资源简介

抢分秘籍 01 整式和分式化简求值
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】整式化简后代入求值
【题型二】分式化简后代入求值
【题型三】整式、分式化简后整体代入求值
【题型四】整式、分式化简错解复原问题
【题型五】分式中化简与三角函数值求值
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：对零指数幂、负指数幂运算有误
易错点二：取合适的值时未使分式有意义
：化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因
为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值 8 分左右，着实不少！
：在中考数学备考中，熟记整式、分式运算法则及公式（平方差、完全平方等），针对性
练习分式化简、代数式求值等高频题型，注意符号处理、分母不为零等易错点。掌握整体代入、因式分解
约分等技巧，规范书写步骤，限时训练提升速度，整理错题强化薄弱环节，结合真题总结命题规律。
【题型一】整式化简后代入求值
【例 1】（2025·陕西榆林·三模）先化简，再求值： (x - y)(x + y) - y(2x - y)，其中 x =1，y = -2．
本题考查整式化简求值，涉及乘法公式及整式混合运算，熟记乘法公式及整式运算法则是解决问题的关键．
1
【例 2】（2025· · 2浙江衢州 一模）先化简，再求值： m + 2n - 4n m - n ，其中m = -1， n = ．2
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）先化简，再求值：n m + 4n - m - 2n 2 ，其中m = 2, n =1．
2
【变式 2】（2025·广东清远·一模）求值： a +1 - a - 2 a - 3 a 11，其中 = - ．
7
【变式 3】（2025· 2湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值： x + 3 - 2x x + 2 + x - 3 x + 3 ，其中 x = -1．
【题型二】分式化简后代入求值
2 x -1
【例 1】（2025·甘肃定西·一模）先化简，再求值： 2 1- 2 ÷，其中 x = 2．x + x è x -1
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则化简，代数
求值即可．
2
【例 2】（2025· a - 2 a - 4江苏宿迁·一模）先化简再求值：1- ，其中 a = -3．
a a2 + a
x2 - 4x + 4 x 1 3 【变式 1】（2025·山东淄博·一模）先化简，再求值： + - ，其 x = 3．
x -1 è x -1÷
3 x2 - 9
【变式 2】（2025·陕西榆林· 一模）先化简，再求值： 1+

÷ ，其中 x = 6．
è x - 3 x2 - 6x + 9
m + 2 4m + 5 1
【变式 3】（2025

·吉林·二模）先化简，再求值： + m -1÷，其中m = - ．m +1 è m +1 2
【题型三】整式、分式化简后整体代入求值
【例 1】（2025·浙江·模拟预测）已知 x2 - 2x - 3 = 0，求代数式 x +1 2x -1 - 5x的值．
本题主要考查整式的混合运算，代数式求值．利用整式混合运算法则把式子进行整理，再整体代入即可求
解
2 2
【例 2】（2025·北京延庆· a + 2ab + b模拟预测）已知 a + b - 3 = 0，求代数式 的值．
2a + 2b
3 - a 5
【变式 1】（2025·江苏宿迁·一模）已知 a2 + 3a - 2 = 0，求 a + 2 - 的值．a2 - 2a è a - 2 ÷
0
【变式 2】（2025·山东日照·一模）（1）计算： 2025 - π - 3 - 5 + 12 - 3tan 60°．
12a a - 4
（2）先化简，再求值： 2a - ÷ ，其中 a满足 2a 2 a2 4a 4 a + 5a + 6 = 0
．
è + + +
【题型四】整式、分式化简错解复原问题
【例 1】（2025·浙江金华·模拟预测）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的
解答过程．
2a 1
先化简，再求值： 2 - ，其中 a = -1 ．a - 4 a - 2
2a
= × a2 1- 4 - × a2解：原式 2 - 4 L①a - 4 a - 2
= 2a - a + 2 L ②
= a - 2L ③
当 a = -1 时．原式 = -3
本题主要考查了分式的化简求值，先通分，再计算并约分化到最简，然后代入求值.
【例 2】（2025·河北邯郸·一模）如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程．
解：-22 - 1- 3 + 2 + π 0 + 2cos30°
= -4-1+ 3+1+ 2 1 = … …
2
① ② ③ ④
(1)在① : ④ 2 2的计算结果中，有错误的是_________（填序号）；为了区分 -2 和 2-2，请直接写出 -2 =
_________， 2-2 = ________；
(2)对于这道作业题，请给出正确的计算过程．
1 x2 - 2x
【变式 1】（2025·河北石家庄·三模）先化简，再求值： 1- ÷ ，其中 x = 2 + 2 ，下面是甲同学
è x +1 x +1
的部分运算过程：
1 1- x
2 - 2x
解： ÷
è x +1 x +1
x +1 1 x2 - 2x= - 第一步
è x +1 x +1÷ x +1
x x x - 2
= 第二步
x +1 x +1
x x +1
= ×
x +1 x x - 2 第三步
…
(1)甲同学的运算过程中第 步是通分；
(2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值．
【变式 2】（2025·河南郑州·一模）（1）计算： 25 - -7 + -2 3．
1 2
（2）下面是某同学计算 - 的解题过程：
m -1 m2 -1
1 2 m +1 2
解： - = -m -1 m2 -1 m +1 m -1 m +1 m -1 ………①
= m +1 - 2 ………………②
= m -1 …………………………③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【题型五】分式中化简与三角函数值求值
a2 - 6a + 9 1
【例 1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求值： 2 1-

÷ 其中 a = tan 60°．a - 2a è a - 2
本题考查分式的化简求值，涉及分式的混合运算、特殊角的三角函数值、分母有理化，正确化简是解答的
关键．先求解括号里的分式减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解化简分式，然后求得 a 值代入化简
式子中求解即可．
x3 - 2x2 2x -1
【例 2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）先化简，再求值：
x2 -1
x -1- ÷，其中 x = 2cos45° +1．
è x +1
m - 3 5
【变式 1】（2025·黑龙江七台河·一模）先化简，再求值： 2 m + 2 - ，其中 o3m - 6m è m 2 ÷
m = 2sin30 ．
-
易错点一：对零指数幂、负指数幂运算有误
1、零指数幂、负指数幂的运算；
2、特殊三角形的三角函数记忆不清.
负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数。
1 1
-1

例 ．（2025·陕西宝鸡·一模）计算： 4cos30° + - + -4 - 2 6
è 3 ÷
0
变式 1：（2025·北京延庆·模拟预测）计算： π - 4 - 12 - 2cos60° + - 3 ．
变式 2：（2025·湖南邵阳·模拟预测）计算： π - 5 0 + 9 - 2sin30° + -2 ．
1 -1
变式 3：（2025· 0 广东清远·一模）计算： 16 - p - 3.14 + ÷ + 2 - 2sin45°．
è 2
2
变式 4：（2025· 0广东清远·模拟预测）计算： - 3 - -4 + 2024 - π + tan 45°．
易错点二：取合适的值时未使分式有意义
1、分式化简求值；
2、分式有意义的条件，使分母不等于 0.
分式有意义的条件、分式化简求值
2x +1 x + 2
例 1．（2025

·陕西商洛·一模）先化简 2 +1÷ ，再从-2, -1,1,2 中选择一个合适的数作为 x 的值代入è x -1 x -1
求值．
2x - 6 6x - 9
变式 1 ：（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值： x - ÷ ，并从 0，1，3 中选一个合适数代入x è x
求值．
1 a2 -1
变式 2：（2025· 宁夏中卫·二模）先化简，再求值： 1- ÷ × ，从-1，0，1 中选择一个你喜欢的数代
è a +1 a
入求值．
1 -2
变式 3：（2025·山东枣庄·模拟预测）（1）计算： 4sin45° - ÷ - 4 2 + p - 3
0
．
è 3
a 1 3 a
2 + 4a + 4
（2）先化简 + - ÷ ，再从-2,1,2 中选取一个适合的数代入求值．
è a -1 a -1抢分秘籍 01 整式和分式化简求值
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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】整式化简后代入求值
【题型二】分式化简后代入求值
【题型三】整式、分式化简后整体代入求值
【题型四】整式、分式化简错解复原问题
【题型五】分式中化简与三角函数值求值
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：对零指数幂、负指数幂运算有误
易错点二：取合适的值时未使分式有意义
：化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因
为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值 8 分左右，着实不少！
：在中考数学备考中，熟记整式、分式运算法则及公式（平方差、完全平方等），针对性
练习分式化简、代数式求值等高频题型，注意符号处理、分母不为零等易错点。掌握整体代入、因式分解
约分等技巧，规范书写步骤，限时训练提升速度，整理错题强化薄弱环节，结合真题总结命题规律。
【题型一】整式化简后代入求值
【例 1】（2025·陕西榆林·三模）先化简，再求值： (x - y)(x + y) - y(2x - y)，其中 x =1，y = -2．
【答案】 x2 - 2xy,5
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式乘法运算的化简求值，
先根据整式的乘法法则计算，再代入求值．
【详解】解：原式= x2 - y2 - 2xy + y2 = x2 - 2xy ．
当 x =1，y = -2时，原式=12 - 2 1 (-2) =1+ 4 = 5．
本题考查整式化简求值，涉及乘法公式及整式混合运算，熟记乘法公式及整式运算法则是解决问题的关键．
1
【例 2】（2025·浙江衢州·一模）先化简，再求值： m + 2n 2 - 4n m - n ，其中m = -1， n = ．2
【答案】m2 + 8n2 ；3
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键．先
根据完全平方公式和单项式乘多项式进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
2
【详解】解： m + 2n - 4n m - n
= m2 + 4mn + 4n2 - 4mn + 4n2
= m2 + 8n2，
1
当m = -1， n = 时，
2
原式= m2 + 8n2
2
= -1 2 + 8 1 ÷
è 2
=1+ 2
= 3．
2
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）先化简，再求值：n m + 4n - m - 2n ，其中m = 2, n =1．
【答案】5mn - m2，6
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式化简求值，涉及乘法公式及整式混合运算，熟记乘法公式及整式运算法则是解决问
题的关键．
2
【详解】解：原式= mn + 4n - m2 - 4mn + 4n2
= mn + 4n2 - m2 + 4mn - 4n2
= 5mn - m2 ．
将m = 2, n =1代入，得
原式5 2 1- 22 = 10 - 4 = 6．
2 11
【变式 2】（2025·广东清远·一模）求值： a +1 - a - 2 a - 3 ，其中 a = - ．
7
【答案】7a - 5，-16
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查整式的混合运算，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式运算法则将括号展开、
合并得最简结果，再把 a的值代入计算即可．
【详解】解： a +1 2 - a - 2 a - 3
= a2 + 2a +1- a2 - 5a + 6
= 7a - 5，
11 11
当 a = -

时，原式= 7 - ÷ - 5 = -11- 5 = -16．7 è 7
2
【变式 3】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值： x + 3 - 2x x + 2 + x - 3 x + 3 ，其中 x = -1．
【答案】 2x，-2
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算的化简求值，
根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再代入求值即可．
2
【详解】解： x + 3 - 2x x + 2 + x - 3 x + 3 = x2 + 6x + 9 - 2x2 - 4x + x2 - 9 ，
= x2 - 2x2 + x2 + 6x - 4x + 9 - 9 = 2x，
当 x = -1时，原式= 2 -1 = -2．
【题型二】分式化简后代入求值
2 x -1
【例 1】（2025·甘肃定西·一模）先化简，再求值： 2 1- 2 ÷，其中 x = 2．x + x è x -1
2 1
【答案】
x2
， 2
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的性质，代入求值是关键．
根据分式的混合运算化简，再代入求值即可．
2 x -1
【详解】解： 2 1-x + x è x2 -1÷
2 x2 -1 x -1
=
x x +1
-
x2 -1 x2è -1
÷

2 x +1 x -1
= ×
x x +1 x x -1
2
=
x2
，
∵ x = 2，
2 1
∴把 x = 2代入得：原式= = ．
22 2
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则化简，代数
求值即可．
a - 2 a22 2025· · 1 - 4【例 】（ 江苏宿迁 一模）先化简再求值： - 2 ，其中 a = -3．a a + a
1
【答案】 ，-1
a + 2
【知识点】分式化简求值
1 1
【分析】本题考查了分式化简求值，先运算除法，再运算减法，化简得 ，然后把 a = -3代入 进行
a + 2 a + 2
计算，即可作答．
a - 2 a2 - 4
【详解】解：1-
a a2 + a
1 a - 2 （a a +1）= - ×
a （a + 2）（a - 2）
1 a +1= -
a + 2
a + 2 -（a +1）
=
a + 2
1
= ，
a + 2
1
当 a = -3时，原式= = -1．
-3 + 2
x2 - 4x + 4 3
【变式 1】（2025·山东淄博· 一模）先化简，再求值： x +1- ，其 x = 3．x -1 ÷è x -1
x - 2
【答案】 ,
1
x + 2 5
【知识点】分式化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据异分母分式的减法法则进行括号内计算，再计算除法，把 x = 3代入计算即可．
x2 - 4x + 4 3
【详解】解：
x +1-
x -1 x -1֏
x - 2 2 x2 - 4
=
x -1 x -1
x - 2 2 x -1
=
x -1 x + 2 x - 2
x - 2
=
x + 2
x - 2 3 - 2 1
将 x = 3代入得，原式＝ = = ．
x + 2 3 + 2 5
3 x2 - 9
【变式 2】（2025·陕西榆林· 1+ 一模）先化简，再求值： ，其中 x = 6．
è x - 3 ÷ x2 - 6x + 9
x 2
【答案】 ，
x + 3 3
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则化
x
简得到 ，代数求值即可．
x + 3
x - 3 + 3 x - 3 2
【详解】解：原式= ×
x - 3 x + 3 x - 3
x
= ．
x + 3
x 6 2
当 x = 6时，原式= = = ．
x + 3 6 + 3 3
m + 2 4m + 5 1
【变式 3】（2025

·吉林·二模）先化简，再求值： + m -1÷，其中m = - ．m +1 è m +1 2
1 2
【答案】 ，
m + 2 3
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，利用分式的运算法则先化简分式，再代入 m 的值计算即可．
m + 2 4m + 5
【详解】解：
m +1
+ m -1
è m +1 ÷
m + 2 4m + 5 + m2 -1
=
m +1 m +1
m + 2 m +1
= ×
m +1 m + 2 2
1
= ，
m + 2
1 2
当m
1 = =
= - 时，原式 1
2 - + 2 3
．
2
【题型三】整式、分式化简后整体代入求值
【例 1】（2025·浙江·模拟预测）已知 x2 - 2x - 3 = 0，求代数式 x +1 2x -1 - 5x的值．
【答案】5
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查整式的混合运算，代数式求值．利用整式混合运算法则把式子进行整理，再将
x2 - 2x - 3 = 0变形为 x2 - 2x = 3，整体代入即可求解．
【详解】解： x +1 2x -1 - 5x = 2x2 - x + 2x -1- 5x = 2x2 - 4x -1 = 2 x2 - 2x -1，
∵ x2 - 2x - 3 = 0，
∴ x2 - 2x = 3，
∴ x +1 2x -1 - 5x = 2 x2 - 2x -1 = 2 3 -1 = 5，
∴代数式 x +1 2x -1 - 5x的值为 5．
本题主要考查整式的混合运算，代数式求值．利用整式混合运算法则把式子进行整理，再整体代入即可求
解
2 2
【例 2】（2025·北京延庆·模拟预测）已知 a + b - 3 = 0 a + 2ab + b，求代数式 的值．
2a + 2b
3
【答案】
2
【知识点】完全平方公式分解因式、分式的求值
【分析】用 a + b 表示分子，分母，后变形代入计算即可．
本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键．
a2 + 2ab + b2 a + b 2 a + b
【详解】解： = =
2a + 2b 2 a + b 2
Qa + b - 3 = 0
\a + b = 3
3
∴原式= ．
2
3 - a
【变式 1】（2025·江苏宿迁·一模）已知 a2 + 3a - 2 = 0，求 2 a + 2
5
- ÷的值．a - 2a è a - 2
1 1
【答案】- 2 ；-a + 3a 2
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，
最后利用整体代入法计算求解即可．
3 - a a 2 5【详解】解： 2 + -

a - 2a è a - 2 ÷
3 - a a2 - 4 5
= -
a2 - 2a è a - 2 a - 2
÷

3 - a a2 - 9
=
a a - 2 a - 2
3 - a a - 2
=
a a - 2 a + 3 a - 3
1
= -
a a + 3
1
= - ；
a2 + 3a
∵ a2 + 3a - 2 = 0，
∴ a2 + 3a = 2，
1
∴原式= - ．
2
0
【变式 2】（2025·山东日照·一模）（1）计算： 2025 - π - 3 - 5 + 12 - 3tan 60°．
2a 12a a - 4（2）先化简，再求值： - ÷ ，其中 a满足 2 ．
è a + 2 a2
a + 5a + 6 = 0
+ 4a + 4
【答案】（1）-4；（2） 2a2 + 4a ，当 a = -3时，原式= 6
【知识点】分式化简求值、零指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值、零指数幂、化简绝对值、二次根式运算、解一元二次方
程以及分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先根据零指数幂运算法则、绝对值的性质、二次根式性质以及特殊角的三角形函数值进行运算，然
后相加减即可；
（2）首先解方程 a2 + 5a + 6 = 0，可得 a1 = -2, a2 = -3；运算分式括号内部分并将除法转换为乘方，然后完
成化简运算，结合分式有意义的条件确定 a的值，然后代入求值即可．
【详解】解：（1）原式=1- 5 - 3 + 2 3 - 3 3
=1- 5 + 3 + 2 3 - 3 3
= -4；
（2）根据题意， a2 + 5a + 6 = 0，
解得 a1 = -2, a2 = -3，
é2a a + 2 12a ù a - 4
原式= ê - ú
a + 2 a + 2 a + 2 2
2
2a2 + 4a -12a a + 2
=
a + 2 a - 4
= 2a a + 2
= 2a2 + 4a ，
∵ a + 2 0， a - 4 0，
∴ a -2且 a 4，
∴当 a = -3 2时，原式= 2 -3 + 4 -3 = 6．
【题型四】整式、分式化简错解复原问题
【例 1】（2025·浙江金华·模拟预测）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的
解答过程．
2a 1
先化简，再求值： 2 - ，其中 a = -1 ．a - 4 a - 2
2a
= × a2 4 1 2解：原式 2 - - × a - 4 L①a - 4 a - 2
= 2a - a + 2 L ②
= a - 2L ③
当 a = -1 时．原式 = -3
1
【答案】错误的：①；正确答案为 ,1
a + 2
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分，再计算并约分化到最简，然后代入求值.
【详解】错误的：①．
正确的解答∶：
2a a + 2 2a - a + 2 2a - a - 2 1
原式 = - = = = ． a - 2 a + 2 a - 2 a + 2 a - 2 a + 2 a - 2 a + 2 a + 2
当 a = -1时，原式=1．
本题主要考查了分式的化简求值，先通分，再计算并约分化到最简，然后代入求值.
【例 2】（2025·河北邯郸·一模）如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程．
解：-22 - 1- 3 + 02 + π + 2cos30°
= -4 1-1+ 3+1+ 2 = … …
2
① ② ③ ④
(1) 2 2在① : ④的计算结果中，有错误的是_________（填序号）；为了区分 -2 和 2-2，请直接写出 -2 =
_________， 2-2 = ________；
(2)对于这道作业题，请给出正确的计算过程．
1
【答案】(1)②④；4， 4
(2)见解析
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、负整数指数幂与零指数幂、二次根式的混合运算，
熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据实数的性质化简绝对值、特殊角的余弦值出现错误；根据有理数的乘方和负整数指数幂法则计算
即可得；
（2）先计算有理数的乘方、化简绝对值、计算零指数幂、余弦，再计算二次根式的混合运算即可得．
【详解】（1）解：-22 = -4，则①正确；
- 1- 3 = - 3 -1 =1- 3 ，则②错误；
02 + π =1，则③正确；
2cos30° = 2 3 ，则④错误；
2
-2 2 4 2-2 1 1= ， = 2 =2 4 ，
1
故答案为：②④；4， 4 ．
0
（2）解：-22 - 1- 3 + 2 + π + 2cos30°
= -4 - 3 -1 +1+ 2 3 2
= -4 - 3 +1+1+ 3
= -2 ．
1 x2 - 2x
【变式 1】（2025·河北石家庄·三模）先化简，再求值： 1- ÷ ，其中x +1 x +1 x = 2 + 2
，下面是甲同学
è
的部分运算过程：
1 x21 - 2x解： -
è x +1÷ x +1
x +1 1= - x
2 - 2x
÷ 第一步
è x +1 x +1 x +1
x x x - 2
= 第二步
x +1 x +1
x x +1
= ×
x +1 x x - 2 第三步
…
(1)甲同学的运算过程中第 步是通分；
(2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值．
【答案】(1)一
1
(2) 2，
x - 2 2
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质及分母有理化，掌握分式的运算法则是解题的关
键．
（1）根据分式的混合运算法则判断即可；
（2）根据乘法分配律、分式的约分法则计算．
【详解】（1）解：甲同学的运算过程中第一步是通分；
1 x +1
（2）解：原式= 1- ×
è x +1÷ x2 - 2x
x +1 1 x +1
= 2 - ×x - 2x x +1 x2 - 2x
x +1 1
=
x2
-
- 2x x2 - 2x
x
=
x2 - 2x
1
= ；
x - 2
当 x = 2 + 2 时，
1 1 1 2
原式= = = = ．
x - 2 2 + 2 - 2 2 2
【变式 2】（2025·河南郑州·一模）（1）计算： 25 - -7 + -2 3．
1 2
（2）下面是某同学计算 - 的解题过程：
m -1 m2 -1
1 2 m +1 2
解： - = -m -1 m2 -1 m +1 m -1 m +1 m -1 ………①
= m +1 - 2 ………………②
= m -1 …………………………③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】（1）6；（2）从第②步开始出现错误，正确的解题过程见解析
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了实数的运算和分式的加减运算．
（1）根据算术平方根的定义，先开方、去括号、算乘法，最后算加减即可；
（2）先观察已知条件中的解题过程，根据同分母分式相加减法则判断错误的步骤，然后写出正确的解题过
程即可．
【详解】解：（1） 25 - -7 + -2 3
= 5 + 7 - 6
= 6；
（2）解：从第②步开始出现错误，正确的解题过程如下：
1 2 m +1 2
- = -
m -1 m2 -1 m +1 m -1 m +1 m -1
m +1- 2
=
m +1 m -1
m -1
=
m +1 m -1
1
= ．
m +1
【题型五】分式中化简与三角函数值求值
a2 - 6a + 9 1
【例 1】（2025·黑龙江哈尔滨· 一模）先化简，再求值： 2 a - 2a
1- ÷ 其中 a = tan 60°．
è a - 2
a - 3
【答案】 ，
a 1- 3
【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查分式的化简求值，涉及分式的混合运算、特殊角的三角函数值、分母有理化，正确化简
是解答的关键．先求解括号里的分式减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解化简分式，然后求得 a 值
代入化简式子中求解即可．
a - 3 2 a - 2 1
【详解】解：原式= -
a a - 2 è a - 2 a - 2 ÷
a - 3 2 a - 2
= ·
a a - 2 a - 3
a - 3
= ，
a
当a = tan60° = 3 时，
3 - 3
原式= = 1- 3．
3
本题考查分式的化简求值，涉及分式的混合运算、特殊角的三角函数值、分母有理化，正确化简是解答的
关键．先求解括号里的分式减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解化简分式，然后求得 a 值代入化简
式子中求解即可．
x3 - 2x2 2x -1
【例 2】（2025· · 黑龙江牡丹江 一模）先化简，再求值： 2 x -1- ÷，其中 x = 2cos45° +1．x -1 è x +1
x 2 + 2
【答案】 ， ．
x -1 2
【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是关键．
根据分式加减乘除法则，先化简分式，再化简后代入求值．
x3 - 2x2 2x -1
【详解】解： 2 x -1
x -1-
è x +1 ÷
x2 (x - 2) x +1
=
(x +1)(x -1) x(x - 2)
x
= ，
x -1
2 +1 2 + 2
当 x = 2cos 45° +1 = 2 +1时，原式= = ．
2 +1-1 2
m - 3 5
【变式 1】（2025·黑龙江七台河·一模）先化简，再求值： m + 2 - ，其中
3m2 6m m 2 ÷ m = 2sin30
o．
- è -
1 1
【答案】 3m m + 3 ，12
【知识点】分式化简求值、特殊三角形的三角函数
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值把 m 的值化简，代入计算
即可．
本题考查的是分式的化简求值，特殊角三角函数，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
m - 3 m2 - 4 5
【详解】解：原式= -3m m - 2 m - 2 m - 2 ÷è
m - 3 m2 - 9
=
3m m - 2 m - 2
m - 3 m - 2
=
3m m - 2 m - 3 m + 3
1
=
3m m + 3 ，
当m = 2sin30o 2
1
= =1 1时，原式= ．
2 12
易错点一：对零指数幂、负指数幂运算有误
1、零指数幂、负指数幂的运算；
2、特殊三角形的三角函数记忆不清.
负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数。
-1
例 1．（2025· 1 陕西宝鸡·一模）计算： 4cos30° + - ÷ + -4 - 2 6
è 3
【答案】1
【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝
对值、算术平方根的定义计算，再合并即可．
4cos30 1
-1
【详解】解： ° + -

÷ + -4 - 2 6
è 3
3
= 4 + -3 + 4 - 2 3
2
= 2 3 - 3+ 4 - 2 3
=1．
0
变式 1：（2025·北京延庆·模拟预测）计算： π - 4 - 12 - 2cos60° + - 3 ．
【答案】- 3
【知识点】化简绝对值、零指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了零指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值，先计算零指数幂、特殊
角的三角函数值、绝对值以及化简二次根式，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
0
【详解】解： π - 4 - 12 - 2cos60° + - 3
= 1- 2 3 - 2 1 + 3
2
= - 3 ．
变式 2：（2025· 0湖南邵阳·模拟预测）计算： π - 5 + 9 - 2sin30° + -2 ．
【答案】5
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算 30 度角的正弦值，再计算零指数幂和
算术平方根，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解： π - 5 0 + 9 - 2sin30° + -2
= 1 1+ 3 - 2 + 2
2
=1+ 3 -1+ 2
= 5．
-1
变式 3：（2025·广东清远·一模）计算： 16 - p - 3.14 0 1+ ÷ + 2 - 2sin45°．
è 2
【答案】5
【知识点】求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查实数的运算，先根据算术平方根的定义，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，特
殊锐角三角函数值将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则，性质及公式是解题的关键．
16 p 3.14 0 1
-1
【详解】解： - - + ÷ + 2 - 2sin45°
è 2
= 4 2-1+ 2 + 2 - 2
2
= 4 -1+ 2 + 2 - 2
= 5．
2
变式 4：（2025·广东清远·模拟预测）计算： - 3 - -4 + 2024 - π 0 + tan 45°．
【答案】1
【知识点】化简绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，绝对值、零次幂，先运算乘方、化简绝对值、零次
幂以及特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答．
2
【详解】解： - 3 - -4 + 2024 - π 0 + tan 45°
= 3- 4 +1+1
=1．
易错点二：取合适的值时未使分式有意义
1、分式化简求值；
2、分式有意义的条件，使分母不等于 0.
分式有意义的条件、分式化简求值
2x +1 x + 2
例 1

．（2025·陕西商洛·一模）先化简 2 +1÷ ，再从-2, -1,1,2 中选择一个合适的数作为 x 的值代入è x -1 x -1
求值．
x 2
【答案】 ，当 x = 2时，原式的值为
x +1 3
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在-2，-1，0，
1，2 中选取一个使得原分式有意义的 x 的值代入即可解答．
2x +1 x + 2
【详解】解：
è x2
+1
-1 ÷

x -1
2x +1+ x2 -1 x + 2
=
x2 -1 x -1
x x + 2 x -1
= ×
x +1 x -1 x + 2
x
=
x ；+1
由分式有意义的条件可知，
ìx + 2 0
í
x
2 1 0 ，-
∴ x 不能取±1, -2，可取 2，
2 2
当 x = 2时，原式= = ．
1+ 2 3
2x - 6 6x - 9
变式 1：（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值： x - ÷ ，并从 0，1，3 中选一个合适数代入x è x
求值．
2
【答案】 ，当 x =1时，原式的值为-1
x - 3
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可先对分式进行加
减乘除运算，然后再去能使分母不为 0 的数代入进行求解即可．
2 x - 3 x2 - 6x + 9
【详解】解：原式=
x x
2 x - 3 x
=
x x - 3 2
2
= ；
x - 3
∵ x 0, x 3
2
∴当 x =1时，则原式= = -1．
1- 3
1 a2 -1
变式 2：（2025·宁夏中卫·二模）先化简，再求值： 1- ÷ × ，从-1，0，1 中选择一个你喜欢的数代
è a +1 a
入求值．
【答案】 a -1；0
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件等知识．解题的关键在于正确的运算．先进行减
法运算可得化简结果，再因式分解进行化简，然后根据分式有意义的条件确定 a值，最后代入求解即可．
a +1 1 a -1 a +1
【详解】解：原式= - ·
è a +1 a +1÷ a
a a -1· a +1 =
a +1 a
= a -1；
∵ a +1 0 且 a 0，
∴ a -1且 a 0，
∴ a =1，
∴当 a = 0时，原式=1-1 = 0．
-2
3 1 0变式 ：（2025·山东枣庄·模拟预测）（1）计算： 4sin45° - ÷ - 4 2 + p - 3 ．
è 3
3 a2 + 4a + 4
（2 ）先化简 a +1- ÷ ，再从-2,1,2 中选取一个适合的数代入求值．
è a -1 a -1
a - 2
【答案】（1）-8；（2） ，当 a = 2时，原式= 0
a + 2
【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数，分式的化简求值，正确计算是解题的关键：
（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，进行化简运算即可；
（2）先根据分式的加减乘除混合运算化简，再根据分式有意义的条件得出 a 的值，再代入计算即可．
1 -2 0
【详解】解：（1） 4sin45° - ÷ - 4 2 + π - 3
è 3
2
= 4 - 9 - 2 2 +1
2
= -8．
3 a2 + 4a + 4 2 a + 2 2
（2 ） a +1-
a -1 3= -
è a -1÷ a -1 ÷è a -1 a -1 a -1
a + 2 a - 2 a -1
= × a - 2
a =-1 2 ．a + 2 a + 2
Qa 1且 a -2，
当 a = 2时，原式= 0．

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