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抢分秘籍 08 锐角三角函数及实际问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】求某一角的三角函数值 【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长
【题型三】三角函数中的仰角俯角问题 【题型四】三角函数中的方位角问题
【题型五】三角函数中的坡度坡比问题 【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错
易错点二：与三角函数中图形未定产生多解
易错点三：实物情景未抽象出几何图形
：锐角三角函数及实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都
有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，特殊角（30°、45°、60°）三角函数值计算、解直角三角形（含仰角俯角、坡度
坡角等实际应用）为高频，常与几何图形结合求边长、高度。
2．从题型角度看，选择填空直接考定义及特殊值，解答题以实际测量、几何综合（如与圆、相似结合）
为主，侧重建模与边角转化，分值 8 分左右，着实不少！
：熟记特殊角函数值及定义，掌握“构造直角三角形”“双直角三角形”等模型，多练实
际应用题（如测高、测距），注意单位换算与图形分析，强化方程思想（设未知数解边角关系）。
【题型一】求某一角的三角函数值
5 -1
【例 1】（2025·江苏常州·一模）宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的
2
美感．如图，把黄金矩形 ABCD沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点B 处，AB 交CD于点E ，则 tan DAE 的值
为 ．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点
【例 2】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知菱形 ABCD的对角线BD = 6， AC = 8，则 sin BAD = ．
【变式 1】（2025·上海·二模）如图，在正方形 ABCD中，点E、F 分别在边 AD、DC 上．连接BF、FE ，若
AF = FE = EC = 5，则 BFE的正切值为 ．
【变式 2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将Rt△ACB 绕斜边 AB 的中点 O 旋转一定角度得到RtVFAE ，
已知 AC = 6 ，BC = 3，则 cos CAE = ．
【变式 3】（2025·江苏扬州·一模）如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AD ^ BC 于点D，作
∠DAE = 45°，AE 交线段CD于点E ，恰有EC = BD ，则 tanB = ．
【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长
【例 1】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在VABC 中，点 D 是BC 的中点，连接 AD ，过点 D 作DE ^ AD
3
交 AC 的延长线于点 E．若 AB =10，BC =12， sin B = ，则线段CE的长为 ．
5
本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键
【例 2】（2025·广东珠海·一模）如图，在菱形 ABCD中， AB 的长为 4，点 E，F 分别是 AB ， AD 的中点，
sin ECF 4连接CE，CF ．若 = ，则CF 的长为 ．
5
【变式 1】（2025·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，eP经过三点 A 8,0 ,O 0,0 , B 0,6 ，D 是eP
上的一动点．当点 D 到弦OB 的距离最大时， sin∠BO D 的值是 ．
AB 2
【变式 2】（2025·山东济南·一模）在矩形 ABCD中， = ，M、N 分别在边 AD、BC 上，将矩形 ABCD
BC 3
沿MN 折叠，使点 B 落在CD边上的点F 处，得到四边形EFNM ，连接DE ，若折痕MN = 2 10 ，
tan EMD 3= ，则DE 的长为 ．
4
【变式 3】（2025·重庆·二模）如图，在平行四边形 ABCD中， ABC 为锐角， AB = 5，点 E、F 分别是
BC 、 AD 上的点，连接 AE 、 BF 交于点 M，以 AE 为直径的圆 O 交 BM 于点 G，且 tan AEG
9
= ，
13
DAE + C =180°，则GE = ；若BE = 6，BG = ．
【题型三】三角函数中的仰角俯角问题
【例 1】（2025·辽宁大连·一模）如图，一枚运载火箭从地面A 处发射，当火箭到达 B 点时，从位于地面M
处的雷达站测得 BM 的距离是6km，仰角是37°；4s后火箭到达C 点，此时测得仰角为60°，这枚火箭从 B
到C 的平均速度是多少 km/s（结果取小数点后一位）？
（参考数据： sin37° 0.6， cos37° 0.8， tan37° 0.75， 3 1.73）
仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【例 2】（2025·天津河东·一模）坐落在蓟县穿芳峪镇毛家峪村的毛家峪隧道是天津市普通公路建设史上第一
座隧道，填补了天津市普通公路无隧道的空白．已知，隧道EF 全长 425 m,CD与EF 在一条直线上，在隧道
正上方的山顶有一信号塔 AB ，从与E 点相距50m的C 处分别测得A 、 B 的仰角为 ACD 43°、
BCD 39°，从与F 点相距80 m 的D处测得A 的仰角为 45°，设山高BH 的高度为 h （单位：m）．
(1)用含 h 的式子表示线段EH 的长度（结果保留三角函数形式）；
(2)求信号塔 AB 的高度（结果取整数）．参考数据： tan43° 0.93, tan39° 0.81．
【变式 1】（2025·四川资阳·一模）风筝起源于中国，已有 2000 多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风
筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点 P
234
处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底A 处沿坡度 i = 5 :12的山坡 AB 走了 m
5
到达坡顶 B 处，测得 P 处的仰角为 45°；他又沿坡面 BC 走30m到达坡底C 处，测得 P 处的仰角为60°．（点
A ， B ，C ， P 在同一平面内）
(1)求坡顶 B 处的高度；
(2)求风筝的飞行高度（即PD的长）．
【变式 2】（2025·山东济南·一模）2025 年 1 月 23 日晚，济阳区文体中心上空起飞 500 架无人机上演“凤凰
涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面 AF 上的点A 处测得无人机位置点D
的仰角 DAF 为53°；当摄影爱好者沿着倾斜角 28°（即 BAF = 28°）的斜坡从点A 走到点 B 时，无人机的
位置恰好从点D水平飞到点C ，此时，摄影爱好者在点 B 处测得点C 的仰角 CBE 为 45°．已知 AB = 3.5米，
CD = 5米，且 A，B，C，D 四点在同一竖直平面内．
(1)求点 B 到地面 AF 的距离；
(2)求无人机在点D处时到地面 AF 的距离．（结果精确到 0.01 米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：
sin28° 0.47，cos28° 0.88，tan28° 0.53，sin53° 0.80 ， cos53° 0.60，tan53° 1.33）
【变式 3】（2025·辽宁·一模）图 1 是商场的自动扶梯，图 2 中的 AB 是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小
王站在扶梯起点 A 处时，测得二楼天花板上照明灯 C 的仰角为31°，此时他的眼睛 D 与地面的距离
AD = 1.7m，之后他沿扶梯到达顶端 B 后又向正前方走了 2m 到达点 E 处（BE∥MN ），发现照明灯 C 刚好
在他的正上方．已知自动扶梯 AB 与地面MN 的夹角 BAN = 30°， AB 的长度为 10m．
(1)求点 B 到一楼地面MN 的距离；
(2)求照明灯 C 到一楼地面MN 的距离（结果精确到 0.1m）．（参考数据： sin 31°≈0.52， cos31°≈0.86 ，
tan 31° 0.60 ， 3 1.73）
【题型四】三角函数中的方位角问题
【例 1】（2025·重庆·模拟预测）春天是踏青的好季节，小红决定去公园出游踏青．如图，某公园里的四条人
行步道围成四边形 ABCD，经测量，点C 在点 B 的正北方向，点D在点C 的北偏西60°，点A 在点 B 的正西
方向，点D在点A 的北偏东 45°， AB = 700米，CD = 200 3 米．（参考数据： 2 1.414, 3 1.732）
(1)求点D到BC 的距离；
(2)点C 处有直饮水，小红从点A 出发沿人行步道去取水，可以经过点 B 到达点C ，也可以经过点D到达点
C ，请计算说明她走哪一条路较近？
方位角问题(解直角三角形的应用)，考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，
此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似
三角形是解题的关键．
【例 2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 千米的码头MN ，在距码头
西端 M 的正西方向59.5千米处有一观测站 O，现测得位于观测站 O 的北偏西37°方向，且与观测站 O 相距
60 千米的小岛 A 处有一艘轮船开始航行驶向港口MN ，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站 O 的正北
方向，且与观测站 O 相距 30 千米的 B 处．
(1)求 AB 两地的距离； (结果保留根号 )
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN 靠岸？请说明理由 .(参考数据：
sin37° 0.60， cos37° 0.80， tan37° 0.75)
【变式 1】（2025·重庆·一模）为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：① A C B，
② D A B ，如图，点 C 位于点 A 正东方向 6000 米，点 D 在点 A 的东北方向，点 B 在点 A 的南偏东60°
方向，点 C 在点 B 北偏西15°方向，点 C 在点 D 的东南方向．（参考数据： 2 1.41， 3 1.73）
(1)求 B 与 C 两点之间的距离；
(2)若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为 80 米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为 95 米/分，（经
过 A，C 两点不停留），谁先到达 B 点？请通过计算说明．（结果精确到 1 分钟）
【变式 2】（2025·重庆·一模）2025 年 3 月 2 日重庆马拉松顺利举行，据悉有 35000 名选手以矫健的步伐丈
量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定
同时从超市A 出发，临行前小陶决定先到在超市A 北偏东30°方向上的图书馆C 还书后，再到体育馆D；小
乐则按原计划沿正东方向的街道行走 400 米至报亭 B 后，再沿北偏东15°方向走到体育馆D，已知体育馆D
分别在超市A 的北偏东60°方向上和图书馆C 的南偏东60°方向上．
(1)求报亭 B 与体育馆D之间的距离；（结果保留根号）
(2)若小陶步行的平均速度为 70 米/分，小乐步行的平均速度为 60 米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到
达体育馆D．（参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732，结果精确到 0.1）
【变式 3】（2025·重庆·模拟预测）小育小才两人相约一起去看电影．如图，东西走向直线上有小育家点A ，
电影院点 B ，在 AB 之间有一家奶茶店点C ，小才家点D在点A 的北偏东60°方向，在点 B 的北偏西53°方
向，奶茶店点C 在小才家点D的南偏西15°，已知CD的距离为600 2 米．（参考数据：
sin53 4° ，cos53 3° ，tan53 4° ，2 1.41，3 1.73）
5 5 3
(1)求 AD 的长度（结果保留根号）；
(2)小育从家先出发，步行至点C 购买奶茶店后（购买奶茶时间忽略不计）立即联系在家的小才，两人同时
出发，小育和小才分别由C B和D B的路线跑步到电影院，已知小育跑步的速度为 200 米/分，小才跑
步的速度为 250 米/分，两人谁先到达电影院？请计算并说明理由（结果保留一位小数）．
【题型五】三角函数中的坡度坡比问题
【例 1】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是1: 3 ，河堤的高BC =10米，则
坡面 AB 的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是1: 3 指点 B 向水平面作垂线BC ，垂足为 C，
BC : AC =1: 3 ．）
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【例 2】（2025·河南焦作·二模）如图，在坡度为1: 3 的斜坡CB 上有一棵垂直于水平地面的大树 AB ，当太
阳光线与水平线成 45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC 长为 20 米，则大树 AB 的高为 米．
【变式 1】（2025·湖南长沙·一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道
AB 和观光索道BC ， 经过测量知：AB = 1000米，BC =1600米， 步行道 AB 的坡度 i =1: 3 ，观光索道BC
与水平线 BE 的夹角为58°.求山顶点 C 到地面的距离CD的长.(图中所有点都在同一平面内，BE∥ AD， 参
考数据： sin58° 0.85,cos58° 0.53, tan58° 1.60，最后结果精确到 1 米)
3
【变式 2】（2025·辽宁阜新·一模）如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长CD为 20m，斜坡的坡度 i = ，
4
在 C，D 处测得楼顶端 A 的仰角分别为60°和30°．
(1)求点 D 到地平面BC 的距离；
(2)求居民楼的高度 AB （保留根号）．
【变式 3】（2025·辽宁丹东·模拟预测）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的 AB 为从一楼到二楼
的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点A 处时，测得天花板上日光灯C 的仰角为37°，此时他的眼睛D与
地面的距离 AD = 1.7m，之后他沿一楼扶梯到达顶端 B 后又沿BL BL∥MN 向正前方走了1m，发现日光灯C
刚好在他的正上方．已知自动扶梯 AB 的坡度为1: 2， AB 的长度是15 m．
(1)求图中 B 到一楼地面的高度．（结果保留根号）
(2)求日光灯C 到一楼地面的高度．（结果精确到0.1 m ．参考数据： sin37° 0.6， cos37° 0.8，
tan37° 0.75， 5 2.24）
【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合
【例 1】（2025·安徽滁州·一模）如图 1 所示的是水平放置的水槽截面 ABCD， AB = BC = CD = 20cm ，
B = C = 90°，一束光线从水槽边的A 处投射到空气和液体的分界EF 上的中点O处，入射光线与水槽内壁
AB 的夹角 A = 45° ，与法线MN 的夹角为a ，折射光线OG 与法线MN 的夹角 b = 37°．已知在光源沿 AB
sina
向下移动的过程中，比值 a bsin b 不随 ， 的变化而变化．当入射点O位置不变，光源沿 AB 向下移动到 H
点时，折射光线OG 通过点C ，如图 2 所示，求 AH 的长．（参考数据：sin37° 0.60）
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键
【例 2】（2025·陕西西安·二模）如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管
AB 24cm BE 1= ， = AB ，试管倾斜角a 为10°．实验时，导气管紧贴水槽MN ，延长 BM ，交CN 的延长线
3
于点F ，且MN ^ CF ， AC∥DE （点C，D，N，F 在同一条直线上）．经测量，得DE = 27.36cm ，
MN = 8cm， BFC = 45°．请求出铁架杆DE 与水槽MN 之间的水平距离DN ．（结果精确到1cm，参考数
据： sin10° 0.17 ， cos10° 0.98， tan10° 0.18）
【变式 1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）龙世昌雕塑位于贵州省松桃苗族自治县世昌广场中央，是为纪念抗美
援朝特等功臣、二级战斗英雄龙世昌烈士而建的标志性纪念设施（如图 1）．某数学兴趣小组把它抽象成平
面图形如图 2 所示，通过查阅资料得知雕塑总高度（点 D 到平台水平线EA的距离）为7.9m，延长DC 与平
台水平线EA相交于点 B，测得 B = 50°， AB = 4m ．（参考数据： sin 50° 0.77 ， cos50° 0.64，
tan 50° 1.19 ）
(1)求点 C 与平台水平线 AE 的距离 AC 的长（结果保留一位小数）；
(2)求DC 的长（结果保留一位小数）．
【变式 2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图 1，空调挡风板是一块安装在空调出风口处的屏障，主要功能是
改变空调风的流向，使其不会直接吹向人体．如图 2，在侧面示意图中，挡风板底部和空调底部在一条水平
线上，出风口顶部距挡风板顶部 AB 长为 25 cm, AB与水平面的夹角为 23°，出风区域总高BC 为 20 cm，空
调挡风板 AD 与水平面夹角为60°．
(1)求侧面示意图中空调挡风板顶部A 到墙体BC 的距离；
(2)求挡风板底部和空调底部CD的长度．
（结果精确到1cm ，参考数据： sin23° 0.39,cos23° 0.92, tan23° 0.42, 3 1.73）
【变式 3】（2025·辽宁大连·一模）如图 1 是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图 2 和图 3 是其工作示意图．曲
臂云梯消防车伸缩臂 AB 和曲臂BC 可分别绕点 A，点 B 在一定范围内转动，它们的张角分别为 OAB和
ABC ，且当张角满足85° OAB 165°，70° ABC 165°时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的
稳定性．已知 AO ^ OD，CD ^ OD ，且 AO = 4m ，当伸缩臂 AB 和曲臂BC 完全伸出时，AB 长为 40m ，BC
长为 6m．
(1)如图 2，若BC∥OD ， OAB =120°，求CD的长；
(2)如图 3，当 OAB， ABC 达到最大角度时，云梯的顶端 C 升到最高处，求此时CD的长．
（参考数据： sin75o 0.97，cos75o 0.26，tan75o 3.73，3 1.73，结果保留整数．）
易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错
求角的正切值、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
例 1．（2025·江苏连云港·一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在 4 4的网格中，点 A、
B、C 都在格点上，那么 tan BAC 的值为 ．
变式 1：（2025·云南昆明·一模）如图，VABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanC 的值为 ．
变式 2：（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些
小正方形的顶点上， AB、CD相交于点 P，则 tan APD的值是 ．
变式 3：（2025·江苏徐州·一模）如图，由 8 个全等的菱形组成的网格中，已知 ABD =120°，其中点 A，B，C
都在格点上，则 tan BCD 的值为 ．
变式 4：（2025·新疆喀什·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 2，eO 是VABC 的外接
圆，点A ， B ，O在网格线的交点上，则 sin ACB的值是 ．
易错点二：与三角函数中图形未定产生多解
本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩
形的性质以及分类讨论思想的运用．
例 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知矩形 ABCD， AB = 2 ，BC = 3，点 P 是直线CD上一点，若DP =1，
则 tan BPC = ．
变式 1：（2025· 5北京·一模）已知VABC 中， AB =10， sin B = ， AC = 5，则BC = ．
5
变式 2：（2025·河南周口·一模）在四边形 ABCD中， AB = 3 ， B = 30°， D = 60°， AC 为其对角线，且
CA ^ BA．若四边形 ABCD满足有一组对边平行，则CD的长为 ．
变式 3：（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形 ABCD 4为菱形， AB = 5， tan B = ，点 E 在BC 上，连接
3
AE ， AE = 17 ，则CE的长为 ．
3
变式 4：（2025·上海·模拟预测）VABC 中， ACB = 90°， sin B = ．点 D 在边BC 上，取射线 AD 上一点
5
1
P，将△APB 沿直线 AP 翻折至VAPB 的位置，延长B P 交边 AB 于点F，射线B P 交边BC 于点E．若DE = BC ，
4
且点 C 在边 AB 上，则线段B E与线段PF 长度的比值为 ．
4
变式 5：（2025·湖南长沙·一模）如图，在VABC 中， C = 90°， tanB = ，E 是边 AB 上一点，将VBCE 沿
5
AE
直线CE翻折，点 B 的对应点为B ，如果 AB ∥BC ，那么 的值为 ．
EB
易错点三：实物情景未抽象出几何图形
本题主要考查了解直角三角形的应用，主要是抽象出几何图形。
例 1．（2025·辽宁沈阳·一模）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截
面是矩形BCDE ，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC 在同一条直线上．如图 1，当
拉杆伸出一节（ AB ）时， AC 与地面夹角 ACG = 53°；如图 2，当拉杆伸出两节（ AM ,MB ）时， AC 与
地面夹角 ACG = 37°，已知两种情况下拉杆把手A 点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
4 3 3
（参考数据： sin 53° ， sin 37° ， tan 37° ）
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变式 1：（2025·河南驻马店·一模）某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，他们欲测量球
罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处 B 离地面高度 AB =1.5米．接着一人站在球罐最高点
C 处，看到斜梯末端F 处恰好被斜梯顶端 E 遮挡（此时EF 与eO 相切），已知过切点 B 恰有一水平横梁交
于斜梯末端 F 处．
(1)连接OE ，求证： DOE = BFD ；
4
(2)若眼睛D与点C 的距离为 1.5 米， sinD = ，求斜梯EF 的长．
5
变式 2：（2025·江西·一模）图 1 是一种柜厢可收纳的货车，图 2，图 3 是其柜厢横截面简化示意图，忽略柜
厢板的厚度，由上、下厢板EF，AB，可对折侧厢板 AC，EC，BD，FD组成，已知 AB = 220cm．当厢板收
起时，EF 恰好与 AB 重合，点 C，D 重合均落在 AB 中点处，当厢板升起过程中，有 CAB = DBA．
(1)如图 2，当上厢板EF 从重合到完全升起到 CAB = 90°时，求点 C，D 在此过程中运动的路程总长；
(2)如图 3，当上厢板 EF 升起到 CAB = 70°时，求此时点 C，D 之间的距离．
（参考数据：p 3.14， sin70° 0.94， cos70° 0.34， tan 70° 2.75，结果保留整数）
变式 3：（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图 1 是一种摇盖垃圾桶的实物图，图 2
是其侧面示意图，其盖子 PAQ 可整体绕点A 所在的轴旋转．现测得 BAE =120°， ABC = AED =110°，
AB = AE = 46cm ，BC = 78cm ，BE P CD ．
(1)如图 3，将PAQ 整体绕点A 逆时针旋转角a ，当 AQ P BE 时，求a 的度数．
(2)求点A 到CD的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin80° 0.98， cos80°≈0.17 ， tan80°≈5.67 ）
变式 4：（2025·广东珠海·一模）图 1 是我国古代提水的器具枯槔（ jiég o），创造于春秋时期．它选择大小
两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终
与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当
放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图 2 是桔槔的示意图，大竹竿 AB = 8米，O为 AB 的中
点，支架OD 垂直地面EF ，此时水桶在井里时， AOD =120°．
(1)如图 2，求支点O到小竹竿 AC 的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图 3，当水桶提到井口时，大竹竿 AB 旋转至 A1B1 的位置，小竹竿 AC 至 A1C1的位置，此时
A1OD =143° ，求水桶水平移动的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：
3 1.73, sin37° 0.6, cos37° 0.8, tan37° 0.75）
变式 5：（2025·广西来宾·一模） “绿色出行，驾享未来”，近几年，新能源汽车得到了大力推广，该类汽车
突出的环保特性，体现了作为未来主要交通方式的前瞻性和科技感．某校为了便于教职工进行新能源汽车
充电，计划在长32m、宽14m 的长方形空地修建一个新能源汽车停车场，并向学校的广大师生征集设计方案．
【资料收集】某班同学通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”或“倾斜式”两种车位类型进行设计，
收集的相关材料及数据如下表：
类型 示意图 形状 边长（单位：m）
AB BC
垂直式车
矩形
位 5.3 2.5
EF FG
倾斜式车 平行四边
位 形 6 2.8
行车通道宽度不低于3.5 m
【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案：
【方案一分析】∵14 - 5.3- 3.5 = 5.2 < 5.3，
∴垂直式车位只能设计 1 行．
∵ 32 2.5 =12.8，
∴垂直式车位每行可以设计 12 个，
∴方案一共可以设计垂直式车位 12 个．
【方案二分析】（1）通过计算，判断方案二的设想是否合理，并计算方案二可以设计多少个停车位；
（ 2 1.414 ， 3 1.732）
【设计优化】（2）请结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理
由．
变式 6：（2025·山东聊城·一模）【研学实践】
“五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借
此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．
【数据采集】
“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 AB ，用绳子拉直 AD 后系在树干EF 上的点 E
处，使得 A，D，E 在一条直线上，通过调节点 E 的高度可控制“天幕”的开合， AC = AD = 2m ，BF = 3m．
【数据应用】
(1)天晴时打开“天幕”，若 a = 76°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”， a 从76°减少到 45°，求点 E 下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据： sin 76° 0.97， cos 76° 0.24， tan 76° 4.01， 2 1.41）抢分秘籍 08 锐角三角函数及实际问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】求某一角的三角函数值 【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长
【题型三】三角函数中的仰角俯角问题 【题型四】三角函数中的方位角问题
【题型五】三角函数中的坡度坡比问题 【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错
易错点二：与三角函数中图形未定产生多解
易错点三：实物情景未抽象出几何图形
：锐角三角函数及实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都
有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，特殊角（30°、45°、60°）三角函数值计算、解直角三角形（含仰角俯角、坡度
坡角等实际应用）为高频，常与几何图形结合求边长、高度。
2．从题型角度看，选择填空直接考定义及特殊值，解答题以实际测量、几何综合（如与圆、相似结合）
为主，侧重建模与边角转化，分值 8 分左右，着实不少！
：熟记特殊角函数值及定义，掌握“构造直角三角形”“双直角三角形”等模型，多练实
际应用题（如测高、测距），注意单位换算与图形分析，强化方程思想（设未知数解边角关系）。
【题型一】求某一角的三角函数值
5 -1
【例 1】（2025·江苏常州·一模）宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的
2
美感．如图，把黄金矩形 ABCD沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点B 处，AB 交CD于点E ，则 tan DAE 的值
为 ．
1
【答案】 / 0.5
2
【知识点】矩形与折叠问题、求角的正切值、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA 或者 AAS）、用勾股定
理解三角形
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知
识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明△ADE≌△CB E ，在
RtVADE 中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为 x ，
∵ 5 -1宽与长的比是 ，
2
x 5 +1
∴ = x长为： 5 -1 2 ，
2
由折叠的性和矩形的性质可知， AD = BC = B C = x ， B = B = 90°，
在VADE 和VCB E 中，
ì AED = AEB

í D = B ，

AD = B C
∴VADE≌VCB E AAS ，
∴ AE = CE ，
∴ AE + DE DC 5 +1= = x，
2
设DE = y ，
2

RtVADE x2 y2 5 +1

在 中， + = x - y2 ÷÷
，
è
y 1
变形得： = ，
x 2
tan DAE DE 1∴ = = ，
AD 2
1
故答案为： 2 ．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点
【例 2】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知菱形 ABCD的对角线BD = 6， AC = 8，则 sin BAD = ．
24
【答案】
25
【知识点】利用菱形的性质求面积、求角的正弦值、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题菱形的性质，正弦的定义，过 D 作DE ^ AB于 E，根据菱形的性质和勾股定理可求出 AB = 5，
根据等面积法可求出DE
24
= ，最后根据正弦的定义求解即可．
5
【详解】解：如图，过 D 作DE ^ AB于 E，
∵菱形 ABCD的对角线BD = 6， AC = 8，
AO 1
1
∴ = C = 4 ，DO = BD = 3， AC ^ BD2 ， AD = AB2
∴ AB = AD = AO2 + DO2 = 5，
∵ S = AB × DE
1
= AC × BD
菱形 ，2
∴ 5DE
1
= 8 6，
2
∴ DE
24
= ，
5
24
∴ sin BAD DE 5 24 = = = ，
AB 5 25
24
故答案为： ．
25
【变式 1】（2025·上海·二模）如图，在正方形 ABCD中，点E、F 分别在边 AD、DC 上．连接BF、FE ，若
AF = FE = EC = 5，则 BFE的正切值为 ．
【答案】 2 2 +1
【知识点】根据正方形的性质求线段长、求角的正切值、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
DEF = DFE = 45° AD 5 5 2 10 + 5 2【分析】根据正方形的性质得到 ， = + = ，运用勾股定理得到
2 2
BF 2 250 +100 2= ，如图所示，连接BE，过点 B 作BG ^ EF 于点G ，可证明VABF≌VCBE SAS 得到
4
1 5 25 9 + 4 2BF = BE ，则BG 是EF 的中线，得到FG = EG = EF = ，BG2 = ，在RtVBFG中由正切值的2 2 4
计算方法即可求解．
【详解】解：∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AB = BC = CD = AD， A = ABC = C = D = 90°，
∵ AF = FE = EC = 5，
∴ DE = DF ，
∴ DEF = DFE = 45°，
在RtVDEF 中， sin DEF sin 45 DF 2= ° = = ，
EF 2
∴ DF 2 EF 2 5 5 2= = = = DE ，
2 2 2
∴ AD AF DF 5 5 2 10 + 5 2= + = + = = AB = BC = CD，
2 2
2
10 + 5 2
在RtVABF 中，BF 2 = ÷÷ + 5
2 250 +100 2= ，
è 2 4
如图所示，连接BE，过点 B 作BG ^ EF 于点G ，
∵ AB = CB, A = C, AF = CE ，
∴VABF≌VCBE SAS ，
∴ BF = BE ，
∴ BG 是EF 的中线，
1 5
∴ FG = EG = EF = ，
2 2
25
∴ 2 2 9 + 4 2 BG = BF - FG2 250 +100 2 25= - = ，
4 4 4
5 9 + 4 2
2
在RtVBFG中， tan BFE BG= = 25 = 9 + 4 2 = 2 2 +1 = 2 2 +1，FG
2
故答案为： 2 2 +1 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，正弦、正切值的计算，掌
握正切值的计算方法是关键．
【变式 2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将Rt△ACB 绕斜边 AB 的中点 O 旋转一定角度得到RtVFAE ，
已知 AC = 6 ，BC = 3，则 cos CAE = ．
4
【答案】
5
【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】连接 EC ，作OM ^ EC,CH ^ AB
1
，再说明点 A，E，C，B，F 共圆，进而得出 EAC = EOC ，
2
AFE = ACE ，然后根据等腰三角形的性质得 EAC = COM ，接下来根据勾股定理求出 AB ，即可得
OC ，再根据面积相等求出CH ，结合题意说明四边形OMCH 是矩形求出OM ，最后根据
cos EAC = cos COM OM= 得出答案．
OC
【详解】解：如图所示，连接 EC ，作OM ^ EC,CH ^ AB，分别交于CE,OB 点 M，H，
∵ OA = OB = OC = OE = OF ，
∴点 A，E，C，B，F 共圆，
EAC 1∴ = EOC ， AFE = ACE ．
2
∵ OE = OC,OM ^ EC ，
∴ MOE = MOC ，
∴ EAC = EOM ．
∵ BC = 3，AC = 6， ACB = 90°，
∴ AB = 32 + 62 = 3 5 ，
∴ OC 1 AB 3 5= = ．
2 2
∵ CH ^ AB，
∴ CH AC × BC 3 6= = = 6 5 ．
AB 3 5 5
由题意， BAC = F ，
∴∠BAC =∠ACE ，
∴ CE∥ AB．
∵ OMC = OHC = 90°，
∴ OMC = CHO = HOM = 90°，
∴四边形OMCH 是矩形，
∴ OM = CH 6 5= ，
5
6 5
cos EAC cos COM OM 4∴ = = = 5 = ．
OC 3 5 5
2
4
故答案为： ．
5
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩
形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键．
【变式 3】（2025·江苏扬州·一模）如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AD ^ BC 于点D，作
∠DAE = 45°，AE 交线段CD于点E ，恰有EC = BD ，则 tanB = ．
1+ 5
【答案】
2
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、求角的正切值
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，求角的正切值，根据“ AA ”证明△ABD∽△CAD，得
AD BD
= ，即 AD2 = CD × BD，证明出 AD = ED ，设 AD = x ，BD = y，则CD = x + y，代入 AD2 = CD × BD
CD AD
得 x2 = y x + y 1+ 5，求出 x = y，即可求出 tan B．
2
【详解】解：∵ BAC = 90°,
∴ BAD + CAD = 90° ,
∵ AD ^ BC,
∴ ADC = ADB = 90°,
∴ B = CAD,
∴△ABD∽△CAD，
AD BD
∴ = ，即 AD2 = CD × BD，
CD AD
∵ ADE = 90°, DAE = 45°,
∴ AED = DAE = 45°,
∴ AD = DE,
设 AD = x ，BD = y，则DE = x,
∴ CD = x + y，
∴ x2 = y x + y ，
∴ x2 - xy - y2 = 0,，
x 1+ 5解得， = y（负值舍去）
2
∴ AD 1+ 5= y，
2
1+ 5
∴ tan B AD
y
= = 2 1+ 5= ．
BD y 2
【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长
【例 1】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在VABC 中，点 D 是BC 的中点，连接 AD ，过点 D 作DE ^ AD
3
交 AC 的延长线于点 E．若 AB =10，BC =12， sin B = ，则线段CE的长为 ．
5
6
【答案】 13
7
【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键．
过点 A、E 作 AM ^ BC 于点M ，EN ^ BC 交BC 延长线于点 N ，则 AM∥NE ，则 AM = AB sin B = 6，由勾股
定理得BM = 8，而BD = DC = 6，那么DM = 2, MC = 4
NE 1
，可得 tan 1 = tan 2 ，则 = ，而
DN 3
NE 1 3x 1
MAC = NEC ，则设CN = 2x, NE = 3x ，由 = 得， = ，求解 x ，再由勾股定理求CE．
DN 3 6 + 2x 3
【详解】解：过点 A、E 作 AM ^ BC 于点M ， EN ^ BC 交BC 延长线于点 N ，则 AM∥NE ，
∴ AM = AB sin B =10
3
= 6，
5
∴ BM = AB2 - AM 2 = 8，
∵点 D 是BC 的中点，BC =12，
∴ BD = DC = 6，
∴ DM = BM - BD = 2, MC = DC - DM = 4，
∵ DE ^ AD ， AM ^ BC ，
∴ 1 = 2 = 90° - ADM ，
∴ tan 1 = tan 2 ，
DM NE 2 1
∴ = = = ，
AM DN 6 3
∵ AM∥NE ，
∴ MAC = NEC ，
∴ tan MAC = tan NEC
MC CN 4 2
∴ = = = ，
AM NE 6 3
设CN = 2x, NE = 3x ，
NE 1 3x 1
∴由 = 得， = ，
DN 3 6 + 2x 3
x 6解得： = ，
7
6
在Rt△CNE 2 2中，CE = CN + NE = 13x = 13 ，
7
6
故答案为： 13．
7
本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键
【例 2】（2025·广东珠海·一模）如图，在菱形 ABCD中， AB 的长为 4，点 E，F 分别是 AB ， AD 的中点，
连接CE，CF ．若 sin
4
ECF = ，则CF 的长为 ．
5
6
【答案】 65
13
【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形，勾股定理等．延长
DA，CE交于点 M，根据菱形的性质和中点性质证明△CBE≌△CDF ，VCBE≌VMAE ，过 F 点作FN ^ CE
于 N 点，根据三角函数的定义结合勾股定理列式计算即可得出答案．
【详解】解：延长DA，CE交于点 M，
在菱形 ABCD中，点 E，F 分别是BC ，CD的中点，
\ AB = BC = CD = AD = 4，BE = EA = AF = DF = 2， AD∥BC ， B = MAE ， B = D，
在△CBE 和VCDF 中
ìBC = CD

í B = D ，

BE = DF
\ VCBE≌VCDF SAS ，
\ CE = CF ，
在△CBE 和VMAE 中
ì B = MAE

í BE = AE ，

CEB = MEA
\ VCBE≌VMAE ASA ，
\ AM = BC = 4，CE = ME ，
过 F 点作FN ^ CE 于 N 点，
\ CNF = 90°
Q sin ECF 4= ，
5
∴设FN = 4x，则CF = 5x = CE = ME ，
∴ CN = CF 2 - FN 2 = 3x ，
\ NE = CE - CN = 2x，
\MN = ME + EN = 7x，MF = 4 + 2 = 6，
在Rt△FNM 中，由勾股定理得FM 2 = FN 2 + MN 2 ，
即62 = 4x 2 + 7x 2，
x 6 65解得 = ，
65
\CF 6= 5x = 65 ，
13
6
故答案为： 65 ．
13
【变式 1】（2025·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，eP经过三点 A 8,0 ,O 0,0 , B 0,6 ，D 是eP
上的一动点．当点 D 到弦OB 的距离最大时， sin∠BO D 的值是 ．
3 10
【答案】
10
【知识点】求角的正弦值、利用垂径定理求值、圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径
【分析】连接 AB ，过点 P 作PE ^ OB 于 E，延长EP交eP于点 D，根据勾股定理求出 AB ，根据垂径定理
得到BE = OE ，再根据勾股定理求出PE，进而求出DE ，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接 AB ，过点 P 作PE ^ OB 于 E，延长EP交eP于点 D，此时点 D 到弦OB 的距离
最大，
∵ A 8,0 ,O 0,0 , B 0,6 ，
∴ OA = 8,OB = 6，
∵ BOA = 90°，
∴ AB 为eP的直径， AB = OA2 + OB2 = 82 + 62 =10 ，
∵ PE ^ OB ，
∴ BE
1
= OE = OB = 3，
2
∴ PE = PB2 - BE2 = 52 - 32 = 4，
∴ DE = 4 + 5 = 9 ，
∴ OD = OE2 + DE2 = 32 + 92 = 3 10 ，
∴ sin BOD DE 9 3 10 = = = ，
OD 3 10 10
3 10
故答案为： ．
10
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、正弦的定义、勾股定理是解
题的关键．
AB 2
【变式 2】（2025·山东济南·一模）在矩形 ABCD中， = ，M、N 分别在边 AD、BC 上，将矩形 ABCD
BC 3
沿MN 折叠，使点 B 落在CD边上的点F 处，得到四边形EFNM ，连接DE ，若折痕MN = 2 10 ，
tan EMD 3 = ，则DE 的长为 ．
4
9 5
【答案】
5
【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，正切值的计算，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质，正切
值的计算方法是关键．
如图所示，EF 与 AD 交于点G ，过点M 作MH ^ BC 与点 H ， EMG = DFG = FNC ，所以
EG DG FC 3
= = = ，设EG = 3x, ME = 4x，DG = 3y, DF = 4y，FC = 3z, NC = 4z ， x, y, z均为正数，所以
ME DF NC 4
V MH 3x + 5y在Rt MNH 中， = 3x + 5y, NH = , MN = 2 10 ，由勾股定理得到3x + 5y = 6（负值舍去），则
3
9
AB = CD = EF = MH = 6，ME = 3, EG = , MG
15 DM 15 9= ， = + = 6，如图所示，过点E 作EK ^ AD于
4 4 4 4
EG·EM 3
9

EK 9= = 4 = DK 12 18点K ，则 15 ， = MD - MK = 6 - = ，由勾股定理即可求解．MG 5 5 5
4
【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AB = CD, AD = BC, A = B = C = ADC = 90°，
如图所示，EF 与 AD 交于点G ，过点M 作MH ^ BC 与点 H ，
∴四边形 ABHM 是矩形， AB = MH ， AM = BH ，
∵折叠，
∴ AM = ME, BN = NF , A = B = MEF = NFE = 90° ，
∵ EMG + EGM = DGF + DFG = 90°, EGM = DFG ， DFG + NFC = NFC + FNC = 90°，
∴ EMG = DFG = FNC ，
tan EMD 3∵ = ，
4
EG DG FC 3
∴ = = = ，
ME DF NC 4
∴设EG = 3x, ME = 4x，DG = 3y, DF = 4y，FC = 3z, NC = 4z ， x, y, z均为正数，
∴在RtVMEG 2中，MG = EG2 + ME2 = 3x + 4x 2 = 5x，
在RtVDFG 中，FG = DG2 + DF 2 = 3y 2 + 4y 2 = 5y ，
在RtVNCF 中， NF = CF 2 + NC 2 = 3z 2 + 4z 2 = 5z ，
∴ AB = CD = MH = EF = 4y + 3z = 3x + 5y ，BN = NF = 5z， AD = BC = 9x + 3y = 9z ，
∴ 3x + y = 3z ，
∴ HN = BN - BH = 5z - 4x
3x + 5y
= ，
3
在RtVMNH 中，MH = 3x + 5y, NH
3x + 5y
= , MN = 2 10 ，
3
2
2
∴ MN 2 3x + 5y= MH 2 + NH 2 ，即 2 10 = 3x + 5y 2 + ÷ ，
è 3
解得，3x + 5y = 6（负值舍去），
∴ AB = CD = EF = MH = 6，
AB 2
∵ = ，
BC 3
∴ BC = 9 = AD，
∴ 9z = 9，则 z =1， NC = 4,CF = 3，
∴ DF = 3, y
3
= ，则DG
9 3
= ， x = ，
4 4 4
ME 3, EG 9 , MG 15 DM 15 9∴ = = = ， = + = 6，
4 4 4 4
如图所示，过点E 作EK ^ AD于点K ，
S 1∵ VMEG = EG·ME
1
= MG·EK ，
2 2
9
EK EG·EM
3
∴ = = 4
9
MG 15
= ，
5
4
∵ tan EMD
EK 3
= = ，
MK 4
MK 4 EK 4 9 12∴ = = = ，
3 3 5 5
∴ DK = MD - MK
12 18
= 6 - = ，
5 5
2 2
∴ DE = EK 2 + DK 2 = 9 18 9 5 ÷ + ÷ = ，
è 5 è 5 5
9 5
故答案为： ．
5
【变式 3】（2025·重庆·二模）如图，在平行四边形 ABCD中， ABC 为锐角， AB = 5，点 E、F 分别是
9
BC 、 AD 上的点，连接 AE 、 BF 交于点 M，以 AE 为直径的圆 O 交 BM 于点 G，且 tan AEG = ，
13
DAE + C =180°，则GE = ；若BE = 6，BG = ．
13 10
【答案】 610
10 10
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三
角形的判定与性质综合
【分析】先证出 ABC = AEB，根据等腰三角形的判定可得 AE = AB = 5，再连接 AG ，根据圆周角定理可
得 AGE = 90°，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得GE, AG 的长；设eO 与 BE 的交点为点 H ，连接
AH ,GH , AG ，其中 AH 交GE 于点 N ，过点G 作GP ^ BE 于点 P ，先根据等腰三角形的三线合一可得EH = 3，
再证出VAGN∽VEHN ，根据相似三角形的性质可得HN , EN 的长，然后证出VPEG∽VHEN ，根据相似三角
形的性质可得EP,GP的长，从而可得BP的长，最后在Rt△BPG 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ， AB∥CD，
∴ ABC + C = 180°，
∵ DAE + C =180°，
∴ DAE = ABC ，
又∵ AD∥BC ，
∴ DAE = AEB ，
∴ ABC = AEB，
∴ AE = AB = 5，
如图，连接 AG ，
由圆周角定理得： AGE = 90°，
tan AEG AG 9∴ = = ，
GE 13
设 AG = 9x x > 0 ，则GE =13x ，
∴ AE = AG2 + GE2 = 5 10x = 5，
∴ x 10= ，
10
∴ GE 13 10 9 10= ， AG = ．
10 10
如图，设eO 与 BE 的交点为点 H ，连接 AH ,GH , AG ，其中 AH 交GE 于点 N ，过点G 作GP ^ BE 于点 P ，
由圆周角定理得：∠AHE = 90° ，即 AH ^ BE ，
∴ BH
1
= EH = BE 1= 6 = 3（等腰三角形的三线合一），
2 2
∴ AH = AE2 - EH 2 = 52 - 32 = 4，
在VAGN 和△EHN ，
ì AGN = EHN = 90°
í
ANG
，
= ENH
∴VAGN∽VEHN ，
9 10
∴ AN GN AG 10 3 10 ，= = = =
EN HN EH 3 10
设 AN = 3a a > 0 ，则EN = 10a，
∴ HN = AH - AN = 4 - 3a GN GE EN 13 10， = - = - 10a，
10
13 10
∴ - 10a10 3 10 ，=
4 - 3a 10
解得 a =1，经检验，是所列分式方程的解，
∴ EN = 10 ，HN = 4 - 3 1 =1，
又∵ AH ^ BE ，GP ^ BE ，
∴ AH ∥GP，
∴VPEG∽VHEN ，
GP EP GE 13 10
∴ = = ，即 GP EP
HN EH EN = = 10
，
1 3 10
GP 13 39解得 = ，EP = ，
10 10
∴ BP
21
= BE - EP = ，
10
2 2
∴ BG = BP2 + GP2 21= 13 610 10 ÷
+ ÷ = ，
è è10 10
13 10 610
故答案为： ， ．
10 10
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行四边形的性质、勾股定
理、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形
是解题关键．
【题型三】三角函数中的仰角俯角问题
【例 1】（2025·辽宁大连·一模）如图，一枚运载火箭从地面A 处发射，当火箭到达 B 点时，从位于地面M
处的雷达站测得 BM 的距离是6km，仰角是37°；4s后火箭到达C 点，此时测得仰角为60°，这枚火箭从 B
到C 的平均速度是多少 km/s（结果取小数点后一位）？
（参考数据： sin37° 0.6， cos37° 0.8， tan37° 0.75， 3 1.73）
【答案】这枚火箭从 B 到C 的平均速度是1.2km/s
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形先求得 AB, AM ，再求出 AC ，即可求得BC ，即
可得到速度，熟练利用三角函数表示直角三角形中边长的关系是解题的关键．
【详解】解：RtVABM 中， BAM = 90°，
\cos AMB AM= ， sin AMB
AB
= ，
BM BM
\ AM = BM ×cos AMB = 6 ×cos37° 6 0.8 = 4.8， AB = BM ×sin AMB 6 0.6 = 3.6 ，
在RtVACM 中， CAM = 90°，
\ tan AMC AC= ，
AM
\ AC = AM × tan AMC = 4.8 tan60° 4.8 1.73，
\ BC AC - AB平均速度= = 4.8 1.73 - 3.6 4 1.2 km/s ，
4 4
答：这枚火箭从 B 到C 的平均速度是1.2km/s．
仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【例 2】（2025·天津河东·一模）坐落在蓟县穿芳峪镇毛家峪村的毛家峪隧道是天津市普通公路建设史上第一
座隧道，填补了天津市普通公路无隧道的空白．已知，隧道EF 全长 425 m,CD与EF 在一条直线上，在隧道
正上方的山顶有一信号塔 AB ，从与E 点相距50m的C 处分别测得A 、 B 的仰角为 ACD 43°、
BCD 39°，从与F 点相距80 m 的D处测得A 的仰角为 45°，设山高BH 的高度为 h （单位：m）．
(1)用含 h 的式子表示线段EH 的长度（结果保留三角函数形式）；
(2)求信号塔 AB 的高度（结果取整数）．参考数据： tan43° 0.93, tan39° 0.81．
h
【答案】(1) EH 的长为 o - 50÷ m；è tan39
(2)信号塔 AB 的高约为 35 米．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握三角函数值的计算方法是关键．
（1）在Rt△BHC 中， tan BCD
BH
= ，CH
h
= ，由EH = CH - CE ，即可求解；
CH tan39°
（2）在RtVAHC 中， tan ACD
AH AH h × tan43° AH= ， = ，在RtVAHD 中， tan45° = ，
CH tan39° DH
AH = DH ，又DH = CD - CH = 555
h h × tan43° h
- ，所以 = 555 - ，由 AB = AH - BH 即可求解．
tan39° tan39° tan39°
【详解】（1）解：EF = 425m, CE = 50m, ACD = 43°, BCD = 39°, DF = 80m, ADH = 45°， BH = h ，
BH
在Rt△BHC 中， tan BCD = ，
CH
h
\ tan39° = ，
CH
\CH h= ，
tan39°
又EH = CH - CE ，
h
∴ EH = - 50，
tan39°
h
即EH 的长为 - 50tan39° ÷
m ；
è
h
（2）解：由题意得FH = EF - EH = 475 - , DH = FH + DF = 555
h
- ，
tan39° tan39°
在RtVAHC 中， tan ACD
AH
= ，
CH
\ tan43 AH° = ，
CH
AH h × tan43°\ = ，
tan39°
AH
在RtVAHD 中， t an ADH = ，
DH
\ tan45 AH° = ，
DH
\ AH = DH ，
又DH = CD - CH = 555
h
- ，
tan39°
h × tan43°
\ = 555 h- ，
tan39° tan39°
555tan39°
即 h = ；
tan43° +1
555 tan43° - tan39° 555 0.93 - 0.81
\ AB = AH - BH 555 h h = - - = 35 m ，
tan39° tan43° +1 0.93 +1
答：信号塔 AB 的高约为 35 米．
【变式 1】（2025·四川资阳·一模）风筝起源于中国，已有 2000 多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风
筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点 P
234
处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底A 处沿坡度 i = 5 :12的山坡 AB 走了 m
5
到达坡顶 B 处，测得 P 处的仰角为 45°；他又沿坡面 BC 走30m到达坡底C 处，测得 P 处的仰角为60°．（点
A ， B ，C ， P 在同一平面内）
(1)求坡顶 B 处的高度；
(2)求风筝的飞行高度（即PD的长）．
【答案】(1)18m
(2)风筝的飞行高度为 (63+ 21 3)m．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角
形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，30 度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角
形的性质，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．
BE 5
（1）过点 B 作BE ^ AC 于E ，作BF ^ PD 于F ，利用坡度得到 = ，不妨设BE = 5x， AE = 12x ，利
AE 12
用勾股定理，BE2 + AE2 = AB2 ，求得 x ，最后得到 BE ；
（2）先通过勾股定理求得CE，不妨设CD = n，那么PC = 2n ，PD = 3n，△BFP 是等腰直角三角形，那么
PF = BF = CE + CD，最后利用PF + FD = PD算得 n ，最后得到PD的长度．
【详解】（1）解：过点 B 作BE ^ AC 于E ，作BF ^ PD 于F ，如图所示：
Q 234从坡底A 处沿坡度 i = 5 :12的山坡 AB 走了 m 到达坡顶 B 处，
5
BE 5 AB 234\ = ， = ，
AE 12 5
不妨设BE = 5x， AE = 12x ，
QBE2 + AE2 = AB2 ，
\(5x)2 (12x)2 (234+ = )2 ，
5
\ x = 3.6（舍去负值），
\BE = 5x =18，
答：坡顶 B 处的高度为18m．
（2）解：Q他又沿坡面 BC 走30m到达坡底C 处，
\BC = 30m
\CE = BC 2 - BE2 = 302 -182 = 24
不妨设CD = n
Q PCD = 60°， D = 90°，
\ CPD = 30°
\CP = 2n
\PD = CP2 - CD2 = 3n
\ED = EC + CD = 24 + n
Q BED = BFC = D = 90°
\四边形BEDF 是矩形
\BF = DE = 24 + n ，DF = BE =18
Q PBF = 45° ， BFP = 90°，
\VBFP 为等腰直角三角形，
\BF = PF = 24 + n ，
QPD = PF + DF ，
\ 3n = 24 + n +18，
\n = 21 3 + 21，
\PD = 3n = 3(21 3 + 21) = 63 + 21 3，
答：风筝的飞行高度为 (63+ 21 3)m．
【变式 2】（2025·山东济南·一模）2025 年 1 月 23 日晚，济阳区文体中心上空起飞 500 架无人机上演“凤凰
涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面 AF 上的点A 处测得无人机位置点D
的仰角 DAF 为53°；当摄影爱好者沿着倾斜角 28°（即 BAF = 28°）的斜坡从点A 走到点 B 时，无人机的
位置恰好从点D水平飞到点C ，此时，摄影爱好者在点 B 处测得点C 的仰角 CBE 为 45°．已知 AB = 3.5米，
CD = 5米，且 A，B，C，D 四点在同一竖直平面内．
(1)求点 B 到地面 AF 的距离；
(2)求无人机在点D处时到地面 AF 的距离．（结果精确到 0.01 米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：
sin28° 0.47，cos28° 0.88，tan28° 0.53，sin53° 0.80 ， cos53° 0.60，tan53° 1.33）
【答案】(1)1.645 米
(2)14.26 米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过 B 作BQ ^ AF 与 F， BAF = 28°得BQ = AB sin BAF =1.645米， AQ = AB cos BAF = 3.08米，过C 作
CH ^地面于 H ，交 BE 于 P ，过D作DG ^ 地面，交 BE 于M ，交CB 于 N ，设GQ = x米，则BM = x 米，
四边形DCPM 为矩形，VBNM 是等腰直角三角形，然后由锐角三角函数定义求出 x ，即可解决问题．
【详解】（1）过 B 作BQ ^ AF 于Q，如图所示：
∵ AB = 3.5， BAF = 28°
\BQ = AB sin BAF = 3.5 0.47 =1.645（米）；
（2）过C 作CH ^地面于 H ，交 BE 于 P ，过D作DG ^ 地面，交 BE 于M ，交CB 于 N ，
Q CBE = 45°，
∴ CP = BP，设GQ = x米，则BM = x 米，
∵ DC∥BE ，且 CPB = DME = 90°，
∴四边形DCPM 为矩形，VBNM 是等腰直角三角形，
\DM = CP，PM = DC = 5，MN = BM = x 米，
则BP = CP = BM + MP = (5 + x)米，
又∵ PH = MG = BQ =1.645米，
\DG = DM + MG = 5 + x +1.645 = (6.645 + x)
∵ AB = 3.5， BAF = 28°
\AQ = AB cos BAF = 3.5 0.88 = 3.08（米）；
AG = AQ + GQ = (3.08 + x)
Q DAG = 53°，tan DAG = tan 53 4° ,
3
DG 4
\ ,
AG 3
6.645 + x 4
即 ,
3.08 + x 3
解得： x = 7.615，
\BM = 7.615，BP = 5 + x =12.615
\DM = CP = BP =12.615
\DG = GM + DM = BQ + DM =1.645 +12.615 =14.26（米）
答：无人机距水平地面的高度约为 14.26 米．
【变式 3】（2025·辽宁·一模）图 1 是商场的自动扶梯，图 2 中的 AB 是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小
王站在扶梯起点 A 处时，测得二楼天花板上照明灯 C 的仰角为31°，此时他的眼睛 D 与地面的距离
AD = 1.7m，之后他沿扶梯到达顶端 B 后又向正前方走了 2m 到达点 E 处（BE∥MN ），发现照明灯 C 刚好
在他的正上方．已知自动扶梯 AB 与地面MN 的夹角 BAN = 30°， AB 的长度为 10m．
(1)求点 B 到一楼地面MN 的距离；
(2)求照明灯 C 到一楼地面MN 的距离（结果精确到 0.1m）．（参考数据： sin 31°≈0.52， cos31°≈0.86 ，
tan 31° 0.60 ， 3 1.73）
【答案】(1) 5m
(2)8.1m
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、含 30 度角的直角三角形
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点 B 作BR ^ AN 于点 R ，根据30°角直角三角形性质即可求解；
（2）连接CE并延长交 AN 于点V ，过点 D 作DU ^ CV 于点 U，交 BR于点T ，先解RtVABR 中，求出
6 +15 3
AR = 5 3m，则 DU = 5 3 + 2 m，再解在Rt△CDU 中，由CU = DU tan CDU 求得CU = m，
è 5
÷÷

最后由CV = CU +UV 即可求解．
【详解】（1）解：过点 B 作BR ^ AN 于点 R ，
∵ BAN = 30°, AB =10m ，
∴在RtV
1
ABR 中，BR = AB = 5m ，
2
答：点 B 到一楼地面MN 的距离为5m；
（2）解：连接CE并延长交 AN 于点V ，过点 D 作DU ^ CV 于点 U，交 BR于点T ，
由题意得， CDU = 31°, AD = UV =1.7m, BE = TU = 2m,AR = DT ，
在RtVABR 中， AR = AB cos BAN =10 3 = 5 3(m)，
2
∴ DU = DT +TU = 5 3 + 2 m，
CU DU tan CDU 5 3 2 0.6 6 +15 3 ∴在Rt△CDU 中， = = + = 5 ÷÷ m ，è
∴ CV CU UV 6 +15 3= + = +1.7 8.1(m)；
5
答：照明灯 C 到一楼地面MN 的距离为8.1m．
【题型四】三角函数中的方位角问题
【例 1】（2025·重庆·模拟预测）春天是踏青的好季节，小红决定去公园出游踏青．如图，某公园里的四条人
行步道围成四边形 ABCD，经测量，点C 在点 B 的正北方向，点D在点C 的北偏西60°，点A 在点 B 的正西
方向，点D在点A 的北偏东 45°， AB = 700米，CD = 200 3 米．（参考数据： 2 1.414, 3 1.732）
(1)求点D到BC 的距离；
(2)点C 处有直饮水，小红从点A 出发沿人行步道去取水，可以经过点 B 到达点C ，也可以经过点D到达点
C ，请计算说明她走哪一条路较近？
【答案】(1)300 米
(2)小红从点A 出发沿人行步道去取水，经过点D到达点C 这条路较近．
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
（1）过点 D 作DE ^ BC ，交 BC 的延长线于点 E，在RtVDCE 中，利用锐角三角函数的定义求出DE 的长，
即可解答；
（2）过点 D 作DH ^ AB，垂足为 H，根据题意可得：BH = DE = 300米，可得 AH = 400米，然后在RtVADH
中，利用锐角三角函数的定义求出 AD 的长，再在RtVDCE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，最
后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
【详解】（1）解：过点 D 作DE ^ BC ，交BC 的延长线于点 E，如图．
∵在RtVDCE 中， E = 90°， DCE = 60°，CD = 200 3 （米）
∴ DE = CD sin 60° = 200 3 3 = 300（米）
2
答：点 D 到BC 的距离为 300 米；
（2）解：过点 D 作DH ^ AB于点 H，如图．
∵ E = 90°， B = 90°，
∴四边形DEBH 是矩形．
∴ BH = DE = 300（米），
∴ AH = AB - BH = 700 - 300 = 400 （米），
∵ DAH = 45° ，
∴ AH = DH ，
CE 1∵ = CD =100 3 （米），
2
∴ BC = 400 -100 3 （米），
∵在RtVADH 中， DAH = 45° ， AD = 2AH = 400 2 （米），
∴ AD + DC = 400 2 + 200 3 912.0（米），
AB + BC = 700 + 400 -100 3 = 1100 -100 3 926.8（米），
∵ 912.0 < 926.8．
答：小红经过点 D 到达点 C 的这条路较近．
方位角问题(解直角三角形的应用)，考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，
此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似
三角形是解题的关键．
【例 2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 千米的码头MN ，在距码头
西端 M 的正西方向59.5千米处有一观测站 O，现测得位于观测站 O 的北偏西37°方向，且与观测站 O 相距
60 千米的小岛 A 处有一艘轮船开始航行驶向港口MN ，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站 O 的正北
方向，且与观测站 O 相距 30 千米的 B 处．
(1)求 AB 两地的距离； (结果保留根号 )
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN 靠岸？请说明理由 .(参考数据：
sin37° 0.60， cos37° 0.80， tan37° 0.75)
【答案】(1)18 5 千米
(2)能行至码头MN 靠岸，见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查
了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点 A 作 AC ^ OB于点C ，可知VABC 为直角三角形．根据勾股定理解答．
（2）延长 AB 交 l 于 D，证明VABC ∽VDBO，求出OD ，比较OD 与OM + MN 的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：过点 A 作 AC ^ OB于点C ，
由题意，得OA = 60千米，OB = 30 千米， AOC = 37°
\ AC = OAsin37° 60 0.60 = 36 （千米）
在RtVAOC 中，OC = OA ×cos AOC 60 0.8 = 48（千米）
\BC = OC - OB = 48 - 30 =18（千米）
在Rt△ABC 中， AB = AC 2 + BC 2 = 362 +182 =18 5 （千米）；
（2）解：如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN 靠岸，
理由：延长 AB 交 l 于点D，
Q ABC = OBD ， ACB = BOD = 90°，
\VABC ∽VDBO，
BC OB
\ = ，
AC OD
18 30
\ = ，
36 OD
\OD = 60（千米）
Q60 < 59.5 +1，
\该轮船不改变航向继续航行，能行至码头MN 靠岸．
【变式 1】（2025·重庆·一模）为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：① A C B，
② D A B ，如图，点 C 位于点 A 正东方向 6000 米，点 D 在点 A 的东北方向，点 B 在点 A 的南偏东60°
方向，点 C 在点 B 北偏西15°方向，点 C 在点 D 的东南方向．（参考数据： 2 1.41， 3 1.73）
(1)求 B 与 C 两点之间的距离；
(2)若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为 80 米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为 95 米/分，（经
过 A，C 两点不停留），谁先到达 B 点？请通过计算说明．（结果精确到 1 分钟）
【答案】(1) 3000 2m
(2)甲先到 B 点，见解析
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C 作CH ^ AB于点 H ，解Rt△ACH ,Rt△BCH 即可求解；
（2）由题意得， 5 = 60°, 4 =15°, AC∥BE, AC = 6000m，则 1 = 2 = 30°， 3 = 90° - 4 - 2 = 45° ，由
题意得， AC + BC = 6000 + 3000 2 m ，即可求出甲跑步的时间，分别解RtVAHC ，求出
CH
AH = AC cos 1 = 3000 3m，解Rt△BHC ，求出BH = = 3000m，则tan 3
AD + AB = 3000 2 + 3000 3 + 3000 m，即可求出乙跑步时间，对比即可．
【详解】（1）解：过点C 作CH ^ AB于点 H ，
由题意得， 5 = 60°, 4 =15°, AC∥BE, AC = 6000m，
∴ 1 = 2 = 30°， 3 = 90° - 4 - 2 = 45° ，
1 CH
∴在RtVACH 中，CH = AC = 3000m ，在Rt△BCH 中，BC = = 3000 2m，
2 sin 3
答：B 与 C 两点之间的距离为3000 2m；
（2）解：如图：
由题意得， AC + BC = 6000 + 3000 2 m ，
∴ 6000 + 3000 2甲跑步的时间为： 128（分钟），
80
由题意得， 6 = 8 = 45°， AT∥DK ，
则 7 = 45°， 9 = 6 = 45°，
∴ ADC = 90°，
∴ AD = AC cos 7 = 3000 2m ，
在RtVAHC 中， AH = AC cos 1 = 3000 3m，
Rt CH在 △BHC 中，BH = = 3000m，
tan 3
∴ AD + AB = 3000 2 + 3000 3 + 3000 m，
∴ 3000 2 + 3000 3 + 3000乙跑步的时间为： 131（分钟），
95
∵131 >128，
∴甲先到 B 点．
【变式 2】（2025·重庆·一模）2025 年 3 月 2 日重庆马拉松顺利举行，据悉有 35000 名选手以矫健的步伐丈
量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定
同时从超市A 出发，临行前小陶决定先到在超市A 北偏东30°方向上的图书馆C 还书后，再到体育馆D；小
乐则按原计划沿正东方向的街道行走 400 米至报亭 B 后，再沿北偏东15°方向走到体育馆D，已知体育馆D
分别在超市A 的北偏东60°方向上和图书馆C 的南偏东60°方向上．
(1)求报亭 B 与体育馆D之间的距离；（结果保留根号）
(2)若小陶步行的平均速度为 70 米/分，小乐步行的平均速度为 60 米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到
达体育馆D．（参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732，结果精确到 0.1）
【答案】(1)报亭 B 与体育馆D之间的距离200 2 米
(2)小陶先到达体育馆D
【知识点】含 30 度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，30 度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真分析题干的条件，得出 EAD = 60°， 3 = 30°，故在Rt△ABH 中， HB = 200（米），
ABH = 60° BH 2，然后证明VBHD是等腰直角三角形， 在RtVDBH 中， cos HBD = = ，即可作答．
DB 2
（2）先分别算出小陶和小乐经过的路程，再分别除以他们各自的速度，然后比较，即可作答．
【详解】（1）解：过点 B 作BH ^ AD，如图所示：
∵体育馆D分别在超市A 的北偏东60°方向上和图书馆C 的南偏东60°方向上．
∴ EAD = 60°，
依题意， EAC = 30°, AB = 400 米，
∴ 3 = 90° - EAD = 30°，
在Rt△ABH 中，HB
1
= AB = 200（米）， ABH = 60°，
2
则 HBD = 90° - 60° +15° = 45°，
∵ BHD = 90°，
∴VBHD是等腰直角三角形，
∴ DH = HB = 200米，
RtVDBH cos HBD BH 2在 中， = = ，
DB 2
∴ DB = 2BH = 200 2 （米），
∴报亭 B 与体育馆D之间的距离200 2 米；
（2）解：由（1）得 3 = 30°，DH = HB = 200米，
Rt ABH AH 3在 △ 中， cos 3 = = ，
AB 2
AH 3故 = AB = 200 3（米），
2
则 AH + AD = 200 3 + 200（米），
∵ CT P EA
∴ 1 = 30°, ACD = 30° + 60° = 90°， 2 = EAD - 30° = 30°
1
在Rt△ACD 中，CD = AD =100 3 +100 （米），
2
在Rt△ACD 中， tan 2 DC 3= = ，
AC 3
∴ AC = 300 +100 3（米），
则 AC + CD = 200 3 + 400（米），
∵ AB = 400 米，BD = 200 2 米，
∴ AB + BD = 400 + 200 2 （米），
∵小陶步行的平均速度为 70 米/分，小乐步行的平均速度为 60 米/分，
∴ 400 + 200 2 200 3 + 400 11.4（分钟）， 10.7 （分钟），
60 70
∵11.4 >10.7
∴小陶先到达体育馆D．
【变式 3】（2025·重庆·模拟预测）小育小才两人相约一起去看电影．如图，东西走向直线上有小育家点A ，
电影院点 B ，在 AB 之间有一家奶茶店点C ，小才家点D在点A 的北偏东60°方向，在点 B 的北偏西53°方
向，奶茶店点C 在小才家点D的南偏西15°，已知CD的距离为600 2 米．（参考数据：
sin53 4 3° ，cos53° ，tan53 4° ，2 1.41，3 1.73）
5 5 3
(1)求 AD 的长度（结果保留根号）；
(2)小育从家先出发，步行至点C 购买奶茶店后（购买奶茶时间忽略不计）立即联系在家的小才，两人同时
出发，小育和小才分别由C B和D B的路线跑步到电影院，已知小育跑步的速度为 200 米/分，小才跑
步的速度为 250 米/分，两人谁先到达电影院？请计算并说明理由（结果保留一位小数）．
【答案】(1) AD = 600 3 +1 米
(2)小才先到达电影院．理由见解析
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角以及三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点 C 作CH ^ AD，RtVCHD 中， CDH = 45° 2，CD = 600 2 米，可得CH = DH = CD = 600米，
2
再由RtVACH 中， CAH = 30°，CH = 600 米，再求 即可；
（2）过点 D 作DN ^ AB，Rt△ADN 中， DAN = 30°， AD = 600 3 +1 米，可得
DN = AD·sin 30° = 300 3 +1 米， AN = AD·cos30° = 300 3 + 3 米，Rt△BDN 中， BDN = 53°，
DN = 300 3 +1 米，DB = 500 3 +1 米，
BN = DN·tan 53° = 400 3 +1 米，可得BC = AN + BN - AC = 700 3 +100米，再求解即可．
【详解】（1）解：过点 C 作CH ^ AD，
由题意可得 DAC = 30°, CDA = 45°，
QCH ^ AD ，
\ CHA = CHD = 90°，
QRtVCHD中， CDH = 45°，CD = 600 2 米，
\CH = DH 2= CD = 600 （米），
2
QRtVACH 中， CAH = 30°，CH = 600 米，
AH CH 600\ = = = 600 3
tan 30° 3 （米），
3
\ AD = AH + DH = 600 3 +1 （米）；
（2）解：过点 D 作DN ^ AB，
由题意得， NDB = 53°，
QRtVADN 中， DAN = 30°， AD = 600 3 +1 米，
\DN = AD·sin 30° = 300 3 +1 （米），
\ AN = AD·cos30° = 600 3 +1 3 = 300 3 + 3 （米），2
QRtVBDN 中， BDN = 53°，DN = 300 3 +1 米，
DN 300 3 +1
\DB = = = 500 3 +1
cos53° 3 （米），
5
BN = DN·tan 53° = 300 3 4+1 = 400 3 +1 （米），3
\BC = AN + BN - AC = 300 3+ 3 + 400 3 +1 -1200 = 700 3 +100（米），
500( 3 +1)
小才从D到 B 的距离为500( 3 +1) 米，时间为： 5.5（分钟），
250
小育从C 到 B 的距离为100(7 3 +1) 100(7 3 +1)米，时间为： 6.6 （分钟），
200
小才用时更短，
故小才先到达电影院．
【题型五】三角函数中的坡度坡比问题
【例 1】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是1: 3 ，河堤的高BC =10米，则
坡面 AB 的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是1: 3 指点 B 向水平面作垂线BC ，垂足为 C，
BC : AC =1: 3 ．）
【答案】 20
【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
3
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡 AB 的坡比为1: 3 得出 tan BAC = ，再
3
根据BC =10米，得出 AC 的值，再根据勾股定理求解即可．
1 3
【详解】解：由题意得 tan BAC = = ，
3 3
∴ AC
BC
= =10 3 =10 3 （米），
tan BAC
2 2 2∴ AB = AC + BC = 10 3 +102 = 20（米）．
故答案为： 20．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【例 2】（2025·河南焦作·二模）如图，在坡度为1: 3 的斜坡CB 上有一棵垂直于水平地面的大树 AB ，当太
阳光线与水平线成 45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC 长为 20 米，则大树 AB 的高为 米．
【答案】 10 3 -10 / -10 +10 3
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 -坡度坡角问题，过点C 作CD ^ AB ，交 AB 的延长线于点 D，
根据余弦的定义求出CD，根据等腰三角形的性质求出 AD ，进而求出 AB ，熟记锐角三角函数的定义是解
题的关键．
【详解】解：如图，过点C 作CD ^ AB ，交 AB 的延长线于点D，
则 BCD = a ，
Q坡度为1: 3 的斜坡CB ，
\ tan BCD = tana 3= ，
3
设BD = x,CD = 3x，
在Rt△BCD 中， BC = 20米，
则可得 x2 + 3x 2 = 202 ，
解得 x =10 （负数舍去）,
则CD =10 3 米，
Q太阳光线与水平线成 45°角沿斜坡照下，
\在RtVADC 中， ACD = 45°，
则 AD = CD =10 3 米，
\ AB = AD - BD = 10 3 -10 米，
故答案为： 10 3 -10 ．
【变式 1】（2025·湖南长沙·一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道
AB 和观光索道BC ， 经过测量知：AB = 1000米，BC =1600米， 步行道 AB 的坡度 i =1: 3 ，观光索道BC
与水平线 BE 的夹角为58°.求山顶点 C 到地面的距离CD的长.(图中所有点都在同一平面内，BE∥ AD， 参
考数据： sin58° 0.85,cos58° 0.53, tan58° 1.60，最后结果精确到 1 米)
【答案】1860米．
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键．
过点 B 作BF⊥CD 于点F ，过点 B 作BH ^ AD于点 H ，证明四边形BHDF 是矩形，则DF = BH ，求出
BH = 500 米，得到DF = BH = 500米，求出CF =1360，即可得到答案．
【详解】解：过点 B 作BF⊥CD 于点F ，过点 B 作BH ^ AD于点 H ，
∴ BFD = CFB = BHD = AHB = 90°，
∵ BE∥ AD，
∴ ADC = AHB = 90°，
∴四边形BHDF 是矩形，
∴ DF = BH ，
∵步行道 AB 的坡度 i =1: 3 ，观光索道BC 与水平线 BE 的夹角为58°
∴ CBF = 58
BH 1
°, =
AH ，3
∴ AH = 3BH ，
∵ AH 2 + BH 2 = AB2 ，
∴ 3BH 2 + BH 2 =10002 ，
解得BH = 500 米，
∴ DF = BH = 500米，
CF
∵ = sin CBF = sin 58°
BC
∴ CF = BC sin 58° =1600 0.85 =1360（米）
∴ CD = CF + DF =1360 + 500 =1860（米）．
答：山顶点 C 到地面的距离CD的长为1860米．
3
【变式 2】（2025·辽宁阜新·一模）如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长CD为 20m，斜坡的坡度 i = ，
4
在 C，D 处测得楼顶端 A 的仰角分别为60°和30°．
(1)求点 D 到地平面BC 的距离；
(2)求居民楼的高度 AB （保留根号）．
【答案】(1)12m
(2)居民楼的高度 AB 为 8 3 +18 m
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解
答本题的关键．
3 3
（1）过点D作DE ^ BC ，交BC 的延长线于点E ，根据斜坡的坡度 i = ，得出 tana = ，设DE = 3x ，则
4 4
CE = 4x ，求出CD = CE2 + DE2 = 5x，根据CD = 20m，求出 x = 4m ，即可得出答案；
（2）过点D作DF ^ AB 于F ，设 AF = ym，在RtVADF AF y 3中， tan 30° = = = ，解得DF = 3y，
DF DF 3
在Rt△ABC 中， AB = y +12 m，BC = 3y -16 m tan 60 AB， ° = = 3 ，求出 y 的值，即可得出答案．BC
【详解】（1）解：过点D作DE ^ BC ，交BC 的延长线于点E ，
3
∵斜坡的坡度 i = ，
4
∴ tana
3
= ，
4
DE 3
在RtVDCE 中， tana = = ，
CE 4
设DE = 3x ，则CE = 4x ，
根据勾股定理得：CD = CE2 + DE2 = 5x，
∵ CD = 20m，
∴ 5x = 20m，
解得： x = 4m ，
∴ DE = 3 4 =12 m ，CE = 4 4 =16 m ，
∴点 D 到地平面BC 的距离为12m ；
（2）解：如图，过点D作DF ^ AB 于F ，
根据解析（1）可知：DE =12 m ，CE =16 m ，
由题意可得BF = DE =12m ，DF = BE ，
设 AF = ym，
AF y 3
在RtVADF 中， tan ADF = tan 30° = = = ，
DF DF 3
解得DF = 3y，
在Rt△ABC 中， AB = AF + FB = AF + DE = y +12 m ，
BC = BE - CE = DF - CE = 3y -16 m，
tan 60 AB y +12° = = = 3
BC 3y -16 ，
解得 y =6+8 3，
经检验， y =6+8 3是原方程的解且符合题意，
\ AB = 6 + 8 3 +12 = 8 3 +18 m．
答：居民楼的高度 AB 为 8 3 +18 m．
【变式 3】（2025·辽宁丹东·模拟预测）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的 AB 为从一楼到二楼
的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点A 处时，测得天花板上日光灯C 的仰角为37°，此时他的眼睛D与
地面的距离 AD = 1.7m，之后他沿一楼扶梯到达顶端 B 后又沿BL BL∥MN 向正前方走了1m，发现日光灯C
刚好在他的正上方．已知自动扶梯 AB 的坡度为1: 2， AB 的长度是15 m．
(1)求图中 B 到一楼地面的高度．（结果保留根号）
(2)求日光灯C 到一楼地面的高度．（结果精确到0.1 m ．参考数据： sin37° 0.6， cos37° 0.8，
tan37° 0.75， 5 2.24）
【答案】(1)一楼扶梯顶端 B 到一楼地面的高度为3 5m；
(2)日光灯 C 到一楼地面的高度约为12.5m．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角
形
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理．
（1）过点 B 作BE ^ MN 于点 E，设BE = xm ，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案；
（2）过点 C 作CF ^ MN 于点 F，交BL于点 G，过点 D 作 DJ ^ CF 于点 J，交 BE 于点 H，根据矩形性质得
四边形 BEFG， ADJF 是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得CJ ，从而完成求解．
【详解】（1）解：如图，过点 B 作BE ^ MN 于点 E．
设BE = xm ，
∵ AB 的坡度为1: 2，
∴ AE = 2BE = 2xm ，
2
在Rt△ABE 中，由勾股定理，得 x2 + 2x =152 ，
解得： x = -3 5 （舍去）或3 5 ，
∴一楼扶梯顶端 B 到一楼地面的高度为3 5m；
（2）解：如图，过点 C 作CF ^ MN 于点 F，交BL于点 G，过点 D 作 DJ ^ CF 于点 J，交 BE 于点 H，
∴四边形 BEFG， ADJF 是矩形，
根据题意，得：BG = 1m ， CDJ = 37°，
∴ EF = BG =1m， AD = FJ =1.7m， AF = DJ ，
由（1）可知， AF = AE + EF = 6 5 +1，
∴ DJ = 6 5 +1 m ．
CJ
在Rt△CDJ 中， tan CDJ = = tan 37°，
DJ
∴ CJ = DJ × tan 37° 6 5 +1 0.75 10.8，
∴ CF = CJ + FJ =10.8 +1.7 =12.5 m ，
∴日光灯 C 到一楼地面的高度约为12.5m．
【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合
【例 1】（2025·安徽滁州·一模）如图 1 所示的是水平放置的水槽截面 ABCD， AB = BC = CD = 20cm ，
B = C = 90°，一束光线从水槽边的A 处投射到空气和液体的分界EF 上的中点O处，入射光线与水槽内壁
AB 的夹角 A = 45° ，与法线MN 的夹角为a ，折射光线OG 与法线MN 的夹角 b = 37°．已知在光源沿 AB
sina
向下移动的过程中，比值 a bsin b 不随 ， 的变化而变化．当入射点O位置不变，光源沿 AB 向下移动到 H
点时，折射光线OG 通过点C ，如图 2 所示，求 AH 的长．（参考数据：sin37° 0.60）
【答案】 10 - 2 11 cm
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．由图 1 可知，
sina sin 45°
a = A = 45°，得出 =sin sin 37 ，再由图 2 可知，a = HOM ，
b = NOC
b ，得出°
sin HOM sina sin 45°
= = sin OHE = sin HOM 5
sin NOC sin b sin 37 ，得到 ，在Rt△OHE 中利用正弦的定义求出
OH 的长，
° 6
再利用勾股定理求出HE 的长，即可求出 AH 的长．
【详解】解：由图 1 可知，a = A = 45°，
sina sin 45°
\ =
sin b sin 37 ，°
由图 2 可知，a = HOM ， b = NOC ，
sin HOM sina sin 45°
\ = =
sin NOC sin b sin 37 ，°
由题意得， NOC = 45°，
sin HOM sin
2 45° 5
\ = ，
sin 37° 6
Q AB∥MN ，
\ OHE = HOM ，
\sin OHE = sin HOM 5 ，
6
由题意得，OE
1
= EF 1= BC =10cm，
2 2
在Rt△OHE 中， sin OHE
OE 5
= = ，
OH 6
\OH 6= OE =12cm ，
5
\HE = OH 2 - OE2 = 2 11cm ，
Q A = 45°， AEO = 90°，
\ AOE = 90° - A = 45°，即 AOE = A = 45° ，
\ AE = OE =10cm，
\ AH = AE - HE = 10 - 2 11 cm．
\ AH 的长为 10 - 2 11 cm．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键
【例 2】（2025·陕西西安·二模）如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管
AB 1= 24cm，BE = AB ，试管倾斜角a 为10°．实验时，导气管紧贴水槽MN ，延长 BM ，交CN 的延长线
3
于点F ，且MN ^ CF ， AC∥DE （点C，D，N，F 在同一条直线上）．经测量，得DE = 27.36cm ，
MN = 8cm， BFC = 45°．请求出铁架杆DE 与水槽MN 之间的水平距离DN ．（结果精确到1cm，参考数
据： sin10° 0.17 ， cos10° 0.98， tan10° 0.18）
【答案】 26cm
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
如图，过点 B 分别作 BH ^ DE 于点 H ， BP ^ FC 于点 P ，在Rt△BEH 中，有正余弦可得∴ HE =1.36(cm) ，
BH = 7.84(cm) ，DP = BH 7.84cm，HD = DE - HE 27.36 -1.36 = 26(cm) ，由题意得到，
PF = BP 26cm， NF = MN = 8cm ，由DN = DP + PF - NF 7.84 + 26 -8 26(cm)即可求解．
【详解】解：如图，过点 B 分别作BH ^ DE 于点 H ，BP ^ FC 于点 P ，
Q AB = 24cm 1， BE = AB ，
3
\BE = 8cm．
QED ^ CF ，
\四边形BPDH 是矩形，
\BH = DP ，BP = HD，
HE
在Rt△BEH 中， sin EBH = sin10° = ， cos EBH
BH
= cos10° = ，
BE BE
∴ HE = BE ×sin EBH = 8 ×sin10° 8 0.17 =1.36(cm) ，
∴ BH = BE ×cos EBH = 8 ×cos10° 8 0.98 = 7.84(cm) ，
\DP = BH 7.84cm ，HD = DE - HE 27.36 -1.36 = 26(cm) ，\BP = HD 26cm，
Q BFP = 45°，
\PF = BP 26cm ， NF = MN = 8cm ，
\DN = DP + PF - NF 7.84 + 26 -8 26(cm)．
【变式 1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）龙世昌雕塑位于贵州省松桃苗族自治县世昌广场中央，是为纪念抗美
援朝特等功臣、二级战斗英雄龙世昌烈士而建的标志性纪念设施（如图 1）．某数学兴趣小组把它抽象成平
面图形如图 2 所示，通过查阅资料得知雕塑总高度（点 D 到平台水平线EA的距离）为7.9m，延长DC 与平
台水平线EA相交于点 B，测得 B = 50°， AB = 4m ．（参考数据： sin 50° 0.77 ， cos50° 0.64，
tan 50° 1.19 ）
(1)求点 C 与平台水平线 AE 的距离 AC 的长（结果保留一位小数）；
(2)求DC 的长（结果保留一位小数）．
【答案】(1) 4.8m
(2) 4.0m
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把 B = 50°， AB = 4m 分别代入 tan B
AC
= ，进行计算，即可作答．
AB
（2）先分别算出BD =10.26 m ，BC = 6.25 m ，再根据线段的和差列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵ B = 50°，且 AB = 4m ，
AC AC
∴在Rt△CAB中，则 tan B = tan 50° = = 1.19
AB 4
解得 AC 4.76 = 4.8 m ；
（2）解：过点 D 作DT ^ EB ，如图所示：
∵点 D 到平台水平线EA的距离为7.9m，
∴ DT = 7.9m ，
sin B sin 50 DT 7.9在RtVTBD 中， = ° = = 0.77，
BD BD
解得BD =10.26 m ，
则在Rt△CAB中，则 cos B = cos50
AB 4
° = = 0.64，
BC BC
解得BC = 6.25 m ，
∴ DC =10.26 - 6.25 4.0 m ．
【变式 2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图 1，空调挡风板是一块安装在空调出风口处的屏障，主要功能是
改变空调风的流向，使其不会直接吹向人体．如图 2，在侧面示意图中，挡风板底部和空调底部在一条水平
线上，出风口顶部距挡风板顶部 AB 长为 25 cm, AB与水平面的夹角为 23°，出风区域总高BC 为 20 cm，空
调挡风板 AD 与水平面夹角为60°．
(1)求侧面示意图中空调挡风板顶部A 到墙体BC 的距离；
(2)求挡风板底部和空调底部CD的长度．
（结果精确到1cm ，参考数据： sin23° 0.39,cos23° 0.92, tan23° 0.42, 3 1.73）
【答案】(1) 23cm
(2)17cm
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
（1）过点A 作 AF ^ BC ，垂足为F ，在 RtVABF 中，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长，即可解答；
（2）过点A 作 AG ^ CE ，垂足为G ，根据题意可得： AF = CG = 23cm，CF = AG，在RtVABF 中，利用
锐角三角函数的定义求出 BF 的长，从而求出CF 的长，然后在RtVADG 中，利用锐角三角函数的定义求出
DG 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点A 作 AF ^ BC ，垂足为F ，
在RtVABF 中， BAF = 23°, AB = 25cm ，
∴ AF = AB ×cos 23° 25 0.92 = 23cm，
∴空调挡风板顶部A 到墙体BC 的距离约为 23cm；
（2）解：过点A 作 AG ^ CE ，垂足为G ，
由题意得： AF = CG = 23cm，CF = AG，
在RtVABF 中， BAF = 23°, AB = 25 cm，
\BF = AB ×sin 23° 25 0.39 = 9.75cm，
Q BC = 20 cm，
\CF = AG = BC - BF = 20 - 9.75 =10.25cm ，
在RtVADG 中， ADG = 60°，
DG AG 10.25\ = = 6cm
tan 60 ，° 3
\CD = CG - DG = 23 - 6 =17cm，
∴阴影CD的长约为17cm．
【变式 3】（2025·辽宁大连·一模）如图 1 是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图 2 和图 3 是其工作示意图．曲
臂云梯消防车伸缩臂 AB 和曲臂BC 可分别绕点 A，点 B 在一定范围内转动，它们的张角分别为 OAB和
ABC ，且当张角满足85° OAB 165°，70° ABC 165°时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的
稳定性．已知 AO ^ OD，CD ^ OD ，且 AO = 4m ，当伸缩臂 AB 和曲臂BC 完全伸出时，AB 长为 40m ，BC
长为 6m．
(1)如图 2，若BC∥OD ， OAB =120°，求CD的长；
(2)如图 3，当 OAB， ABC 达到最大角度时，云梯的顶端 C 升到最高处，求此时CD的长．
（参考数据： sin75o 0.97，cos75o 0.26，tan75o 3.73，3 1.73，结果保留整数．）
【答案】(1) CD的长为 24m
(2)此时CD的长约为 48m
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键．
（1）分别过点 A，B 作 AE ^ CD 于点E ，作BF ^ AE 于点F ，可得 BAF = 30°，则可求得 BF ，再加上
AO ，即可解答；
（2）分别过点 A，B 作 AF ^ CD 于点F，BM ^ AF 于点M，BE ^ CD于点E ，解直角三角形求得 BM 和
CE，再加上 AO ，即可解答．
【详解】（1）解：如图，分别过点 A，B 作 AE ^ CD 于点E ，作BF ^ AE 于点F ，
\ AED = CEA = BFA = BFE = 90o ．
Q AO ^ OD，CD ^ OD，
\ AOD = CDO = CDM = 90°．
QBC∥OD ，
\ C = CDM = 90°
\ AOD = CDO = AED = 90°，
CEA = C = BFE = 90°．
\四边形 AODE，BFEC 为矩形．
\ OAE = 90o，AO = ED，BF = CE ．
Q OAB = 120o，AO = 4 ，
\ BAE = OAB - OAE = 30°，ED = 4 ．
Q AB = 40，
\ 1在RtVAFB 中，BF = AB = 20．
2
\CE = 20．
\CD = CE + DE = 20 + 4 = 24．
答：CD的长为 24m．
（2）解：如图，分别过点 A，B 作 AF ^ CD 于点F，BM ^ AF 于点M，BE ^ CD于点E ，
\ AFD = CFA = BMA = BMF = BEF = BEC = 90o ．
由（1）得，四边形 AODF，BMFE 为矩形．
\ OAF = MBE = 90o，AO = FD，BM = FE ．
Q OAB =165°，AO = 4， ABC =165°，
\ BAF = 75o， ABM =15°， CBE = 60°，FD = 4．
BM
Q AB = 40，在Rt△AMB中， sin BAM = ，
AB
\BM = AB ×sin75o 40 0.97 38.8m ．
3
同理：CE = BC ×sin60o 6 5.19m．
2
\CD = CE + EF + FD 38.8 + 5.19 + 4 48m．
答：此时CD的长约为 48m．
易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错
求角的正切值、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
例 1．（2025·江苏连云港·一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在 4 4的网格中，点 A、
B、C 都在格点上，那么 tan BAC 的值为 ．
1
【答案】 / 0.5
2
【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据所给网格，连接BC ，利用勾股定理及逆定理得出BC 与 AC
垂直，再结合正切的定义即可解决问题．
【详解】解：连接BC ，如图所示：
设小正方形网格的边长为 a，
则由勾股定理得：BC = a2 + 2a 2 = 5a AC = 2a 2 + 4a 2， = 2 5a ，
AB = 3a 2 + 4a 2 = 5a，
∴ AB2 = BC 2 + AC 2 ，
∴VABC 是直角三角形，且 ACB = 90°，
在Rt△ABC 中，
tan BC 5a 1 BAC = = = ，
AC 2 5a 2
1
故答案为： 2 ．
变式 1：（2025·云南昆明·一模）如图，VABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanC 的值为 ．
【答案】1
【知识点】求角的正切值
【分析】过点 A 作 AH ^ BC 于 H，根据正切的定义解答即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【详解】解：过点 A 作 AH ^ BC 于 H，
在RtVACH 中， AH = CH = 3，
tanC AH 3\ = = =1．
CH 3
故答案为：1．
变式 2：（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些
小正方形的顶点上， AB、CD相交于点 P，则 tan APD的值是 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化
思想与数形结合思想的应用．
首先连接BE，由题意易得BF = CF ，△ACP ∽△BDP ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得
DP : CP =1: 3，即可得PF : CF = PF : BF =1: 2 ，在RtVPBF 中，即可求得 tan BPF 的值，继而求得答案．
【详解】解：如图，连接BE交DC 于点F ，
Q四边形BCED 是正方形，
DF CF 1 CD BF 1\ = = ， = BE ，CD = BE ，BE ^ CD，
2 2
\BF = CF ，
根据题意得： AC P BD ，
\VACP∽VBDP ，
\DP : CP = BD : AC =1: 3，
\DP : DF =1: 2，
\DP = PF 1= CF 1= BF
2 2 ，
V tan BPF BF在Rt PBF 中， = = 2，
PF
Q APD = BPF ，
\ tan APD = 2，
故答案为： 2．
变式 3：（2025·江苏徐州·一模）如图，由 8 个全等的菱形组成的网格中，已知 ABD =120°，其中点 A，B，C
都在格点上，则 tan BCD 的值为 ．
【答案】 2 3
【知识点】利用菱形的性质求角度、求角的正切值、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长BC 交格点于点F ，连接 AF ，E,G分别在格点上，
根据菱形的性质，进而得出 AFC = 90°，解直角三角形求得 AF , FC 的长，根据对顶角相等，进而根据正切
的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长BC 交格点于点F ，连接 AF ，E,G分别在格点上，
依题意， EGF =120°, EG = GF ，GF = GC, FGC = 60°
∴ CEF = 30°, ECF = 60°
∴ AFC = 90°
设FC = a
∴ AF = 2EF = 4EG cos30 4a 3° = = 2 3a
2
∴ tan BCD = tan ACF AF 2 3a= = = 2 3
FC a
故答案为： 2 3 ．
变式 4：（2025·新疆喀什·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 2，eO 是VABC 的外接
圆，点A ， B ，O在网格线的交点上，则 sin ACB的值是 ．
2 5 2
【答案】 / 5 /
5 0.4 55
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、求角的正弦值、勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，取格点 D，连接 AD ，可根据
网格的特点和勾股定理得到 AD = 2 5 ，则可解Rt△ABD 得到 ADB的正弦值，再由 ACB = ADB即可求
出答案．
【详解】解：如图所示，取格点 D，连接 AD ，
由网格的特点可得BD = 2，AB = 4，∠ABD = 90° ，
∴ AD = AB2 + BD2 = 2 5 ，
∴ sin ADB AB 2 5= = ，
AD 5
∵ ACB = ADB，
∴ sin ACB = sin∠ADB 2 5= ，
5
2 5
故答案为： ．
5
易错点二：与三角函数中图形未定产生多解
本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩
形的性质以及分类讨论思想的运用．
例 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知矩形 ABCD， AB = 2 ，BC = 3，点 P 是直线CD上一点，若DP =1，
则 tan BPC = ．
1
【答案】 或 1
3
【知识点】求角的正切值、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也
考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．
分类讨论：当点 P 在边CD上，根据矩形的性质有 C = 90°， AB = CD = 2， BC = 3， DP =1，得 CP =1，
tan BPC PC 1 PC得到 = = ；当点 P 在边CD的延长线上， 得CP = 3，得到 tan BPC = =1．
BC 3 BC
【详解】解： 此题有两种可能：
（1）点 P 在线段CD上时.
∵矩形 ABCD中， AB = CD = 2，BC = 3，点 P 是直线CD上一点，DP =1，
∴ CP = CD - DP =1，
∵ C = 90°，
∴ tan BPC
PC 1
= = ；
BC 3
（2）点 P 在CD的延长线上时，CP = CD + DP = 3，
∴ tan BPC
PC
= =1．
BC
1
综上， tan BPC = 或 tan BPC =1 ．
3
1
故答案为： 或 1．
3
变式 1：（2025· 5北京·一模）已知VABC 中， AB =10， sin B = ， AC = 5，则BC = ．
5
【答案】3 5 或5 5
【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三
角形是解题的关键．
分VABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况，过点 A 作 AD ^ BC 交于点 D，然后根据锐角三角函数计算
出 AD = 2 5 ，再结合勾股定理计算出CD、BD的长，即可求解．
【详解】解：如图，当VABC 是钝角三角形时，过点 A 作 AD ^ BC 交BC 延长线于点 D，
∵ sin B AD 5= = ，
AB 5
∴ AD = 2 5 ，
在RtVADC 中，CD = AC2 - AD2 = 5 ，
在Rt△ADB 中，BD = AB2 - AD2 = 4 5 ，
∴ BC = BD - CD = 3 5 ，
如图，当VABC 是锐角三角形时，过点 A 作 AD ^ BC 交BC 于点 D，
同理可得，BC = BD + CD = 5 5 ，
故答案为：3 5 或5 5 ．
变式 2：（2025·河南周口·一模）在四边形 ABCD中， AB = 3 ， B = 30°， D = 60°， AC 为其对角线，且
CA ^ BA．若四边形 ABCD满足有一组对边平行，则CD的长为 ．
3
【答案】 或 1
3
【知识点】等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、含 30 度角的直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，
分 AD∥BC 和 AD∥BC 两种情况讨论即可．
【详解】解∶当 AD∥BC 时，如图，
∵ CA ^ BA， AB = 3 ， B = 30°，
∴ AC = AB × tan B = 3 tan 30 3° = 3 = 1，
3
∵ AD∥BC ，
∴ CD ^ AC ，
AC 1 1 3
∴ CD = = = =tan D tan 60 3 ；° 3
当 AD∥BC 时，如图，
∵ CA ^ BA， B = 30°，
∴ ACD = 60°，
∵ AD∥BC ，
∴ CAD = ACD = 60°，
又 D = 60°，
∴VACD是等边三角形，
∴ CD = AC =1，
综上，CD 3的长为 或 1，
3
3
故答案为： 或 1．
3
4
变式 3：（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形 ABCD为菱形， AB = 5， tan B = ，点 E 在BC 上，连接
3
AE ， AE = 17 ，则CE的长为 ．
【答案】1 或 3
【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查解直角三角形、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、菱形的性质及勾股定
理是解题的关键；如图，过点 A 作 AF ^ BC 于点 F，由题意可分当点 E 在点 F 的左侧和右侧进行分类求解
即可．
【详解】解：过点 A 作 AF ^ BC 于点 F，如图，
∵四边形 ABCD是菱形， AB = 5，
∴ AB = BC = 5，
tan B AF 4∵ = = ，
BF 3
∴ AF
4
= BF ，
3
在RtVAFB 中，由勾股定理得：BF 2 + AF 2 = AB2 = 25，
∴ BF = 3, AF = 4，
当点 E 在点 F 的左侧时，如图，
∵ AE = 17 ，
∴ EF = AE2 - AF 2 =1，
∴ CE = BC - BF + EF = 3；
当点 E 在点 F 的右侧时，此时点 E 与点E 重合，如图，
同理可得：E F =1，
∴ CE = BC - BF - E F =1；
故答案为 1 或 3．
3
变式 4：（2025·上海·模拟预测）VABC 中， ACB = 90°， sin B = ．点 D 在边BC 上，取射线 AD 上一点
5
1
P，将△APB 沿直线 AP 翻折至VAPB 的位置，延长B P 交边 AB 于点F，射线B P 交边BC 于点E．若DE = BC ，
4
且点 C 在边 AB 上，则线段B E与线段PF 长度的比值为 ．
57 217
【答案】 或
25 125
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长
【分析】连接 B D ，设 AC = 3a ，根据正弦的定义和勾股定理可得 AB = 5a ， BC = AB2 - AC 2 = 4a ，由翻折
的性质得VAPB ≌VAPB，得到 B AP = BAP ， AB = AB = 5a，进而得到VAB D≌VABD ，得到 B D = BD ，
设CD = m，在Rt△B CD 中利用勾股定理解出m 的值，表示出CD和BD，根据题意对点E 的位置分 2 种情
况讨论：① E 在点D左侧；② E 在点D右侧，分别过点 P 作PM ∥ AB 交BC 于点M ，过点F 作FG∥BC
B E PE
交 AC 于点G ，交 AD 于点 H ，再利用相似三角形的知识分别求出对应 和 的值，最后利用
PE PF
B E B E PE
= × 即可求解．
PF PE PF
【详解】解：连接 B D ，
AC 3
在Rt△ABC 中， sin ABC = = ，
AB 5
设 AC = 3a ，则 AB = 5a ，
\BC = AB2 - AC 2 = 4a，
由翻折的性质得，VAPB ≌VAPB，
\ B AP = BAP ， AB = AB = 5a，
Q点 P 在射线 AD 上，
\ B AD = BAD，
又Q AD = AD ，
\VAB D≌VABD SAS ，
\B D = BD，
Q点 C 在边 AB 上， ACB = 90°，
\B C = AB - AC = 2a， B CD = 90，
设CD = m，则BD = BC - CD = 4a - m，
在Rt△B CD 中，B C 2 + CD2 = B D2 ，
\ 2a 2 + m2 = 4a - m 2 ，
3
解得：m = a ，
2
\CD 3= a 5，BD = a，
2 2
QDE 1= BC ，
4
\DE 1= 4a = a ；
4
1
①若E 在点D左侧，则CE = CD - DE = a，
2
如图，过点 P 作PM ∥ AB 交BC 于点M ，过点F 作FG∥BC 交 AC 于点G ，交 AD 于点 H ，
QPM ∥ AC ，
\VPMD∽VACD ，VPME∽VB CE ，
PM DM ME PM PE
\ = ， = = ，
AC CD CE B C B E
\DM CD= × PM 1 PM ME CE 1= ， = × PM = PM ，
AC 2 B C 4
QDM + ME = DE ，
1 1
\ PM + PM = a，
2 4
4
解得：PM = a，
3
PE PM 2
\ = = ，
B E B C 3
B E 3
\ = ，
PE 2
QFG∥BC ，
\△AFG∽△ABC ，VB FG∽VB EC ，
AG FG B G FG
\ = ， = ，
AC BC B C CE
AC
\ AG = × FG 3= FG ，B G
B C
= × FG = 4FG ，
BC 4 CE
Q AG + B G = AB ，
3
\ FG + 4FG = 5a，
4
FG 20解得： = a，
19
FG 5
\ = ，
BC 19
QFG∥BC ，
\VAHF∽VADB ，VAFG∽VABC ，
HF AF FG 5
\ = = = ，
BD AB BC 19
HF 5 25\ = BD = a，
19 38
QHF∥DE ，
PE DE 38
\ = = ，
PF HF 25
B E B E PE 3 38 57
\ = × = = ；
PF PE PF 2 25 25
1
②若E 在点D右侧，则CE = CD + DE = a ，
2
如图，过点 P 作PM ∥ AB 交BC 于点M ，过点F 作FG∥BC 交 AC 于点G ，交 AD 于点 H ，
B E 7 PE 62
同理①中的方法可得： = ， = ，
PE 2 PF 125
B E B E PE 7 62 217
\ = × = = ；
PF PE PF 2 125 25
\ 57 217综上所述，线段B E与线段PF 长度的比值为 或 ．25 125
57 217
故答案为： 或 ．
25 125
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、翻折的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握
相关知识点，学会添加平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构
造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
4
变式 5：（2025·湖南长沙·一模）如图，在VABC 中， C = 90°， tanB = ，E 是边 AB 上一点，将VBCE 沿
5
AE
直线CE翻折，点 B 的对应点为B ，如果 AB ∥BC ，那么 的值为 ．
EB
8 2
【答案】 或
5 5
【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形
的判定方法及性质是解题的关键．
根据 tanB
4
= ，设 AC = 4x, BC = 5x ，运用勾股定理可得 AB = 41x ，分类讨论：如图所示，将VBCE 沿直5
线CE翻折，点 B 的对应点为B ， AB ∥BC ，设 AB,CB 交于点F ，运用勾股定理可得 AB = 3x ，由平行可
15x
证VAB F∽VBCF ，可得解得B F
15x
= AF 3 41x， = ，再证VB EF∽VAEB ，可得 B E = 8 即可求解；8 8 AE 3x
将VBCE 沿直线CE翻折，点 B 的对应点为B ，AB ∥BC ，延长B A,CE 交于点G ，运用勾股定理可得 AB = 3x ，
AE AG 2x 2
由折叠与平行的性质可得BC = B C = B G ，则 AG = 2x ，再证△ AGE∽△ BCE ，得到 = = = 即
BE BC 5x 5
可求解．
4
【详解】解：在VABC 中， C = 90°， tanB = ，
5
tan B AC 4∴ = = ，
BC 5
设 AC = 4x, BC = 5x ，
∴ AB = AC 2 + BC 2 = 4x 2 + 5x 2 = 41x，
如图所示，将VBCE 沿直线CE翻折，点 B 的对应点为B ， AB ∥BC ，设 AB,CB 交于点F ，
∴ BC = B C = 5x ， B AC = ACB = 90°，
在Rt△AB C 中， AB = B C 2 - AC 2 = 5x 2 - 4x 2 = 3x，
∵ AB ∥BC ，
∴VAB F∽VBCF ，
AB AF B F 3
∴ = = = ，
BC BF CF 5
∵ CF + B F = CB = 5x，
∴ CF = 5x - B F ，
B F 3
∴ = ，
5x - B F 5
解得，B F
15x
= ，
8
同理， AF + BF = AB = 41x，
∴ BF = 41x - AF ，
AF 3
∴ = ，
41x - AF 5
解得， AF 3 41x= ，
8
∵折叠，
∴ CBE = CB E ，BE = B E
∵ AB ∥BC ，
∴ CBA = B AB，
∴ EB F = EAB ，且 B EF = AEB ，
∴VB EF∽VAEB ，
B E B F EF 15x
∴ = = ，即 B E ，
AE AB EB = 8AE 3x
B E 5
整理得， = ，
AE 8
∵ B E = BE ，
AE 8
∴ = ；
BE 5
如图所示，将VBCE 沿直线CE翻折，点 B 的对应点为B ， AB ∥BC ，延长B A,CE 交于点G ，
∴ B G∥BC ，
∴∠G =∠BCG， B AC = ACB = 90°，
∵折叠，
∴ BCG = B CG，BC = B C = 5x ，
∴ G = B CG ，
∴ B C = B G = 5x，
在Rt△ACB 中， AB = B C 2 - AC 2 = 5x 2 - 4x 2 = 3x，
∴ AG = B G - AB = 5x - 3x = 2x，
∵ AG∥BC ，
∴△ AGE∽△ BCE ，
AE AG 2x 2
∴ = = = ；
BE BC 5x 5
AE 8 2
综上所述， 的值为 或 ，
EB 5 5
8 2
故答案为： 或 ．
5 5
易错点三：实物情景未抽象出几何图形
本题主要考查了解直角三角形的应用，主要是抽象出几何图形。
例 1．（2025·辽宁沈阳·一模）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截
面是矩形BCDE ，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC 在同一条直线上．如图 1，当
拉杆伸出一节（ AB ）时， AC 与地面夹角 ACG = 53°；如图 2，当拉杆伸出两节（ AM ,MB ）时， AC 与
地面夹角 ACG = 37°，已知两种情况下拉杆把手A 点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
4
（参考数据： sin 53° ， sin 37
3
° ， tan 37
3
° ）
5 5 4
【答案】每节拉杆长30cm
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为 xcm，则图 1 中 AB = xcm，
AC = x + 60 cm ，图 2 中 AB = 2xcm， AC = 2x + 60 cm，在图 1 中，过点A 作 AF ^ CG 于点F ，利用三
AF 4 6角函数可得 = x + 48；在图 2 中，过点A 作 AH ^ CG于点 H ，利用三角函数可得 AH = x + 36，结合
5 5
两种情况下拉杆把手A 点距离地面高度相同，可得关于 x 的方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设每节拉杆长为 xcm，则图 1 中 AB = xcm， AC = x + 60 cm ，
图 2 中 AB = 2xcm， AC = 2x + 60 cm，
在图 1 中，过点A 作 AF ^ CG 于点F ，
在Rt△ACF 中， AFC = 90°，
Qsin AF ACF =
AC ，
\ AF = AC sin ACF 4= x + 48，
5
在图 2 中，过点A 作 AH ^ CG于点 H ，
在RtVACH 中， AHC = 90°，
Qsin ACH AH =
AC ，
\ AH AC 6= sin ACH = x + 36，
5
Q AF = AH ，
4
\ x 6+ 48 = x + 36，
5 5
解得： x = 30．
答：每节拉杆长30cm．
变式 1：（2025·河南驻马店·一模）某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，他们欲测量球
罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处 B 离地面高度 AB =1.5米．接着一人站在球罐最高点
C 处，看到斜梯末端F 处恰好被斜梯顶端 E 遮挡（此时EF 与eO 相切），已知过切点 B 恰有一水平横梁交
于斜梯末端 F 处．
(1)连接OE ，求证： DOE = BFD ；
4
(2)若眼睛D与点C 的距离为 1.5 米， sinD = ，求斜梯EF 的长．
5
【答案】(1)见解析
(2)18 米
【知识点】切线的性质定理、其他问题（解直角三角形的应用）、应用切线长定理求解
【分析】本题主要涉及圆的切线性质、切线长定理以及解直角三角形的相关知识，熟知相关性质是正确解
答此题的关键．
（1）通过圆的切线性质和平行线的性质来证明角相等；
（2）先根据已知的正弦值和线段长度求出相关直角三角形的边长，再利用相似三角形的性质求出斜梯EF
的长．
【详解】（1）解：由题意得： BF ，EF 均与eO 相切，
\ OEF = OBF = 90o ，
又四边形OBFE 内角和为360o，
\ BOE + BFD =180o ，
又Q BOE + DOE =180o，
\ DOE = BFD；
（2）解：设eO 半径为 r ，在Rt△DOE 中，
sinD 4= ，
5
4
\OE = OD ×sinD，即 r = r +1.5 ，
5
解得 r = 6，
在 RtVDBF 中，BD =1.5 + 6 + 6 =13.5（米），
QsinD 4= ，
5
\ tanD 4=
3
\BF = BD × tanD =18米
根据切线长定理可知EF = BF =18米．
变式 2：（2025·江西·一模）图 1 是一种柜厢可收纳的货车，图 2，图 3 是其柜厢横截面简化示意图，忽略柜
厢板的厚度，由上、下厢板EF，AB，可对折侧厢板 AC，EC，BD，FD组成，已知 AB = 220cm．当厢板收
起时，EF 恰好与 AB 重合，点 C，D 重合均落在 AB 中点处，当厢板升起过程中，有 CAB = DBA．
(1)如图 2，当上厢板EF 从重合到完全升起到 CAB = 90°时，求点 C，D 在此过程中运动的路程总长；
(2)如图 3，当上厢板 EF 升起到 CAB = 70°时，求此时点 C，D 之间的距离．
（参考数据：p 3.14， sin70° 0.94， cos70° 0.34， tan 70° 2.75，结果保留整数）
【答案】(1) 345cm
(2)145cm
【知识点】求弧长、其他问题（解直角三角形的应用）、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA 或者 AAS）
【分析】本题主要考查了弧长公式、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线
成为解题的关键．
（1）根据题意可得 AC = BD
1
= AB =110cm，然后根据弧长公式求解即可；
2
（2）如图（2），分别过点 C，D 作CM ^ AB, DN ^ AB ，垂足分别为点 M，N．由(1)知 AC = DB =110cm，
易证 .VCAM≌VDBN AAS 可得 AM = BN ，再解直角三角形可得 AM = 37.4cm，最后根据点 C，D 之间的距
离为 AB - 2AM 求解即可．
【详解】（1）解：如图（1）：当厢板收起时EF 恰好与 AB 重合，点 C，D 重合均落在 AB 中点处，
AB = 220cm，
1
∴ AC = BD = AB =110cm，
2
1
∴点 C，D 在此过程中运动的路径的总长度为 2p 110 =110p 345cm ．
2
（2）解：如图（2），分别过点 C，D 作CM ^ AB, DN ^ AB ，垂足分别为点 M，N．由(1)知
AC = DB =110cm，
又∵ CAB = DBA = 70°, CMA = DNB = 90°
∴ .VCAM≌VDBN AAS ，
∴ AM = BN ，
AM
在Rt△ CAM 中， cos CAM = ，
AC
∴ AM = AC ×cos CAM 110 0.34 = 37.4cm，
∴点 C，D 之间的距离为 AB - 2AM = 220 - 37.4 2 145cm．
变式 3：（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图 1 是一种摇盖垃圾桶的实物图，图 2
是其侧面示意图，其盖子 PAQ 可整体绕点A 所在的轴旋转．现测得 BAE =120°， ABC = AED =110°，
AB = AE = 46cm ，BC = 78cm ，BE P CD ．
(1)如图 3，将PAQ 整体绕点A 逆时针旋转角a ，当 AQ P BE 时，求a 的度数．
(2)求点A 到CD的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin80° 0.98， cos80°≈0.17 ， tan80°≈5.67 ）
【答案】(1) 30°
(2) 99.4cm
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应
用是解题的关键；
（1）根据题意，可以求解 ABE 和 AEB的度数，根据 AQ P BE ，求得 QAE = AEB = 30°，即可求解；
（2）过A 点作 AM ^ BE ，垂足为M ，过C 点作CN ^ BE ，垂足为 N ，根据 AM 平分 BE ，求得 AM ，求
得 CBN 的度数，进而求得CN 的长度，从而求解；
【详解】（1）解：Q AB = AE ， BAE =120°，
ABE AEB 180 120 1\ = = ° - ° = 30°，
2
Q AQ P BE ，
\ QAE = AEB = 30°，
\ a = 30°，
故a = 30°；
（2）解：如图：过A 点作 AM ^ BE ，垂足为M ，
过C 点作CN ^ BE ，垂足为 N ，
Q AM ^ BE ， AB = AE ，
\ AM 平分 BE ，
而 AEM = 30°
AM 1 AE 1∴在Rt△AEM 中， = = 46 = 23 cm ，
2 2
又QCN ^ BE ，
\ BNC = 90°，
∴在RtVBCN 中， ABC =110° ， ABE = 30°，
\ CBN =110° - 30° = 80°，
\sin CN CBN = ，
CB
\CN = sin80° CB = 78 0.98 = 76.44 cm ，
\ AM + NC = 23+ 76.44 = 99.44 99.4 cm ，
\ A到CD的距离为99.4cm；
变式 4：（2025·广东珠海·一模）图 1 是我国古代提水的器具枯槔（ jiég o），创造于春秋时期．它选择大小
两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终
与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当
放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图 2 是桔槔的示意图，大竹竿 AB = 8米，O为 AB 的中
点，支架OD 垂直地面EF ，此时水桶在井里时， AOD =120°．
(1)如图 2，求支点O到小竹竿 AC 的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图 3，当水桶提到井口时，大竹竿 AB 旋转至 A1B1 的位置，小竹竿 AC 至 A1C1的位置，此时
A1OD =143° ，求水桶水平移动的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：
3 1.73, sin37° 0.6, cos37° 0.8, tan37° 0.75）
【答案】(1)点O到小竹竿 AC 的距离为3.5米
(2)水桶水平移动的距离1.2米
【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、其他问题（解直角三角形的应用）、含 30 度角的直角三角形、
用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函
数值的计算是关键．
（1）如图所示，过点O作OG ^ AC 于点G ，此时OG 为点O到小竹竿 AC 的距离，可证四边形ODCG 是矩
形， DOG = 90°， AOG = 30°，在RtVAOG 中， AOG = 30°, AO = 4米， AG
1
= AO = 2米，由勾股定理
2
即可求解；
（2）如图所示，过点O作OG ^ AC 于点G ，交 A1C1于点 H ，根据解直角三角形的计算得到 A1H = 3.2米，
由 A1H - AG即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点O作OG ^ AC 于点G ，此时OG 为点O到小竹竿 AC 的距离，
∵ AC ^ EF ,OD ^ EF ,OG ^ AC ，
∴ ODC = DCG = CGO = 90°，
∴四边形ODCG 是矩形，
∴ DOG = 90°，
∴ AOG = AOD - DOG =120° - 90° = 30°，
∵ AB = 8米，点O是 AB 的中点，
∴ AO = BO
1
= AB = 4米，
2
在RtVAOG 中， AOG = 30°, AO = 4米，
1
∴ AG = AO = 2米，
2
∴ OG = AO2 - AG2 = 42 - 22 = 2 3 2 1.73 = 3.46 3.5米，
即点O到小竹竿 AC 的距离为3.5米；
（2）解：如图所示，过点O作OG ^ AC 于点G ，交 A1C1于点 H ，
由（1）可得， AG = 2米， AO = A1O = 4米， DOG = DOH = 90°，
∴ A1OH = A1OD - DOG =143° - 90° = 53°，
∴ A1 = 90° - A1OG = 90° - 53° = 37°，
cos A cos 7 A H在RtVA1OH 中， 1 = ° =
1
A ，1O
∴ A1H = A1O·cos37° 4 0.8 = 3.2米，
∴ A1H - AG = 3.2 - 2 =1.2米，
∴水桶水平移动的距离1.2米．
变式 5：（2025·广西来宾·一模） “绿色出行，驾享未来”，近几年，新能源汽车得到了大力推广，该类汽车
突出的环保特性，体现了作为未来主要交通方式的前瞻性和科技感．某校为了便于教职工进行新能源汽车
充电，计划在长32m、宽14m 的长方形空地修建一个新能源汽车停车场，并向学校的广大师生征集设计方案．
【资料收集】某班同学通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”或“倾斜式”

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