资源简介

抢分秘籍 05 利用分类讨论解决中考数学多解题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】几何位置多解 【题型二】代数分类讨论
【题型三】 图形运动多解 【题型四】函数图像多解
：中考数学多解题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考
生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，几何位置（点/三角形/圆）、代数含参、函数图像、图形运动为高频多解考点是考
查的重点，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，选择填空易漏解，解答题中分类讨论、动态几何、存在性问题必考多解，分值 8 分
左右，着实不少！
：圈画“不确定”条件（如动点、参数），分类时按标准（如位置、符号）穷举，总结典
型多解模型（如等腰三角形、相似对应关系）。
【题型一】几何位置多解
【例 1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）在VABC 中， AC =12，BC = 6， ACB = 90°．以 AB 为斜边作等腰直
角三角形 ABD，连接CD，则CD的长为 ．
【答案】3 2或9 2
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、判断确定圆的条件、用勾股定理解三角形、圆周角定理
【分析】如图，由△ABD ，△ABD 都为等腰直角三角形，证明四边形 ADBD 是正方形，连接DD ，交 AB
于O，连接OC ，过D作DE ^ BC 于E ，过D作DH ^ AC 于 H ，证明 A, D,C, B, D 在以O为圆心，OA为半
径的圆上；四边形DHCE为正方形，证明△ADH ≌△BDE ，可得CH = 3 = CE = DH = DE ，求解
2
CD = 32 + 32 = 3 2 ，再进一步 AB = 62 +122 = 6 5 ， DCD = 90°，可得CD = 6 5 - 3 2 2 = 9 2 ，
从而可得答案；
【详解】解：如图，∵△ABD ，△ABD 都为等腰直角三角形，
∴ AD = BD = AD = BD ， ADB = 90° = AD B ， ABD = DAB = 45°，
∴四边形 ADBD 是正方形，
连接DD ，交 AB 于O，连接OC ，过D作DE ^ BC 于E ，过D作DH ^ AC 于 H ，
∴ OA = OB = OD = OD = OC ， ECH =180° - ACB = 90°，
∴四边形DHCE为矩形，
∴ A, D,C, B, D 在以O为圆心，OA为半径的圆上；
∴ ACD = ABD = 45°， ECD = 90° - 45° = 45° = ACD ，
∴ DE = DH ，
∴四边形DHCE为正方形，
∴ CH = CE，
∵ AD = BD ， AHD = BED = 90°，
∴△ADH ≌△BDE ，
∴ AH = BE ，
∴ AC - CH = BC + CE ，即12 - CH = 6 + CH ，
∴ CH = 3 = CE = DH = DE ，
∴ CD = 32 + 32 = 3 2 ，
∵ AC =12，BC = 6， ACB = 90°，
∴ AB = 62 +122 = 6 5 ，
∵四边形 ADBD 是正方形，
∴ DD = AB = 6 5 ，
∵ DD 为直径，
∴ DCD = 90°，
2 2
∴ CD = 6 5 - 3 2 = 9 2 ，
综上：CD的长为3 2或9 2 ；
故答案为：3 2或9 2 .
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角
定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键.
几何位置多解：点在线段/延长线、三角形形状（锐角/钝角）、高的内外、圆中弦的同侧/异侧、全等/相似
对应关系不明确等。
【例 2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正方形 ABCD中，点E 在边CD上，DE = 3，EC =1 .点F 是正方形
边上一点，BF = AE ，则FC = .
【答案】3 或 17
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，由正方形的性质得出BC = AB = AD = CD = DE + EC = 4，
BAD = C = D = 90°，由勾股定理求出 AE ；分两种情况：①当点 F 在 AD 边上时，由勾股定理求出
AF ，得出DF ，再由勾股定理求出 FC 即可；②当点 F 在CD边上时，由勾股定理求出 FC 即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ BC = AB = AD = CD = DE + EC = 4， BAD = C = D = 90°，，
∴ AE = AD2 + DE2 = 42 + 32 = 5，
分两种情况：
①当点 F 在 AD 边上时，如图 1 所示：
∵ BF = AE = 5，
∴ AF = BF 2 - AB2 = 52 - 42 = 3，
∴ DF = AD - AF =1，
∴ FC = CD2 + DF 2 = 42 +12 = 17 ；
②当点 F 在CD边上时，如图 2 所示：
∵ BF = AE = 5，
∴ FC = BF 2 - BC 2 = 52 - 42 = 3；
综上所述： FC 的长为 3 或 17 ；
故答案为：3 或 17 ．
【变式 1】（2025·河南周口·一模）在四边形 ABCD中， AB = 3 ， B = 30°， D = 60°， AC 为其对角线，
且CA ^ BA．若四边形 ABCD满足有一组对边平行，则CD的长为 ．
3
【答案】 或 1
3
【知识点】等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、含 30 度角的直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，
分 AD∥BC 和 AD∥BC 两种情况讨论即可．
【详解】解∶当 AD∥BC 时，如图，
∵ CA ^ BA， AB = 3 ， B = 30°，
∴ AC = AB × tan B = 3 tan 30 3° = 3 = 1，
3
∵ AD∥BC ，
∴ CD ^ AC ，
AC 1 1 3
∴ CD = = = =tan D tan 60 ；° 3 3
当 AD∥BC 时，如图，
∵ CA ^ BA， B = 30°，
∴ ACD = 60°，
∵ AD∥BC ，
∴ CAD = ACD = 60°，
又 D = 60°，
∴VACD是等边三角形，
∴ CD = AC =1，
3
综上，CD的长为 或 1，
3
3
故答案为： 或 1．
3
【变式 2】（2025·河南信阳·一模）在矩形 ABCD中， AB = 4，取CD的中点M ，连接 AM ， BM ，取 BM 的
中点 N ，连接 AN ，当VAMN 为直角三角形时， AN 的长为 ．
【答案】 10 或 2 3
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；①当 ANM = 90°时，由矩形的
AB BN
性质及相似三角形的判定方法得VBAN∽VMBC ，由相似三角形的性质得 = ，结合勾股定理，即可
BM MC
BC CM
求解；②当 AMN =90°时，同理可证 VBCM∽MDA，由相似三角形的性质得 = ，结合勾股定理，
MD DA
即可求解； ③由 MAN < 90°， MAN = 90°，此种情况不存在；掌握矩形的性质，相似三角形的判定及
性质，能熟练利用勾股定理求解，并能按直角顶点的不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①当 ANM = 90°时，
\ ANB = 90°，
\ ABN + BAN = 90°
Q四边形 ABCD是矩形，
\ ABC = C = 90° ，
CD = AB = 4，
\ ANB = C ，
ABN + MBC = 90°，
\ BAN = MBC ，
\VBAN∽VMBC ，
AB BN
\ = ，
BM MC
QM 是CD的中点，
N 是 BM 的中点，
1
\CM = CD = 2，
2
BM = 2BN ，
4 BN
\ = ，
2BN 2
解得：BN = 2，
\ AN = AB2 - BN 2
= 42 - 22
= 2 3 ；
②当 AMN =90°时，
由①得：
C = D = 90°，
CM = DM = 2 ，
同理可证：VBCM∽MDA，
BC CM
\ = ，
MD DA
Q四边形 ABCD是矩形，
\ AD = BC ，
BC 2
\ = ，
2 BC
解得：BC = 2，
\BM = BC 2 + CM 2
= 22 + 22
= 2 2 ，
同理可求： AM = 2 2 ，
Q N 是 BM 的中点，
1
\ NM = BM = 2 ，
2
\ AN = AM 2 + NM 2
2 2= 2 2 + 2
= 10 ；
③Q MAN < 90°，
\ MAN = 90°，此种情况不存在；
综上所述： AN 的长为 10 或 2 3 ．
【变式 3】（2025·上海闵行·模拟预测）我们定义：有两边之比是1: 2的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三
角形 ABC 是倍半三角形，如果 AB =1， B = 90°，那么VABC 的面积= ．
1 1 3【答案】 或 4 或 2
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的应用，分三种情况讨论，利用三角形面积公式求得即可．分
类讨论思想的运用是解题的关键．
【详解】解：Q B = 90°，
\ AC 为斜边，
当BC = 2AB = 2
1
时，VABC 的面积= 2 1 =1；
2
BC 1 AB 1 1 1 1当 = = 时，VABC 的面积= 1 = ；
2 2 2 2 4
当 AC = 2AB = 2时，则 BC = 22 -12 = 3，
VABC 1 3的面积 = 3 1 = ；
2 2
1 3
故答案为：1 或 4 或 .2
【变式 4】（2025·四川泸州·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形
为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形OABC 的边OA = 3 5 ，OC = 4 5，点 M 在OA边
上，且OM = 2AM ，若在边 AB 存在点 P，使得!CMP 为“智慧三角形”，则点 P 的坐标为
5
【答案】 3 5, ÷÷ 或 3 5,3 52 或 3 5, 5 è
【知识点】用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 解题的关键是知道“智慧三角形”指的是直角三角形．
由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以分情况讨论， CPM = 90°或
CMP = 90°，设设点P 3 5, a ，则则 AP = a ， BP = 4 5 - a，根据勾股定理求出CP2 ，MP2 ，CM 2，根据
CPM = 90°或 CMP = 90°，可以得到这三条边的关系，解之即可．
1
【详解】解：如图，VABC 是“智慧三角形”，CD是中线，CD = AB ，
2
∴ BD = CD = AD，
∴ B = BCD ， A = ACD，
又 A + B + BCD + ACD =180°，
∴ ACB = BCD + ACD = 90° ，
∴“智慧三角形”是直角三角形，
∵矩形OABC 中，OA = 3 5 ，OC = 4 5，OM = 2AM ，
∴ OM = 2 5 ， AM = 5 ，OB = OA = 3 5 ， AB = OC = 4 5 ，
∴ MC = OM 2 + OC 2 = 10 ，
设点P 3 5, a ，则 AP = a ， BP = 4 5 - a，
①若 CPM = 90°，如图，
2 2
在Rt△BCP中，CP2 = BP2 + CB2 = 4 5 - a + 3 5
在Rt△MPA中，MP2 = MA2 + AP2 = 5 + a2
在RtVMCP 中，CM 2 + MP2 = CP2 ，
∴102 + 5 + a2 = 24 5 - a + 23 5 ，
5
解得 a = ，
2

∴ P 3 5,
5
÷÷；
è 2
②若 CMP = 90°，如图，
2 2
由①知： 4 5 - a + 3 5 + 5 + a2 =102
整理得 a2 - 4 5a +15 = 30 ，
解得 a = 3 5 或 a = 5
∴ P 3 5,3 5 或P 3 5, 5
5
综上，P 的坐标为 3 5, 2 ÷÷或 3 5,3 5 或 3 5, 5 ， è
5
故答案为： 3 5, ÷÷或 3 5,3 5 或 3 5, 5 ．
è 2
【题型二】代数分类讨论
2
【例 1】（2025· 2江西·一模）已知关于 x 的方程 kx - x - = 0，若方程的两个实数根都是整数，则整数 k 的值
k
为 ．
【答案】±1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
1 x 2【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程得到 x1 = - k ， 2 = ，k
根据方程的两个实数根都是整数，即可求解．
【详解】解：根据题意可知， k 0，
∵ kx2 x
2
- - = 0，
k
kx 2∴ +1 x - = 0，
è k ÷
2
∴ kx +1 = 0， x - = 0 ，
k
1 x 2∴ x1 = - k ， 2 = ，k
∵方程的两个实数根都是整数，
∴ k = ±1，
故答案为：±1．
代数分类讨论：绝对值、平方根、二次方程判别式、分式分母不为零、参数取值范围导致的解的个数或符
号差异。
2a
【例 2】（2025·黑龙江大庆·一模）若 a，b 两个数满足关系式：a + b = + 2，则 a，b 称为“协变数对”，记
b
作[a,b]，例如：当 8 与 2 满足8 + 2
2 8
= + 2时，则[8, 2]是“协变数对”，若[6, 2x]是“协变数对”，则 x = ．
2
【答案】-3或1
【知识点】解分式方程、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了新定义，以及解分式方程，解题的关键在于正确理解“协变数对”概念．根据“协变数对”
定义建立分式方程求解，即可解题．
2a
【详解】解：根据 a + b = + 2，则 a，b 称为“协变数对”，
b
又[6, 2x]是“协变数对”，
则有6 + 2x
2 6
= + 2
2x
整理得 x2 + 2x - 3 = 0 ，
解得 x = -3或 x =1，
经检验， x = -3或 x =1是方程的解，
故答案为：-3或1．
【变式 1】（2025·广西河池·一模）5的平方根是 ．
【答案】± 5
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．
根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：5的平方根是± 5 ，
故答案为：± 5 ．
【变式 2 x -1】（2025·安徽滁州·一模）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
x - 2
【答案】 x 1且 x 2
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、不等式的性质，熟练掌握二次根式、分
式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式、分式有意义的条件即可解答．
x -1
【详解】解：Q代数式 有意义，
x - 2
\ x -1 0且 x - 2 0，
解得： x 1且 x 2，
\实数 x 的取值范围是 x 1且 x 2．
故答案为： x 1且 x 2．
【变式 3】（2025·山东聊城·一模）若式子3 2 - x + x x -1 0 有意义，则 x 的取值范围是 ．
【答案】 x 2且 x 1
【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、零指数幂
【分析】本题考查了二次根式有意义和零指数幂有意义，解本题的关键在熟练掌握其有意义的条件．二次
根式有意义的条件：被开方数大于等于零．零指数幂有意义的条件：底数不为零．
根据二次根式有意义的条件和零指数幂有意义的条件，列出不等式求解即可．
【详解】解：根据3 2 - x 有意义，可得： 2 - x 0，
解得： x 2，
根据 x -1 0有意义，可得： x -1 0，
解得： x 1，
综上可得： x 的取值范围是 x 2且 x 1．
故答案为： x 2且 x 1
【变式 4】（2025·甘肃·一模）对于实数 a,b定义运算“#”为 a #b = b2 + ab ，例如：3#2 = 22 + 3 2 =10，则关
于的 x 方程 k +1 # x = -1有两个相等的实数根，则 k 的值为 ．
【答案】1或-3
【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了新定义实数运算、一元二次方程根的判别式等知识点．
根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：∵ a #b = b2 + ab ，
∴ k +1 # x = x2 + k +1 x = -1，
2
整理得： x + k +1 x +1 = 0 ，
∵关于的 x 方程 k +1 # x = -1有两个相等的实数根，
∴ Δ = k +1 2 - 4 1 1 = 0，
解得： k =1或 k = -3，
故答案为：1或-3．
【变式 5】（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若 x - 6 x + n = 0是“倍根方程”，则 n = ．
【答案】-12或-3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关
键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可．
【详解】解：解方程 x - 6 x + n = 0，可得 x1 = 6, x2 = -n，
∵ x - 6 x + n = 0是“倍根方程”，
∴当-n 是 6 的 2 倍时，即有 n = -6 2 = -12，
当 6 是-n 的 2 倍时，即有 n = -6 2 = -3．
故答案为：-12或-3．
ì 2x +1
> x -1
【变式 6】（2025·重庆·一模）若关于 x 的不等式组 í 3 有解且至多 3 个整数解，关于 y 的分式方
3 1- x x - a
2 a
程 - 3 =1 y y 1 的解为整数，那么符合条件的所有整数
a的和为 ．
- -
【答案】22
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先
1- a 1- a
解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得 a的取值范围，再解分式方程可得 y = ，从而可得
3 3
是整数，且 a -2，则可得出符合条件的所有整数 a的值，由此即可得．
ì 2x +1
> x -1①
【详解】解： í 3 ，
3 1- x x - a②
解不等式①得： x < 4，
a + 3
解不等式②得： x ，
4
ì 2x +1
> x -1
∵关于 x 的不等式组 í 3 有解且至多 3 个整数解，
3 1- x x - a
a + 3
∴ 0 < < 4，
4
解得-3 < a <13，
2
- 3 a=
1- y y ，-1
方程两边同乘以 y -1 ，得-2 - 3 y -1 = a，
解得 y
1- a
= ，
3
2 a
∵关于 y 的分式方程 - 3 =1 的解为整数，- y y -1
1- a 1- a
∴ 3 是整数，且 1，即 a -2，3
∴符合条件的所有整数 a的值为1,4,7,10，
∴符合条件的所有整数 a的和为1+ 4 + 7 +10 = 22，
故答案为：22．
【题型三】 图形运动多解
【例 1】（2025·黑龙江七台河·一模）已知矩形 ABCD的边 AB =10，BC = 6，折叠矩形 ABCD，使顶点 A 落
在矩形 ABCD的一边上的 P 点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则 AP = ．
【答案】 6 2 或 2 10
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，
正确地进行分类讨论是解题的关键．存在两种情况，一是点 P 在CD边上，折痕DF 经过点 D，交 AB 于点
F，由矩形的性质得 ADP = 90°， AD = BC = 6，由折叠得PD = AD = 6，由勾股定理求得
AP = PD2 + AD2 = 6 2 ；二是点 P 在CD边上，折痕 BE 经过点 B，交 AD 于点 E，由 C = 90°，
PB = AB =10，BC = 6，求得PC = PB2 - BC 2 = 8，而CD = AB =10，所以PD = 2，则
AP = AD2 + PD2 = 2 10 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图 1，点 P 在CD边上，折痕为DF 经过点 D，交 AB 于点 F，
Q四边形 ABCD是矩形， AB =10，BC = 6，
\ ADP = 90o ， AD = BC = 6，
由折叠得PD = AD = 6，
\ AP = PD2 + AD2 = 62 + 62 = 6 2 ；
如图 2，点 P 在CD边上，折痕 BE 经过点 B，交 AD 于点 E，
Q C = 90° ，PB = AB =10，BC = 6，
\PC = PB2 - BC 2 = 102 - 62 = 8，
QCD = AB =10 ，
\PD = CD - PC =10 -8 = 2，
\ AP = AD2 + PD2 = 62 + 22 = 2 10 ，
故答案为： 6 2 或 2 10．
平移/旋转/对称中图形位置不同（如折叠后点的位置）
【例 2】（2025·山东滨州·模拟预测）把一副三角板如图摆放，如果三角板 AOB绕公共顶点 O 顺时针旋转至
AB∥CD 时，那么旋转角的度数为 ．
【答案】75°或255°
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，当 AB 在OD 上方，设直线CD与直线OA交
于点 E，由平行线的性质可得 OEC 的度数，进而求出 AOC 的度数即可得到答案；当 AB 在OD 下方时，
过点 O 作OE P AB，则 AB∥CD∥OE ，根据平行线的性质求出 BOC 的度数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当 AB 在OD 上方时，设直线CD与直线OA交于点 E，
∵ AB∥CD ，
∴ OEC = OAB = 45°，
∵ AOC +∠OEC =∠OCD = 60°，
∴ AOC = 15°，
∴此时旋转角度为90° -15° = 75°；
如图所示，当 AB 在OD 下方时，过点 O 作OE P AB，
由题意得∠COD =∠AOB = 90°，∠C = 60°，∠B = 45°，
∵ OE P AB， AB P CD ，
∴ AB∥CD∥OE ，
∴∠BOE =∠B = 45°，∠COE =∠C = 60°，
∴∠BOC =∠BOE +∠COE = 105° ，
∴旋转角度为360° -105° = 255°，
综上所述，旋转角度为75°或255°
故答案为：75°或255°．
【变式 1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在VABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，点D在BC 边上，把△ABD
沿 AD 折叠后，使得点 B 落在点E 处，连接 BE 、CE，若 DBE = 20°，则 DCE = ．
【答案】 25°或115°
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
分两种情况：当点E 在直线BC 的下方时，当点E 在直线BC 上方时；分别求解即可得到答案．
【详解】解：如图 1，当点E 在直线BC 的下方时，
Q AB = AC, BAC = 90° ，
\ ABC = ACB = 45°，
由折叠可知 AB = AE, BD = ED,
\ AC = AE ，
Q DBE = 20°，
\ AEB = ABE = ABD + DBE = 65°，
\ BAE =180° - ABE - AEB = 50°，
\ CAE = BAC - BAE = 40°，
Q AC = AE ，
\ ACE = AEC ，
1
\ ACE = 180° - CAE = 70°，
2
\ DCE = ACE - ACB = 70° - 45° = 25°；
如图 2，当点E 在直线BC 上方时，
Q ABC = ACB = 45°，
Q DBE = 20°，
\ ABE = ABC - DBE = 25°，
由折叠可知 AB = AE ，
\ ABE = AEB = 25°，
\ BAE =180° - ABE - AEB =130°，
\ CAE = BAE - BAC =130° - 90° = 40°，
Q AB = AC ，
\ AC = AE
\ ACE AEC 1= = 180° - CAE = 70°，
2
\ DCE = ACB + ACE = 45° + 70° =115°，
故答案为： 25°或115°．
【变式 2】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 8，BC = 6，点D是 AB 边上一
动点，将VACD沿边CD翻折得到VCDE，当VCDE与VABC 的重叠部分为直角三角形时，则 AD 的长是 ．
32
【答案】4 或 5
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由勾股定理可得 AB = AC 2 + BC 2 =10，由折叠的性质可得
CE = AC = 8，AD = DE ，再分两种情况：当重叠的部分为直角△CFD，且 CFD = 90°；当重叠的部分为
直角△CED ，且 CDE = 90°；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵ Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 8，BC = 6，
∴ AB = AC 2 + BC 2 =10，
由折叠的性质可得：CE = AC = 8， AD = DE ，
∵VCDE与VABC 的重叠部分为直角三角形，
∴如图，当重叠的部分为直角△CFD，且 CFD = 90°，
S 1 1∵ VABC = AC×BC = AB×CF ，2 2
1 1
∴ 8 6 = 10 ×CF ，
2 2
CF 24∴ = ，
5
AF AC 2 CF 2 32 EF CE CF 16∴ = - = ， = - = ，
5 5
32
设 AD = x ，则DE = x ，DF = AF - AD = - x，
5
由勾股定理可得：DE 2 = DF 2 + EF 2 ，
2 2
∴ x2 32 x 16= - ÷ +

5 ÷
，
è è 5
解得： x = 4，此时 AD = 4，
如图：当重叠的部分为直角△CED ，且 CDE = 90°，
AD AF 32此时 = = ，
5
32
综上所述， AD 的长是 4 或 5 ，
32
故答案为：4 或 5 ．
【变式 3】（2025·河南洛阳·一模）一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中
ACB = DEB = 90°， B = 30°，BE = AC = 3．三角板 ABC 固定不动，将小三角板DBE 绕点 B 顺时针在
平面内旋转，当点C、E、D 在同一条直线上时，点D到直线BC 的距离为 ．
【答案】 6 +1或 6 -1
【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键．
分点 E 在BC 上方和下方两种情况讨论求解即可．
【详解】①当点 E 在BC 上方时，
如图 2，过点 D 作DH ^ BC ，垂足为 H，
在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°， AC = 3，
tan ABC AC\ =
BC ，
BC AC 3\ = = = 3 3 ，
tan ABC tan 30°
在VBDE 中， DEB = 90°， DBE = ABC = 30°，BE = 3， tan DBE
DE
= ，
BE
\DE = BE × tan 30° = 3，
Q点C、E、D 在同一条直线上，且 DEB = 90°，
\ CEB =180° - DEB = 90°，
在△CBE 中， CEB = 90°，BC = 3 3 ，BE = 3，
\CE = BC 2 - BE2 = 3 2 ，
\CD = CE + DE = 3 2 + 3 ，
在△BCD S
1 1
中， △BCD = CD × BE = BC × DH ，2 2
\DH CD × BE= = 6 +1；
BC
②当点 E 在BC 下方时，
如图 3，
在VBCE 中， CEB = 90°，BE = 3，BC = 3 3 ，
\CE = BC 2 - BE2 = 3 2 ，
\CD = CE - DE = 3 2 - 3 ，
过点D作DM ^ BC ，垂足为M ，
在VBDC 中， S 1 1△BDC = BC × DM = CD × BE ，2 2
\DM = 6 -1；
综上所述，点D到直线BC 的距离为 6 +1或 6 -1，
故答案为： 6 +1或 6 -1．
【变式 4】（2025·河南·一模）如图，在YABCD 中， AB = 6 cm ， BC =12 cm， B=60°．点 P 从点A 出发，
以1cm / s的速度沿 A D运动，同时点Q从点C 出发，以3 cm / s 的速度沿C B运动．在此运动过程中，
当 t = 时，线段PQ = CD．
【答案】1.5s或3s
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查平行四边形的性质及应用，由已知可得，P 从A 到D需12s，Q从C 到 B 需4s，设 P ，Q
运动时间为 t，分两种情况画出图形，即可得到答案，解题的关键是分类讨论思想的应用．
【详解】解：由已知可得， P 从A 到D需12s，Q从C 到 B 需4s，
设 P ，Q运动时间为 t，
如图，当 PQ与CD不平行时，过Q作QH ^ AD 于 H ，过C 作CG ^ AD于G ，
则 HQC = QCG = CGH = 90°，
\四边形HQCG 为矩形，
由题可知， AP = t ，CQ = 3t = GH ，
QPD∥CQ ，PQ = CD，
\四边形CQPD是等腰梯形，
\ QPH = D = B = 60° ，
QPQ = CD = AB = 6cm ，
\PH 1= PQ = 3cm ，DG
1
= CD = 3cm，
2 2
Q AP + PH + GH + DG = AD = BC =12，
\t + 3+ 3t + 3 =12，
解得 t =1.5；
当 PQ与CD平行时，如图：
QPQ∥CD, PD∥QC ，
\四边形PQCD为平行四边形，
此时 PD = CQ = 3t ，
\t + 3t =12 ，
解得 t = 3，
\t 为1.5s或3s 时，PQ = CD；
综上所述， t为1.5s或3s ，PQ = CD；
故答案为：1.5s或3s ．
【变式 5】（2025·河南信阳·一模）如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AB = AC = 3，D 为平面内一动点，
AD =1，连接 BD，将 BD绕点 D 逆时针旋转90°得到 ED，连接 AE ， BE ，当点 E 落在 VABC 的边上时，
AE 的长为 ．
【答案】 5 或3 - 2
【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理
解三角形
【分析】首先得到VABC ，VBDE 均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点 E 落在BC 边上
和点 E 落在 AC 边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AB = AC = 3，
∴VABC 为等腰直角三角形，
∵将BD绕点 D 逆时针旋转90°得到ED，
∴VBDE 均为等腰直角三角形，
∴ ABC = DBE = 45°，
①当点 E 落在BC 边上时，如图所示，则点 D 在 AB 边上，
∴ DE = BD = AB - AD = 2，
在RtVADE 中， AE = 12 + 22 = 5 ；
②当点 E 落在 AC 边上时，如解图 2 所示．
∵ CBA = EBD = 45° ，
∴ CBE = ABD ，
CB EB
∵ = = 2 ，
AB DB
∴△CEB∽△ADB ，
CE BC
∴ = = 2 ，
AD BA
∴ CE = 2 ，
∴ AE = 3- 2 ．
综上所述， AE 的长为 5 或3 - 2 ．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键
是根据题意分情况讨论．
【变式 6】（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4， AD = 7，点E 是边 AD 上一动点，
h1
将VABE 沿 BE 折叠，使得点A 落在点F 处，点F 到 AD 、BC 的距离分别记为h1，h2 ，若 = 3h ，则 AE 的2
长为 ．
4
【答案】 15 或
5 4 3
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的
性质和翻折的性质是解题的关键．根据题意分两种情况画图：①如图 1，当点F 在矩形 ABCD内，过点F
作MN∥AB交BC 于点M ，交 AD 于点 N ，②如图 2，当点F 在矩形 ABCD外，过点F 作FN ∥ AB 交BC
于点M ，交 AD 于点 N ，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题．
【详解】解：①如图 1，当点F 在矩形 ABCD内，
过点F 作MN∥AB交BC 于点M ，交 AD 于点 N ，
则四边形 ABMN 是矩形，
\MN = AB = 4， AB = 4， AD = 7
h
Q 1 = 3
h ，2
\ FN = 3
FM ，
\ FN = h1 = 3， FM = h2 = 1，
由折叠可知：BF = AB = 4，EF = AE ，
\ BM = BF 2 - FM 2 = 42 -12 = 15 = AN ，
设 AE = x，
由折叠可知： AE = EF = x ，
在Rt△ EFN 中，根据勾股定理得：
EN 2 + FN 2 = EF 2 ，
\( 15 - x)2 + 32 = x2 ，
解得 x
4
= 15 ；
5
②如图 2，当点F 在矩形 ABCD外，
过点F 作FN ∥ AB 交BC 于点M ，交 AD 于点 N ，
则四边形 ABMN 是矩形，
\MN = AB = 4，
h
Q 1 = 3
h ，2
\ FN AB + FM 4 + FM= = = 3
FM FM FM ，
\ FN = h1 = 6，FM = h2 = 2 ，
由折叠可知：BF = AB = 4，EF = AE ，
\ BM = BF 2 - FM 2 = 42 - 22 = 2 3 = AN ，
设 AE = x，
由折叠可知： AE = EF = x ，
在Rt△ EFN 中，根据勾股定理得：
EN 2 + FN 2 = EF 2 ，
\(x - 2 3)2 + 62 = x2 ，
解得 x = 4 3 ；
4
综上所述： AE 的长为 15 或
5 4 3
．
4
故答案为： 15 或 ．
5 4 3
【变式 7】（2025·上海·模拟预测）正方形 ABCD的边长为 2，点E 在边BC 上，将VCDE沿直线DE 翻折，使
得点C 落在正方形内的点F 处，连接BF 并延长交正方形 ABCD一边于点G ．当BE = DG 时，则BE的长
为 ．
【答案】1或 2 3 - 2
【知识点】根据正方形的性质求线段长、折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定
与性质综合
【分析】分两种情况：当G 在 AD 上时，根据四边形 ABCD是正方形，BE = DG ，得四边形BEDG 是平行
1
四边形，又将VCDE沿直线DE 翻折，使得点C 落在正方形内的点F 处，可得BE = EF = CE = BC ，故BE =1；
2
当G 在CD上时，过F 作FT ^ BC 于T ，可证明△BCG≌△DCE （ SAS ），从而推得BF = CF ，FT 是VBCG
1
的中位线，FT = CG ，设FT = x, 则EF = 2x = EC ，可得 3 x + 2x = 1，解得 x = 2 - 3，即可得到答案．2
【详解】解：当G 在 AD 上时，如图：
Q四边形 ABCD是正方形，
\ AD∥BC ，
QBE = DG，
\四边形BEDG 是平行四边形，
\ BG∥DE ，
\ FBE = DEC ， DEF = BFE ，
Q将VCDE沿直线DE 翻折，使得点C 落在正方形内的点F 处，
\ DEC = DEF ，EF = CE ，
\ FBE = BFE ，
\BE = EF ，
\BE = EF 1= CE = BC
2 ，
Q正方形 ABCD的边长为 2，
\BE =1；
当G 在CD上时，过F 作FT ^ BC 于T ，如图：
Q四边形 ABCD是正方形，
\ BC = DC ，
QBE = DG，
\BC - BE = DC - DG ，即CE = CG ，
在RtVBCG和RtVDCE 中，
ì CG = CE

í BCG = DCE ，

BC = DC
\△BCG≌VDCE SAS ，
\ GBC = EDC ，
Q将VCDE沿直线DE 翻折，使得点C 落在正方形内的点F 处，
\DE ^ CF ，EF = EC ，
\ EDC = 90° - DCF = FCB，
\ GBC = FCB，
\BF = CF ，
Q FT ^ BC ，
BT CT 1\ = = BC = 1
2 ，
Q FT ∥CG ，
∴△BTF∽△BCG，
∴ BF : BG = BT : BC =1: 2，
∴ BF = FG ，
\FT VBCG 1是 的中位线，FT = CG2 ，
FT 1 CE 1\ = =
2 2 EF ，
设 FT = x，则EF = 2x = EC ，
在RtVFTE 中，TE = EF 2 - FT 2 = (2x)2 - x2 = 3x，
\CT = TE + EC = 3 x + 2x，
\ 3 x + 2x = 1，
解得 x = 2 - 3 ，
\TE = 3 x = 2 3 - 3，
\BE = BT +TE =1+ (2 3 - 3) = 2 3 - 2，
综上所述， BE 的长为1或 2 3 - 2，
故答案为：1或 2 3 - 2．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角
形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
【变式 8】（2025·海南·模拟预测）如图，矩形 ABCD中，AB = 4，BC = 8，点E 为BC 边的中点，点 P 在 AD
边上运动，F 为BP的中点，当△BEF 为等腰三角形时， AP 的长为 ．
【答案】8 - 4 3 或 4或 4 3
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾
股定理解三角形
【分析】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论数学
思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．连接CP，由点E 为BC 的中点，点F 为BP
的中点，得EF∥CP 1，且 EF = CP2 ，由矩形的性质得CD = AB = 4， AD = BC = 8， A = D = 90°，则
BE = CE = 4，再分三种情况讨论， FE = BE = 4 ，则CP = 2EF = 8 ，求得 PD = CP2 - CD2 = 4 3，则
AP = 8 - 4 3 ；是EF = BF ，连接PE，可证明 PBC = PCB，则PB = PC ，所以PE ^ BC ，则四边形 ABEP
是矩形，所以 AP = BE = 4；是BF = BE ，可证明 BPC = BCP，则BP = BC = 8，求得
AP = BP2 - AB2 = 4 3 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接CP，
Q点E 为BC 的中点，点F 为BP的中点，
1
\ EF ∥CP，且 EF = CP2 ，
Q四边形 ABCDE 是矩形， AB = 4， BC = 8，
1
\CD = AB = 4， AD = BC = 8，BE = CE = BC = 4， A = D = 90°，
2
如图 1，△BEF 为等腰三角形，且 FE = BE = 4 ，
\CP = 2EF = 8，
\ PD = CP2 - CD2 = 82 - 42 = 4 3 ，
\ AP = AD - PD = 8 - 4 3 ；
如图 2，△BEF 为等腰三角形，且EF = BF ，连接PE，
Q FEB = PBC ， FEB = PCB ，
\ PBC = PCB ，
\PB = PC ，
\PE ^ BC ，
\ PEB = ABE = A = 90°，
\四边形 ABEP是矩形，
\ AP = BE = 4；
如图 3，△BEF 为等腰三角形，且BF = BE ，
Q BFE = BPC ， BEF = BCP ，且 BFE = BEF ，
\ BPC = BCP ，
\BP = BC = 8，
\ AP = BP2 - AB2 = 82 - 42 = 4 3 ，
综上所述， AP 的长为8 - 4 3 或 4 或 4 3 ，
故答案为：8 - 4 3 或 4 或 4 3 ．
【变式 9】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在正方形 ABCD中， AB = 4，P 为 AB 上一点，且 AP =1，E
为BD上一动点，连接PE，作VBPE 关于直线PE的对称图形，点 B 的对称点为点B ，继续作△B PE 关于
直线PB 的对称图形，点 E 的对称点为点E ，连接E ' E ，当B E 与正方形的一边平行时，则EE 的长为 ．
【答案】6 - 3 2 或3 2
【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，分为两种情况①当B E ∥AB时，②当
B E ∥AD 时，分类求解即可．
【详解】如图 1，当B E ∥AB时，设B P 交 BD 于点 M，
则 BPB = PBE = PB E = PB E = 45°，
\ BMP = 90° ，
由对称性可知，BP = B P = 3，
QPB2 = PM 2 + BM 2 ，
BM PM 2 3 2\ = = BP = ，
2 2
\B M = PB - PM = 3 3 2- ，
2
由对称性得VEB E 为等腰直角三角形，且VEMB 为等腰直角三角形，

\EE = 2B M = 2 3
3 2
- ÷÷ = 6 - 3 2 ；
è 2
如图 2，当B E ∥AD 时，
由对称性易知，BP = B P，BE = B E ，
易知VEB E 为等腰直角三角形，
\B E∥BP，
\ BPE = PEB ，
Q BPE = B PE ，
\ B PE = PEB ，
\B P = B E ，
\B E = B E = BE = BP = 3，
E E = 2B E = 3 2 ，
综上所述，EE 的长为6 - 3 2 或3 2，
故答案为：6 - 3 2 或3 2.
【变式 10】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形 ABCD中， AB = 3cm ，BC = 4cm，动点 P 从点 B 出发，
以1cm/s的速度沿BC 方向运动到点 C 停止，同时动点 Q 从点 C 出发，以 2cm/s的速度沿 C-B-C 方向运动到
点 C 停止，设点 P 的运动时间为 ts ．
（1）当点 P 和点 Q 相遇时，t 的值为 ；
（2）连接DQ ，在点 P 和点 Q 不重合的情况下，连接 AP ．若以 A，P，Q，D 为顶点的四边形的面积是矩
2
形 ABCD的面积的 ，且0 < t 2，则 t 的值为 ．
3
4 8 16
【答案】 或 4 或
3 9 9
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求面积
【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用．
（1）由题意知 BP = t cm，CQ = 2t cm ，当点 P 和点 Q 第一次相遇时， BP + CQ = BC ，列方程计算即可；
当点 P 和点 Q 第二次相遇时，点 P 运动到点 C，点 Q 也运动到点 C，列式计算即可；
2 2 4
（2）先求出以 A，P，Q，D 为顶点的四边形的面积是12 = 8 cm ，再分两种情况讨论：当0 < t < ，3 3
4
即点 P，Q 相遇前；当 t 2，即点 P，Q 相遇后，点 Q 到达点 B 前，分别求出结果即可．
3
【详解】解：（1）由题意知BP = t cm，CQ = 2t cm ，
①当点 P 和点 Q 第一次相遇时，BP + CQ = BC ，即 t + 2t = 4，
4
解得 t = ；
3
②当点 P 和点 Q 第二次相遇时，点 P 运动到点 C，点 Q 也运动到点 C，
此时 t = 4 1 = 4 s ，
4
即当点 P 和点 Q 相遇时，t 的值为 或 4；
3
4
故答案为： 或 4；
3
（2）如图，
2
矩形 ABCD的面积为3 4 =12 cm ，
2
∴以 A，P，Q，D 2为顶点的四边形的面积是12 = 8 cm ，3
当0 < t
4
< ，即点 P，Q 相遇前，
3
PQ = BC - BP - CQ = 4 - t - 2t = 4 - 3t cm ，
S 1则 =梯形APQD 4 - 3t + 4 3 = 8，2
t 8解得 = ；
9
4
当 t 2，即点 P，Q 相遇后，点 Q 到达点 B 前，
3
PQ = BP + CQ - BC = t + 2t - 4 = 3t - 4 cm，
1
则 S梯形AQPD = 3t - 4 + 4 3 = 8，2
16
解得 t = ．
9
8 16 2
综上，当 t = 或 时，以 A，P，Q，D ABCD
9 9
为顶点的四边形的面积是矩形 的面积的 ．
3
8 16
故答案为： 或 9 ．9
【题型四】函数图像多解
【例 1】（2025·河北张家口·一模）如图，已知抛物线 a : y = -x2 + 2x + m ，线段b : y = x + 2 -1 x 3 ．若抛
物线 a 和线段 b 有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数 m 的值为 ．
【答案】2 或 4
【知识点】其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线 a 和线段 b 有两个交点，可确定 m 的取值范围，
7
再分别把 x = -1和 x = 3代入抛物线解析式，可得到 < m 4，然后根据 m 为整数，可得 m 的值为 2 或 3
4
或 4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键．
ìy = -x2 + 2x + m
【详解】解：联立 í ，得：
y = x + 2
x2 - x + 2 - m = 0 ，
∵抛物线 a 和线段 b 有两个交点，
∴ D = -1 2 - 4 2 - m > 0，
7
解得：m > ．
4
当 x = -1时， y = -1+ 2 = 1．
将 -1,1 代入抛物线解析式得：-1 = -1- 2 + m，
m = 4 ．
同理，当 x = 3时，m = 8，
7
∴ < m 4．
4
∵m 为整数，
∴m 的值为 2 或 3 或 4．
当m = 2 时，抛物线与线段的交点坐标为 0,2 ， 1,3 ，符合要求；
当m = 3时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求；
当m = 4 时，抛物线与线段的交点坐标为 -1,1 ， 2,4 ，符合要求．
∴m 的值为 2 或 4．
故答案为：2 或 4
一次函数斜率符号、二次函数开口方向或对称轴位置、函数与坐标轴交点的不同情形。
【例2】（2025·青海西宁·一模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A 6,0 ，与 y 轴交于点B 0,6 ，
点 P 在 y 轴上，且满足 PAB =15°，则OP 的长为 ．
【答案】 2 3 或6 3 / 6 3 或 2 3
【知识点】特殊三角形的三角函数、已知正切值求边长、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到 x, y轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用及
分类讨论思想．解题的关键是根据点 P 在 y 轴上的位置（可能在 B 点上方或下方），分别计算OP 的长度．
【详解】解：Q点A 的坐标为 6,0 ，点 B 的坐标为 0,6 ，
\OA = OB = 6，
\VAOB 是等腰直角三角形，
\ BAO = 45°．
①当点 P 在点 B 下方时， PAO = BAO - PAB = 45° -15° = 30° ，
\OP = OA × tan PAO 6 3= = 2 3 ,
3
②当点 P 在点 B 上方时， PAO = BAO + PAB = 45° +15° = 60°，
\OP = OA × tan PAO = 6 3 = 6 3 ,
综上所述，OP 的长为 2 3 或6 3 ．
故答案为： 2 3 或6 3 ．
【变式 1】（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，BA ^ x 轴于点 A， BOA = 60°，OA = 2，点 P
是 x 轴上一点．若BP，BO，BA三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点 P 的坐标为
【答案】 4,0 或 -4,0 或 8 - 4 3,0
【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、含 30 度角的直角三角形、坐标与图形综合
【分析】先根据含 30 度直角三角形的性质得出 OBA = 30°，OB = 4 ．再分三种情况，分别画出图形利用
含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质以及角平分线的性质定理求解即可．
【详解】解：Q BOA = 60°，OA = 2，
\ OBA = 30°，OB = 4 ．
①如答图 1，当BO平分 PBA时， PBO = 30°．
Q BOA = 60°，
\ BPO = PBO ．
\OP = OB = 4，
\P -4,0
②如答图 2，当BA平分 OBP时，
则PA = AO = 2 ，
\P 4,0 ，
③如答图 3，当BP平分 OBA时，
过点 P 作PC ^ OB于点 C，
则BC = BA = 42 - 22 = 2 3．
\OC = 4 - 2 3，
Q COP = 60°，
\OP = 2OC = 8 - 4 3.
\P 8 - 4 3,0
故答案为： 4,0 ， -4,0 或 8 - 4 3,0
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的定义以及角平分线的性质，含 30 度直角三角形的性质，
等腰三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键．
k 4
【变式 2】（2025·河北保定·一模）若点 A x, y1 ，B x, y2 分别在反比例函数 y = k > 0 ，y = ．位于第一x x
象限的图象上，且点A 在点 B 的下方，写出一个满足条件的 k 的整数值： ．
【答案】1（或 2或3）
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例
函数图像的性质即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：位于第一象限的图象上，且点A 在点 B 的下方，
\0 < k < 4，
故答案为：1（或 2或3）．
【变式 3】（24-25 九年级下·甘肃白银·开学考试）如图，矩形 ABCD的顶点坐标分别为 A -4,1 ， B -4, -4 ，
C -1, -4 ．二次函数 y = x2 + 2mx - 2 （其中 m 为常数）的图象在矩形 ABCD内（不含边界）的部分均为 y
随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 ．
3 9
【答案】-1 < m 1或 m <
2 4
【知识点】y=ax +bx+c 的图象与性质、根据矩形的性质求线段长、把 y=ax +bx+c 化成顶点式
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得抛物线开口方向及顶点坐标，再确定临界点，当抛物线对称
轴与CD重合时求出 m 的值，当抛物线经过点 D 时，可得解集；然后求出抛物线经过点 C，B 时 m 的值，
可得答案．
2
【详解】解：Qy =x +2mx-2=(x+m)2 -m2 -2，
\抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线 x = -m ，顶点坐标为 -m, -m2 - 2 ，
\抛物线顶点在抛物线 y = -x2 - 2上，
由题意得点 D 坐标为 -1,1 ，
如图，当抛物线对称轴与CD重合时符合题意，
此时-m = -1，
解得m =1，
将点D -1,1 代入 y = x2 + 2mx - 2 得1 =1- 2m - 2，
解得m = -1，
\-1< m 1时符合题意．
将点C -1, -4 代入 y = x2 + 2mx - 2 得-4 =1- 2m - 2，
3
解得m = ，
2
将点B -4, -4 代入 y = x2 + 2mx - 2 得-4 =16 -8m - 2，
9
解得m = ，
4
3 9
\ m <
2 4 ，符合题意，
综上所述，-1
3 9
< m 1或 m < ．
2 4
3 9
故答案为：-1 < m 1或 m < ．
2 4
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与
系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
【变式 4】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为
“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数” y = x +1，其“半值点”为 -2, -1 ．
8
（1）函数 y = 的图象上的“半值点”是 ．
x
2 x y = x2 + m - k
1
+
n
（ ）若关于 的函数 x +2 ÷ 4 的图象上存在唯一的
“半值点”，且当-1 m 1时，n 的最小
è
值为 k，则 k 的值为 ．
4,2 -4, -2 0 3+ 5【答案】 和 或
2
【知识点】y=ax +bx+c 的图象与性质、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与
性质是解题的关键；
8 a
（1）设函数 y = 的图象上的“半值点”的坐标是 a, ÷，则可求出 a = ±4，然后问题可求解；x è 2
1 2 1 n 2
（2）由题意易得 x = x +
2
m - k + ÷ x + ，则有 n = m - k ，然后可分当-1 < k <1时，当 k < -1时，当 k >1
è 2 4
时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解．
8 a
【详解】解：（1）设函数 y = 的图象上的“半值点”的坐标是
x
a, ÷，则有：
è 2
a a× = 8，
2
解得： a = ±4，
8
∴函数 y = 的图象上的“半值点”的坐标是 4,2 和 -4, -2 ，
x
故答案为 4, 2 和 -4, -2 ；
1
2 x = x2 +
m k 1 n（ ）由题意得： - +
x + ，
2 è 2 ÷ 4
x2 m k x n整理得： + - + = 0，
4
m k 2 4 n∴ D = - - = 0 2，即 n = m - k ，
4
此时可看作是 n 与 m 成二次函数关系，
即当m = k 时，n 有最小值，
∵ -1 m 1，
∴当-1 < k <1时，则 n 的最小值为 0，即 k = 0，符合题意；
当 k < -1时，此时 n 随 m 的增大而增大，
∴ m = -1 n 2当 时， 有最小值 k，即 -1- k = k ，（此时方程无解）；
当 k >1时，此时 n 随 m 的增大而减小，
∴ 2当m =1时，n 有最小值 k，即 1- k = k ，
x 3 + 5 , x 3 - 5解得： 1 = 2 = （不符合题意，舍去），2 2
3+ 5
综上所述：k 的值为 0 或 ；
2
3 + 5
故答案为 0 或 ．
2
【变式 5】（2025·河南洛阳· 2一模）二次函数 y = ax + bx + c a 0 的部分图象如图所示，图象过点 -1,0 ，
对称轴为直线 x = 2，下列结论：① a < 0，② c > 0，③ 4a + b > 0，④ 9a + c > 3b，⑤若点 A -3, y1 、点
B 1 7 - , y
C 2 ÷、点 , y

2 3 ÷在该函数图象上，则
y1 < y3 < y2 ．其中正确的结论是 ．
è 2 è
【答案】①②/②①
【知识点】y=ax +bx+c 的图象与性质、抛物线与 x 轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是
解答关键．根据二次函数图象的开口方向，与 y 轴的正半轴的交点和对称轴来判断①②；根据对称轴得
5 3
b = -4a 来判断③；利用当 x = -3时， y < 0来判断④；利用 A、B、C 到对称轴的距离分别为 5， ， 进
2 2
行判定⑤．
【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，
∴ a < 0；故①正确，符合题意；
②抛物线与 y 轴交于正半轴，
∴ c > 0；故②正确，符合题意；
③∵对称轴为直线 x = 2，
x b\ = - = 2，即b = -4a ，
2a
∴ 4a + b = 0 ，故③错误，不符合题意；
④∵图象过点 -1,0 ，对称轴为直线 x = 2，
∴当 x = -3时， y < 0，
\ y = a -3 2 - 3b + c < 0即9a + c < 3b，故④错误，不符合题意；
1 7
⑤∵点 A -3, y1 、点B - , y2 ÷、点C , y2 3 ÷在该函数图象上，对称轴为直线 x = 2，且开口向下，è 2 è
5 3
∴A、B、C 到对称轴的距离分别为 5， ， ，
2 2
\ y1 < y2 < y3，故⑤错误，不符合题意，
综上所述，符合题意的有：①②．
故答案为：①②．
【变式 6】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线 l1的函数表达式为 y = x + 3．已知点D 8,3 ，点 P 是线段
BD上一动点（可与点 B，D 重合），直线 l2 : y = kx + 5 - 3k （k 为常数）经过点 P，交 l1于点 C．
（1）当 k = 2时，点 C 的坐标为 ；
（2）在点 P 移动的过程中，k 的取值范围为 ．
2 2
【答案】 4,7 k 且 k 1或 k -
3 5
【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，
一次函数的性质．
（1）当 k = 2时，直线 l2的函数表达式为 y = 2x -1，进而与直线 l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即
可求解；
（2）当直线 l2过点B 0,3
2
时，将点 B 的坐标代入函数表达式得：3 = -3k + 5，解得：k = ；当直线 l 过点
3 2
D 8,3 2时，同理可得： k = - ，进而求解．
5
【详解】解：（1）当 k = 2时，直线 l2的函数表达式为 y = 2x -1，
ìy = 2x -1
由 íy x 3 ， = +
ìx = 4
解得： í
y 7
，
=
∴ C 4,7 ．
故答案为： 4,7 ；
（2）令 x = 0，则 y = x +3 = 3，
∴ B 0,3 ，
∵ y = kx + 5 - 3k = k x - 3 + 5，
当 x = 3时， y = 5，即直线 l2必过点 3,5 ；
当直线 l2过点B 0,3 时，
将点 B 的坐标代入函数表达式得：3 = -3k + 5，
解得： k
2
= ；
3
当直线 l2过点D 8,3 时，
2
同理可得： k = - ；
5
∵两条直线相交于点 C，则 k 1，
2 2
综上，k 的取值范围为： k 且 k 1或 k - ．
3 5
2 2
故答案为： k 且 k 1或 k - ．
3 5抢分秘籍 05 利用分类讨论解决中考数学多解题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】几何位置多解 【题型二】代数分类讨论
【题型三】 图形运动多解 【题型四】函数图像多解
：中考数学多解题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考
生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，几何位置（点/三角形/圆）、代数含参、函数图像、图形运动为高频多解考点是考
查的重点，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，选择填空易漏解，解答题中分类讨论、动态几何、存在性问题必考多解，分值 8 分
左右，着实不少！
：圈画“不确定”条件（如动点、参数），分类时按标准（如位置、符号）穷举，总结典
型多解模型（如等腰三角形、相似对应关系）。
【题型一】几何位置多解
【例 1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）在VABC 中， AC =12，BC = 6， ACB = 90°．以 AB 为斜边作等腰直
角三角形 ABD，连接CD，则CD的长为 ．
几何位置多解：点在线段/延长线、三角形形状（锐角/钝角）、高的内外、圆中弦的同侧/异侧、全等/相似
对应关系不明确等。
【例 2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正方形 ABCD中，点E 在边CD上，DE = 3，EC =1 .点F 是正方形
边上一点，BF = AE ，则FC = .
【变式 1】（2025·河南周口·一模）在四边形 ABCD中， AB = 3 ， B = 30°， D = 60°， AC 为其对角线，
且CA ^ BA．若四边形 ABCD满足有一组对边平行，则CD的长为 ．
【变式 2】（2025·河南信阳·一模）在矩形 ABCD中， AB = 4，取CD的中点M ，连接 AM ， BM ，取 BM 的
中点 N ，连接 AN ，当VAMN 为直角三角形时， AN 的长为 ．
【变式 3】（2025·上海闵行·模拟预测）我们定义：有两边之比是1: 2的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三
角形 ABC 是倍半三角形，如果 AB =1， B = 90°，那么VABC 的面积= ．
【变式 4】（2025·四川泸州·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形
为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形OABC 的边OA = 3 5 ，OC = 4 5，点 M 在OA边
上，且OM = 2AM ，若在边 AB 存在点 P，使得!CMP 为“智慧三角形”，则点 P 的坐标为
【题型二】代数分类讨论
2 2
【例 1】（2025·江西·一模）已知关于 x 的方程 kx - x - = 0，若方程的两个实数根都是整数，则整数 k 的值
k
为 ．
代数分类讨论：绝对值、平方根、二次方程判别式、分式分母不为零、参数取值范围导致的解的个数或符
号差异。
2a
【例 2】（2025·黑龙江大庆·一模）若 a，b 两个数满足关系式：a + b = + 2，则 a，b 称为“协变数对”，记
b
2 8
作[a,b]，例如：当 8 与 2 满足8 + 2 = + 2时，则[8, 2]是“协变数对”，若[6, 2x]是“协变数对”，则 x = ．
2
【变式 1】（2025·广西河池·一模）5的平方根是 ．
x -1
【变式 2】（2025·安徽滁州·一模）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
x - 2
【变式 3】（2025·山东聊城·一模）若式子3 2 - x + x x -1 0 有意义，则 x 的取值范围是 ．
【变式 4】（2025·甘肃·一模）对于实数 a,b定义运算“#”为 a #b = b2 + ab ，例如：3#2 = 22 + 3 2 =10，则关
于的 x 方程 k +1 # x = -1有两个相等的实数根，则 k 的值为 ．
【变式 5】（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若 x - 6 x + n = 0是“倍根方程”，则 n = ．
ì 2x +1
> x -1
【变式 6】（2025·重庆·一模）若关于 x 的不等式组 í 3 有解且至多 3 个整数解，关于 y 的分式方
3 1- x x - a
2 3 a程 - = a1- y y 1 的解为整数，那么符合条件的所有整数 的和为 ．-
【题型三】 图形运动多解
【例 1】（2025·黑龙江七台河·一模）已知矩形 ABCD的边 AB =10，BC = 6，折叠矩形 ABCD，使顶点 A 落
在矩形 ABCD的一边上的 P 点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则 AP = ．
平移/旋转/对称中图形位置不同（如折叠后点的位置）
【例 2】（2025·山东滨州·模拟预测）把一副三角板如图摆放，如果三角板 AOB绕公共顶点 O 顺时针旋转至
AB∥CD 时，那么旋转角的度数为 ．
【变式 1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在VABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，点D在BC 边上，把△ABD
沿 AD 折叠后，使得点 B 落在点E 处，连接 BE 、CE，若 DBE = 20°，则 DCE = ．
【变式 2】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 8，BC = 6，点D是 AB 边上一
动点，将VACD沿边CD翻折得到VCDE，当VCDE与VABC 的重叠部分为直角三角形时，则 AD 的长是 ．
【变式 3】（2025·河南洛阳·一模）一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中
ACB = DEB = 90°， B = 30°，BE = AC = 3．三角板 ABC 固定不动，将小三角板DBE 绕点 B 顺时针在
平面内旋转，当点C、E、D 在同一条直线上时，点D到直线BC 的距离为 ．
【变式 4】（2025·河南·一模）如图，在YABCD 中， AB = 6 cm ， BC =12 cm， B=60°．点 P 从点A 出发，
以1cm / s的速度沿 A D运动，同时点Q从点C 出发，以3 cm / s 的速度沿C B运动．在此运动过程中，
当 t = 时，线段PQ = CD．
【变式 5】（2025·河南信阳·一模）如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AB = AC = 3，D 为平面内一动点，
AD =1，连接 BD，将 BD绕点 D 逆时针旋转90°得到 ED，连接 AE ， BE ，当点 E 落在 VABC 的边上时，
AE 的长为 ．
【变式 6】（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4， AD = 7，点E 是边 AD 上一动点，
h
将VABE 沿 BE 折叠，使得点A 1落在点F 处，点F 到 AD 、BC 的距离分别记为h1，h2 ，若 = 3h ，则 AE 的2
长为 ．
【变式 7】（2025·上海·模拟预测）正方形 ABCD的边长为 2，点E 在边BC 上，将VCDE沿直线DE 翻折，使
得点C 落在正方形内的点F 处，连接BF 并延长交正方形 ABCD一边于点G ．当BE = DG 时，则BE的长
为 ．
【变式 8】（2025·海南·模拟预测）如图，矩形 ABCD中，AB = 4，BC = 8，点E 为BC 边的中点，点 P 在 AD
边上运动，F 为BP的中点，当△BEF 为等腰三角形时， AP 的长为 ．
【变式 9】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在正方形 ABCD中， AB = 4，P 为 AB 上一点，且 AP =1，E
为BD上一动点，连接PE，作VBPE 关于直线PE的对称图形，点 B 的对称点为点B ，继续作△B PE 关于
直线PB 的对称图形，点 E 的对称点为点E ，连接E ' E ，当B E 与正方形的一边平行时，则EE 的长为 ．
【变式 10】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形 ABCD中， AB = 3cm ，BC = 4cm，动点 P 从点 B 出发，
以1cm/s的速度沿BC 方向运动到点 C 停止，同时动点 Q 从点 C 出发，以 2cm/s的速度沿 C-B-C 方向运动到
点 C 停止，设点 P 的运动时间为 ts ．
（1）当点 P 和点 Q 相遇时，t 的值为 ；
（2）连接DQ ，在点 P 和点 Q 不重合的情况下，连接 AP ．若以 A，P，Q，D 为顶点的四边形的面积是矩
2
形 ABCD的面积的 ，且0 < t 2，则 t 的值为 ．
3
【题型四】函数图像多解
【例 1】（2025·河北张家口·一模）如图，已知抛物线 a : y = -x2 + 2x + m ，线段b : y = x + 2 -1 x 3 ．若抛
物线 a 和线段 b 有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数 m 的值为 ．
一次函数斜率符号、二次函数开口方向或对称轴位置、函数与坐标轴交点的不同情形。
【例2（】2025·青海西宁·一模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A 6,0 ，与 y 轴交于点B 0,6 ，
点 P 在 y 轴上，且满足 PAB =15°，则OP 的长为 ．
【变式 1】（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，BA ^ x 轴于点 A， BOA = 60°，OA = 2，点 P
是 x 轴上一点．若BP，BO，BA三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点 P 的坐标为
k 4
【变式 2】（2025·河北保定·一模）若点 A x, y1 ，B x, y2 分别在反比例函数 y = k > 0 ，y = ．位于第一x x
象限的图象上，且点A 在点 B 的下方，写出一个满足条件的 k 的整数值： ．
【变式 3】（24-25 九年级下·甘肃白银·开学考试）如图，矩形 ABCD的顶点坐标分别为 A -4,1 ， B -4, -4 ，
C -1, -4 ．二次函数 y = x2 + 2mx - 2 （其中 m 为常数）的图象在矩形 ABCD内（不含边界）的部分均为 y
随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 ．
【变式 4】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为
“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数” y = x +1，其“半值点”为 -2, -1 ．
8
（1）函数 y = 的图象上的“半值点”是 ．
x
2 x y = x2
1 n
（ ）若关于 的函数 + m - k +

÷ x + 的图象上存在唯一的“半值点”，且当-1 m 1时，n 的最小
è 2 4
值为 k，则 k 的值为 ．
【变式 5】（2025·河南洛阳·一模）二次函数 y = ax2 + bx + c a 0 的部分图象如图所示，图象过点 -1,0 ，
对称轴为直线 x = 2，下列结论：① a < 0，② c > 0，③ 4a + b > 0，④ 9a + c > 3b，⑤若点 A -3, y1 、点
B 1 - , y
C 72 ÷、点 , y

3 ÷在该函数图象上，则 y1 < y3 < y2 ．其中正确的结论是 ．
è 2 è 2
【变式 6】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线 l1的函数表达式为 y = x + 3．已知点D 8,3 ，点 P 是线段
BD上一动点（可与点 B，D 重合），直线 l2 : y = kx + 5 - 3k （k 为常数）经过点 P，交 l1于点 C．
（1）当 k = 2时，点 C 的坐标为 ；
（2）在点 P 移动的过程中，k 的取值范围为 ．

展开更多......

收起↑