别是 AC、BC 边上一点，且CD = CE ，以CE、CD为邻边作菱
形CEFD，再将菱形CEFD绕 C 点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形CE F D如图 2，连接BF ，点 P 为
线段BF 的中点，连接 AP 、PE ，判断 AP 与PE 的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若 AC = 4，CE = 1，菱形CEFD在旋转过程中，当 AP 最小时，直接写
出 S△ABP 的值_________．
9．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）在VABC 和VDEC 中， ACB = DCE = 90°， AC = BC ，CD = CE ，
连BD，F ，G 分别为 AB ，BD的中点， H 为DE 中点，连GH ，GF ．
(1)如图 1，求证：VADC ≌VBEC ；
(2)如图 1，探究线段GH ，GF 间的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)当CD = 2 ，CA = 10 ，VDEC 绕点C 旋转过程中，若A ，D，E 三点在同一条直线上，请画出旋转后
的对应图形，并直接写出C ，G 两点的距离．
10．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）在 RtVABC 中， ACB = 90°, D 是 AB 的中点，过点D作DE ^ CD 交
CA的延长线于点E ．
(1)如图 1，若 B = 30°, BC = 3，请直接写出 AE 的长；
(2)如图 2， AC < BC ，线段 AE, EC, BC 存在怎样的数量关系？给出你的结论并加以证明；
(3)若 AE + BC = 17, AE < BC, SVADE = 15，请直接写出DE 的长．
题型二 几何综合新考向、新情境、文化背景
1．在正方形 ABCD中，点E 为CD边上一点，连接 AE ，将△AED 沿 AE 翻折得到△AEF ，连接 BF 并延长
交CD于点G ．
(1)如图 1，若 AF = BF ，直接写出EG 和 FG 的数量关系和 EGF 的度数．
AB
(2)如图 2，若F 为BG 的中点，求 的值．
AE
DE 2
(3)如图 3，连接CF 并延长交 AE 于点 H ，若 = ，
CG 3 FH = 3 5
，直接写出 AB 的长．
2．如图①，在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 8，BC = 6，点 D 和点 E 分别在边 AC 和 AB 上，连接
DE ，将VABC 沿DE 折叠，使点 A 落在直线BC 上的点 G 处．
(1)如图②，若EG∥ AC ，求证：四边形 ADGE 是菱形；
(2)如图③，当点 G 落在线段BC 的延长线上，且CG = 2 时，直接写出线段 AE 的长；
(3)如图④，四边形BCDE 中， DEB = DCB = 90°，CE = BE = 5，对角线CE与BD交于点 F，
sin DCE 3= ，求线段CF 的长．
5
3．在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ．D是边 AB 上的动点（不与点 A， B 重合），连接CD．在CD上
任取一点E ，将线段CE绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ．延长FE交 AC 于点G ．
(1)如图 1，当点F 在边 AB 上时，求证： CGF = BCD；
(2)如图 2，当点F 在VABC 内时，作点C 关于直线 AB 的对称点 H ，连接FH ．取FH 的中点M ，连接
BE，BM，BH ．用等式表示线段 BE 与 BM 的数量关系，并证明．
4．如图，在YABCD 中， B = 45°， AD = 2AB，点 P 在线段BC 上运动， AP 绕点A 逆时针旋转90°得到
线段 AE ，连接PE、 AC 、CE．
(1)求证：当 BAP = 45°时，四边形 APCE 是正方形；
(2)若 AB = 4，eO 为△ACE的外接圆，设eO 的面积为S ．
①求S 的取值范围（结果保留 π）；
②连接DE ，直线DE 能否与eO 相切，如果能，求BP的长度；如果不能，请说明理由．
5．问题提出
1
（1）如图①，在等边三角形 ABC 中， AE = CD = BC = 2，点F 为BC 上一动点，求EF + DF 的最小值；
3
问题解决
（2）如图②，某市计划将四边形 ABCD修建为一个批发市场，其中 E 为该批发市场的车辆入口，VBCG 为
货物零售区域，现需在 AD 边上的点 F 处设置一个快递分类装车点，并修建车道EF , FG用来运送货物．已
知 ABC = 60°, BCD = ADC = 90°, ABG + DCG = 90°, AB = BC = 300 3m,CE = DE ．为节约成本，需将
车道EF , FG修建的尽可能短，则EF + FG 的值是否存在最小值？若存在，求EF + FG 的最小值；若不存在，
请说明理由．（结果保留根号）
6．如图，将正方形 ABCD沿 AB 方向平移得到正方形EFGH ，其中点A 的对应点E 在线段 AB 上运动，连
接BD，交EG 于点M ，交EH 于点 N ，交 AH 于点K ，连接 AM ，HM ．
(1)直接写出 AE 和 NH 的数量关系；
(2)判断 AH 和 AM 的数量关系，并说明理由；
(3)设VAKD的面积为 S1，△KHM 的面积为 S2，△AEM 的面积为 S3 ．
①若正方形 ABCD的边长为 4，当点E 运动到何处时， S3 取得最大值？求出 S3 的最大值；
②求证： S1 - S2 = S3 ．
7．综合与探究
在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动．
实践操作：
如图，在矩形纸片 ABCD中， AB = 8, BC =10，
第一步：如图 1，将矩形纸片 ABCD沿 过点C 的直线折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，得到折痕CE，
然后把纸片展平．
第二步：如图 2，再将矩形纸片沿 BF 折叠，此时点A 恰好落在CF 上 的点 N 处，BF , BN 分别与CE交于点
G,M ， 然后展平． 问题解决：
（1）求 AE 的长．
（2）判断EF , MN 与CD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图 3，延长CE, DA相交于点 P ， 请直接写出PM 的长．
8．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点A ， B 的坐标分别是 A 0, 3 和B 1,0 ，连接 AB ，以线段 AB 为
边向右侧作菱形 ABCD，点C 在 x 轴上．
(1)填空：点D的坐标为 ， ABC = 度．
(2)连接 AC ，点E 是线段 AC 上一动点，点F 在 x 轴上，且 DEF = ABC ．过点D作EF 的平行线，过点F
作DE 的平行线，两线相交于点G ．
①求证：四边形DEFG 是菱形；
②当VEFC 是等腰三角形时，直接写出 AE 的长度．
(3)在（2）的条件下，设 AE = t ，四边形DEFG 的面积为S ，求S 关于 t的函数关系式．
9．在等边VABC 中，AD ^ BC 于点 D，点 E 是线段 AD 上一点，连接CE，将线段 AE 绕点 A 顺时针旋转60°
到 AF ，连接 BF ．
(1)如图 1， AE = 4 3 ， tan ABF 3= ，求VABC 的面积：
6
(2)如图 2，以CE为边在CE右侧作等边VCEG，延长CG 交FA的延长线于点 H．若 2 ABF = 3 BAD，求证：
AD 1= AH + 2BF ；
2
(3)如图 3，BD = 4DE = 8，点 K 为平面内一动点，连接CK 、EK ，将△CEK 沿CK 所在直线翻折至VABC
所在平面内，得到VCE K ，连接BE ．点 M 是线段BE 的中点，以点 M 为直角顶点，BM 为直角边，在 BM
上方作RtVBMN ，∠MBN = 30°，连接CN ，当线段CN 取最大值时，请直接写出△BCN 的面积．
10．综合与实践
【初步感知】如图 1，点 E，F 是YABCD 的对角线BD上两点，且BE = DF ，连接 AE ，CF ．则 AE 与CF
的数量关系是______；
【尝试探索】如图 2，在Rt△ABD 中，E，F 是斜边BD上两个动点，且BE = DF ，连接 AE ， AF ，若
AB = 4，AD = 6 ．求 AE + AF 的最小值；
【拓展应用】如图 3，在YABCD 中（其中CD > BC ），BC = 2, CBD = 60°，点 M，N 为对角线BD上的两
1 1
个动点，连接 AM ，CN ．若BN = DM ，求 AM + CN 的最小值．
2 2
11．如图，VABC 与△CED 均为直角三角形， ABC = ECD = 90°．
(1)如图 1，点 B 与点E 重合，过点 B 作BG ^ AC 于点G ，BD与 AC 相交于点F ，若CD = EC = 2，
DF = 6 - 2 ，求 FBG 的度数．
(2)如图 2，点 E 在 AB 上， AB = CB， EC = CD ，连接 BD，点G 为 AC 的中点，点 H 在 BD上，连接GH 、
CH ， HGC = 45°，请写出 AE 、 AC 、GH 的数量关系并予以证明．
(3)在（2）的条件下，如图 3，点E 为直线 AB 上的动点，点 B 关于直线 EC 的对称点为点K ，点F 为线段BC
1 GK
的中点，连接 AK 、FK 、GK ，当 AK - 2KF 的值最大时，求 的值．2 AC
12．【问题探究】
（1）如图 1，在矩形 ABCD中， AB = 12, AD = 9 ，点E 为 AB 左侧一动点，连接 AE、BE, AF ^ BE 于点
F , AE = 2EF ，点G 为矩形 ABCD内一点，连接 AG、BG、CG、DG, AGB + AEB =180°，求VCDG 面积
的最小值；
【问题解决】
（2）如图 2，直线 l为一条笔直小路，矩形种植地 ABCD的边CD在直线 l上，且BC = 2AB = 80米，赵叔叔
计划对这块种植地重新进行规划利用，在边BC 和点C 上方的小路 l上分别取点E、F ，使得CF = 2BE ，沿
AE、BF 修建两条通道（记通道 AE 与 BF 的交点为G ），并在 BF 上取点 N ，沿CN 修建第三条通道，使得
CN∥AE ，在△BCN 的内心 P 处修建一个观赏台，并在△ ADP 内种植某种新品种作物，根据赵叔叔的规划要
求，观赏台 P 到 A、D两点的距离相等，请你计算此时△ ADP 的面积．
13．综合与探究
问题情境
如图 1，在正方形 ABCD中， AB = 2 ，点 E 为线段BC 上的一个动点，连接 AE ，以 AE 为边，在 AE 右上方
作正方形 AEFG ，连接DG ．
探索发现
（1）猜想 BE 与DG 的数量关系，并说明理由．
猜想证明
（2）如图 2，在图 1 的基础上连接BD，EG 交于点 H，连接 AH ．猜想△AEH 的形状，并说明理由．
拓展延伸
（3）若点 E 为射线BC 上的一个动点，连接EG 与射线BD交于点 H，连接CF ，其他条件不变．当点 H 落
在 ECF 的平分线上时，请直接写出 S△BEH : S△ECF 的值．
14．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC 中， A = 90°,BC = 10，则点 A 到BC 的最大距离为_______；
问题探究
（2）如图②，在矩形 ABCD中， AB = 2, BC = 4，E 是BC 上一动点，连接 AE、DE，求， AE + DE 的最小
值；
问题解决
（3）如图③，矩形 ABCD的四边是某市产业新区的外环路，CE、BF、CH、CG 分别是四条贯穿路．已知
BE = 4km,CE = 8km,CG ^ BF , HCG = 30°，I、J 分别是线段BE、CE 上一点，连接HI、IJ、JH ．现计划
在三角形区域HIJ 处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要VHIJ 的周长尽可能小，请问VHIJ 的周
长是否存在最小值？若存在，请求出VHIJ 周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
15．【问题提出】
（1）如图①，已知点 A 是直线 l 外一点，点 B，C 均在直线 l 上，AD ^ l 于点 D 且 AD = 4, BAC = 45°．求
BC 的最小值；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形 ABCD中， A = 45°, B = D = 90°,CB = CD = 2，点 E，F 分别为 AB, AD上的点，
且CE ^ CF ，求四边形 AECF 面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某园林对一块矩形花圃 ABCD进行区域划分，点 K 为BC 的中点，点 M，N 分别为 AB, DC
上的点，且 MKN =120°, MK , KN 将花圃分为三个区域．已知 AB = 7m,BC =12m ，现计划在△BMK 和
△CNK 中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．
16．【问题探究】
（1）如图①，在VABC 中， AB = AC ， B = 40°，点D是BC 上的一动点，连接 AD ，将△ABD 绕点A 逆
时针旋转得到△ACE，当 AE 的值最小时，求 CAE 的度数；
【问题解决】
（2）如图②，四边形 ABCD是一个工厂的平面示意图， AD =1000m， AD∥BC ，CD ^ BC ，连接BD，
BD =1600m ，BD平分 ABC ，点E 是BD的中点，点F 是BC 上一动点，在F 处修建一个员工休息处，连
接EF ，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，按规划在G 处修建一个废品处理站，MN 是一条产品加
1
工线，其中点M 在 AB 上，点 N 是四边形 ABCD内一动点，MB = MN = AB，为方便回收废品，现要沿 NG
4
安装一条自动运输带．为节约成本，要使自动运输带 NG 的长尽可能的小，自动运输带 NG 的长是否存在最
小值，若存在，请求出 NG 的最小值，若不存在，请说明理由．
17．综合与实践
问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图 1，已知平行四边形
ABCD， AB∥CD, AD∥BC, C < 90°，将平行四边形 ABCD沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 边上
的点 E 处，折痕与BC 交于点 F．
初步探究：
（1）判断四边形CDEF 的形状，并说明理由；
深入探究：如图 2，取线段DF 边上的一点 O（不含点 D，F），过点 O 作BC 边的垂线分别与 AD, BC 交于
点 I，J，将平行四边形 ABCD沿直线 IJ 折叠，使点 C 落在BC 边上的点 H 处，使点 D 落在 AD 边上的点 G
处，连接GH ．
（2）若随着点 O 的运动，GH 与DF 始终保持平行，请求 C 的度数；
（3）在（2）的条件下，如图 3，若CD = 6，GH 与EF 交于点 M，连接OM ,OC ，当 MOC = 90°时，请直
接写出 ID的值．
18．在一个工厂的车间里，工人正在处理一块矩形的金属板 ABCD，用于制作零件．金属板的长 AD = 5米，
宽 AB = 2 米．工人在 AD 边上确定了一个点 P，使得 AP =1米．
(1)为了保证后续切割操作时的准确性，工人连接 PB和PC ，并将 BPC 绕点 P 逆时针旋转一定角度进行加
工．旋转后 PB与金属板的边BC 相交于点 E，PC 与金属板的边CD所在的直线相交于点 F，如图 1 所示．由
于零件的尺寸和形状有特定要求，为了合理规划切割和拼接方案，请你帮工人探究 BE 和CF 之间的数量关
系．
(2)为了进一步组装零件，工人以PE、PF 为边构造矩形PEQF ，如图 2，在组装过程中发现，当VPDQ的
周长最小时，最省材料，求此时 tan PQC 的值．
EG
19．（1） 如图 1， 在VABC 中， D 是BC 上一点，EF∥BC 交 AD 于点 G，则 = （用图中已有线段GF
表示）
（2） 如图 2，在VABC 中， M、N 是 AB 上的两点， 且满足BN = NM = MA， 在BC 上取一点 D， 过点
QD
D 作DP∥ AC 分别交 CM 的延长线、CN 于点 P、Q，求 QP 的值：
（3） 如图 3， 在正方形 ABCD中， 点 E 是BC 上一点， 连接 AE 交BD于点 F， 在 AF 上取一点 P，
使得 BPD =135° PD 10， 若 = , AD = 5, 求 BE 的长．
PB 2
20．综合与实践
如图 1，在YABCD 中，点E, F 分别在直线 AB 和 AD 上，直线CE, BF 相交于点G, FGC = DAB，某数学
兴趣小组在探究CE, BF , AB, AD 四条线段的比例关系时，经历了如下过程：
【特例感知】
（1）①如图 2，当 A = 90°, AB = AD 时，若EC = 5 ，则BF = ；
AB 3 BF
②如图 3，当 A = 90°时，若 = ，则 = ．
AD 2 CE
【猜想证明】
（2）猜想BF ,CE, AB, AD 四条线段的比例关系，并结合图 1 进行证明．（备注：从图 1 中的①或②选择一
个证明即可）
【拓展应用】
（3）如图 4，在四边形 ABCD中，对角线 AC, BD 相交于点E, BAD = 90°, ABC = AED = 60°, AB = 6，
BD 3
若 = ，试求边BC 的长．
AC 2
附加中考真题
1．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形 ABCD中，点 E ， F 分别是 AB ， BC 的中点，
连接BD，EF ，求证：△BCD∽△FBE ．
问题探究：如图（2），在四边形 ABCD中， AD∥BC ， BCD = 90°，点 E 是 AB 的中点，点 F 在边 BC 上，
AD = 2CF ，EF 与BD交于点G ，求证：BG = FG．
EG
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 AG ， AD = CD ， AG = FG ，直接写出 的值．
GF
2．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），E 是菱形 ABCD边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，
AE = EF ， AEF = ABC = a a 90° , AF 交CD于点G ，探究 GCF 与a 的数量关系．
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当a = 90°时，直接写出 GCF 的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求 GCF 与a 的数量关系．
问题拓展：
DG 1 BE
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当a = 120°时，若 = ，求 的值．
CG 2 CE
3．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），VABC 中， AB = AC ，D是 AC 的中点，延长BC 至
AF
点E ，使DE = DB，延长ED交 AB 于点F ，探究 的值．
AB
AF
(1)先将问题特殊化．如图（2），当 BAC = 60°时，直接写出 的值；
AB
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
CG 1
问题拓展：如图（3），在VABC 中， AB = AC ，D是 AC 的中点，G 是边BC 上一点， = n < 2 ，延
BC n
AF
长BC 至点E ，使DE = DG ，延长ED交 AB 于点F ．直接写出 的值（用含 n 的式子表示）．
AB

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