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抢分秘籍 07 相似三角形中的常见的基本模型
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】相似模型之“A”字模型 【题型二】相似模型之“X”字模型
【题型三】相似模型之“AX”字模型 【题型四】相似模型之“母子型”模型
【题型五】相似模型之一线三等角模型 【题型六】相似模型之手拉手模型
【题型七】相似模型之半角模型 【题型八】相似模型之对角互补模型
：相似三角形中的常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考
内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，“A”“X”“母子”“一线三等角”等模型高频，多与线段比例、面积、动点结
合，是相似判定与性质核心载体。
2．从题型角度看，选择填空考基础模型识别，解答题常以几何综合、动点探究形式出现，侧重证明相
似及求边长、比例、面积，分值 8 分左右，着实不少！
：熟记模型特征及对应结论，多练含动态、复合图形的综合题，注意分类讨论对应关系，
强化转化思想（复杂→基本模型）与计算准确性。
【题型一】相似模型之“A”字模型
【例 1】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在VABC 中，点D、E 分别在边 AB 、 AC 上，且DE∥BC ，若
SVADE = S四边形DBCE ，则 AE : AC = ．
【答案】 2 : 2
【知识点】两直线平行同位角相等、相似三角形的判定与性质综合
1 S AE 2
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明△ADE ∽△ABC 得 = △ADE = ，即可得出答
2 S △ABC è AC
÷

案．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
【详解】解：∵ SVADE = S四边形DBCE ，
S
∴ △ADE
S
= △ADE
S
= △ADE
1
=
S△ABC S△ADE + S
，
四边形DBCE S△ADE + S△ADE 2
∵ DE∥BC ，
∴∠ADE =∠ABC ， AED = ACB，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴ 1 S AE
2
= △ADE = ，
2 S ÷△ABC è AC
∴ AE 2 AE 2= 或 = - （负值不符合题意，舍去），
AC 2 AC 2
即 AE : AC = 2 : 2．
故答案为： 2 : 2．
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹
这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型
图 1　 　图 2 　 　 图 3 图 4
AD AE DE
①“A”字模型 条件：如图 1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC ＝ ＝ 。
AB AC BC
AD AE DE
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
AD AE DE
②反“A”字模型 条件：如图 2，∠AE D＝∠B；结论：△ADE∽△ACB ＝ ＝ 。
AC AB BC
AD AE DE
证明:∵∠AE D＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴ ＝ ＝ 。
AC AB BC
③同向双“A”字模型 条件：如图 3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC EG FG AG= = 。
BD CD AD
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
AD AE DE
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
④内接矩形模型 条件：如图 4，△ABC 的内接矩形 DEFG 的边 EF 在 BC 边上，D、G 分别在 AB、AC 边
上，且 AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM DG AN AN= = 。
BC AB AM
证明:∵DEFG 是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴ DG AN AN= = 。
BC AB AM
【例 2】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰VABC ， AB = AC = 5cm， BC = 6cm ，把它加
工成正方形EFGH 零件，使正方形的一边在BC 边上，其余两个顶点分别在 AB ， AC 上，则这个正方形零
件的边长是 cm．
12
【答案】
5
【知识点】三线合一、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，正方形的性质，三线合一性质，熟练掌握相似三角形的性质与
判定是解题的关键．
作 AO ^ BC 于O，得到BO = CO
1
= BC = 3cm，则 AO = AB2 - BO2 = 4，证明△EHB∽△AOB 、2
BE BA 5 5
VAEF∽VABC AE AB，则 = ， = ， AE = EF ，BE = EH
5 EF AB AE EB 25= ，则 = + = EF ，即
EH AO EF BC 6 4 4 12
EF 12= ．
5
【详解】解：如图所示，作 AO ^ BC 于O，
∵ AB = AC = 5cm， BC = 6cm
∴ BO = CO
1
= BC = 3cm
2
∴ AO = AB2 - BO2 = 4，
Q B = B ， BHE = BOA = 90°，
\△EHB∽△AOB ，
BE BA 5
\ = = ，
EH AO 4
5
\BE = EH 5= EF ，
4 4
Q四边形EFGH 是正方形，
\EF P BC ，
\ AEF = ABC ，
又Q A = A，
\VAEF∽VABC ，
AE AB 5
\ = = ，
EF BC 6
AE 5\ = EF ，
6
∴ AB = AE + EB
25
= EF = 5，
12
\ EF 12= ．
5
12
故答案为： ．
5
【变式 1】（24-25 九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图 1，在VABC 中，E 是 AB 上一点，过点 E 作BC
EG BD
的平行线交 AC 于点 F，点 D 是BC 上任意一点，连接 AD 交EF 于点 G，求证： = ；
GF CD
EG 1 DF
（2）如图 2，在（1）的条件下，连接 BF ，DF ，若 = ，且FE，FB恰好将 AFD 三等分，求 的
FG 2 FC
值．
【答案】（1 3）见解析；（2）
3
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
EG AG GF AG EG GF
（1）由EG∥BD 得△AEG∽△ABD，所以 = ，同理可得 = ，故 = ，即得答案；
BD AD CD AD BD CD
V V BD BF DF（2）先证明 BFD∽ BCF ，得到 = = ，设BD = m，求出BC ， BF 的值，即可求得答案．
BF BC FC
【详解】解：（1）QEG P BD ，
\VAEG∽VABD，
EG AG
\ = ，
BD AD
同理VAGF∽VADC ，
GF AG
\ = ，
CD AD
EG GF
\ = ，
BD CD
EG BD
\ = ；
GF CD
（2）QFE ，FB恰好将 AFD 三等分，
\ AFE = BFE = BFD，
QEF P BC ，
\ AFE = BCF ，
\ BFD = BCF ，
Q FBD = CBF ，
\△BFD∽△BCF ，
BD BF DF
\ = = ，
BF BC FC
EG BD 1
由（1）知 = = ，
FG CD 2
设BD = m，则CD = 2m，BC = BD + CD = 3m ，
BD BF
由 = 得， 2 2，
BF BC BF = BD × BC = m ×3m = 3m
\BF = 3m（负值舍去），
DF BF 3m 3
\ = = = ．
FC BC 3m 3
【变式 2】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在RtVAOB 中， AOB = 90°，OA和OB 的长分别是方程
x2 - 7x +12 = 0的两个根 OA < OB ，以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，已知点 P 从点
B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点A 运动，同时点Q从点A 出发，以相同的速度向点 O 匀速运
动，到达点 O 后又立即按原速返回，当点 P 到达终点时，点 Q 也随之停止运动，连接 PQ，设点 P、Q 的运
动时间为 t秒，△APQ 的面积为S ．请结合图象信息解答下列问题：
(1)求线段 AB 的长；
(2)求 S 与 t 之间的函数关系式；
(3)是否存在 t 的值，使△APQ 为直角三角形？若存在，请直接写出 t的值：若不存在请说明理由．
【答案】(1) 5
ì 2 2
- t + 2t 0 < t 3
(2) S = 5í
2 t 2 22- t +12 3 < t < 5


5 5
15 7
(3)当 t = 或 时，△APQ 为直角三角形．
8 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程、列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与
性质综合
【分析】（1）先解方程，可得OA = 3，OB = 4 ，再利用勾股定理求解即可；
4
（2）如图，过 P 作 PC ^ OA于C ，证明VAPC∽VABO ，可得PC = - t + 4，再分两种情况列函数解析式即
5
可；
（3）如图，当0 < t 3， AQP = 90°时，则PQ∥OB ，可得VAQP∽VAOB
15
，求解 t = ；当 APQ = 90°
8
25
时，证明VAPQ∽VAOB ，求解： t = （不符合题意，舍去）当3 < t < 5时，此时 APQ = 90°，证明
8
VAPQ∽VAOB t 7，可得 = 2 ；从而可得答案．
【详解】（1）解：∵ x2 - 7x +12 = 0，
∴ x - 3 x - 4 = 0，
解得： x1 = 3， x2 = 4，
∵ OA和OB 的长分别是方程 x2 - 7x +12 = 0的两个根 OA < OB ，
∴ OA = 3，OB = 4 ，
∵ AOB = 90°，
∴ AB = 32 + 42 = 5；
（2）解：如图，过 P 作 PC ^ OA于C ，
∵ AOB = 90°，
∴ PC∥OB ，
∴VAPC∽VABO ，
AP PC
∴ = ，
AB OB
5 - t PC
∴ = ，
5 4
4
∴ PC = - t + 4，
5
∴当0 < t 3时， AQ = t ，
S 1 AQ PC 1 t 4 2∴ = × = × - t + 4
= - t 2 + 2t ；
2 2 ֏ 5 5
当3 < t < 5时， AQ = 6 - t ，
1 1 4 2
∴ S = AQ × PC = 6 - t - t + 4 = t 2 22 ÷ - t +12；2 2 è 5 5 5
ì 2
- t
2 + 2t 0 < t 3
S = ∴ 5í
2
；
t 2 22- t +12 3 < t < 5
5 5
（3）解：如图，当0 < t 3， AQP = 90°时，则PQ∥OB ，
∴VAQP∽VAOB ，
t 5 - t
∴ = ，
3 5
t 15解得： = ；
8
当 APQ = 90°时，
∴ APQ = AOB = 90°， QAP = BAO ，
∴VAPQ∽VAOB ，
AP AQ
∴ = ，
AO AB
5 - t t
∴ = ，
3 5
解得： t
25
= （不符合题意，舍去）；
8
当3 < t < 5时，此时 APQ = 90°，
∴ APQ = AOB = 90°， QAP = BAO ，
∴VAPQ∽VAOB ，
AP AQ
∴ = ，
AO AB
5 - t 6 - t
∴ = ，
3 5
7
解得： t = 2 ；
同理可得： AQP = 90°时不符合题意，舍去；
15 7
综上：当 t = 或 时，△APQ 为直角三角形．
8 2
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，清晰的分
类讨论是解本题的关键．
【题型二】相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
【例 1】（2025·湖南张家界·一模）如图，线段 AB 与CD相交于点 P ， AP = 5，CP = 3，BP =10，
DP = 6．求证：△APC∽△BPD ．
【答案】见解析
【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得
结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：Q AP = 5，CP = 3，BP =10，DP = 6，
\ AP 5 1 CP 3 1= = = =
BP 10 2 ， DP 6 2 ，
\ AP CP= ，
BP DP
又Q APC = BPD，
\△APC∽△BPD ．
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个
三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型
图 1 图 2 图 3 图 4
①“8”字模型
AB OA OB
条件：如图 1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD ＝ ＝ 。
CD OC OD
AB OA OB
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴ ＝ ＝ 。
CD OC OD
②反“8”字模型
AB OA OB
条件：如图 2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC ＝ ＝ 。
CD OD OC
AB OA OB
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴ ＝ ＝ 。
CD OD OC
③平行双“8”字模型
条件：如图 3，AB∥CD；结论： AE BE AB= = 。
DF CF CD
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴ AE BE AB= = 。
DF CF CD
④斜双“8”字模型
条件：如图 4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC ∠3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即 AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
【例 2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形 ABCD中，E 是 AD 的中点，连接CE，交对角线BD于点
EF
F．若 AD = 6，则 的值为 ．
CE
1
【答案】
3
【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，得到VEDF∽VCBF 是解题的关键．
由矩形得到 AD∥CB，则VEDF∽VCBF ，再由线段关系，根据对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形， AD = 6，
∴ AD = CB = 6， AD∥CB，
∵E 是 AD 的中点，
∴ ED
1
= AD = 3，
2
∵ ED∥CB ，
∴VEDF∽VCBF ，
EF ED 3 1
∴ = = = ，
CF BC 6 2
EF 1
∴ =
CE 3
1
故答案为： ．
3
【变式 1】（2025·天津红桥·一模）如图，线段 AB ，CD相交于点 E，若 AE =10，CE = 6，BE = 5，
DE = 3．
(1)求证： AC∥DB ；
(2)若BD = CE ，求 AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2) AC =12
【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）判断△AEC∽△BED ，即可解答；
（2）利用相似三角形的性质，即可解答．
Q AE CE【详解】（1）解： = = 2， AEC = BED ，
BE DE
\VAEC∽VBED，
\ A = B，
\ AC∥DB；
（2）解：根据（1）中△AEC∽△BED ，
AC CE
可得 = ，
BD DE
QBD = CE ，
AC 6
\ = ，
6 3
可得 AC =12．
【变式 2】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形 ABCD中，点E 在 AD 边上，连接CE，交对角线BD于点
F ，且 AE = CE ．
(1)若 ADB = 35°，求 DCE 的度数；
(2)若EF =1，CF = 4，求DE 的长；
EF
(3)若DE = DF ，求 的值．
CF
【答案】(1) DCE = 20°
5
(2) DE 的长为
3
EF
(3) = 5 - 2
CF
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）如图，连接 AC ，交对角线BD于点O，根据矩形的性质得到OA = OD， ADC = 90°，则
CAD = ADB = 35°，由等边对等角得到 ECA = EAC = 35°，由三角形外角的性质得到 DEC = 70°，根
据直角三角形两锐角互余即可求解；
EF ED
（2）根据矩形的性质得到VEFD∽VCFB ， = ，则BC = 4DE，设DE = x ，则BC = AD = 4x ，
CF BC
AE = CE = EF + CF =1+ 4 = 5，所以DE = AD - AE = 4x - 5，由此列式求解即可；
（3）设DE = DF = a ，CE = AE = b ，由矩形的性质，结合题意得到 DEF = DFE = BFC = BCF ，
BC = BF = AD = a + b ，BD = BF + DF = BF + DE = a + b + a = 2a + b，在Rt△BCD 中，由勾股定理得
BD2 - BC 2 = CD2，在Rt△CDE 中，由勾股定理得EC 2 - ED2 = CD2，整理得b2 - 2ab - 4a2 = 0，所以
b = 1± 5 a ，即BE = a + b = 2 + 5 a ，由（2）知VEFD∽VCFB ，可得
EF DF a a 1
= = = = = 5 - 2
CF BF a + b 2 + 5 a 5 + 2 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接 AC ，交对角线BD于点O，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ OA = OD， ADC = 90°，
∴ CAD = ADB = 35°，
∵ AE = CE ，
∴ ECA = EAC = 35°，
∴ DEC = 70°，
∴ DCE = 90° - DEC = 90° - 70° = 20°．
（2）解：∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AD∥BC ，
∴ EDF = FBC ， DEF = FCB，
∴VEFD∽VCFB ，
EF ED
∴ = ，
CF BC
∵ EF =1，CF = 4，
ED EF 1
∴ = = ，即BC = 4DE，
BC CF 4
设DE = x ，则BC = AD = 4x ，
∵ AE = CE = EF + CF =1+ 4 = 5，
∴ DE = AD - AE = 4x - 5，
即 x = 4x - 5，
5
解得 x = ，
3
5
∴ DE 的长为 ．
3
（3）解：设DE = DF = a ，CE = AE = b ，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ CDE = BCD = 90°， AD∥BC ，
∴ DEF = FCB，
∵ DE = DF ，
∴ DEF = DFE，
∵ DFE = BFC ，
∴ DEF = DFE = BFC = BCF ，
∴ BC = BF = AD = a + b ，BD = BF + DF = BF + DE = a + b + a = 2a + b，
在Rt△BCD 中，由勾股定理得BD2 - BC 2 = CD2，
在Rt△CDE 中，由勾股定理得EC 2 - ED2 = CD2，
∴ 2 2 2BD - BC 2 = EC 2 - ED2，即 2a + b - a + b = b2 - a2，
整理得b2 - 2ab - 4a2 = 0，
∴ b = 1± 5 a ，
∵ a > 0，b > 0，
∴ b = 1+ 5 a ，
∴ BE = a + b = 2 + 5 a ，
由（2）知VEFD∽VCFB ，
EF DF a a 1
∴ = = = = = 5 - 2CF BF a + b 2 + 5 a 5 + 2 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，勾股
定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是解题的关
键．
1
【变式 3】（2025·江苏宿迁·一模）在梯形 ABCD中， AD∥BC ，点E 在边 AB 上，且 AE = AB ．
3
1
(1)如图 1 所示，点F 在边CD上，且DF = DC ，连接EF ，求证：EF∥BC ；
3
(2)已知 AD = AE =1．
S
① 2 M BC BM = CM = 2 EM DM EC DM EC N DMCN如图 所示，如果点 在边 上，且 ，连接 、 、 ， 与 交于 ．求 SDDCN
的值；
②如图 3 所示，连接DE ，如果VADE 外接圆的圆心恰好落在 B 的平分线上，求VADE 的外接圆的半径
长．
【答案】(1)见解析
2
(2)① ② 6；
3 2
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、 三角形外接圆的概念辨析、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】（1）连接CE
PE AE 1
并延长交 DA的延长线于 P，证明VAEP∽VBEC ，得出 = =CE BE 2 ，结合已知可得出，
CF CE 2
= = ，证明VPCD∽VECF ，得出 D = CFECD CP 3 ，则可证明EF∥ AD ，即可证明；
（2）①连接CE并延长交DA的延长线于 P，证明VAEP∽VBEM ，求出 AP =1，EM = 2PE ，证明四边形 PDCM
MN 2
是平行四边形，得出 PM = CD，PM ∥CD，证明VEMN∽VCDN ，求出 =DN 3 ，即可求解；
②设VADE 的外接圆的圆心为 O，连接OB ，OE ，OA，OD ，过 O 作OF ^ AB 于 F，证明
1 1
△AOD≌△AOE ，得出 DAO = EAO = BAD2 ，由角平分线定义得出 ABO = ABC ，结合平行线的性质2
5
可求出 ABO + BAO = 90°，然后证明VAFO∽VOFB ，根据相似三角形的性质求出OF = ，最后根据勾股
2
定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接CE并延长交DA的延长线于 P，
∵ AD∥BC ，
∴VAEP∽VBEC ，
PE AE
∴ = ，
CE BE
AE 1∵ = AB ，
3
PE AE 1
∴ = =CE BE 2 ，
CE 2
∴ = ，
CP 3
1
∵ DF = DC ，
3
CF 2
∴ = ，
CD 3
CF CE
∴ =
CD CP ，
∴ PCD = ECF ，
∴VPCD∽VECF ，
∴ D = CFE ，
∴ EF∥ AD ，
又 AD∥BC ，
∴ EF∥BC ；
（2）解：①连接CE并延长交DA的延长线于 P，
1
∵ AD = AE =1， AE = AB ，
3
∴ AB = 3，BE = 2，
∵ AD∥BC ，
∴VAEP∽VBEM ，
AP AE PE AP 1 PE
∴ = = = =BM BE EM ，即 2 2 EM ，
∴ AP =1，EM = 2PE ，
EM 2PM 2
∴ PD = AP + AD = 2 ， = =PM PM + 2PM 3 ，
又MC = 2 ，
∴ PD = MC ，
∵ PD∥MC ，
∴四边形 PDCM 是平行四边形，
∴ PM = CD，PM ∥CD，
∴VEMN∽VCDN ，
MN EM EM 2
∴ = = =DN CD PM 3 ，
S
∴ VMCN
MN 2
= =
SVDCN DN 3
；
②如图，设VADE 的外接圆的圆心为 O，连接OB ，OE ，OA，OD ，过 O 作OF ^ AB 于 F，
∵ AD = AE ，OD = OE ，OA = OA，
∴△AOD≌△AOE ，
∴ DAO = EAO
1
= BAD
2 ，
∵ OB 平分 ABC ，
∴ ABO
1
= ABC ，
2
1 1 1
∴ ABO + BAO = ABC + BAD = ABC + BAD ，
2 2 2
∵ AD∥BC ，
∴ ABC + BAD =180°，
∴ ABO + BAO = 90°，
∴ AOB = 90°，
∵ OF ^ AB ，
∴ AFO = BFO = 90°，
∴ AOF + BAO = 90° ，
∴ AOF = OBF ，
∴VAFO∽VOFB ，
AF OF
∴ =OF BF ，
∵ OA = OE，
AF 1∴ = AE
1
= ，
2 2
BF AB AF 5∴ = - = 2 ，
1
∴ 2
OF
=
OF 5 ，
2
∴ OF 5= ，
2
∴ AO = AF 2 6+ OF 2 = ．
2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，勾股定理，平行四边形的判定与性质，
全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
【题型三】相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
【例 1】（2025·安徽合肥·一模）已知点E 是矩形 ABCD边DA延长上一点，且 AE = AC ，O是对角线 AC 和BD
的交点．连接CE，交 AB 于F ，交BD于G ，连接OF ，如图 1．
(1)求证：CE平分 ACB ．
(2)若 AB = 3， AD = 4，求 tan AOF 的值．
2
(3)若 AB = AD BG，如图 2，求 2 的值．CG
【答案】(1)见解析
8
(2)
9
(3) 2 - 2
2
【知识点】利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角
三角形的相关计算
【分析】（1）平行得到 E = BCF ，等边对等角，得到 E = ACF ，进而得到 BCF = ACF ，即可得证；
（2）过F 作 FH ^ AC 于 H ，勾股定理求出 AC 的长，进而求出 AE,OC 的长，角平分线的性质，得到
FB = FH ，证明VBCF∽VAEF ，求出FB的长，进而得到FH 的长，证明VBCF≌VHCF HL ，推出OH 的
长，再根据正切的定义，进行求解即可；
（3）易证矩形 ABCD是正方形，设 AB = BC = CD = AD = a ，进而得到 AE = AC = 2a ，证明
VBCF∽VAEF ，推出FA, FB的长，勾股定理求出CF 2 ，证明VAFC∽VBGC ，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵矩形 ABCD，
∴ AD∥BC ，
\ E = BCF
Q AE = AC ，
\ E = ACF ，
\ BCF = ACF
\ CE平分 ACB ．
（2）过F 作 FH ^ AC 于 H ．
在矩形 ABCD中，CD = AB = 3，BC = AD = 4， ABC = 90°
\ FB ^ BC ， AC = AB2 + BC 2 = 5，
\ AE = AC = 5 1，OC = AC
5
= ，
2 2
由（1）得CE平分 ACB ，
\ FB = FH ，
Q BC∥AD ，
\VBCF∽VAEF ，
FB BC 4
\ = =
FA AE 5
又Q FB + FA = AB = 3，
FB 3 4 4\ = = ，
9 3
FH 4\ = ，
3
∵ BF = FH ,CF = CF ， FHC = FBC = 90°，
∴VBCF≌VHCF HL ，
\CH = BC = 4，
\ OH CH OC CH 1 AC 4 5 3= - = - = - = ，
2 2 2
\ tan AOF FH 8 = = ；
OH 9
（3）Q AB = AD ，
\矩形 ABCD是正方形，
设 AB = BC = CD = AD = a ，则 AE = AC = 2a ，
由（2）知：VBCF∽VAEF ，
FB BC 1
\ = =
FA AE 2
1
\ FB = AB = 2 -1 a，FA = a - 2 -1 a = 2 - 2 a，1+ 2
∴ FC 2 = BF 2 + BC 2 = 4 - 2 2 a2 ，
Q FAC = CBG = 45°，CF 平分 BCA，
∴ ACF = BCG = 22.5°，
\VAFC∽VBGC ，
AF CF
\ = ，
BG CG
AF BG
\ = ，
CF CG
BG2 AF 2 (6 - 4 2)a2 2 - 2
\ 2 = = = ．CG CF 2 (4 - 2 2)a2 2
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型
图 1 图 2 图 3
①一“A”+“8”模型 条件：如图 1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF， AD AE DE DF FE= = = = 。
AB AC BC FC BF
AD AE DE
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴ DE DF FE= = 。
BC FC BF
AD AE DE DF FE
∴ = = = = 。
AB AC BC FC BF
②两“A”+“8”模型 条件：如图 2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED， 1 1 1= + 。
AF BC DE
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴ DF AF= 。
DC BC
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴ CF AF= 。
CD DE
两式相加得到： DF CF AF AF AF AF+ = + ，即1 = + ，故 1 1 1= + 。
DC DC BC DE BC DE AF BC DE
③四“A”+“8”模型 3 条件：如图 3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG， 1 1 1 1 2+ = = = 。
BC DE AF AG GF
证明:同②中的证法，易证： 1 1 1 1 1 1+ = ， + = ，
BC DE AF BC DE AG
∴ 1 1= ，即 AF=AG，故 1 1 1 2+ = = 。AF AG BC DE GF GF
2
【例 2】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，在矩形 ABCD中，点 E、F 分别在边BC、CD 上，且
BAE = DAF ，延长 AE、AF 分别交DC、BC 延长线于点 H、G．
(1)求证：DF ×CD = BE × BC ；
(2)联结EF、HG ，如果EF∥HG，求证：四边形 ABCD是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA 或者 AAS）、利用矩形的性质证明、证明四边形是正方形、
相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判
定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得 AD = BC，AB = CD，∠B =∠D = 90°，再证明VBAE∽VDAF 推出DF × AB = BE × AD ，
则DF ×CD = BE × BC ；
（2）先导角证明∠CEH =∠CFG ，则可证明△ECH∽△FCG ，证明△ECF∽△GCH ，进而可证明
CH = CG ，CE = CF ，再证明VEAG≌VFAH AAS ，得到 AE = AF ，即可证明 AB = AD ，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AD = BC，AB = CD，∠B =∠D = 90°，
又∵ BAE = DAF ，
∴VBAE∽VDAF ，
AB BE
∴ = ，
AD DF
∴ DF × AB = BE × AD ，即DF ×CD = BE × BC ；
（2）证明：∵VBAE∽VDAF ，
∴ AEB = AFD ，
∵∠CEH =∠AEB，∠CFG =∠AFD ，
∴∠CEH =∠CFG ，
又∵∠ECH =∠FCG ，
∴△ECH∽△FCG ，
EC CH
∴ = ，
FC CG
∵ EF∥GH ，
∴△ECF∽△GCH ，
EC CF
∴ = ，
CG CH
EC CG
∴ = ，
CF CH
CH CG
∴ = ，
CG CH
∴ CH = CG ，
∴ CE = CF ，
∴ CG + CE = CH + CF ，即EG = FH ，
又∵∠EAG =∠FAH，∠EGA =∠FHA，
∴VEAG≌VFAH AAS ，
∴ AE = AF ，
∵VBAE∽VDAF ，
AB AE
∴ = = 1，
AD AF
∴ AB = AD ，
∴四边形 ABCD是正方形．
【变式 1】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形 ABCD中， ABC = DCB = 90°，CD = 2AB ， AC 、BD
相交于点E ，EF ^ BC ，垂足为点F ，连接DF 交 AC 于点G ，连接BG ．
(1)求证： AD = AC ；
EF
(2)求 的值；
CD
(3)求证：BG∥ AD．
【答案】(1)证明见解析
1
(2)
3
(3)证明见解析
【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判
定与性质综合
【分析】（1）如图，过点A 作 AH ^ CD于点 H ，证明四边形 ABCH 是矩形，得CH = AB ，进一步证明 AH
垂直平分CD，即可得证；
（2）证明△EAB∽ECD
AE BE AB 1 BE 1
得 = = = ，推出 = ，证明VBEF∽VBDC ，由相似三角形的性质
CE DE CD 2 BD 3
可得结论；
EG EF 1
（3）证明VGEF∽VGCD得 = = ，设EG = a ，则GC = 3a ，得EC = EG + GC = 4a，进一步推出
CG CD 3
BF AE 1 1
AB∥EF ，得 = = ，推出 AG = GC = AC = GB ，得 GAB = GBA，再推出
CF CE 2 2
DAC =180° - 2 ACD =180° - 2 GAB = AGB，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，过点A 作 AH ^ CD于点 H ，
∴ AHC = 90° = ABC = DCB ，
∴四边形 ABCH 是矩形，
∴ CH = AB ，
∵ CD = 2AB ，
∴ CH = DH ，即点 H 是CD的中点，
∴ AH 垂直平分CD，
∴ AD = AC ；
（2）解：∵ ABC = DCB = 90°，CD = 2AB ，
∴ AB∥CD AB 1， = ，
CD 2
∴ ABE = CDE ， BAE = DCE ，
∴△EAB∽ECD ，
AE BE AB 1
∴ = = = ，
CE DE CD 2
BE 1
∴ = ，
BD 3
∵ EF ^ BC ，
∴ EFB = 90° = DCB ，
∴ EF∥CD ，
∴ BEF = BDC ，
∴VBEF∽VBDC ，
EF BE 1
∴ = = ；
CD BD 3
EF 1
（3）证明：由（2）知， = ，EF∥CD ，
CD 3
∴ EFG = CDG， FEG = DCG，
∴VGEF∽VGCD，
EG EF 1
∴ = = ，
CG CD 3
设EG = a ，则GC = 3a ，
∴ EC = EG + GC = a + 3a = 4a，
∵ AB∥CD ，EF∥CD ，
∴ AB∥EF ，
BF AE 1
∴ = = ，
CF CE 2
1 1
∴ AE = CE = 4a = 2a2 2 ，
∴ AG = AE + EG = 2a + a = 3a，
∴ AG = GC
1
= AC = GB ，
2
∴ GAB = GBA，
∵ AB∥CD ，
∴ GAB = ACD ，
∵ AC = AD，
∴ ACD = ADC ，
∴ DAC =180° - 2 ACD =180° - 2 GAB = AGB，
∴ AD∥GB．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比
例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定和性质等知识点．掌握相
似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【变式 2】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图 1，AB∥EF∥CD ，AD 与BC 相交于点 E，点 F 在
1 1 1
BD上．求证： + = ；
AB CD EF
EF EF
小雅同学的想法是将结论转化为 + =1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
AB CD
（2）【类比探究】如图 2， AE ^ AB，BD ^ AB ，GH ^ AB ，DE 与BC 相交于点 G，点 H 在 AB 上，
AE 1 1 2= AC ．求证： - = ．
GH AC BD
（3）【拓展运用】如图 3，在 AC 四边形 ABCD中， AB∥CD ，连接，BD交于点 M，过点 M 作 EF∥AB，
交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 EC，FD 交于点 N，过点 N 作GH ∥ AB，交 AD 于点 G，交 BC 于点 H，
若 AB = 3，CD = 5，直接写出GH 的长．
30
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
7
EF DF EF BF
【分析】（1）由 AB∥EF ，可证△DEF ∽△DAB ，则 = ，同理可得： = ，则
AB BD CD BD
EF EF DF BF DF + BF BD 1 1 1
+ = + = = =1，两边同时除以 EF ，可得 + = ．
AB CD BD BD BD BD AB CD EF
（2）由 AE ^ AB，BD ^ AB ，GH ^ AB ， AE = AC ，可得CE∥GH∥BD ，CE = 2AC ，证明
CEG BDG CG CE 2AC△ ∽△ ，则 = = ，同理，△BAC BHG
AC BC BG + CG CG
∽△ ，则 = = =1+ ，两边
BG BD BD HG BG BG BG
1 1 2 1 1 2 1 1 1 1
同时除以 AC 得， = + ，进而可得 - = ；（3）由（1）可知， + = = ，
GH AC BD GH AC BD AB CD EM FM
1 1 1 1 1 1 8 2 15 1 1 7 2EF 15 + = =+ = = ，则 + = = ，解得， = ，则 ，计算求解即可．
EF CD GN HN 3 5 15 EF 4 5 15 GH4
EF DF EF BF
【详解】（1）证明：∵ AB∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，∴ = ．同理可得： = ，
AB BD CD BD
EF EF DF BF DF + BF BD 1 1 1
∴ + = + = = =1，两边同时除以 EF ，得 + = ．
AB CD BD BD BD BD AB CD EF
（2）证明：∵ AE ^ AB，BD ^ AB ，GH ^ AB ， AE = AC ，∴CE∥GH∥BD ，CE = 2AC ，
CEG BDG CG CE 2AC∵CE∥BD，∴△ ∽△ ，∴ = = ，同理，△BAC ∽△BHG ，
BG BD BD
AC BC BG + CG CG AC 2AC
∴ = = =1+ ，∴ =1+ ，
HG BG BG BG HG BD
1 1 2 1 1 2
两边同时除以 AC 得， = + ，∴ - = ；
GH AC BD GH AC BD
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）解：由（1）可知， + = = ， + = = ，
AB CD EM FM EF CD GN HN
1 1 8 2 15 1 1 7 2+ = = 30 30
∴ + = = ，解得，EF = ，∴ 15 5 15 GH ，解得，GH = ，∴GH = ．3 5 15 EF 4 4 7 7
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三
角形的判定条件．
【题型四】相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
【例 1】（2025·湖北武汉·一模）（1）【提出问题】如图1，M 是VABC 的边BC 上一点，且
AM AB
MAB = ACB ．求证： = ；
AC BC
（ 2）【探究问题】在四边形 ABCD中， ABC = 90°， AD∥BC ，E 是边CD上一点，连接 BE 交 AC 于点
P ，且 CBE = ACD ．
①如图 2，若 AB = 3，BC = 4，BE ^ CD，求 BE 的长；
BE
②如图3，若E 为CD的中点，直接写出 的值．
AC
8 5 2
【答案】（1）见解析；（2）① ；②
5 2
【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA 或者 AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三
角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）证明△ABM∽△CBA，利用相似三角形的性质即可证明结论；
（2）①导角证明 ABP = APB，得到 AB = AP ；求出 AC = 5，AP = 3，得到PC = AC - AP = 2，证明
BE 2
△CEP∽△BEC ，得到 = 2，设CE = x，BE = 2x ，由勾股定理得 42 = x2 + 2x ，解方程即可得到答
CE
案；②如图所示，延长BE，AD交于 F，连接 AE ，证明VEDF≌VECB AAS ，得到 AE = BE = EF ，则可
AE AD DE
证明 DAE = ACD ，再证明△ADE∽△CDA，得到 = = ，设DE = m，则CD = 2m，可得
AC CD AD
AE AD 2m 2 BE 2
AD = 2m，则 = = = ，即 = ．
AC CD 2m 2 AC 2
【详解】（1）证明：∵ MAB = ACB ， ABM = CBA，
∴△ABM∽△CBA，
AM AB
∴ = ；
AC BC
（ 2）①∵ BE ^ CD，
∴ BEC = 90°，
∴∠CPE = 90° -∠PCE ，
∵ ABC = 90°，
∴∠ABP = 90° -∠CBE ，
∵ CBE = ACD ， APB = CPE，
∴ ABP = APB，
∴ AB = AP ；
∵ AB = 3，BC = 4，
∴ AC = AB2 + BC2 = 5，AP = AB = 3，
∴ PC = AC - AP = 2，
∵∠ECP =∠EBC，∠CEP =∠BEC ，
∴△CEP∽△BEC ，
BE BC 4
∴ = = = 2 ，
CE CP 2
设CE = x，BE = 2x ，
在Rt△CBE 中，由勾股定理得BC 2 = BE2 + CE2 ，
∴ 42 = x2 + 2x 2，
4 5 4 5
解得 x = 或 x = - （舍去），
5 5
∴ BE 2x 8 5= = ；
5
②如图所示，延长BE，AD交于 F，连接 AE ，
∵ AD∥BC ， ABC = 90°，
∴∠F =∠EBC，∠EDF =∠ECB，∠BAF = 180° -∠ABC = 90°，
∵ E 为CD的中点，
∴ DE = CE ，
∴VEDF≌VECB AAS ，
∴ BE = EF ，
∴ AE = BE = EF ，
∴∠EAF =∠F =∠EBC ，
∵ CBE = ACD ，
∴ DAE = ACD ，
又∵ ADE = CDA，
∴△ADE∽△CDA，
AE AD DE
∴ = = ，
AC CD AD
设DE = m，则CD = 2m，
∴ AD2 = DE ×CD = 2m2 ，即 AD = 2m，
∴ AE AD 2m 2 BE 2= = = ，即 = ．
AC CD 2m 2 AC 2
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是条件的关键．
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似
子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三
角形相似。
图 1 图 2 图 3 图 4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图 1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ AD AB= ，∴AB2＝AD·AC.
AB BC
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图 2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ AC AD= ，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
AB AC
3）“母子”模型（变形）
条件：如图 3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图 1，在四边形 ABCD中，对角线BD平分 ABC ， ADB = DCB ，结论： BD2 = BA × BC ；
证明：∵对角线BD平分 ABC ，∴∠ABD=∠CBC，
∵ ADB = DCB ，∴△ADB∽△DCB，∴ AB DB= ，∴BD2 = BA × BC
DB BC
【例 2】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，三条边BC, AC, AB 及 AB 边上的
高CD分别记为 a,b,c, h．
(1)求证： ab = ch；
1 1 1
(2)求证：
a2
+
b2
= ；
h2
(3)若将Rt△ABC 变为锐角VABC ，其他不变，如图，设其外接圆的直径为 d ，试探索并写出 a,b,h,d 这 4 个
量的一个等量关系，然后给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
b h
(3) = ，证明见解析
d a
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的
量是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式即可求解；
2 a
2 b2 c2
（ ）根据勾股定理得 a2 + b2 = c2，式子变形可得 2 2 + 2 2 = 2 2 ，又有 ab = ch，即可证明；a b a b a b
AC CD b h
（3）过点C 作直径CE交圆于点E ，连接 BE ，即可证明△CAD∽△CEB，推出 = ，即 = ．
CE CB d a
【详解】（1）证明：Q ACB = 90°， BC = a， AC = b， AB = c，CD = h ，
S 1 ab 1\ △ACB = = ch，2 2
\ab = ch ．
（2）证明：在Rt△ABC 中， ACB = 90°，根据勾股定理得， a2 + b2 = c2，
a2 + b2 c2
\
a2
= ，
b2 a2b2
a2 b2 c2
\
a2b2
+ 2 = ，a b2 a2b2
又Qab = ch （已证），
a2 b2 c2
\
a2b2
+
a2
=
b2 c2 2
，
h
1 1 1
\
a2
+ 2 = 2 ．b h
b h
（3）解： = ，证明如下：
d a
过点C 作直径CE交圆于点E ，连接 BE ，
QCE 为圆的直径，
\ CBE = CDA = 90°，
Q CEB = CAD ，
\△CAD∽△CEB ，
AC CD b h
\ = ，即： = ．
CE CB d a
【变式 1】（2025·江苏徐州·一模）2024 年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第 27 题的尺规作图，体
现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，
请按要求完成下列问题．
(1)如图 1，在VABC 中，D在边BC 上，且 1 = 2，求证： AB2 = BD × BC ；
(2)如图 2，在VABC 中，若 ACB = 90°，CD ^ AB 于点D， AC = 3,BC = 4，求BD；
(3)图 3，已知点D在线段 AB 上，用无刻度的直尺和圆规在直线 a上找所有的点 P ，满足 BPD = PAB ．
【答案】(1)见解析
16
(2)
5
(3)见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判
定与性质综合
【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是：
（1）证明△ ABD∽ △CBA ，即可得证；
（2）根据勾股定理求出 AB ，证明△BCD∽△BAC ，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（3）延长 AB 至点D1，使BD1 = BD ，作线段 AD1 的垂直平分线交 AD1 于 O，以 O 为圆心，OA为半径作圆，
过 B 作 AB 的垂线交eO 于点 Q，以 B 为圆心，BQ为半径画弧交直线 a 于P1，P2即可．
【详解】（1）证明：∵ 1 = 2， B = B，
∴△ ABD∽ △CBA ，
AB BD
∴ = ，
BC AB
∴ AB2 = BD × BC ；
（2）解：∵ ACB = 90°， AC = 3，BC = 4，
∴ AB = AC 2 + BC 2 = 5，
∵ CD ^ AB ，
∴ CDB = ACB = 90°，
又 B = B，
∴△BCD∽△BAC ，
BD BC BD 4
∴ = ，即 = ，
BC BA 4 5
BD 16解得 = ；
5
（3）解：如图，点P1，P2即为所求，
理由：由作图知： BP1 = BP2 = BQ ，BQ ^ AB ， AB 是eO 的直径，BD1 = BD ，
∴ AQD1 = 90°， ABQ = QBD = 90°，
∴ AQB = QD1B = 90° - BQD1，
∴VABQ∽VQBD1，
AB QB
∴ =QB BD ，1
∵ BQ = BP1 ，BD1 = BD ，
AB BP
∴ = 1BP BD ，1
又 ABP1 = P1BD ，
∴VABP1∽VP1BD ，
∴ BP1D = P1AB ，
同理：VABP2∽VP2BD，
∴ BP2D = P2 AB．
【变式 2】（2025·吉林长春·一模）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，AB = 2 5 ，AC = 2，点 E 是边BC
上一点（且点 E 不与点 B、C 重合），连结 AE ．过点 C 作CD ^ AE ，交边 AB 于点 D，交线段 AE 于点 F．
(1)边BC 的长为____；
(2)当△CAF∽△ABC 时，求 AD 的长；
AD
(3)当CE = 3时，求 的值；
BD
(4)连结DE ，当四边形 ACED为轴对称图形时，直接写出BD的长．
【答案】(1)4；
(2) AD = 5；
AD 1
(3) = ；
BD 3
4
(4) BD的长为 2 5 - 2或 5 ．3
【知识点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、已
知余弦求边长
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）分△ACF ∽△ABC 、VACF ∽VBAC 两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与
性质求解即可；
（3）过点 E 作EH P CD ，交 AB 于点 H ，根据勾股定理求出 AE = AC + CE2 = 13 ，BE =1，由
cos CAE AC AF
2 AF AF 4 AD AF 4
= = ，即 = 2 ，求出
AF , EF ，得到 = ，根据 EH P CD ，得到 = = ，
AE AC 13 EF 9 DH EF 9
BH BE 1 AD 1
= = ，即可得到 = ．
DH CE 3 BD 3
（4）分以 AE 为对称轴、以CD为对称轴讨论，利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AB = 2 5 ， AC = 2，
∴ BC = AB2 - AC 2 = 4．
故答案为：4．
（2）解：∵ ACB = 90°，
当VCAF∽VABC 时，
∴ CAF = B，
∵ AE ^ CD， ACB = 90°，
∴ CAF + ACF = 90°， ACF + FCB = 90°，
∴ CAF = FCB = B，则 ACF = BAC ，
1
∴ AD = CD = BD = AB = 5 ，
2
综上， AD 的长为 5 ．
（3）解： 如图，过点 E 作EH P CD ，交 AB 于点 H ，
∵ AC = 2,CE = 3, ACE = 90°，
∴ AE = AC + CE2 = 13 ，BE =1，
cos CAE AC AF
2 AF
∵ = = ，即 = ，
AE AC 13 2
∴ AF
4
= 13 ，
13
EF AE AF AF 9∴ = - = = 13 ，
13
AF 4
∴ = ，
EF 9
∵ EH P CD ，
AD AF 4
∴ = = ，
DH EF 9
∴ AD
4
= DH ，
9
∵ EH P CD ，
BH BE 1
∴ = = ，
DH CE 3
∴ BH
1
= DH ，
3
4
∴ BD = DH ，
3
AD 1
∴ = ．
BD 3
（4）解：当四边形 ACED为轴对称图形时，
①如图，以 AE 为对称轴时，则 AD = AC = 2，
∴ BD = AB - AD = 2 5 - 2 ；
②如图，以CD为对称轴时，则 ACD = BCD，
∴点 D 到 AC、BC 的距离相等，
设点 D 到 AC、BC 的距离为 h，点 C 到 AB 的距离为 m，
1
S AC
1
×h AD ×m
∴ VACD = 2 2
S 1
= 1 ，
VBCD BC ×h BD ×m
2 2
AD 2 1
∴ = = ，即BD
2 4
= AB = 5 ，
BD 4 2 1+ 2 3
4
综上，BD的长为 2 5 - 2或 5 ．3
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段
成比例，轴对称的性质，三角函数等知识点，明确题意、添加合适辅助线构造相似三角形以及分类讨论思
想的运用是解题的关键．
【题型五】相似模型之一线三等角模型
【例 1】（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形 ABCD中，E 是BC 上的一点，且 AED = B = C ．
(1)如图 1，若 AED = B = C = 90°，求证：△ABE∽△ECD ．
(2)如图 2，若 AED = B = C = 45°．
①求证： AB ×CD = BE ×CE．
②若 AB = 3 2 ，BE = 7，CE = 2，求 AD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① 5 5见解析；② AD =
3
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先得 BAE = CED，再结合 B = C = 90°，即可证明△ABE∽△ECD ，进行作答．
AB BE
（2）①先得 BAE = CED，再结合 B =∠C = 45°，即可证明△ABE∽△ECD ，得 = ，进行整理
EC CD
即可作答．
②先得出BM = AM = 3，在Rt△AME 中，由勾股定理得 AE = AM 2 + EM 2 = 5．结合△ABE∽△ECD ，则
3 2 5 DE 5 2= ，即 = ，DN = DE ×sin 45
5
° = 5 5，最后结合勾股定理列式计算，即可得出 ．
2 ED 3 3
AD =
3
【详解】（1）证明：∵ AED = B = 90°，
\ BAE + BEA = 90°， BEA + CED = 90°，
\ BAE = CED．
Q B = C = 90°，
\△ABE∽△ECD ．
（2）明：①Q AED = B = 45°，
\ BAE + BEA =135°， BEA + CED = 135°，
\ BAE = CED．
Q B =∠C = 45°，
\△ABE∽△ECD ，
\ AB BE= ，
EC CD
\ AB ×CD = BE ×CE．
②如图，过点 A 作 AM ^ BC 于点M ，过点D作DN ^ AE 于点 N ．
Q B = 45°， AB = 3 2 ，
\ BM = AM = AB ×sin 45° = 3．
Q BE = 7，
\ EM = BE - BM = 4 ，
\在Rt△AME 中， AE = AM 2 + EM 2 = 5．
由（2）的①，得△ABE∽△ECD ，
\ AB AE= ，
EC ED
3 2 5
即 = ，
2 ED
\ DE 5 2= ．
3
Q AED = 45°，
\ DN = NE = DE × sin 45 5° = ，
3
\ AN AE EN 5 5 10= - = - = ．
3 3
在Rt△ADN AD AN 2 DN 2 5 5中， = + = ．
3
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图 1 图 2 图 3
①特殊中点型：条件：如图 1，若 C 为 AB 的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴ AE CE= ，∵C 为 AB 的中点，∴AE=EB，∴ BE CE= ，∴ BE BD= ，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
BD ED BD ED CE ED
②一线三直角变异型 1：条件：如图 2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型 2：条件：如图 3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例 2】（2025·安徽淮北·一模）如图 1，在四边形 ABCD中， B = C ，点 E 是BC 上一点，且
AED = B．
(1)求证：△ABE∽△ECD ．
(2)① 3如图 2，若 tan ADE = ，当 B = C = 90°时，求证： 4AB = 3CE
4
②如图 3，当 B = C =120°，CE = 2，BE = 6，CD = 4时，求 AD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② 133
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．
（1）证明 DEC = BAE ，结合 B = C 即可得证；
AB AE
（2 3）①证明：由相似三角形的性质可得 = ，证明△AED 为直角三角形，结合 tan ADE = ，即可
EC ED 4
AE 3
得证；②由相似三角形的性质可得 AB = 3， = ，作EF ^ AD 于F ，DG ^ BC 于G ，求出
DE 2
DCG = 60 1°，得到CG = CD = 2 ，
2 DG = CD ×sin 60° = 2 3
，EG = 4 ，由勾股定理可得
DE = EG2 + DG2 = 2 7 ， AE = 3 7 ，作DF ^ AE 于 AE 的延长线F ，DG ^ BC 交BC 延长线与G ，由
Q AED = B， B = C =120°，知 DEF = 60°，在 Rt△DEF 中， DE = 2 7 ，求得 EF = 7，DF = 21，
在RtVADF 中，求得 AD 的长．
即可得解．
【详解】（1）证明：∵ AED = B，
∴ AEB + DEC = AEB + BAE ，
∴ DEC = BAE ，
∵ B = C ，
∴△ABE∽△ECD ；
（2）①证明：由（1）可知：△ABE∽△ECD ，
AB AE
∴ = ，
EC ED
∵ B = C = 90°， AED = B，
∴△AED 为直角三角形，
∵ tan ADE 3= ，
4
AB AE 3
∴ = = ，
EC ED 4
∴ 4AB = 3CE ；
②解：由（1）可知：△ABE∽△ECD ，
AB AE BE
∴ = = ，
EC ED CD
∵ CE = 2，BE = 6，CD = 4，
AE 3
∴ AB = 3， = ，
DE 2
如图，作DF ^ AE 于 AE 的延长线F ，DG ^ BC 交BC 延长线与G ，
，
∵ BCD =120°，
∴ DCG = 60°，
∴ CG
1
= CD = 2 ，
2 DG = CD ×sin 60° = 2 3
，
∴ EG = EC + CG = 4 ，
在RtVDEG 中，DE = EG2 + DG2 = 2 7 ，
∴ AE = 3 7 ，
Q AED = B， B = C =120°，
\ AED =120°， DEF = 60°
在Rt△DEF 中，DE = 2 7 ， DEF = 60°，
2 2
\ EF = 7，DF = 2 7 - 7 = 21
Q AF = AE + EF ，已知 AE = 3 7, EF = 7 ，
\ AF = 3 7 + 7 = 4 7 ，
RtVADF 中， AD = (4 7)2 + ( 21)2 = 112 + 21 = 133 ．
【变式 1】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形 ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，CD上．
CE
【尝试初探】（1）如图 1，若平行四边形 ABCD是正方形，E 为BC 的中点， AEF = 90°，求 的值；
DF
CE
【深入探究】（2）如图 2， B = 45°， AEF = 90°， AE = EF ，求 的值；
DF
4 AB 5 BE 3 CE
【拓展延伸】（3）如图 3， BF 与DE 交于点O， tan BOE = tan A = ， = ， = ，求 的值．
3 AD 7 EC 4 DF
1 2 14
【答案】（1） ；（2） ；（3）
3 2 11
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形
的相关计算
1 1
【分析】（1）证明 BAE = FEC ，由 E 为 BC 中点得到 BE = BC = AB ，则 tan FEC = tan BAE
1
= ，
2 2 2
FC 1 EC 1 BC 1得到 = = = DC ，DF
3
= DC ，即可得到答案；
2 4 4 4
（2）过点A 作 AG ^ BC 于点G ，过点F 作FH ^ BC 交BC 延长线于点 H ，连 AC ，AF ，证明VACD,VAEF
AD AF
都是等腰直角三角形，则 = = 2 ，证明△AEC ∽△AFD ，即可得到答案；
AC AE
（3）延长 AD ， BF 交于点G 点，过点D作DM ^ BC 于M ，过点 B 作BN ^ DE 交DE 延长线于 N ，利用
解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可．
【详解】（1）∵四边形 ABCD为正方形
∴ B = C = 90°
∴ BAE + AEB = 90°
∵ AEF = 90°
∴ AEB + FEC = 90°
∴ BAE = FEC
∵ E 为BC 中点
1 1
∴ BE = BC = AB ，
2 2
∴ tan FEC = tan BAE
1
=
2
FC 1 EC 1 BC 1∴ = = = DC
2 4 4
DF 3∴ = DC
4
CF 1
∴ =
DF 3
（2）过点A 作 AG ^ BC 于点G ，过点F 作FH ^ BC 交BC 延长线于点 H ，连 AC ， AF ，则
AGE = EHF = 90°，
∵ AEF = 90°
∴ AGE + GAE = AEG + CEF = 90°
∴ GAE = CEF ，
∵ AE = EF ，
∴VAGE≌VEHF AAS
∴ GE = FH , AG = EH ,
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD， AD∥CB，
∴ B = DCH = 45°，
∴VABG ，△CFH 是等腰直角三角形，
∴ EH = AG = BG ，GE = FH = CH
∴ GC = GE + EC = GE + EH - CH = EH = AG
∴VAGC 为等腰直角三角形
∴ ACG = 45°
∴ ACD =180° - 45° - 45° = 90°
∵ AD∥CB，
∴ D = FCH = 45°，
∴VACD为等腰直角三角形
∴ ACE = D = 45°,
∵ DAF + CAF = EAC + CAF = 45°，
∴ DAF = CAF ，
∵VACD,VAEF 都是等腰直角三角形，
AD AF
∴ = = 2 ，
AC AE
∴△AEC ∽△AFD
∴ CE AC 2= =
DF AD 2
（3）延长 AD ， BF 交于点G 点，过点D作DM ^ BC 于M ，过点 B 作BN ^ DE 交DE 延长线于 N ，
AB 5
不妨设BE = 3，EC = 4则 AD = BC = 7 ，由 = ，得DC = AB = 5
AD 7
由 tan BOE
4
= tan A =
3
3
∴ MC = DC = 3 ，DM = 4
5
∴ EM =1，DE = 1+ 42 = 17
∵ BNE = DME = 90°, BEN = DEM
∴△BNE∽△DME
∴ BN BE DM 12 17= × = ，EN BE EM 3 17= × =
DE 17 DE 17
∴ ON BN 9 17= =
tan BON 17
∴OE 6 17 11 17= ，OD = DE -OE =
17 17
∵ AG P BC
∴△BEO∽△GDO ，相似比为6:11
11 11
∴ DG = BE =
6 2
∵ AG P BC
∴△BCF ∽△GDF
CF BC 14
∴ = =
DF DG 11
【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等
三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键．
【变式 2】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图 1，点A 在直线 l上， BAD = 90°, AB = AD ，过点 B 作 BC ^ l 于点C ，过点 D作 DE ^ l 于点 E ，
由 1+ 2 = 2 + D = 90°，得 1= D，又 ACB = DEA = 90°，可以推理得到VABC≌DAE ，进而得到
AC = _______，BC = _______．我们把这个数学模型称为“ K 字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图 2，在VABC 中，点D为 AB 上一点，DE = DF = 3, A = EDF = B ，四边形CEDF 的周长为
10，VABC 的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到VADE ≌VBFD，进而得到
AE = BD, AD = BF ，那么 AB = AE + BF ，再根据题目中周长信息就可得 AB = _______；
（三）模型拓展
（3）如图 3，在VABC 中， ACB = 90°, AC = 2BC ，直线MN 经过点C ，且 AD ^ MN 于点D，BE ^ MN
于点E ．请猜想线段DE, AD, BE之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图 4，已知在矩形 ABCD中， AB = 14,BC = 7，点E 在CD边上，且DE = 4．P 是对角线 AC 上一动
点，Q
2
是边 AD 上一动点，且满足 sin EPQ = 5 ，当 P 在 AC 上运动时，请求线段 AQ 的最大值，并求出
5
此时线段 AP 的长度．
【答案】（1）DE, AE；（2）7 ；（3）DE = 2BE
1
- AD ，见解析；（4）当 AP = 2 5 时 AQ2 max
= 4
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(二
次函数综合)
【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论；
（2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出；
AD CD AC
（3）证明VCDA∽VBEC ，得 = = ，由 AC = 2BC ，得 AD = 2CE,CD = 2BE ，进而可得结论：
CE BE BC
（4）在 AC 上找一点F 使 EFP = DAC ，延长FE交 AD 的延长线于点G ，过点G 作 AC 的垂线，垂足为
M ，过点F 作 AD 的垂线，垂足为 N ．由矩形性质及勾股定理证明 BAC = DCA，求出
AC = AB2 + BC 2 = 7 5 ，证明 EFP = DAC = EPQ，进而证明VAQP∽VFPE，VGAF 为等腰三角形，
设 AM = MF = a，则 AF = 2a，解直角三角形求出DG = 3，EG = 5，设 AQ = y ， AP = x ，证明
VAQP∽VFPE x 4 5 - x ，得 y 1 4 5= = - x2 + x ，由二次函数的性质即可求解．
5 5 5
【详解】（1）解：QVABC≌VDAE ，
\ AC = DE, BC = AE ，
故答案为：DE, AE
（2）解：Q四边形CEDF 的周长为10，DE = DF = 3，
\CE + CF + DE + DF =10，
\CE + CF = 4，
Q VABC 的周长为18， AB = AE + BF ，
\ AB + AE + BF + CE + CF =18，
\2AB + 4 =18，
\ AB = 7，
故答案为：7 ；
1
（3）解：DE = 2BE - AD ；理由如下，
2
Q ACB = 90°，
\ ACD + BCD = 90°，
QBE ^ MN ，
\ BEC = 90°，
\ BCE + CBE = 90°，
\ ACD = CBE ，
Q AD ^ MN ，
\ CDA = 90°，
\ CDA = BEC = 90°，
\VCDA∽VBEC ，
AD CD AC
\ = = ，
CE BE BC
Q AC = 2BC ，
\ AD = 2CE,CD = 2BE，
\DE = CD - CE 1= 2BE - AD；
2
（4）解：在 AC 上找一点F 使 EFP = DAC ，延长FE交 AD 的延长线于点G ，过点G 作 AC 的垂线，垂
足为M ，过点F 作 AD 的垂线，垂足为 N ．
Q在矩形 ABCD中， AB = 14 ，BC = 7，
\AB = CD =14， AB∥CD， B = 90°
\ BAC = DCA， AC = AB2 + BC 2 = 7 5 ，
\sin DAC DC AB 2 5= = = ，
AC AC 5
Qsin EPQ 2= 5 ，
5
\ EFP = DAC = EPQ ，
Q QPF = QPE + EPF = DAC + AQP, QPE = DAC ，
\ EPF = AQP，
\VAQP∽VFPE ， AG = GF ，
\VGAF 为等腰三角形，
\ AM = MF ，
设 AM = MF = a，则 AF = 2a，
Qsin DAC 2 5= ，
5
\MG = 2a AG FG 5a FN 4 5， = = ， = a， AN 2 5= a ，
5 5
GN GA AN 5a 2 5\ = - = - a 3 5= a ，
5 5
Q tan DGE = tan NGF ，
4 5
DE FN a 4
\ = = 5 = ，
DG GN 3 5 3a
5
∵DE = 4 ，
\ DG = 3，EG = 5，
\ AG = GF =10，
\EF =10 - 5 = 5，
QMG = sin DAC·AG 2 5= 10 = 4 5 ，
5
\ AM = AG2 - MG2 = 2 5 ，
1
∴ AM = MF = AF = 2 5 ，
2 AF = 4 5
，
设 AQ = y ， AP = x ，
QVAQP∽VFPE ，
AQ AP
\ = ，
PF EF
y x
\ = ，
4 5 - x 5
x 4 5 - x
即 y 1 x2 4 5= = - + x ，
5 5 5
Q 1- < 0，对称轴为直线
5 x = 2 5
，
\当 x = 2 5 时， ymax = 4，
即当 AP = 2 5 时， AQmax = 4．
【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及
全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相
似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键．
【题型六】相似模型之手拉手模型
【例 1】（2025·甘肃陇南·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合
探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图 1，将VABC 绕点A 逆时针旋转90°得到VADE ，连接CE，DB．
① ACE 的度数为______；
②若CE = 2，则CA的长为______；
【拓展延伸】
（2）如图 2，在四边形 ABCD中，CD = CB ， BAD + BCD = 90°， AC ，BD为对角线，且满足
AC 3= CD ，若 AD = 3， AB = 4，请求出BD的长．
2
【答案】（1）① 45°；② 2 ；
BD 10（2） =
3
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定
义
【分析】（1）①根据旋转的性质得到VBAD,VCAE 是等腰直角三角形，由此即可求解；
②根据等腰直角三角形的性质得到 AC AE 2= = CE，即可求解；
2
（2）如图所示，由CD = CB 可将VADC 绕点C 逆时针旋转，至CD与CB重合，得VFBC ，连接 AF ，证明
V CD DB 2CDB∽VCAF ，得 = ，即BD = AF ，在四边形 ABCD中， BAD + BCD = 90°，则
CA AF 3
ABC + FBC = 270°，由周角可得 ABF = 360° - ABC + FBC = 360° - 270° = 90°，在RtVABF 中，
FB = 3, AB = 4 ，由勾股定理得到 AF = AB2 + BF 2 = 32 + 42 = 5，即可求解．
【详解】解：（1）①∵将VABC 绕点A 逆时针旋转90°得到VADE ，
∴ BAD = CAE = 90°, BA = DA,CA = EA，
∴VBAD,VCAE 是等腰直角三角形，
∴ ACE = 45°；
②∵VCAE 是等腰直角三角形，
∴ AC AE 2 CE 2= = = 2 = 2 ；
2 2
故答案为：① 45°；② 2 ；
（2）如图所示，由CD = CB 可将VADC 绕点C 逆时针旋转，至CD与CB重合，得VFBC ，连接 AF ，
∴VADC≌VFBC ，
∴ AD = FB = 3, ADC = FBC, AC = FC, DCA = BCF ，
∴ DCA + ACB = ACB + BCF ，即 DCB = ACF ，
CD CB
∴ = ，
CA CF
∴VCDB∽VCAF ，
CD DB
∴ = ，
CA AF
∵ AC
3
= CD ，
2
CD 2
∴ = ，
CA 3
DB 2 2
∴ = ，即BD = AF ，
AF 3 3
在四边形 ABCD中， BAD + BCD = 90°，
∴ ADC + ABC = 360° - 90° = 270°，
∴ ABC + FBC = 270°，
∴ ABF = 360° - ABC + FBC = 360° - 270° = 90°，
∴在RtVABF 中，FB = 3, AB = 4 ，
∴ AF = AB2 + BF 2 = 32 + 42 = 5，
∴ BD
2 10
= 5 = ．
3 3
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综
合，掌握旋转的性质，相似三角形的判定和性质是关键．
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE= ， AD AB= = k ；
AE AC
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； BD = k ；∠BFC=∠BAC.
EC
证明：∵ AD AE AD AE= = k ，∴ = ，∵∠BAC=∠DAE= ，∴△ADE∽△ABC，
AB AC AB AC
∵∠BAC=∠DAE= ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵ AD AB= = k ，∴△ABD∽△ACE，∴ BD AB= = k ，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE= ，
AE AC EC AC
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图， AOB = COD = 90°， OC OA= = k ；
OD OB
结论：△AOC∽△BOD； AC = k ，AC⊥BD， S 1= AB CD .
BD ABCD 2
证明：∵ AOB = COD = 90°，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵ OC OA k ，∴△AOC∽△BOD，∴ AC OA= = = = k ，∠OAB=∠OBD，
OD OB BD OB
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴ S 1 .ABCD = AB CD2
【例 2】（2025·江苏盐城·一模）问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶
点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在VABC 中， B = 90°，
AB = BC = 4，分别取 AB 、 AC 的中点D、E ，作VADE ．如图 2 所示，将VADE 绕点A 逆时针旋转，连
接BD、CE．
【探究发现】旋转过程中，线段BD和CE存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图 3，当DE 所在直线首次经过点 B 时，求CE的长．
【延伸思考】如图 4，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，AB = 8，BC = 6，分别取 AB 、BC 的中点D、E ．作
VBDE ，将VBDE 绕点 B 逆时针旋转，连接 AD 、CE．当BD首次与 AC 平行时，求VECB 的面积．
27
【答案】探究发现： 2BD = CE，理由见详解；类比应用：CE = 2 6 ；延伸思考： 5
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的
相关计算
AD 1 1 AD AB【分析】（探究发现）根据中点的定义得出 = AB, AE = AC ，进而得出 = ，即可得
2 2 AE AC
cos BAC AB 2= = ，通过证明VABD ∽VACE，即可得出结论；
AC 2
（类比应用）根据题意推出当DE 所在直线经过点 B 时， AD ^ BE ，根据勾股定理可得
BD 2
BD = AB2 - AD2 = 2 3 ，根据（探究发现）可得 = ，即可求解；
CE 2
（延伸思考）过点E 作EG ^ BC 于点G ，根据平行线的性质得出 ABD = BAC ，根 据 旋转的 性 质 得
出 ABD = CBE ，进 而 推 出 CAB = EBC ，则 sin CAB = sin EBG
3 9
= ，求 出EG = BE ×sin EBG = ，
5 5
再根据三角形面积公式，即可解答．
【详解】（探究发现）解： 2BD = CE，
理由如下：
∵点D和点E 为分别为 AB, AC 中点，
∴ AD
1
= AB, AE 1= AC ，
2 2
AD AE
\ = ，
AB AC
AD AB
∴ = ，
AE AC
Q B = 90°, AB = BC = 4，
\ BAC = 45°，
\cos AB 2 BAC = = ，
AC 2
根据旋转的性质可得： BAD = CAE ，
\△ABD∽△ACE ，
BD AB 2
\ = = ，
CE AC 2
即 2BD = CE．
（类比应用）解：由图 1 可知 ∵点D和点E 为分别为 AB, AC 中点，
1
\DE∥BC, AD = AB = 2，
2
\△ABC∽△ADE ，
\ ADE = ABC = 90°，
∴当DE 所在直线经过点 B 时， AD ^ BE ，
根据勾股定理可得：BD = AB2 - AD2 = 42 - 22 = 2 3 ，
BD 2
由（探究发现）可得： = ，
CE 2
2 3 2
\ = ，
CE 2
解得：CE = 2 6 ；
（延伸思考）解：过点E 作EG ^ BC 于点G ，
BE 1根据题意可得： = BC = 3，
2
Q ABC = 90°, AB = 8, BC = 6，
\ AC = AB2 + BC 2 = 82 + 62 =10 ，
BC 3
\sin CAB = = ，
AC 5
∵ AC∥BD ，
\ BAC = ABD，
根据旋转的性质可得： ABD = EBC ，
\ CAB = EBC ，
sin CAB sin EBG 3\ = = ，
5
EG BE sin EBG 3 9\ = × = 3 = ，
4 5
\S 1VBCE = BC × EG
1
= 6 9 27 = ．
2 2 5 5
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，
解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及
解直角三角形的方法和步骤．
【变式 1】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图 1，若 BAC = DAE AB AD， = ，则△ABC ∽ △ADE．小明称图 1 中的VABCAC AE 和VADE
互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图 2，若 BAC = 90°， B = 30°，BC = 4，D 为BC 的中点．以 AD 为一边在 AD 右侧作VADE ，
且VABC 和VADE 互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为______；
（2）在图 1 中，连接BD，CE ，求证：VABD ∽VACE；
【变式应用】
（3）如图 3，在VABC 中， AB = AC = 5，BC = 6，D 为BC 的中点， AD 为一边在 AD 右侧作VADE ，
BAC = DAE ， SVABC = SVADE ，连接CE，求CE的长；
【综合应用】
1
（4）如图 4，若 BAC = 90°， B = 30°，AC =1，若 D 点在线段BC 上运动（BD < BC ，且点 D 不与点
2
B 重合），以 AD 为一边在 AD 右侧作VADE ，且VABC 和VADE 互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以
AD、AE 为边构造矩形 ADFE ，连接CF ．直接写出△CEF 面积的最大值及此时BD的长度．
2 3 15 3 3 3
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）CE = 4 ；（4） ，3 32 4
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含 30 度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形
的判定与性质综合
【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出 AC ，AB ，根据互为“手拉手等形三角形”定义
AB AD
可得出 = ， BAD = CAE ，然后证明VBAD∽VCAE ，根据相似三角形的性质求解即可；
AC AC
（2）类似（1）证明即可；
（3）过 B
BM AE
作BM ^ AC 于 M，过 D 作DN ^ AE 于 N，根据 SVABC = SVADE ，得出 =DN AC ，证明
AE AB
V AD BDABM∽VAND BM AB，得出 = ，则 = ，证明△ABD∽△AEC ，得出 =DN AD ，代入数值求解即可；AC AD AC CE
AD BD AB
（4）类似（1）证明VBAD∽VCAE ，得出 = = = 3 ， B = ACE = 30° CE = xAE CE AC ，设 ，则
1 1
BD = 3x，过 A 作 AM ^ CE 于 M，过 F 3作FN ^ CE 于 N，则 AM = AC = ， ，2 2 CM = 2
M N 3
1 3
= = 90°， ME = CM - CE 3= - x，证明 VEFN∽AEM ，可求出 FN = - 3x，则 SVCEF = x - 3x

2 ÷ ，2 2 è 2
然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶∵ BAC = 90°， B = 30°，BC = 4，D 为BC 的中点
∴ AC = 2， AB = BC 2 - AC 2 = 2 3， BD = 2，
∵VABC 和VADE 互为“手拉手等形三角形”，
∴△ABC ∽ △ADE，
AB AC
∴ = ， BAC = DAE ，
AD AE
AB AD
∴ = ， BAD = CAE ，
AC AC
∴VBAD∽VCAE ，
BD AB
∴ = 2 2 3=CE AC ，即 ，CE 2
解得CE 2 3= ，经检验符合题意；
3
（2）证明：如图，
∵VABC 和VADE 互为“手拉手等形三角形”，
∴△ABC ∽ △ADE，
AB AC
∴ = ， BAC = DAE ，
AD AE
AB AD
∴ = ， BAD = CAE ，
AC AE
∴VABD ∽VACE，
（3）∵ AB = AC = 5，BC = 6，D 为BC 的中点，
∴ BD = CD
1
= BC = 3， AD ^ BC2 ，
∴ AD = AB2 - BD2 = 4，
过 B 作BM ^ AC 于 M，过 D 作DN ^ AE 于 N，
∵ SVABC = SVADE ，
1
∴ AC × BM
1
= AE × DN
2 2 ，
∴ BM AE=DN AC ，
∵ BAC = DAE ， AMB = AND = 90°，
∴VABM∽VADN ，
∴ BM AB=DN AD ，
AE AB
∴ = ，
AC AD
∵ BAC = DAE ，
∴ BAD = CAE ，
∴△ABD∽△AEC ，
AD BD
∴ =
4 3
，即 = ，
AC CE 5 CE
15
解得CE = 4 ，经检验，符合题意；
（4）解：∵ BAC = 90°， B = 30°， AC =1，
∴ BC = 2， AB = 3 ， ACB = 60°，
∵VABC 和VADE 互为“手拉手等形三角形”，
∴△ABC ∽ △ADE，
AB AC
∴ = ， BAC = DAE ，
AD AE
AB AD
∴ = ， BAD = CAE ，
AC AC
∴VBAD∽VCAE ，
AD BD AB
∴ = = = 3 B = ACE = 30°AE CE AC ， ，
设CE = x ，则BD = 3x，
过 A 作 AM ^ CE 于 M，过 F 作FN ^ CE 于 N，
1 1
∴ AM = AC = 3，CM = ， M = N = 90°，2 2 2
∴ ME = CM - CE 3= - x，
2
∵四边形 ADFE 是矩形，
∴ EF = AD， AEF = 90°，
∴ EAM = FEN = 90° - AEM ，
∴VEFN∽AEM ，
FN
FN EF AD = 3
∴ = =ME AE AE ，即 3 x ，-
2
3
∴ FN = - 3x2 ，
1
∴ SVCEF = CE × FN2
1 x 3= - 3x
2 ֏ 2
2
3 x 3
3 3
= - - ÷÷ + ，2 è 4 32
3
∴ x 3 3 3当 = 时， S△CEF 有最大值为 ，此时 BD = 3x =
4 32 4
，
3
∴△CEF 3 3面积的最大值为 ，此时BD的长度为 ．
32 4
【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，二次函数
的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
【变式 2】（2025·广东东莞·一模）【问题背景】
已知D、E 分别是△ ABC 的 AB 边和 AC 边上的点，且DE∥BC ，则△ ABC ∽△ ADE ，把△ ADE 绕着A 逆
时针方向旋转，连接BD和CE．
①如图 2，找出图中的另外一组相似三角形 ；
②若 AB = 8， AC = 6 ，BD = 4，则CE = ；
【迁移应用】
如图 3，在Rt △ ABC 和Rt △ ADE 中， BAC = DAE = 90°， ABC = ADE ， AB = 6， AC = 8，点D是
线段BC 上一动点，连接 EC ．
EC
①请求出 的值及 DCE 的度数，并说明理由．
BD
②如图 4，点 P 是DE 的中点，在点D从 B 点运动到C 点的过程中，请直接写出点 P 经过的路径长．
【创新应用】
AD 1
如图5 : AB = AC = AE = 2 5 ，BC = 4，△ ADE 是直角三角形， DAE=90°， = ，将△ ADE 绕着点A 旋AE 2
BF 2
转，连接 BE ，F 是 BE 上一点， = ，连接CF ，求CF 的取值范围．
BE 5
CE 4
【答案】问题背景：①VBAD∽VCAE ；② 3；迁移应用：① = ， DCE = 90°BD 3 ，见解析；② P 点经过
25 4 5 12 5
的路径长为 3 ；创新应用： CF 5 5
【知识点】根据平行线判定与性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、
解直角三角形的相关计算
AB AC AB AD
【分析】【问题背景】①如图 2 中，根据相似三角形的性质得到 = ，求得 =AC AE ，根据相似三角AD AE
形的判定定理得到VBAD∽VCAE ．；
②根据相似三角形的性质即可得到结论；
CE AC CE 8 4
【迁移应用】①根据相似三角形的性质得到 = ，，求得 = =
BD AB BD 6 3
；根据相似三角形的性质得到
ACE = B ，于是得到结论；
②同①得：根据相似三角形的性质得到 ACE = B ，得到 DCE = 90°，当点 D 与 B 重合时，点 E 与 C
重合，BC 的中点记为P ；当点 D 与 C 重合时，点 E 是BA的延长线与CE的延长线的交点，记为E ，如
1
图 3 所示：则点 P 的运动轨迹为 P P ， P P 是△ BCE 的中位线，根据三角形中位线定理得到 P P = BE 2 ，
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
【创新应用】如图 5 中，过点 A 作 AK ^ BC 于点K ，过点C 作CJ ^ AB 于点 J ，连接FJ ．通过计算证明
FJ ∥ AE ，求出 JF ， JC ，可得结论．
【详解】解：【问题背景】①如图 2 中，Q△ ABC ∽△ ADE ，
\ AB AC= ，
AD AE
\ AB AD=
AC AE ，
Q BAC = DAE ，
\ BAD = CAE ，
\△ BAD∽△ CAE ．
故答案为：VBAD∽VCAE ；
②Q VBAD∽VCAE ，
\ BD AB= ，
EC AC
\ 4 8=
CE 6 ，
\CE = 3；
故答案为：3；
【迁移应用】①Q BAC = DAE = 90°， ABC = ADE ，
\ BAD = CAE ，
\ VBAD∽VCAE ，
\ CE AC= ，
BD AB
Q AB = 6 ， AC = 8，
\ CE 8 4= =
BD 6 3 ；
Q VBAD∽VCAE ，
\ ACE = B，
Q B + ACB = 90°，
\ B + ACE = 90°，
\ DCE = 90°；
②同①得：VBAD∽VCAE ，
\ B = ACE ，
Q BAC = 90°，
\ B + BCA = 90°，
\ CAE + BAC = 90°，即 DCE = 90°，
当点D与 B 重合时，点E 与C 重合，BC 的中点记为P ；
当点D与C 重合时，点E 是BA的延长线与CE的延长线的交点，记为E ，如图 4 所示：
则点 P 的运动轨迹为P P ，P P 是△ BCE 的中位线，
P P 1\ = BE
2 ，
Q BAC = CAE = 90°， B = CAE ，
\△ BCA∽△ CE A，
\ CA AB=
AE AC ，
8 6 32
即 = ，\ AE =AE 8 3 ，
\ BE AB 50= + AE =
3 ，
\ P P 1= BE 25= 25，即 P2 3 点经过的路径长为 3 ；
【创新应用】如图 5 中，过点 A 作 AK ^ BC 于点K ，过点C 作CJ ^ AB 于点 J ，连接FJ ．
Q AB = AC = 2， AK ^ BC ，
\ BK = CK = 2，
\ AK = AC 2 - CK 2 = (2 5)2 - 22 = 4 ，
Q 1 BC AK 1× = AB ×CJ
2 2 ，
\CJ 8 5= ，
5
\ AJ = AC 2 - CJ 2 = (2 5)2 - (8 5 )2 6 5= ，
5 5
BJ AB AJ 2 5 6 5 4 5\ = - = - = ，
5 5
\BJ : AB = 2 : 5，
QBF : BE = 2 : 5，
\ BJ BF 2= = ，
BA BE 5
\ FJ P AE ，
\△ BJF∽△ BAE ，
\ FJ BJ 2= = ，
AE AB 5
JF 2 AE 4 5\ = = ，
5 5
\CJ - JF CF FJ + CJ ，
\ 4 5 CF 12 5 ．
5 5
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，
平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
【题型七】相似模型之半角模型
【例 1】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰Rt△ABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，D、E 在线段BC
上，且∠DAE = 45°，BC =12，BD = 3，求DE 的长．
（2）如图，在VABC 中， AB = AC ，如果 BAC =120° ，D在直线BC 上，E 在BD上，D在E 的右侧，
DAE = 60°，若BC =12，CD = 2，求DE 的长．
（3）如图，在VABC 中，若 BAC = 2 ，D、E 是线段BC 上的两点，∠EAD = ，若 AC = kAB，
AD = k AE ，探究 BE 与CD的数量关系．
14
【答案】（1）DE = 5
38
；（2）DE = 或 ；（3）CD = kBE
3 5
【知识点】全等的性质和 SAS 综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形
的判定与性质综合
【分析】（1）过点C 作CF ^ BC ，且使得CF = BD ，连接 AF ，EF ，证明△ACF ≌△ABD ，得到
AF = AD ， 3= 4，证明VAEF ≌VAED，得到DE = EF ，设DE = EF = x，则CE = 9 - x ，在RtVEFC 中，
根据勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：①当点D在点C 的左侧时，作 ABF = C ，BF = CD = 2，连接EF ，作FG ^ BC 交BC
于点G ，②当点D在点C 的右侧时，作 ABF =150°，BF = CD = 2，连接EF ，作FG ^ BC 交BC 的延长
线于点G ，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可；
（3）作 DAN = BAC = 2 ，且令 AD = kAN ，连接BN ， NE ，证明VBAN∽VCAD，得到
C ABN BN AB 1 = ， = = ，推出 kBN = CD，证明VNAE∽VEAD ，得到 AEN = ADE ，证明
CD AC k
BN = BE ，即可求解．
【详解】（1）如图，过点C 作CF ^ BC ，且使得CF = BD ，连接 AF ，EF ，
Q AB = AC ， BAC = 90°，
\ 1 = B = 45°，
Q CF ^ BC ，
\ 2 = 45° = B，
在△ACF 和△ABD 中，
ìCF = BD

í 2 = B ，

AC = AB
\ VACF≌VABD SAS ，
\ AF = AD ， 3= 4，
\ FAD = BAC = 90°，
Q 6 = 45°，
\ FAE = 6 = 45°，
在△AEF 和△AED 中，
ìAF = AD

í FAE = 6 ，

AE = AE
\ VAEF≌VAED SAS ，
\ DE = EF ，
设DE = EF = x，则CE = BC - BD - DE = 12 - 3 - x = 9 - x，
在RtVEFC 中，CF 2 + CE 2 = EF 2 ，32 + 9 - x 2 = x2 ，
解得： x = 5，
\ DE = 5；
（2）①当点D在点C 的左侧时，作 ABF = C ，BF = CD = 2，连接EF ，作FG ^ BC 交BC 于点G ，
Q AB = AC ， BAC =120° ，
\ 1 = C = 30° = 2，
在△ABF 和VACD中，
ìBF = CD

í 2 = C ，

AB = AC
\ VABF≌VACD SAS ，
\ AF = AD ， 3= 4，
\ FAD = BAC = 120°，
Q 6 = 60°，
\ FAE = 6 = 60°，
在△AEF 和△AED 中，
ìAF = AD

í FAE = 6 ，

AE = AE
\ VAEF≌VAED SAS ，
\ EF = ED ，
设EF = ED = x ，则BE = BC - CD - ED = 12 - 2 - x = 10 - x ，
Q 1 = 2 = 30°，
\ FBG = 60°，
\ BFG = 30°，
\ BG 1= BF =1，
2 FG = BF
2 - BG2 = 22 - 12 = 3 ，
\ EG = BE - BG = 10 - x - 1 = 9 - x，
2
在RtVEFG中，FG2 + GE2 = EF 2 ，即 3 + 9 - x 2 = x2 ，
x 14解得： = ，
3
\ DE 14= ；
3
②当点D在点C 的右侧时，作 ABF =150°，BF = CD = 2，连接EF ，作FG ^ BC 交BC 的延长线于点G ，
Q AB = AC ， BAC =120° ，
\ 1 = 3 = 30°，
\ 2 = 150° = ABF ， FBE =120°，
在△ABF 和VACD中，
ìBF = CD

í 2 = ABF ，

AB = AC
\ VABF≌VACD SAS ，
\ 4 = 5， AF = AD ，
\ FAD = BAC = 120°，
Q DAE = 60°，
\ 6 = 60° = DAE ，
在△AEF 和△AED 中，
ìAF = AD

í DAE = 6，

AE = AE
\ VAEF≌VAED SAS ，
\ EF = ED ，
设EF = ED = x ，则BE = BC + CD - ED = 12 + 2 - x = 14 - x，
Q FBE =120°，
\ FBG = 60°，
\ BFG = 30°，
\ BG 1= BF =1， 2
2 FG = BF - BG
2 = 22 - 12 = 3 ，
\ EG = BE + BG = 14 - x + 1 = 15 - x，
在RtVEFG中，FG2 + GE2 = EF 2 ，即 3 2 + 15 - x 2 = x2 ，
x 38解得： = ，
5
\ DE 38= ；
5
14 38
综上所述，DE = 或 ；
3 5
（3）作 DAN = BAC = 2 ，且令 AD = kAN ，连接BN ， NE ， AN
\ BAN = CAD，
Q AD = kAN ， AC = kAB，
\ AB AN 1= = ，
AC AD k
\ VBAN∽VCAD，
\ C = ABN BN AB 1， = = ，
CD AC k
\ kBN = CD，
Q∠EAD = ， NAD = 2 ，
\ NAE = DAE = ，
Q AD = k AE ，
\ AE AD= ，
AN AE
\ VNAE∽VEAD ，
\ AEN = ADE ，
Q BEA = BEN + AEN = EAD + EDA，
\ BEN = EAD = ，
Q NBE = NBA + ABC = ACB + ABC = 180° - 2 ，
\ BNE =180° - 180° - 2 - = = BEN ，
\ BN = BE ，
Q CD = kBN ，
\ CD = kBE ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质
等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线．
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形 ABCD 中，∠EAF 的两边分别交 BC、CD 边于 M、N 两点，且∠EAF＝45°
结论：如图 1，△MDA∽△MAN∽△ABN；
图 1 图 2
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图 2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图 3，连接 AC，则△AMB∽△AFC，△AND AF AE AC∽△AEC．且 = = = 2 ；
AM AN AB
A D A D
45° 45°
N N
F F
M M
B E C B E C
图 3 图 4
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45° AC， = 2 ，∴∠BAM+∠MAC=45°，
AB
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC AF AC，∴△AMB∽△AFC，∴ = = 2 。
AM AB
△AND AEC AE AC 2 AF AE AC同理： ∽△ ， = = ；即 = = = 2 。
AN AB AM AN AB
4 △AMN AFE AF AE EF结论：如图 ， ∽△ 且 = = = 2 ．
AM AN MN
证明：∵ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=
∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图 3 证明知： AF AE AC ，∴2 AF AE EF
。
= = = = = = 2
AM AN AB AM AN MN
2）半角模型（含 120-60°半角模型）
图 5
条件：如图 5，已知∠BAC＝120°， ADE = DAE = 60°；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；② AD CE AC= = ；③ AD × AE = BD ×CE （DE2 = BD ×CE ）。
BD AE AB
证明：∵ ADE = DAE = 60°，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴ AD BD AD AC= ，即： = ，
AC AB BD AB
同理：△CAE∽△CBA，∴ CE AE ，即： CE AC= = ，即：△ABD∽△CAE∽△CBA； AD CE AC= = ，
AC AB AE AB BD AE AB
∴ AD × AE = BD ×CE ，∵AD=AE=DE，∴DE2 = BD ×CE
【例 2】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图 1，在正方形 ABCD中， E ， F 分别是边 BC ，CD上的点，且 EAF = 45°，探究图中线段 EF ， BE ，
DF 之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长CB 到点G ，使BG = DF ，连接 AG ，先证明VADF≌VABG，再证明
△AEF≌△AEG ．
① EF ， BE ，DF 之间的数量关系为________；
②小亮发现这里VABG 可以由△ADF 经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像
上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图 2，在四边形 ABCD中， AB = AD ， ABC 与 D互补，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
1
EAF = BAD
2 ，试问线段EF ， BE ，DF 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图 3，在矩形 ABCD中，点E 在边BC 上， AD = 6， AB = 4， CAE = 45°，求CE的长．
【答案】(1)① BE + DF = EF ，②将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°
(2) EF = DF + BE ，理由见详解
(3)5.2
【知识点】全等的性质和 SAS 综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形
的判定与性质综合
【分析】（1）①沿着小明的思路，先证VADF≌VABG，再证△AEF≌△AEG ，即可得出结论；②在①的
基础上，证明 GAF = 90°即可得解；
（2）延长CB 至点M ，使得BM = DF ，连接 AM ，先证VABM≌VADF ，再证VMAE≌FAE ，即可得出结论；
（3）方法 1：延长 AB 至 P ，使 AP = AD ，过 P 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于Q，延长 AE 交 PQ于M ，
连接CM ，设BE
AB BE 4 2 3 3
= x ，则CE = 6 - x ，证明VABE∽VAPM ，可得 = = = ，求出 PM = BE = xAP PM 6 3 2 2 ，得
3 2 2
出 MQ = PQ - PM = 6 - x ，由（1）得： CM = PM + CD
3
= x + 4 3 3
2 2 ，由勾股定理得： 6 - x
2
÷ + 2 = x + 4

÷ ，
è 2 è 2
解方程即可．
方法 2：过 E 点作 EN ^ AC 于 N 点，设 EC = x，则有 x < 6 ，即 BE = 6 - x ，分别在Rt△ABE 和 RtVADC 中，
表示出 AE2 和求出 AC ，再证△AEN 是等腰直角三角形，即可得 AE2 = 2AN 2 = 2EN 2，则有
2EN 2 = 42 + (6 - x)2
AB AC AB EC 4x
，再证RtVABC∽RtVENC ，即有 = ，进而有EN = =AC ，则可得一元EN EC 2 13
2 4 x2 = 42二次方程 + (6 - x)2 ，解方程就可求出CE．
13
【详解】（1）解：① BE + DF = EF ，理由如下：
沿着小明的思路进行证明，
在正方形 ABCD中，有 AD = AB ， D = ABC = 90°，
即有 ABG = 90°，
QBG = DF ， AD = AB ， D = ABG = 90° ，
\RtVADF≌RtVABG(HL) ，
\ AF = AG ， DAF = BAG，
Q BAD = 90°， EAF = 45°，
\ BAE + DAF = 45°，
\ BAE + BAG = 45° = EAF ，
Q AF = AG ， AE = AE ，
\VAEF≌VAEG(SAS) ，
\EG = EF ，
QEG = BG + BE，BG = DF ，
\ EF = BE + DF ，结论得证；
②将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°即可得到VABG ．
理由如下：
在①已经证得VADF≌VABG，并得到 BAE + BAG = 45° = EAF ，
\ GAF = EAG + EAF = 45° + 45° = 90°，
\将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°即可得到DABG ；
故答案为：① BE + DF = EF ，②将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°；
（2）EF = DF + BE ，理由如下：
延长CB 至点M ，使得BM = DF ，连接 AM ，如图，
Q ABC 与 D互补，
\ D + ABC =180°，
Q ABC + ABM =180°，
\ ABM = D ，
Q AB = AD，BM = DF ，
\VABM≌VADF SAS ，
\ DAF = BAM ， AM = AF ，
Q EAF 1= BAD ，
2
\ BAE + FAD 1= BAD，
2
\ BAE + FAD = EAF ，
Q DAF = BAM ，
\ BAM + BAE = EAF ，
\ MAE = EAF ，
Q AM = AF ， AE = AE ，
\VMAE≌VFAE(SAS)，
\ME = EF ，
QME = BE + MB ，MB = DF ，
\EF = DF + BE ，结论得证；
（3）解法一：如图，延长 AB 至 P ，使 AP = AD ，过 P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q，延长 AE 交 PQ
于M ，连接CM ，
\ P = PAD = D = 90°,
\四边形 APQD 是正方形，
\ PQ = DQ = AP = AD = 6， AP∥DQ ，
\BP = AP - AB = 2，
Q AP∥DQ, PQ∥BC,
\四边形BPQC 是平行四边形，
Q P = 90°
\四边形BPQC 是矩形，
\BP = CQ = 2,
设BE = x ，则CE = 6 - x ，
QPQ∥BC 抢分秘籍 07 相似三角形中的常见的基本模型
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】相似模型之“A”字模型 【题型二】相似模型之“X”字模型
【题型三】相似模型之“AX”字模型 【题型四】相似模型之“母子型”模型
【题型五】相似模型之一线三等角模型 【题型六】相似模型之手拉手模型
【题型七】相似模型之半角模型 【题型八】相似模型之对角互补模型
：相似三角形中的常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考
内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，“A”“X”“母子”“一线三等角”等模型高频，多与线段比例、面积、动点结
合，是相似判定与性质核心载体。
2．从题型角度看，选择填空考基础模型识别，解答题常以几何综合、动点探究形式出现，侧重证明相
似及求边长、比例、面积，分值 8 分左右，着实不少！
：熟记模型特征及对应结论，多练含动态、复合图形的综合题，注意分类讨论对应关系，
强化转化思想（复杂→基本模型）与计算准确性。
【题型一】相似模型之“A”字模型
【例 1】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在VABC 中，点D、E 分别在边 AB 、 AC 上，且DE∥BC ，若
SVADE = S四边形DBCE ，则 AE : AC = ．
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹
这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型
图 1　 　图 2 　 　 图 3 图 4
AD AE DE
①“A”字模型 条件：如图 1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC ＝ ＝ 。
AB AC BC
AD AE DE
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
AD AE DE
②反“A”字模型 条件：如图 2，∠AE D＝∠B；结论：△ADE∽△ACB ＝ ＝ 。
AC AB BC
AD AE DE
证明:∵∠AE D＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴ ＝ ＝ 。
AC AB BC
③同向双“A”字模型 条件：如图 3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC EG FG AG= = 。
BD CD AD
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
AD AE DE
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
④内接矩形模型 条件：如图 4，△ABC 的内接矩形 DEFG 的边 EF 在 BC 边上，D、G 分别在 AB、AC 边
上，且 AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM DG AN AN= = 。
BC AB AM
证明:∵DEFG 是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴ DG AN AN= = 。
BC AB AM
【例 2】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰VABC ， AB = AC = 5cm， BC = 6cm ，把它加
工成正方形EFGH 零件，使正方形的一边在BC 边上，其余两个顶点分别在 AB ， AC 上，则这个正方形零
件的边长是 cm．
【变式 1】（24-25 九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图 1，在VABC 中，E 是 AB 上一点，过点 E 作BC
EG BD
的平行线交 AC 于点 F，点 D 是BC 上任意一点，连接 AD 交EF 于点 G，求证： = ；
GF CD
EG 1 DF
（2）如图 2，在（1）的条件下，连接 BF ，DF ，若 = ，且FE，FB恰好将 AFD 三等分，求 的
FG 2 FC
值．
【变式 2】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在RtVAOB 中， AOB = 90°，OA和OB 的长分别是方程
x2 - 7x +12 = 0的两个根 OA < OB ，以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，已知点 P 从点
B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点A 运动，同时点Q从点A 出发，以相同的速度向点 O 匀速运
动，到达点 O 后又立即按原速返回，当点 P 到达终点时，点 Q 也随之停止运动，连接 PQ，设点 P、Q 的运
动时间为 t秒，△APQ 的面积为S ．请结合图象信息解答下列问题：
(1)求线段 AB 的长；
(2)求 S 与 t 之间的函数关系式；
(3)是否存在 t 的值，使△APQ 为直角三角形？若存在，请直接写出 t的值：若不存在请说明理由．
【题型二】相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
【例 1】（2025·湖南张家界·一模）如图，线段 AB 与CD相交于点 P ， AP = 5，CP = 3，BP =10，
DP = 6．求证：△APC∽△BPD ．
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个
三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型
图 1 图 2 图 3 图 4
①“8”字模型
AB OA OB
条件：如图 1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD ＝ ＝ 。
CD OC OD
AB OA OB
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴ ＝ ＝ 。
CD OC OD
②反“8”字模型
AB OA OB
条件：如图 2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC ＝ ＝ 。
CD OD OC
AB OA OB
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴ ＝ ＝ 。
CD OD OC
③平行双“8”字模型
条件：如图 3，AB∥CD；结论： AE BE AB= = 。
DF CF CD
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴ AE BE AB= = 。
DF CF CD
④斜双“8”字模型
条件：如图 4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC ∠3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即 AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
【例 2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形 ABCD中，E 是 AD 的中点，连接CE，交对角线BD于点
EF
F．若 AD = 6，则 的值为 ．
CE
【变式 1】（2025·天津红桥·一模）如图，线段 AB ，CD相交于点 E，若 AE =10，CE = 6，BE = 5，
DE = 3．
(1)求证： AC∥DB ；
(2)若BD = CE ，求 AC 的长．
【变式 2】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形 ABCD中，点E 在 AD 边上，连接CE，交对角线BD于点
F ，且 AE = CE ．
(1)若 ADB = 35°，求 DCE 的度数；
(2)若EF =1，CF = 4，求DE 的长；
EF
(3)若DE = DF ，求 的值．
CF
1
【变式 3】（2025·江苏宿迁·一模）在梯形 ABCD中， AD∥BC ，点E 在边 AB 上，且 AE = AB ．
3
1
(1)如图 1 所示，点F 在边CD上，且DF = DC ，连接EF ，求证：EF∥BC ；
3
(2)已知 AD = AE =1．
S
①如图 2 所示，如果点M 在边BC 上，且BM = CM = 2，连接EM 、DM DMCN、 EC ，DM 与 EC 交于 N ．求 SDDCN
的值；
②如图 3 所示，连接DE ，如果VADE 外接圆的圆心恰好落在 B 的平分线上，求VADE 的外接圆的半径
长．
【题型三】相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
【例 1】（2025·安徽合肥·一模）已知点E 是矩形 ABCD边DA延长上一点，且 AE = AC ，O是对角线 AC 和BD
的交点．连接CE，交 AB 于F ，交BD于G ，连接OF ，如图 1．
(1)求证：CE平分 ACB ．
(2)若 AB = 3， AD = 4，求 tan AOF 的值．
2
(3) AB AD BG若 = ，如图 2，求 2 的值．CG
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型
图 1 图 2 图 3
①一“A”+“8”模型 条件：如图 1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF， AD AE DE DF FE= = = = 。
AB AC BC FC BF
AD AE DE
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ 。
AB AC BC
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴ DE DF FE= = 。
BC FC BF
AD AE DE DF FE
∴ = = = = 。
AB AC BC FC BF
②两“A”+“8”模型 条件：如图 2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED， 1 1 1= + 。
AF BC DE
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴ DF AF= 。
DC BC
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴ CF AF= 。
CD DE
两式相加得到： DF CF AF AF AF AF 1 1 1+ = + ，即1 = + ，故 = + 。
DC DC BC DE BC DE AF BC DE
③四“A”+“8”模型 3 条件：如图 3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG， 1 1 1 1 2+ = = = 。
BC DE AF AG GF
证明:同②中的证法，易证： 1 1 1 1 1 1+ = ， + = ，
BC DE AF BC DE AG
∴ 1 1= ，即 AF=AG，故 1 1 1 2 。
AF AG + =BC DE GF
=
GF
2
【例 2】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，在矩形 ABCD中，点 E、F 分别在边BC、CD 上，且
BAE = DAF ，延长 AE、AF 分别交DC、BC 延长线于点 H、G．
(1)求证：DF ×CD = BE × BC ；
(2)联结EF、HG ，如果EF∥HG，求证：四边形 ABCD是正方形．
【变式 1】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形 ABCD中， ABC = DCB = 90°，CD = 2AB ， AC 、BD
相交于点E ，EF ^ BC ，垂足为点F ，连接DF 交 AC 于点G ，连接BG ．
(1)求证： AD = AC ；
EF
(2)求 的值；
CD
(3)求证：BG∥ AD．
【变式 2】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图 1，AB∥EF∥CD ，AD 与BC 相交于点 E，点 F 在
1 1 1
BD上．求证： + = ；
AB CD EF
EF EF
小雅同学的想法是将结论转化为 + =1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
AB CD
（2）【类比探究】如图 2， AE ^ AB，BD ^ AB ，GH ^ AB ，DE 与BC 相交于点 G，点 H 在 AB 上，
AE 1 1 2= AC ．求证： - = ．
GH AC BD
（3）【拓展运用】如图 3，在 AC 四边形 ABCD中， AB∥CD ，连接，BD交于点 M，过点 M 作 EF∥AB，
交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 EC，FD 交于点 N，过点 N 作GH ∥ AB，交 AD 于点 G，交 BC 于点 H，
若 AB = 3，CD = 5，直接写出GH 的长．
【题型四】相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
【例 1】（2025·湖北武汉·一模）（1）【提出问题】如图1，M 是VABC 的边BC 上一点，且
AM AB
MAB = ACB ．求证： = ；
AC BC
（ 2）【探究问题】在四边形 ABCD中， ABC = 90°， AD∥BC ，E 是边CD上一点，连接 BE 交 AC 于点
P ，且 CBE = ACD ．
①如图 2，若 AB = 3，BC = 4，BE ^ CD，求 BE 的长；
BE
②如图3，若E 为CD的中点，直接写出 的值．
AC
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似
子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三
角形相似。
图 1 图 2 图 3 图 4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图 1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ AD AB= ，∴AB2＝AD·AC.
AB BC
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图 2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ AC AD= ，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
AB AC
3）“母子”模型（变形）
条件：如图 3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图 1，在四边形 ABCD中，对角线BD平分 ABC ， ADB = DCB ，结论： BD2 = BA × BC ；
证明：∵对角线BD平分 ABC ，∴∠ABD=∠CBC，
∵ ADB = DCB ，∴△ADB∽△DCB，∴ AB DB= ，∴BD2 = BA × BC
DB BC
【例 2】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，三条边BC, AC, AB 及 AB 边上的
高CD分别记为 a,b,c, h．
(1)求证： ab = ch；
1 1 1
(2)求证： +
a2 b2
= 2 ；h
(3)若将Rt△ABC 变为锐角VABC ，其他不变，如图，设其外接圆的直径为 d ，试探索并写出 a,b,h,d 这 4 个
量的一个等量关系，然后给出证明．
【变式 1】（2025·江苏徐州·一模）2024 年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第 27 题的尺规作图，体
现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，
请按要求完成下列问题．
(1)如图 1，在VABC 中，D在边BC 上，且 1 = 2，求证： AB2 = BD × BC ；
(2)如图 2，在VABC 中，若 ACB = 90°，CD ^ AB 于点D， AC = 3,BC = 4，求BD；
(3)图 3，已知点D在线段 AB 上，用无刻度的直尺和圆规在直线 a上找所有的点 P ，满足 BPD = PAB ．
【变式 2】（2025·吉林长春·一模）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，AB = 2 5 ，AC = 2，点 E 是边BC
上一点（且点 E 不与点 B、C 重合），连结 AE ．过点 C 作CD ^ AE ，交边 AB 于点 D，交线段 AE 于点 F．
(1)边BC 的长为____；
(2)当△CAF∽△ABC 时，求 AD 的长；
AD
(3)当CE = 3时，求 的值；
BD
(4)连结DE ，当四边形 ACED为轴对称图形时，直接写出BD的长．
【题型五】相似模型之一线三等角模型
【例 1】（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形 ABCD中，E 是BC 上的一点，且 AED = B = C ．
(1)如图 1，若 AED = B = C = 90°，求证：△ABE∽△ECD ．
(2)如图 2，若 AED = B = C = 45°．
①求证： AB ×CD = BE ×CE．
②若 AB = 3 2 ，BE = 7，CE = 2，求 AD 的长．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图 1 图 2 图 3
①特殊中点型：条件：如图 1，若 C 为 AB 的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴ AE CE ，∵C 为 AB 的中点，∴AE=EB，∴ BE CE ，∴ BE BD= = = ，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
BD ED BD ED CE ED
②一线三直角变异型 1：条件：如图 2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型 2：条件：如图 3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例 2】（2025·安徽淮北·一模）如图 1，在四边形 ABCD中， B = C ，点 E 是BC 上一点，且
AED = B．
(1)求证：△ABE∽△ECD ．
(2)①如图 2，若 tan ADE 3= ，当 B = C = 90°时，求证： 4AB = 3CE
4
②如图 3，当 B = C =120°，CE = 2，BE = 6，CD = 4时，求 AD 的长．
【变式 1】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形 ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，CD上．
CE
【尝试初探】（1）如图 1，若平行四边形 ABCD是正方形，E 为BC 的中点， AEF = 90°，求 的值；
DF
【深入探究】（2）如图 2， B = 45
CE
°， AEF = 90°， AE = EF ，求 的值；
DF
4 AB 5 BE 3 CE
【拓展延伸】（3）如图 3， BF 与DE 交于点O， tan BOE = tan A = ， = ， = ，求 的值．
3 AD 7 EC 4 DF
【变式 2】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图 1，点 A 在直线 l上， BAD = 90°, AB = AD ，过点 B 作 BC ^ l 于点C ，过点 D作 DE ^ l 于点 E ，
由 1+ 2 = 2 + D = 90°，得 1= D，又 ACB = DEA = 90°，可以推理得到VABC≌DAE ，进而得到
AC = _______，BC = _______．我们把这个数学模型称为“ K 字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图 2，在VABC 中，点D为 AB 上一点，DE = DF = 3, A = EDF = B ，四边形CEDF 的周长为
10，VABC 的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到VADE ≌VBFD，进而得到
AE = BD, AD = BF ，那么 AB = AE + BF ，再根据题目中周长信息就可得 AB = _______；
（三）模型拓展
（3）如图 3，在VABC 中， ACB = 90°, AC = 2BC ，直线MN 经过点C ，且 AD ^ MN 于点D，BE ^ MN
于点E ．请猜想线段DE, AD, BE之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图 4，已知在矩形 ABCD中， AB = 14,BC = 7，点E 在CD边上，且DE = 4．P 是对角线 AC 上一动
2
点，Q是边 AD 上一动点，且满足 sin EPQ = 5 ，当 P 在 AC 上运动时，请求线段 AQ 的最大值，并求出
5
此时线段 AP 的长度．
【题型六】相似模型之手拉手模型
【例 1】（2025·甘肃陇南·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合
探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图 1，将VABC 绕点A 逆时针旋转90°得到VADE ，连接CE，DB．
① ACE 的度数为______；
②若CE = 2，则CA的长为______；
【拓展延伸】
（2）如图 2，在四边形 ABCD中，CD = CB ， BAD + BCD = 90°， AC ，BD为对角线，且满足
AC 3= CD ，若 AD = 3， AB = 4，请求出BD的长．
2
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE= ， AD AB= = k ；
AE AC
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； BD = k ；∠BFC=∠BAC.
EC
证明：∵ AD AE= = k ，∴ AD AE= ，∵∠BAC=∠DAE= ，∴△ADE∽△ABC，
AB AC AB AC
∵∠BAC=∠DAE= ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵ AD AB= = k ，∴△ABD∽△ACE，∴ BD AB= = k ，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE= ，
AE AC EC AC
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图， AOB = COD = 90°， OC OA= = k ；
OD OB
结论：△AOC∽△BOD； AC = k ，AC⊥BD， S 1 .
BD ABCD
= AB CD
2
证明：∵ AOB = COD = 90°，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵ OC OA= = k ，∴△AOC∽△BOD，∴ AC OA= = k ，∠OAB=∠OBD，
OD OB BD OB
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴ S 1 .ABCD = AB CD2
【例 2】（2025·江苏盐城·一模）问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶
点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在VABC 中， B = 90°，
AB = BC = 4，分别取 AB 、 AC 的中点D、E ，作VADE ．如图 2 所示，将VADE 绕点A 逆时针旋转，连
接BD、CE．
【探究发现】旋转过程中，线段BD和CE存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图 3，当DE 所在直线首次经过点 B 时，求CE的长．
【延伸思考】如图 4，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，AB = 8，BC = 6，分别取 AB 、BC 的中点D、E ．作
VBDE ，将VBDE 绕点 B 逆时针旋转，连接 AD 、CE．当BD首次与 AC 平行时，求VECB 的面积．
【变式 1】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图 1，若 BAC AB AD= DAE ， = ，则△ABC ∽ △ADE．小明称图 1 中的VABCAC AE 和VADE
互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图 2，若 BAC = 90°， B = 30°，BC = 4，D 为BC 的中点．以 AD 为一边在 AD 右侧作VADE ，
且VABC 和VADE 互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为______；
（2）在图 1 中，连接BD，CE ，求证：VABD ∽VACE；
【变式应用】
（3）如图 3，在VABC 中， AB = AC = 5，BC = 6，D 为BC 的中点， AD 为一边在 AD 右侧作VADE ，
BAC = DAE ， SVABC = SVADE ，连接CE，求CE的长；
【综合应用】
（4）如图 4，若 BAC = 90°， B = 30°，AC =1，若 D 点在线段BC 上运动（BD
1
< BC ，且点 D 不与点
2
B 重合），以 AD 为一边在 AD 右侧作VADE ，且VABC 和VADE 互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以
AD、AE 为边构造矩形 ADFE ，连接CF ．直接写出△CEF 面积的最大值及此时BD的长度．
【变式 2】（2025·广东东莞·一模）【问题背景】
已知D、E 分别是△ ABC 的 AB 边和 AC 边上的点，且DE∥BC ，则△ ABC ∽△ ADE ，把△ ADE 绕着A 逆
时针方向旋转，连接BD和CE．
①如图 2，找出图中的另外一组相似三角形 ；
②若 AB = 8， AC = 6 ，BD = 4，则CE = ；
【迁移应用】
如图 3，在Rt △ ABC 和Rt △ ADE 中， BAC = DAE = 90°， ABC = ADE ， AB = 6， AC = 8，点D是
线段BC 上一动点，连接 EC ．
EC
①请求出 的值及 DCE 的度数，并说明理由．
BD
②如图 4，点 P 是DE 的中点，在点D从 B 点运动到C 点的过程中，请直接写出点 P 经过的路径长．
【创新应用】
AD 1
如图5 : AB = AC = AE = 2 5 ，BC = 4，△ ADE 是直角三角形， DAE=90°， = ，将△ ADE 绕着点A 旋AE 2
BF 2
转，连接 BE ，F 是 BE 上一点， = ，连接CF ，求CF 的取值范围．
BE 5
【题型七】相似模型之半角模型
【例 1】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰Rt△ABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，D、E 在线段BC
上，且∠DAE = 45°，BC =12，BD = 3，求DE 的长．
（2）如图，在VABC 中， AB = AC ，如果 BAC =120° ，D在直线BC 上，E 在BD上，D在E 的右侧，
DAE = 60°，若BC =12，CD = 2，求DE 的长．
（3）如图，在VABC 中，若 BAC = 2 ，D、E 是线段BC 上的两点，∠EAD = ，若 AC = kAB，
AD = k AE ，探究 BE 与CD的数量关系．
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形 ABCD 中，∠EAF 的两边分别交 BC、CD 边于 M、N 两点，且∠EAF＝45°
结论：如图 1，△MDA∽△MAN∽△ABN；
图 1 图 2
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图 2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图 3，连接 AC，则△AMB AF AE AC∽△AFC，△AND∽△AEC．且 = = = 2 ；
AM AN AB
A D A D
45° 45°
N N
F F
M M
B E C B E C
图 3 图 4
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45° AC， = 2 ，∴∠BAM+∠MAC=45°，
AB
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC AF AC，∴ = = 2 。
AM AB
AE AC AF AE AC
同理：△AND∽△AEC， = = 2 ；即 = = = 2 。
AN AB AM AN AB
4 △AMN AFE AF AE EF结论：如图 ， ∽△ 且 = = = 2 ．
AM AN MN
证明：∵ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=
∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图 3 证明知： AF AE AC ，∴ AF AE EF 。
= = = 2 = = = 2
AM AN AB AM AN MN
2）半角模型（含 120-60°半角模型）
图 5
条件：如图 5，已知∠BAC＝120°， ADE = DAE = 60°；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；② AD CE AC= = ；③ AD × AE = BD ×CE （DE2 = BD ×CE ）。
BD AE AB
证明：∵ ADE = DAE = 60°，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴ AD BD= ，即： AD AC= ，
AC AB BD AB
同理：△CAE∽△CBA，∴ CE AE ，即： CE AC ，即：△ABD∽△CAE∽△CBA； AD CE AC= = = = ，
AC AB AE AB BD AE AB
∴ AD × AE = BD ×CE ，∵AD=AE=DE，∴DE2 = BD ×CE
【例 2】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图 1，在正方形 ABCD中， E ， F 分别是边 BC ，CD上的点，且 EAF = 45°，探究图中线段 EF ， BE ，
DF 之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长CB 到点G ，使BG = DF ，连接 AG ，先证明VADF≌VABG，再证明
△AEF≌△AEG ．
① EF ， BE ，DF 之间的数量关系为________；
②小亮发现这里VABG 可以由△ADF 经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像
上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图 2，在四边形 ABCD中， AB = AD ， ABC 与 D互补，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
EAF 1= BAD
2 ，试问线段EF ， BE ，DF 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图 3，在矩形 ABCD中，点E 在边BC 上， AD = 6， AB = 4， CAE = 45°，求CE的长．
【题型八】相似模型之对角互补模型
【例 1】（2025·湖北武汉·一模）如图，BD是四边形 ABCD的对角线，已知 ABC = ADC = 90°．
(1)如图 1，点E 在BC 的延长线上，若 BDE = 90°，求证：△ADB∽△CDE ；
(2)如图 2，若 ABD = 60°，求证： AB + 3BC = 2BD；
(3)如图 3，若DA = DB ， tan DBC = k ，直接写出 tan BDC 的值（用含 k 的式子表示）．
1）对角互补相似 1
条件：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝∠EOF＝90°，点 O 是 AB 的中点，
OE BC
结论：如图，过点 O 作 OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为 D，H，则：①△ODE △OHF；② =
OF AC
证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为 D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，
∵∠C＝90°，∴四边形 OHCD 为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+ DOE 90° HOF DOE △ODE △OHF OE OD∠ ＝ ，∴∠ ＝∠ ，∴ ，∴ = ，
OF OH
∵∠C＝∠OHD＝90°，点 O 是 AB 的中点，∴H 为 BC 中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO OD BH，∴ =
OH OH
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB △ACB BH BC OE OD BH BC，∴ = ，∴ = = =
OH AC OF OH OH AC
2）对角互补相似 2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论 1：如图 1，过点 C 作 CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为 F，G；则①△ECG △DCF；②CE＝
CD· tan .
证明：法 1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为 F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四边形 OGCF 为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE 90° GCE+ DCG 90° GCE FCD ECG △DCF CE CG＝ ，∴∠ ∠ ＝ ，∴∠ ＝∠ ，∴ ，∴ = ，
CD CF
CF=OG CE CG CG∵ ，∴ = ，∵在 Rt△COG 中， tan = ，∴CE＝CD· tan
CD OG OG
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论 2：如图 2，过点 C 作 CF⊥OC，交 OB 于 F；则：①△CFE △COD；②CE＝CD· tan .
证明：法 1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE △COD CE CF，∴ = ，∵在 Rt△OCF 中， tan CF= ，∴CE＝CD· tan .
CD CO OC
3）对角互补相似 3
条件：已知如图，四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点 D 作 DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为 E、F；则：①△DAE △DCF；②A、B、C、D 四
点共圆。
证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D 四点共圆。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE △DCF；
【例 2】（23-24 九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在VABC 中，点D在边 AB 上（点D不与
点 B 重合），点E 在边BC 上，且EC = 2BE ．连结DE 并延长至点F ，使EF = 2DE ，连结CF ．求证：
A + ACF =180°．
【拓展探究】如图②，在VABC 中， A = 90°，点D是边BC 的中点，点E 在边 AB 上，过点D作DF ^ DE
交边 AC 于点F ，连结EF ．若BE = 3，CF = 5，则EF 的长为__________．
【变式 1】（2025·辽宁大连·一模）如图 1，在四边形 ABCD中， A = ， C =180° - ．
(1)用等式写出 B 和 D的数量关系是______；
(2)如图 2，连接CA， AB = AD ．求证：CA平分 BCD；
(3)当 = 90°， ABC = ADC 时，点E 是BD上一点，将 EC 绕点E 逆时针旋转90°得到EF ．
①如图 3，当点F 恰好在 AD 上时，判断并说明四边形 ABCD的形状；
3 DG
②如图 4，当EF 交 AD 于点G 时，若 tan ADB = ， S矩形ABCD = 4S4 △EGC
，求 的值．
DA
【变式 2】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】
如图 1，OM ,ON 为两条互相垂直的射线，C 为 MON 的平分线上任意一点，过点C 作CA ^ CB，分别交
射线OM ,ON 于点 A, B．此时CB,CA 在OC 的两侧，试探究CA,CB 之间的数量关系．
以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答．
解：CA = CB ，理由如下：
过点C 作CD ^ ON 于点D,CE ^ OM 于点E ，则四边形ODCE 为矩形．
QOC 平分 MON ,CD ^ OB,CE ^ OA，\CD = CE ．①
QCA ^ CB ，\ ACD + DCB = 90o．
Q ACD + ECA = 90o ，\② ．…
（1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______；
【迁移探究】
（2）如图 2，若过点C 作的两条垂线在OC 的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理
由；如果变化，请写出新结论并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图 3，若C 为 MON 内部一点，且 COB = ,CA ^ CB ，请直接写出CA与CB 之间的数量关系（结
果用含 的式子表示）．

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