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抢分秘籍 04 几何图形选填压轴题
（含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题）
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】平行线中求角的度数 【题型二】三角形中求线段或角
【题型三】多边形中求线段或角 【题型四】四边形中求线段或角
【题型五】圆中求线段或角 【题型六】圆中求扇形或不规则图形的面积
【题型七】图形平移中求线段或角 【题型八】图形旋转中求线段或角
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：等腰三角形多解题漏解 易错点二：直角三角形多解题漏解
：几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热
点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等
原因导致失分。
1．从考点频率看，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为载体的几何求解
问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握。
2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值 3 分左右，着实不少！
：几何图形选填压轴题备考需聚焦高频考点，如动态最值、多结论推理、几何变换综合。
首先夯实基础，熟背全等/相似判定、解直角三角形、圆的性质等核心定理，归纳手拉手、将军饮马等经典
模型。训练时注重特殊值法、极限位置法快速排除选项，结合尺规作图辅助分析，错题按“条件-突破口-
易错点”分类整理。考前限时刷题保持题感，重点突破图形折叠、动点轨迹等复杂情境，提升数形结合与
逆向推导能力。
【题型一】平行线中求角的度数
【例 1】（2025·全国·二模）如图是一款手机支架，若张角 BCD = 70°，支撑杆CB 与桌面夹角 B = 65°，那
么此时面板CD与水平方向夹角 1的度数为（ ）．
A． 45° B．55° C．65° D．70°
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解
题的关键．由题意可得：DE∥AB，则 DEC = B = 65°；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图，过点 D 作DE∥AB，
∴ DEC = B = 65°，
∵ BCD = 70°，
∴ 1 =180° - BCD - CED = 45°．
故选：A．
平行线中求角的度数，先辨角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角），直接用定理转化。遇拐点（“M”
“Z”型等）过点作平行线，分解图形为基本模型。结合对顶角、邻补角及三角形外角性质，标注已知角逐
步推导，复杂图形可拆分或延长线段显化关系，注意隐含平行条件（如矩形对边、三角板直角边）。
【例 2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知 AB∥CD，EF 交CD于点E ， A = 30°， DEF = 50°，那
么 F = 度．
【答案】 20
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
由平行线的性质推出 BMF = DEF = 50°，由三角形的外角性质即可求出 F 的度数．
【详解】解：∵ AB∥CD，
∴ BMF = DEF = 50°，
∴ F = BMF - A = 50° - 30° = 20° .
故答案为： 20
【变式 1】（2025·山西忻州·模拟预测）图 1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图 2 是其几何示意图，
其中 AB ，CD都与地面 l平行， BCD = 60°， BAC = 55°，若 AM ∥BC ，则 MAC 等于（ ）
A．90° B．65° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行公理
推论可得 AB∥CD，再根据平行线的性质可得 ACD = 125°，从而可得 ACB = 65°，然后根据平行线的性
质求解即可得．
【详解】解：∵ AB ，CD都与地面 l平行，
∴ AB∥CD，
∴ BAC + ACD =180°，
∵ BAC = 55°，
∴ ACD =180° - 55° =125°，
∵ BCD = 60°，
∴ ACB = ACD - BCD = 65° ，
∵ AM ∥BC ，
∴ MAC = ACB = 65°，
故选：B．
【变式 2】（2025·山西·一模）如图，一条光线 AB 经平面镜的反射光线BC 经凹透镜折射后，其折射光线CD
的反向延长线过凹透镜的一个焦点F1．已知光线 AB 的入射角为 45°，反射光线BC 与折射光线CD的夹角
BCD = 155°，则光线CD与光线 AB 所夹的锐角为（ ）
A．65° B．60° C．35° D．25°
【答案】A
【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌
握三角形的相关性质成为解题的关键．
如图：延长 AB，DC 相交于点 E，由题意可得： HBC = ABH = CBG = EBG = 45°，由邻补角的定义可
得 BCE = 25°，再根据三角形外角的性质可得 BGE = 70°，再最后根据三角形内角和定理求得 BEG 即
可．
【详解】解：如图：延长 AB，DC 相交于点 E，
由题意可得： HBC = ABH = CBG = EBG = 45°，
∵ BCD = 155°，
∴ BCE =180° - BCD = 25°，
∴ BGE = BCE + CBG = 70°，
∵ BGE + EBG + EBG =180°，
∴ BEG =180° - BGE - EBG = 65°．
故选 A．
【变式 3】（2025·山东青岛·模拟预测）2023 年 5 月底，由中国商飞公司制造的C919圆满完成商业首飞，对
中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是C919机翼设计图，已知 BC ^ AB， BCD =153°，
DE 与水平线的夹角为17°，则 CDE等于 ．
【答案】 46°
【知识点】平行线的性质在生活中的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作DF∥ AB ，CG∥ AB ，则DF∥ CG∥ AB ，根据
平行线得到 ABC = BCG = 90°， DCG = FDC = 63°，最后根据 CDE = FDC - FDE代入计算即可．
【详解】解：如图，作DF∥ AB ，CG∥ AB ，点G 在点C 右边，点D在点F 右边，
∴ DF∥ CG∥ AB ，
∵ BC ^ AB，
∴ ABC = 90°，
∵ CG∥ AB ，
∴ ABC = BCG = 90°，
∵ BCD =153°，
∴ DCG = BCD - BCG =153°- 90°= 63°，
∵ DF∥CG，
∴ DCG = FDC = 63°，
∵ DE 与水平线的夹角为17°，
∴ FDE =17°，
∴ CDE = FDC - FDE = 63°-17°= 46°，
故答案为： 46°．
【题型二】三角形中求线段或角
【例 1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在VABC 中，点 D，E 分别是边BC ， AB 的中点，连接 AD ，
DE ．若VABC 的面积是 8，则VBDE 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角形的
中线与面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵点 D 是边BC 的中点，VABC 的面积等于 8，
1
∴ SVABD = S2 VABC
= 4，
∵E 是 AB 的中点，
S 1 1∴ △BDE = S2 △ABD
= 4 = 2 ，
2
故选：A．
三角形中求线段和角，先判三角形类型（等腰、直角等），用对应性质（等边对等角、勾股定理）。线段常
借全等/相似转化，遇中点连中线、倍长法，截长补短处理和差；角度用内角和、外角定理，结合角平分线、
三角函数（正弦/余弦定理），复杂时作高或辅助线构造基本图形推导。
【例 2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在VABC中， AB = AC ， AD 是 BAC 的平分线．若 AB =10，
AD = 6，则BC 的长为 ．
【答案】16
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰
三角形的性质得到 AD ^ BC ，BD = CD，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：Q AB = AC ， AD 是 BAC 的平分线，
\ AD ^ BC ，BD = CD，
Q AB =10， AD = 6，
\BD = AB2 - AD2 = 8，
\BC = 2BD =16，
故答案为：16．
【变式 1】（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在VABC 中， ACB = 90°，设 AC = x，BC = y，且 x + y 是
定值，点D是 AC 上一点，点E 为 AB 中点，连接CE，将线段CE沿绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF
交 AC 于点G ，若点A 关于直线DE 的对称点恰为点F ，则下列线段长为定值的是（ ）
A． AD B．CD C．CG D．DE
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、相似三角形的
判定与性质综合
【分析】连接ED，DF ， AF ，在 AC 上取点 H，使CH = BC ，连接BH ，过点 E 作 EK ^ AC 于点 K，根据
直角三角形的性质得出 AE = CE = BE ，设 BAC = a ，则 BEC = 2 BAC = 2a ，求出
EAF 1= 180° - AEF = 45° +a ，得出 DFA = DAF = 45° +a -a = 45°，求出
2
ADF =180° - 45° - 45° = 90°，得出 EDC =135° - 90° = 45°，求出CH = BC ， HCB = 90°，得出
AH = AC - BC = x - y AD DK 1 x - yBH = 2BC = 2y 1 2，求出 ， = = AH = ，
2 2 ED = BH = y
，从而求出
2 2
2
CD = AC AD x x - y x + y y x - y- = - = CG CD DG x + y x + y
2
， = - = - = ，即可得出答案．
2 2 2 2x 2x
【详解】解：连接ED，DF ， AF ，在 AC 上取点 H，使CH = BC = y，连接BH ，过点 E 作 EK ^ AC 于点
K，如图所示：
∵在VABC 中， ACB = 90°，点E 为 AB 中点，
∴ AE = CE = BE ，
∴ BAC = ACE ，
根据旋转可知：EF = CE ， FEC = 90°，
∴△AEF 和VCEB 为等腰三角形， AEF + CEB =180° - 90° = 90°，
设 BAC = a ，则 BEC = 2 BAC = 2a ，
∴ AEF = 90° - 2a ，
EAF 1∴ = 180° - AEF = 45° +a ，
2
根据轴对称可知： AD = DF ， ADE = FDE ，
∴ DFA = DAF = 45° +a -a = 45°，
∴ ADF =180° - 45° - 45° = 90°，
∴ DF ^ AC ，
∵ ADE + ADF + FDE = 360°，
∴ ADE = FDE =135°，
∴ EDC =135° - 90° = 45°，
∵ CH = BC ， HCB = 90°，
∴ BHC = 45°，BH = 2BC = 2y ，
AH = AC - CH = x - y，
∴ EDK = BHC ，
∴ ED∥BH ，
AD AE
∴ = =1，
DK BE
AD DK 1 AH x - y∴ = = = ，
2 2
∴ DE 为VABK 的中位线，
∴ ED 1= BH 2= y，
2 2
∴ DE 、 AD 均不是定值，
CD AC AD x x - y x + y∴ = - = - = ，
2 2
∴ CD为定值，
∵ EK ^ AC ，FD ^ AC ，
∴ EK∥DF ，
∵ FDK = BCA = 90°，
∴ DF∥BC ，
∴ DF∥EK ∥BC ，
AK AE 1
∴ = = ，
AC AB 2
∴ EK 为VABC的中位线，
EK 1 1 1 1∴ = BC = y ， AK = AC = x，
2 2 2 2
DK AK AD 1 x x - y 1∴ = - = - = y，
2 2 2
∵ EK∥DF ，
∴VDFG∽VKEG，
x - y
DG DF 2 x - y∴ = = = ，
GK EK 1 y y
2
DG x - y
1 =∴ y - DG y ，
2
y x - y
∴ DG = ，
2x
y x - y 2 2
∴ CG = CD - DG x + y x + y= - = ，
2 2x 2x
∴ CG 不是定值，
综上分析可知，CD为定值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角
形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握
相关的判定和性质．
【变式 2】（2025·辽宁·一模）如图，在VABC 中， AC = BC ，以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，分别交
1
AC 、BC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧交于点 G，作射线CG 交
2
AB 于点 D，过点 D 作DH ∥BC 交 AC 于点 H．若CH = a，则BC = （用含 a 的代数式表示）．
【答案】 2a
【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】由作法得CD平分 ACB ，证明DH = CH = a ， AH = DH = a ，再证明△ADH ∽△ABC ，再利用
相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：由作法得CD平分 ACB ，
∴ ACD = BCD，
∵ DH ∥BC ，
∴ HDC = BCD， ADH = ABC ，
∴ ACD = HDC ，
∴ DH = CH = a ，
∵ AC = BC ，
∴ A = ABC ，
∴ A = ADH ，
∴ AH = DH = a ，
∵ DH ∥BC ，
∴△ADH ∽△ABC ，
AH DH
∴ = ，
AC BC
DH AH a 1
∴ = = = ，
BC AC 2a 2
∴ BC = 2a ．
故答案为： 2a．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明
AH = DH = a 是解本题的关键．
【变式 3】（2025·陕西西安·一模）如图，在四边形 ABCD中，连接BD， ADB = CBD = 90°，
BDC = 2 ABD．已知E 是BC 边上的一点，连接 DE，过点 E 作EF ^ CD于点 F，且BE = EF ．若
BD = 3，CD = 5，则 AB 的长为 ．
3 5
【答案】
2
【知识点】内错角相等两直线平行、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定
与性质求解
【分析】结合题意，再根据角平分线的判定可得DE 平分 BDC ，利用平行线的判定，可推出四边形 ABED
是平行四边形，即 AB = DE ，根据勾股定理可得BC = CD2 - BD2 = 52 - 32 = 4，设 BE = EF = x，再利用
S BCgBD BEgBD CDgEFVDBC = = + ，代入数值解方程可得BE = EF
3
= ，再利用勾股定理可得
2 2 2 2
AB DE 3 5= = ．
2
【详解】解：∵ CBD = 90°，EF ^ CD，BE = EF ，
∴ DE 平分 BDC ，
∴ BDE = EDC ，
∵ BDC = 2 ABD，
∴ ABD = BDE ，
∴ AB∥DE ，
∵ ADB = CBD ，
∴ AD P BE ，
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴ AB = DE ，
∵ BD = 3，CD = 5， CBD = 90°，
∴ BC = CD2 - BD2 = 52 - 32 = 4，
设 BE = EF = x，
S BCgBD BEgBD CDgEF∵ VDBC = = + ，2 2 2
4 3 3x 5x
∴ = + ，
2 2 2
3
解得 x = ，
2
∴ BE = EF
3
= ，
2
2
∴ DE = BD2 + BE2 3= 32 + 3 5 ÷ = ，
è 2 2
∴ AB = DE 3 5= ，
2
3 5
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的判定，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
【题型三】多边形中求线段或角
【例 1】（2025·河南驻马店·一模）如图，直线 l1∥l2 ，正五边形 ABCDE 的边 AB 在直线 l2上，顶点D在直线 l1
上，过点C 作正五边形的对称轴分别交 l1， AE ， l1于点G ， H ，F ，则 DGF 的度数为（ ）
A．18° B．30° C．36° D．42°
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正五边形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，掌握正多边形的内角问题是解
题的关键．
过点 D作 DQ ^ AB 于点Q，先求出正五边形的内角 EDC = DCB =108°，再根据其轴对称性求出 1, 2，
再由三角形的外角性质即可解决．
【详解】解：过点D作DQ ^ AB 于点Q，
5 - 2 180°∵ EDC = DCB = =108°
5
∵ l1∥l2 ，DQ ^ AB ，
∴ DQ ^ l1，
∵正五边形是轴对称图形，
1 1∴ = DCB = 54°， CDQ
1
= EDQ = EDC = 54°，
2 2
∴ 2 = 90° - CDQ = 36°，
∴ DGF = 1- 2 =18°，
故选：A．
本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确
添加辅助线是解题的关键．
【例 2】（2025·上海杨浦·一模）如图，已知正五边形 ABCDE 的边长是 4，联结 AC、BD 交于点 F，那么CF
的长是 ．
【答案】 2 5 - 2 / -2 + 2 5
【知识点】等腰三角形的性质和判定、正多边形的内角问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了正多边形内角和定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等，先求
出∠CBD =∠CDB =∠ACB = 36°，则可求出BF = CF ， DFC = DCF ，则DF = DC = 4，设
BF = CF = x ，则BD = x + 4，证明△FBC∽△CBD ，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
180° 5 - 2
∴ BC = CD = 4， BCD = =108° ，
5
180° -∠BCD
∴∠CBD =∠CDB = = 36°，
2
同理可得 ACB = 36°，
∴∠FBC =∠FCB =∠CDB = 36° ，
∴ DCF = BCD - BCA = 72°，∠DFC =∠FBC +∠FCB = 72°，BF = CF ，
∴ DFC = DCF ，
∴ DF = DC = 4，
设BF = CF = x ，则BD = x + 4，
∵∠FBC =∠FCB =∠CDB = 36° ，
∴△FBC∽△CBD ，
BD CD x + 4 4
∴ = ，即 = ，
BC CF 4 x
解得 x = 2 5 - 2或 x = -2 5 - 2 （舍去），
∴ CF = 2 5 - 2，
故答案为： 2 5 - 2．
【变式 1】（2025·安徽蚌埠·一模）如图，将正五边形沿 BF 折叠，若 1 =18°，则 2 的度数为（ ）
A．96° B．97° C．98° D．99°
【答案】D
【知识点】正多边形的内角问题、折叠问题
【分析】本题考查了正多边形的内角和以及折叠的性质，根据多边形内角和可得∠C =∠D =∠ABC = 108°，
根据折叠的性质得出 CBF = 45°，进而根据四边形内角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
5 - 2 180°∴ C = D = ABC = =108°
5
由折叠的性质得， CBF = C BF
∵ 1 =18°，
1
∴ CBF = C BF = 108° -18° = 45°
2
在四边形 BCDF 中，
2 = 360° - CBF - C - D = 360° - 45° -108° -108° = 99°
故选：D．
【变式 2】（2025·福建漳州·模拟预测）中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图 1 是漳州市威
镇阁，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图2所示，则这个正八边形的一个外角的度数为 °．
【答案】45
【知识点】正多边形的外角问题
【分析】本题考查多边形的外角和．熟练掌握多边形的外角和为360°，是解题的关键．根据多边形的外角
和进行计算即可．
【详解】解：正八边形的一个外角的度数为360° 8 = 45°，
故答案为： 45．
【变式 3】（2025·陕西咸阳·一模）如图是由正方形OFBP和正五边形 ABCDE 叠放在一起形成的图形，点G
是边CD的中点，则 AOP的度数为 ．
【答案】36° / 36度
【知识点】正多边形的内角问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的内角和定理的应用，根据正五边形的内角和可得
1
EAB =108°，结合直线 AG 为正五边形的对称轴，可得 EAG = BAG = 108° = 54°，进一步结合正方形
2
的性质可得答案.
【详解】解：∵正五边形 ABCDE ，点G 是边CD的中点，
5 - 2 180°∴ EAB = =108°，直线 AG 为正五边形的对称轴，
5
∴ EAG = BAG
1
= 108° = 54°，
2
∵正方形OFBP，
∴ APO = OPB = 90°，
∴ AOP = 90° - 54° = 36°；
故答案为：36°
【题型四】四边形中求线段或角
【例 1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，YABCD 中，以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交
1
BA， BC 于点 E，F，分别以点 E 和点 F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧在 ABC 内交于点 O，
2
作射线BO交 AD 于点 G，交CD的延长线于点 H，若 AB = GH = 3， BC = 5 ，BG 的长为（ ）
9 11
A．4 B． C．5 D．
2 2
【答案】B
【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的
判定与性质综合
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质，由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得 AG = AB = 3，DG = AD - AG = 2 ，证明
VABG∽VDHG，由相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：由作图可得：BH 平分 ABC ，
∴ ABH = CBH ，
∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD， AD∥BC ， AD = BC = 5，
∴ AGB = HBC ，
∴ ABH = AGB，
∴ AG = AB = 3，DG = AD - AG = 2 ，
∵ AB∥CD，
∴VABG∽VDHG，
AG BG 3 BG
∴ = ，即 = ，
DG GH 2 3
9
∴ BG = ，
2
故选：B．
四边形中求线段和角，先判类型（平行四边形、梯形等），用对应性质（对边平行、对角线平分等）。线段
常连对角线分三角形，借全等/相似、勾股定理转化，梯形作高或平移腰；角度用内角和 360°，结合平行
线性质、三角形外角定理，遇中点连中位线，复杂图形补形或拆分基本模型推导。
【例 2】（2025·河北石家庄·一模）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O， AC = 6 ，
ABC =120° ．点 A 与 A 关于过点 O 的直线 l 对称，直线 l 与 AD 交于点 P．当点 A 落在 BD的延长线上时，
AP 的值为 ．
【答案】3 3 - 3
【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，连接 AA ，过 P 作PH ^ AO于 H，由菱形
1
的性质推出 AC ^ BD，AO = AC，AC 平分 DAB ， AD∥BC ，得到 ABC + BAD =180°，求出
2
BAD = 60°，求出 PAO = 30°，AO = 3，由轴对称的性质推出直线 l 垂直平分 AA ，得到OA = OA ，由等
腰三角形的性质得到 AOP = 45°，判定VPOH 是等腰直角三角形，得到PH = OH ，设 PH = x ，由
tan PAH PH 3 3 -1= ，求出
AH AH = 3x
，得到 3x + x = 3 ，求出 x = ，由含 30 度角的直角三角形的性质
2
得到 AH = 2PH = 3 3 - 3．
【详解】解：连接 AA ，过 P 作PH ^ AO于 H，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴ AC ^ BD，AO
1
= AC，AC 平分 DAB ， AD∥BC ，
2
∴ ABC + BAD =180°，
∵ ABC =120° ，
∴ BAD = 60°，
∴ PAO = BAD = 30°，
∵ AC = 6 ，
∴ AO = 3，
∵点 A 与 A 关于直线 l 对称，
∴直线 l 垂直平分 AA ，
∴ OA = OA ，
∴直线 l 平分 AOD ，
∴ AOP = 45°，
∴VPOH 是等腰直角三角形，
∴ PH = OH ，
设 PH = x ，
∵ tan PH 3 PAH = tan 30° = = ，
AH 3
∴ PH = 3x，
∴ 3x + x = 3，
3 3 -1∴ x = ，
2
∵ PAH = 30°， AHP = 90°，
∴ AP = 2PH = 2x = 3 3 - 3．
故答案为：3 3 - 3．
【变式 1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在矩形中， AB = 3， AD = 4，对角线与相交于点 O，点 H 为射
线延长线上一点，连接OH 交 AD 于点 E，若 AH =1，则OH 的长度为（ ）
5
A 26 2 7 41． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】本题考查了中位线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，取 AD 的中点 F ，
连接OF ，则可得△FOE∽△AHE，则可求得 AE ，再利用勾股定理，即可解答，作出正确的辅助线是解题
的关键．
【详解】解：如图，取 AD 的中点F ，连接OF ，
，Q四边形 ABCD是矩形，
\DO = BO. DAB = 90°，
Q点F 是DA的中点，
\OF 是VDAB的中位线，
OF 1 3\ = AB = ,OF∥BH ， OFE = 90° ，
2 2
\ FOE = H , OFA = EAH = 90°，
\VFOE∽VAHE ，
FE EO FO 3
\ = = = ，
AE HE AH 2
Q AF 1= AD = 2，
2
AE 4\ = ，
5
根据勾股定理可得HE = AH 2 + AE 2 41= ，
5
OE 41 3 3 41\ = = ，
5 2 10
OH OE 3 41 41 41\ = + EH = + = ，
10 5 2
故选：D．
【变式 2】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形边长为 a，点E 是正方形 ABCD内一点，满足
AEB = 90°．连接CE，则下面给出的四个结论中，所有正确结论的序号为（ ）
① 5 -1AE + CE≥ 2a；② CE≤ a；③ BCE 的度数最大值为60°；④当CE = a 时， tan ABE
1
= ．
2 2
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了圆与正方形综合、解直角三角形、勾股定理等知识点，根据题意得到点 E 的运动
轨迹是解题的关键．
如图：连接 AC 交BD于 H，取 AB 中点 O，连接OC ，先证明点 E 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，
当 A、E、C 三点共线，即点 E 运动到点 H 时 AE + CE = AC ，当C、O、E 三点共线时，CE有最小值，据此
可判断①②；如图：当CE与eO 相切时 BCE 有最大值，证明 Rt△OBC≌Rt△OEC ，得到CE = BC = a，
tan OCE OE 1 1 OCE = OCB ，则 ∠ = = ，再证明∠ABE =∠BCO =∠OCE ，得到 tan∠ABE = tan∠OCE = ，
CE 2 2
即可判断③④．
【详解】解：如图：连接 AC 交BD于 H，取 AB 中点 O，连接OC ，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AHB = 90°；
∵ AEB = 90°，
∴点 E 在以点 O 为圆心， AB 为直径的圆上运动，
∵ AHB = 90°，
∴点 H 在eO 上，
∵ AE + CE AC = 2AB = 2a ，
∴当 A、E、C 三点共线，即点 E 运动到点 H 时， AE + CE = AC ，故①正确；
∵点 E 在以点 O 为圆心， AB 为直径的圆上运动，
∴当C、O、E 三点共线时，CE有最小值，
Rt OBC 5在 △ 中，由勾股定理得OC = OB2 + BC2 = a ，
2
∴ CE 5 1 5 -1的最小值为 a - a = a，故②错误；
2 2 2
如图：当CE与eO 相切时 BCE 有最大值，
∵ OB = OE,OC = OC ，
∴ RtVOBC≌RtVOEC HL ，
∴ CE = BC = a， OCE = OCB ，
OE 1
∴ tan∠OCE = = ，
CE 2
∴∠OCE 30°，
∴∠BCE 60° ，
∴ BCE 的度数最大值不是60°，故③错误；
∵ BC = EC,OB = OE ，
∴ OC 垂直平分 BE ，
∴∠ABE +∠BOC =∠BOC +∠BCO ，
∴∠ABE =∠BCO =∠OCE ，
∴ tan∠ABE = tan∠OCE
1
= ，故④正确．
2
综上，正确的有①④．
故选：B．
【变式 3】（2025·山西忻州·模拟预测）在矩形 ABCD中， AB = 3， AD = 3 3 ，对角线 AC ，BD交于点O，
过点A 作 AE ^ BO，垂足为E ， N 为 AD 中点，连接BN 交 AE 于点 P ，则PE的长为 ．
3 3 3
【答案】 / 3
10 10
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角
形的相关计算
【分析】如图，延长 AE 交BC 于点 H ，先利用三角函数求得 ABD = 60°，得出VABO 为等边三角形，得
出BE = EO、DE = 3BE 4 3，再证出VADE∽VHBE 和VANP∽VHBP ，得出PH = ，进而即可得解．
5
【详解】如图，延长 AE 交BC 于点 H ，
在矩形 ABCD中，
AB = 3、AD = 3 3、 BAD = 90°，
\ tan ABD AD= = 3 ，
AB
\ ABD = 60°，
Q四边形 ABCD是矩形，
AC BD AO 1\ = 、 = AC、BO 1= BD ，
2 2
\ AO = BO，
\VABO 为等边三角形，
Q AE ^ BO ，
\BE = EO、DE = 3BE ，
Q AD P BC ，
\ ADE = EBH ， DAE = BHE ，
\VADE∽VHBE ，
\ AD = 3BH、AE = 3EH ，
\BH = 3、AH = 4HE ，
在RtVABH 中，由勾股定理可得 AH = 2 3 ，
\HE 3= ，
2
Q AD P BC ，
\VANP∽VHBP ，
Q N 为 AD 中点，
AN 3 3\ = ，
2
AN 3
\ = ，
BH 2
\PH 2 4 3= AH = ，
5 5
PE PH HE 4 3 3 3 3\ = - = - = ，
5 2 10
3 3
故答案为： ．
10
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟
练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
【题型五】圆中求线段或角
【例 1】（2025·河北保定·一模）如图，A，B，C 是圆 O 上的三点，已知 OAB = 21°，那么 C 的度数为
（ ）
A．60° B．61° C．68° D．69°
【答案】D
【知识点】等边对等角、圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接OB ，
先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得 O 的度数，再根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接OB ，
∵ OA = OB， OAB = 21°，
∴ OBA = OAB = 21°，
∴ O =180° - OBA - OAB =138°，
1
由圆周角定理得： C = O = 69°，
2
故选：D．
圆中求线段和角，紧扣圆的性质：连半径、作弦心距，构造直角三角形（半径、半弦、弦心距），用垂径定
理、勾股定理求线段；借圆周角定理（同弧/等弧、直径对直角）、圆心角定理、弦切角定理转化角度，圆
内接四边形对角互补。遇切线连切点与圆心，遇交点用相交弦/切割线定理，辅助线多围绕“弧-角-线段”
对应关系推导。
【例 2】（2025·天津·一模）如图，OA交eO 于点B，AC 切eO 于点C，D 点在eO 上，若 D = 26°，则 A
为 ．
【答案】38° /38 度
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出 AOC=52°
是解题的关键．先由圆周角定理得到 AOC=52°，由切线的性质得到 ACO = 90°，即可利用三角形内角和定
理求出 A的度数．
【详解】解：∵ D = 26°，
∴ AOC = 2 D = 52°，
∵ AC 切eO 于点 C，
∴ ACO = 90°，
∴ A = 90° - AOC = 38°，
故答案为：38°．
【变式 1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在eO 中， BC 是切线，切点是 B，直线CO交eO 于点 D，A，
点 E 为eO 上的一点，连接 BE ，DE ．若 C = 24°，则 E的度数为（ ）
A．66° B．33° C．34° D． 24°
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接OB ，首先由切线得
到 OBC = 90°，然后求出 BOD = 90° - C = 66°，最后利用圆周角定理求解即可．
【详解】如图所示，连接OB ，
QBC 是eO 的切线，切点是 B
\ OBC = 90°
Q在Rt△OBC 中， C = 24°
\ BOD = 90° - C = 66°
Q圆周角 E与圆心角 BOD 所对的弧是BD，
1
\ E = BOD = 33°．
2
故选：B．
【变式 2】（2025·江苏南京·二模）如图，Rt△ABC 内接于eO ， ACB = 90°，点 D 在 AB 上， AE ^ CD 于
点 E．若 1 = 30°，BD = 6，则CE的长为 ．
【答案】3
【知识点】含 30 度角的直角三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．连
接 AD ， ADB = 90°， ADB = AEC ，利用同弧所对的圆周角相等， ABD = ACE ，可得三角形相似，
再找到对应线段成比例即可求出．
【详解】解：连接 AD ．
Q ACB = 90°，若 1 = 30°，
\ AC 1= AB ．
2
Q ACB = 90°，
\ AB是圆的直径，
\ ADB = 90°，
Q AE ^ CD ，
\ AEC = 90°，
\ ADB = AEC ，
Q ABD = ACE ，
\VADB∽VAEC，
DB AB
\ = = 2，
EC AC
QBD = 6，
\CE = 3．
故答案为：3．
【变式 3】（2025·吉林长春·一模）如图， AB 是eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 G，点 F 是CD上一点，且满
足CF : DF =1: 3，连接 AF 并延长交eO 于点 E，连接 AD、DE ，给出下列结论：
① ADC = AED；
② AD2 = AE × AF ；
③当 5AE = B E 时， cos AED = ；5
④当 AF = 3,CF = 2时，VDEF 的面积是 4 5 ．
上述结论中，正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
n n
【分析】根据圆周角定理及垂径定理推出 AC = AD，即可判断①；证明VADF∽VAED ，即可判断②；设
CF = x，则DF = 3x，结合 AE = B E ，得到 BAE = 45°，求出 AG = FG = x， AD = 5x，由
AED = ADF ，利用余弦的定义即可判断③；由已知先求出DF = 6，再求出 AG = 5 ，AD = 21，进而
求出 SVADF = 3 5 ，利用三角形相似的性质即可求出 SVAED = 7 5 ，根据 SVDEF = SVAED - SV ADF = 4 5 ，即可判
断④．
【详解】解：∵ AB 是eO 的直径，CD ^ AB ，
∴ n nAC = AD，
∴ ADC = AED，故①正确；
∵ DAE = DAE ，
∴VADF∽VAED ，
AD AF
∴ = ，
AE AD
∴ AD2 = AE × AF ，故②正确；
∵ CF : DF =1: 3，
设CF = x，则DF = 3x，
∴ CD = DF + CF = 4x，
∴ CG = DG = 2x，
∴ FG = CG - CF = x，
∵ AE = B E ，
∴ BAE = 45°，
∵ AGF = AGD = 90° ，
∴ AG = FG = x，
∴ AD = AG2 + DG2 = 5x ，
∵ AED = ADF ，
∴ cos AED cos ADF DG 2x 2 5 = = = = ，故③错误；
AD 5x 5
∵ AF = 3,CF = 2，CF : DF =1: 3，
∴ DF = 6，
∴ CD = DF + CF = 8，
∴ CG = DG = 4，
∴ FG = CG - CF = 2，
∵ AGF = AGD = 90° ，
∴ AG = AF 2 - FG2 = 5 ，
∴ AD = AG2 + DG2 = 21，
1
∴ SVADF = DF·AG = 3 5 ，2
∵VADF∽VAED ，
2
∴ SVADF = AF
S ÷
，
VAED è AD
3 5 3
∴ = ，
SVAED 7
∴ SVAED = 7 5 ，
∴ SVDEF = SVAED - SV ADF = 4 5 ，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合
运用以上知识是解题的关键．
【题型六】圆中求扇形或不规则图形的面积
【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，点C在半圆O的直径 AB 的延长线上，CD与半圆O相切于点D，CD = 3 ，
C = 30°，则B D的长度为（ ）
p p
A． B． C 3． p D 3． p
3 6 3 6
【答案】A
【知识点】切线的性质定理、求弧长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，弧长公式等知识，由切线的性质得到 ODC = 90°，从而
得到 COD = 60°，根据解直角三角形得到OD =1，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：连接OD ，如图：
∵ CD与半圆O相切，
∴ ODC = 90°，
∵ CD = 3 ， C = 30°，
∴ OD = CD × tan 30° = 3 3 =1， COD = 90° - C = 60° ，
3
∴ B
60° p 1 p
D的长度= = ，180° 3
故选：A．
圆中求扇形或不规则图形面积，先明确扇形圆心角与半径，用公式 S = \frac{n\pi r^2}{360} 或 S =
\frac{1}{2}lr （ l 为弧长）。不规则图形常通过割补法：拆分或组合为扇形、三角形、弓形（扇形减三角
形），利用对称性、全等/相似转化，或用整体面积（圆、矩形等）减空白部分，辅以弦长、垂径定理求关
键线段。
【例 2】（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 ACDB分别与空竹eO
相切于点C，D ，且 AC = BD，连接左右两个绳柄 A，B ， AB 经过圆心O，分别交eO 于点M , N ，经测量
OM = AM = 4 ，则图中阴影部分的面积为 ．
8π
【答案】 +16 3
3
【知识点】全等的性质和 SAS 综合（SAS）、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积、根据特殊角三角
函数值求角的度数
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接OC，OD ，可证
VACO≌VBDO SAS ，得到 AOC = BOD， SVACO = SVBDO ，利用三角函数可得 A = 30°，即得
AOC = BOD = 60° ，得到 COD = 60°，最后根据 S阴影 = SVACO + SVBDO + S扇形OCD即可求解，正确作出辅助
线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接OC，OD ，
∵ AC、BD 是eO 的切线，点C、D为切点，
∴ ACO = BDO = 90°，
∵ AC = BD，OC = OD，
∴VACO≌VBDO SAS ，
∴ AOC = BOD， SVACO = SVBDO ，OA = OB，
∵ OM = AM = 4 ，
∴ OA = OB = 8，OC = OM = 4，
∴ AC = OA2 - OC 2 = 82 - 42 = 4 3，
OC 4 1
在RtVACO 中， sin A = = = ，
OA 8 2
∴ A = 30°，
∴ AOC = BOD = 90° - 30° = 60°，
∴ COD = 60°，
2
∴ S S S S 1 60π 4 8π阴影 = VACO + VBDO + 扇形OCD = 4 4 3 2 + =16 3 + ，2 360 3
8π
故答案为：16 3 + ．
3
【变式 1】（2025·云南昭通·一模）如图，正五边形 ABCDE 的边长为10，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画
圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积与重叠部分（阴影部分）围成圆锥的高分别为（ ）
A．30π ， 3 B．30π ， 10 C．30π ， 13 D．30π ， 91
【答案】D
【知识点】求扇形面积、求弧长、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了正多边形，扇形面积的计算，圆锥的侧面展开图，勾股定理，熟练掌握相关公式
是解题关键．
根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，根据扇形面积公式计算即可；阴影部分为圆
锥的侧面展开图，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，先求底面圆的半径，利用勾股定理即可求解圆锥的
高．
【详解】解：Q五边形 ABCDE 是正五边形，
5 - 2 180°
\ BAE = =108°，
5
108p 102
\S BAE = = 30p ．扇形 360
如图，
Q阴影部分围成圆锥，
\圆锥的底面周长即扇形的弧长，
\ 108p 10弧长= = 6p ，
180
\ 6p圆锥的底面半径BD = = 3，
2p
Q圆锥的母线长为BC =10，
\圆锥的高CD = 102 - 32 = 91．
故选：D．
【变式 2】（2025·河南平顶山·一模）如图，在VABC 中， BAC = 45°， AB = AC = 4，以 AB 为直径作eO ，
交边 AC 于点D，交边BC 于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．
π
【答案】 + 2
2
【知识点】等腰三角形的性质和判定、求扇形面积、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算
【分析】连接OE ，根据等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质求出 DOE = 45°，过点 B 作BF ^ OE
于点F ，求得BF = OB ×sin45° = 2 ，再根据 S阴影 = SVOBE + S扇形EOD 即可求解．
【详解】解：如图，连接OE ，
Q AB = AC ，
\ ABC = C ，
QOB = OE 1= AB = 2，
2
\ ABC = OEB，
\ OEB = C ，
\OE∥ AC ，
\ BOE = A = 45°，
Q BOD = 2 A = 90°，
\ DOE = 45°，
过点 B 作BF ^ OE 于点F ，
\BF = OB ×sin45° = 2 ，
1 45π 22S S S 2 2 π\ 阴影 = VOBE + EOD = + = + 2 ，扇形 2 360 2
π
故答案为： + 2 ．
2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
【变式 3】（2025·广东清远·一模）如图，四边形 ABCD是菱形， A = 60°， AB = 4，扇形 BEF 的半径为 4，
圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留p ）
8
【答案】 p - 4 3
3
【知识点】利用菱形的性质求线段长、求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式即割补法是解题的关键．连接BD，将扇
形BDE 补到扇形BCF 的位置，从而得到 S阴影=S扇形BCD -S△BCD 即可得到答案．
【详解】解：连接BD，将扇形BDE 补到扇形BCF 的位置，
Q AB = 4， 四边形 ABCD是菱形，
\ AD = 4 ，
过 D 作DH ^ AB于点 H，
Q A = 60°
\DH 3= 4 = 2 3 ，
2
\ S 1 S 1 1 △BCD = 菱形ABCD = AB DH = 4 2 3 = 4 3 ，2 2 2
1
∵扇形的圆心角为60°，∠CBD = ∠ABC = 60°，
2
\S BDE =S扇形 扇形BCF
\S BCD =S扇形 扇形BEF
2
\ S =S 60 p 4 8阴影 BCD -S扇形 △BCD = - 4 3 = p - 4 3 ．360 3
8
故答案为： p - 4 3 ．
3
【题型七】图形平移中求线段或角
【例 1】（2025·四川南充·一模）如图，将VABC 沿 AB 向右平移得VDEF ，DF 与BC 交于点G ，若
C = 90°, A = 30°, AB = 2AD = 8，则BG 的长度为（ ）
A．4 B． 2 3 C．2 D． 3
【答案】C
【知识点】含 30 度角的直角三角形、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质、含 30 度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题关
键．先求出BD = AD = 4 ，再根据平移的性质可得 EDF = A = 30°， AC∥DF ，根据平行线的性质可得
BGD = C = 90°，然后根据含 30 度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：∵ AB = 2AD = 8， AB = AD + BD，
∴ BD = AD = 4 ，
由平移的性质得： EDF = A = 30°， AC∥DF ，
∴ BGD = C = 90°，
1
∴在Rt△BDG 中，BG = BD = 2 ，
2
故选：C．
图形平移中求线段或角，需紧扣平移性质：对应线段平行且相等，对应角相等，对应点连线平行且等于平
移距离。求线段时，利用对应线段相等或构造平行四边形（对应点连线平行相等）转化；求角时，借助对
应角相等及平行线（平移后对应边平行）导出同位角、内错角关系，复杂图形可连接对应点作辅助线，通
过全等或平行性质简化问题。
【例 2】（2025·山东济宁·一模）在高为 5m，坡面长为 13m 的楼梯表面铺地毯，每米造价 a元，铺完整个楼
梯总造价需要 元．
【答案】17a
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、利用平移解决实际问题
【分析】本题主要考查了勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
利用勾股定理求得所有台阶横面长度，横面长度加上竖面长度即为总长度，总长度乘单价即为总造价．
【详解】解：根据题意得，整个楼梯图形为直角三角形，根据勾股定理得：
所有台阶横面长为： 132 - 52 =12（m）
∴所有楼梯表面的长度为：5 +12 =17（m）
∴总造价为：17a 元．
故答案为：17a ．
【变式 1】（2025·山西忻州·模拟预测）如图，将边长为 8 的正方形 ABCD沿其对角线 AC 剪开，再把VABC
沿着 AD 方向平移，得到VA B C ．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 16 时，移动的距离 AA 等
于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、利用平行四边形的判定与性质求解、根据正方形的性
质求线段长、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了正方形的性质、图形的平移、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，
熟练掌握正方形和平移的性质是解题关键．先证出两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形 A ECF 是平
行四边形，再证出 A E = AA ，设 A E = AA = x 0 < x < 8 ，则 A D = 8 - x ，利用平行四边形的面积公式建立
方程，解方程即可得．
【详解】解：∵四边形 ABCD是边长为 8 的正方形，
∴ AB∥CD, D = 90°, CAD = 45°， AD = 8，
由平移的性质得： A B ∥CD, AC∥ A C ，
∴两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形 A ECF 是平行四边形， AA E = D = 90°，
∴ A EA = 90° - CAD = 45°，
∴ A EA = CAD = 45°，
∴ A E = AA ，
设 A E = AA = x 0 < x < 8 ，则 A D = AD - AA = 8 - x，
∵两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 16，
∴ A E × A D = x 8 - x =16，
解得 x1 = x2 = 4 ，符合题意，
即 AA = 4，
故选：A．
【变式 2】（2025·浙江温州·一模）如图，将Rt△ABC 沿斜边 AB 向右平移得到VDEF ， BC 与 DF 交于点 H，
延长 AC, EF 交于点 G，连结GH ．若 BD = 2，GH = 3，则 AE 的长为 ．
【答案】8
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用平移的性质求解
【分析】题目主要考查矩形的判定和性质，平移的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
连接CF ，根据题意及矩形的判定和性质得出四边形CHFG 为矩形，CF = GH = 3，再由平移的性质确定
AD = BE = CF = 3即可求解．
【详解】解：连接CF ，如图所示：
∵将Rt△ABC 沿斜边 AB 向右平移得到VDEF ，
∴ BC∥EG, AG∥DF ，
∴ ACB = AGE = 90°，
∴四边形CHFG 为矩形，
∴ CF = GH = 3，
∴ AD = BE = CF = 3，
∵ BD = 2，
∴ AE = 8，
故答案为：8．
【变式 3】（2025·河南驻马店·一模）如图，图 1 是一个边长为 2，有一个内角为60°的菱形，我们称之为原
始菱形，将图 1 中的菱形沿水平方向向右平移 3个单位，得到图 2，将图 2 中的原始菱形沿水平方向平移 2 3
个单位，得到图 3，依此类推…
若经过若干次平移后，图 n 的面积为 26 3 ，则 n = ．
【答案】17
【知识点】图形类规律探索、利用菱形的性质求面积、利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综
合
【分析】本题考查了图形的平移，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题关键是学会探
究规律的方法，学会利用参数构建方程解决问题．连接 AC ，BD，证明VABC 为等边三角形，得出
AC = AB = 2，根据勾股定理求出BO = AB2 - AO2 = 22 -12 = 3 ，得出BD = 2 3 ，求出
S 1ABCD = 2 2 3 = 2 3菱形 ，根据平移可知：2 BF = 3
，EH = 3 ，EH ∥BD ，证明VAHE∽VABD，得出
AE HE 3 1 1
= = = 1 3，证明EG∥AC ， EG = AC = 12 ，求出 S = 1 3 = ，得出图 2 长面积为AD BD 2 3 2 四边形EFGD 2 2
2 3 1+ 2 3 - 3

÷ = 2 3
3 3 7 3
+ = 3 3 3 3 3，同理得出图 的面积为 2 3 + + = 5 3 ，图 4 的面积为
è 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3 3 3 3 13 3 3 3 3 3 3+ + + = ，总结得出一般规律：图 n 的面积为 2 3 + n -1 = n + ，最后求
2 2 2 2 2 2 2
出结果即可．
【详解】解：连接 AC ，BD，如图所示：
∵四边形 ABCD为菱形，
1 1
∴ AB = BC = CD = AD = 2， AO = CO = AC ，BO = DO = BD， AC ^ BD ，
2 2
∵ ABC = 60°，
∴VABC 为等边三角形，
∴ AC = AB = 2，
∴ AO =1，
∴ BO = AB2 - AO2 = 22 -12 = 3 ，
∴ BD = 2 3 ，
∴ S
1
菱形ABCD = 2 2 3 = 2 3，2
根据平移可知：BF = 3，EH = 3 ，EH ∥BD ，
∴VAHE∽VABD，
∴ AE HE 3 1= = = ，
AD BD 2 3 2
CG 1
同理可得： = ，
CD 2
∴ E 为 AD 的中点，G 为CD的中点，
∴ EG∥AC ， EG
1
= AC = 1
2 ，
∵ AC ^ BD ，
∴ EG ^ DF ，
∴ S 1 3
四边形EFGD = 1 3 = ，2 2
∴ 2 2 3 2 3 1 3 2 3 3 3 7 3图 的面积为： + - ÷ = + = ，
è 2 2 2
3 3 3 3
同理可得：图 3 的面积为 2 3 + + = 5 3 ，
2 2
4 2 3 3 3 3 3 3 3 13 3图 的面积为 + + + = ，
2 2 2 2
\ n 2 3 3 3 n 1 3 3 3图 的面积为 + - = n + ，
2 2 2
3 3 n 3当 + = 26 3 时，
2 2
解得： n =17 ．
故答案为：17．
【题型八】图形旋转中求线段或角
【例 1】（2025·湖北孝感·二模）如图，将VABC 绕顶点C 旋转得到VDEC ，点A 对应点 D，点 B 对应点 E ，
点 B 刚好落在DE 边上， A = 25° ， BCD = 45°，则 ABC 等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的
关键．先通过旋转得到 D = A = 25° ， ABC = E ，CB = CE ，再通过等边对等角以及三角形外角的性
质得到 E = CBE = BCD + D，代入已知的数据即可求解．
【详解】解：由VABC 绕顶点C 旋转得到VDEC 可知：
D = A = 25° ， ABC = E ，CB = CE ，
\ E = CBE = BCD + D ，
Q BCD = 45°，
\ CBE = 45° + 25° = 70°，
故 ABC = E = 70°．
故选：B．
图形旋转中求线段或角，紧扣旋转性质：对应线段、角相等，旋转角相等，对应点到中心距离相等。求线
段时，利用全等（旋转前后图形全等）或构造等腰/等边三角形（特殊旋转角如 60°、90°）；求角则找旋
转角或对应角，结合三角形内角和、外角定理，常连旋转中心与对应点，借全等或特殊角度（如直角）转
化，注意隐含的等腰或垂直关系。
【例 2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将Rt△ACB 绕斜边 AB 的中点 O 旋转一定角度得到RtVFAE ，已
知 AC = 6 ，BC = 3，则 cos CAE = ．
4
【答案】
5
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算
1
【分析】连接 EC ，作OM ^ EC,CH ^ AB，再说明点 A，E，C，B，F 共圆，进而得出 EAC = EOC ，
2
AFE = ACE ，然后根据等腰三角形的性质得 EAC = COM ，接下来根据勾股定理求出 AB ，即可得
OC ，再根据面积相等求出CH ，结合题意说明四边形OMCH 是矩形求出OM ，最后根据
cos EAC cos OM = COM = 得出答案．
OC
【详解】解：如图所示，连接 EC ，作OM ^ EC,CH ^ AB，分别交于CE,OB 点 M，H，
∵ OA = OB = OC = OE = OF ，
∴点 A，E，C，B，F 共圆，
∴ EAC
1
= EOC ， AFE = ACE ．
2
∵ OE = OC,OM ^ EC ，
∴ MOE = MOC ，
∴ EAC = EOM ．
∵ BC = 3，AC = 6， ACB = 90°，
∴ AB = 32 + 62 = 3 5 ，
∴ OC 1 AB 3 5= = ．
2 2
∵ CH ^ AB，
∴ CH AC × BC 3 6 = 6 5= = ．
AB 3 5 5
由题意， BAC = F ，
∴∠BAC =∠ACE ，
∴ CE∥ AB．
∵ OMC = OHC = 90°，
∴ OMC = CHO = HOM = 90°，
∴四边形OMCH 是矩形，
∴ OM CH 6 5= = ，
5
6 5
cos EAC cos COM OM 4∴ = = = 5 = ．
OC 3 5 5
2
4
故答案为： ．
5
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩
形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键．
【变式 1】（2025·天津南开·一模）如图，VABC 中， B = 30°，将VABC 绕点A 逆时针旋转70°得到
VADE ，点B,C 的对应点分别为点D, E ，连接 BE ，点C 恰在线段 BE 上，下列结论一定正确的是（ ）
A． AC∥DE B． BED = 70° C． AC = BC D．BE ^ AD
【答案】B
【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可
得 AC = AE，∠CAE = 70°，∠AED =∠ACB ，则由等边对等角和三角形内角和定理可得
∠ACE =∠AEC = 55°，则由平角的定义可得∠AED =∠ACB = 125°，据此可判断 A、B，根据现有条件无法
得到 BAC 的度数，故不能得到 DAE 的度数，以及不能得到∠BAC =∠B ，则可判断 C、D．
【详解】解：由旋转的性质可得 AC = AE，∠CAE = 70°，∠AED =∠ACB ，
ACE AEC 180° -∠CAE∴∠ =∠ = = 55° ，
2
∴∠AED =∠ACB = 180° -∠ACE = 125°，
∴∠BED =∠AED -∠AEC = 70° ，故 B 结论正确，符合题意；
∵∠CAE +∠AED = 195° 180°，
∴ AC 与DE 不平行，故 A 结论错误，不符合题意；
根据现有条件无法得到 BAC 的度数，故不能得到 DAE 的度数，以及不能得到∠BAC =∠B ，进而不能
得到 AC = BC ，BE ^ AD，故 C、D 结论错误，不符合题意；
故选：B．
【变式 2】（2025·河南驻马店·一模）如图，菱形 ABCD中， AB = 4, B =120°，将菱形 ABCD绕点A 逆时针
旋转得到菱形 AB C D ，连接CC ，当B C 与CD第一次垂直时， D C C 的度数为 ．
【答案】105° /105度
【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握性质、旋转的性质，等边
对角的运用是关键．
根据菱形，旋转的性质得到 AB = AB , BCD = B C D = 60°， ABC = AB C = ADC ，
AB = B C = AD = CD ，如图所示，连接 B D，设 B C 与CD交于点 E ，可证 EC = EC ， EC C = ECC ，
由此得到 EC C = ECC = 45°，由 D C C = D C B + EC C = 60° + 45° =105°，即可求解．
【详解】解：∵四边形 ABCD是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD， AB P CD ， ABC = ADC =120°，
∵ ABC =120° ，
∴ BCD = 60°，
∵旋转，
∴ AB = AB , BCD = B C D = 60°， ABC = AB C = ADC ，
∴ AB = B C = AD = CD ，
如图所示，连接B D，设B C 与CD交于点E ，
∵ AB = AD ，
∴ AB D = ADB ，
∴ AB C - AB D = ADC - ADB ，即 EB D = EDB ，
∴ EB = ED，
∴ B C - EB = CD - ED ，即EC = EC ，
∴ EC C = ECC ，
∵ B C ^ CD，即 CEC = 90°，
∴ EC C = ECC
1
= 180° - CEC = 45°，
2
∴ D C C = D C B + EC C = 60° + 45° =105°，
故答案为：105° ．
【变式 3】（2025·安徽滁州·一模）如图 1，在VABC 中， C = 90°， AB = 8 3， AB 的垂直平分线分别交
AC ， AB 于点O，D．
（1）当BO平分 ABC 时，OD = ．
（2）如图 2，在（1）的条件下，将VAOB 绕点O按逆时针方向旋转得到△A OB ，旋转角为
a 0° < a 180° ，连接 A D ， B D ，则△A DB 的面积的最大值为 ．
【答案】 4 32 3
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、线段垂直平分线的性质
1
【分析】（1）根据题意及垂直平分线的性质和角平分线确定 AO = BO ，AD= BD= AB= 4 3 ，
2
A = ABO = CBO = 30°，再由正切函数求解即可；
（2）取 A B 中点 D ，连接OD ，DD ，作DN ^ A B 于 N，由旋转的性质知VAOB≌VA OB ，OD 为OD 旋
转a 所得线段，则OD ^ A B ， A B = AB = 8 3 ，OD = OD = 4，根据点到直线的距离，垂线段最短知
DN DD ，三角形三边关系得出DD OD + OD ，故当 D、O、 D 三点共线，且点 O 在线段DD 时，DN
取最大值，此时a =180°，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵ C = 90°，
∴ A + ABC = 90°，
∵ AB 的垂直平分线分别交 AC ， AB 于点O，D． AB = 8 3，
AD BD 1∴ AO = BO ， = = AB= 4 3 ，
2
∴ A = ABO ，
∵ BO平分 ABC ，
∴ CBO = ABO ，
∴ A = ABO = CBO ，
∴ A = ABO = CBO = 30°，
∴ OD = tan 30° AD = 4，
故答案为：4；
（2）解：取 A B 中点 D ，连接OD ，DD ，作DN ^ A B 于 N，
由旋转的性质知VAOB≌VA OB ，OD 为OD 旋转a 所得线段，
∴ OD ^ A B ， A B = AB = 8 3 ，OD = OD = 4，
根据垂线段最短知 DN DD ，
又DD OD + OD ，
∴当 D、O、 D 三点共线，且点 O 在线段DD 时，DN 取最大值，最大值为 4 + 4 = 8，
此时a =180°，
1
∴△A DB 面积的最大值为 8 3 8 = 32 3．
2
故答案为：32 3 ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，解三角形，勾股定理，旋转的性
质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线是解题的关键．
易错点一：等腰三角形多解题漏解
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分
类讨论：①AB=AC(C ,C );②AB=BC(C ,C );③AC=BC(C )
解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段
长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现 30°、45°的角时，可考虑用锐
角三角函数或含 30°、45°角的直角三角形的性质求解.
例 1．（2025·江西新余·一模）在VABC 中， ACB = 90°，AB =10，BC = 6，点 D 在边 AB 上，点 E 在边BC
上，且 AD = BE ，若VBDE 为等腰三角形，则 AD 的长为 ．
50 60
【答案】 或 或 5
11 11
【知识点】三线合一、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键
是数形结合，注意进行分类讨论．分三种情况讨论：当BE = DE 时，当BD = DE时，当BD = BE 时，分别
画出图形，根据等腰三角形的性质和三角形相似的判定和性质，进行求解即可．
【详解】解：∵ ACB = 90°， AB =10，BC = 6，
∴ AC = AB2 - BC2 = 8，
当BE = DE 时，过点 E 作EH ^ AB 于点 H，如图所示：
则BD = 2BH ，
∵ BHE = C = 90°， EBH = ABC ，
∴VBEH∽VBAC ，
BH BE
∴ = ，
BC AB
BH BE
即 = ，
6 10
3
∴ BH = BE ，
5
∵ AD = BE ，
3
∴ BH = AD ，
5
∴ BD = 2BH
6
= AD，
5
∵ AD + BD = AB =10，
6
∴ AD + AD =10，
5
50
解得： AD = ；
11
当BD = DE时，过点 D 作DH ^ BE 于点 H，如图所示：
则 EH = BH
1
= BE ， DHB = 90°，
2
∵ DHB = C ， DBH = ABC ，
∴VDBH∽VABC ，
BH BD
∴ = ，
BC AB
BH BD
即 = ，
6 10
BH 3∴ = BD，
5
6
∴ BE = 2BH = BD ，
5
6
∴ AD = BE = BD ，
5
5
∴ BD = AD ，
6
∵ AD + BD = AB =10，
5
∴ AD + AD =10，
6
60
解得： AD = ；
11
当BD = BE 时，如图所示：
∵ AD = BE ，
∴ AD = BD ，
∵ AD + BD = AB =10，
1
∴ AD = AB = 5；
2
50 60
综上分析可知： AD = 或 或 5．
11 11
50 60
故答案为： 或 或 5．
11 11
变式 1：（2025·青海西宁·一模）如图，在VABC 中， B = 90°， AB =16cm，BC =12cm ，点Q是VABC 边
上的一个动点，点Q从点 B 开始沿B C A方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为 t秒．当点Q
在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ 是以CQ为腰的等腰三角形．
【答案】 22或 24
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，先利用勾股定理可得 AC = AB2 + BC 2 = 20cm，
再分CQ = CB和QC = QB两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵ B = 90°， AB =16cm，BC =12cm ，
∴ AC = AB2 + BC 2 = 162 +122 = 20cm，
当CQ = CB时，如图，
∵ CB = CQ =12cm，
t BC + CQ 12 +12∴ = = = 24 (秒)；
1 1
当QC = QB时，如图，
∵ QC = QB，
∴ C = CBQ ，
∵ ABC = 90°，
∴ C + A = 90° ， CBQ + QBA = 90°，
∴ QBA = A，
∴ BQ = AQ ，
∴ CQ
1
= AQ = AC =10cm ，
2
BC + CQ 12 +10
∴ t = = = 22 (秒)；
1 1
综上，出发 22秒或 24秒，△BCQ 是以CQ为腰的等腰三角形，
故答案为： 22或 24．
BE
变式 2：（2025·山东淄博·一模）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4, BC = 8，点 E 是射线 BC 上一点， = 3，
CE
连接 AE ，将VABE 沿 AE 翻折，得到△AFE ，延长 AF ，交CD的延长线于点 M，则DM = ．
10 32
【答案】 或
3 3
【知识点】矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】①如图当点 E 在线段BC 上时，设EF 交 AD 于 G．②如图当点 E 在线段BC 的延长线上时，设EF
交 AD 于 G．分别求解即可解决问题；
【详解】解：情形①如图当点 E 在线段BC 上时，
Q BC = 8, BE = 3EC ，
\EC = 2, EB = EF = 6 ，
Q四边形 ABCD是矩形，
\ AD = BC = 8, ADC = ADM = 90°， AD∥BC ，
\ DAE = AEB = AEG ，
\ AG = EG ，
设 AG = EG = x，
在Rt△AFG中， AFG = 90°, AF = AB = 4,FG = 6 - x，
\ x2 = 42 + (6 - x)2 ，
13
\ x = ，
3
5
\FG = EF - EG = ，
3
Q tan DAM FG DM = = ，
AF AD
5
3 DM\ = ，
4 8
10
\DM = ；
3
情形②如图当点 E 在线段BC 的延长线上时，
Q BC = 8, BE = 3EC ，
\EC = 4, EB = EF =12，
Q四边形 ABCD是矩形，
\ ADC = ADM = 90°， AD∥BC ，
\ DAE = AEB = AEG ，
\ AG = EG ，设 AG = EG = x，
在Rt△AFG中， AFG = 90°, AF = AB = 4,FG = 12 - x，
\ x2 = 42 + (12 - x)2 ，
x 20\ = ，
3
16
\FG = EF - EG = ，
3
Q tan DAM FG DM = = ，
AF AD
16
3 DM\ = ，
4 8
\DM 32= ，
3
10 32
故答案为： 或 ．
3 3
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，角的正切等知识，解题
的关键是分类讨论．
变式 3：（2025·河南驻马店·一模）如图，在VABC 中，AB = AC ， BAC = 140°，点D在BC 边上，将△ABD
沿 AD 所在直线翻折得到△AFD， FAC 的平分线交BC 边于G ，连接 FG ．若VDFG 是以 FG 为一腰的等腰
三角形，则 BAD 的度数是 ．
【答案】35°或50°
【知识点】全等的性质和 SAS 综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、折叠问题
【分析】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的
运用，掌握知识点的应用是解题的关键．
首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF ，就可以得出 B = AFD， AB = AF ，在证明△AGF ≌△AGC ，
得出 AFG = C ，就可以求出 DFG 的值；再分两种情况讨论解答即可，当DG = FG 时，当DF = FG 时，
从而求出结论．
【详解】解：∵ AB = AC ， BAC = 140°，
∴ B = C = 20°，
∵△ABD 沿 AD 所在直线翻折得到△AFD，
∴△ADB≌△ADF ，
∴ B = AFD = 20°， AB = AF ， BAD = FAD ， ADB = ADF ，
∴ AF = AC ，
∵ AG 平分 FAC ，
∴ FAG = CAG ，
∴VAGF≌VAGC SAS ，
∴ AFG = C ，
∵ DFG = AFD + AFG ，
∴ DFG = B + C = 20° + 20° = 40°，
①当DG = FG 时，
∴ DFG = FDG = 40°，
∴ BDF =140°，
ADB ADF 360° -140°∴ = = =110°，
2
∴ BAD =180° - 20° -110° = 50°；
②当DF = FG 时，
FDG FGD 180° - 40°∴ = = = 70°，
2
∴ BDF =110°，
∴ ADB ADF
360° -110°
= = =125°，
2
∴ BAD =180° - 20° -125° = 35°；
故答案为：35°或50°．
变式 4：（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知 AOB = a 30° < a < 60° ，射线OA上一点 M，以OM 为边
在OA下方作等边VOMN，点 P 为射线OB 上一点（不包括点 O），若△MNP是等腰三角形，则 OMP = ．
【答案】180 - 2a 或150° -a
【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理，由等边三角形的性质可
得 MON = OMN = ONM = 60°，OM = ON = MN ，由等腰三角形的定义结合题意分两种情况：当
MN = MP时；当MN = NP 时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵VOMN为等边三角形，
∴ MON = OMN = ONM = 60°，OM = ON = MN ，
∵ AOB = a 30° < a < 60° ，点 P 为射线OB 上一点（不包括点 O），△MNP是等腰三角形，
∴存在两种情况：如图，当MN = MP时，
则OM = MP ，
∴ MPO = MOP = a ，
∴ OMP =180° - MPO - MOP =180° - 2a ；
如图，当MN = NP 时，
则ON = NP ，
∴ NPO = NOP = MON - MOP = 60° -a ，
∴ MNP =180° - PON - ONM - OPN = 2a ，
NMP NPM 180° - MNP∴ = = = 90° -a ，
2
∴ OMP = NPM + OMN =150° -a ，
综上所述， OMP = 180 - 2a 或150° -a ，
故答案为：180 - 2a 或150° -a ．
易错点二：直角三角形多解题漏解
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分
类讨论：①∠A=90°(C );②∠B=90°(C );③∠C=90°(C ,C );
解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾
股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现 30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数
或含 30°、45°角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位
线的性质求解。
例 1．（2025·河南洛阳·一模）在Rt△ABC 中， C = 90°, BAC = 60°, AC =1，点 D 在边BC 上（不与 B，C
重合），连接 AD ，将VACD沿 AD 折叠，折叠后点 C 的对应点为点 E．当VBDE 是直角三角形时，CD的长
为 ．
3
【答案】 或 1
3
【知识点】含 30 度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到
BC = AB2 - AC 2 = 3，根据已知条件得到当VBDE 是直角三角形时， BDE = 90°或 BED = 90°，①当
BDE = 90°时，则 CDE = 90°，根据折叠的性质得到 ADC = ADE = 45°，于是得到CD = AC =1，②
当 BED = 90°时，根据折叠的性质得到
AED = C = 90°， CAD = EAD ， AC = AE ，推出点 E 在 AB 上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC 中， BAC = 60°， AC =1，
∴ BAC = 60°，
∴ AB = 2AC = 2，
∴ BC = AB2 - AC 2 = 3，
∵点 D 是BC 边上的一点，
∴ DBE 90°，
∴当VBDE 是直角三角形时， BDE = 90°或 BED = 90°，
①当 BDE = 90°时，则 CDE = 90°，
∵将VACD沿 AD 折叠，使点 C 落在点 E 处，
∴ ADC = ADE = 45°，
∴ CD = AC =1，
②当 BED = 90°时，
∵将VACD沿 AD 折叠，使点 C 落在点 E 处，
∴ AED = C = 90°， CAD = EAD ， AC = AE ，
∴ AED + BED =180°，
∴点 E 在 AB 上，如图，
∴ AE = AC =1，BE = AB - AE =1， CAD = BAD ，
∴ CD = DE ，
∵ DE2 + BE2 = BD2 ，
2
∴ CD2 +12 = 3 - CD ，
∴ CD 3= ，
3
3
综上所述，CD的长为 或 1，
3
3
故答案为： 或 1．
3
变式 1：（2025·河南开封·一模）在平行四边形 ABCD中 ，AB = 4， ABC = 60°，点O为对角线 AC 的中点，
连接BO．当VAOB 是直角三角形时， AC 的长为
【答案】 4或 4 3
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、等边三角形的判定和性质、含 30 度角的直角三角形、利用平
行四边形的性质求解
【分析】由平行四边形的性质可得OA = OC ，OB = OD ，分两种情况：当 AOB = 90°，当 BAO = 90°时，
根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质求解即可．
【详解】解： Q四边形 ABCD是平行四边形，点O为对角线 AC 的中点，
\ OA = OC ，OB = OD ，
当 AOB = 90°，即 AC ^ BD 时，平行四边形 ABCD是菱形，
\ AB = BC
Q ABC = 60°，
\ VABC 是等边三角形，
\ AC = AB = 4；
当 BAO = 90°时，
Q ABC = 60°，
\ BCA =180° - BAO - ABC = 30°，
\ BC = 2AB = 8，
\ AC = BC 2 - AB2 = 82 - 42 = 4 3 ；
综上所述， AC 的长为 4或 4 3 ，
故答案为： 4或 4 3 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30°
角的直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
变式 2：（2025·江西·模拟预测）如图，在RtVABC 中， C = 90°, A = 30°, BC = 2,O是斜边 AB 的中点，现
将点 B 绕着点O按逆时针方向旋转a 0° < a 180° 角度得到点D，若点D落在VABC 中位线所在直线上，
则点D到 AB 的距离为 ．
3
【答案】1 或 3或
2
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、解直角三角形的相关计算、含 30 度角的直角三角形、根据旋
转的性质求解
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解直角三角形，取 BC 中点 E ，
AC 中点 F ，过点 D 作 DG ^ AB于点 G，连接OD ，根据题意，分 D点在直线OE 上， D点在直线OF 上，
D点在直线EF 上，三种种情况讨论，画出示意图，利用含 30 度角的直角三角形的性质结合中位线的性质
求解即可．
【详解】解：如图，取BC 中点E ， AC 中点F ，过点 D 作DG ^ AB于点 G，连接OD ，
∵点O是斜边 AB 的中点，
∴ OE,OF , EF 都是VABC 的中位线，
OE P AC,OF P BC, EF P AB,OE 1 AC,OF 1 1∴ = = BC, EF = AB ，
2 2 2
∵在RtVABC 中， C = 90°, A = 30°, BC = 2,O是斜边 AB 的中点，
∴ AB = 2BC = 4，
∴ AC = AB2 - BC 2 = 2 3 ，
∴ OE = 3,OF =1, EF = 2，
当D点在直线OE 上时，
则 BOD = A = 30°，
由旋转的性质得：OD = OB = 2，
∴ DG = OD·sin BOD
1
= 2 =1；
2
当和D点在直线OF 上时，
∵ ABC = 90° - A = 60°，BC P OD ，
∴ BOD =180° - ABC =120°，
∴ AOD = 60°，
∴ DG OD·sin AOD 2 3= = = 3；
2
当D点在直线EF 上时，过点 F 作FH ^ AB 于点 H，
则DG = FH （平行线间距离相等），
1 AO·FH 1∵ = AF·OF ，
2 2
∴ FH AF·OF 3 1 3= = = ；
OA 2 2
3
综上，点D落在VABC 中位线所在直线上，则点D到 AB 的距离为 1 或 3或 ，
2
3
故答案为：1 或 3或 ．
2
变式 3：（2025·河南郑州·二模）如图，在菱形 ABCD中， B=60°，将边 AB 绕点 A 顺时针旋转a
( 0° < a < 360° )得到 AE ，连接EC，ED，当VECD 为直角三角形时，a 的度数为
【答案】60°或120°
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、直角三角形的两个锐角互余、利用菱形的性
质求角度
【分析】根据题意分三种情况讨论，根据等边三角形性质和菱形性质可求出本题答案．
【详解】解：∵VECD 为直角三角形，
∴①当 EDC = 90°时，点E 在以A 为圆心， AB 长为半径的圆上，
∴ CE为eA的直径，
∵菱形 ABCD， B=60°，
∴VABC 和VACD是等边三角形，
∴ BAC = 60°，
∴ BAE =120°，
∴旋转角a 的度数为：120°；
②当 ECD = 90°时，则DE 为eA的直径，
∵ CDA = 60°，
∴ CED = 30°，
∵ AB∥CD，CD ^ EC ，
∴ AB ^ EC ，
∴ BAE = 90° - 30° = 60°，
∴旋转角a 的度数为：60°；
③当 CED = 90°时，以CD为直径的圆与eA除C, D 外无交点，
∴此种情况不存在，
综上所述：a 的度数为60°或120°．
【点睛】本题考查菱形性质，等边三角形性质及判定，圆周角定理，直角三角形的性质，旋转性质等，熟
练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
变式 4：（2025·广东广州·一模）如图，在矩形 ABCD中，AB =10，AD =12 ，点 N 是 AB 边上的中点，点M
是BC 边上的一动点连接MN ，将VBMN 沿MN 折叠，若点 B 的对应点B ，连接B C ，则B C 的最小值
为 ．当VB MC 为直角三角形时， BM 的长为 ．
10
【答案】 8 或 5
3
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接
CN ，则 B C NC - NB ，当B 在 NC 上时，B C 取最小值，即可求解；分情况讨论：当 B CM = 90°时，当
CMB = 90°时，当 CB M = 90°时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案；
【详解】解：连接CN ，
在矩形 ABCD中， AB =10， AD =12 ，
∴ BC = AD =12， B = 90°，
∵点 N 是 AB 边上的中点，
BN 1∴ = AB = 5，
2
∴ CN =13，
∵翻折，
∴ B N = BN = 5，
∴ CN = 52 +122 =13
∵ B C NC - NB ，
∴当B 在 NC 上时，B C 取最小值，最小值为13 - 5 = 8；
∵△B MC 为直角三角形，
当 B CM = 90°时，
∵点 N 是 AB 边上的中点， AB =10，
AN BN B N 1∴ = = = AB = 52 ，
∵ NB < AD ，
∴点 B 的对应点B 不能落在CD所在直线上，
∴ B CM < 90°，不存在此类情况；
当 CMB = 90°时，如图所示，
由折叠性质可得，
BMN B MN 1 = = BMB = 45°，
2
BM 1∴ = BN = AB = 5；
2
当 CB M = 90°时，如图所示
∵ NB M = CB M = 90°，
∴ B 、N、C 三点共线，
设 BM = B M = x，则CM =12 - x ，
1
∴ (12 - x)
1
5 = 13x，
2 2
x 10解得： = ，
3
10
综上所述 BM 的长为 或 5．
3
10
故答案为：8； 或 5．
3
变式 5：（2025·广东深圳·一模）如图，在菱形 ABCD中，AB = AC = 6 ，对角线 AC，BD 交于点O，E 是BD
上的一个动点，将线段 AE 绕点A 逆时针旋转到 AF ，且 EAF = BAD ，连接EF，DF ，若VDEF 是直角
三角形，则 BE 的长为 ．
【答案】 2 3 或 4 3
【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、全等的性质和 SAS 综合（SAS）、含 30 度角的
直角三角形
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，含30°
角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据菱形的性质得到 AB = BC = 6，得出VABC 是等边三角形，得到 ABC = 60°， BAD =120°，求出
BD = 2BO = 6 3 ， ABE = ADB = 30°，根据旋转的性质得到 AE = AF ，可证明VABE≌VADF SAS ，得
到BE = DF ， ADF = ABE = 30°，得到 EDF = 60°是定值，若VDEF 是直角三角形，分两种情况：当
1 1
EFD = 90°时，DE = 2DF = 2BE ，BE = 2 3 ；当 DEF = 90°时，DE = DF = BE ， ；即可2 2 BE = 4 3
得到答案．
【详解】解：Q在菱形 ABCD中， AB = AC = 6 ，
1
\BC = AB = 6 ， AC ^ BD ， AO = CO = AC = 3， AD∥BC
2
\ AB = BC = AC ，
\VABC 是等边三角形，
\ ABC = 60° ，
\ BAD =180° - ABC =120°， ABD = 30°
Q AB2 = AO2 + BO2，
\36 = 9 + BO2 ，
\BO = 3 3 ，
\BD = 2BO = 6 3 ，
Q AB = AD，
\ ADB = ABE = 30°，
Q将线段 AE 绕点A 逆时针旋转到 AF ，
\ AE = AF ，
Q EAF = BAD，
\ BAE = DAF ，
\VABE≌VADF SAS ，
\BE = DF , ADF = ABE = 30° ，
\ EDF = 60°，
\ EDF 是定值，
若VDEF 是直角三角形，分两种情况：
当 EFD = 90°时，
DE = 2DF = 2BE ，
则BD = 3BE = 6 3 ，
\ BE = 2 3 ；
当 DEF = 90°时，
DE 1= DF 1= BE ，
2 2
BD 3则 = BE = 6 3 ，
2
\BE = 4 3 ；
故答案为： 2 3 或 4 3 ．抢分秘籍 04 几何图形选填压轴题
（含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题）
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】平行线中求角的度数 【题型二】三角形中求线段或角
【题型三】多边形中求线段或角 【题型四】四边形中求线段或角
【题型五】圆中求线段或角 【题型六】圆中求扇形或不规则图形的面积
【题型七】图形平移中求线段或角 【题型八】图形旋转中求线段或角
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：等腰三角形多解题漏解 易错点二：直角三角形多解题漏解
：几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热
点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等
原因导致失分。
1．从考点频率看，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为载体的几何求解
问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握。
2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值 3 分左右，着实不少！
：几何图形选填压轴题备考需聚焦高频考点，如动态最值、多结论推理、几何变换综合。
首先夯实基础，熟背全等/相似判定、解直角三角形、圆的性质等核心定理，归纳手拉手、将军饮马等经典
模型。训练时注重特殊值法、极限位置法快速排除选项，结合尺规作图辅助分析，错题按“条件-突破口-
易错点”分类整理。考前限时刷题保持题感，重点突破图形折叠、动点轨迹等复杂情境，提升数形结合与
逆向推导能力。
【题型一】平行线中求角的度数
【例 1】（2025·全国·二模）如图是一款手机支架，若张角 BCD = 70°，支撑杆CB 与桌面夹角 B = 65°，那
么此时面板CD与水平方向夹角 1的度数为（ ）．
A． 45° B．55° C．65° D．70°
平行线中求角的度数，先辨角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角），直接用定理转化。遇拐点（“M”
“Z”型等）过点作平行线，分解图形为基本模型。结合对顶角、邻补角及三角形外角性质，标注已知角逐
步推导，复杂图形可拆分或延长线段显化关系，注意隐含平行条件（如矩形对边、三角板直角边）。
【例 2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知 AB∥CD，EF 交CD于点E ， A = 30°， DEF = 50°，那
么 F = 度．
【变式 1】（2025·山西忻州·模拟预测）图 1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图 2 是其几何示意图，
其中 AB ，CD都与地面 l平行， BCD = 60°， BAC = 55°，若 AM ∥BC ，则 MAC 等于（ ）
A．90° B．65° C．60° D．75°
【变式 2】（2025·山西·一模）如图，一条光线 AB 经平面镜的反射光线BC 经凹透镜折射后，其折射光线CD
的反向延长线过凹透镜的一个焦点F1．已知光线 AB 的入射角为 45°，反射光线BC 与折射光线CD的夹角
BCD = 155°，则光线CD与光线 AB 所夹的锐角为（ ）
A．65° B．60° C．35° D．25°
【变式 3】（2025·山东青岛·模拟预测）2023 年 5 月底，由中国商飞公司制造的C919圆满完成商业首飞，对
中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是C919机翼设计图，已知 BC ^ AB， BCD =153°，
DE 与水平线的夹角为17°，则 CDE等于 ．
【题型二】三角形中求线段或角
【例 1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在VABC 中，点 D，E 分别是边BC ， AB 的中点，连接 AD ，
DE ．若VABC 的面积是 8，则VBDE 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
三角形中求线段和角，先判三角形类型（等腰、直角等），用对应性质（等边对等角、勾股定理）。线段常
借全等/相似转化，遇中点连中线、倍长法，截长补短处理和差；角度用内角和、外角定理，结合角平分线、
三角函数（正弦/余弦定理），复杂时作高或辅助线构造基本图形推导。
【例 2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在VABC中， AB = AC ， AD 是 BAC 的平分线．若 AB =10，
AD = 6，则BC 的长为 ．
【变式 1】（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在VABC 中， ACB = 90°，设 AC = x，BC = y，且 x + y 是
定值，点D是 AC 上一点，点E 为 AB 中点，连接CE，将线段CE沿绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF
交 AC 于点G ，若点A 关于直线DE 的对称点恰为点F ，则下列线段长为定值的是（ ）
A． AD B．CD C．CG D．DE
【变式 2】（2025·辽宁·一模）如图，在VABC 中， AC = BC ，以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，分别交
1
AC 、BC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧交于点 G，作射线CG 交
2
AB 于点 D，过点 D 作DH ∥BC 交 AC 于点 H．若CH = a，则BC = （用含 a 的代数式表示）．
【变式 3】（2025·陕西西安·一模）如图，在四边形 ABCD中，连接BD， ADB = CBD = 90°，
BDC = 2 ABD．已知E 是BC 边上的一点，连接 DE，过点 E 作EF ^ CD于点 F，且BE = EF ．若
BD = 3，CD = 5，则 AB 的长为 ．
【题型三】多边形中求线段或角
【例 1】（2025·河南驻马店·一模）如图，直线 l1∥l2 ，正五边形 ABCDE 的边 AB 在直线 l2上，顶点D在直线 l1
上，过点C 作正五边形的对称轴分别交 l1， AE ， l1于点G ， H ，F ，则 DGF 的度数为（ ）
A．18° B．30° C．36° D．42°
本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确
添加辅助线是解题的关键．
【例 2】（2025·上海杨浦·一模）如图，已知正五边形 ABCDE 的边长是 4，联结 AC、BD 交于点 F，那么CF
的长是 ．
【变式 1】（2025·安徽蚌埠·一模）如图，将正五边形沿 BF 折叠，若 1 =18°，则 2 的度数为（ ）
A．96° B．97° C．98° D．99°
【变式 2】（2025·福建漳州·模拟预测）中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图 1 是漳州市威
镇阁，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图2所示，则这个正八边形的一个外角的度数为 °．
【变式 3】（2025·陕西咸阳·一模）如图是由正方形OFBP和正五边形 ABCDE 叠放在一起形成的图形，点G
是边CD的中点，则 AOP的度数为 ．
【题型四】四边形中求线段或角
【例 1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，YABCD 中，以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交
1
BA， BC 于点 E，F，分别以点 E 和点 F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧在 ABC 内交于点 O，
2
作射线BO交 AD 于点 G，交CD的延长线于点 H，若 AB = GH = 3， BC = 5 ，BG 的长为（ ）
9 11
A．4 B． C．5 D．
2 2
四边形中求线段和角，先判类型（平行四边形、梯形等），用对应性质（对边平行、对角线平分等）。线段
常连对角线分三角形，借全等/相似、勾股定理转化，梯形作高或平移腰；角度用内角和 360°，结合平行
线性质、三角形外角定理，遇中点连中位线，复杂图形补形或拆分基本模型推导。
【例 2】（2025·河北石家庄·一模）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O， AC = 6 ，
ABC =120° ．点 A 与 A 关于过点 O 的直线 l 对称，直线 l 与 AD 交于点 P．当点 A 落在 BD的延长线上时，
AP 的值为 ．
【变式 1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在矩形中， AB = 3， AD = 4，对角线与相交于点 O，点 H 为射
线延长线上一点，连接OH 交 AD 于点 E，若 AH =1，则OH 的长度为（ ）
5
A B 26 2 7 41． ． C． D．
2 2 2 2
【变式 2】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形边长为 a，点E 是正方形 ABCD内一点，满足
AEB = 90°．连接CE，则下面给出的四个结论中，所有正确结论的序号为（ ）
5 -1 1① AE + CE≥ 2a；② CE≤ a；③ BCE 的度数最大值为60°；④当CE = a 时， tan ABE = ．
2 2
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【变式 3】（2025·山西忻州·模拟预测）在矩形 ABCD中， AB = 3， AD = 3 3 ，对角线 AC ，BD交于点O，
过点A 作 AE ^ BO，垂足为E ， N 为 AD 中点，连接BN 交 AE 于点 P ，则PE的长为 ．
【题型五】圆中求线段或角
【例 1】（2025·河北保定·一模）如图，A，B，C 是圆 O 上的三点，已知 OAB = 21°，那么 C 的度数为
（ ）
A．60° B．61° C．68° D．69°
圆中求线段和角，紧扣圆的性质：连半径、作弦心距，构造直角三角形（半径、半弦、弦心距），用垂径定
理、勾股定理求线段；借圆周角定理（同弧/等弧、直径对直角）、圆心角定理、弦切角定理转化角度，圆
内接四边形对角互补。遇切线连切点与圆心，遇交点用相交弦/切割线定理，辅助线多围绕“弧-角-线段”
对应关系推导。
【例 2】（2025·天津·一模）如图，OA交eO 于点B，AC 切eO 于点C，D 点在eO 上，若 D = 26°，则 A
为 ．
【变式 1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在eO 中， BC 是切线，切点是 B，直线CO交eO 于点 D，A，
点 E 为eO 上的一点，连接 BE ，DE ．若 C = 24°，则 E的度数为（ ）
A．66° B．33° C．34° D． 24°
【变式 2】（2025·江苏南京·二模）如图，Rt△ABC 内接于eO ， ACB = 90°，点 D 在 AB 上， AE ^ CD 于
点 E．若 1 = 30°，BD = 6，则CE的长为 ．
【变式 3】（2025·吉林长春·一模）如图， AB 是eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 G，点 F 是CD上一点，且满
足CF : DF =1: 3，连接 AF 并延长交eO 于点 E，连接 AD、DE ，给出下列结论：
① ADC = AED；
② AD2 = AE × AF ；
③当 AE = B E 时， cos AED
5
= ；
5
④当 AF = 3,CF = 2时，VDEF 的面积是 4 5 ．
上述结论中，正确结论的序号是 ．
【题型六】圆中求扇形或不规则图形的面积
【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，点C在半圆O的直径 AB 的延长线上，CD与半圆O相切于点D，CD = 3 ，
C = 30°，则B D的长度为（ ）
p p
A 3 3． B． C． p D． p
3 6 3 6
圆中求扇形或不规则图形面积，先明确扇形圆心角与半径，用公式 S = \frac{n\pi r^2}{360} 或 S =
\frac{1}{2}lr （ l 为弧长）。不规则图形常通过割补法：拆分或组合为扇形、三角形、弓形（扇形减三角
形），利用对称性、全等/相似转化，或用整体面积（圆、矩形等）减空白部分，辅以弦长、垂径定理求关
键线段。
【例 2】（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 ACDB分别与空竹eO
相切于点C，D ，且 AC = BD，连接左右两个绳柄 A，B ， AB 经过圆心O，分别交eO 于点M , N ，经测量
OM = AM = 4 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式 1】（2025·云南昭通·一模）如图，正五边形 ABCDE 的边长为10，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画
圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积与重叠部分（阴影部分）围成圆锥的高分别为（ ）
A．30π ， 3 B．30π ， 10 C．30π ， 13 D．30π ， 91
【变式 2】（2025·河南平顶山·一模）如图，在VABC 中， BAC = 45°， AB = AC = 4，以 AB 为直径作eO ，
交边 AC 于点D，交边BC 于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式 3】（2025·广东清远·一模）如图，四边形 ABCD是菱形， A = 60°， AB = 4，扇形 BEF 的半径为 4，
圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留p ）
【题型七】图形平移中求线段或角
【例 1】（2025·四川南充·一模）如图，将VABC 沿 AB 向右平移得VDEF ，DF 与BC 交于点G ，若
C = 90°, A = 30°, AB = 2AD = 8，则BG 的长度为（ ）
A．4 B． 2 3 C．2 D． 3
图形平移中求线段或角，需紧扣平移性质：对应线段平行且相等，对应角相等，对应点连线平行且等于平
移距离。求线段时，利用对应线段相等或构造平行四边形（对应点连线平行相等）转化；求角时，借助对
应角相等及平行线（平移后对应边平行）导出同位角、内错角关系，复杂图形可连接对应点作辅助线，通
过全等或平行性质简化问题。
【例 2】（2025·山东济宁·一模）在高为 5m，坡面长为 13m 的楼梯表面铺地毯，每米造价 a元，铺完整个楼
梯总造价需要 元．
【变式 1】（2025·山西忻州·模拟预测）如图，将边长为 8 的正方形 ABCD沿其对角线 AC 剪开，再把VABC
沿着 AD 方向平移，得到VA B C ．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 16 时，移动的距离 AA 等
于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【变式 2】（2025·浙江温州·一模）如图，将Rt△ABC 沿斜边 AB 向右平移得到VDEF ， BC 与 DF 交于点 H，
延长 AC, EF 交于点 G，连结GH ．若 BD = 2，GH = 3，则 AE 的长为 ．
【变式 3】（2025·河南驻马店·一模）如图，图 1 是一个边长为 2，有一个内角为60°的菱形，我们称之为原
始菱形，将图 1 中的菱形沿水平方向向右平移 3个单位，得到图 2，将图 2 中的原始菱形沿水平方向平移 2 3
个单位，得到图 3，依此类推…
若经过若干次平移后，图 n 的面积为 26 3 ，则 n = ．
【题型八】图形旋转中求线段或角
【例 1】（2025·湖北孝感·二模）如图，将VABC 绕顶点C 旋转得到VDEC ，点A 对应点 D，点 B 对应点 E ，
点 B 刚好落在DE 边上， A = 25° ， BCD = 45°，则 ABC 等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
图形旋转中求线段或角，紧扣旋转性质：对应线段、角相等，旋转角相等，对应点到中心距离相等。求线
段时，利用全等（旋转前后图形全等）或构造等腰/等边三角形（特殊旋转角如 60°、90°）；求角则找旋
转角或对应角，结合三角形内角和、外角定理，常连旋转中心与对应点，借全等或特殊角度（如直角）转
化，注意隐含的等腰或垂直关系。
【例 2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将Rt△ACB 绕斜边 AB 的中点 O 旋转一定角度得到RtVFAE ，已
知 AC = 6 ，BC = 3，则 cos CAE = ．
【变式 1】（2025·天津南开·一模）如图，VABC 中， B = 30°，将VABC 绕点A 逆时针旋转70°得到
VADE ，点B,C 的对应点分别为点D, E ，连接 BE ，点C 恰在线段 BE 上，下列结论一定正确的是（ ）
A． AC∥DE B． BED = 70° C． AC = BC D．BE ^ AD
【变式 2】（2025·河南驻马店·一模）如图，菱形 ABCD中， AB = 4, B =120°，将菱形 ABCD绕点A 逆时针
旋转得到菱形 AB C D ，连接CC ，当B C 与CD第一次垂直时， D C C 的度数为 ．
【变式 3】（2025·安徽滁州·一模）如图 1，在VABC 中， C = 90°， AB = 8 3， AB 的垂直平分线分别交
AC ， AB 于点O，D．
（1）当BO平分 ABC 时，OD = ．
（2）如图 2，在（1）的条件下，将VAOB 绕点O按逆时针方向旋转得到△A OB ，旋转角为
a 0° < a 180° ，连接 A D ， B D ，则△A DB 的面积的最大值为 ．
易错点一：等腰三角形多解题漏解
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分
类讨论：①AB=AC(C ,C );②AB=BC(C ,C );③AC=BC(C )
解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段
长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现 30°、45°的角时，可考虑用锐
角三角函数或含 30°、45°角的直角三角形的性质求解.
例 1．（2025·江西新余·一模）在VABC 中， ACB = 90°，AB =10，BC = 6，点 D 在边 AB 上，点 E 在边BC
上，且 AD = BE ，若VBDE 为等腰三角形，则 AD 的长为 ．
变式 1：（2025·青海西宁·一模）如图，在VABC 中， B = 90°， AB =16cm，BC =12cm ，点Q是VABC 边
上的一个动点，点Q从点 B 开始沿B C A方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为 t秒．当点Q
在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ 是以CQ为腰的等腰三角形．
BE
变式 2：（2025·山东淄博·一模）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4, BC = 8，点 E 是射线 BC 上一点， = 3，
CE
连接 AE ，将VABE 沿 AE 翻折，得到△AFE ，延长 AF ，交CD的延长线于点 M，则DM = ．
变式 3：（2025·河南驻马店·一模）如图，在VABC 中，AB = AC ， BAC = 140°，点D在BC 边上，将△ABD
沿 AD 所在直线翻折得到△AFD， FAC 的平分线交BC 边于G ，连接 FG ．若VDFG 是以 FG 为一腰的等腰
三角形，则 BAD 的度数是 ．
变式 4：（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知 AOB = a 30° < a < 60° ，射线OA上一点 M，以OM 为边
在OA下方作等边VOMN，点 P 为射线OB 上一点（不包括点 O），若△MNP是等腰三角形，则 OMP = ．
易错点二：直角三角形多解题漏解
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分
类讨论：①∠A=90°(C );②∠B=90°(C );③∠C=90°(C ,C );
解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾
股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现 30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数
或含 30°、45°角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位
线的性质求解。
例 1．（2025·河南洛阳·一模）在Rt△ABC 中， C = 90°, BAC = 60°, AC =1，点 D 在边BC 上（不与 B，C
重合），连接 AD ，将VACD沿 AD 折叠，折叠后点 C 的对应点为点 E．当VBDE 是直角三角形时，CD的长
为 ．
变式 1：（2025·河南开封·一模）在平行四边形 ABCD中 ，AB = 4， ABC = 60°，点O为对角线 AC 的中点，
连接BO．当VAOB 是直角三角形时， AC 的长为
变式 2：（2025·江西·模拟预测）如图，在RtVABC 中， C = 90°, A = 30°, BC = 2,O是斜边 AB 的中点，现
将点 B 绕着点O按逆时针方向旋转a 0° < a 180° 角度得到点D，若点D落在VABC 中位线所在直线上，
则点D到 AB 的距离为 ．
变式 3：（2025·河南郑州·二模）如图，在菱形 ABCD中， B=60°，将边 AB 绕点 A 顺时针旋转a
( 0° < a < 360° )得到 AE ，连接EC，ED，当VECD 为直角三角形时，a 的度数为
变式 4：（2025·广东广州·一模）如图，在矩形 ABCD中，AB =10，AD =12 ，点 N 是 AB 边上的中点，点M
是BC 边上的一动点连接MN ，将VBMN 沿MN 折叠，若点 B 的对应点B ，连接B C ，则B C 的最小值
为 ．当VB MC 为直角三角形时， BM 的长为 ．
变式 5：（2025·广东深圳·一模）如图，在菱形 ABCD中，AB = AC = 6 ，对角线 AC，BD 交于点O，E 是BD
上的一个动点，将线段 AE 绕点A 逆时针旋转到 AF ，且 EAF = BAD ，连接EF，DF ，若VDEF 是直角
三角形，则 BE 的长为 ．

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