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抢分秘籍 02 方程与不等式
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】一元一次方程及应用
【题型二】二元一次方程及应用
【题型三】一元二次方程的解法
【题型四】一元二次方程的应用
【题型五】分式方程的解法
【题型六】分式方程的应用
【题型七】不等式的解法
【题型八】不等式的应用
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题
易错点二：一元二次方程中含参数易错问题
易错点三：分式方程中含参数易错问题
易错点四：不等式中含参数易错问题
：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生
因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看
1.高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、
二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次
不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合
命题。
2. 易错考点：
分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是
否取等号）。
2．从题型角度看：
1. 基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约 10%-15%。
2. 应用题：解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约
20%-25%，需结合题意列关系式。
3. 综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分
布分析，难度较高，区分度强。
1.基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），
不等式组解集“数轴法”确定。
2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻
辑（如二次项系数是否为 0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答”六步法，
尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。
3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数≠0）、不等式方向改变等
高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达 100%，综合题分步得分。
【题型一】一元一次方程及应用
【例 1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家
产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，
问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元，
问有几个人合伙购买，该物品的价格是多少．设合伙赎买的有 x 人，根据题意，可列方程为（ ）．
A．8x + 3 = 7x - 4 B．8x - 3 = 7x + 4 C．8x + 3 = 7x + 4 D．8x - 3 = 7x - 4
本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．由此列式即可求解．
【例 2】（2025·陕西咸阳·一模）为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计
划做一批“感谢贺卡”．若每人做 8 张，则比计划多了 3 张；若每人做 5 张，则比计划少了 27 张．该活动小
组共有多少人？
【变式 1】（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一
位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到 43
个野果，则第 2 根绳子上的打结个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 2】（2025·陕西西安·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各
列及各条对角线上的三个数字之和均相等．求图中 x 的值．
14 6
x
8
【变式 3】（2025·陕西西安·一模）某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组 26 人，第二组
22 人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，
使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答）
【变式 4】（2025·安徽合肥·一模）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养．某中学拟组织
九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的
信息：
客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，60 座客车每辆每天的租金
信息 1
比 45 座客车每辆每天的租金多 200 元．
上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了 5 辆 60 座和 3
信息 2
辆 45 座的客车，一天的租金共计 6200 元．
信息 3 九年级师生租用 4 辆 60 座的客车和 4 辆 45 座的客车正好坐满．
请根据以上表中的信息，解答下列问题；
(1)客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？
【题型二】二元一次方程及应用
【例 1】（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余
绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺；
将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺．问木长多少尺？如果设木长 x 尺，绳长 y 尺，则可以列方程组是
（ ）
ìy - x = 4.5 ìx - y = 4.5 ìx - y = 4.5 ìy - x = 4.5

A． í1 B． í1 C． í 1 D．
y - x 1 y x 1 x y 1
í 1
= - = - = x - y =1 2 2 2 2
本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可．
ì6x + 2y = 5
【例 2】（2025·湖南·一模）解方程组： í
2x
．
- 6y = -5
【变式 1】（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人
共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空 2辆车；若 2个
人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为 x 人，车数为 y 辆，可列方程为（ ）
ì3 y - 2 = x ì3 y + 2 = x ì3 y - 2 = x ì3 x - 2 = y
A． í B．2y 9 x í
C． í D． í
- = 2y - 9 = x 2y + 9 = x 2y + 9 = x
ì x + y = 3 ìx =1
【变式 2】（2025·浙江衢州·一模）已知关于 x，y 的二元一次方程组 í
x + ay = b
的解是 íy a，则 b 的值 =
是 ．
【变式 3】（2025·北京延庆·模拟预测）某图书馆计划用 800 元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学
每套 50 元，科普读物每套 35 元．若购买经典文学的数量比科普读物的数量多 10 套，判断能否恰好用完预
算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由．
【变式 4】（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用 218 元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿 40kg
到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
品名 豆角 西红柿
批发价/元 5.0 5.6
零售价/元 8.2 9.2
请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况．
【题型三】一元二次方程的解法
【例 1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程： 2x2 - 6x + 3 = 0 ．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次
方程即可．
【例 2】（2025·安徽·模拟预测）解方程：3x2 + 3x -1 = 0．
【变式 1】（2025·江西南昌·一模）（1）计算： sin 30° - cos2 45° + tan 60° ×sin 60°．
（2）解方程： x2 + 3x - 28 = 0．
【变式 2】（2025·江苏无锡·一模）解方程或不等式组：
(1) x2 - 2x - 4 = 0；
ì 3x - 3 > x +1
(2) í
2 2x -1 5x -1
．
【变式 3】（2025·甘肃武威·一模）（1）解方程： x2 + 8x -1 = 0．
1 -2
（2）计算：-14 + 27 - 4sin60° - 2 3 - 4 + - ÷
è 2
3 a + 2
（3）化简求值： a -1- ，其中
è a +1÷ a +1
a = 2 - 2

【题型四】一元二次方程的应用
【例 1】（2025·陕西汉中·二模）随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，
从 2022 年的 30 万人增加到 2024 年的 43.2万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率．
本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例 2】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共
赠送了 90 份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有 x 人，则可列方程
为 ．
【变式 1】（2025·贵州·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，
中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作
算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好
72 平方步，从水池边到圆周，每边相距 3 步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平
就是第一了．如图，设正方形的边长是 x 步，则列出的方程是 ．
【变式 2】（2025·辽宁抚顺·二模）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，
商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．
(1)若某天该商品每件降价 3 元，当天可盈利多少元？
(2)设每件商品降价 x 元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000 元？
【变式 3】（2025·四川广安·模拟预测）某果园原计划种 100 棵桃树，一颗桃树平均结 1000 个桃子，现准备
多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种 1 棵桃树，每颗桃树的产量就会减少 2 个，但多种的桃树不
能超过 100 棵．
(1)如果要使产量增加15.2% ，那么应多种多少棵桃树？
(2)应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值．
【题型五】分式方程的解法
2x 4
【例 1】（2025·陕西咸阳·一模）解方程： = +1．
2x -1 4x2 -1
本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1、检验
计算即可得解．
x 8
【例 2】（2025·甘肃定西·一模）解分式方程 -1 =
x - 3 x2 - 9
1 2 7
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）解方程： + = ．
x +1 x -1 x2 -1
x -1 3
【变式 2】（2025·江苏南京·模拟预测）已知方程 -1 = ．
x +1 x2 -1
(1)将该方程去分母，得 ，此步骤的依据是 ．
(2)接着（1）中的步骤，继续解该方程．
1- x 2
【变式 3】（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程 = +1的过程，请认真阅读并完成相
x - 3 3- x
应的任务．
1- x 2
解： = +1
x - 3 3- x
1- x = -2 +1．第一步
1- x = -1．第二步
x = 2．第三步
经检验， x = 2是原方程的根．第四步
任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误；
任务二：请你帮他写出正确的解答过程．
【题型六】分式方程的应用
【例 1】（2025·广东清远·一模）为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知
每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用 1200 元购进篮球的数量比用 2100 元购进足球的数量少 20
个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键
【例 2】（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，
若用慢马送到 800 里远的城市，所需时间比规定时间多 1 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 2
4
天，已知快马的速度是慢马的 倍，则规定时间为 天，
3
【变式 1】（2025·山西忻州·一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯
智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约 5.4 公里，改造后车辆
通过该路段的平均速度提高了50%，平均行驶时间减少了 3 分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度．
【变式 2】（2025·山西运城·一模）晋阳高速公路改扩建项目是 2024年山西省级的重点项目，现有一段路由
甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米，已知乙工程队每个
月的修建速度是甲工程队的1.5倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月
修建多少千米？
【变式 3】（2025·重庆·一模）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高．
(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产 400 个手柄或
1000 根绳子，现打算安排 18 名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
(2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳 120 个，乙计划跳 100 个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均
3
每秒跳绳个数的 倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了 5 秒钟，最后甲比乙提前 15 秒
2
完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
【题型七】不等式的解法
ì 2x + 6 > x

【例 1】（2025·陕西西安·一模）解不等式组： í1- 3x
<1- 2x 2
本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大
中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
ì x +1 0
【例 2】（2025·浙江舟山·一模）解不等式组 í ，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
3 x -1 < x + 2
ì3 x +1 2x -1

【变式 1】（2025·甘肃平凉·一模）解不等式组： í x + 5
> x +1 2
ì x 1 x - 3 - >
【变式 2】（2025·北京·模拟预测）解不等式组： í 2
5 x -1 2x +1
ì3x 2x +1①
【变式 3】（2025·天津蓟州·模拟预测）解不等式组 í ，请结合题意填空，完成本题的解答．
2x + 7 -1②
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 ．
【题型八】不等式的应用
【例 1】（2025·重庆·二模）重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于 2025 年 4 月 20 日在沙坪坝开展，重
庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买 3 件运动T 恤
和 2 个运动手环花费 165 元，且 1 件运动T 恤比 1 个运动手环贵 30 元．
(1)每件运动T 恤和每个运动手环的售价分别是多少元？
(2)截止 2025 年 3 月 17 日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动T 恤和运动手环共 200 件，
且购买的总费用不超过 5000 元，则最多可购买运动T 恤多少件？
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
【例 2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）某商场购进甲、乙两种手机共 50 部．已知购进一部甲种手机比购进一
部乙种手机进价少 0.3 万元，用 36 万元购进甲种手机的数量是用 48 万元购进乙种手机数量的 3 倍．请解答
下列问题：
(1)甲、乙两种手机每部进价各是多少元？
(2)若商场预计投入资金超过 10 万元，且购进甲种手机超过 30 部，商场有哪几种购进方案？
(3)在（2）的条件下，若甲种手机每部售价 1100 元，乙种每部手机售价 4300 元，甲、乙两种手机各有一部
样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这 50 部手机获利中拿出 2520 元作为员工福利，其余
利润恰好又可以购进以上手机共 2 部．请直接写出该商场购进这 50 部手机中，甲、乙两种手机各几部．
【变式 1】（2025·贵州黔东南·一模）苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文
创公司在苗年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗族”两种玩偶纪念品进行售卖．已知每个“苗族”玩偶的售价
3
比每个“侗族”玩偶的售价高 4元，用960元购买的“苗族”玩偶的数量是用960元购进的“侗族”玩偶的数量的 ．
4
(1)求每个“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售价；
(2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共500个，要使总费用不超过7200 元，则至少要购买多少个
“侗族”玩偶.
【变式 2】（2025·河南信阳·一模）据灯塔专业版数据，截止 2025 年 2 月 18 日，《哪吒之魔童闹海》总票房
达 123.2 亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高
票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢
坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某
玩具店决定各用 300 元购进了 A、B 两种哪吒玩偶．已知一个 B 种哪吒玩偶是一个 A 种玩偶价格的 2 倍，
且购进两种玩偶的数量共 15 个．
(1)求购进 A、B 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进 A、B 两种哪吒玩偶共 80 个，且 A 种哪吒玩偶的数量不多于 B
种哪吒玩偶数量的 2 倍，问此次购进至少要花多少钱？
【变式 3】（2025·四川泸州·一模）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以
3150 元购进 A、B 两种不同品种的盒装草莓，其中 A 品种进价为 35 元/盒、B 品种 50 元/盒；若按 A 品种
60 元/盒、B 品种 80 元/盒的标价出售可获利润 2050 元．
(1)求这两个品种的草莓各购进多少盒？
(2)该店计划下周购进这两种品种的草莓共 100 盒（每种品种至少进 1 盒），并在两天内将所进草莓全部销售
完毕．（损耗忽略不计）因 B 品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进 B 品种的盒数不低于 A 品种盒数的
2 倍，且 A 品种不少于 25 盒．如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题
解含参数二元一次方程组，先整理成标准形式，分系数是否为零讨论：①系数行列式非零时唯一解；②行列式
为零，对比常数项判断无解或无穷解，注意消元时避免分母为零，警惕参数特殊值漏解。
ì2x - y = 5k
例 1．（2025·四川绵阳·二模）若关于 x，y 的二元一次方程组 í 3x - 2y = 8
x + y = k
的解也是方程 的解，则
k 的值为 ．
x, y ì2x + y = 2k -1变式 1：（2025·山东济宁·一模）已知关于 的方程组 í x 2y 4 的解满足
x + y > 1，则 k 的取值范围
+ = -
是 ．
ìa x + b y = c ìx = 5 ì5a x - 3b y = 4c
变式 2：（2025· · 1 1 1 1 1 1浙江宁波 一模）若方程组 ía x b y c 的解是 íy 6 则方程组 í 的 2 + 2 = 2 = 5a2x - 3b2 y = 4c2
解是
ìx + 2y - z = 4
变式 3：（2025·四川内江·一模）若 x、y、z 为非负实数，且 í ，则代数式 x2 - 3y2 + z2x y 2z 1 的最大值 - + =
与最小值的差是 ．
易错点二：一元二次方程中含参数易错问题
含参一元二次方程易错点：①讨论二次项系数是否为 0，区分方程类型；②用判别式Δ时勿忘二次项系数≠
0；③韦达定理需以Δ≥0 为前提；④参数范围结合题意及根的分布综合分析，避免漏解。
例 1．（2025·陕西汉中·二模）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + 2a = 0的一个解为 x = -1，则 a 的值为 ．
变式 1：（2025·甘肃定西·一模）若 m 是方程2x2 + 3x - 2 = 0的根，则式子 4m2 + 6m + 2025的值为
变式 2：（2025·河南洛阳·一模）关于 x 的一元二次方程3x2 - 2x - c = 0有两个相等的实数根，则实数 c的值
为 ．
变式 3：（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程 2x2 - 4x -1 = 0的两根为 m，n，则m2 + n2 的值为 .
变式 4：（2025· 2山东聊城·一模）如果关于 x 的方程mx - 2 m + 3 x + m = 0有实数根，那么m 的取值范围是 ．
易错点三：分式方程中含参数易错问题
分式方程组含参易错点：①关注分母不为零，参数可能使分母为零需排除；②去分母时防漏乘整式项；③解需
验根，增根及无解情况结合参数讨论，确保解符合所有分式定义域。
mx - 6
例 1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于 x 的分式方程 =1的解为整数，则整数m 的值有 个．
x - 3
2x + m x -1
变式 1：（2025·山东东营·一模）若关于 x 的方程 + = 3的解是非负数，则 m 的取值范围为 ．
x - 2 2 - x
变式 2：（2025 3 - a 1·山东·一模）已知方程 - a = ，且关于 x 的不等式 a < x b 只有 4 个整数解，那么 b 的
a - 4 4 - a
取值范围是 ．
ì x -1
+1 x -1
变式 3：（2025·重庆·二模）若关于 x 的不等式组 í 2 有且仅有 1 个奇数解，且关于 y 的分式方程
3x - a >1
y + 3 3+ a
= 3-
y 2 2 y 的解为整数，则所有满足条件的整数
a的和为 ．
- -
ì 2x +1
> x -1
变式 4：（2025·重庆·一模）若关于 x 的不等式组 í 3 有解且至多 3 个整数解，关于 y 的分式方程
3 1- x x - a
2
- 3 a= a
1- y y 1 的解为整数，那么符合条件的所有整数 的和为 ．-
ìx 1 3x +11 +
变式 5：（2025·重庆开州·一模）若关于 x 的不等式组 í 5 有解且至多 5 个奇数解，且关于 y 的分式
2x + 5 > a
2 a -1
方程 - = 4y 2 2 y 的解为整数，则符合条件的所有整数 a 的和为 ．- -
易错点四：不等式中含参数易错问题
不等式组含参易错点：①参数影响不等号方向（尤其乘除负数时）；②边界值是否取等需结合题意；③分情况
讨论参数范围（如无解、有解、解集为空），注意数轴标根时参数位置与区间开闭。
ì2 x -1 > x -1,
例 1．（2025·广东韶关·一模）若关于 x 的不等式组 í 的解集为 x >1，则 a的取值范围是 ．
3x > 2x + 2a
ì-2x + 3 9
变式 1：（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组 í k
-kx 2 4
无解，则 的取值范围为 ．
- <
ì2x + 9 > 6x +1
变式 2：（2025·黑龙江牡丹江·一模）关于 x 的不等式组 í x < 2 k
x - k 1
的解集为 ，则 的取值范围
<
为 ．
ì x > m - 6
变式 3：（2025·山东日照·一模）线段3,3, m 能构成三角形，且使关于 x 的不等式组 í
-3x 8 3m 4
有解的所
+ -
有整数m 的和为 ．
ì x x -1
- <1
变式 4：（2025·黑龙江大庆·一模）若整数 a使得关于 x 的不等式组， í 3 2 有且仅有 2 个奇数
5 x - 2 + a 2x - 5
解，那么符合条件的所有整数 a的和为 ．抢分秘籍 02 方程与不等式
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】一元一次方程及应用
【题型二】二元一次方程及应用
【题型三】一元二次方程的解法
【题型四】一元二次方程的应用
【题型五】分式方程的解法
【题型六】分式方程的应用
【题型七】不等式的解法
【题型八】不等式的应用
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题
易错点二：一元二次方程中含参数易错问题
易错点三：分式方程中含参数易错问题
易错点四：不等式中含参数易错问题
：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生
因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看
1.高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、
二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次
不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合
命题。
2. 易错考点：
分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是
否取等号）。
2．从题型角度看：
1. 基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约 10%-15%。
2. 应用题：解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约
20%-25%，需结合题意列关系式。
3. 综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分
布分析，难度较高，区分度强。
1.基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），
不等式组解集“数轴法”确定。
2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻
辑（如二次项系数是否为 0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答”六步法，
尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。
3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数≠0）、不等式方向改变等
高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达 100%，综合题分步得分。
【题型一】一元一次方程及应用
【例 1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家
产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，
问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元，
问有几个人合伙购买，该物品的价格是多少．设合伙赎买的有 x 人，根据题意，可列方程为（ ）．
A．8x + 3 = 7x - 4 B．8x - 3 = 7x + 4 C．8x + 3 = 7x + 4 D．8x - 3 = 7x - 4
【答案】B
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．设合伙赎买的有 x 人，
根据每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元，物价保持不变，由此列式即可求解．
【详解】解：设合伙赎买的有 x 人，根据题意：8x - 3 = 7x + 4，
故选：B．
本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．由此列式即可求解．
【例 2】（2025·陕西咸阳·一模）为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计
划做一批“感谢贺卡”．若每人做 8 张，则比计划多了 3 张；若每人做 5 张，则比计划少了 27 张．该活动小
组共有多少人？
【答案】该活动小组共有10人
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该活动小组共有 x 人，根据“若每人做 8 张，则比计划多了 3
张；若每人做 5 张，则比计划少了 27 张”列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，
正确列出一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解：设该活动小组共有 x 人，
由题意可得：8x - 3 = 5x + 27，
解得： x =10 ，
∴该活动小组共有10人．
【变式 1】（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一
位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到 43
个野果，则第 2 根绳子上的打结个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设在第 2 根绳子上的打结数是 x，根据满五进一列出方程，然后
求解即可得出答案．
【详解】解：设在第 2 根绳子上的打结数是 x，根据题意得：3+ 5x +1 5 5 = 43，
解得 x = 3，
即在第 2 根绳子上的打结数是 3，
故选：C．
【变式 2】（2025·陕西西安·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各
列及各条对角线上的三个数字之和均相等．求图中 x 的值．
14 6
x
8
【答案】 x =12
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程应用，根据题意可得：14 + 6 = x + 8，求解即可得到结果．
【详解】解：第 1 行中间数与第 2 列的最上面的数重合，
∴依题意得：14 + 6 = x + 8，
解得： x =12 ．
【变式 3】（2025·陕西西安·一模）某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组 26 人，第二组
22 人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，
使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答）
【答案】应该从第一组调 10 人到第二组去
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设应
该从第一组调 x 人到第二组去，根据调整后第一组的人数为第二组人数的一半，列出一元一次方程，解之即
可得出结论．
【详解】解：设应该从第一组调 x 人到第二组去．
根据题意，得 2 26 - x = 22 + x ，
解得 x =10 ，
答：应该从第一组调 10 人到第二组去．
【变式 4】（2025·安徽合肥·一模）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养．某中学拟组织
九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的
信息：
客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，60 座客车每辆每天的租金
信息 1
比 45 座客车每辆每天的租金多 200 元．
上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了 5 辆 60 座和 3
信息 2
辆 45 座的客车，一天的租金共计 6200 元．
信息 3 九年级师生租用 4 辆 60 座的客车和 4 辆 45 座的客车正好坐满．
请根据以上表中的信息，解答下列问题；
(1)客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？
【答案】(1)60 座客车每辆每天的租金为 850 元，45 座客车每辆每天的租金为 650 元
(2) 6000 （元）
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解
题的关键．
（1）设 60 座客车每辆每天的租金为 x 元，则 45 座客车每辆每天的租金为 x - 200 元．再根据租了 5 辆 60
座和 3 辆 45 座的客车，一天的租金共计 6200 元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出租用 4 辆 60 座的客车和 4 辆 45 座的客车的费用即可得到答案．
【详解】（1）解：设 60 座客车每辆每天的租金为 x 元，则 45 座客车每辆每天的租金为 x - 200 元．
由题意得，5x + 3 x - 200 = 6200 ，
解得 x = 850．
答：60 座客车每辆每天的租金为 850 元，45 座客车每辆每天的租金为 650 元．
（2）解：由题意得，可知九年级师生租车的费用为： 4 850 + 4 650 = 6000（元）．
【题型二】二元一次方程及应用
【例 1】（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余
绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺；
将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺．问木长多少尺？如果设木长 x 尺，绳长 y 尺，则可以列方程组是
（ ）
ìy - x = 4.5 ìx - y = 4.5 ìx - y = 4.5 ìy - x = 4.5

A． í1 B． í1 C． í 1 D． í 1

y - x =1 y - x =1 x - y =1 x - y =1
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组即可．
【详解】解：设木长 x 尺，绳长 y 尺，
ìy - x = 4.5

根据题意，得 í 1 ，
x - y =1 2
故选：D．
本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可．
ì6x + 2y = 5
【例 2】（2025·湖南·一模）解方程组： í
2x - 6y = -5
．
ì 1
x =
【答案】 í 2
y =1
【知识点】加减消元法
1
【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，将① 3+ ②消去 y 解得 x = ，
2
从而代入②得到 y =1即可．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
ì6x + 2y = 5①
【详解】解： í ，
2x - 6y = -5②
x 1由① 3+ ②得 = ；
2
将 x
1 1
= 代入②得 2 - 6y = -5，
2 2
解得 y =1；
ì 1
\
x =
原方程组的解为 í 2 ．
y =1
【变式 1】（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人
共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空 2辆车；若 2个
人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为 x 人，车数为 y 辆，可列方程为（ ）
ì3 y - 2 = x ì3 y + 2 = x ì3 y - 2 = x ì3 x - 2 = y
A． í B． í C． í D． í
2y - 9 = x 2y - 9 = x 2y + 9 = x 2y + 9 = x
【答案】C
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为 x 人，车数为 y 辆，根据题意列出方程组即可，根据
题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设人数为 x 人，车数为 y 辆，
ì3 y - 2 = x
由题意得， í ，
2y + 9 = x
故选：C ．
ì x + y = 3 ìx =1
【变式 2】（2025·浙江衢州·一模）已知关于 x，y 的二元一次方程组 íx ay b的解是+ = íy a，则 b 的值 =
是 ．
【答案】5
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
将解代入原方程组即可求解．
ì x + y = 3 ìx =1
【详解】解：∵二元一次方程组 íx ay b的解是+ = í y = a
，
ì 1+ a = 3
∴ í 2 ，
1+ a = b
ìa = 2
解得 í ，
b = 5
故答案为：5．
【变式 3】（2025·北京延庆·模拟预测）某图书馆计划用 800 元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学
每套 50 元，科普读物每套 35 元．若购买经典文学的数量比科普读物的数量多 10 套，判断能否恰好用完预
算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由．
【答案】判断不能恰好用完预算．理由见解析
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，根据题意设购买经典文学 x 套，购买科普读物 y 套，列出二元
一次方程，解得 y 不是正整数，不合题意，即可知不能恰好用完预算．
【详解】解：判断不能恰好用完预算．理由如下：
设购买经典文学 x 套，购买科普读物 y 套，假设恰好用完预算 800 元，
ìx - y =10
则 í
50x + 35y = 800
y 60解得 =
17
此时 y 不是正整数，不合题意．
答：不能恰好用完预算．
【变式 4】（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用 218 元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿 40kg
到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
品名 豆角 西红柿
批发价/元 5.0 5.6
零售价/元 8.2 9.2
请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况．
【答案】共能赚 140 元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设张老板批发
了豆角 xkg ，西红柿 ykg，根据豆角和西红柿 40kg、共用 218 元建立方程组，解方程组求出 x, y的值，再根
据零售价和批发价计算利润即可得．
【详解】解：设张老板批发了豆角 xkg ，西红柿 ykg，
ìx + y = 40
由题意得： í ，
5.0x + 5.6y = 218
ìx =10
解得： í
y 30
，
=
则 8.2 - 5.0 10 + 9.2 - 5.6 30 =140（元），
因为140 > 0，
所以张老板卖出这些豆角和西红柿共能赚 140 元．
【题型三】一元二次方程的解法
【例 1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程： 2x2 - 6x + 3 = 0 ．
x 3 + 3 x 3 - 3【答案】 1 = ，2 2
=
2
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为 1，常数项移到右边，两边加上一次项系
数一半的平方，开方即可求出解．
【详解】解： 2x2 - 6x + 3 = 0 ，
2 3
方程变形得： x - 3x = - ，
2
2
2 9 3 9 3 3
配方得： x - 3x + = - + ，即 x - ÷ = ，4 2 4 è 2 4
3 3
开方得， x - = ± ，
2 2
x 3 + 3 3 - 3解得： 1 = ， x = ．2 2 2
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次
方程即可．
【例 2】（2025·安徽·模拟预测）解方程：3x2 + 3x -1 = 0．
x -3 - 21 x -3 + 21【答案】 1 = ， 2 = ．6 6
【知识点】公式法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解
一元二次方程即可．
【详解】解：Qa = 3，b = 3， c = -1，
\Δ = 32 - 4 3 -1 = 21 > 0 ，
\ x -3 ± 21= ，
2 3
x -3 - 21 -3 + 21\ 1 = ， x6 2
= ．
6
【变式 1】（2025·江西南昌·一模）（1）计算： sin 30° - cos2 45° + tan 60° ×sin 60°．
（2）解方程： x2 + 3x - 28 = 0．
3
【答案】（1） ；（2） x
2 1
= 4, x2 = -7
【知识点】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和方程的解
法是解题关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得；
（2）方程的左边可以因式分解为 x - 4 x + 7 ，利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：（1） sin 30° - cos2 45° + tan 60° ×sin 60°
2
1 2 3
= - + 3
2 2 ÷÷è 2
1 1 3
= - +
2 2 2
3
= ．
2
（2） x2 + 3x - 28 = 0，
x - 4 x + 7 = 0，
x - 4 = 0或 x + 7 = 0，
x = 4或 x = -7 ，
所以方程的解为 x1 = 4, x2 = -7．
【变式 2】（2025·江苏无锡·一模）解方程或不等式组：
(1) x2 - 2x - 4 = 0；
ì 3x - 3 > x +1
(2) í
2 2x -1 5x -1
．
【答案】(1) x1 =1+ 5, x2 =1- 5
(2) x > 2
【知识点】解一元二次方程——配方法、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组：
（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解： x2 - 2x - 4 = 0
x2 - 2x = 4，
x2 - 2x +1 = 4 +1，
x -1 2 = 5，
∴ x -1 = ± 5 ，
∴ x1 =1+ 5, x2 =1- 5 ；
ì 3x - 3 > x +1①
（2） í ，
2 2x -1 5x -1②
解不等式①得， x > 2；
解不等式②得， x -1，
∴不等式组的解集为 x > 2．
【变式 3】（2025·甘肃武威·一模）（1）解方程： x2 + 8x -1 = 0．
-2
（2）计算：-14 + 27 - 4sin60° - 2 3 - 4 1+ - ÷
è 2
3 a + 2
（3）化简求值： a -1- ÷ ，其中 a = 2 - 2
è a +1 a +1
【答案】（1） x1 = -4 + 17，x2 = -4 - 17 ；（2） -1+3 3；（3） a - 2，- 2
【知识点】解一元二次方程——配方法、特殊角三角函数值的混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，三角函数值的混合运算，分式的化简求值；
（1）把方程化为 x2 + 8x +16 =1+16 ，再利用配方法解方程即可；
（2）先计算乘方，算术平方根，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可；
（3）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把 a = 2 - 2 代入计算即可．
【详解】解：（1） x2 + 8x -1 = 0，
∴ x2 + 8x =1，
∴ x2 + 8x +16 =1+16 ，
∴ x + 4 2 =17 ，
∴ x + 4 = ± 17 ，
∴ x1 = -4 + 17 ， x2 = -4 - 17 ；
-2
（2）-14 + 27 - 4sin60° - 2 3 - 4 + 1 -

÷ ，
è 2
= -1+ 3 3 - 4 3 + 2 3 - 4 + 4
2
= -1+ 3 3 - 2 3 + 2 3 - 4 + 4
= 3 3 -1；

（3） a 1
3 a + 2- - ÷
è a +1 a +1
a2 -1- 3 a +1
= ×
a +1 a + 2
a + 2 a - 2 a +1
= ×
a +1 a + 2
= a - 2；
当 a = 2 - 2 时，
原式= 2 - 2 - 2 = - 2 ；
【题型四】一元二次方程的应用
【例 1】（2025·陕西汉中·二模）随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，
从 2022 年的 30 万人增加到 2024 年的 43.2万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率．
【答案】 20%
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x，根据从 2022 年的 30 万人增加到 2024 年的 43.2万人，列出一
元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x，
根据题意得：30(1+ x)2 = 43.2 ，
解得： x1 = 0.2 = 20%， x2 = -2.2(不符合题意，舍去 ).
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为 20%．
本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例 2】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共
赠送了 90 份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有 x 人，则可列方程
为 ．
【答案】 x x -1 = 90
【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有 x 人，则每人需赠送出 x -1
份礼物，即可得出关于 x 的一元二次方程．
【详解】解：由题意可得，
x x -1 = 90 ，
故答案为： x x -1 = 90 ．
【变式 1】（2025·贵州·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，
中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作
算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好
72 平方步，从水池边到圆周，每边相距 3 步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平
就是第一了．如图，设正方形的边长是 x 步，则列出的方程是 ．
x 2
【答案】 π + 3 - x2 ÷ = 72
è 2
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程、圆的面积公式，由题图易得，圆的直径为 x + 6，则半
x 2
径则为 + 3，圆的面积为 π x + 3÷ ，再根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此2 è 2
题的关键．
x x 2
【详解】解：由题图易得，圆的直径为 x + 6，则半径则为 + 3，圆的面积为 π + 32 2 ÷
，
è
π x
2
可得方程 + 3
2
2 ÷
- x = 72，
è
2
x
故答案为： π + 3 - x2 ÷ = 72．
è 2
【变式 2】（2025·辽宁抚顺·二模）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，
商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．
(1)若某天该商品每件降价 3 元，当天可盈利多少元？
(2)设每件商品降价 x 元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000 元？
【答案】(1)当天可盈利 1692 元
(2)每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利润，每件利润，
件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据“盈利=单件利润 销售数量”即可得出结论；
（2）根据“盈利=单件利润 销售数量”即可列出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再根据尽
快减少库存即可确定 x 的值．
【详解】（1）解：某天该商品每件降价 3 元，则每件商品盈利为： 50 - 3 元，销售数量 30 + 2 3 件，
当天可盈利 50 - 3 30 + 2 3 =1692（元）
答：当天可盈利 1692 元；
（2）解：根据题意得， 50 - x 30 + 2x = 2000
整理，得 x2 - 35x + 250 = 0
解得， x1 =10，x2 = 25
Q为了尽快减少库存，
\ x = 25
答：每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000 元.
【变式 3】（2025·四川广安·模拟预测）某果园原计划种 100 棵桃树，一颗桃树平均结 1000 个桃子，现准备
多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种 1 棵桃树，每颗桃树的产量就会减少 2 个，但多种的桃树不
能超过 100 棵．
(1)如果要使产量增加15.2% ，那么应多种多少棵桃树？
(2)应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值．
【答案】(1)应多种 20 棵桃树
(2)应种 200 棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为160000
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用；
（1）设多种 x 棵树，根据产量增加15.2% ，列方程求解即可；
（2）多种 x 棵桃树，桃子的产量为 y， y = 100 + x 1000 - 2x = -2x2 + 800x +100000，当0 x 100时， y
随 x 的增大而增大，得到当 x =100 时， y 最大，据此求解即可．
【详解】（1）解：设多种 x 棵树，则
100 + x 1000 - 2x =100 1000 1+15.2% ，
整理，得： x2 - 400x + 7600 = 0，
x - 20 x - 380 = 0，
解得 x1 = 20， x2 = 380，
∵多种的桃树不能超过 100 棵，即0 x 100，380 >100，
∴ x2 = 380不合题意，故舍去，
∴ x = 20，
答：应多种 20 棵桃树；
（2）解：多种 x 棵桃树，桃子的产量为 y，则
y = 100 + x 1000 - 2x = -2x2 + 800x +100000，
800
∴对称轴为直线 x = - = 2002 -2 ，
∵ -2 < 0，
∴当0 x 100时， y 随 x 的增大而增大，
∴当 x =100 时， ymax = 100 +100 1000 - 2 100 =160000，
∴多种 100 课桃树，即应种 200 棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为160000．
【题型五】分式方程的解法
2x 4
【例 1】（2025·陕西咸阳·一模）解方程： = 2 +1．2x -1 4x -1
x 3【答案】 =
2
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化
为 1、检验计算即可得解．
【详解】解：去分母得： 2x 2x +1 = 4 + 4x2 -1，
去括号得： 4x2 + 2x = 4 + 4x2 -1，
移项并合并同类项可得： 2x = 3，
3
系数化为 1 得： x = ，
2
3
检验，当 x = 时， 4x22 -1 0
，
3
∴原分式方程的解为 x = ．
2
本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1、检验
计算即可得解．
x 8
【例 2】（2025·甘肃定西·一模）解分式方程 -1 =
x - 3 x2 - 9
1
【答案】 x = - ．
3
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，化分式方程为整式方程，找出最简公分母和验根是解题的关键．
由题意得，先通分，再去分母，化分式方程为整式方程，求整式方程的解，验根，写出分式方程的解即可．
x 8
【详解】解： -1 = ，
x - 3 x2 - 9
x x - 3 8
- =
x - 3 x - 3 x + 3 x - 3 ，
3 8
=
x - 3 x - 3 x + 3 ，
3 x + 3 8
=
，x - 3 x + 3 x - 3 x + 3
3(x + 3) = 8，
3x = -1，
x 1= - ，
3
x 1检验：当 = - 时， (x - 3)(x + 3) 0，分母不为 0，不是增根，
3
1
所以 x = - 是原分式方程的解．
3
1 2 7
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）解方程： + = ．
x +1 x -1 x2 -1
【答案】 x = 2
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对
方程的解进行检验即可．由解分式方程的步骤进行即可．
【详解】解：方程两边同时乘 x -1 x +1 得， x -1 + 2 x +1 = 7，
解得 x = 2，
检验：当 x = 2时， x -1 x +1 = 3 0，
\原分式方程的解为 x = 2．
x -1 3
【变式 2】（2025·江苏南京·模拟预测）已知方程 -1 =
x +1 x2
．
-1
(1)将该方程去分母，得 ，此步骤的依据是 ．
(2)接着（1）中的步骤，继续解该方程．
2
【答案】(1) x -1 - x +1 x -1 = 3，等式的性质
x 1(2) = -
2
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法和步骤是解题关键．
（1）根据解分式方程的方法，先去分母，依据是等式的性质，即可解答；
（2）在（1）的基础上，去括号，移项，合并同类项，将系数化为 1 求出 x 的值，然后再进行检验即可．
x -1 3
【详解】（1）解： -1 =
x +1 x2 -1
2
方程两边同时乘 x +1 x -1 ，得 x -1 - x +1 x -1 = 3，
此步骤的依据是等式的性质，
2
故答案为： x -1 - x +1 x -1 = 3，等式的性质；
（2）解：在（1）的基础上，去括号，得 x2 - 2x +1- x2 +1 = 3，
移项、合并同类项，得-2x =1，
1
将系数化为 1，得 x = - ，
2
1
检验：把 x = - 代入 x +1 x -1 0 ，
2
∴分式方程的解为 x
1
= - ．
2
1- x 2
【变式 3】（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程 = +1的过程，请认真阅读并完成相
x - 3 3- x
应的任务．
1- x 2
解： = +1
x - 3 3- x
1- x = -2 +1．第一步
1- x = -1．第二步
x = 2．第三步
经检验， x = 2是原方程的根．第四步
任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误；
任务二：请你帮他写出正确的解答过程．
【答案】任务一：一；任务二：无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可；
任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以 x - 3 ，因此第一步开始出现错误；
1- x 2
任务二：解： = +1，
x - 3 3- x
方程两边同乘以 x - 3 ，得1- x = -2 + x - 3
解得 x = 3，
检验，当 x = 3时， x - 3 = 0，
∴ x = 3不是原方程的根，
∴原方程无解．
【题型六】分式方程的应用
【例 1】（2025·广东清远·一模）为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知
每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用 1200 元购进篮球的数量比用 2100 元购进足球的数量少 20
个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？
【答案】每个篮球的进价为 80 元，则每个足球的进价为 60 元
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为 x
元，则每个足球的进价为0.75x ，根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检
验作答．
【详解】解：设每个篮球的进价为 x 元，则每个足球的进价为0.75x 元．
2100 1200
根据题意得： - = 20，
0.75x x
解得 x = 80，
经检验 x = 80是原分式方程的解，且符合实际，
∴ 0.75x = 0.75 80 = 60．
答：每个篮球的进价为 80 元，则每个足球的进价为 60 元．
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键
【例 2】（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，
若用慢马送到 800 里远的城市，所需时间比规定时间多 1 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 2
4
天，已知快马的速度是慢马的 倍，则规定时间为 天，
3
【答案】11
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为 x 天，根据快马的
4
速度是慢马的 倍列出方程，再解方程即可．
3
【详解】解：设规定时间为 x 天，根据题意得：
800 4 800
= ，
x +1 3 x - 2
整理得： 4(x - 2) = 3(x +1)，
解得 x =11，
经检验， x =11是原分式方程的解．
故答案为：11．
【变式 1】（2025·山西忻州·一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯
智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约 5.4 公里，改造后车辆
通过该路段的平均速度提高了50%，平均行驶时间减少了 3 分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度．
【答案】36千米∕小时
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度 x 千米/小时，则改造后通过该路
段车辆的平均速度是 1+ 50% x 千米/小时，根据“行驶 5.4 千米，平均行驶时间减少了 3 分钟”列出方程并解
答．
【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度 x 千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是
1+ 50% x 千米/小时，
5.4 3 5.4
由题意，得 + = 1+ 50% x 60 x ．
解得： x = 36 ．
经检验， x = 36 是所列方程的根，且符合题意．
答：改造前通过该路段车辆的平均速度是36千米∕小时．
【变式 2】（2025·山西运城·一模）晋阳高速公路改扩建项目是 2024年山西省级的重点项目，现有一段路由
甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米，已知乙工程队每个
月的修建速度是甲工程队的1.5倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月
修建多少千米？
【答案】甲工程队每个月修建 2千米．
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设甲工程队每个月修建 x 千米，则乙工程队每个月修建1.5x 千米，根据乙工程队修建用的时间比甲工程队少
用半个月，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修建 x 千米，则乙工程队每个月修建1.5x 千米，
9 12 1
根据题意得： - = ，
x 1.5x 2
解得： x = 2，
经检验： x = 2是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队每个月修建 2千米．
【变式 3】（2025·重庆·一模）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高．
(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产 400 个手柄或
1000 根绳子，现打算安排 18 名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
(2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳 120 个，乙计划跳 100 个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均
3
每秒跳绳个数的 倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了 5 秒钟，最后甲比乙提前 15 秒
2
完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
【答案】(1)安排生产手柄有15名工人，生产绳子工人有3名；
(2)甲平均每秒跳绳3个
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用；
（1）设安排生产手柄有 x 名工人，则绳子的工人有 18 - x 名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一
副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可；
x 3（2）设乙平均每秒跳绳 个，则甲平均每秒跳绳的个数是 x个，则利用时间关系建立分式方程求解即可.
2
【详解】（1）解：设安排生产手柄有 x 名工人，则绳子的工人有 18 - x 名，
1
由题可知： 400x =1000 18 - x ，
2
解得： x =15，
∴18 - x =18 -15 = 3（名），
答：安排生产手柄有15名工人，生产绳子工人有3名；
3
（2）解：设乙平均每秒跳绳 x 个，则甲平均每秒跳绳的个数是 x个，则
2
120 15 1003 + = + 5x x ，
2
解得： x = 2，
经检验： x = 2是原方程的根，且符合题意；
3
∴ x = 3，
2
答：甲平均每秒跳绳3个.
【题型七】不等式的解法
ì 2x + 6 > x

【例 1】（2025·陕西西安·一模）解不等式组： í1- 3x
<1- 2x 2
【答案】-6 < x <1
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由 2x + 6 > x得： x > -6；
1- 3x
由 < 1- 2x得： x <1；
2
\不等式组的解集为-6 < x <1．
本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大
中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
ì x +1 0
【例 2】（2025·浙江舟山·一模）解不等式组 í
3 x -1 < x + 2
，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
5
【答案】-1 x < ，见解析，不等式组的整数解为：-1，0，1， 2
2
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不
等式组的整数解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．
x +1 0①
【详解】解：{3 x -1 < x + 2 ，②
由①得： x -1，
由②得：3x - 3 < x + 2，
3x - x < 3+ 2，
2x < 5，
x 5< ，
2
\ 5不等式组的解集为：-1 x < ，
2
不等式组的解集表示在数轴上为：
\不等式组的整数解为：-1，0，1， 2．
ì3 x +1 2x -1

【变式 1】（2025·甘肃平凉·一模）解不等式组： í x + 5
> x +1 2
【答案】-4 x < 3
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于
号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到
不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式3 x +1 2x -1，得： x -4，
x + 5
解不等式 > x +1，得： x < 3，
2
故不等式组的解集为：-4 x < 3．
ì x - 3
x -1 >
【变式 2】（2025·北京·模拟预测）解不等式组： í 2
5 x -1 2x +1
【答案】-1 < x 2
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分的解集，即可作
答．
ì x 1 x - 3 - > ①
【详解】解： í 2
5 x -1 2x +1②
由①解得 x > -1，
由②解得 x 2，
∴不等式组的解集为-1 < x 2．
ì3x 2x +1①
【变式 3】（2025·天津蓟州·模拟预测）解不等式组 í ，请结合题意填空，完成本题的解答．
2x + 7 -1②
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 ．
【答案】(1) x 1
(2) x -4
(3)见解析
(4) x 1
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组
的步骤是解题的关键．
（1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解不等式即可；
（3）根据（1）（2）所求表示出对应的解集即可；
（4）根据（3）所求即可得到答案．
【详解】（1）解：3x 2x +1
移项得：3x - 2x 1，
合并同类项得： x 1；
（2）解：2x + 7 -1
移项得：2x -1- 7，
合并同类项得： 2x -8，
系数化为 1 得： x -4；
（3）解：数轴表示如下所示：
（4）解：由（3）可知，不等式组的解集为-4 x 1．
【题型八】不等式的应用
【例 1】（2025·重庆·二模）重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于 2025 年 4 月 20 日在沙坪坝开展，重
庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买 3 件运动T 恤
和 2 个运动手环花费 165 元，且 1 件运动T 恤比 1 个运动手环贵 30 元．
(1)每件运动T 恤和每个运动手环的售价分别是多少元？
(2)截止 2025 年 3 月 17 日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动T 恤和运动手环共 200 件，
且购买的总费用不超过 5000 元，则最多可购买运动T 恤多少件？
【答案】(1)每件运动T 恤的售价是 45 元，每个运动手环的售价是 15 元
(2)最多可购买运动T 恤 66 件
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关
键．
（1）设每件运动T 恤的售价是 x 元，每个运动手环的售价是 y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买运动T 恤m 件，则购买运动手环 200 - m 件，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出
m 的最大正整数解即可得．
【详解】（1）解：设每件运动T 恤的售价是 x 元，每个运动手环的售价是 y 元，
ì3x + 2y =165
由题意得： í
x - y
，
= 30
ìx = 45
解得 í
y
，
=15
答：每件运动T 恤的售价是 45 元，每个运动手环的售价是 15 元．
（2）解：设购买运动T 恤m 件，则购买运动手环 200 - m 件，
由题意得： 45m +15 200 - m 5000，
2
解得m 66 ，
3
∵ m 是正整数，
∴ m 的最大值为 66，
答：最多可购买运动T 恤 66 件．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
【例 2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）某商场购进甲、乙两种手机共 50 部．已知购进一部甲种手机比购进一
部乙种手机进价少 0.3 万元，用 36 万元购进甲种手机的数量是用 48 万元购进乙种手机数量的 3 倍．请解答
下列问题：
(1)甲、乙两种手机每部进价各是多少元？
(2)若商场预计投入资金超过 10 万元，且购进甲种手机超过 30 部，商场有哪几种购进方案？
(3)在（2）的条件下，若甲种手机每部售价 1100 元，乙种每部手机售价 4300 元，甲、乙两种手机各有一部
样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这 50 部手机获利中拿出 2520 元作为员工福利，其余
利润恰好又可以购进以上手机共 2 部．请直接写出该商场购进这 50 部手机中，甲、乙两种手机各几部．
【答案】(1)甲种手机进价为每部 1000 元，乙种手机进价为每部 4000 元；
(2)有 3 种进货方案：①甲种手机 31 部，乙种手机 19 部；②甲种手机 32 部，乙种手机 18 部；③甲种手
机 33 部，乙种手机 17 部；
(3)购进甲种手机 32 部，乙种手机 18 部．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程和差倍分问题、不等式组的方案选择问题
【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程和不等式组是解题的关键：
（1）设甲种手机的进价为每部 x 万元，根据用 36 万元购进甲种手机的数量是用 48 万元购进乙种手机数量
的 3 倍，列出方程进行求解即可；
（2）设购进甲种手机m 部，根据商场预计投入资金超过 10 万元，且购进甲种手机超过 30 部，列出不等式
组进行求解即可；
（3）根据（2）种方案，逐一进行计算，判断即可．
【详解】（1）解：设甲种手机的进价为每部 x 万元，则乙种手机的进价为每部 x + 0.3 万元，由题意，得：
36 3 48= ，
x x + 0.3
解得： x = 0.1，
经检验 x = 0.1，是原方程的解，
∴ x + 0.3 = 0.4，
0.1万元=1000元， 0.4 万元 = 4000元；
答：甲种手机进价为每部 1000 元，乙种手机进价为每部 4000 元；
（2）设购进甲种手机m 部，由题意，得：
ì0.1m + 0.4 50 - m >10
í ，
m > 30
100
解得：30 < m < ，
3
∵ m 为整数，
∴ m = 31,32,33，
∴ 50 - m =19,18,17；
故有 3 种进货方案：①甲种手机 31 部，乙种手机 19 部；②甲种手机 32 部，乙种手机 18 部；③甲种手
机 33 部，乙种手机 17 部；
（3）①购买甲种手机 31 台，购买乙种手机 19 台，
31-1 1100 -1000 + 1100 0.8 -1000 + 19 -1 4300 - 4000 + 4300 0.8 - 4000 - 2520
= 3000 -120 + 5400 - 560 - 2520
= 7720 - 2520
= 5200（元），不符合题意，舍去；
②购买甲种手机 32 台，购买乙种手机 18 台，
32 -1 1100 -1000 + 1100 0.8 -1000 + 18 -1 4300 - 4000 + 4300 0.8 - 4000 - 2520
= 3100 -120 + 5100 - 560 - 2520
= 7520 - 2520
= 5000（元），符合题意；
③购买甲种手机 33 台，购买乙种手机 17 台，
33 -1 1100 -1000 + 1100 0.8 -1000 + 17 -1 4300 - 4000 + 4300 0.8 - 4000 - 2520
= 3200 -120 + 4800 - 560 - 2520
= 7320 - 2520
= 4800（元），不符合题意，舍去．
综上所述，购买甲种手机 32 台，购买乙种手机 18 台．
【变式 1】（2025·贵州黔东南·一模）苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文
创公司在苗年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗族”两种玩偶纪念品进行售卖．已知每个“苗族”玩偶的售价
3
比每个“侗族”玩偶的售价高 4元，用960元购买的“苗族”玩偶的数量是用960元购进的“侗族”玩偶的数量的 ．
4
(1)求每个“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售价；
(2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共500个，要使总费用不超过7200 元，则至少要购买多少个
“侗族”玩偶.
【答案】(1)每个“苗族”玩偶的售价为16元，则每个“侗族”玩偶的售价为12元
(2)至少要购买 200个“侗族”玩偶
【知识点】解分式方程、求一元一次不等式的整数解、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济
问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题关键．
3
（1）根据用960元购买的“苗族”玩偶的数量是用960元购进的“侗族”玩偶的数量的 列方程，解方程，即可
4
求解；
（2）根据“总费用不超过 7200 元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个“侗族”玩偶的售价为 x 元，则每个“苗族”玩偶的售价为 x + 4 元．
960 3 960
由题意得： = × ，
x + 4 4 x
解得： x =12 ，
经检验， x =12 是原分式方程的解，且符合题意，
\ x + 4 =12 + 4 =16，
答：每个“苗族”玩偶的售价为16元，则每个“侗族”玩偶的售价为12元．
（2）解：设要购买m 个“侗族”玩偶，则要购买 500 - m 个“苗族”玩偶，
根据题意，得：12m +16 500 - m 7200，
解得：m 200，
答：至少要购买 200个“侗族”玩偶．
【变式 2】（2025·河南信阳·一模）据灯塔专业版数据，截止 2025 年 2 月 18 日，《哪吒之魔童闹海》总票房
达 123.2 亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高
票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢
坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某
玩具店决定各用 300 元购进了 A、B 两种哪吒玩偶．已知一个 B 种哪吒玩偶是一个 A 种玩偶价格的 2 倍，
且购进两种玩偶的数量共 15 个．
(1)求购进 A、B 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进 A、B 两种哪吒玩偶共 80 个，且 A 种哪吒玩偶的数量不多于 B
种哪吒玩偶数量的 2 倍，问此次购进至少要花多少钱？
【答案】(1)30 元，60 元
(2)3210 元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
300 300
【分析】（1）设 A 种玩偶价格为 x 元，则 B 种玩偶价格为 2x元，根据题意，得 + =15，解方程即可．
x 2x
（2）设购买 A 种玩偶 y 件，则购买 B 种玩偶 80 - y 件．根据题意，得 y 2 80 - y ，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
【详解】（1）解：设 A 种玩偶价格为 x 元，则 B 种玩偶价格为 2x元，
300 300
根据题意，得 + =15，
x 2x
解得 x = 30，
经检验， x = 30是原方程的根，
∴ 2x = 60，
答：A 种玩偶价格为 30 元，则 B 种玩偶价格为60 元．
（2）解：设购买 A 种玩偶 y 件，则购买 B 种玩偶 80 - y 件．
根据题意，得 y 2 80 - y ，
y 160解得 ，
3
设此次购进的费用为 W 元，根据题意，得
w = 30y + 60 80 - y = -30y + 4800，
∵ k = -30<0 ，
∴W 随 x 的增大而减小，
∵y 是正整数，
故 y 最大正整数是 53，
∴当 y = 53时，W 值最小，且最小值为W = -30 53+ 4800 = 3210，
答：此次购进至少要花 3210 元．
【变式 3】（2025·四川泸州·一模）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以
3150 元购进 A、B 两种不同品种的盒装草莓，其中 A 品种进价为 35 元/盒、B 品种 50 元/盒；若按 A 品种
60 元/盒、B 品种 80 元/盒的标价出售可获利润 2050 元．
(1)求这两个品种的草莓各购进多少盒？
(2)该店计划下周购进这两种品种的草莓共 100 盒（每种品种至少进 1 盒），并在两天内将所进草莓全部销售
完毕．（损耗忽略不计）因 B 品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进 B 品种的盒数不低于 A 品种盒数的
2 倍，且 A 品种不少于 25 盒．如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1) A 品种草莓购进 40 盒， B 品种草莓购进 35 盒
(2)安排A 品种草莓购进 25 盒，则 B 品种草莓购进 75 盒，可以获得最大利润 2875 元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函
数的实际应用)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握利用一
次函数的性质求解最大利润是解题的关键．
（1）设A 品种草莓购进 x 盒， B 品种草莓购进 y 盒，再利用购买的总价为 3150 元及总利润为 2050 元列方
程组，再解方程组可得答案；
（2）设A 品种草莓购进m 盒，则 B 品种草莓购进 (100 - m)盒，总利润为w元，再列出w与m 的函数关系式，
再求解m 的范围，利用一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设A 品种草莓购进 x 盒， B 品种草莓购进 y 盒，
ì35x + 50y = 3150
则 í
(60 - 35)x
，
+ (80 - 50)y = 2050
ìx = 40
解得： í
y = 35
，
即A 品种草莓购进 40 盒， B 品种草莓购进 35 盒．
（2）解：设A 品种草莓购进m 盒，则 B 品种草莓购进 (100 - m)盒，总利润为w元，
则w = 25m + 30(100 - m) = -5m + 3000，
ì100 - m 2m
又由题意得： í ，
m 25
100
解得： 25 m ，
3
∵ m 为正整数，
∴ m 的最大整数为 33，最小整数为 25，
Q w = -5m + 3000,k = -5 < 0，
∴ w随m 的增大而减少，
∴当m = 25时，w取最大值，最大值为：w = -5 25 + 3000 = 2875元，
所以安排A 品种草莓购进 25 盒，则 B 品种草莓购进 75 盒，可以获得最大利润 2875 元．
易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题
解含参数二元一次方程组，先整理成标准形式，分系数是否为零讨论：①系数行列式非零时唯一解；②行列式
为零，对比常数项判断无解或无穷解，注意消元时避免分母为零，警惕参数特殊值漏解。
ì2x - y = 5k
例 1．（2025·四川绵阳·二模）若关于 x，y 的二元一次方程组 í 的解也是方程3x - 2y = 8的解，则
x + y = k
k 的值为 ．
【答案】1
【知识点】加减消元法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法求得 x = 2k ， y = -k ，再根据3x - 2y = 8，
求解即可．
ì2x - y = 5k①
【详解】解： í ，
x + y = k②
① +②得：3x = 6k ，
解得 x = 2k ，
将 x = 2k 代入②，得 y = -k ，
又∵ 3x - 2y = 8，
∴ 6k + 2k = 8，
∴8k = 8，
解得： k =1，
∴k 的值为 1．
故答案为：1．
ì2x + y = 2k -1
变式 1：（2025·山东济宁·一模）已知关于 x, y的方程组 í x + y > 1 k
x 2y 4
的解满足 ，则 的取值范围
+ = -
是 ．
【答案】 k > 4
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到 x + y
的值，根据 x + y > 1，求出 k 的取值范围即可．
ì2x + y = 2k -1①
【详解】解： í ，
x + 2y = -4②
2k - 5
①+②得：3x + 3y = 2k -1- 4，即： x + y = ；
3
∵ x + y > 1，
2k - 5
∴ >1，解得： k > 4；
3
故答案为： k > 4．
ìa1x + b1y = c1 ìx = 5 ì5a x - 3b y = 4c
变式 2：（2025·浙江宁波·一模）若方程组 ía x b y c 的解是+ =
1 1 1
í 则方程组 í
2 2 2 y = 6 5a
的
2x - 3b2 y = 4c2
解是
ì x = 4
【答案】 í
y = -8
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
5 3
【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把 x和- y看做一个整
4 4
ì5a1x - 3b1 y = 4c1
体换元得到一个关于 x 和 y 的新方程组是解答本题的关键.把 í5a x 3b y 4c 的两边都除以 4 变形为 2 - 2 = 2
ì 5 a 3 1x + - b1y ÷ = c4 1 è 4 5
í ，然后把 x
3
和- y看做一个整体，用换元法求解.
5 a x 3 b y c 4 4 4 2
+ - 4 2 ÷
= 2
è
ì5a1x - 3b1 y = 4c1
【详解】解：∵ í
5a2x - 3b2 y = 4c
，
2
ì 5 3 ì 5 3
a x - b y = c a1x + - b1y ÷ = c1
∴ 4
1 4 1 1 4 è 4
í
5
，即 í
a2x
3
- b2 y = c
5 3
4 4 2
a2x + - b2 y ÷ = c4 4 2 è
ìa
∵ 1
x + b1y = c1 ìx = 5
í
a x b y c
的解为
+ = í
，
2 2 2 y = 6
ì 5
x = 5
∴ 4í 3 ， - y = 6
4
ì x = 4
∴ í .
y = -8
ì x = 4
故答案为： í
y = -8
ìx + 2y - z = 4
变式 3：（2025·四川内江·一模）若 x、y、z 为非负实数，且 í ，则代数式 x2 - 3y2 + z2x y 的最大值 - + 2z =1
与最小值的差是 ．
【答案】 24
【知识点】三元一次方程组的定义及解、求不等式组的解集、y=ax +bx+c 的最值
【分析】此题考查解三元一次方程，解一元一次不等式组，二次函数的性质，解题关键在于掌握运算法则，
先利用加减消元法求出 x, y的值，建立关于 z 的不等式组，求出 z 的取值范围，再把 x, y代入代数式
x2 - 3y2 + z2 ，将其转化为关于 z 的二次函数，利用二次函数的性质分别求出最大值与最小值，即可解答．
ìx + 2y - z = 4n
【详解】解： í
x - y + 2z =1n
，
n-n得， y =1+ z ，
把 y =1+ z 代入n得， x = 2 - z ，
x2 - 3y2 + z2 = 2 - z 2则 - 3 1+ z 2 + z2 = -z2 -10z +1 = - z + 5 2 + 26，
ìy =1+ z 0

∵ íx = 2 - z 0，

z 0
ìz -1

∴ íz 2 ，

z 0
∴ 0 z 2，
∵ -1 < 0，
∴当 z = 0时， x2 - 3y2 + z2 的最大值是-25 + 26 =1，
当 z = 2 时， x2 - 3y2 + z2 的最小值是-49 + 26 = -23，
则代数式 x2 - 3y2 + z2 的最大值与最小值的差是：1- -23 = 24
故答案为： 24．
易错点二：一元二次方程中含参数易错问题
含参一元二次方程易错点：①讨论二次项系数是否为 0，区分方程类型；②用判别式Δ时勿忘二次项系数≠
0；③韦达定理需以Δ≥0 为前提；④参数范围结合题意及根的分布综合分析，避免漏解。
例 1．（2025·陕西汉中·二模）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + 2a = 0的一个解为 x = -1，则 a 的值为 ．
【答案】-2
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
把 x = -1代入一元二次方程得1+ 3 + 2a = 0，然后解一次方程即可．
【详解】解：把 x = -1方程 x2 - 3x + 2a = 0得1+ 3 + 2a = 0，
解得 a = -2.
故答案为：-2.
变式 1：（2025·甘肃定西·一模）若 m 是方程2x2 + 3x - 2 = 0的根，则式子 4m2 + 6m + 2025的值为
【答案】2029
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及整体代入思想的应用，难度中等，熟练掌握整体代入思
想是解题关键．
利用整体思想解答即可．
【详解】解：∵m 是方程2x2 + 3x - 2 = 0 2x2 + 3x -1 = 0 的根，
把 x = m 代入2x2 + 3x - 2 = 0，得 2m2 + 3m - 2 = 0，
则 2m2 + 3m = 2．
2
所以 4m + 6m + 2025 = 2 2m2 + 3m + 2025 = 2 2 + 2025 = 2029．
故答案为：2029．
变式 2：（2025·河南洛阳·一模）关于 x 的一元二次方程3x2 - 2x - c = 0有两个相等的实数根，则实数 c的值
为 ．
1
【答案】-
3
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题
2
的关键．对于一元二次方程 ax + bx + c = 0 a 0 ，若D = b2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数根，若
D = b2 - 4ac = 0，则方程有两个相等的实数根，若D = b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根，据此可得
-2 2 - 4 3 -c = 0，求解即可．
2
【详解】解：由题意得： -2 - 4 3 -c = 0，
1
解得： c = - ，
3
1
故答案为：- ．
3
变式 3：（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程 2x2 - 4x -1 = 0的两根为 m，n，则m2 + n2 的值为 .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和
1 1 2 2
与积的值，再将所求式子进行变形；如 +x1 x
， x1 + x2 等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转
2
化．先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2 + n2 进行变形，化成和或积的形式，代入即可．
【详解】解：Q一元二次方程 2x2 - 4x -1 = 0的两根为 m，n，
\ 1由根与系数的关系得：m + n = 2，mn = - ，
2
\m2 + n2 = (m + n)2 - 2mn = 22 - 2 1- ÷ = 4 +1 = 52 ．è
故答案为：5．
变式 4：（2025· 2山东聊城·一模）如果关于 x 的方程mx - 2 m + 3 x + m = 0有实数根，那么m 的取值范围是 ．
3
【答案】m -
2
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据题意分两种情况讨论：当方程是一元一次方程时和当方
程是一元二次方程时，然后根据一元二次方程有实数根得到D = b2 - 4ac 0，据此列式代入数值进行计算，
即可作答．
【详解】解：当方程是一元一次方程时，
根据题意得，m = 0，-2 m + 3 0
∴ m = 0；
当方程是一元二次方程时，
∵ 2关于 x 的方程mx - 2 m + 3 x + m = 0有实数根
2
∴ Δ = é -2 m + 3 2 ù - 4m 0
解得m
3
- ．
2
综上所述，m
3
的取值范围是m - ．
2
3
故答案为：m - ．
2
易错点三：分式方程中含参数易错问题
分式方程组含参易错点：①关注分母不为零，参数可能使分母为零需排除；②去分母时防漏乘整式项；③解需
验根，增根及无解情况结合参数讨论，确保解符合所有分式定义域。
mx - 6
例 1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于 x 的分式方程 =1的解为整数，则整数m 的值有 个．
x - 3
【答案】3
【知识点】根据分式方程解的情况求值
3
【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得 x = 且 x 3，因为分式方程有正整数
m -1
解，进而可得整数 m 的值．
3
【详解】解：解分式方程得 x = 且 x 3，
m -1
∵分式方程的解为整数，
∴ m -1的值为-1或±3，
解得 m 的值为0 ， 4，-2，共 3 个．
故答案为：3．
2x + m x -1
变式 1：（2025·山东东营·一模）若关于 x 的方程 + = 3的解是非负数，则 m 的取值范围为 ．
x - 2 2 - x
【答案】m -7且 x -3
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解、解不等式，根据方程的解得出不等式是解题的关键，易忽
略分式方程的增根的情况，根据方程的解为负数且不能使分母为 0，可得关于 m 的不等式，解不等式可得．
2x + m x -1
【详解】解： + = 3，
x - 2 2 - x
两边都乘以 x - 2，得
2x + m - x -1 = 3 x - 2 ，
m + 7
解得 x = ，
2
∵解是非负数，
m + 7
∴ 0，
2
∴ m -7．
m + 7
∵ 2，
2
∴ x -3，
∴ m -7且 x -3．
故答案为：m -7且 x -3．
2 2025 3 - a a 1变式 ：（ ·山东·一模）已知方程 - = ，且关于 x 的不等式 a < x b 只有 4 个整数解，那么 b 的
a - 4 4 - a
取值范围是 ．
【答案】3 b < 4
【知识点】解分式方程、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 a 的值，代入不等式组确定出 b 的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：3- a - a2 + 4a = -1，即 a2 - 3a - 4 = 0，
分解因式得： a - 4 a +1 = 0，
解得： a = -1或 a = 4，
经检验 a = 4是增根，
∴分式方程的解为 a = -1，
当 a = -1时，由 a < x b 只有 4 个整数解，得到3 b < 4．
故答案为：3 b < 4．
ì x -1
x +1 x -1变式 3：（2025·重庆·二模）若关于 的不等式组 í 2 有且仅有 1 个奇数解，且关于 y 的分式方程
3x - a >1
y + 3
= 3 3+ a-
y 2 2 y 的解为整数，则所有满足条件的整数
a的和为 ．
- -
【答案】10
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先
6 - a 6 - a 6 - a
解一元一次不等式组可得 2 a < 8，再解分式方程可得 y = ，从而可得 为整数，且 2，即 a 2，
2 2 2
由此即可得．
ì x -1
+1 x -1①
【详解】解： í 2 ，
3x - a >1②
解不等式①得： x 3，
a +1
解不等式②得： x > ，
3
ì x -1
+1 x -1
∵关于 x 的不等式组 í 2 有且仅有 1 个奇数解，
3x - a >1
1 a +1∴ < 3，
3
解得 2 a < 8，
y + 3
= 3 3+ a-
y - 2 2 - y ，
方程两边同乘以 y - 2 ，得 y + 3 = 3 y - 2 + 3+ a ，
6 - a
解得 y = ，
2
y y + 3 3+ a∵关于 的分式方程 = 3-y 2 2 的解为整数，- - y
6 - a 6 - a
∴ 为整数，且 2，即 a 2，
2 2
∴所有满足条件的整数 a的值为 4,6，
∴所有满足条件的整数 a的和为 4 + 6 =10，
故答案为：10．
ì 2x +1
> x -1
变式 4：（2025·重庆·一模）若关于 x 的不等式组 í 3 有解且至多 3 个整数解，关于 y 的分式方程
3 1- x x - a
2 a
- 3 =
1 y y 1 的解为整数，那么符合条件的所有整数
a的和为 ．
- -
【答案】22
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先
1- a 1- a
解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得 a的取值范围，再解分式方程可得 y = ，从而可得
3 3
是整数，且 a -2，则可得出符合条件的所有整数 a的值，由此即可得．
ì 2x +1
> x -1①
【详解】解： í 3 ，
3 1- x x - a②
解不等式①得： x < 4，
a + 3
解不等式②得： x ，
4
ì 2x +1 > x -1
∵关于 x

的不等式组 í 3 有解且至多 3 个整数解，
3 1- x x - a
0 a + 3∴ < < 4，
4
解得-3 < a <13，
2 3 a- =
1- y y -1 ，
方程两边同乘以 y -1 ，得-2 - 3 y -1 = a，
1- a
解得 y = ，
3
2 a
∵关于 y 的分式方程 - 3 =1- y y -1 的解为整数，
1- a 1- a
∴ 是整数，且 1，即 a -23 ，3
∴符合条件的所有整数 a的值为1,4,7,10，
∴符合条件的所有整数 a的和为1+ 4 + 7 +10 = 22，
故答案为：22．
ìx 1 3x +11 +
变式 5：（2025·重庆开州·一模）若关于 x 的不等式组 í 5 有解且至多 5 个奇数解，且关于 y 的分式
2x + 5 > a
2 a -1
方程 - = 4y - 2 2 - y 的解为整数，则符合条件的所有整数 a 的和为 ．
【答案】-4
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一
次不等式组的一般步骤是解题的关键．
先解不等式组并结合题意确定 a 的范围，再解出分式方程确定 a 的范围，进而确定 a 的所有取值，最后相
加即可．
ìx 1 3x +11 + ①
【详解】解： í 5
2x + 5 > a②
解不等式①得： x 3，
a - 5
解不等式②得： x > 2 ，
a -5
∴ < x 3，
2
∵不等式组有解且至多 5 个奇数解，
7 a -5∴- < 3
2
解得：-9 a <11．
2 a -1 9 + a
解分式方程 - = 4 y =y - 2 2 得： ．- y 4
∵分式方程的解为整数，且 y 2（ y = 2 时原分式方程无意义）
∴符合条件的所有整数 a 的值为-9, -5,3,7 ，
∴符合条件的所有整数 a 的和为-9 - 5 + 3+ 7 = -4，
故答案为：-4．
易错点四：不等式中含参数易错问题
不等式组含参易错点：①参数影响不等号方向（尤其乘除负数时）；②边界值是否取等需结合题意；③分情况
讨论参数范围（如无解、有解、解集为空），注意数轴标根时参数位置与区间开闭。
ì2 x -1 > x -1,
例 1．（2025·广东韶关·一模）若关于 x 的不等式组 í 的解集为 x >1，则 a的取值范围是 ．
3x > 2x + 2a
a 1【答案】
2
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等
式组的解集列出关于 a 的不等式，解不等式即可得到答案．
ì2 x -1 > x -1①
【详解】解： í
3x > 2x + 2a②
解不等式①得： x >1，
解不等式②得： x > 2a，
ì2 x -1 > x -1,
∵关于 x 的不等式组 í 的解集为 x >1，
3x > 2x + 2a
∴ 2a 1，
∴ a
1
，
2
故答案为： a
1
．
2
ì-2x + 3 9
变式 1：（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组 í kkx 2 无解，则 的取值范围为 ． - - < 4
【答案】 k 2
【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，
分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键．
ì-2x + 3 9①
【详解】解： í ，
-kx - 2 < 4②
由①得 x -3；
由②得-kx < 6 ③；
ì-2x + 3 9Q不等式组 í 无解，
-kx - 2 < 4
6
当 k < 0时，-k > 0，解③得 x < - ，则不等式组一定有解，不符合题意；
k
当 k = 0时，0 x = 0 < 6 ，解③得 x 为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意；
6 6
当 k > 0 时，-k < 0 ，解③得 x > - ，则-3 - ，解得 k 2；
k k
综上所述， k 的取值范围为 k 2，
故答案为： k 2．
ì2x + 9 > 6x +1
变式 2：（2025·黑龙江牡丹江·一模）关于 x 的不等式组 í x < 2 k
x - k <1
的解集为 ，则 的取值范围
为 ．
【答案】 k 1
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，解题的关键是表示出各不等式的解集，再根据不等式
组的解集求得参数．表示出各不等式的解集后，再根据口诀“同小取小”得出 k 的取值范围．
ì2x + 9 > 6x +1①
【详解】解： í
x - k <1②
解不等式①得， x < 2，
解不等式②得， x < k +1，
∵不等式组的解集为 x < 2，
∴ k +1 2，
解得， k 1，
故答案为： k 1．
ì x > m - 6
变式 3：（2025·山东日照·一模）线段3,3, m 能构成三角形，且使关于 x 的不等式组 í 有解的所
-3x + 8 3m - 4
有整数m 的和为 ．
【答案】10
【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三
边关系得到0 < m < 6，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数m ，求和即可得到答
案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键．
【详解】解：Q线段3,3, m 能构成三角形，
\0 < m < 6，
ì x > m - 6①
í ，
-3x + 8 3m - 4②
由②得 x 4 - m，
x > m - 6
Q ì关于 x 的不等式组 í 有解，
-3x + 8 3m - 4
\不等式组的解集为m - 6 < x -m + 4，
则m < 5，即0 < m < 5，
Qm 为整数，
\m可取1,2,3,4 ，
ì x > m - 6
则使关于 x 的不等式组 í 有解的所有整数m 的和为1+ 2 + 3 + 4 =10，
-3x + 8 3m - 4
故答案为：10．
ì x x -1
- <1
变式 4：（2025·黑龙江大庆·一模）若整数 a使得关于 x 的不等式组， í 3 2 有且仅有 2 个奇数
5 x - 2 + a 2x - 5
解，那么符合条件的所有整数 a的和为 ．
【答案】-3
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式
组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有 2 个
奇数解得到 a的取值范围，最后根据 a为整数取值求和，即可解题．
ì x x -1
- <1①
【详解】解： í 3 2 ，
5 x - 2 + a 2x - 5②
解①得， x > -3，
x 5 - a解②得， ，
3
3 x 5 - a则解集为- < ，
3
Q整数 a使得关于 x 的不等式组有且仅有 2 个奇数解，
\1 5 - a < 3，
3
解得-4 < a 2，
符合条件的所有整数 a为-3，- 2，-1，0 ，1， 2，
那么符合条件的所有整数 a的和为-3 - 2 -1+ 0 +1+ 2 = -3，
故答案为：-3．

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