资源简介

抢分秘籍 09 圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】圆中求角的度数 【题型二】圆中求线段的长
【题型三】圆中求弧长、面积 【题型四】圆与正多边形
【题型五】证切线与求线段、半径综合 【题型六】证切线与求弧长、面积综合
【题型七】圆中尺规作图与无刻度作图问题 【题型八】圆与（特殊）平行四边形综合问题
【题型九】生活中的实物抽象出圆的综合问题 【题型十】圆中动点探究型问题
【题型十一】圆中新定义探究综合问题 【题型十二】圆与函数的综合问题
：圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考
内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，证切线为高频考点，常结合判定定理；弧长、扇形面积计算属基础高频，多与圆心
角、半径关联。
2．从题型角度看，证切线多为解答题，需逻辑推理；弧长、面积计算含选择、填空及综合题，常需公
式运用与几何分析，分值 8 分左右，着实不少！
：熟记切线判定与性质、弧长及面积公式；强化几何证明逻辑，注意辅助线添加；多练
综合题，掌握与三角形等结合的解题技巧，规范计算步骤。
【题型一】圆中求角的度数
【例 1】（2025·山西阳泉·一模）如图，已知VABC 是eO 的内接三角形，若 B = 52°，则 ACO =
度．
圆中求角度数常用技巧：利用圆心角等于弧度数、圆周角为圆心角一半；直径对直角；弦切角等于夹弧圆
周角；圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，结合弧长转化角度。
【例 2】（2025·江苏徐州·一模）如图， AB 是eO 的弦， AC 是eO 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若
C = 32°，则 B = °．
【变式 1】（2025·北京·模拟预测）如图，AB 是eO 的直径，C, D是eO 上的两点．若 CAB = 64°，则 ADC
的度数为 ．
【变式 2】（2025·江苏盐城·一模）如图，AB 是半圆O的直径，点C 是弧BC 上的一点， C =132°，则 ABD
的度数为 度．
【变式 3】（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形 ABCD是eO 的内接四边形， DE 是eO 的直径，连接 AE ，
若 C =125°，则 BAE = °．
【题型二】圆中求线段的长
【例 1】（2025·河南郑州·二模）如图，PA与eO 相切于点 A，PO交eO 于点 B，点 C 在PA上，且
CB = CA．若OA = 5，PA =12，则CA的长为 ．
圆中求线段长解题技巧如下：利用勾股定理（半径、弦心距、半弦长构直角三角形）；应用圆幂定理（相交
弦、切割线、割线定理）；构造相似三角形或全等三角形；借助直径（直角圆周角）、半径相等性；结合三
角函数或解直角三角形，辅以辅助线（连圆心、作垂线等）。
【例 2】（2025·江苏常州·一模）如图， AB 是eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 E ， AC = CD，如果 AC = 2 3，
则 AE 的长为 ．
【变式 1】（2025·河南驻马店·一模）如图，在半径为 10 的eO 中， AB 、CD是互相垂直的两条弦，垂足为
P ，且 AB = CD =16．则OP 的长为 ．
【变式 2】（2025·江苏南京·一模）如图，圆内接四边形 ABCD的对角线互相垂直，且BD平分 ABO，延长
BA，CD交于点 F，若DF = 2，OB =1，则CD = ．
【变式 3】（2025·北京·一模）如图，PA，PB分别与eO 相切于点A ，B ，OP 交eO 于点C ，四边形 AEOP
是平行四边形，若PB = 8，则PC = ，劣弧E C = ．
【题型三】圆中求弧长、面积
【例 1】（2025·山东济南·一模）如图，等边VABC 是eO 的内接三角形，若eO 的半径为 4，则阴影部分的
面积为 ．
圆中求弧长与面积，核心抓圆心角、半径：弧长用 L=\frac{n\pi r}{180} 或 L=\theta r （θ为弧度），
扇形面积用 S=\frac{n\pi r^2}{360} 或 S=\frac{1}{2}\theta r^2 。遇组合图形，分割为扇形、三角形等，
利用垂径定理、勾股定理求半径或圆心角，辅以角度转换（弧度与角度）。
【例 2】（2025·辽宁大连·一模）如图，扇形纸扇打开后，外侧两竹条夹角 AOB =150°，OA = 24cm， AB
的长度为 cm（用含 π的式子表示）．
【变式 1】（2025·山东济南·一模）如图，边长为 6 的正六边形 ABCDEF 内接于eO ，则图中阴影部分的面
积为 ．（结果保留p ）
【变式 2】（2025·广东阳江·二模）如图，等圆eO1和eO2 相交于 A，B 两点，eO1经过eO2 的圆心O2，若
O1O2 = 2，则图中阴影部分的面积为
【变式 3】（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 ACDB分别与空竹
eO 相切于点C，D ，且 AC = BD，连接左右两个绳柄 A，B ， AB 经过圆心O，分别交eO 于点M , N ，经
测量OM = AM = 4 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型四】圆与正多边形
【例 1】（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心 O，若 BOC 是正 n 边形的一个中
心角，则 n 的值为 ．
圆与正多边形求解，关键利用外接圆/内切圆性质：圆心即正多边形中心，半径为外接圆半径，边心距为内
切圆半径。将正多边形分割为等腰三角形，用圆心角（360°/n）、勾股定理或三角函数求边长、边心距，
结合对称性作辅助线（连圆心、作高）。
【例 2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形 ABCD的顶点 A，C，D 的圆，分别交 AB, BC 于点 E，
F.若 B = 50°， D =104°，则E F 的度数为 o.
【变式 1】（2025·广东茂名·一模）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以顶点A 为圆心， AB 的长为半径
画弧，交正六边形 ABCDEF 于点 B 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）
【变式 2】（2025·安徽合肥·一模）如图 1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图 2 是由其抽象而成
的正六边形 ABCDEF ，eO 是它的外接圆，连接OC ，OD ，作OG ^ CD
2
．若劣弧CD的长为 p ，则
3
OG = ．
【变式 3】（2025·天津和平·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”
来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”
π 157计算出圆周率 = 3.14 ．如图①，eO 的半径为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计eO
50
3 3
的面积，可得p 的估计值为 ．
2
（1）如图②，在圆内接正十二边形中， AOB （度）；
（2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得p 的估计值为 ．
【题型五】证切线与求线段、半径综合
【例 1】（2025·四川资阳·一模）如图，在VABC 中， ACB = 90°，D，O两点分别在边 AB ， AC 上，过
C ，D两点的eO 与 AC 相交于点E ，连接DE ，CD， ADE = ACD．
(1)求证： AB 是eO 的切线；
(2)若BC = 6 4， tan B = ，求eO 的半径．
3
证切线：点在圆上则证半径垂直于直线；点未知则证圆心到直线距离等于半径。求半径：利用切线垂直性
构直角三角形，结合勾股定理、相似、圆幂定理，或切线长定理，辅作圆心与切点连线等辅助线。
【例2（】2025·辽宁铁岭·一模）如图，BE 是eO 的直径，点A 在eO 上，点C 在 BE 的延长线上， EAC = ABC ，
AD 平分 BAE 交eO 于点D，连接DE ．
(1)求证：CA是eO 的切线．
(2)当 AC = 6 ，CE = 3时，求DE 的长．
【变式 1】（2025·江苏盐城·一模）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D为边 AC 上的点，以 AD 为直径
作eO 交 AB 于点F ，连接BD并延长交eO 于点E ，连接CE，CE = BC ．
(1)求证：CE是eO 的切线；
(2)若CD =1，BC = 3，求点D到 AB 的距离．
【变式2】（2025·贵州六盘水·一模）如图，BC 为eO 的直径，已知 AD ^ BC ，点P在CB 延长线上， PAB = C ．
(1)求证：PA是eO 的切线；
1
(2)已知 AB 平分 PAD， tan PAB = ，OB = 5，求PA，PB的长．
2
【变式3】（2025·广东茂名·一模）如1图，AB 是eO 的直径，BC 是eO 的弦，点M 是eO 外一点， MAC = B．
(1)求证：MA与eO 相切．
(2)如 2 图，连接MC 、OM ，若 AB = AM = MC ，OM 与 AC 交于点E ．
①证明：OM ∥BC ；
②连接 BM 交eO 于点F ，连接EF ，若 tan ABC = 2， BC = 1，求EF 的长．
【题型六】证切线与求弧长、面积综合
【例 1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，VABC 内接于eO ，AB 是eO 的直径，点D在eO 上，点C 是B D
的中点，过点C 作CE ^ AD，垂足为点E ， EC 的延长线交 AB 的延长线于点F ．
(1)求证：EF 是eO 的切线；
(2)若 F = CAD ，BF = 3，求B C 的长．
证切线：点在圆上则证半径⊥直线，点外则证距离=半径。求弧长面积：借切线得直角或圆心角，用弧长
（ L=\frac{n\pi r}{180} ）、面积公式（ S=\frac{n\pi r^2}{360} ），辅分割图形、连切点与圆心构特殊三
角形。
【例 2】（2025·辽宁·一模）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，以BC 为直径作eO 交 AB 于点 D，过圆心
O 作OE∥ AB交 AC 于点 E，连接DE ．
(1)如图 1，求证：DE 是eO 的切线；
(2)如图 2，若 B = 45°， AD = 2 2 ，求图中阴影部分的面积．
【变式 1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在VABC 中， AB = AC ，以 AB 为直径的eO 分别交BC，AC
于点 D，G，过点 D 作EF ^ AC 于点 E，交 AB 的延长线于点F．
(1)求证：EF 与eO 相切；
(2)当DB = BF = 5时，求阴影部分的面积．
【变式 2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在VABC 中， C = 90°， AD 是 BAC 的平分线，O 是 AB 上
一点，O 经过 A，D 两点，交 AC 于点 E，交 AB 于点 F．
(1)求证：BC 是eO 的切线；
(2)若BF = 2，CE =1，求D E 的长 l．
【变式 3】（2025·湖北孝感·一模）如图， AB 是eO 的直径， AC 是eO 的弦，半径OE ^ AB，CE交 AB 于
点 F，点 D 在 AB 的延长线上，且DC = DF ．
(1)求证：DC 是eO 的切线；
(2)若 OEC = 15°,OE = 2，求图中阴影部分的面积．
【题型七】圆中尺规作图与无刻度作图问题
【例 1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，VABC 为eO 的内接三角形，其中BC 是eO 的直径，请用无刻
度的直尺和圆规作图，并解答下列问题．
(1)作 PAB = ACB， AP 交射线CB 于点 P，且点 P 在圆外（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证： AP 为eO 的切线；
(3)若 AP = 5, PB = 3，求直径BC 的长．
圆中作图技巧：找圆心作两弦垂直平分线交点；作切线过圆上点连半径作垂线，圆外点用圆心与点连线中
点画弧找切点；等分圆算圆心角（360°/n），辅半径、垂线、角平分线，借对称性与基本定理（垂径、切
线性质）构图。
【例 2】（2025·河南郑州·一模）尺规作图与圆结合如图，在VABC 中 ， AB = BC ，点O在 AB 上，以点O
为圆心，OA长为半径的圆与BC 边相切于点 D．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 AE∥BC 交eO 于点 E（不要求写作法，保留作图痕迹）．
(2)连接CO并延长交 AE 于点 F．若OA = 3，BD = 6，求EF 的长．
【变式 1】（2025·河南周口·一模）如图，正方形 ABCD内接于eO ，E 是C D的中点， AD = 4．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点E 作BD的平行线，交B C 于点F ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求B F 的长．
【变式 2】（2025·河南平顶山·一模）如图，eO 为△ABD 的外接圆，且 AB 为eO 的直径．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点 B 作eO 的切线，交 AD 的延长线于点C ．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 AD = B D ，试判断△BCD的形状，并说明理由．
【变式 3】（2025·浙江·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图1，VABC 的顶点A 、 B 在eO 上，点C 在eO 内， ACB = 90°，仅利用无刻度直尺在图中画eO 的
内接三角形 ADE ，使△ADE∽△CBA；
(2)如图 2，在VABC 中，AB = AC ，以 AB 为直径的eO 交边 AC 于点D，连接BD，过点C 作CE∥ AB ．①
请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 B 作eO 的切线，交CE于点F ；
②若BD = 5，则BF = ．
【题型八】圆与（特殊）平行四边形综合问题
【例 1】（2025·广东梅州·一模）如图，四边形 ABCD为矩形，E 为边BC 的中点，连接 AE ，以 AD 为直径的
eO 交 AE 于点 F，连接OC ， FC ，OC 交eO 于点 G．
(1)若 COD = 60°， AD = 6，求DG 的长；
(2)求证：四边形 AOCE 是平行四边形；
(3)求证：CF 是eO 的切线．
圆与平行四边形结合，若内接于圆则必为矩形（对角互补且相等），对角线即直径；菱形与圆相切时，利用
切线性质及菱形对角线垂直平分，边长等于半径或借勾股定理。特殊平行四边形（如正方形）结合圆心对
称，用对角线与半径关系、直角特性转化线段与角度。
【例 2】（2025·山东日照·一模）如图，将矩形 ABCD（ AD > AB ）沿对角线 BD翻折，C 的对应点为点C ，
以矩形 ABCD的顶点A 为圆心、 r 为半径画圆，eA与BC 相切于点E ，延长DA交eA于点F ，连接EF 交
AB 于点G ．
(1)求证：BE = BG；
(2)当 r =1， AB = 2 ，求EC 的长．
【变式 1】（2025·福建三明·一模）如图，在YABCD 中， AB = AC ，eO 外接于VABC ．
(1)求证： AD 是eO 的切线；
(2)若 AB = 4 2 ，eO 的半径 r = 3，求YABCD 的面积．
【变式 2】（2025·湖南永州·一模）如图，在正方形 ABCD中， E 是CD上一点， F 是 BE 上一点， AF = AB ，
△ABF 的外接圆eO 交 AD 于点G ．
(1)求证： AG = CE ；
(2)连接DF ，若DF = BF ，求证：直线DF 是eO 的切线；
(3)在（2）的条件下，若 AB =1，求线段CE的长度．
【变式 3】（2025·福建·一模）如图，点O在菱形 ABCD的对角线BD上，eO 与边BC 相切，切点为点E ，
点 P 在边 BA的延长线上，且 PA = AB，将射线 PB绕着点 P 逆时针旋转一个角度a a BPD 后与边 AD ，
直线BC 分别交于F ，G 两点．
(1)当a = BPD时， BFG 等于_____；
(2)若PG 与eO 相切于点M ，连接OP ，如图 2．
①求证：OP 平分 BPG ；
②求证：E ，M ，D三点共线．
【题型九】生活中的实物抽象出圆的综合问题
【例 1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）“板车”具有悠久的历史，是上世纪 90 年代以前农村主要运输及交通工
具．如图是板车侧面的部分示意图，AB 为车轮eO 的直径，过圆心O的车架 AC 一端点C 着地时，地面CD
与车轮eO 相切于点D，连接 AD，BD ．
(1)求证： ADC = DBC ；
(2) CD 2 2 tan C 2若测得 = ， = ，求BD的长．
4
生活中实物抽象圆，抓圆心、半径（直径）：如车轮、钟表等，将实物关键点（边缘、中心）对应圆上点与
圆心，利用半径相等、垂径定理、切线性质（如齿轮咬合），转化为圆心距、弦长、位置关系（相切、相
交），辅勾股定理或坐标系建模。
【例 2】（2025·河南濮阳·一模）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱．如图 2 是过山车的示
意图，其中过山车的轨道近似看成eO ，轨道的支撑 AD，BC 均与地面CD垂直，点 E 为BC 上一点，连接 AE
交☉O 于点 F，连接 BF 并延长与CD交于点 G，连接DF ．已知 AB 为eO 的直径且
AB = AD， BAE = EBF ．
(1)求证： AD 是eO 的切线；
3
(2)当BE = 3 ，eO 的半径为 时，求△ADF 的面积．2
【变式 1】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图 1，在矩形硬纸板 ABCD上剪去矩形EFGH ，把它与一块圆形
硬纸板拼在同一平面内，使圆恰好与点E 、点 H 及边 FG 相接触（纸板厚度忽略不计）．已知EF = 4cm，
FG =16cm．
(1)求该圆形纸板的半径；
(2)如图 2，在上述基础上，再拼接一块硬纸板（即图中△AEP ），并绕点 H 旋转圆形纸板，使之恰好与点 P
和点 H 相接触．若 AEP = 90°，PE = 2 11cm，请你求出P H （劣弧）的长度．
【变式 2】（2025·河北唐山·一模）漆扇属于国家级非物质文化遗产，它利用了漆不溶于水的特点制作而成，
淇淇把自己制作的圆形漆扇放在支架上，如图 14-1 所示．图 14-2 是其平面示意图， AC 为圆形漆扇的直径，
点O为圆心，扇柄BC =10cm ，且A，O，C，B在同一直线上，△BCD为支架，DC 与eO 相切于点C，BD = 20cm，
点 A 到桌面的距离为 AH ，且 AH 与eO 相交于点 Q，点 B 与 H 的距离BH =13cm ．
(1)求 A的度数；
(2)求Q C 的长度；
(3)不改变现有漆扇的大小和位置，直接写出支架点 D 到圆形漆扇的最大距离．
【变式 3】（2025·河南鹤壁·一模）物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从
中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线 AB 为水平桌面，线段OC 为支架 OC ^ AB ，虚线为铅锤 P
的运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题．
(1)若点 P 到OC 和 AB 的距离相等，则称此时点 P 的位置为“黄金位置”．过点 P 作eO 的切线交 AB 于点 D，
如图（2），若OP = PD，证明此时点 P 处于“黄金位置”．
(2)已知OC = 70cm，OP = 20 10cm，在射线CB 上有一点 E，且CE =10cm，连接EP，如图（3），在点 P
运动的过程中，当EP与eO 相切时，求点 P 到 AB 的距离．
【题型十】圆中动点探究型问题
【例 1】（2025·江苏淮安·一模）如图，eO 的直径CD垂直弦 AB 于点 E，且 AB = 8，CD =10 ，动点 P 是 AB
延长线上一点，CP交eO 于点 Q，连接 AQ 交CD于点 F．
(1)当 Q 是弧BC 的中点时，求证： AQ = PQ ；
CF
(2)设 BP = x， = y，请写出 y 关于 x 的函数表达式，并说明理由；
DF
(3)连接DP、BQ ，若△CDP是以CD为腰的等腰三角形，试求BQ的长．
圆中动点问题：抓轨迹（圆或圆弧），用几何法（圆心距、三角形三边关系、切线性质）或代数法（参数方
程、坐标运算），结合最值临界位置（如直径端点、切点），借勾股、相似、圆定义转化条件。
【例 2】（2025·贵州·一模）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 E 是半圆 O 上一动点（不与 A，B 重合），过点 O
作OC ^ BE ，交半圆 O 于点 C，垂足为 G，过点 C 作CD ^ AB 交 BE 于点 F，垂足为 D．
(1)写出图中一对全等三角形　　　　（用“≌”连接），图中直角三角形的个数有　　　　个；
(2)求证：CF = BF ；
(3)若CF = 2 ，GF = 1，求阴影部分的面积．
【变式 1】（2025·河北·一模）如图，半圆 O 与直线 AB 相切于点 B ，BC 为半圆 O 的直径，OB = 2 ．P 为直
线 AB 上的一动点，过点 P 作射线 PQ， QPB = 60°，射钱 PQ随点 P 的移动而平移．
(1)如图 1，移动点 P，使得射线 PQ与半圆 O 交于点 D，E，连接OD ，OE ．当OD∥AB时，求D E 的长．
(2)如图 2，移动点 P ，使得射线 PQ经过点 C，射线 PQ与半圆 O 交于另一点 F，求CF 的长．
【变式 2】（2025·河北石家庄·一模）如图 1，eO 的半径为 10，直线 l 经过eO 的圆心 O，且与eO 交于 A，
3
B 两点，点 C 在eO 上，且 sin AOC = ，点 P 是直线 l 上的一个动点（与圆心 O 不重合），直线CP与eO
5
交于点 Q．
(1)求点 C 到OA的距离；
(2)如图 2，当PC 与eO 相切时，求 AP 的长；
(3)如图 3，连接 AC ，当 AC∥OQ时，求 AC 与OQ 之间的距离；
tan OCP 1(4)当 = 时，直接写出OP 的长．
2
【变式 3】（2025·广东茂名·一模）阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我
们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+ 定长”：
如图 1，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 56°，D 是VABC 外一点，且 AD = AC ，求 BDC 的度数．
解：由题意，若以点A （定点）为圆心， AB （定长）为半径作辅助圆eA（可在图 1 中画出辅助圆eA），
则点C 、D必在eA上， BAC 是B C 所对的圆心角，而 BDC 是B C 所对的圆周角，从而可容易得到
BDC = ________ °．
②类型二，“定角+ 定弦”：
如图 2，Rt△ABC 中， AB ^ BC ， AB =12， BC = 8， P 是VABC 内部的一个动点，且满足 PAB = PBC ，
求线段PC 长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵ ABC = 90°，
∴ ABP + PBC = 90°，
∵ PAB = PBC ，
∴ ABP + PAB = 90°，
∴ APB = _______ °，（定角）
∴点 P 在以 AB （定弦）为直径的eO 上，
如图 2，连接OC 交eO 于点 P ，此时PC 最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图 3，在矩形 ABCD中，已知 AB = 6，BC = 8，点 P 是BC 边上一动点（点 P 不与 B，C
重合），连接 AP ，作点 B 关于直线 AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图 4，在正方形 ABCD中， AD = 10，动点 E，F 分别在边DC ，CB 上移动，且满足
DE = CF ．连接 AE 和DF ，交于点 P．点 E 从点 D 开始运动到点 C 时，点 P 也随之运动，请求出点 P 的运
动路径长．
【题型十一】圆中新定义探究综合问题
【例 1】（24-25 九年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角
形为“圆等三角形”．
(1)如图 1， AB 是eO 的一条弦（非直径），若在eO 上找一点C ，使得VABC 是“圆等三角形”，则这样的点
C 能找到__________个．
(2)如图 2，四边形 ABCD是eO 的内接四边形，连结对角线BD，△ABD 和△BCD均为“圆等三角形”，且
AB = AD ．
①当 A =130°时，求 BDC 度数．
②如图 3，当 A =120°， AB = 2 时，求阴影部分的面积．
圆中新定义探究题，先精读定义，明确核心条件（如“关联点”“等距圆”等），结合圆的基本性质（半径、
弧、角、位置关系），通过画图、特例验证、代数建模（设坐标、列方程）转化定义，利用几何定理（全等、
相似、勾股）推关系，分类讨论不同情形下的结论。
【例 2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相
交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”．
1
(1)如图 1，点 D 在BC 的延长线上， I 是VABC 中 A的“张望角”，求证： I = A；
2
(2)如图 2，VABC 内接于eO ，点 D 在BC 的延长线上，点 E 在 AC 上，连接EA, EC, EA = EC ，连接 BE ，
点 F 在 AC 上， AF = B F ，连接 AF ，连接CF 并延长交 BE 的延长线于点 I，求证： I 是VABC 中 BAC 的
“张望角”；
(3)如图 3，在（2）的条件下，若 AC 是eO 的直径，过点 I 作 AC 的垂线，点 G 为垂足， IG交 AF 于点 H，
7
若FH = 5，BC = ，求BI 的长．
3
【变式 1】（2025·宁夏银川·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这
个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”，如图 1，VABC 中，点 E 是BC
边上一点，连接 AE ，若 AE2 = BE ×CE，则称点 E 是VABC 中BC 边上的“平方点”．
(1)如图 2，已知在四边形 ABCD中，BD平分 AC 于点 E， CAD = CBD，求证：点 E 是△ABD 中BD边
上的“平方点”；
(2)如图 3，VABC 是eO 的内接三角形，点 E 是VABC 中BC 边上的“平方点”，延长 AE 交eO 于点 D，若
BAE = CAE ，求证：DE = AE；
(3)如图 4，在Rt△ABC 中， A = 90o， AB = 4 5 ，BC =10，过点 D 作 AD ^ BC 于点 D，点 E 是BC 边上
的“平方点”，求线段 BE 的长．
【变式 2】（2025·广东深圳·模拟预测）综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距
离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在VABC 中，D是 BC 边上一点，连接 AD ，
若 AD2 = BD ×CD ，则称点D是VABC 中BC 边上的“亮点”．
【概念理解】
（1）如图（b），在Rt△ABC 中， BAC = 90°，AD ，AE ，AF 分别是VABC 的高线，角平分线，中线．请
判断D，E ，F 三点中哪些是VABC 中BC 边上的“亮点”，并说明理由．
【性质应用】
3
（2）如图（c），在VABC 中， B = 45°， tan C = ， AC =10．若D是BC 边上的“亮点”，求BD的长．
4
【拓展提升】
1 CD
（3）如图（d），VABC 内接于⊙ O，D是VABC 中BC 边上的“亮点”且 AD ^ AC ．若 sin B = ，求 的
3 BD
值．
【变式 3】（2025·广东韶关·一模）综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图 1 中半径为 2 的圆形纸片（eO ）若干．
【实践操作】活动一：如图 2，在该圆形纸片（eO ）上剪出一个圆周角为 90°的扇形．
活动二：如图 3，在另一圆形纸片（eO ）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形 ABCDEF 的面积为 S1，
再连接 AC ， AE ，剪出△ACE，设△ACE的面积为 S2．
活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点O， AB 所在圆的圆心C 恰好是VABO 的
内心．
【实践探索】
(1)根据剪纸要求，计算图 2 中的扇形 ABC 的面积．
S
(2) 1请直接写出 S 的值：______．2
(3)求弧形花瓣总的周长（图 4 中实线部分的长度）．（结果保留 π）
【题型十二】圆与函数的综合问题
【例 1】（2025·浙江舟山·一模）如图 1，以点M 1,0 为圆心的圆与 y 轴、x 轴分别交于点 A、B、C、D，直
3 5 3
线 y = - x + 与eM 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点F ．
3 3
(1)填空：OE 的长为______；OF 的长为______；eM 的半径为______；CH 的长为______；
(2)如图 2，点 P 是直径CD上的一个动点（不与 C、D 重合），连结HP 并延长交eM 于点Q．
①当DP : PH = 3: 2 时，求 cos QHC 的值；
②设 tan QHC = x
PQ
， = y ，求 y 与 x 的函数关系式．
PH
圆与函数结合，联立方程（如圆与直线、抛物线方程），用判别式判位置关系，参数方程转三角函数求最值，
借圆心距公式（如点到直线距离）算弦长、切点，坐标法设点代入，结合几何性质（垂径、对称）简化运
算。
【例 2】（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线 y = ax2 + bx + 5与 x 轴交于A ， B 两点，与 y 轴交于点C ，
AB = 4．抛物线的对称轴 x = 3与经过点A 的直线 y = kx -1交于点D，与 x 轴交于点E ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点M ，使得△ADM 是以 AD 为直角边的直角三角形，求出所有点M 的坐标；
1
(3)以点 B 为圆心，画半径为 2的圆， P 为☉B 上一个动点，请求出PC + PA的最小值．
2
【变式 1】（2025·北京·一模）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 与eC ，若将点 P 绕着点 C 旋转
a 0° < a <180° 得到点 Q，直线PQ刚好与eC 相切，则称点 P 为eC 的“a 旋切点”．
(1)已知eO 的半径为 1，
1 1
①在点P1 , ÷，P2 -1,0 ，P3 0, 2 中，点 是eO 的“a 旋切点”，其中a = ；
è 2 2
3 1
②已知点M , ÷÷，点 N 为eO 的“120°2 2 旋切点”，且MN = 3 ，求点
N 的坐标；
è
(2)已知点 A -4,0 ，B 0,3 ，C 0, t ，若线段 AB 上每个点都是eC 的“a 旋切点”，且0 < a 90° ，直接写
出 t的取值范围．
【变式 2】（2025·广东汕头·模拟预测）如图 1，E 点为 x 轴正半轴上一点，eE 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴
于 C、D 两点，P 点为劣弧BC 上一个动点，且 A -1,0 、E 1,0 ．
(1)如图 1，连接PC ，取PC 中点 G，连结OG ，则OG 的最大值为______；
(2)如图 2，连接 AC、AP、CP、CB．若CQ平分 PCD 交PA于 Q 点，求 AQ 的长；
PC + PD
(3)如图 3，连接 PA、PD，当 P 点运动时（不与 B、C 两点重合），求证： 为定值，并求出这个定值．
PA
【变式 3】（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c与 x 轴交于点 A -1,0 ，
B 3,0 ，与 y 轴交于点C 0,3 ，点M m,0 为线段OB 上一动点，以点M 为圆心，OM 为半径作圆，与 x 轴
另一交点为F ．过点C 作eM 的切线与 x 轴相交于点D，切点为E ，连接EF ．
(1)求抛物线 y = ax2 + bx + c的解析式；
(2)如图 1，若D， B 点重合时，求 tan FED的值；
(3) 2 DF 10如图 ，若 = ，点Q是抛物线 y = ax2 + bx + c上的点，满足 QCO = FED，求点Q的坐标．
EF 8
【变式 4】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，直线 y = -x + b与 x 轴交于点A ，与 y 轴交于点 B ，过原点O，
点A 和点 B 三点作eP，再过点A 作eP的切线 AM ，Q为 AM 上一动点，过点Q作 y 轴的垂线，交 y 轴于
点C ，连接BQ，交eP于点D．
(1)求 CQA的度数；
(2)连接DO ， AD ，当 AQ = 2 2 时，△DOA恰好为等腰三角形，求此时b 的值；
S
(3)连接PC ，DC ，PC 交BQ于点F ，PC P AD 1时，记△PFB的面积为 S1，VCDF 的面积为 S2，求 S ．2抢分秘籍 09 圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】圆中求角的度数 【题型二】圆中求线段的长
【题型三】圆中求弧长、面积 【题型四】圆与正多边形
【题型五】证切线与求线段、半径综合 【题型六】证切线与求弧长、面积综合
【题型七】圆中尺规作图与无刻度作图问题 【题型八】圆与（特殊）平行四边形综合问题
【题型九】生活中的实物抽象出圆的综合问题 【题型十】圆中动点探究型问题
【题型十一】圆中新定义探究综合问题 【题型十二】圆与函数的综合问题
：圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考
内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，证切线为高频考点，常结合判定定理；弧长、扇形面积计算属基础高频，多与圆心
角、半径关联。
2．从题型角度看，证切线多为解答题，需逻辑推理；弧长、面积计算含选择、填空及综合题，常需公
式运用与几何分析，分值 8 分左右，着实不少！
：熟记切线判定与性质、弧长及面积公式；强化几何证明逻辑，注意辅助线添加；多练
综合题，掌握与三角形等结合的解题技巧，规范计算步骤。
【题型一】圆中求角的度数
【例 1】（2025·山西阳泉·一模）如图，已知VABC 是eO 的内接三角形，若 B = 52°，则 ACO =
度．
【答案】38° /38 度
【知识点】圆周角定理
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接OA，则有OA = OC ，
AOC = 2 ABC =104°，进而问题可求解．
【详解】解：连接OA，如图所示：
∵ B = 52°，
∴ AOC = 2 ABC =104°，
∵ OA = OC ，
ACO 180° - AOC∴ = = 38°；
2
故答案为38°．
圆中求角度数常用技巧：利用圆心角等于弧度数、圆周角为圆心角一半；直径对直角；弦切角等于夹弧圆
周角；圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，结合弧长转化角度。
【例 2】（2025·江苏徐州·一模）如图， AB 是eO 的弦， AC 是eO 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若
C = 32°，则 B = °．
【答案】29
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余
【分析】此题考查圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，根据切线的性质得
到 OAC = 90°，由此求出 AOC 的度数，再根据圆周角定理求出 B 的度数．
【详解】解：连接OA，
∵ AC 是eO 的切线，A 为切点，
∴ AC ^ OC ，
∴ OAC = 90°，
∵ C = 32°，
∴ AOC = 90° - C = 58°，
∴ B
1
= AOC = 29°，
2
故答案为：29．
【变式 1】（2025·北京·模拟预测）如图，AB 是eO 的直径，C, D是eO 上的两点．若 CAB = 64°，则 ADC
的度数为 ．
【答案】 26° /26 度
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，熟练掌
握知识点是解题的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到 CAB + CBA = 90°，再求出 CBA = 26°，
最后根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵ AB 是eO 的直径，
∴ ACB = 90°，
∴ CAB + CBA = 90°，
∵ CAB = 64°，
∴ CBA = 26°，
∴ ADC = CBA = 26°，
故答案为： 26°
【变式 2】（2025·江苏盐城·一模）如图，AB 是半圆O的直径，点C 是弧BC 上的一点， C =132°，则 ABD
的度数为 度．
【答案】 42° /42 度
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
由圆的内接四边形的性质求得 DAB ，再由圆周角定理得出 ADB = 90°，由三角形内角和定理进而可直接
答案．
【详解】解：∵ AB 是半圆O的直径，
\ ADB = 90°，
∵ C =132°，
\ DAB =180° - C =180° -132° = 48° ，
\ ABD = 90° - 48° = 42°
故答案为：42°．
【变式 3】（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形 ABCD是eO 的内接四边形， DE 是eO 的直径，连接 AE ，
若 C =125°，则 BAE = °．
【答案】35
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出 DAB ，根据圆
周角定理得到 DAE=90°，进而求出 BAE ．
【详解】解：∵四边形 ABCD是eO 的内接四边形，
∴ C + DAB =180°，
∵ C =125°，
∴ DAB = 180° -125° = 55°，
∵ DE 是eO 的直径，
∴ DAE=90°，
∴ BAE = 90° - 55° = 35°，
故答案为：35．
【题型二】圆中求线段的长
【例 1】（2025·河南郑州·二模）如图，PA与eO 相切于点 A，PO交eO 于点 B，点 C 在PA上，且
CB = CA．若OA = 5，PA =12，则CA的长为 ．
10
【答案】
3
【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，根据切线得到OA ^ PA，然后根据勾股定理得到
PO长，然后设CA = x ，得到CB = x，PB = 8，PC =12 - x ，然后在RtVPBC 利用勾股定理求出 x 的值即可
解题．
【详解】解：因为PA与eO 相切于点A ，
所以OA ^ PA，
在Rt△OAP 中，OP = OA2 + PA2 = 52 +122 =13．
设CA = x ，则CB = x，PC =12 - x ，OB = OA = 5，PB =13 - 5 = 8．
在RtVPBC 2中，根据勾股定理可得 x2 + 82 = 12 - x ，
x 10解得 = ，
3
10
即CA的长为 ，
3
10
故答案为： ．
3
圆中求线段长解题技巧如下：利用勾股定理（半径、弦心距、半弦长构直角三角形）；应用圆幂定理（相交
弦、切割线、割线定理）；构造相似三角形或全等三角形；借助直径（直角圆周角）、半径相等性；结合三
角函数或解直角三角形，辅以辅助线（连圆心、作垂线等）。
【例 2】（2025·江苏常州·一模）如图， AB 是eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 E ， AC = CD，如果 AC = 2 3，
则 AE 的长为 ．
【答案】3
【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握垂径定理是解题的关键；
连接 AD ，判定VABC 为等边三角形，进而求解CE的长度，进而根据勾股定理求解即可；
【详解】解：如图，连接 AD ，
Q AB 是eO 的直径，弦CD ^ AB ，
\CE = DE ， AC = AD，
Q AC = CD，
\ AC = CD = AD ，
\VABC 为等边三角形，
\ ACD = 60°，
CAE = 90° - 60° = 30°，
1
\CE = AC = 3
2 ，
2 2
AE = AC 2 - CE2 = 2 3 - 3 = 9 = 3；
故答案为：3．
【变式 1】（2025·河南驻马店·一模）如图，在半径为 10 的eO 中， AB 、CD是互相垂直的两条弦，垂足为
P ，且 AB = CD =16．则OP 的长为 ．
【答案】 6 2
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】作OM ^ AB于 M，ON ^ CD于 N，连接OP ，OB ，OD ，根据垂径定理可得BM = DN = 8，再根
据勾股定理可得OM = ON = 6，再证明四边形MONP是正方形
则MP = OM = 6 ，根据勾股定理即可求出OP 的长．本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形的判定和
性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：作OM ^ AB于 M，ON ^ CD于 N，连接OP ，OB ，OD ，
Q AB = CD =16 ，
\BM = DN = 8，
\OM = ON = 102 -82 = 6 ，
Q AB ^ CD，
\ DPB = 90°，
QOM ^ AB 于 M，ON ^ CD于 N，
\ OMP = ONP = 90°，
∴四边形MONP是矩形，
QOM = ON ，
∴四边形MONP是正方形，
\MP = OM = 6，
\OP = 62 + 62 = 6 2 ．
故选：B．
【变式 2】（2025·江苏南京·一模）如图，圆内接四边形 ABCD的对角线互相垂直，且BD平分 ABO，延长
BA，CD交于点 F，若DF = 2，OB =1，则CD = ．
4
【答案】 5 / 4 5
5 5
【知识点】利用垂径定理求值、由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所
对的圆周角相等
【分析】延长BO交 AC 于 H，交CD于 G，设 AC 、BD相交于 E，根据角平分线的定义，圆周角定理以及
三角形外角的性质可得出 CGH = BEH = 90°，根据垂径定理得出CD = 2DG ，证明OD∥ AB，根据平行线
分线段成比例可求出 DG = 2OG 2，在Rt△ODG 中，根据勾股定理得出OG2 + 2OG =12 ，解方程求出OG ，
即可求解．
【详解】解：延长BO交 AC 于 H，交CD于 G，设 AC 、BD相交于 E，
∵圆内接四边形 ABCD的对角线互相垂直，
∴ BEH = 90°，
∵ BD平分 ABO，
∴ 1 = 2，
又 1 = 3，
∴ 2 = 3，
又 BHC = 2 + BEH = 3 + CGH ，
∴ CGH = BEH = 90°，
∴ OG ^ CD，
∴ CD = 2DG ，
∵ BO = DO，
∴ 2 = BDO，
又 1 = 2，
∴ 1 = BDO ，
∴ OD∥ AB，
OG DG OG DG
∴ = =BO DF ，即 1 2 ，
∴ DG = 2OG ，
在Rt△ODG 中，OG2 + DG2 = OD2，
∴ OG2 + 2OG 2 =12 ，
解得OG 5= （负值已舍去），
5
DG 2∴ = 5 ，
5
∴ CD
4
= 5 ，
5
4
故答案为： 5 ．
5
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形，平行线分线段成比例，垂径定理，勾股定理等知识，
明确题意，添加合适辅助线，判断出OG ^ CD，OD∥ AB是解题的关键．
【变式 3】（2025·北京·一模）如图，PA，PB分别与eO 相切于点A ，B ，OP 交eO 于点C ，四边形 AEOP
是平行四边形，若PB = 8，则PC = ，劣弧E C = ．
【答案】 8 2 -8 / -8 + 8 2 6p
【知识点】应用切线长定理求解、求弧长、切线的性质定理、特殊三角形的三角函数
【分析】根据切线长定理得PA = PB ，结合平行四边形的性质推得 AOP = 45°、 EAP = EOP =135°，通
过三角函数可求得PC 的长，通过弧长公式可求得劣弧E C 的长．
【详解】解：如图，连接OA，
QPA， PB分别与eO 相切于点A ， B ，
\PA = PB = 8， OAP = 90°，
Q四边形 AEOP 是平行四边形，
\PA = OE = OA = OC = 8，EA∥OP ，
AOP APO 180° - OAP\ = = = 45° = EAO，
2
\ EAP = EAO + OAP = EOP = 45° + 90° =135°，
\ 135p 8劣弧E C = = 6p ，
180
Q在Rt△OAP 中， sin AOP = sin45 AP 2° = = ，
OP 2
\OP = 2AP = 8 2 ，
\PC = OP - OC = 8 2 -8．
故答案为：8 2 - 8，6p ．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式，特殊角的三角函数值，
熟练掌握切线长定理是解题关键．
【题型三】圆中求弧长、面积
【例 1】（2025·山东济南·一模）如图，等边VABC 是eO 的内接三角形，若eO 的半径为 4，则阴影部分的
面积为 ．
16p
【答案】 - 4 3
3
【知识点】求扇形面积、等边三角形的性质、含 30 度角的直角三角形、利用垂径定理求值
【分析】连接OB 、OC ，连接 AO 并延长并BC 于点D，根据垂径定理和等边三角形的性质求出△OBC 的
面积，再利用扇形的面积公式结合图形求解．
【详解】解：连接OB 、OC ，连接 AO 并延长并BC 于点D，如下图，
则 AD ^ BC ．
Q等边VABC 是eO 的内接三角形，
\ OCD = 30°，
\OD = 2 ， COD = 60°，
\BD = CD = 42 - 22 = 2 3 ， BOC = AOB =120°，
S 1 1\ VBOC = BC ×OD = 2 2 3 2 = 4 3 ，2 2
\SVAOB = SVBOC = 4 3，
120p 42\ 16p图中阴影部分的面积= - 4 3 = - 4 3 ．
360 3
16p
故答案为： - 4 3 ．
3
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式，垂径定理，含30°的直角三角形的性质，勾股定
理，三角形面积计算，作出辅助线求出VBOC 的面积是解答关键．
圆中求弧长与面积，核心抓圆心角、半径：弧长用 L=\frac{n\pi r}{180} 或 L=\theta r （θ为弧度），
扇形面积用 S=\frac{n\pi r^2}{360} 或 S=\frac{1}{2}\theta r^2 。遇组合图形，分割为扇形、三角形等，
利用垂径定理、勾股定理求半径或圆心角，辅以角度转换（弧度与角度）。
【例 2】（2025·辽宁大连·一模）如图，扇形纸扇打开后，外侧两竹条夹角 AOB =150°，OA = 24cm， AB
的长度为 cm（用含 π的式子表示）．
【答案】 20π
【知识点】求弧长
【分析】本题考查弧长计算公式，根据外侧两竹条夹角 AOB =150°和弧长计算公式可以得到弧 AB 的长．
【详解】解：∵ OA = 24cm， AOB =150°，
150p 24
∴ AB 的长为： = 20p cm ，180
故答案为： 20π．
【变式 1】（2025·山东济南·一模）如图，边长为 6 的正六边形 ABCDEF 内接于eO ，则图中阴影部分的面
积为 ．（结果保留p ）
p 1
【答案】 / p
6 6
【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，正六边形的性质等知识点．将阴影部分合并即可得到扇形的面积，
利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意，图形可转换成下图，
∵ ABCDEF 是正六边形，
∴ AOB = 60°，
∵ OA = OB，
∴VAOB 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB =1，
∴ S 60°p 1
2 p
阴影 = = ，360° 6
p
故答案为： ．
6
【变式 2】（2025·广东阳江·二模）如图，等圆eO1和eO2 相交于 A，B 两点，eO1经过eO2 的圆心O2，若
O1O2 = 2，则图中阴影部分的面积为
2p
【答案】
3
【知识点】全等的性质和 SAS 综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．先证明
VACO1≌VBCO2 ，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．
【详解】如图，连接O2B ，O1B，
∵等圆eO1和eO2 相交于 A，B 两点
∴ O1O2 ^ AB , AC = BC
∵ eO1和eO2 是等圆
∴ O1A = O1O2 = O1B = O2B
∴VO1O2B 是等边三角形
∴ O1O2B = 60°
∵ ACO1 = BCO2 = 90° , AC = BC , O1A = O2B
∴VACO1≌VBCO2
∴ S S S S S S 60p 2
2 2p
= VACO +1 图形BCO = VBCO +1 2 图形BCO = BO O = = ．1 扇形 1 2 360 3
2p
故答案为： ．
3
【变式 3】（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 ACDB分别与空竹
eO 相切于点C，D ，且 AC = BD，连接左右两个绳柄 A，B ， AB 经过圆心O，分别交eO 于点M , N ，经
测量OM = AM = 4 ，则图中阴影部分的面积为 ．
8π
【答案】 +16 3
3
【知识点】切线的性质定理、根据特殊角三角函数值求角的度数、全等的性质和 SAS 综合（SAS）、求其他
不规则图形的面积
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接OC，OD ，可证
VACO≌VBDO SAS ，得到 AOC = BOD， SVACO = SVBDO ，利用三角函数可得 A = 30°，即得
AOC = BOD = 60° ，得到 COD = 60°，最后根据 S阴影 = SVACO + SVBDO + S扇形OCD即可求解，正确作出辅助
线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接OC，OD ，
∵ AC、BD 是eO 的切线，点C、D为切点，
∴ ACO = BDO = 90°，
∵ AC = BD，OC = OD，
∴VACO≌VBDO SAS ，
∴ AOC = BOD， SVACO = SVBDO ，OA = OB，
∵ OM = AM = 4 ，
∴ OA = OB = 8，OC = OM = 4，
∴ AC = OA2 - OC 2 = 82 - 42 = 4 3，
OC 4 1
在RtVACO 中， sin A = = = ，
OA 8 2
∴ A = 30°，
∴ AOC = BOD = 90° - 30° = 60°，
∴ COD = 60°，
2
∴ S S S S 1 60π 4 8π阴影 = VACO + VBDO + 扇形OCD = 4 4 3 2 + =16 3 + ，2 360 3
8π
故答案为：16 3 + ．
3
【题型四】圆与正多边形
【例 1】（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心 O，若 BOC 是正 n 边形的一个中
心角，则 n 的值为 ．
【答案】12
【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正 n 边
形的每个中心角都等于360°是解题的关键．连接OA，由正六边形与正方形可得 AOB = 60°，∠AOC=90°，
进而可得 BOC = AOC - AOB = 30°，再由“正 n 边形的每个中心角都等于360° ”即可得出答案．
【详解】解：连接OA，
Q正六边形与正方形有重合的中心 O，
\ AOB 360°= = 60°，
6
AOC 360°= = 90°，
4
\ BOC = AOC - AOB = 90° - 60° = 30°
Q BOC 是正 n 边形的一个中心角，
\ n 360°= =12．
30°
故答案为：12．
圆与正多边形求解，关键利用外接圆/内切圆性质：圆心即正多边形中心，半径为外接圆半径，边心距为内
切圆半径。将正多边形分割为等腰三角形，用圆心角（360°/n）、勾股定理或三角函数求边长、边心距，
结合对称性作辅助线（连圆心、作高）。
【例 2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形 ABCD的顶点 A，C，D 的圆，分别交 AB, BC 于点 E，
F.若 B = 50°， D =104°，则E F 的度数为 o.
【答案】52
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆圆周角定理是解题的关键．
连接CE，根据圆内接四边形的性质求出 AEC ，再根据三角形的外角性质计算求出 ECF ，得到答案．
【详解】解：如图，连接CE，
Q四边形 AECD为圆内接四边形，
\ AEC + D =180°，
Q D =104°，
\ AEC =180° -104° = 76°，
Q AEC 是VCEB 的外角， B = 50°，
\ ECF = AEC - B = 76° - 50° = 26°，
\E F 的度数为： 26° 2 = 52°，
故答案为：52．
【变式 1】（2025·广东茂名·一模）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以顶点A 为圆心， AB 的长为半径
画弧，交正六边形 ABCDEF 于点 B 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）
4
【答案】 π
3
【知识点】求扇形面积、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的定义及内角和，扇形的面积公式，解题的关键是掌握相关知识．根据正多
边形的定义求出该多边形的内角，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：Q多边形 ABCDEF 是正六边形，
\ 6 - 2 180°该多边形的内角是 =120°，即 A =120°，
6
2
\ 120° 2 π 4阴影部分的面积为 = π ，
360° 3
4
故答案为： π ．
3
【变式 2】（2025·安徽合肥·一模）如图 1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图 2 是由其抽象而成
的正六边形 ABCDEF ，eO 是它的外接圆，连接OC ，OD ，作OG ^ CD．若劣弧CD
2
的长为 p ，则
3
OG = ．
【答案】 3
【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形半径、求正多边形的中心角、解直角三角形的相关计算
【分析】先求出中心角 COD = 60°，再根据弧长公式求得半径为 2，然后解Rt△OGD 即可．
【详解】解：∵正六边形 ABCDEF ，eO 是它的外接圆，
COD 360°∴中心角 = = 60°，
6
CD 2∵劣弧 的长为 p ，
3
2 p 60p OD∴ =3 180 ，
解得：OD = 2，
∵ OG ^ CD，OC = OD
∴ GOD
1
= COD = 30°，
2
∴ OG = OC cos GOD = 3 ，
故答案为： 3．
【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握
知识点是解题的关键．
【变式 3】（2025·天津和平·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”
来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”
157
计算出圆周率 π = 3.14 ．如图①，eO 的半径为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计eO
50
3 3
的面积，可得p 的估计值为 ．
2
（1）如图②，在圆内接正十二边形中， AOB （度）；
（2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得p 的估计值为 ．
【答案】 30 3
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据正多边形与圆的关系可进行求解；
1 1
（2）过 A 作 AM ^ OB于 M，根据直角三角形的性质得到 AM = OA = ，根据三角形的面积公式得到
2 2
S 1 1△AOB = ，于是得到正十二边形的面积为12 = 3，根据圆的面积公式即可得到结论．4 4
【详解】解：（1）如图， AB 是正十二边形的一条边，点 O 是正十二边形的中心，
360°
∴ = 30°；
12
故答案为 30；
（2）过 A 作 AM ^ OB于 M，如图所示：
在正十二边形中， AOB = 30°，
∴ AM
1 1
= OA = ，
2 2
S 1∴ VAOB = OB × AM
1
= ，
2 4
1
∴正十二边形的面积为12 = 3，
4
∴ 3 =12 p ，
∴p = 3，
∴p 的近似值为 3，
故答案为 3．
【题型五】证切线与求线段、半径综合
【例 1】（2025·四川资阳·一模）如图，在VABC 中， ACB = 90°，D，O两点分别在边 AB ， AC 上，过
C ，D两点的eO 与 AC 相交于点E ，连接DE ，CD， ADE = ACD．
(1)求证： AB 是eO 的切线；
(2)若BC = 6， tan B 4= ，求eO 的半径．
3
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对
的圆周角是直角
【分析】（1）连接OD ，通过CE是直径，得到 EDC = 90°，推出 ODE + ODC = 90°，通过OC = OD，推
出 ODC = OCD，再利用 ADE = ACD，得到∠ODC =∠ADE ，推导出 ODE + ADE = 90°，得证；
AC tan B 4（2）先通过 = = ，得到 AC ，再利用勾股定理求出 AB ，再证明RtVBDO≌RtVBCO(HL) ，得到
BC 3
BD = BC ，再计算出 AD ，接着证明 DOA = B ，利用 tan DOA，算得半径长度．
【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：
QCE 是直径，
\ EDC = 90°，
\ ODE + ODC = 90°，
QOC = OD ，
\ ODC = OCD，
Q ADE = ACD ，
\ ODC = ADE ，
\ ODE + ADE = 90°，
\ ADO = 90° ，
\ AB 是eO 的切线．
（2）解：连接OD ，OB ，如图所示：
Q BC = 6 tan B 4， = ， ACB = 90°
3
AC 4
\ = tan B =
BC 3
AC 4
\ =
6 3
\ AC = 8
\ AB = AC 2 + BC 2 = 82 + 62 =10
Q BDO = BCO = 90°，DO = CO，BO = BO
\RtVBDO≌RtVBCO(HL)
\ BD = BC = 6
\ AD = AB - BD =10 - 6 = 4
ADO = ACB = 90°
\ A + DOA = A + B = 60°
\ DOA = B
\ tan DOA AD = = tan B 4=
OD 3
4 4
\ =
OD 3
\OD = 3
QCE 是直径，
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是 90 度，圆切线的判定与性质，解直角三角形，三角形内角和定理，
勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
证切线：点在圆上则证半径垂直于直线；点未知则证圆心到直线距离等于半径。求半径：利用切线垂直性
构直角三角形，结合勾股定理、相似、圆幂定理，或切线长定理，辅作圆心与切点连线等辅助线。
【例2】（2025·辽宁铁岭·一模）如图，BE 是eO 的直径，点A 在eO 上，点C 在 BE 的延长线上， EAC = ABC ，
AD 平分 BAE 交eO 于点D，连接DE ．
(1)求证：CA是eO 的切线．
(2)当 AC = 6 ，CE = 3时，求DE 的长．
【答案】(1)见解析
9
(2) 2
2
【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切
线的判定定理是解题的关键．
（1）连接OA，根据直径所对的圆周角为直角得到 BAE = 90°．根据等腰三角形的性质得到
ABC = BAO ，求得 OAC = 90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到BC =12．求得BE = BC - CE = 9．连接BD，根据角平分线的
定义得到 BAD = EAD ，求得B D = D E，得到BD = DE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接OA，
∵ BE 是eO 的直径，
\ BAE = 90°．
\ BAO + OAE = 90°．
QOA = OB ，
\ ABC = BAO．
∵ EAC = ABC ，
\ CAE = BAO．
\ CAE + OAE = 90°．
\ OAC = 90°．
QOA是eO 的半径，
\CA是eO 的切线；
（2）解：Q EAC = ABC ， C = C ，
\△ABC∽△EAC ．
AC CE
\ = ．
BC AC
6 3
∴ = ．
BC 6
\ BC = 12 ．
\BE = BC - CE = 9．
如图，连接BD，
Q AD 平分 BAE ，
\ BAD = EAD．
\ B D = D E．
\BD = DE．
QBE 是eO 的直径，
\ BDE = 90°．
\ DBE = DEB = 45°．
DE BD 2 BE 9 2\ = = = ．
2 2
【变式 1】（2025·江苏盐城·一模）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D为边 AC 上的点，以 AD 为直径
作eO 交 AB 于点F ，连接BD并延长交eO 于点E ，连接CE，CE = BC ．
(1)求证：CE是eO 的切线；
(2)若CD =1，BC = 3，求点D到 AB 的距离．
【答案】(1)见解析
(2) 4 10
5
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接OE ，根据OD = OE ，可得 OED = ODE ，从而得到 BDC = OED，再由CE = BC ，
可得 CBE + BDC = CEB + OED，即可求证；
（2）连接DF ，设eO 的半径为 r，则OD = OE = r ，OC = OD + CD = r +1，在RtVOCE 中，根据勾股定理
可得 r = 4，从而得到 AD = 8, AC = 9，在Rt△ACB 中，可得 AB = 3 10 ，再由 AD 为eO 的直径，可得DF ^ AB ，
然后根据 SVABC = SVABD + SVBDC ，可求出DF
4 10
= ，即可求解．
5
【详解】（1）证明：如图，连接OE ，
∵ OD = OE ，
∴ OED = ODE ，
∵ BDC = ODE ，
∴ BDC = OED，
∵ ACB = 90°，
∴ CBE + BDC = 90°，
∵ CE = BC ，
∴ CBE = CEB，
∴ CBE + BDC = CEB + OED，
∴ OEC = 90°，即OE ^ CE ，
∵ OE 是半径，
∴ CE是eO 的切线；
（2）解：如图，连接DF ，
设eO 的半径为 r，则OD = OE = r ，OC = OD + CD = r +1，
在RtVOCE 中，OE 2 + CE 2 = OC2 ，
∵ BC = CE = 3，
∴ r 2 + 32 = r +1 2，
解得： r = 4，
∴ AD = 8, AC = 9，
在Rt△ACB 中， AB = AC 2 + BC 2 = 3 10 ，
∵ AD 为eO 的直径，
∴ DF ^ AB ，
∵ SVABC = SVABD + SVBDC ，
1
∴ AC BC
1 1
= AB DF + CD BC ，
2 2 2
1 9 3 1即 = 3 10 DF
1
+ 1 3，
2 2 2
DF 4 10解得： = ，
5
4 10
即点D到 AB 的距离为 ．
5
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾
股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2025·贵州六盘水·一模）如图，BC 为eO 的直径，已知 AD ^ BC ，点P在CB 延长线上， PAB = C ．
(1)求证：PA是eO 的切线；
1
(2)已知 AB 平分 PAD， tan PAB = ，OB = 5，求PA，PB的长．
2
【答案】(1)见解析
PA 20= PB 10(2) ， =
3 3
【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形的相关计
算
【分析】（1）连接OA，则 AOB = 2 C ，由 AD ^ BC ，根据垂径定理得D B = AB，得 DAB = C ，继而
得到 PAD = AOB ，进而即可证明PA是eO 的切线；
AB
（2）由 BAC = 90°， PAB = DAB = C ，得 = tan C = tan PAB
1
= ,可证明△PAB∽△PCA，根据
CA 2
相似三角形对应边成比例则可得到PC = 2PA，PA = 2PB ，继而得到PC = 4PB ，由eO 的半径为 5，进而即
可求得答案．
【详解】（1）证明：连接OA，则 AOB = 2 C ，
∵ BC 为eO 的直径， AD ^ BC ，
∴ D B = AB， AEC = 90°，
∴ DAB = C ，
∵ PAB = C
∴ PAB = DAB
∴ PAD = 2 DAB = 2 C ，
∴ PAD = AOB ，
∴ OAP = PAD + OAD = AOB + OAD = 90°，
即PA ^ OA，
∵ OA是eO 的半径，
∴ PA是eO 的切线．
（2）解：∵ BAC = 90°， PAB = DAB = C ，
AB
∴ = tan C = tan
1
PAB = ,
CA 2
∵ PAB = C， P = P ，
∴△PAB∽△PCA，
PA PB AB 1
∴ = = = ，
PC PA CA 2
∴ PC = 2PA，PA = 2PB ，
∴ PC = 4PB ，
∵ eO 的半径为 5，
∴ BC = 2 5 =10，
∴ PB +10 = 4PB，
∴ PB
10
=
3 ，
PA 2 10 20∴ = = ，
3 3
20 10
∴ PA的长为 ， PB的长为 ．
3 3
【点睛】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等
知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式3】（2025·广东茂名·一模）如1图，AB 是eO 的直径，BC 是eO 的弦，点M 是eO 外一点， MAC = B．
(1)求证：MA与eO 相切．
(2)如 2 图，连接MC 、OM ，若 AB = AM = MC ，OM 与 AC 交于点E ．
①证明：OM ∥BC ；
②连接 BM 交eO 于点F ，连接EF ，若 tan ABC = 2， BC = 1，求EF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① 2见解析；②
2
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、相似
三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据 AB 是eO 的直径，得出 ACB = 90°，再证明 BAM = 90°，即可证明结论；
（2）①连接OC ，证明VOAM≌VOCM SSS ，得出 AMO = CMO ，得出 AEO = ACB = 90°，即可证
明结论；
②连接 AF ，根据 tan ABC = 2， BC = 1，求出 AC = 2， AB = AC 2 + BC 2 = 5 ， BM = AB2 + AM 2 = 10 ，
2
ME = AM 2 + AE2 = 5 +12 = 2，证明VAMF∽VBMA，得出MF × BM = AM 2 ，证明VAEM∽VOAM ，
得出OM × ME = AM 2
EF EM
，证明VEMF∽VBMO ，得出 = ，代入数据求出结果即可．
OB BM
【详解】（1）证明：Q AB 是eO 的直径，
\ ACB = 90°，
\ B + BAC = 90°，
Q MAC = B，
\ MAC + BAC = 90°，即 BAM = 90°，
\ MA与eO 相切；
（2）①证明：如图，连接OC ，
Q OA = OC ， AM = CM ，OM = OM ，
\ VOAM≌VOCM SSS ，
\ AMO = CMO ，
又Q AM = CM ，
\ OM ^ AC ，即 AEO = 90°，
\ AEO = ACB = 90°，
\ OM ∥BC ；
②连接 AF ，如图所示：
∵ tan ABC = 2， BC = 1，
∴ AC = 2， AB = AC 2 + BC 2 = 5 ，
∴ AM = AB = 5 ，OA = OB 5= ，
2
∴ BM = AB2 + AM 2 = 10 ，
∴ OM = OA2 + AM 2
5
= ，
2
∵ AEM =180° - 90° = 90°，
5
∴ AE OA AM
5
= = 2 5 =1，OM
2
2
∴ ME = AM 2 + AE2 = 5 +12 = 2，
∵ BAM = BAF + MAF = 90°， ABF + BAF = 90°，
∴ ABF = MAF ，
∵VAMF∽VBMA，
MF AM
∴ = ，
AM BM
即MF × BM = AM 2 ①，
∵ AEM = OAM = 90°， AME = AEO ，
∴VAEM∽VOAM ，
AM ME
∴ = ，
OM AM
即OM × ME = AM 2 ②，
∴ MF × BM = OM × ME ，
MF ME
∴ = ，
OM BM
∵ EMF = BMO ，
∴VEMF∽VBMO ，
EF EM
∴ = ，
OB BM
EF 2
=
即 5 10 ，
2
EF 2解得： = ．
2
【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，
相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质．
【题型六】证切线与求弧长、面积综合
【例 1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，VABC 内接于eO ，AB 是eO 的直径，点D在eO 上，点C 是B D
的中点，过点C 作CE ^ AD，垂足为点E ， EC 的延长线交 AB 的延长线于点F ．
(1)求证：EF 是eO 的切线；
(2)若 F = CAD ，BF = 3，求B C 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 3 p
3
【知识点】证明某直线是圆的切线、求弧长、等边三角形的判定和性质、圆周角定理
【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，
弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接OC ，由圆周角定理得到 1 = 3，然后证明 AE∥OC ，由CE ^ AD，得到OC ^ EF ，即可证明；
（2）先证明 1 = 3 = F ，则可求 F = 30°，则 BOC = 90° - F = 60°，可证明VBOC 为等边三角形，则
BO = BC, CBO = 60°，可求 BCF = F = 30°，那么BC = BF = 3，则半径BO = 3 ，再由弧长公式求解．
【详解】（1）证明：连接OC ，
∵点C 是B D的中点，
∴ C D = B C ，
∴ 1 = 3，
∵ OA = OC ，
∴ 1 = 2，
∴ 2 = 3，
∴ AE∥OC
∵ CE ^ AD，
∴ OCF = E = 90°，
∵ OC 是半径，
∴ EF 是eO 的切线；
（2）解：如图
∵ F = 3，
∴ 1 = 3 = F ，
∵ E = 90°，
∴ 1+ 3 + F = 90°，
∴ 3 F = 90°
∴ F = 30°
∵ OCF = 90°，
∴ BOC = 90° - F = 60°，
∵ OB = OC ，
∴ VBOC 为等边三角形，
∴ BO = BC, CBO = 60°，
∵ CBO = F + BCF ， F = 30°，
∴ BCF = F = 30°，
∴ BC = BF = 3，
∴ BO = 3 ，
∴ 60p 3 3BC 的长为 = p ．
180 3
证切线：点在圆上则证半径⊥直线，点外则证距离=半径。求弧长面积：借切线得直角或圆心角，用弧长
（ L=\frac{n\pi r}{180} ）、面积公式（ S=\frac{n\pi r^2}{360} ），辅分割图形、连切点与圆心构特殊三
角形。
【例 2】（2025·辽宁·一模）如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，以BC 为直径作eO 交 AB 于点 D，过圆心
O 作OE∥ AB交 AC 于点 E，连接DE ．
(1)如图 1，求证：DE 是eO 的切线；
(2)如图 2，若 B = 45°， AD = 2 2 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)详见解析
(2) 4 -p
【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、全等的性质和 SAS 综合（SAS）、圆周角定
理
【分析】（1）连接OD ，根据平行线的性质得到 DOE = BDO、 COE = OBD ，求得 DOE = COE ，
根据全等三角形的性质得到 ODE = ACB = 90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）如图，连接OD ， B = 60o，根据圆周角定理得到 COD = 2 B = 90°，证出四边形CODE 为正方形，
根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
QOE∥ AB，
\ DOE = BDO、 COE = OBD，
QOD = OB ，
\ ODB = OBD，
\ DOE = COE ，
在VDOE与VCOE中，
ìOD = OC

í DOE = COE ，

OE = OE
\VDOE≌VCOE SAS ，
\ ODE = ACB = 90°，
QOD 是eO 的半径，
\DE 与eO 相切；
（2）解：如图，连接OD ，
Q B = 45°，
\ COD = 2 B = 90°， A = 90° - 45° = 45°，
\ ODE = ACB = 90°，OA = OC ，
\四边形CODE 为正方形，
\ AED = 90°，
∴ EAD = EDA = 45°，
\ AE = ED，
Q AD = 2 2 ，
\DO = EA = ED = 2，
2
\图中阴影部分的面积=四边形CODE 的面积- 90p 2扇形DOC 的面积= 2 2 - = 4 - p ．
360
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，
扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
【变式 1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在VABC 中， AB = AC ，以 AB 为直径的eO 分别交BC，AC
于点 D，G，过点 D 作EF ^ AC 于点 E，交 AB 的延长线于点F．
(1)求证：EF 与eO 相切；
(2)当DB = BF = 5时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 25 3 25p-
2 6
【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、等腰三角形的性质和判定、求扇形面积
【分析】（1）连接OD ，由 AC = AB 可得 OBD = C ，再由OD = OB 可得 ODB = OBD ，等量代换可
得 ODB = C ，根据同位角相等两条直线平行可得OD∥ AC ，又因为EF ^ AC ，根据垂直于两条平行线
中的一条，与另一条也垂直，得到 EF ^ OD ，即可证明结论；
（2）先证明 ODB = OBD = BOD = 60°，可得OB = OD = 3， F = BDF = 30°，利用含30°的直角三
角形的性质与勾股定理可得OF = 6，DF = 5 3，结合 S阴影 = SVODF - S扇形OBD ，从而可得答案．
【详解】（1）证明：Q AB = AC ，
\ C = OBD ，
QOD = OB ，
\ ODB = OBD，
\ ODB = C ，
\OD∥ AC ，
QEF ^ AC ，
\EF ^ OD，
QOD 为eO 的半径，
\EF 与eO 相切；
（2）解：QBD = BF = 5，
\ BDF = BFD ，
QOD ^ EF ，
\ ODF = 90°，
\ ODB + BDF = 90° = DOB + F ，
\ ODB = BOD ，
Q ODB = OBD ，
\ ODB = OBD = BOD = 60°，
\OB = OD = 5， F = BDF = 30°，
\OF =10，
\DF = OF 2 - OD2 = 5 3 ，
\S阴影 = SVODF - S扇形OBD
1 2
= 5 5 3 60p ×5-
2 360
25 3 25p
= - ．
2 6
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股
定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键．
【变式 2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在VABC 中， C = 90°， AD 是 BAC 的平分线，O 是 AB 上
一点，O 经过 A，D 两点，交 AC 于点 E，交 AB 于点 F．
(1)求证：BC 是eO 的切线；
(2)若BF = 2，CE =1，求D E 的长 l．
【答案】(1)见解析
2π
(2)
3
【知识点】求弧长、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查切线的判定、弧长公式、等边三角形的判定和性质、解直角三角形，圆周角定理，解题
的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接OD ，只要证明OD∥ AC 即可解决问题；
（2）作FG ^ BC 于点 G，连接OE，EF ，证明ECGF 为矩形，则可得求得 B 的度数，再求得 EOD ，即
可利用弧长公式解答．
【详解】（1）证明：如图，连接OD ．
Q AD 是 BAC 的平分线，
\ CAD = BAD．
Q OD = OA，
\ ODA = BAD．
\ CAD = ODA．
\OD∥ AC ．
\ ODB = C = 90°．
\OD ^ BC ．
QOD 是eO 的半径，
\BC 是eO 的切线；
（2）解：如图，作FG ^ BC 于点 G，连接OE，EF ．
则 FGB = C = 90°，
Q AF 是eO 的直径，
\ AEF = C = 90°，
\四边形ECGF 为矩形，
\FG = EC =1．
\sin B FG 1= = ．
BF 2
\ B = 30°．
\ BOD = 90° - B = 60°，OB = 2OD ．
QOB = OF + BF，OF = OD，
\OD = OF = BF = 2．
Q DOE = 2 CAD， BOD = 2 BAD， CAD = BAD，
\ DOE = BOD = 60°．
l 60° π 2 2π∴ = = ．
180° 3
【变式 3】（2025·湖北孝感·一模）如图， AB 是eO 的直径， AC 是eO 的弦，半径OE ^ AB，CE交 AB 于
点 F，点 D 在 AB 的延长线上，且DC = DF ．
(1)求证：DC 是eO 的切线；
(2)若 OEC = 15°,OE = 2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
2
(2) 2 3 - p
3
【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、圆周角定理
【分析】（1）连接OC ，由等边对等角可得 OCE = OEC ，进而可得 DCF = DFC = EFO，由直角三
角形的两个锐角互余可得 E + EFO = 90°，进而可得 OCF + DCF = 90°，即 OCD = 90°，然后根据切
线的判定定理即可得出结论；
（2）由三角形的内角和定理可得 EFO = DFC = DCF = 75°，求出 D = 30°，由直角三角形的两个锐角
互余可得 COD = 60°，由含30度角的直角三角形的性质可得OD = 2OC = 4，利用勾股定理可得
CD = OD2 - OC 2 = 2 3 ，然后根据 S阴影 = SVCOD - S扇形COB 即可得出答案．
本题主要考查了等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定，三角形的内角和定理，含30度角
的直角三角形，勾股定理，求其他不规则图形的面积，三角形的面积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌
握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接OC ．
∵ OE = OC ，
∴ OCE = OEC ，
∵ CD = DF ，
∴ DCF =∠DFC ，
又∵ DFC = EFO，
∴ DCF = DFC = EFO，
∵ OE ^ AB，
∴ EOF = 90°，
∴ E + EFO = 90°．
∴ OCF + DCF = 90°，
∴ OCD = 90°．
∵ CD为半径
∴ DC 是eO 的切线；
（2）解：Q EOF = 90°, OEC = 15°，
∴ OFE = 75°, OCE = OEC = 15° ．
∴ COD = OFE - OCE = 75° -15° = 60°，
∴ D = 30°．
∵ OC = OE = 2，
\OD = 2OC = 4，CD = OD2 - OC 2 = 2 3
S S S 1 60p 4\ 阴影 = △OCD - 扇形COB = 2 2 3 -2 360
2 3 2= - p ．
3
【题型七】圆中尺规作图与无刻度作图问题
【例 1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，VABC 为eO 的内接三角形，其中BC 是eO 的直径，请用无刻
度的直尺和圆规作图，并解答下列问题．
(1)作 PAB = ACB， AP 交射线CB 于点 P，且点 P 在圆外（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证： AP 为eO 的切线；
(3)若 AP = 5, PB = 3，求直径BC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
16
(3)
3
【知识点】尺规作一个角等于已知角、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某
直线是圆的切线
【分析】本题考查了作图-作一个角等于已知角、切线的判定以及勾股定理，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
（1）根据作一个角等于已知角的步骤即可画出图形；
（2）连接OA，根据直径所对的圆周角等于 90 度得出 BAC = 90°，然后根据角的和差及切线的判定即可
得证；
（3）设eO 的半径为 r，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：作 PAB 如图所示．
（2）证明：如图，连接OA，
QBC 为eO 的直径，
\ BAC = 90°，即 BAO + CAO = 90°.
QOA = OC ， PAB = ACB，
\ OAC = OCA = PAB ，
\ PAB + OAB = BAO + OAC = 90°，
即 PAO = 90°，
QOA为eO 的半径，
\ AP为eO 的切线．
（3）解：由（2）知， PAO = 90°，
\PO2 = AP2 + OA2 ，
设eO 的半径为 r，
\ r + 3 2 = r2 + 52 ，
8
解得 r = 3 ，
BC 2r 16\ = = ，
3
16
答：直径BC 的长为 ．
3
圆中作图技巧：找圆心作两弦垂直平分线交点；作切线过圆上点连半径作垂线，圆外点用圆心与点连线中
点画弧找切点；等分圆算圆心角（360°/n），辅半径、垂线、角平分线，借对称性与基本定理（垂径、切
线性质）构图。
【例 2】（2025·河南郑州·一模）尺规作图与圆结合如图，在VABC 中 ， AB = BC ，点O在 AB 上，以点O
为圆心，OA长为半径的圆与BC 边相切于点 D．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 AE∥BC 交eO 于点 E（不要求写作法，保留作图痕迹）．
(2)连接CO并延长交 AE 于点 F．若OA = 3，BD = 6，求EF 的长．
【答案】(1)见解析
(2) EF 9 5 -15=
5
【知识点】尺规作一个角等于已知角、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质
综合
【分析】本题考查尺规作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质；
（1）以 B 圆心，任意半径画弧，分别交 AB 、BC 于点M 、N ，再以A 圆心，BM 长为半径画弧，交 AB 于
点 P ，以 P 圆心，MN 长为半径画弧，交前弧于点Q，连接射线 AQ 交eO 于点 E．即可得到
ABC = BAE ，则 AE∥BC ；
（2）如图，连接过D的直径DG ， AE 交DG 于 P ，由切线得到 ODB = ODC = 90°，再由OA = 3，
BD = 6，得到 OA = OD = 3， OB = 3 5 ， BC = AB = 3+ 3 5 ，再由 AE∥BC ，得到 ODB = EPG = 90°，
AF OA AP
VOAF∽VOBC ，VOAP∽VOBD = = 3 5 +15 6 5，推出 ，代入后得到 ，
BC OB BD AF = AP =
，再由垂径
5 5
12 5
定理得到 AE = 2AP = ，最后根据EF = AE - AF 求解即可．
5
【详解】（1）解：作 ABC = BAE ，如图 AE 即为所求：
（2）解：如图，连接过D的直径DG ， AE 交DG 于 P ，
∵ OA长为半径的圆与BC 边相切于点 D，
∴ ODB = ODC = 90°，
∵ OA = 3，BD = 6，
∴ OA = OD = 3，OB = OD2 + BD2 = 3 5，
∴ BC = AB = OB + OA = 3+ 3 5 ，
∵ AE∥BC ，
∴ ODB = EPG = 90°，VOAF∽VOBC ，VOAP∽VOBD ，
AF OA AP
∴ = = ，
BC OB BD
AF 3 AP
∴ = = ，
3+ 3 5 3 5 6
3 5 +15 6 5
解得 AF = ， AP = ，
5 5
∵ EPG = 90°即OG ^ AE ，
∴ AE = 2AP 12 5= ，
5
∴ EF AE AF 12 5 3 5 +15 9 5 -15= - = - = ．
5 5 5
【变式 1】（2025·河南周口·一模）如图，正方形 ABCD内接于eO ，E 是C D的中点， AD = 4．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点E 作BD的平行线，交B C 于点F ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求B F 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2 π
2
【知识点】角平分线的判定定理、圆周角定理、正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，正多边形与圆，勾股定理，圆周角定理以及弧长公式，熟练
掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据三角形的角平分线交于一点，连接 AC, BE 交于点G ，连接DG 交B C 于点F ，连接EF ，即可求
解；
（2）根据（1）可得 BOF = 2 BDF = 45°，进而根据正方形的性质求得半径 2 2 ，再根据弧长公式，即
可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵正方形 ABCD内接于eO ，
∴ ACB = 45°， AC 是 BCD的角平分线，
∵ E 是C D的中点，则 DOE = 45°
1
∴ DBE = COD = 22.5°，即 BE 是 DBC 的角平分线，
2
∴ DG 是 BDC 的角平分线，
∴ BDF = CDF = 22.5
又∵ DFB = DBE = 22.5°
∴ BDF = DFE
∴ EF∥BD ；
（2）解：如图，连接OF
由（1）可得 BOF = 2 BDF = 45°
又∵ AD = 4
∴ BO 1 BD 2AD= = = 2 2
2 2
∴ l 45 = π 2 2
2
= π
BF 180 2
【变式 2】（2025·河南平顶山·一模）如图，eO 为△ABD 的外接圆，且 AB 为eO 的直径．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点 B 作eO 的切线，交 AD 的延长线于点C ．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 AD = B D ，试判断△BCD的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)△BCD为等腰直角三角形，理由见解析
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、过圆
外一点作圆的切线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了尺规作图、圆周角定理、切线的性质，等腰直角三角形的判定．
（1）利用尺规作图以点 B 为圆心BO为半径画弧，交 AB 的延长线于点E ，再作线段OE 的垂直平分线交线
段 AD 的延长线于点C ，直线BC 即为所求；
n n
（2）根据 AD = BD 可知 AD = BD ，根据等边对等角可得 ABD = 45°，根据切线的性质可知 ABC = 90°，
所以 DBC = 45°，所以可证VBCD 是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：如下图所示，
以点 B 为圆心BO为半径画弧，交 AB 的延长线于点E ，
O 1分别以点 、E 为圆心大于 OE 为半径画弧，两弧交于两点，
2
过两交点作直线BC 交 AD 的延长线于点 C，
直线BC 即为所求．
（2）解：△BCD为等腰直角三角形．
理由如下：
Q AD = B D，
\ AD = BD，
Q AB为eO 的直径．
\ ADB = 90°，
\ A = ABD = 45°，
QBC 为eO 的切线，
\ ABC = 90°，
\ CBD = ABC - ABD = 45° = C ，
\BD = CD ，
\△BCD 为等腰直角三角形．
【变式 3】（2025·浙江·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图1，VABC 的顶点A 、 B 在eO 上，点C 在eO 内， ACB = 90°，仅利用无刻度直尺在图中画eO 的
内接三角形 ADE ，使△ADE∽△CBA；
(2)如图 2，在VABC 中，AB = AC ，以 AB 为直径的eO 交边 AC 于点D，连接BD，过点C 作CE∥ AB ．①
请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 B 作eO 的切线，交CE于点F ；
②若BD = 5，则BF = ．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析，② 5．
【知识点】作垂线(尺规作图)、圆周角定理、切线的性质定理、利用两角对应相等判定相似
【分析】（1）延长BC 交圆于E ，连接EO并延长，交圆于D，根据相似三角形的判定方法即可求证；
（ 2）①过点 B ，作 AB 的垂线即可；
②由 AB = AC ， AB∥CE ，可得∠BCF = ACB，而点D在以 AB 为直径的圆上，BF 为eO 的切线，可得
BDC = BFC ，证明 VBCD≌VBCF AAS ，即可作答．
【详解】（1）解：延长BC 交圆于E ，连接EO并延长，交圆于D，
如图，
理由：∵ DE 是eO 的直径，
∴ DAE = BCA = 90° ，
∵ D = B，
∴△ADE∽△CBA；
（2）解：①如图：过点 B ，作 AB 的垂线，
∴直线 BF 即为所求直线；
② ∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ACB ，
∵ AB∥CE ，
∴ ABC = BCF ，
∴∠BCF = ACB，即 BCF = BCD，
∵ AB 为eO 的直径，
∴ ADB = 90°， BDC=90° ，
∵ BF 为eO 的切线，
∴ AB ^ BF ，
∴ ABF = 90°，
∵ AB∥CE ，
∴ BFC + ABF =180°，
∴ BFC = 90°，
在△BCD和VBCF 中，
ì BDC = BFC

í DCB = FCB ，

BC = BC
∴VBCD≌VBCF AAS ，
∴ BF = BD = 5．
【点睛】本题考查了作垂线，全等三角形判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定
理，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【题型八】圆与（特殊）平行四边形综合问题
【例 1】（2025·广东梅州·一模）如图，四边形 ABCD为矩形，E 为边BC 的中点，连接 AE ，以 AD 为直径的
eO 交 AE 于点 F，连接OC ， FC ，OC 交eO 于点 G．
(1)若 COD = 60°， AD = 6，求DG 的长；
(2)求证：四边形 AOCE 是平行四边形；
(3)求证：CF 是eO 的切线．
【答案】(1) 3
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明某直线是圆的切线、利用平行四边形性质和判定证明、利用矩
形的性质证明
【分析】（1）如图，连接DG ，证明VODG 是等边三角形，从而可得答案；
（2）证明 AO = EC ， AO∥EC ，即可得到结论；
（3）如图所示：连接OF ，证明VODC ≌VOFC SAS ，即可得到结论；
【详解】（1）解：如图，连接DG ，
∵ AD = 6，
∴ OA = OD = 3，
∵ COD = 60°，OD = OG，
∴VODG 是等边三角形，
∴ DG = OD = 3；
（2）证明：∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AD∥BC ， AD = BC ， ADC = 90°，
∵E 为BC 边中点， AO = DO ，
∴ AO
1
= AD ，EC
1
= BC ，
2 2
∴ AO = EC ， AO∥EC ，
∴四边形 AOCE 是平行四边形；
（3）证明：如图所示：连接OF ，
∵四边形 AOCE 是平行四边形；
∴ AE∥OC ，
∴ DOC = OAF ， FOC = OFA，
∵ OA = OF ，
∴ OAF = OFA，
∴ DOC = FOC ，
∵ OD = OF ， OC = OC ，
∴VODC ≌VOFC SAS ，
∴∠OFC = ODC = 90°，又CF 为eO 的半径，
∴CF 与eO 相切；
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的
判定与性质，圆的切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键．
圆与平行四边形结合，若内接于圆则必为矩形（对角互补且相等），对角线即直径；菱形与圆相切时，利用
切线性质及菱形对角线垂直平分，边长等于半径或借勾股定理。特殊平行四边形（如正方形）结合圆心对
称，用对角线与半径关系、直角特性转化线段与角度。
【例 2】（2025·山东日照·一模）如图，将矩形 ABCD（ AD > AB ）沿对角线 BD翻折，C 的对应点为点C ，
以矩形 ABCD的顶点A 为圆心、 r 为半径画圆，eA与BC 相切于点E ，延长DA交eA于点F ，连接EF 交
AB 于点G ．
(1)求证：BE = BG；
(2)当 r =1， AB = 2 ，求EC 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 3
【知识点】等边对等角、矩形与折叠问题、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接 AE ，由切线的性质得 AEB = 90°，则 AEG + BEG = 90°，由矩形的性质得
BAD = BAF = 90°，再由直角三角形两锐角互余得 F + AGF = 90°，根据对顶角相等和同圆的半径相
等得 BGE = AGE ， F = AEG ，然后由等角的余角相等得 BGE = BEG ，最后由等角对等边得出结
论；
AE 1
（2）由锐角三角函数得， sin ABE = = ，得 ABE = 30°，解直角三角形 ABE 求出 BE ，由翻折得
AB 2
CBD = C BD，由 ABE + CB D + CBD = 90°得 CBD = 30°，再由矩形对边相等得 AB = CD，最后在
Rt△BCD 中解直角三角形求出BC = BC ，再由线段和差即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 AE ．
∵ eA与BC 相切于点 E，
∴ AEB = 90°，
∴ AEG + BEG = 90°．
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ BAD = BAF = 90°，
∴ F + AGF = 90°．
∵ AE = AF ，
∴ F = AEG ．
∵ BGE = AGF ，
∴ BGE = BEG ，
∴ BE = BG．
（2）解：在Rt△BCD 中， AE =1， AB = 2 ，
AE 1
∴ sin ABE = = ，
AB 2
∴ ABE = 30°，
∴ BE = BA cos ABE = 3 ，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ ABC = 90°，
1
由翻折可知， CBD = C BD = ABC - ABE 1= 90° - 30° = 30°，BC = BC
2 2
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ CD = AB = 2，
CD
在Rt△BCD 中， tan CBD = tan30° = ，
BC
BC BC CD 2= = = = 2 3
∴ tan30° 3 ，
3
∴ EC = BC - BE = 2 3 - 3 = 3 ．
【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数
的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键．
【变式 1】（2025·福建三明·一模）如图，在YABCD 中， AB = AC ，eO 外接于VABC ．
(1)求证： AD 是eO 的切线；
(2)若 AB = 4 2 ，eO 的半径 r = 3，求YABCD 的面积．
【答案】(1)证明见解析
128
(2) 2
9
【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、三线合一、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定等知识，熟练
掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键．
（1）连接OA,OC ，先证出 ABC = ACB = CAD ，再设 ABC = ACB = CAD = x ，根据圆周角定理可
得 AOC = 2 ABC = 2x，根据等腰三角形的性质可得 OAC = 90° - x，从而可得 OAD = 90°，然后根据圆
的切线的判定即可得证；
（2）连接OA,OC ，延长 AO 交BC 于点E ，先根据等腰三角形的三线合一可得 AE ^ BC ，BC = 2CE ，再设
OE = m，在RtVACE 和Rt△COE 中，利用勾股定理可求出m 的值，从而可得 AE, BC 的长，最后利用平行
四边形的面积公式计算即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接OA,OC ，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，
∴ CAD = ACB，
∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ACB ，
∴ ABC = ACB = CAD ，
设 ABC = ACB = CAD = x ，
由圆周角定理得： AOC = 2 ABC = 2x，
∵ OA = OC ，
OAC OCA 180° - AOC∴ = = = 90° - x ，
2
∴ OAD = OAC + CAD = 90° - x + x = 90°，
∴ OA ^ AD ，
又∵ OA是eO 的半径，
∴ AD 是eO 的切线．
（2）解：如图，连接OA,OC ，延长 AO 交BC 于点E ，
由（1）已证： ABC = ACB = CAD ，
设 ABC = ACB = CAD = x ，则 BAC =180° - ABC - ACB =180° - 2x，
由（1）已得： OAC = 90° - x，
∴ OAB = BAC - OAC = 90° - x，
∴ OAB = OAC ，
又∵ AB = AC ，
∴ AE ^ BC, BC = 2CE （等腰三角形的三线合一），
设OE = m，
∵ eO 的半径 r = 3，
∴ OA = OC = 3，
∴ AE = OA + OE = 3+ m，
∵ AB = AC ， AB = 4 2 ，
∴ AC = 4 2 ，
2
RtVACE CE2 = AC 2 - AE2 = 4 2 - 3 + m 2在 中， = -m2 - 6m + 23，
在Rt△COE 中，CE2 = OC 2 - OE2 = 32 - m2 = 9 - m2，
∴ -m2 - 6m + 23 = 9 - m2 ，
7
∴ m = ，
3
2
∴ AE 3
7 16
= + = CE OC 2 OE2 9 7 4，3 3 = - = -

= 2 ，
è 3 ÷ 3
4 8
∴ BC = 2 2 = 2 ，
3 3
8 16 128
∴YABCD 的面积为BC × AE = 2 = 2 ．
3 3 9
【变式 2】（2025·湖南永州·一模）如图，在正方形 ABCD中， E 是CD上一点， F 是 BE 上一点， AF = AB ，
△ABF 的外接圆eO 交 AD 于点G ．
(1)求证： AG = CE ；
(2)连接DF ，若DF = BF ，求证：直线DF 是eO 的切线；
(3)在（2）的条件下，若 AB =1，求线段CE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 2 -1
【知识点】全等三角形综合问题、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、圆周角定理
【分析】（1）先根据同弧所对圆周角相等得到 AGB = AFB ，再由等边对等角得到 AFB = ABF ，然后
由正方形的性质得到 AGB = GBC ，通过角的和差进而得到 ABG = CBE ，可证VABG≌CBE ASA ，
即可证明 AG = CE ；
（2）连接DF ，OF ，根据正方形的性质易证VABF≌VADF SSS ，从而得到 ABF = ADF ，
BAF = DAF = 45°，结合（1）中 ABF = AGB ，可推出BG∥FD ，然后利用圆周角定理求得
BOF = 90°，从而得到 OFD = BOF = 90° ，得证；
（3）连接BD交eO 于点 H ，连接GH ，根据正方形的性质和直径所对圆周角为直角，则有
GHB = GAB = 90°， ABD = 45°，然后利用（2）中 BAF = 45°， ABF = AFB，求得
GBH = ABG = 22.5°，可证VABG≌VHBG AAS ，从而得到 AG = HG，BH = AB =1，最后在RtVGHD
中利用勾股定理并结合（1）中CE = AG ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：Q AGB 和 AFB为 AB 所对圆周角，
\ AGB = AFB，
Q AF = AB，
\ AFB = ABF ，
\ AGB = ABF ，
Q四边形 ABCD是正方形，
\ AB = BC ， AD∥BC ， BAG = BCE = 90°，
\ AGB = GBC ，
\ ABF = GBC ，
\ ABF - GBE = GEC - GBE ，即 ABG = CBE ，
\VABG≌CBE ASA ，
\ AG = CE ．
（2）证明：连接DF ，OF ，如图，
Q四边形 ABCD是正方形，
\ AB = AD， BAD = 90°，
QDF = BF ， AF = AF ，
\VABF≌VADF SSS ，
\ ABF = ADF ， BAF = DAF
1 BAD 1= = 90° = 45°，
2 2
由（1）可知， ABF = AGB ，
\ AGB = ADF ，
\BG∥FD ，
\ OFD = BOF ，
又Q BAF 是B F 所对的圆周角， BOF 是B F 所对圆心角，
\ BOF = 2 BAF = 2 45° = 90°，
\ OFD = BOF = 90°，
\OF ^ DF ，
\直线DF 是eO 的切线．
（3）解：连接BD交eO 于点 H ，连接GH ，如图，
Q四边形 ABCD是正方形， AB =1
\ AB = AD =1， ABC = BAG = 90°，BD = AB2 + AD2 = 12 +12 = 2 ，
ABD 1\ = ABC 1= 90° = 45°，
2 2
由（2）可知 BAF = 45°， ABF = AFB，
\ ABF AFB 1 180 1= = ° - BAF = 180° - 45° = 67.5°，
2 2
\ CBE = ABC - ABF = 90° - 67.5° = 22.5°，
由（1）可知 ABG = CBE = 22.5°，
\ GBH = ABD - ABG = 45° - 22.5° = 22.5° = ABG ，
又QBG 是eO 的直径，
\ GHB = 90° = GAB，
QBG = BG ，
\VABG≌VHBG AAS ，
\ AG = HG ，BH = AB =1，
在RtVGHD中， GHD = 90°，GD = AD - AG = AD - GH =1- GH ，HD = BD - BH = 2 -1，
\GH 2 + DH 2 = GD2，即GH 2 + 2 -1 2 = 1- GH 2 ，
解得GH = 2 -1，
由（1）可知CE = AG ，
\CE = AG = GH = 2 -1
\线段CE的长度为 2 -1．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，正方形的性质，全
等三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各种性质、定理，作好
辅助线是解题的关键．
【变式 3】（2025·福建·一模）如图，点O在菱形 ABCD的对角线BD上，eO 与边BC 相切，切点为点E ，
点 P 在边 BA的延长线上，且 PA = AB，将射线 PB绕着点 P 逆时针旋转一个角度a a BPD 后与边 AD ，
直线BC 分别交于F ，G 两点．
(1)当a = BPD时， BFG 等于_____；
(2)若PG 与eO 相切于点M ，连接OP ，如图 2．
①求证：OP 平分 BPG ；
②求证：E ，M ，D三点共线．
【答案】(1) 90°
(2)① 见解析；② 见解析
【知识点】切线的性质定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明
【分析】（1）由菱形的性质可得： AB = AD ， AD∥BC ，BD平分 ABC ，根据PA = AB得到 AD = PA，
推出 APD = ADP ，由 AD∥BC 可得 ADP = BGP ，推出 BPG = BGP ，结合BD平分 ABC ，可得
BDG = 90°，即可求解；
（2）① 点O作OH ^ AB 于点 H ，连接OE 、OM ，由 与eO 相切于点M 和 eO 与边BC 相切，切点为
点E ，可推出OM = OE ，OM ^ PG ，OE ^ BC ，根据BD平分 ABC ，可得OH = OE ，推出OH = OM ，
即可证明；②连接并延长EM 交直线 AD 于点 D ，由① 得 ：BP为eO 的切线，结合PG ，BG 均为的切
线，可得 GE = GM ， BE = BH ， PM = PH ，设 BG = a， PB = b， PG = c， GE = GM = x， BE = BH = y，
ìx + y = a

PM = PH = z ，则 íy + z = b x
a + c - b a + c - b
，得到 = ，即GE = GM = ，根据菱形的性质和题意可得：AF
2 2
z + x = c
a c b - a
为△PBG 的中位线，且 GEM = D ，得到 AF = ，FG = ，推出FM = FG - MG = ，根据等腰三
2 2 2
b
角形的额判定与性质可推出 AD = = AD ，得到D与点 D 重合，即可证明．
2
【详解】（1）解：当a = BPD时，点F 与点D重合，如图，
Q四边形 ABCD是菱形，
\ AB = AD ， AD∥BC ，BD平分 ABC ，
Q PA = AB，
\ AD = PA，
\ APD = ADP ，
Q AD∥BC ，
\ ADP = BGP ，
\ BPG = BGP ，
\ BP = BG ，
Q BD平分 ABC ，
\ BD ^ PG ，即 BDG = 90，
\ BFG = 90°，
故答案为：90°；
（2）① 如图，过点O作OH ^ AB 于点 H ，连接OE 、OM ，
Q eO 与边BC 相切，切点为点E ，
\ OE ^ BC ，
又Q BD平分 ABC ，
\ OH = OE ，
Q PG 与eO 相切于点M ，
\ OM = OE ，OM ^ PG ，
\ OH = OM ，
又Q OH ^ AB ，OM ^ PG ，
\ OP 平分 BPG ；
② 由① 得 ：BP为eO 的切线，
Q PG ，BG 均为的切线，
\ GE = GM ，BE = BH ， PM = PH ，
设BG = a，PB = b，PG = c，GE = GM = x，BE = BH = y，PM = PH = z ，
ìx + y = a

则 íy + z = b ，

z + x = c
x a + c - b解得： = ，
2
\ GE = GM a + c - b= ，
2
连接并延长EM 交直线 AD 的延长线于点 D ，
Q AD∥BC ，PA = AB，
PA PF
\ = =1，
AB FG
\F 为PG 的中点，
\ AF 为△PBG 的中位线，
\ AF 1= BG a 1 c= ，FG = PG = ， AF P BG ，
2 2 2 2
\ GEM = D ，
\ FM = FG MG c a + c - b b - a- = - = ，
2 2 2
Q GE = GM ，
\ GEM = GME ，
Q GME = D MF ，
\ D = D MF ，
\ FD = MF b - a= ，
2
\ AD AF FD a b - a b= + = + = = AD，
2 2 2
\点D与点 D 重合，
\ E ，M ，D三点共线．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，
角平分线的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识正确添加辅助线．
【题型九】生活中的实物抽象出圆的综合问题
【例 1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）“板车”具有悠久的历史，是上世纪 90 年代以前农村主要运输及交通工
具．如图是板车侧面的部分示意图，AB 为车轮eO 的直径，过圆心O的车架 AC 一端点C 着地时，地面CD
与车轮eO 相切于点D，连接 AD，BD ．
(1)求证： ADC = DBC ；
(2)若测得CD = 2 2，tan C 2= ，求BD的长．
4
【答案】(1)详见解析
(2) 2 3 m
3
【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、已知正切值求边长
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用等知
识，是一个综合性较强的题目，熟练运用定理进行推理和计算是解题的关键．
（1）连接OD ，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得 ODC = 90°， ADB = 90°，再由 OAD = ODA
得到即可得到结论，
（2）根据 tan C
OD OD 2
= = = ，求出OD =1，AB = 2 ，结合（1）的结论，证明VACD∽VDCB ，列式
DC 2 2 4
AD AC 4
= =
DB DC ，得 AD = 2BD ，在 Rt△ABD 中，设
BD = x ，则
2 2 AD = 2x
，运用勾股定理列方程计算，
即可作答．
【详解】（1）解：连接OD ，
∵ CD是eO 的切线，
∴ ODC = 90°，
∵ AB 是eO 的直径，
∴ ADB = 90°．
∵ OA = OD，
∴ OAD = ODA．
∵ DBC = ADB + OAD = 90° + OAD ．
又∵ ADC = ODC + ODA = 90° + ODA，
∴ ADC = DBC ，
（2）解：由（1）可知 ODC = 90o，
在 RtVODC tan C OD OD 2中， = = = ，
DC 2 2 4
\OD =1，AB = 2
在Rt△ODC 中，由勾股定理得OC = OD2 + DC 2 = 12 + (2 2)2 = 3，
∴ CA = 4 ．
又Q ACD = DCB， ADC = DBC ，
\VACD ~VDCB ,
AC AD DC AD AC 4
\ = = ，即 = = ，
DC DB BC DB DC 2 2
\ AD = 2DB ，
在Rt△ABD 中，设 BD = x ，则 AD = 2x，
又Q AB = 2 ，
\ x2 + 2x 2 = 22 ，
2 3
解得： x = （负值已舍去）．
3
\BD 2 3的长为 m
3
生活中实物抽象圆，抓圆心、半径（直径）：如车轮、钟表等，将实物关键点（边缘、中心）对应圆上点与
圆心，利用半径相等、垂径定理、切线性质（如齿轮咬合），转化为圆心距、弦长、位置关系（相切、相
交），辅勾股定理或坐标系建模。
【例 2】（2025·河南濮阳·一模）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱．如图 2 是过山车的示
意图，其中过山车的轨道近似看成eO ，轨道的支撑 AD，BC 均与地面CD垂直，点 E 为BC 上一点，连接 AE
交☉O 于点 F，连接 BF 并延长与CD交于点 G，连接DF ．已知 AB 为eO 的直径且
AB = AD， BAE = EBF ．
(1)求证： AD 是eO 的切线；
3
(2)当BE = 3 ，eO 的半径为 时，求△ADF 的面积．2
【答案】(1)见解析
27
(2)
8
【知识点】证明某直线是圆的切线、已知正弦值求边长、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】（1）由 AB 为eO 的直径可得 AEB + EBF = 90°，再由 AD∥BC 得到 DAE = AEB ，即可得
OAD = DAE + BAE = AEB + EBF = 90°，即可求证；
（ 2）由 tan BAE BE 3= = 得 BAE = 30° 3 3 3，进而得 DAF = 60°， AF = AB = ，作FH ^ AD于点
AB 3 2 2
9 1
H ，可得FH = 3AF = ，即可根据 SVADF = AD·FH 求解；2 2
【详解】（1）证明：∵ AB 为eO 的直径，
∴ AFB = 90°
∴ AEB + EBF = 90°，
∵ AD ^ CD ，BC ^ CD，
∴ AD∥BC ，
∴ DAE = AEB ，
∵ BAE = EBF ，
∴ OAD = DAE + BAE = AEB + EBF = 90°，
∴ AD ^ OA ,
∵ OA是eO 的半径，
∴ AD 是eO 的切线；
（2）解：∵ BAD = ADC = BCD = 90°，
∴ ABE = 360° - 3 90° = 90°，
3
∵ BE = 3 ，eO 的半径为 ， AB = AD ，2
3
∴ AB = AD = 2 = 3，
2
∵ tan BAE BE 3 = = ，
AB 3
∴ BAE = 30°，
∴ DAF = BAD - BAE = 60° AF 3， = cos30° = ，
AB 2
∴ AF 3 3 3 3= AB = 3 = ，
2 2 2
作FH ^ AD于点 H ，则 AHF = 90°，
∴ FH sin 60 3= ° = ，
AF 2
∴ FH 3 AF 3 3 3 9= = = ，
2 2 2 4
∴ S
1
VADF = AD·FH
1 9 27
= 3 = ．
2 2 4 8
【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，切线的判定，三角函数，解直角三角形，
三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式 1】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图 1，在矩形硬纸板 ABCD上剪去矩形EFGH ，把它与一块圆形
硬纸板拼在同一平面内，使圆恰好与点E 、点 H 及边 FG 相接触（纸板厚度忽略不计）．已知EF = 4cm，
FG =16cm．
(1)求该圆形纸板的半径；
(2)如图 2，在上述基础上，再拼接一块硬纸板（即图中△AEP ），并绕点 H 旋转圆形纸板，使之恰好与点 P
和点 H 相接触．若 AEP = 90°，PE = 2 11cm，请你求出P H （劣弧）的长度．
【答案】(1)该圆形纸板的半径为10cm；
20π
(2) P H 的长度为 cm ．3
【知识点】求弧长、解直角三角形的相关计算、利用垂径定理求值、切线的性质定理
【分析】（1）设切点为M ，连接OM ，交EH 于点 N ，在矩形EFGH 中，有EH = FG =16cm，
1
HEF = F = 90°，则有四边形EFMN 是矩形，由垂径定理得OM ^ EH ， NE = EH = 8cm，连接OE ，
2
设eO 的半径为 r ，然后由勾股定理即可求解；
（ 2）连接EH ，PH ，由勾股定理求出PH =10 3cm ，连接OP ，OH ，过点O作OT ^ PH ，垂足为T ，
1
POH = 2 POT TP = PH = 5 3cm sin POT TP 5 3 3则 ， ，然后由 = = = ，得出 POT = 60°，2 OP 10 2
POH =120°，最后由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：如图1，设切点为M ，连接OM ，交EH 于点 N
∴ OM ^ FG ， OMF = 90°，
在矩形EFGH 中，有EH = FG =16cm， HEF = F = 90°，
∴四边形EFMN 是矩形，
∴ MN = EF = 4cm， ENM = 90°，
∴ OM ^ EH ， NE
1
= EH = 8cm，
2
连接OE ，设eO 的半径为 r ，
在Rt△ ONE 中，OE2 = NE2 + ON 2 = NE2 + (OM - MN )2，
即 r2 = 82 + (r - 4)2 ，
解得： r =10，
∴该圆形纸板的半径为10cm；
（2）解：如图 2，连接EH ，PH ，
在Rt△PEH 中，有PH 2 = PE2 + EH 2 = (2 11)2 +162 = 300，
∴ PH =10 3cm ，
连接OP ，OH ，过点O作OT ^ PH ，垂足为T ，
∵OP = OH ，
1
∴ POH = 2 POT ，TP = PH = 5 3cm ，
2
在Rt△OTP TP 5 3 3中，有 sin POT = = = ，
OP 10 2
∴ POT = 60°， POH =120°，
120 × π ×10 20π
∴ P H 的长度为 = cm．180 3
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握
知识点的应用是解题的关键．
【变式 2】（2025·河北唐山·一模）漆扇属于国家级非物质文化遗产，它利用了漆不溶于水的特点制作而成，
淇淇把自己制作的圆形漆扇放在支架上，如图 14-1 所示．图 14-2 是其平面示意图， AC 为圆形漆扇的直径，
点O为圆心，扇柄BC =10cm ，且A，O，C，B在同一直线上，△BCD为支架，DC 与eO 相切于点C，BD = 20cm，
点 A 到桌面的距离为 AH ，且 AH 与eO 相交于点 Q，点 B 与 H 的距离BH =13cm ．
(1)求 A的度数；
(2)求Q C 的长度；
(3)不改变现有漆扇的大小和位置，直接写出支架点 D 到圆形漆扇的最大距离．
【答案】(1) A = 30°；
(2) Q
8p
C 的长度为 ；3
(3)支架点 D 到圆形漆扇的最大距离为 2 91 + 8 cm ．
【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、求弧长
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，弧长公式．
（1）根据切线的性质求得 DCB = 90°，在Rt△BCD 中，利用三角函数的定义求解即可；
（2）连接OQ ，在Rt△ABH 中，求得 AB = 26cm， COQ = 60°，再求得圆的半径，利用弧长公式求解即
可；
（3）连接DO 并延长交eO 于点E ，作OG ^ BD于点G ，在Rt△OBG 和Rt△ODG 中，先后求得BG 、OG
和OD 的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵ DC 与eO 相切于点 C，
∴ CD ^ AC ，
∴ DCB = 90°，
在Rt△BCD 中，BD = 20cm，BC =10cm ，
cos DBC BC 10 1∴ = = = ，
BD 20 2
∴ DBC = 60°，
∵ AH ^ BD，
∴ AHB = 90°，
∴ A = 30°；
（2）解：连接OQ ，
在Rt△ABH 中， AHB = 90°， A = 30°，BH =13cm ，
∴ AB = 2BH = 26cm ， COQ = 2 A = 60°，
∵ AH ^ BD，
∴ AHB = 90°，
∵ AC 为圆的直径，BC =10cm ，
1
∴ OC = AB - BC = 8cm，
2
60π ×8 8π∴ QC 的长度= = cm ；180 3
（3）解：连接DO 并延长交eO 于点E ，作OG ^ BD于点G ，此时DE 为支架点 D 到圆形漆扇的最大距离，
在Rt△OBG 中， OBG = 60°，BO =18cm ，
∴ BG
1
= OB = 9cm，OG = 182 - 922 = 9 3cm
，
在Rt△ODG 中，DG = BD - BG = 20 - 9 =11cm ，
∴ OD = OG2 + DG2 = 9 3 2 +112 = 2 91cm ，
∴ DE = OD + OE = 2 91 + 8 cm ，
∴支架点 D 到圆形漆扇的最大距离为 2 91 + 8 cm．
【变式 3】（2025·河南鹤壁·一模）物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从
中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线 AB 为水平桌面，线段OC 为支架 OC ^ AB ，虚线为铅锤 P
的运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题．
(1)若点 P 到OC 和 AB 的距离相等，则称此时点 P 的位置为“黄金位置”．过点 P 作eO 的切线交 AB 于点 D，
如图（2），若OP = PD，证明此时点 P 处于“黄金位置”．
(2)已知OC = 70cm，OP = 20 10cm，在射线CB 上有一点 E，且CE =10cm，连接EP，如图（3），在点 P
运动的过程中，当EP与eO 相切时，求点 P 到 AB 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)点 P 到 AB 的距离为10cm或18cm．
【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解
三角形
【分析】（1）过点 P 作 PM ^ OC 于点M ，PN ^ AB于点 N ，利用AAS证明△PMO≌△PND ，推出
PM = PN ，即可得解；
（2）分当 P 点运动到OC 左侧和右侧，两种情况讨论，利用勾股定理求得 PE =10 10 ，△POG∽△PEF ，
求得FC = PG = 2PF ，在Rt△PEF 中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点 P 作 PM ^ OC 于点M ，PN ^ AB于点 N ，
则 PMO = PND = 90°，
∵ DP为eO 的切线，
∴ OPD = 90°，
∵ OC ^ AB，
∴ OCD = 90°，
∴ O + PDC =180° ，
∴ O = PDN ，
又∵ OP = OD ， PMO = PND = 90°，
∴VPMO≌VPND AAS ，
∴ PM = PN ，即此时点 P 处于“黄金位置”；
（2）解：当 P 点运动到OC 左侧，且EP与eO 相切时，
如图，过点 P 作PG ^ OC 于点G ，PF ^ AB于点F ，连接OE ，
∵ OC = 70 ，CE =10，
∴ OE2 = OC 2 + CE2 = 4900 +100 = 5000，
∵ EP与eO 相切，
∴ OPE = 90°，
∴ PE2 = OE2 - OP2 = 5000 - 4000 =1000，
∴ PE =10 10 ，
同理 POG = PEF ， PGO = PFE ，
∴△POG∽△PEF ，
PG OP
∴ = = 2 ，
PF PE
∴ FC = PG = 2PF ，
在Rt△PEF 中，PF 2 + 2PF +10 2 =1000 ，
解得PF =10（负值已舍去），
∴点 P 到 AB 的距离为10cm．
当 P 点运动到OC 右侧，且EP与eO 相切时，
如图，过点 P 作PG ^ OC 于点G ，PF ^ AB于点F ，连接OE ，
∵ OC = 70 ，CE =10，
∴ OE2 = OC 2 + CE2 = 4900 +100 = 5000，
∵ EP与eO 相切，
∴ OPE = 90°，
∴ PE2 = OE2 - OP2 = 5000 - 4000 =1000，
∴ PE =10 10 ，
同理 OPG = EPF ， PGO = PFE ，
∴△POG∽△PEF ，
PG OP
∴ = = 2 ，
PF PE
∴ FC = PG = 2PF ，
在Rt△PEF 中，PF 2 + 2PF -10 2 =1000，
解得PF =18（负值已舍去），
∴点 P 到 AB 的距离为18cm．
综上，点 P 到 AB 的距离为10cm或18cm．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一
元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
【题型十】圆中动点探究型问题
【例 1】（2025·江苏淮安·一模）如图，eO 的直径CD垂直弦 AB 于点 E，且 AB = 8，CD =10 ，动点 P 是 AB
延长线上一点，CP交eO 于点 Q，连接 AQ 交CD于点 F．
(1)当 Q 是弧BC 的中点时，求证： AQ = PQ ；
CF
(2)设 BP = x， = y，请写出 y 关于 x 的函数表达式，并说明理由；
DF
(3)连接DP、BQ ，若△CDP是以CD为腰的等腰三角形，试求BQ的长．
【答案】(1)见解析；
(2) y
4x
= ，理由见解析；
20 + x
(3) 4 5 或 4 3 - 2 2
5
【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相
似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的定义，同弧所对
的圆周角相等等，熟知圆的相关知识和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）连接DQ ，易证 P = CDQ，由C Q = B Q 易得 CAQ = BAQ = CDQ，进而即可得证；
32
（2）连接OA，易求得OE = 3，CE = 8，PE = 4 + x，证VAEF∽VPEC ，得到EF = ，进而求出CF 和
4 + x
DF ，即可得解；
（3）分类讨论，CD = CP 或CD = DP，先根据勾股定理求出CP和PE以及 AC 的长，从而得到BP的长，
在利用圆内接四边形对角互补证VBPQ∽VCPA，代入求出BQ即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接DQ ，
∵ CD为直径，
∴ CQD = 90°，
∴ PCD + CDQ = 90°，
∵ AB ^ CD ，
∴ CEP = 90°，
∴ PCD + P = 90°，
∴ P = CDQ，
∵Q 是弧BC 的中点，
∴ C Q = B Q ，
∴ CAQ = BAQ = CDQ，
∴ BAQ = P ，
∴ AQ = PQ ；
y 4x（2）解： = ，理由如下：
20 + x
如图所示，连接OA，
∵ CD ^ AB，AB = 8，
1
∴ AE = BE = AB = 4，
2
∵ CD =10，且CD为直径，
∴ OA = OD = 5，
在Rt△AOE 中，OE = OA2 - AE2 = 3，
∴ DE = OD - OE = 2，CE = OC + OE = 8，
∵ BP = x，
∴ PE = BE + BP = 4 + x，
∵ PAQ = P， AEF = PEC ，
∴VAEF∽VPEC ，
AE EF 4 EF
∴ = ，即 = ，
PE EC 4 + x 8
EF 32解得 = ，
4 + x
CF CE EF 8 32 8x DF DE EF 2 32 40 + 2x∴ = - = - = ， = + = + = ，
4 + x 4 + x 4 + x 4 + x
CF 8x 4x
∴ = = y ，即 y = ；
DF 40 + 2x 20 + x
（3）解：①当CD = CP = 10时，
在RtVCEP 中，PE = CP2 - CE 2 = 6，
∴ BP = EP - BE = 2，
∵ AE = 4，CE = 8，
∴ AC = AE2 + CE2 = 4 5，
∵ PQB =180° - BQC = PAC， BPQ = CPA，
∴VBPQ∽VCPA，
BQ BP BQ 2
∴ = ，即 = 10 ，CA CP 4 5
∴ BQ 4 5= ；
5
②当DC = DP = 10时，
在Rt△PDE 中，PE = PD2 - DE 2 = 4 6 ，
∴ BP = PE - BE = 4 6 - 4 ，
在RtVCEP 中，CP = CE 2 + PE 2 = 4 10 ，
同理可得VBPQ∽VCPA，
BQ BP
∴ = BQ 4 6 - 4，即 = ，
CA CP 4 5 4 10
解得BQ = 4 3 - 2 2 ；
综上，BQ 4 5的长为 或 4 3 - 2 2 ．
5
圆中动点问题：抓轨迹（圆或圆弧），用几何法（圆心距、三角形三边关系、切线性质）或代数法（参数方
程、坐标运算），结合最值临界位置（如直径端点、切点），借勾股、相似、圆定义转化条件。
【例 2】（2025·贵州·一模）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 E 是半圆 O 上一动点（不与 A，B 重合），过点 O
作OC ^ BE ，交半圆 O 于点 C，垂足为 G，过点 C 作CD ^ AB 交 BE 于点 F，垂足为 D．
(1)写出图中一对全等三角形　　　　（用“≌”连接），图中直角三角形的个数有　　　　个；
(2)求证：CF = BF ；
(3)若CF = 2 ，GF = 1，求阴影部分的面积．
【答案】(1)VOCD≌VOBG（答案不唯一）；4
(2)见解析
(3) 2p - 2 3
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA 或者 AAS）、求扇形面积、
解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据AAS证明VOCD≌VOBG，VCGF ≌VBDF ；根据直角三角形的判定方法得出答案即可；
（2）根据VCGF ≌VBDF 得出答案即可；
GF 1 3
（3）根据 sin FCG = = ，求出 FCG = 30°，得出 BOC = 60°，求出OB = = 2 3 ，根据
CF 2 cos30°
S阴影 = S扇形BOC - SVOCD - SVBDF 求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ CD ^ AB ，OC ^ BE ，
∴ BGO = BGC = ODC = BDC = 90° ，
∴ OCD + COD = OBG + COD = 90°，
∴ OCD = OBG ，
∵ OC = OB ，
∴VOCD≌VOBG AAS ，
∴ OD = OG，
∴ BD = CG．
∵ CGF = BDF = 90°， CFG = BFD，
∴VCGF ≌VBDF ；
图中直角三角形有Rt△CGF ，Rt△BDF ，Rt△BOG，RtVCOD ，共 4 个．
（2）证明：根据解析（1）可知：VCGF ≌VBDF ，
∴ CF = BF ；
（3）解：在Rt△CGF 中， sin FCG
GF 1
= = ，
CF 2
∴ FCG = 30°，
∴ BOC = 60°，
由（2）可知BF = CF = 2，
∴ BG = BF + GF = 3， OBG = FCG = 30°．
Rt OBG OB 3在 △ 中， = = 2 3 ，
cos30°
∴ S阴影 = S BOC - SVOCD - S扇形 VBDF
2
60 × π 2 3 1 3 3 1= - - 1 3
360 2 2
= 2p - 2 3 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，扇形面积计算，余角的性
质，三角形分类，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
【变式 1】（2025·河北·一模）如图，半圆 O 与直线 AB 相切于点 B ，BC 为半圆 O 的直径，OB = 2 ．P 为直
线 AB 上的一动点，过点 P 作射线 PQ， QPB = 60°，射钱 PQ随点 P 的移动而平移．
(1)如图 1，移动点 P，使得射线 PQ与半圆 O 交于点 D，E，连接OD ，OE ．当OD∥AB时，求D E 的长．
(2)如图 2，移动点 P ，使得射线 PQ经过点 C，射线 PQ与半圆 O 交于另一点 F，求CF 的长．
2p
【答案】(1)
3
(2) 2 3
【知识点】等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、求弧长
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质是
解题的关键；
（1）根据OD∥AB，可得 QDO = QPB ，进而判定△EOD 为等边三角形，根据弧长公式即可求解；
（2）连接OF ，作OD ^ CF ，根据题意求得∠PCB的度数，然后根据勾股定理，即可求解；
【详解】（1）解：QOD∥ AB ，
\ QDO = QPB = 60°；
QOE = OD ，
\VEOD 为等边三角形，
QOB = 2，
p 2 60 2p则DE = = ；180 3
（2）解：连接OF ，作OD ^ CF ；
Q QPB = 60°，
半圆 O 与直线 AB 相切于点 B ，
\ CBP = 90°，
\ PCB =180° - CPB - CBP =180° - 60° - 90° = 30°，
OC = OB = 2，
OD 1\ = OC =1，
2
\CD = OC 2 - OD2 = 22 -12 = 3，
\CF = 2CD = 2 3 ；
【变式 2】（2025·河北石家庄·一模）如图 1，eO 的半径为 10，直线 l 经过eO 的圆心 O，且与eO 交于 A，
B 两点，点 C 在eO 上，且 sin AOC
3
= ，点 P 是直线 l 上的一个动点（与圆心 O 不重合），直线CP与eO
5
交于点 Q．
(1)求点 C 到OA的距离；
(2)如图 2，当PC 与eO 相切时，求 AP 的长；
(3)如图 3，连接 AC ，当 AC∥OQ时，求 AC 与OQ 之间的距离；
1
(4)当 tan OCP = 时，直接写出OP 的长．
2
【答案】(1)点C 到OA的距离为 6
(2) AP 5=
2
(3) AC 与OQ 之间的距离为3 10
(4)5 或 25
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）过点 C 作CM ^ AB于 M，解Rt△COM 求出CM 的长即可得到答案；
CP 3
（2）由切线的性质可得 OCP = 90°，解RtVOCP得到 sin∠POC = = ，设CP = 3x，OP = 5x，再利用
OP 5
勾股定理建立方程求解即可；
（3）求出OM = 8，得到 AM = OA - OM = 2，则 AC = 2 10 ，设点O到 AC 的距离为 h，利用等面积法求出
h 的值，再根据平行线的性质即可得到答案；
（4）分点 P 在点 O 右边和左边两种情况，过点 P 作直线OC 的垂线，垂足为 H，设出线段PH 的长，解直
角三角形表示出OH，CH，OP 的长，再利用线段的和差关系建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点 C 作CM ^ AB于 M，
在Rt△COM 中，OC = 10，∠OMC = 90°，sin∠MOC
CM 3
= = ，
OC 5
∴ CM = 6，
∴点C 到OA的距离为 6；
（2）解：由切线的性质可得 OCP = 90°，
CP 3
在RtVOCP中， sin∠POC = = ，
OP 5
设CP = 3x，OP = 5x，
由勾股定理得OP2 = OC2 + CP2 ，
∴ 5x 2 =102 + 3x 2 ，
解得 x
5 x 5= 或 = - （舍去），
2 2
∴ AP = OP - OA = 5x -10
5
= ；
2
（3）解：如图所示，过点 C 作CM ^ AB于 M，
同理可得CM = 6，
∴OM = OC2 - CM 2 = 8，
∴ AM = OA - OM = 2，
∴ AC = CM 2 + AM 2 = 2 10 ，
设点O到 AC 的距离为 h，
S 1 AC h 1∵ △AOC = × = OA ×CM ，2 2
h OA ×CM 10 6∴ = = = 3 10AC ，2 10
∵ AC∥OQ，
∴ AC 与OQ 之间的距离为3 10 ；
（4）解：如图所示，当点 P 在点 O 右边时，过点 P 作PH ^ OC 于 H，
V tan PCH HP 1在Rt CHP中， ∠ = = ，
CH 2
HP HP
在RtVOPH 中， tan∠POH = ，sin∠POH = ，
OH OP
由（2）可知 tan
HP 6 3
∠POH = = = ，
OH 8 4
设HP = 3x ，则OH = 4x，CH = 6x，OP = 5x，
∵OC = OH + CH = 10，
∴ 4x + 6x = 10，
∴ x =1，
∴ OP = 5；
如图所示，当点 P 在点 O 左边时，过点 P 作PH ^ OC ，交CO延长线于 H，
PH 1 PH 3
同理可得 = ， = ，
CH 2 OH 4
设HP = 3y，则OH = 4 y，CH = 6y，OP = 5y ，
∵OC = CH - OH = 10，
∴ 6y - 4y =10，
∴ y = 5，
∴ OP = 25；
综上所述，OP 的长为 5 或 25．
【变式 3】（2025·广东茂名·一模）阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有

展开更多......

收起↑