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抢分秘籍 03 统计和概率问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】全部调查与抽样调查 【题型二】总体、个体、样本、样本容量
【题型三】平均数、中位数、众数 【题型四】频数发布直方图
【题型五】几何面积求概率 【题型六】画树状图或列表法求概率
【题型七】通过概率比较游戏是否公平 【题型八】由频率估计概率
【题型九】统计与概率综合问题
：统计和概率综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些
考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看：统计部分以数据特征（平均数、中位数、众数、方差）和统计图（条形图、扇形图、
折线图）为主，年均 2-3 题，占分 8-12 分；概率侧重简单事件计算（树状图/列表法）及用频率估计概率，
年均 1 题，占分 3-4 分。
2．从题型角度看：选择、填空多考基础概念（如统计量计算、概率值）；解答题常结合实际情境，如
分析统计图信息、设计抽样方案或计算概率（如两步试验概率）。
：1.基础强化：熟练掌握统计量公式（如方差）、统计图解读及概率计算步骤（如树状图
法）。
2.易错突破：注意统计图表的单位、数据范围，避免概率计算时遗漏结果。
3.实战训练：通过真题强化应用题（如用样本估计总体），掌握“先易后难”答题节奏。
4.技巧提升：解答题规范步骤（如概率题需列举所有可能结果），灵活运用“排除法”“代入法”解题。
【题型一】全部调查与抽样调查
【例 1】（2025·河南焦作·一模）下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．坐地铁时对乘客行李的安检
B．对班级内的卫生死角进行检查
C．开学前学校对各班级桌椅数量的调查
D．对全国初中生目前睡眠情况的调查
本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．逐项判断即
可．
【例 2】（2025·河南平顶山·一模）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解河南省的空气质量情况 B．了解黄河河南段的水污染情况
C．了解河南省中小学生身高情况 D．了解本班同学的作业完成情况
【变式 1】（2025·广西南宁·一模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查全市中学生每天体育锻炼时间
B．调查某款新能源汽车的抗撞击能力
C．调查神舟十九号飞船各零件是否合格
D．调查全市中学生视力情况
【变式 2】（2025·河南濮阳·一模）下列调查活动适合采用全面调查的是（ ）
A．调查某班学生的身高 B．调查某品牌手机电池的使用寿命
C．调查某市居民的环保意识 D．调查全国中学生心理健康状况
【变式 3】（2025·湖北孝感·一模）下列说法正确的是（ ）
A．“某同学投篮球，投中”是随机事件
B．天气预报“明天降水概率50% ”，是指明天有 12 小时会下雨
C 2．甲、乙两人在相同的条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 S甲 = 0.32，
S 2乙 = 0.41，则乙的成绩更稳定
D．了解某市九年级学生的视力情况，采用全面调查
【题型二】总体、个体、样本、样本容量
【例 1】（2025·湖北孝感·二模）为了了解某市参加中考的 45000名学生的身高情况，抽查了其中 2000名学
生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ）
A． 2000名学生的身高情况是总体的一个样本
B． 45000名学生的身高情况是总体
C．每名学生是总体的一个个体
D．样本容量是 2000
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考
查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个
体的数目，不能带单位．
【例 2】（2025·河北邢台·模拟预测）某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随
机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表：
垃圾分类次数（次） 1 2 3 4 5 6
人数（人） 4 4 8 10 8 6
那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是 3.5 次 B．中位数是 4 次
C．众数是 4 次 D．样本容量是 40
【变式 1】（2024·广东中山·三模）为了了解某市九年级学生的肺活量，从中抽样调查了600 名学生的肺活量，
这项调查中的样本是 （ ）
A．某市九年级学生的肺活量 B．从中抽取的600 名学生的肺活量
C．从中抽取的600 名学生 D．600
【变式 2】（2024·广西南宁·模拟预测）3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基
础．为了解某校 1 000 名九年级学生的睡眠时间，从 15 个班级中随机抽取 100 名学生进行调查，下列说法
中正确的是（ ）
A．1 000 名学生是总体 B．15 个班级是抽取的一个样本
C．100 是样本容量 D．每个学生是个体
【变式 3】（2024·云南楚雄·模拟预测）【教育热点——双减】在推进国家“双减”政策落实中，某校不断增强教
育服务能力，把“减负”与“提质”有机结合起来，全力打造特色课程，确保课后服务多元化．为了解全校3000
名学生参加课后服务的情况，李老师随机抽取了50名学生对其参加课后服务的情况进行调查，下列叙述正
确的是（ ）
A．3000 名学生是总体 B．每名学生是个体
C．50名学生是所抽取的一个样本 D．样本容量是50
【题型三】平均数、中位数、众数
【例 1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏
了 7 枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5．这组数据的中位数和众数
分别为（ ）
A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4
本题考查了众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中
间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．本题考查了求众数
和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键．
【例 2】（2025·浙江嘉兴·一模）一组数据从小到大排列为-1，0 ， 4， x ，6 ，16，这组数据的中位数为5，
则 x 的值为（ ）
A． 4 B．5 C．5.5 D．6
【变式 1】（2025·四川宜宾·一模）在“十·一”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：81，86，85，
82，84，85，85，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是 85 B．众数是 85 C．平均数是 84 D．方差是 3
【变式 2】（2025·贵州安顺·一模）如图，这是根据某早餐店3月1日至5日每天的用水量（吨）绘制成的折线
统计图．下列说法正确的是（ ）
A．平均数是5吨 B．中位数是6 吨
C．众数是 4吨或8吨 D．以上都不正确
【变式 3】（2025·安徽·一模）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是 A 校篮球队员的身高：
身高 cm 176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员身高的众数是185cm B．篮球队员的平均身高是180.1cm
C．篮球队员身高的中位数是180.5cm D．篮球队员身高的方差是3.2cm2
【题型四】频数发布直方图
【例 1】（2025·湖南长沙·模拟预测）2025 年 1 月 23 日，中共中央、国务院、中央军委给神舟十八号航天员
叶光富颁发“二级航天功勋奖章”，授予李聪、李广苏“英雄航天员”荣誉称号并颁发“三级航天功勋奖章”．神
舟十八号载人飞行任务的圆满成功，标志着中国航天事业在实现高水平科技自立自强的新征程中迈出关键
一步．此次任务不仅提升我国综合国力和中华民族凝聚力，更进一步增强了全体中华儿女的民族自信心和
自豪感，对激励全党全军全国各族人民团结奋进、砥砺前行具有重要意义．某校为了解本校学生对航天知
识的了解情况，对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，
整理并制作成了如下不完整的图表：
分数段 频数 频率
60 x < 70 9 a
70 x < 80 36 0.4
80 x < 90 27 0.3
90 x 100 b 0.2
请根据上述统计图表，解答下列问题：
(1)表中 a = ___________，b = ___________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)根据以上数据，如果 80 分以上（含 80 分）为优秀，若该学校八年级学生有 900 名，请你估算一下该学
校八年级学生成绩优秀的人数．
本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图和统计图是解题的关键．
【例 2】（2025·河南郑州·二模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛
（百分制），为了 解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了 40名学生的成绩（单位：分），并对数
据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表：
成绩 频数 频率
50 x < 60 2 0.05
60 x < 70 4 m
70 x < 80 10 0.25
80 x < 90 14 0.35
90 x < 100 10 0.25
合计 40 1.00
b ．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
c． 八年级学生竞赛成绩在80 x < 90这一组的数据是：80，80，82，83，83，
84，86，86，87，88，88，89，89，89．
d ．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：
中位数
七年级 81
八年级 n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m ， n 的值，m = ， n = ；
(2)此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学
生的成绩，他是哪个年级的学生 请说明理由．
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）2025 年哈尔滨亚冬会于 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日举行，亚冬会是继
2022 年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会．某校组织开展了冰雪知识竞赛，为了解本
次竞赛成绩情况，从参赛学生中随机抽取了若干名学生的竞赛成绩 x（单位：分）进行统计，得到如下不完
整的统计图表．
成绩 x/分 频数 频率 各组总分/分
60 x < 70 15 0.1 1000
70 x < 80 a 0.2 2250
80 x < 90 60 0.4 5000
90 x < 100 45 b 4200
请根据上述信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，表中b = _______，所抽取学生竞赛成绩的中位数落在_______组；
(2)请求出所抽取学生的平均竞赛成绩；
(3)学校将成绩为90 x < 100的学生评为“优秀”，若该学校共有 800 名学生参加此次竞赛，请你估计该校此次
竞赛被评为“优秀”的学生人数．
【变式 2】（2025·安徽滁州·一模）某校组织开展主题为“节约用水，共建绿色校园”的社会实践活动．对全校
七年级和八年级学生开展节约用水知识测试，随机在两个年级中分别抽取 20 人的测试成绩进行统计分析
（满分为 100 分）．测试成绩为 x ，并绘制相关统计图（不完整），请你根据相关信息完成下列任务：
信息 1
七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58．
信息 2
八年级成绩在80 x < 90之间的数据为：89，88，85，81．
信息 3
七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下：
(1)填空： n = _____，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图；
(2)请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表：
平均
众数 中位数 方差
数
七
年 84.7 ①________ 84.5 67.21
级
八
年 83.7 96 ②________ 183.68
级
(3)若该校七年级和八年级分别有学生 680 人，测试成绩 90 分以上（含 90 分）为优秀，则两个年级达到优
秀的人数一共大约有多少人？
【变式 3】（2025·陕西西安·模拟预测）社会生活中处处都有志愿者的身影，志愿者用热情周到的志愿服务为
人们带来温暖，用行动书写“奉献、友爱、互助、进步”的故事．某学校为了解九年级未入团学生参加校志愿
活动的情况，从九年级未入团学生中随机抽取 20 名学生，在校志愿者活动记录上查到了他们参加志愿活动
的时长．部分数据如下：
a． 20名学生校志愿活动时长（小时）：17 、39、39、2、35、 46、7、17 、18、 48、 28、 26、 48、
39、19、 27、32、33、32、 44．
b．校志愿活动时长频数分布直方图，如图：（数据分成 5 组：0 x < 10，10 x < 20， 20 x < 30，
30 x < 40， 40 x < 50）
C．志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下
平均 众 中位
数 数 数
29.55 m n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m = ___________； n = ___________；
(2)补全校志愿活动时长频数分布直方图；
(3)根据学校共青团团委要求，参加校级志愿活动时长不够 20小时不能提出入团申请，若该校九年级未入团
学生有 290人，从志愿活动时长的角度看，估计有资格提出入团申请的学生人数．
【题型五】几何面积求概率
【例 1】（2025·山东济南·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷
一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ．
本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
【例 2】（2025·安徽合肥·一模）如图，在一个正方形的网格上有A 、B 、C 、D、E 五个点，任意连接其中
3 个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为 ．
【变式 1】（2025·四川广安·模拟预测）“赵爽弦图”是我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的一种
验证勾股定理的图形．如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边长与短直角边长之比为
3:1．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【变式 2】（2025·山东济南·一模）《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关
于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如
图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ．
【变式 3】（2025·安徽合肥·一模）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
【题型六】画树状图或列表法求概率
【例 1】（2025·江西新余·一模）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独
特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“ A ．虾饺， B ．干蒸烧卖，C ．艇仔粥，D．蜜汁叉
烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
(1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________．
(2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概
率计算公式求解即可．
【例 2】（2025·甘肃平凉·一模）甘肃省位于中国西北部，地处黄河上游，地势独特，气候适宜，孕育了丰富
的物产和独特的地方文化．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A .庄浪苹果，B .平凉山药，C .华亭
核桃，D .静宁烧鸡这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学
生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．
(1)该班的张萌同学抽取的卡片上是A .庄浪苹果的概率是___________；
(2)用列表或画树状图的方法，求该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率．
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）随着电影《哪吒 2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化 IP 便在消费市场上
掀起了一股热潮．如图，小文收集了 A、B、C、D、E 五个钥匙扣，其中 A 为哪吒造型，她想让好友云云和
珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归
属，将分别写有 A、B、C、D、E 的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样
的纸团，搅匀，她先让云云从这 5 个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的 4 个纸团
中随机抽取一个．
(1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______；
(2)利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．
云
A B C D E
云珍珍
A B, A C, A D, A E, A
B A, B C, B D, B E, B
C A,C B,C D,C E,C
D A, D B, D C, D E, D
E A, E B, E C, E D, E
【变式 2】（2025·陕西西安·一模）甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代
最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同
学制作了如图所示的 4 张卡片（这 4 张卡片分别用字母 A、B、C、D 表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、
龙，这 4 张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这 4 张卡片背面朝上，洗匀放好，李
洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张．
(1)李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率．
【变式 3】（2025·陕西西安·三模）投壶源于射礼，是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．张羽和
赵峰受投壶游戏的启发，制作了如图所示的签和签筒来玩，五支签上分别写有唱歌、跳舞、倒立、相声、
魔术（依次用A 、 B 、C 、D、E 表示）这五个节目名称，五支签除了所写的节目名称不同外其余完全相
同，且当签放在签简里时看不见所写的节目名称．张羽把五支签放在签筒里，摇匀并从中随机抽取一支，
记录签上的节目名称，不放回，然后赵峰再从签筒里随机抽取一支，记录签上的节目名称，他们各自要完
成自己所抽取的签上的节目．
(1)张羽抽到“跳舞”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求他们中有一人抽到“魔术”的概率．
【题型七】通过概率比较游戏是否公平
【例 1】（2025·陕西西安·三模）小明和小亮玩纸牌游戏，他们从同一副扑克牌中抽出四张，牌面数字分别为
3、6 、10、13，游戏规则如下：将四张牌正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中随机抽出一张并记下牌面
上的数字，不放回．小亮再从剩余的3张中随机抽出一张也记下牌面上的数字，若抽出的两张牌的牌面数字
都是两位数，则小明获胜；否则，小亮获胜．
(1)小明抽到标有数字6 的纸牌的概率为______；
(2)请用树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平．
本题考查了列表法或画树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用简单概率公式求解即可；
（2）画出树状图，分别求出他们获胜的概率，比较即可得出答案．
【例 2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说
诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令
中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、减虫、以棒打虎、
虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，
继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用 A、B、C、D
分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”）
(1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________；
(2)判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【变式 1】（2025·陕西西安·三模）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代
劳动人民的重要创造，具体指 A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是红武同学收
集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．
(1)若红武从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为 ．
(2)红武和浪浪玩游戏，红武从这四张卡片中随机抽取一张，浪浪再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，
若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则红武胜，否则浪浪胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是
否公平，并说明理由．
【变式 2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2024 年 4 月 25 日 20 时 58 分 57 秒神舟十八号载人飞船成功发射，
这不仅是神舟十八号载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了我们大国崛起
的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩
瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但
名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出 A，B 两个均分且标有数字的
转盘，规则：分别转动两个转盘，将 A 盘转出的数字作为被减数，B 盘转出的数字作为减数，若差为负数，
则小希胜；若差为正数，则小辰胜．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止．）
(1)小希转动一次 A 盘，指针指向数字 5 的概率是 ___________；
(2)这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
【变式 3】（2025·陕西西安·模拟预测）小慧和小德玩掷骰子和抛硬币的游戏，胜者可获得一张铁一中新年音
乐会的门票．规则如下：小慧先掷一次骰子，小德再抛一枚硬币，称为一次游戏；掷骰子时，记下朝上一
面的数字 a；抛掷硬币时，如果正面朝上，记作b = 2 ，如果反面朝上，记作b = -3；然后将 a、b 的值作为
平面直角坐标系中点 P 的横、纵坐标进行记录．例如，在一次游戏中，小慧抛出骰子朝上一面的数字为 4，
即 a = 4，小德抛出的硬币反面朝上，即b = -3，此时点 P 的坐标为 4, -3 ．
(1)小慧抛掷一次骰子，朝上一面的数字被 3 整除的概率为 ；
(2)两人约定：在一次游戏中，若点 P 在平面直角坐标系中的第一象限，则小慧获得门票：若点 P 在第四象
限，则小德获得门票．请你用列表或树状图的方法，判断这个游戏对两人是否公平？说明你的理由．
【题型八】由频率估计概率
【例 1】（2025·云南昆明·一模）一只不透明袋子中装有 1 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某
数学学习兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个
过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.360 0.310 0.325 0.334 0.333 0.334
(1)该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______．(精确
到0.01) ，由此可估计出红球有______个．
(2)现从该袋子中一次摸出 2 个球，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求恰好摸到 2 个红球的概率．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）利用频率估计概率求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【例 2】（2024·陕西·模拟预测）在一个盲盒中放有 6 个白球，7 个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全
相同，每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到
白球的频率稳定在0.3左右．
(1)估计盲盒中大约有______个红球；
(2)从盲盒中取出 2 个白球，2 个黄球，1 个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，请
用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率．
A B C D E
A B, A C, A D, A E, A
B A, B C, B D, B E, B
C A,C B,C D,C E,C
D A, D B, D C, D E, D
E A, E B, E C, E D, E
【变式 1】（2024·福建泉州·模拟预测）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试
验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共 3 个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后
从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据：
摸球的次数 n 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000
摸到红球的次数m 372 613 1397 1961 2651 3337 3992
m
摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67
n
(1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______；
(2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你
同意小明的意见吗？请说明理由．
【变式 2】（2024·江苏苏州·一模）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：
在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共 4 个，这 4 个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球
搅匀，然后从袋中随机摸出 1 个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的
伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
(1)根据频率与概率关系的知识，请估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率约是______
（精确到 0.01），其中红球的个数是______；
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表或画树状图法求摸出的两个球刚好一个是红球和
一个是白球的概率．
白 红 1 红 2 红 3
白 白，红 1 白，红 2 白，红 3
红 1 红 1，红 2 红 1，红 3
红 2 红 2，红 3
红 3
【变式 3】（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ABC ，
为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为 1 米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外
100 200 500 1000 ……
沿)
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 ……
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数
68 137 347 695 ……
n
小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x ……
【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 m + n )，则表格中的数据 x = ； 随着投掷次数增
大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 0.1 )；
【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 π )
【题型九】统计与概率综合问题
【例 1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）安全使用电瓶车可以大幅度减少交通事故造成人身伤害，为此交警部门
在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市
民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计表．
(1)表中 a 的值是______________．
(2)小星认为：宣传活动后骑电瓶车“从不戴”安全头盔的有 178 人，比宣传前增加了 1 人，因此交警部门宣
传活动没有效果，小星分析数据的方法合理吗？结合统计表谈谈你的看法．
(3)宣传活动后，交警在一家有 4 名成员的家中，有 2 男 2 女，从 4 名成员中随机抽取 2 人进行问卷调查，
请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
此题考查了树状图或列表法求概率、求众数、中位数、频率等知识，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）利用频率等于频数除以总数即可求出 a，根据中位数和众数的定义进行解答即可；
（2）用总人数乘以抽取的数据中优秀以上的占比即可；
（3）列表找到所有等可能结果，再用满足要求的结果数除以总的结果数即可求出答案．
【例 2】（2025·贵州遵义·一模）为了解九年级学生选中考跳绳项目的训练情况，某校随机抽取了选定跳绳的
九年级 20 名学生进行跳绳测试，并对测试成绩（单位：个）进行了统计分析：
【收集数据】
130，146，155，156，157，178，163，165，170，171
173，173，158，178，178，179，184，186，186，190
【整理数据】
学校规定： x <140为不合格，140≤ x <160为合格，160 x <170为良好，170 x <180为优秀， x 180为
满分（个数用 x 表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 5 0.25
良好 2 0.1
优秀 8 a
满分 4 0.2
合计 20 1
【分析数据】
此组数据的平均数是 168.8，众数是b ，中位数是 c；
【解决问题】
(1)填空： a = ______，b = ______， c = ______；
(2)若该校九年级选定跳绳项目共有 300 名学生，估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有多少人？
(3)现在从 4 名（其中 3 名女生，1 名男生）满分学生中随机抽两名学生参加艺术节活动表演，请用列表或树
状图求出抽到一男一女的概率是多少？
男 女 1 女 2 女 3
男 女 1，男 女 2，男 女 3，男
女 男，女 女 2， 女 3，
1 1 女 1 女 1
女 男，女 女 1， 女 3，
2 2 女 2 女 2
女 男，女 女 1， 女 2，
3 3 女 3 女 3
【变式 1】（2025·广东东莞·一模）2025 年春节档电影市场火爆，类型丰富多样，某影院针对观看《哪吒之
魔童问海》《唐探 1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》这四部热门春节档电影的观众
展开调查，以了是相关统计信息：
电影名称 观影人数 观影人数占比
《哪吒之魔童闹海》 280 人 35%
《唐探 1900》 240 人 a
《射雕英雄传：侠之大者》 b 人 20%
《封神第二部：战火西岐》 120 人 15%
根据以上信息，完成下列问题：
(1)此次参与调查的观众总人数为 人， a = ，b = ．
(2)如果根据上面的数据制作成扇形统计图，求《唐探 1900》对应的扇形圆心角度数．
(3)假设有甲、乙两位观众准备从这四部电影中随机选择一部观看，且两人选择相互独立．用A 、B 、C 、D
分别表示《哪吒之魔童闹海》《唐探 1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》四部电影，
请用列表法或树状图求出两人选择同一部电影的概率．
【变式 2】（2025·河北石家庄·一模）某学校为丰富课后服务内容，计划开设足球，篮球，乒乓球，跳绳，排
球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每
位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题
(1)本次调查共抽取了_______名学生；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______；
(2)若全校共有 1200 名学生，请估计喜爱“排球”项目的学生人数；
(3)在汇报展示中，甲同学从篮球项目标有“A 运球”“B 投篮”“C 三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，
乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到“A 运球”的概率．
A B C
A A, A A, B A,C
B B, A B, B B,C
C C, A C, B C,C
【变式 3】（2025·贵州黔东南·一模）2025 年 2 月 27 日，小米 SU7 Ultra 召开发布会，获得了广泛的关注与
好评，小米的成功不仅助力国家实现能源转型与产业升级，更在全球竞争中树立了中国“智”造的新标杆.未
来，其成功的经验或将成为其他行业突破高端市场的参考范式，推动中国从“制造大国”向“科技强国”加速迈
进.随着人们对新能源汽车的认可，新能源汽车公共充电桩的需求量也逐渐增大.据调查：贵州省某季度“星星
充电”、“云快充”、“国家电网”、“特来电”等企业投放充电桩数量的条形统计图及所占市场份额百分比的扇形
统计图如图：
(1)补全条形统计图和扇形统计图；
(2)观察条形统计图，在各企业投放充电桩数量（万台）的数据中，众数是______万台，中位数是______万
台；
(3)小鹏收集了下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为 A，B，C，D 的四张卡片（除编号和内容外，
其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一
张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率.
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C 抢分秘籍 03 统计和概率问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】全部调查与抽样调查 【题型二】总体、个体、样本、样本容量
【题型三】平均数、中位数、众数 【题型四】频数发布直方图
【题型五】几何面积求概率 【题型六】画树状图或列表法求概率
【题型七】通过概率比较游戏是否公平 【题型八】由频率估计概率
【题型九】统计与概率综合问题
：统计和概率综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些
考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看：统计部分以数据特征（平均数、中位数、众数、方差）和统计图（条形图、扇形图、
折线图）为主，年均 2-3 题，占分 8-12 分；概率侧重简单事件计算（树状图/列表法）及用频率估计概率，
年均 1 题，占分 3-4 分。
2．从题型角度看：选择、填空多考基础概念（如统计量计算、概率值）；解答题常结合实际情境，如
分析统计图信息、设计抽样方案或计算概率（如两步试验概率）。
：1.基础强化：熟练掌握统计量公式（如方差）、统计图解读及概率计算步骤（如树状图
法）。
2.易错突破：注意统计图表的单位、数据范围，避免概率计算时遗漏结果。
3.实战训练：通过真题强化应用题（如用样本估计总体），掌握“先易后难”答题节奏。
4.技巧提升：解答题规范步骤（如概率题需列举所有可能结果），灵活运用“排除法”“代入法”解题。
【题型一】全部调查与抽样调查
【例 1】（2025·河南焦作·一模）下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．坐地铁时对乘客行李的安检
B．对班级内的卫生死角进行检查
C．开学前学校对各班级桌椅数量的调查
D．对全国初中生目前睡眠情况的调查
【答案】D
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普
查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．逐
项判断即可．
【详解】解：A、坐地铁时对乘客行李的安检，必须保证安全，故必须普查；
B、此种情况数量不是很大，故必须普查；
C、此种情况数量需要准确，适合普查；
D、全国初中生的人数比较多，适合采取抽样调查．
故选：D．
本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．逐项判断即
可．
【例 2】（2025·河南平顶山·一模）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解河南省的空气质量情况 B．了解黄河河南段的水污染情况
C．了解河南省中小学生身高情况 D．了解本班同学的作业完成情况
【答案】D
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】本题主要考查了全面调查和抽样调查，
根据“精度要求高的调查和事关重大的调查”选用全面调查，根据“具有破坏性，全面调查意义或价值不大”应
选择抽样调查，解答即可．
【详解】解：因为了解河南省的空气质量，地域大，时间多，不能全面调查，所以 A 不符合题意；
因为了解黄河南段的水污染情况，工作任务量大，具有破坏性，不能全面调查，所以 B 不符合题意；
因为了解河南省中小学生身高情况，工作任务量大，不能全面调查，所以 C 不符合题意；
因为了解全班同学的作业完成情况，任务不大，能全面调查，所以 D 符合题意．
故选：D．
【变式 1】（2025·广西南宁·一模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查全市中学生每天体育锻炼时间
B．调查某款新能源汽车的抗撞击能力
C．调查神舟十九号飞船各零件是否合格
D．调查全市中学生视力情况
【答案】C
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】本题主要考查了普查和抽样调查．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面
调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，
全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可．
【详解】解：A、调查全市中学生每天体育锻炼时间，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；
B、调查某款新能源汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；
C、调查神舟十九号飞船各零件是否合格，最适合采用全面调查 (普查 ) ，本选项符合题意；
D、调查全市中学生视力情况，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式 2】（2025·河南濮阳·一模）下列调查活动适合采用全面调查的是（ ）
A．调查某班学生的身高 B．调查某品牌手机电池的使用寿命
C．调查某市居民的环保意识 D．调查全国中学生心理健康状况
【答案】A
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征
灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人
力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A、调查某班学生的身高适合全面调查；符合题意；
B、调查某品牌手机电池的使用寿命适合抽样调查；不符合题意；
C、调查某市居民的环保意识适合抽样调查；不符合题意；
D、调查全国中学生心理健康状况适合抽样调查；不符合题意；
故选 A．
【变式 3】（2025·湖北孝感·一模）下列说法正确的是（ ）
A．“某同学投篮球，投中”是随机事件
B．天气预报“明天降水概率50% ”，是指明天有 12 小时会下雨
C 2．甲、乙两人在相同的条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 S甲 = 0.32，
S 2乙 = 0.41，则乙的成绩更稳定
D．了解某市九年级学生的视力情况，采用全面调查
【答案】A
【知识点】根据方差判断稳定性、事件的分类、判断全面调查与抽样调查、概率的意义理解
【分析】本题主要考查随机事件、概率、方差及统计与调查，熟练掌握各个概念是解题的关键．
根据随机事件、概率、方差及统计与调查可进行求解．
【详解】解：A、“某同学投篮球，投中”是随机事件，说法正确，符合题意；
B、天气预报“明天降水概率50%，是指明天有可能会降雨”，原说法错误，故不符合题意；
C、甲、乙两人在相同的条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 S 2甲 = 0.32 2， S乙 = 0.41，
2
所以 S甲 < S
2
乙，则甲的成绩更稳定；原说法错误，不符合题意；
D、了解某市九年级学生的视力情况，应采用抽样调查，原说法错误，故不符合题意；
故选 A．
【题型二】总体、个体、样本、样本容量
【例 1】（2025·湖北孝感·二模）为了了解某市参加中考的 45000名学生的身高情况，抽查了其中 2000名学
生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ）
A． 2000名学生的身高情况是总体的一个样本
B． 45000名学生的身高情况是总体
C．每名学生是总体的一个个体
D．样本容量是 2000
【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，
明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包
含的个体的数目，不能带单位．
根据总体、个体、样本、样本容量的有关概念逐一排除即可．
【详解】解：A 、 2000名学生的身高情况是总体的一个样本，原选项叙述正确，不符合题意；
B、 45000名学生的身高情况是总体，原选项叙述正确，不符合题意；
C 、每名学生的身高是总体的一个个体，原选项叙述错误，符合题意；
D 、样本容量是 2000，原选项叙述正确，不符合题意；
故选：C ．
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考
查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个
体的数目，不能带单位．
【例 2】（2025·河北邢台·模拟预测）某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随
机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表：
垃圾分类次数（次） 1 2 3 4 5 6
人数（人） 4 4 8 10 8 6
那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是 3.5 次 B．中位数是 4 次
C．众数是 4 次 D．样本容量是 40
【答案】A
【知识点】求一组数据的平均数、总体、个体、样本、样本容量、求众数、求中位数
【分析】本题考查加权平均数，中位数，众数，样本容量．解题关键是掌握加权平均数、中位数的计算方
法、众数和样本容量的定义．
根据加权平均数和中位数的计算方法，求出平均数和中位数可判断 A、B，根据众数和样本容量的定义判断
C、D 即可．
1 4 + 2 4 + 3 8 + 4 10 + 5 8 + 6 6
【详解】解：A、平均数为 = 3.8，原说法错误，故此选项符合题意；
40
B、中位数是第 20 个和第 21 个数据点的平均值，均落在 4 次的范围内，因此中位数是 4，正确，故此选项
不符合题意；
C、出现次数最多的数据是 4 次（10 人），因此众数是 4，正确，故此选项不符合题意；
D、样本容量为 4 + 4 + 8 +10 + 8 + 6 = 40，正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式 1】（2024·广东中山·三模）为了了解某市九年级学生的肺活量，从中抽样调查了600 名学生的肺活量，
这项调查中的样本是 （ ）
A．某市九年级学生的肺活量 B．从中抽取的600 名学生的肺活量
C．从中抽取的600 名学生 D．600
【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，根据样本是总体中所抽取的一部分个体解答即可
得答案．熟练掌握概念是解题关键．
【详解】解：∵了解某市九年级学生的肺活量，从中抽样调查了600 名学生的肺活量，
∴样本是从中抽样调查的600 名学生的肺活量，
故选：B．
【变式 2】（2024·广西南宁·模拟预测）3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基
础．为了解某校 1 000 名九年级学生的睡眠时间，从 15 个班级中随机抽取 100 名学生进行调查，下列说法
中正确的是（ ）
A．1 000 名学生是总体 B．15 个班级是抽取的一个样本
C．100 是样本容量 D．每个学生是个体
【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是
明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包
含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是
总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、1000 名学生的睡眠时间是总体，原说法错误，不符合题意；
B、100 名学生的睡眠时间是抽取的一个样本，原说法错误，不符合题意；
C、100 是样本容量，原说法正确，符合题意；
D、每个学生的睡眠时间是个体，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
【变式 3】（2024·云南楚雄·模拟预测）【教育热点——双减】在推进国家“双减”政策落实中，某校不断增强教
育服务能力，把“减负”与“提质”有机结合起来，全力打造特色课程，确保课后服务多元化．为了解全校3000
名学生参加课后服务的情况，李老师随机抽取了50名学生对其参加课后服务的情况进行调查，下列叙述正
确的是（ ）
A．3000 名学生是总体 B．每名学生是个体
C．50名学生是所抽取的一个样本 D．样本容量是50
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念；根据总体是指考查的对象的全体，个体是总体
中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目逐项分
析即可求解．
【详解】解：A、总体是3000 名学生参加课后服务的情况，A 选项不符合题意；
B、所抽取的每名学生参加课后服务的情况是个体，B 选项不符合题意；
C、所抽取的50名学生参加课后服务的情况是抽取的样本，C 选项不符合题意；
D、样本容量是50，D 选项符合题意；
故选：D．
【题型三】平均数、中位数、众数
【例 1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏
了 7 枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5．这组数据的中位数和众数
分别为（ ）
A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4
【答案】B
【知识点】求中位数、求众数
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．本题考查了求
众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键．
【详解】解：将3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5从小到大排列为：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5， 3.5，3.5
其中 3.5 出现的次数最多，则众数为 3.5，
中位数为：3.4 ．
故选 B．
本题考查了众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中
间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．本题考查了求众数
和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键．
【例 2】（2025·浙江嘉兴·一模）一组数据从小到大排列为-1，0 ， 4， x ，6 ，16，这组数据的中位数为5，
则 x 的值为（ ）
A． 4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【知识点】 利用中位数求未知数据的值
【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照
从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4 + x
【详解】解：由中位数的概念可得， = 5，
2
解得： x = 6，
故选：D ．
【变式 1】（2025·四川宜宾·一模）在“十·一”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：81，86，85，
82，84，85，85，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是 85 B．众数是 85 C．平均数是 84 D．方差是 3
【答案】D
【知识点】求众数、求方差、求一组数据的平均数、求中位数
【分析】本题考查了方差、众数、平均数、中位数，解答本题的关键是掌握相关统计量的定义．根据平均
数、中位数、众数及方差的定义逐一计算即可判断．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为 81，82，84，85，85，85，86，故中位数是 85，故选项 A 不符合
题意；
众数是 85，故选项 B 不符合题意；
1
平均数为 (81+ 82 + 84 + 85 3 + 86) = 847 ，故选项
C 不符合题意；
1 2 2
方差为 [(81- 84) + (82 - 84) + (84 - 84)2 + 3 (85 - 84)2 + (86 - 84)2 ]
20
= ，故选项 D7 7 符合题意；
故选：D．
【变式 2】（2025·贵州安顺·一模）如图，这是根据某早餐店3月1日至5日每天的用水量（吨）绘制成的折线
统计图．下列说法正确的是（ ）
A．平均数是5吨 B．中位数是6 吨
C．众数是 4吨或8吨 D．以上都不正确
【答案】D
【知识点】求中位数、求众数、折线统计图、求一组数据的平均数
【分析】本题考查了折线统计图，平均数、中位数和众数，由折线统计图可知，3月1日至5日每天的用水
量分别为 4，6，10，2，8，再根据平均数、中位数和众数的定义逐项判断即可求解，掌握平均数、中位数和众数
的定义是解题的关键．
【详解】解：由折线统计图可知，3月1日至5日每天的用水量分别为 4，6，10，2，8，
4 + 6 +10 + 2 + 8
∴平均数为 = 6吨，故选项A 错误；
5
数据按由小到大的顺序排列为 2，4，6，8，10，
6 + 8
∴中位数为 = 7吨，故选项B错误；
2
∵每个数都出现了1次，
∴数据的每个数都是众数，故选项C 错误；
故选：D ．
【变式 3】（2025·安徽·一模）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是 A 校篮球队员的身高：
身高 cm 176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员身高的众数是185cm B．篮球队员的平均身高是180.1cm
C．篮球队员身高的中位数是180.5cm D．篮球队员身高的方差是3.2cm2
【答案】B
【知识点】求加权平均数、求方差、求中位数
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法
逐项分析即可．
【详解】A． ∵180cm出现的次数最多，
∴众数是180cm，故不正确；
1
B． 平均数= x = 176 +178 2 +180 3 +181 2 +182 +185 =180.1cm ，正确；
10
C． ∵从小到大排列后排在第 5 和第 6 位的是180cm，
∴中位数是180cm，故不正确；
D．
2 176 -180.1
2 + 2 178 -180.1 2 + 3 180 -180.1 2 + 2 181-180.1 2 + 182 -180.1 2 + 185 -180.1 2s = = 5.49，故
10
不正确．
故选 B．
【题型四】频数发布直方图
【例 1】（2025·湖南长沙·模拟预测）2025 年 1 月 23 日，中共中央、国务院、中央军委给神舟十八号航天员
叶光富颁发“二级航天功勋奖章”，授予李聪、李广苏“英雄航天员”荣誉称号并颁发“三级航天功勋奖章”．神
舟十八号载人飞行任务的圆满成功，标志着中国航天事业在实现高水平科技自立自强的新征程中迈出关键
一步．此次任务不仅提升我国综合国力和中华民族凝聚力，更进一步增强了全体中华儿女的民族自信心和
自豪感，对激励全党全军全国各族人民团结奋进、砥砺前行具有重要意义．某校为了解本校学生对航天知
识的了解情况，对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，
整理并制作成了如下不完整的图表：
分数段 频数 频率
60 x < 70 9 a
70 x < 80 36 0.4
80 x < 90 27 0.3
90 x 100 b 0.2
请根据上述统计图表，解答下列问题：
(1)表中 a = ___________，b = ___________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)根据以上数据，如果 80 分以上（含 80 分）为优秀，若该学校八年级学生有 900 名，请你估算一下该学
校八年级学生成绩优秀的人数．
【答案】(1) 0.1，18
(2)见解析
(3)估计该学校八年级学生成绩优秀的人数为 450 人
【知识点】频数分布表、频数分布直方图、由样本所在的频率区间估计总体的数量
【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图和统计图是解
题的关键．
（1）用 70 x < 80的频数除以其频率求出样本容量，进而求出 a、b 的值即可；
（2）根据（1）所求补全统计图即可；
（3）用 900 乘以样本中 80 分以上（含 80 分）的频率即可得到答案．
【详解】（1）解：∵样本容量为36 0.4 = 90，
∴ a = 9 90 = 0.1，b = 90 0.2 = 18；
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：900 0.2 + 0.3 = 450（人），
答：估计该学校八年级学生成绩优秀的人数为 450 人．
本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图和统计图是解题的关键．
【例 2】（2025·河南郑州·二模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛
（百分制），为了 解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了 40名学生的成绩（单位：分），并对数
据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表：
成绩 频数 频率
50 x < 60 2 0.05
60 x < 70 4 m
70 x < 80 10 0.25
80 x < 90 14 0.35
90 x < 100 10 0.25
合计 40 1.00
b ．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
c． 八年级学生竞赛成绩在80 x < 90这一组的数据是：80，80，82，83，83，
84，86，86，87，88，88，89，89，89．
d ．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：
中位数
七年级 81
八年级 n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m ， n 的值，m = ， n = ；
(2)此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学
生的成绩，他是哪个年级的学生 请说明理由．
【答案】(1) 0.1，85
(2)他在七年级，理由见解析
【知识点】求中位数、求扇形统计图的某项数目、频数分布表
【分析】本题考查了统计图与数据的分析综合，涉及频数和频率，中位数等知识，从统计图表获取信息和
对中位数是解题关键．
（1）根据频率=频数 总数，得出m 的值，再根据扇形统计图求出八年级学生在各个分数段的竞赛成绩人
数，最后根据中位数的概念可得 n 的值；
（2）根据中位数的定义解答即可．
【详解】（1）解：m = 4 40 = 0.1，
八年级学生竞赛成绩在 60 x < 70 的人数有 40 15% = 6（人），在 70 x < 80的人数有 40 20% = 8（人），在
80 x < 90的人数有 40 35% =14 （人），在90 x < 100的人数有 40 30% =12 （人），
又Q八年级学生竞赛成绩的中位数是将数据从小到大排列的第 20、 21位数的平均数，而第 20、 21位数分
别是80 x < 90这一组数据中的84、86，
\ 84 + 86八年级学生竞赛成绩的平均数为 n = = 85，
2
故答案为：0.1，85；
（2）他是七年级的学生，理由如下：
Q七年级学生竞赛成绩的中位数为81，八年级学生竞赛成绩的中位数为85，
\七年级有一半的学生成绩不高于81，八年级有一半的学生成绩不高于85，
\七年级超过有一半的学生成绩低于83，而八年级不确定超过有一半的学生成绩低于83，
\他在七年级．
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）2025 年哈尔滨亚冬会于 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日举行，亚冬会是继
2022 年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会．某校组织开展了冰雪知识竞赛，为了解本
次竞赛成绩情况，从参赛学生中随机抽取了若干名学生的竞赛成绩 x（单位：分）进行统计，得到如下不完
整的统计图表．
成绩 x/分 频数 频率 各组总分/分
60 x < 70 15 0.1 1000
70 x < 80 a 0.2 2250
80 x < 90 60 0.4 5000
90 x < 100 45 b 4200
请根据上述信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，表中b = _______，所抽取学生竞赛成绩的中位数落在_______组；
(2)请求出所抽取学生的平均竞赛成绩；
(3)学校将成绩为90 x < 100的学生评为“优秀”，若该学校共有 800 名学生参加此次竞赛，请你估计该校此次
竞赛被评为“优秀”的学生人数．
【答案】(1)见解析；0.3；80 x < 90
(2)83 分
(3)240 名
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、求一组数据的平均数、求中位数
【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，熟练掌握其定义是解题的关
键．
（1）根据频率之和计算出 b 的值，然后根据频数分布表中的数据计算出 a 的值，则可补全频数分布直方图；
再结合中位数的定义，可以直接写出所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在哪一段；
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（3）分析样本的优秀率，估计总体的情况即可．
【详解】（1）解：b =1- 0.1- 0.2 - 0.4 = 0.3， a = 15 0.1 0.2 = 30 ，
补全频数分布直方图如下：
共有 150 人，第 75、76 人的成绩落在80 x < 90内，
故答案为：0.3；80 x < 90．
1
（2）解： 1000 + 2250 + 5000 + 4200 = 83（分），
15 + 30 + 60 + 45
\所抽取学生的平均竞赛成绩为 83 分．
（3）解：0.3 800 = 240（名），
\估计该校此次竞赛被评为“优秀”的学生人数为 240 名．
【变式 2】（2025·安徽滁州·一模）某校组织开展主题为“节约用水，共建绿色校园”的社会实践活动．对全校
七年级和八年级学生开展节约用水知识测试，随机在两个年级中分别抽取 20 人的测试成绩进行统计分析
（满分为 100 分）．测试成绩为 x ，并绘制相关统计图（不完整），请你根据相关信息完成下列任务：
信息 1
七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58．
信息 2
八年级成绩在80 x < 90之间的数据为：89，88，85，81．
信息 3
七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下：
(1)填空： n = _____，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图；
(2)请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表：
平均 众数 中位数 方差
数
七
年 84.7 ①________ 84.5 67.21
级
八
年 83.7 96 ②________ 183.68
级
(3)若该校七年级和八年级分别有学生 680 人，测试成绩 90 分以上（含 90 分）为优秀，则两个年级达到优
秀的人数一共大约有多少人？
【答案】(1)45，图见解析
(2)①92；②88.5
(3) 544人
【知识点】频数分布直方图、求中位数、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、求众数
【分析】（1）先期初 70 x < 80和80 x < 90的百分比，进而可求出 n 的值；找出80 x < 90的人数即可补全频
数分布直方图；
（2）根据众数、中位数的定义求解即可；
（3）用 680 乘以成绩 90 分以上（含 90 分）所占的比例即可．
72°
【详解】（1）解：∵ = 20%，
360°
∴ n% =1-10% - 5% - 20% - 20% = 45% ，
∴ n = 45．
七年级成绩在80 x < 90的有：84，89，89，85，84，83，83，共 7 人，
（2）解：∵92 出现了 5 次，出现的次数最多，
∴七年级的众数是 92．
∵ 20 45% = 9，
∴八年级成绩的中位数在80 x < 90之间，
∵ 80 x < 90之间的数据从小到大排列为：81，85，88，89，
∴八年级的中位数为 88 + 89 2 = 88.5．
故答案为：92，88.5；
7
（3）解：680 + 680 45% = 544 （人），
20
答：两个年级达到优秀的人数一共大约 544 人
【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，以及方差等知识，熟练掌握各知识点
是解答本题的关键．
【变式 3】（2025·陕西西安·模拟预测）社会生活中处处都有志愿者的身影，志愿者用热情周到的志愿服务为
人们带来温暖，用行动书写“奉献、友爱、互助、进步”的故事．某学校为了解九年级未入团学生参加校志愿
活动的情况，从九年级未入团学生中随机抽取 20 名学生，在校志愿者活动记录上查到了他们参加志愿活动
的时长．部分数据如下：
a． 20名学生校志愿活动时长（小时）：17 、39、39、2、35、 46、7、17 、18、 48、 28、 26、 48、
39、19、 27、32、33、32、 44．
b．校志愿活动时长频数分布直方图，如图：（数据分成 5 组：0 x < 10，10 x < 20， 20 x < 30，
30 x < 40， 40 x < 50）
C．志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下
平均 众 中位
数 数 数
29.55 m n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m = ___________； n = ___________；
(2)补全校志愿活动时长频数分布直方图；
(3)根据学校共青团团委要求，参加校级志愿活动时长不够 20小时不能提出入团申请，若该校九年级未入团
学生有 290人，从志愿活动时长的角度看，估计有资格提出入团申请的学生人数．
【答案】(1) 39，32；
(2)图见详解；
(3)估计有资格提出入团申请的学生人数 203人．
【知识点】求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求众数
【分析】本题考查求众数，中位数，画直方图及利用样本估算总体情况：
（1）根据出现最多的是众数，最中间两个数的平均数是中位数直接求解即可得到答案；
（2）用样本数减去已经画了的频数即可得到频数，再补充图形即可得到答案；
（3）利用总数乘以频率即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
39出现 3 次最多，最中间两个数是32，
m = 39， n = 32 ，
故答案为：39，32；
（2）解：由直方图得，
30 x < 40的人数为： 20 - 2 - 4 - 3- 4 = 7（人），
直方图如图所示，
；
（3）解：由题意可得，
3+ 7 + 4
估计有资格提出入团申请的学生人数为： 290 = 203（人），
20
答：估计有资格提出入团申请的学生人数 203人．
【题型五】几何面积求概率
【例 1】（2025·山东济南·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷
一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ．
4
【答案】
9
【知识点】几何概率
【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的 4个小正方形格子构成，根据概率
公式计算即可得到答案．
【详解】解：Q飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的 4个小正方形格子
构成，
\ 4击中阴影区域的概率是 ，
9
4
故答案为： ．
9
本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
【例 2】（2025·安徽合肥·一模）如图，在一个正方形的网格上有A 、B 、C 、D、E 五个点，任意连接其中
3 个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为 ．
7
【答案】
9
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】此题考查的概率公式求概率．找到所有三角形和其中的直角三角形，然后利用概率公式求概率即
可．
【详解】解：从在格点上的点 A, B,C, D, E 中任取三个点构成的三角形有VABD、VACD、△BCD、VADE 、
VABE 、△ACE、VBCE 、VBDE 、VCDE，共 9 个，根据网格的特点可得VACD、△BCD、VADE 、
VABE 、△ACE、VBDE 、VCDE是直角三角形，VABD、VBCE 不是直角三角形，即在构成的三角形中，是
直角三角形的个数是 7 个，
7
∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为 ，
9
7
故答案为： ．
9
【变式 1】（2025·四川广安·模拟预测）“赵爽弦图”是我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的一种
验证勾股定理的图形．如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边长与短直角边长之比为
3:1．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
2
【答案】
5
【知识点】用勾股定理解三角形、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比．
2
【详解】解：设两直角边分别是 3x，x，则斜边即大正方形的边长为 3x + x2 = 10x ，小正方形的边长为
3x - x = 2x ，
\大正方形的面积为10x2 ，小正方形的面积为 4x2 ，
2
\ 4x 2针尖落在阴影区域的概率为
10x2
= ，
5
2
故答案为： ．
5
【变式 2】（2025·山东济南·一模）《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关
于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如
图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ．
1
【答案】 2
【知识点】中心对称图形的识别、几何概率
【分析】本题考查几何概率，中心对称图形的性质，熟练掌握几何概率等于几何图形面积比是解题的关键．
利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式
计算即可．
【详解】解：∵太极图是中心对称图形，
∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半，
∴在太极图中随机取一点，
1
此点取自黑色部分的概率是 2 ，
1
故答案为： 2
【变式 3】（2025·安徽合肥·一模）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
1
【答案】
3
【知识点】几何概率
【分析】本题考查了概率的计算，计算出阴影部分的面积占总面积的比例是解题的关键．
根据题意，运用割补法将不规则图形转换为规则图形，得到阴影部分的面积，再根据概率公式计算即可求
解．
【详解】解：将图形转换，如图所示，
类型 1 的有 6 块，类型 2 的有 6 块，
2 1 2 1
其中类型 1 的阴影部分占类型 1 的 = ，类型 2 的阴影部分占类型 2 的 = ，
6 3 6 3
4 1
∴阴影部分的面积占整个圆的面积的 = ，
12 3
1
∴飞镖落在阴影区域的概率为 ，
3
1
故答案为： ．
3
【题型六】画树状图或列表法求概率
【例 1】（2025·江西新余·一模）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独
特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“ A ．虾饺， B ．干蒸烧卖，C ．艇仔粥，D．蜜汁叉
烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
(1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________．
(2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
1
【答案】(1) 4
1
(2)
6
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概
率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有 4 种茶点，每种茶点被选到的概率相同，
∴ 1只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 4 ；
（2）解：画树状图如图所示：
由树状图知，共有 12 种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结
果有 2 种，
2 1
∴ P （张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）= = ．
12 6
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概
率计算公式求解即可．
【例 2】（2025·甘肃平凉·一模）甘肃省位于中国西北部，地处黄河上游，地势独特，气候适宜，孕育了丰富
的物产和独特的地方文化．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A .庄浪苹果，B .平凉山药，C .华亭
核桃，D .静宁烧鸡这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学
生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．
(1)该班的张萌同学抽取的卡片上是A .庄浪苹果的概率是___________；
(2)用列表或画树状图的方法，求该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率．
1
【答案】(1) 4
3
(2)
4
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用
概率公式可得出答案．
1
【详解】（1）解：由题意得，该班的张萌同学抽取的卡片上是A .庄浪苹果的概率是 4 ．
1
故答案为： 4 ；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有 16 种等可能的结果，其中张丽和杨光同学介绍的特产不同的结果有 12 种，
\ 12 3张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率为 = ．
16 4
【变式 1】（2025·陕西西安·一模）随着电影《哪吒 2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化 IP 便在消费市场上
掀起了一股热潮．如图，小文收集了 A、B、C、D、E 五个钥匙扣，其中 A 为哪吒造型，她想让好友云云和
珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归
属，将分别写有 A、B、C、D、E 的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样
的纸团，搅匀，她先让云云从这 5 个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的 4 个纸团
中随机抽取一个．
(1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______；
(2)利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．
1
【答案】(1)
5
2
(2)
5
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．
1
【详解】（1）解：共有五个钥匙扣，云云抽到哪吒造型（A）的概率即为 ；
5
（2）根据题意列表如下：
云
A B C D E
云珍珍
A B, A C, A D, A E, A
B A, B C, B D, B E, B
C A,C B,C D,C E,C
D A, D B, D C, D E, D
E A, E B, E C, E D, E
由表可得，一共有 20 种等可能的结果，其中云云和珍珍有一人抽到 A 的有 8 种结果，
\ 8 2云云和珍珍有一人抽到 A 的概率= = ．
20 5
【变式 2】（2025·陕西西安·一模）甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代
最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同
学制作了如图所示的 4 张卡片（这 4 张卡片分别用字母 A、B、C、D 表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、
龙，这 4 张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这 4 张卡片背面朝上，洗匀放好，李
洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张．
(1)李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率．
1
【答案】(1) 4
9
(2)
16
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是关键．
（1）共有 4 种结果，抽到“龙”的有一种，根据概率公式计算即可；
（2）列表法或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：共有 4 张卡片，抽到“龙”的有一种结果，
∴ 1正面文字是“龙”的概率为 4 ，
1
故答案为： 4 ；
（2）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有 16 种等可能的结果，其中李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的结果有 9 种，
9
\P（李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”）= ．
16
【变式 3】（2025·陕西西安·三模）投壶源于射礼，是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．张羽和
赵峰受投壶游戏的启发，制作了如图所示的签和签筒来玩，五支签上分别写有唱歌、跳舞、倒立、相声、
魔术（依次用A 、 B 、C 、D、E 表示）这五个节目名称，五支签除了所写的节目名称不同外其余完全相
同，且当签放在签简里时看不见所写的节目名称．张羽把五支签放在签筒里，摇匀并从中随机抽取一支，
记录签上的节目名称，不放回，然后赵峰再从签筒里随机抽取一支，记录签上的节目名称，他们各自要完
成自己所抽取的签上的节目．
(1)张羽抽到“跳舞”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求他们中有一人抽到“魔术”的概率．
1
【答案】(1)
5
2
(2)
5
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中他抽到“跳舞”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及张羽和赵峰鉴中有一人抽到“魔术”的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中他抽到“跳舞”的结果有1种，
1
他抽到“跳舞”的概率为 ．
5
1
故答案为： ；
5
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有 20 种等可能的结果，其中他们中有一人抽到“魔术”的结果有 8 种，
8 2
∴他们中有一人抽到“魔术”的概率为 = ．
20 5
【题型七】通过概率比较游戏是否公平
【例 1】（2025·陕西西安·三模）小明和小亮玩纸牌游戏，他们从同一副扑克牌中抽出四张，牌面数字分别为
3、6 、10、13，游戏规则如下：将四张牌正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中随机抽出一张并记下牌面
上的数字，不放回．小亮再从剩余的3张中随机抽出一张也记下牌面上的数字，若抽出的两张牌的牌面数字
都是两位数，则小明获胜；否则，小亮获胜．
(1)小明抽到标有数字6 的纸牌的概率为______；
(2)请用树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平．
1
【答案】(1) 4 ；
(2)这个游戏是不公平，理由见解析．
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用简单概率公式求解即可；
（2）画出树状图，分别求出他们获胜的概率，比较即可得出答案．
【详解】（1）∵牌面数字分别为3、6 、10、13，共四张牌，
\ 1小明抽到标有数字6 的纸牌的概率为 4 ．
1
故答案为： 4 ；
（2）解：游戏不公平，理由如下：
画出树状图：
共有12种等可能的结果，小明获胜的情况为 2种，小亮获胜的情况为10种，
\P 2 1 10 5小明获胜 = = ，P小亮获胜 = = ，12 6 12 6
1 5
∵ ，
6 6
\这个游戏不公平．
本题考查了列表法或画树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用简单概率公式求解即可；
（2）画出树状图，分别求出他们获胜的概率，比较即可得出答案．
【例 2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说
诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令
中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、减虫、以棒打虎、
虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，
继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用 A、B、C、D
分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”）
(1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________；
(2)判断这个游戏是否公平，并说明理由．
1
【答案】(1) 4
(2)游戏公平，理由见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】本题考查利用概率公式求概率，利用树状图或列表求概率，熟练掌握根据题意画出树状图或列表
是解题的关键．
（1）张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况，其中“虎棒”， 李四胜，利用概率公
式求概率即可；
（2）用A ， B ，C ， D分别表示老虎，棒子，鸡，虫，画出树状图，分别计算出张三和李四获胜的概率，
即可解答．
【详解】（1）解：张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况，
其中“虎棒”， 李四胜，
∴ 1张三喊出“虎”, 李四取胜的概率为 4 ，
1
故答案为： 4 ；
（2）解：游戏公平，理由如下：
用A ， B ，C ，D分别表示老虎，棒子，鸡，虫，
画树状图如下：
共16种等可能的情况，其中张三获胜的有 AC 、BA、CD、DB，共 4种，
4 1
则张三获胜的概率是 = ，
16 4
其中李四获胜的有 AB 、BD、CA、DC ，共 4种，
4 1
则李四获胜的概率是 = ，
16 4
则张三、李四获胜的概率相等，
所以游戏公平．
【变式 1】（2025·陕西西安·三模）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代
劳动人民的重要创造，具体指 A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是红武同学收
集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．
(1)若红武从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为 ．
(2)红武和浪浪玩游戏，红武从这四张卡片中随机抽取一张，浪浪再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，
若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则红武胜，否则浪浪胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是
否公平，并说明理由．
1
【答案】(1) 4
(2)游戏公平
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片有“D．印刷术”的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【详解】（1）解：∵有“A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术”四张卡片，
∴ 1小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“B．造纸术”的概率为 4 ．
1
故答案为： 4 ．
（2）解：画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有“D．印刷术”的结果有 6 种，
6 1
∴两人抽到的卡片有“D．印刷术”的概率为 = ．
12 2
故两人获胜概率一样，游戏公平.
【变式 2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2024 年 4 月 25 日 20 时 58 分 57 秒神舟十八号载人飞船成功发射，
这不仅是神舟十八号载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了我们大国崛起
的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩
瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但
名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出 A，B 两个均分且标有数字的
转盘，规则：分别转动两个转盘，将 A 盘转出的数字作为被减数，B 盘转出的数字作为减数，若差为负数，
则小希胜；若差为正数，则小辰胜．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止．）
(1)小希转动一次 A 盘，指针指向数字 5 的概率是 ___________；
(2)这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
1
【答案】(1) 4
(2)不公平，见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键．
（1）根据概率公式直接计算即可；
（ 2）根据题意列表求出两个人参加的概率，比较即可判断求解；
1
【详解】（1）解：小明转动一次 A 盘，则指针指向数字为 5 的概率是 4 ，
（2）解：不公平，理由如下：
根据题意画图如下：
共有 12 种等可能的情况数，其中差为负数的有 6 种情况，差为正数的有 4 种情况，
1 4 1
则小希胜的概率是 2 ，小辰胜的概率是
= ，
12 3
1 1
∵ < ，
3 2
∴这个游戏对双方不公平．
【变式 3】（2025·陕西西安·模拟预测）小慧和小德玩掷骰子和抛硬币的游戏，胜者可获得一张铁一中新年音
乐会的门票．规则如下：小慧先掷一次骰子，小德再抛一枚硬币，称为一次游戏；掷骰子时，记下朝上一
面的数字 a；抛掷硬币时，如果正面朝上，记作b = 2 ，如果反面朝上，记作b = -3；然后将 a、b 的值作为
平面直角坐标系中点 P 的横、纵坐标进行记录．例如，在一次游戏中，小慧抛出骰子朝上一面的数字为 4，
即 a = 4，小德抛出的硬币反面朝上，即b = -3，此时点 P 的坐标为 4, -3 ．
(1)小慧抛掷一次骰子，朝上一面的数字被 3 整除的概率为 ；
(2)两人约定：在一次游戏中，若点 P 在平面直角坐标系中的第一象限，则小慧获得门票：若点 P 在第四象
限，则小德获得门票．请你用列表或树状图的方法，判断这个游戏对两人是否公平？说明你的理由．
1
【答案】(1)
3
(2)这个游戏对两人公平，理由见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，读懂题意，利用列表法，列出所有可能的情况，是解答本
题的关键．
（1）根据题意，抛掷一次骰子，朝上一面的数字被 3 整除的数有 3 和 6，由此得到答案．
（2）用树状图即可列举出所有情况；得到点 P 在第一象限的结果数和点 P 在第四象限的结果数，求出所得
概率是否相等即可．
【详解】（1）解：抛掷一次骰子，朝上一面的数字可能为：1,2,3,4,5,6 ，朝上一面的数字被 3 整除的数有 3
和 6，
2 1
则朝上一面的数字被 3 整除的概率为 = ；
6 3
（2）解：这个游戏对两人公平，理由如下：
画树状图如下：
共有 12 中可能出现的结果，其中点 P 在第一象限的结果数有 6 种，点 P 在第四象限的结果数有 6 种，
6 1
则小慧获得门票和小德获得门票的概率都为 = ，
12 2
\这个游戏对两人公平．
【题型八】由频率估计概率
【例 1】（2025·云南昆明·一模）一只不透明袋子中装有 1 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某
数学学习兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个
过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.360 0.310 0.325 0.334 0.333 0.334
(1)该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______．(精确
到0.01) ，由此可估计出红球有______个．
(2)现从该袋子中一次摸出 2 个球，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求恰好摸到 2 个红球的概率．
【答案】(1) 0.33、2；
1
(2)树状图见解析， ．
3
【知识点】列表法或树状图法求概率、由频率估计概率
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）利用频率估计概率求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常
1
数是0.33，由此可估计出红球有 -1 = 2（个），
0.33
故答案为：0.33、2；
（2）解：根据题意画树状图如下：
由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中摸到 2 个红球的有 2 种结果，
1
\2 个球都是红球的概率为 ．
3
本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）利用频率估计概率求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【例 2】（2024·陕西·模拟预测）在一个盲盒中放有 6 个白球，7 个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全
相同，每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到
白球的频率稳定在0.3左右．
(1)估计盲盒中大约有______个红球；
(2)从盲盒中取出 2 个白球，2 个黄球，1 个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，请
用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率．
【答案】(1)7
1
(2)摸到两个球颜色相同的概率为
5
【知识点】已知概率求数量、列表法或树状图法求概率、由频率估计概率
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率：
（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率为0.3，据此求出总的总数即可得
到答案。
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸到两个球颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【详解】（1）解：∵经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.3左右，
∴摸到白球的概率为0.3，
∴盒中球的总个数约为6 0.3 = 20（个），
∴估计盲盒中红球大约有20 - 6 - 7 = 7（个），
故答案为：7；
（2）解：分别用 A、B 表示两个白球，C、D 表示两个黄球，E 表示红球，列表如下：
A B C D E
A B, A C, A D, A E, A
B A, B C, B D, B E, B
C A,C B,C D,C E,C
D A, D B, D C, D E, D
E A, E B, E C, E D, E
由表知，共有 20 种等可能结果，其中摸到两个球颜色相同的有 4 种结果，
4 1
∴摸到两个球颜色相同的概率为 = ．
20 5
【变式 1】（2024·福建泉州·模拟预测）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试
验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共 3 个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后
从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据：
摸球的次数 n 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000
摸到红球的次数m 372 613 1397 1961 2651 3337 3992
m
摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67
n
(1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______；
(2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你
同意小明的意见吗？请说明理由．
【答案】(1)2；
(2)同意小明的意见，理由见解析．
【知识点】已知概率求数量、列表法或树状图法求概率、由频率估计概率
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
（1）用总球数乘以摸到红球的概率即可得出答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公
式求出概率，即可得出答案．
【详解】（1）解：由表可得：当 n 很大时，摸到红球的频率将会接近 0.67，
∴摸到红球的概率为 0.67，
∴红球的个数：3 0.67 23 0.67 2（个）；
（2）解：同意小明的意见，理由如下：
记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件A ，画树状图如下：
总共有 6 种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有 2 种，
2 1
所以P A = = ；
6 3
记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件 B ，画树状图如下：
总共有 12 种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有 4 种，
4 1
所以P B = = ；
12 3
所以P A = P B ，
所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．
【变式 2】（2024·江苏苏州·一模）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：
在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共 4 个，这 4 个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球
搅匀，然后从袋中随机摸出 1 个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的
伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
(1)根据频率与概率关系的知识，请估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率约是______
（精确到 0.01），其中红球的个数是______；
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表或画树状图法求摸出的两个球刚好一个是红球和
一个是白球的概率．
【答案】(1)0.75，3
(2) 12
【知识点】列表法或树状图法求概率、由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
（1）通过图中的数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在 0.75 左右，得出红球的概率，再用红球
的概率乘以总球数，即可得出红球的个数；
（2）画树状图，得出所有等可能的情况是，找出符合条件的情况是，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 0.75，
4 0.75 = 3（个），
答：红球的个数是 3 个．
故答案为：0.75，3；
（2）由（1）可知帆布袋中有 3 个红球和 1 个白球．
列表如下：
白 红 1 红 2 红 3
白 白，红 1 白，红 2 白，红 3
红 1 红 1，红 2 红 1，红 3
红 2 红 2，红 3
红 3
可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有 6 种，即（白，红 1），（白，红 2），（白，
红 3），（红 1，红 2），（红 1，红 3），（红 2，红 3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好
一个是红球和一个是白球（记为事件 A）共有 3 种结果，即（白，红 1），（白，红 2），（白，红 3），
3 1
所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是 = ．
6 2
【变式 3】（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ABC ，
为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为 1 米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外 100 200 500 1000 ……
沿)
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 ……
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数
68 137 347 695 ……
n
小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x ……
【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 m + n )，则表格中的数据 x = ； 随着投掷次数增
大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 0.1 )；
【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 π )
10
【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是 π平方米
3
【知识点】用频率估计概率的综合应用
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据圆的面积公式得到圆的面积=12 π = π（平方米），利用圆的面积 频率值-圆的面积即可得到结
论．
305
【详解】解：（1） x = = 0.305，
1000
随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 0.3 附近，
故答案为：0.305，0.3；
（2）∵圆的面积=12 π = π（平方米），
10
∴整个封闭图形的面积= π 0.3 = π（平方米），
3
10
答：估计整个封闭图形的面积是 π平方米．
3
【题型九】统计与概率综合问题
【例 1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）安全使用电瓶车可以大幅度减少交通事故造成人身伤害，为此交警部门
在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市
民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计表．
(1)表中 a 的值是______________．
(2)小星认为：宣传活动后骑电瓶车“从不戴”安全头盔的有 178 人，比宣传前增加了 1 人，因此交警部门宣
传活动没有效果，小星分析数据的方法合理吗？结合统计表谈谈你的看法．
(3)宣传活动后，交警在一家有 4 名成员的家中，有 2 男 2 女，从 4 名成员中随机抽取 2 人进行问卷调查，
请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1) 245
(2)不合理，见解析
2
(3)
3
【知识点】统计表、由条形统计图推断结论、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，统计表与条形统计图，正确画出树状图或列出表格是
解题的关键．
（1）由总人数减去 A,C , D 情况的人数即可；
（2）从统计表中综合分析；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解
即可．
【详解】（1）解：由题意得， a =1000 - 68 - 510 -177 = 245，
故答案为： 245；
（2）解：不合理，
虽然“从不戴”安全头盔的有 178 人，比宣传前增加了 1 人，但是之前“每次戴”的人数 68 人，现在已经 896
人了，之前“经常戴”的人数 245 人，现在已经 702 人，增加更加明显；而之前“偶尔戴”的人数 510 人，现在
降为 224 人，减少明显，说明宣传有效果，不能仅仅凭“从不戴”安全头盔的人数分析，需要综合分析才可以；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有 12 种等可能性的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数有 8 种，
∴ 8 2恰好抽到一男一女的概率是 =12 3 ．
此题考查了树状图或列表法求概率、求众数、中位数、频率等知识，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）利用频率等于频数除以总数即可求出 a，根据中位数和众数的定义进行解答即可；
（2）用总人数乘以抽取的数据中优秀以上的占比即可；
（3）列表找到所有等可能结果，再用满足要求的结果数除以总的结果数即可求出答案．
【例 2】（2025·贵州遵义·一模）为了解九年级学生选中考跳绳项目的训练情况，某校随机抽取了选定跳绳的
九年级 20 名学生进行跳绳测试，并对测试成绩（单位：个）进行了统计分析：
【收集数据】
130，146，155，156，157，178，163，165，170，171
173，173，158，178，178，179，184，186，186，190
【整理数据】
学校规定： x <140为不合格，140≤ x <160为合格，160 x <170为良好，170 x <180为优秀， x 180为
满分（个数用 x 表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 5 0.25
良好 2 0.1
优秀 8 a
满分 4 0.2
合计 20 1
【分析数据】
此组数据的平均数是 168.8，众数是b ，中位数是 c；
【解决问题】
(1)填空： a = ______，b = ______， c = ______；
(2)若该校九年级选定跳绳项目共有 300 名学生，估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有多少人？
(3)现在从 4 名（其中 3 名女生，1 名男生）满分学生中随机抽两名学生参加艺术节活动表演，请用列表或树
状图求出抽到一男一女的概率是多少？
【答案】(1) 0.4 ，178，172
(2)180人；
(3) 12
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、列表法或树状图法求概率
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率、求众数、中位数、频率等知识，熟练掌握相关概念是解题的
关键．
（1）利用频率等于频数除以总数即可求出 a，根据中位数和众数的定义进行解答即可；
（2）用总人数乘以抽取的数据中优秀以上的占比即可；
（3）列表找到所有等可能结果，再用满足要求的结果数除以总的结果数即可求出答案．
8
【详解】（1）解： a = = 0.4，
20
出现最多的数据是 178，则众数b =178，
数据排列如下：130，146，155，156，157，158，163，165，170，171，173，173，178，
178，178，179，184，186，186，190
c 171+173第 10 和第 11 个数据为 171，173，故中位数 = =172，
2
故答案为： 0.4 ，178，172
8 + 4
（2）300 =180（人）
20
答：估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有180人；
（3）列表如下：
男 女 1 女 2 女 3
男 女 1，男 女 2，男 女 3，男
女 男，女 女 2， 女 3，
1 1 女 1 女 1
女 男，女 女 1， 女 3，
2 2 女 2 女 2
女 男，女 女 1， 女 2，
3 3 女 3 女 3
从表格中可知，共有 12 中等可能的结果，抽到一男一女的结果数为 6 种，
6 1
∴抽到一男一女的概率是 =
12 2
【变式 1】（2025·广东东莞·一模）2025 年春节档电影市场火爆，类型丰富多样，某影院针对观看《哪吒之
魔童问海》《唐探 1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》这四部热门春节档电影的观众
展开调查，以了是相关统计信息：
电影名称 观影人数 观影人数占比
《哪吒之魔童闹海》 280 人 35%
《唐探 1900》 240 人 a
《射雕英雄传：侠之大者》 b 人 20%
《封神第二部：战火西岐》 120 人 15%
根据以上信息，完成下列问题：
(1)此次参与调查的观众总人数为 人， a = ，b = ．
(2)如果根据上面的数据制作成扇形统计图，求《唐探 1900》对应的扇形圆心角度数．
(3)假设有甲、乙两位观众准备从这四部电影中随机选择一部观看，且两人选择相互独立．用A 、B 、C 、D
分别表示《哪吒之魔童闹海》《唐探 1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》四部电影，
请用列表法或树状图求出两人选择同一部电影的概率．
【答案】(1)800；30%；160
(2)108°
1
(3) 4
【知识点】求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了样本的相关计算，扇形统计图的圆心角，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上
知识点是解题的关键．
（1）根据题意选择《哪吒之魔童闹海》或《封神第二部：战火西岐》的数据，利用总人数等于观影人数除
以观影人数占比计算，得到总人数，然后由总人数即可算得 a、b 的值；
（2）由（1）可知《唐探 1900》的观影人数占比为30%，根据扇形圆心角度数等于360° 30%计算即可；
（3）列出表格得出甲、乙两位观众选到同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，参与调查的观众总人数为 280 35% = 800（人）；
a 240= 100% = 30%；
800
b = 800 20% =160；
故答案为：800；30%；160．
（2）解：由（1）可知《唐探 1900》的观影人数占比为30%，
因此《唐探 1900》对应的扇形圆心角度数为360° 30% =108° ．
（3）解：根据题意，列表如下，
由表格可知，共 16 种等可能的结果，其中甲、乙两位观众选到同一部电影的结果有 4 种，
\两人选择同一部电影的概率P
4 1
= = ．
16 4
【变式 2】（2025·河北石家庄·一模）某学校为丰富课后服务内容，计划开设足球，篮球，乒乓球，跳绳，排
球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每
位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题
(1)本次调查共抽取了_______名学生；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______；
(2)若全校共有 1200 名学生，请估计喜爱“排球”项目的学生人数；
(3)在汇报展示中，甲同学从篮球项目标有“A 运球”“B 投篮”“C 三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，
乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到“A 运球”的概率．
【答案】(1) 300,120°
(2)估计喜爱“排球”项目的学生人数约为 200 人
5
(3)
9
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关
联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，运用列表或画树状图的方法求随机事件的概率，掌
握样本百分比估算总体数量，圆心角的计算，列表或画树状图的方法的运用是解题的关键．
（1）根据跳绳的人数，百分比可得抽样人数，根据乒乓球球的人数，运用圆心角的计算方法得到所对应的
圆心角度数；
（2）根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解即可；
（3）运用列表或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：抽样中跳绳的有30人，所占百分比为10% ，
∴ 30 10% = 300（人），
∴本次调查共抽取了300名学生，
抽样中乒乓球的有100人，
100
∴对应的圆心角的度数为360° =120°，
300
故答案为：300,120°；
（2）解：抽样中排球的人数是50人，
50
∴1200 = 200（人），
300
∴估计喜爱“排球”项目的学生人数约为 200 人；
（3）解：运用列表或画树状图的方法把所有等可能结果表示如下，
A B C
A A, A A, B A,C
B B, A B, B B,C
C C, A C, B C,C
共有 9 种等可能结果，其中甲乙两人至少有一人抽到“A 运球”的 A, A , A, B , A,C , B, A , C, A ，共 5 中，
5
∴甲乙两人至少有一人抽到“A 运球”的概率为 ．
9
【变式 3】（2025·贵州黔东南·一模）2025 年 2 月 27 日，小米 SU7 Ultra 召开发布会，获得了广泛的关注与
好评，小米的成功不仅助力国家实现能源转型与产业升级，更在全球竞争中树立了中国“智”造的新标杆.未
来，其成功的经验或将成为其他行业突破高端市场的参考范式，推动中国从“制造大国”向“科技强国”加速迈
进.随着人们对新能源汽车的认可，新能源汽车公共充电桩的需求量也逐渐增大.据调查：贵州省某季度“星星
充电”、“云快充”、“国家电网”、“特来电”等企业投放充电桩数量的条形统计图及所占市场份额百分比的扇形
统计图如图：
(1)补全条形统计图和扇形统计图；
(2)观察条形统计图，在各企业投放充电桩数量（万台）的数据中，众数是______万台，中位数是______万
台；
(3)小鹏收集了下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为 A，B，C，D 的四张卡片（除编号和内容外，
其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一
张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率.
【答案】(1)见解析
(2) 3；3
1
(3)
6
【知识点】画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、根据概率公式计算概率、列表法或树状图
法求概率
【分析】（1）用条形统计图中“云快充”的数量除以扇形统计图中“云快充”的百分比可得各企业投放充电桩总
数量，进而可得“国家电网”的充电桩数量，以及扇形统计图中，“国家电网”和“星星充电”的百分比，补全条
形统计图和扇形统计图即可；
（2）根据众数和中位数的定义可得答案；
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，得：各企业投放充电桩总数量为 2 10% = 20（万台），
“国家电网”的充电桩数量为 20 - 7 - 2 - 3- 3 = 5（万台），
\扇形统计图中，“国家电网”的百分比为5 20 100% = 25% ，“星星充电”的百分比为7 20 100% = 35%，
\补全条形统计图和扇形统计图如图所示：
（2）解：由条形统计图可知，在各企业投放充电桩数量（万台）的数据中，众数是3万台．
将 5 个数据按照从小到大的顺序排列，排在第3位的数据为3万台，
\中位数是3万台．
故答案为：3；3．
（3）解：列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的结果有： A，D ， D，A ，共 2种，
\ 2 1抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率为 = ．
12 6
【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、概率公式，掌握列表法
与树状图法、概率公式是解题关键．

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