资源简介

17章 勾股定理
【考点梳理】
考点一：勾股定理
勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。如图：
如图，在中，∠C＝90°，所对的边分别是，则有。
；；
考点二：勾股定理与特殊三角形
勾股定理与含30°直角三角形：由勾股定理可得30°所在直角三角形三边（从小到大）的比值为：
。
勾股定理与等腰直角三角形：由勾股定理可得等腰直角三角形三边（从小到大）的比值为：。
勾股定理与等边三角形：若等边三角形的边长为，则结合勾股定理与30°所在直角三角形可得等边三角形的面积为：。
考点三：两点间的距离公式
若平面直角坐标系中点与点，利用勾股定理可得两点间的距离公式为：（注意公式中坐标前后对应）
考点四：勾股定理的证明
证明勾股定理常用图形和方法：
图形：（常用图形）
方法：等面积法证明勾股定理。即用整体法与图形面积加和法分别表示图形的面积建立等式证明。
考点五：勾股定理逆定理
在△ABC中，若三角形的三边分别是且满足，则△ABC是直角三角形且∠C是直角。
勾股定理逆定理用来判断一个三角形是不是直角三角形。
判定直角三角形的方法：①勾股定理逆定理；
②有一个角是直角（有两个角互余）的三角形是直角三角形。
考点六：勾股数
满足勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
注意：①一定满足勾股定理；
②一定是正整数。
勾股数的常见类型（3，4，5）
①3，4，5的倍数型：
②奇数型：（n为大于等于3的奇数）
③偶数型：（n为大于等于3的偶数）
注意：以上三种类型的任何正数被均满足勾股定理，但不一定是勾股数。
【题型训练】
考点一：勾股定理
【考试题型1】求直角三角形的第三边
例题讲解：1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（　　）
A．4 B． C．4或 D．2或2
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【解答】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝．
故选：C．
2．在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝（　　）
A．3 B．1 C． D．或3
【分析】分5是直角边和5是斜边两种情况进行分类讨论．
【解答】解：当5为直角边时，
BC＝，
当5为斜边时，
BC＝＝3，
综上所述，BC的长为或3．
故选：D．
【解题方法】先确定直角三角形的斜边，然后利用公式计算。
【考试题型2】求线段长度
例题讲解：3．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，
，
，
，
∴表示应为线段OB．
故选：B．
【解题方法】判断线段所在的三角形为直角三角形，并求出另两边，然后在利用勾股定理求值。
【考试题型3】求“树状”图形面积
例题讲解：4．如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝18，
∴S2＝9，
由图形可知，阴影部分的面积＝S2，
∴阴影部分的面积＝，
故选：B．
【解题方法】利用两直角边向外作的图形（等腰直角三角形、等边三角形、正方形、半圆等)的面积之和等于斜边向外作的图形的面积进行求解。
【考试题型4】确定数轴上的点表示的无理数
例题讲解：5．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先计算出AM的长度，AM的长度即为AC的长度，结合矩形的性质和直角三角形勾股定理即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1，
∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°．
∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3，
∴AC＝＝，
∴AM＝AC＝，
∴点M所表示的数为﹣1．
故选：D．
6．如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以OA为边作长方形OABC，AB＝1，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】如图，连接AP，利用勾股定理可以求出OP的长度即可求解．
【解答】解：如图，连接AP，
依题意AP＝2，OC＝1，
∴OP＝＝，
∴点P表示的数是．
故选：D．
【解题方法】利用勾股定理求出圆心到数轴上表示无理数的点的距离，再用圆心表示的数加上或减去该距离得到的结果即为表示的无理数。若线段在圆心右边则加上距离，左边则减去距离。
【考试题型5】垂美四边形（对角线相互垂直的四边形）
例题讲解：7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　）
A．45 B．49 C．50 D．53
【分析】在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得，AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，再将两式相加根据勾股定理即可求解．
【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得，
AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2
＝AD2+BC2
＝22+72
＝53，
故选：D．
【解题方法】由勾股定理可得垂美四边形的对边的平方和相等。
【考试题型6】勾股定理的应用
例题讲解：8．如图，钓鱼竿AB的长为5.4米，露在水面上的鱼线BC长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB'的位置时，露在水面上的鱼线B'C'长为4.2米，则CC'的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】直接利用勾股定理求出AC、AC′的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，AB′＝AB＝5.4米，BC＝1.8米，B'C'＝4.2米，
在Rt△ABC和Rt△AB'C'中，由勾股定理得：AC＝＝＝（米），AC'＝＝＝（米），
∴CC'＝AC﹣AC'＝﹣＝（米），
故选：C．
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　1.5　米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故答案为：1.5．
【解题方法】将实际问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理建立方程进行求解。
考点二：勾股定理与特殊三角形
【考试题型1】利用特殊直角三角形求线段长度
例题讲解：10．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE．若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为（　　）
A．5cm B．cm C．6cm D．cm
【分析】过点E作EF⊥AB，先求出∠EBF＝45°，EB＝DB，根据勾股定理求出BD的长几颗解答．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，如图：
∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，
∴BC＝6cm，∠ABC＝60°，
∵∠CBD＝45°，△BDE是等边三角形，
∴BD＝6cm＝BE，∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝6cm，
∴点E到AB边的距离为6cm，
故选：C．
【解题方法】结合勾股定理与特殊三角形三边的比值求解。
考点三：两点间的距离公式
【考试题型1】求平面直角坐标系中两点的距离
例题讲解：11．在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离＝，
故选：B．
【解题方法】利用两点间的距离公式求解。
考点四：勾股定理的证明
【考试题型1】判断图像是否能够证明勾股定理
例题讲解：12．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【解题方法】利用等面积法建立等式转化观察。
【考试题型2】利用勾股定理的证明求值
例题讲解：13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中勾a＝3，弦c＝5，则小正方形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理可以求得b的值，再根据图形可知小正方形的边长为b﹣a，然后正方形的面积＝边长×边长计算即可．
【解答】解：由图可得，
b＝＝＝4，
∴小正方形的边长为4﹣3＝1，
∴小正方形的面积为1×1＝1，
故选：A．
【解题方法】利用勾股定理的证明方法与乘法公式进行转化求解。
考点五：勾股定理逆定理
【考试题型1】判定直角三角形
例题讲解：14．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【解题方法】若题目中给出的是角的关系，则根据已知条件以及三角形的内角和判断是否有90°的角；若题目中给的是边的关系则判断三边是否满足勾股定理。
【考试题型2】勾股定理逆定理的应用
例题讲解：15．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝8．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为边BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝9，易求AC2+AB2＝81＝BC2，从而可知△ABC是直角三角形．
（2）分三种情况：①当BP＝AB时；②当BP＝AP时；③当AP＝AB时；分别求出BP的长即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，
∴AB2＝AD2+BD2＝9，
又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝2，
∴AC2＝CD2+AD2＝72，
∵BC＝CD+BD＝9，
∴BC2＝81，
∴AC2+AB2＝81＝BC2，
△ABC是直角三角形．
∴∠BAC＝90°．
（2）解：分三种情况：
①当BP＝AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB＝＝3，
∴BP＝AB＝3；
②当BP＝AP时，P是BC的中点，
∴BP＝BC＝4.5；
③当AP＝AB时，BP＝2BD＝2；
综上所述：BP的长为3或2或4.5．
【解题方法】根据已知条件利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，在利用勾股定理进行相关求值。
考点六：勾股数
【考试题型1】判断一组数据是否为勾股数
例题讲解：16．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】根据勾股数的定义判断即可．
【解答】解：A.12+22≠32，不是勾股数，不符合题意；
B.，不是整数，不符合题意；
C.32+42＝52，是勾股数，符合题意；
D.42+52≠62，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
17．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（　　）
A．13 B． C．13或 D．不确定
【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理：①x2+52＝122，②52+122＝x2．再解x即可．
【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+52＝122，
解得：x＝（不合题意，舍去），
②52+122＝x2，
解得：x＝13，
则第三个勾股数是13．
故选：A．
【解题方法】先判断各数是否为正整数，才判断是否满足勾股定理。
【考试题型2】利用勾股数的规律求值
例题讲解：18．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； a，b，c．
（1）当a＝11时，求b，c的值
（2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【分析】（1）由表格中勾股数的规律，勾股数的定义得到b2+112＝（b+1）2，求出b＝60，得到c＝61；
（2）直角三角形的三边长都是正整数时，则这三个数为勾股数，因此即可判断．
【解答】解：（1）由表格中勾股数的规律，得到c＝b+1，
∵a2+b2＝c2，a＝11，
∴b2+112＝（b+1）2，
∴b＝60，
∴c＝61；
（2）10，24，26是一组勾股数，理由如下：
∵102+242＝676，262＝676，
∴102+242＝262，
∴10，24，26是一组勾股数．
【解题方法】根据勾股数的定义结合题目给出的勾股数判断勾股数的类型，然根据其规律求值。
【考试题型3】勾股数的证明
例题讲解：19．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
①　6　，8，10；②5，　12　，13：③8，15，　17　．
（2）任取两个正整数m和n（m＞n），请你证明这三个整数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数．
【分析】（1）根据勾股数的定义解答即可；
（2）根据勾股数的定义进行计算即可．
【解答】（1）解：①102＝100，82＝64，100﹣64＝36，
∵62＝36，
∴6，8，10是一组勾股数．
故答案为：6；
②52＝25，132＝169，169﹣25＝144，
∵122＝144，
∴5，12，13是一组勾股数．
故答案为：12；
③82＝64，152＝225，64+225＝289，
∵172＝289，
∴8，15，17是一组勾股数．
故答案为：17．
（2）证明：∵（2mn）2＝4m2n2，（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，
∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，
∴任取两个正整数m和n（m＞n），这三个整数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数．
【解题方法】先判断各数是否满足都为正整数，在计算证明数量关系是否满足勾股定理。
【过关测试】
一．勾股定理
1．已知，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为2、3，则它的斜边AB的长为（　　）
A． B．4 C． D．
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：AB＝，
故选：D．
2．一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（　　）
A．15 B．13 C．10 D．8
【分析】由等腰三角形的性质得BD＝DC＝BC＝6，再由勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，
即底边上的高是8，
故选：D．
3．已知△ABC中，∠B＝90°，若c﹣a＝6，b＝2，则△ABC的面积为 　8　．
【分析】由勾股定理得出a2+c2＝68，可求出ac＝16，则可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，b＝2，
∴a2+c2＝＝68，
∵c﹣a＝6，
∴c2﹣2ac+a2＝36，
∴ac＝16，
∴＝8，
故答案为：8．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，由于OB＝OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
【解答】解：∵点A坐标为（2，3），
∴OA＝＝，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA＝OB＝，
∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
5．如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形格点上，连接AB，AC，点C到AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用面积法求解即可．
【解答】解：连接BC．
△ABC的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×2＝6，
设C点到AB的距离为h，
∵△ABC的面积＝ AB h＝6，AB＝＝2，
∴h＝＝．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为10，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由正方形的性质推出AB＝AF，∠BAN＝∠F＝90°，由余角的性质推出∠ABN＝∠MAF，由ASA证明△BAN≌△AFM，得到△BAN的面积＝△AFM的面积，因此四边形FNCM的面积＝△ABC的面积，得到空白部分的面积＝正方形ABGF的面积﹣2×△ABC的面积，因此AB2﹣2×AC BC＝10①，由完全平方公式得AC2+BC2+2AC BC＝49，由勾股定理得到AB2+2AC BC＝49②，于是AB2＝23，即可求出AB的长．
【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，
∴AB＝AF，∠BAN＝∠F＝90°，
∴∠MAF+∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABN+∠BAC＝90°，
∴∠ABN＝∠MAF，
∵AB＝AF，∠BAN＝∠F，
∴△BAN≌△AFM（ASA），
∴△BAN的面积＝△AFM的面积，
∴四边形FNCM的面积＝△ABC的面积，
∴空白部分的面积＝正方形ABGF的面积﹣2×△ABC的面积，
∴AB2﹣2×AC BC＝10①，
∵AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝72，
∴AC2+BC2+2AC BC＝49，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2+2AC BC＝49②，
由①和②得AB2＝23，
∴AB＝（舍去负值）．
故选：A．
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（　　）
A．8 B．50 C．64 D．136
【分析】连接BD，根据勾股定理可得AD2+AB2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，即S1+S4＝S2+S3，即可求解．
【解答】解：连接BD，
根据勾股定理可得AD2+AB2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，
即S1+S4＝S2+S3，
∴S2＝100﹣36＝64，
故选：C．
8．已知直角坐标平面内两点A（3，1）和B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 　　．
【分析】直接根据两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：AB＝，
即A、B两点间的距离等于，
故答案为：
9．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据勾股定理即可得到OB的长，进而得出OP的长，即可得到点P所表示的数．
【解答】解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2，
∴OB＝，
又∵OB＝OP，
∴OP＝，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为．
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（　　）
A．225 B．289 C．324 D．170
【分析】由勾股定理得AB2＝AC2+BC2＝172＝289，再由正方形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝172＝289，
∴正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和＝AC2+BC2＝289，
故选：B．
11．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　）
A．166 B．186 C．196 D．256
【分析】根据角平分线的定义、平角的定义得到∠ECF＝90°，根据平行线的性质、等腰三角形的判定分别求出EM、FM，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB，∠ACF＝∠DCF＝∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，即∠ECF＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠MEC＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠MEC，
∴EM＝CM＝7，
同理可得：FM＝CM＝7，
∴EF＝14，
∴CE2+CF2＝EF2＝142＝196，
故选：C．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【分析】由勾股定理求出AB长，由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长，由线段中点定义求出BE长，即可得到DE＝BE﹣BD＝0.7．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵CD⊥AB于点D，
∴△ABC的面积＝BC CA＝AB CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4，
∴BD＝＝1.8，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝2.5，
∴DE＝BE﹣BD＝0.7．
故选：B．
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于E，交∠CAB的角平分线于F，连接CF、BF，若BF＝5，△CEF的周长为17，则AF的长度是（　　）
A． B．10 C．12 D．13
【分析】由线段垂直平分线的性质可得CF＝BF＝5，CE＝BE，EF⊥BC，由平行线的性质和角平分线的性质可求AE＝EF，可证AE＝EF＝EB＝EC，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF＝5，CE＝BE，EF⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
∵∠CAF＝∠AFE，
∵AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∵△CEF的周长为17，
∴CF+CE+EF＝17，
∴BE+AE+5＝17，
∴AB＝12，
∵BE＝CE，
∴∠BCE＝∠EBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE，
∴AE＝EF＝BE，
∴∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝，
故选：A．
14．勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　）
A．n＝p B．m+q＝y
C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2
【分析】连接BF，过点E作EC⊥BF于C，先证△EBF和△EHI全等得BF＝HI＝y，∠4＝∠1，证△KAB和△ECB全等得AB＝EC＝n，AK＝BC＝m，证△FDT和△ECF全等得FD＝EC＝p，DT＝CF＝q，从而得AB＝EC＝FD，则n＝p，据此可对选项A进行判断；再由BF＝BC+CF＝m+q，BF＝HI＝y可对选项B进行判断；由于y＝m+q正确，显然y＝mq不正确，据此可对选项C进行判断；在Rt△BEC中由勾股定理得m2+n2＝BE2，在Rt△ECF中由勾股定理得p2+q2＝BF2，在Rt△BEF中，由勾股定理得BE2+BF2＝BF2＝y2，据此可对选项D进行判断．
【解答】解：连接BF，过点E作EC⊥BF于C，如图所示：
依题意得：EB＝EH＝KB，EF＝EI＝FT，∠BEF＝∠HEI＝90°，
∠BAK＝90°，∠FDT＝90°，
在△EBF和△EHI中，
，
∴△EBF≌△EHI（SAS），
∴BF＝HI＝y，∠4＝∠1，
∵∠1＝∠2＝∠3＝α，
∴∠4＝∠1＝∠2＝∠3＝α，
∵EC⊥BF于C，
∴∠ECB＝∠ECF＝90°，
∴∠BAK＝∠ECB＝90°，∠ECF＝∠FDT＝90°，
在△KAB和△ECB中，
，
∴△KAB≌△ECB（AAS），
∴AB＝EC＝n，AK＝BC＝m，
∵∠4+∠BEC＝90°，∠BEC+∠CEF＝90°，
∴∠4＝∠CEF，
∴∠3＝∠CEF，
在△FDT和△ECF中，
，
∴△FDT≌△ECF（AAS），
∴FD＝EC＝p，DT＝CF＝q，
∴AB＝EC＝FD，
即n＝p，
故选项A正确，
∵BF＝BC+CF＝m+q，
又∵BF＝HI＝y，
∴y＝m+q，
故选项B正确；
∴y＝m+q正确，显然y＝mq不正确，
故选项C不正确：
在Rt△BEC中，BC＝AK＝m，EC＝n，
由勾股定理得：BC2+EC2＝BE2，
即m2+n2＝BE2，
在Rt△ECF中，EC＝FD＝p，CF＝q，
由勾股定理得：EC2+CF2＝BF2，
即p2+q2＝BF2，
在Rt△BEF中，BF＝y，
由勾股定理得：BE2+BF2＝BF2，
即m2+n2+p2+q2＝y2，
故选项D正确．
故选：C．
15．两点之间的距离公式：若数轴上两点A1，A2分别表示实数x1，x2，A1，A2两点间的距离记作|A1A2|，那么|A1A2|＝|x2﹣x1|．
问题提出：对于平面上的任意两点A1，A2间的距离是否有类似的结论呢？我们作出了如下猜想．
猜想：运用勾股定理，就可以推导出平面上任意两点之间的距离公式．根据这个思路，让我们一起进行如下探究吧!
问题探究：
（1）①如图1，A1，A2两点之间的距离|A1A2|＝　5　；
②如图2，已知平面上两点A（1，1），B（5，4），求这两点之间的距离|AB|；
（2）一般地，已知平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如图3，请计算A，B两点之间的距离|AB|．
【分析】（1）①根据数轴上的两点距离公式求解即可；②先求出AC与BC的距离，再根据勾股定理求解即可；
（2）根据分别过点A，B作y轴、x轴的平行线，两直线交于点C，求出AC与BC的距离，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）①|A1A2|＝|﹣1﹣4|＝5，
故答案为：5；
②|AC|＝|5﹣1|＝4，
|BC|＝|1﹣4|＝3，
∴＝＝5；
（2）分别过点A，B作y轴、x轴的平行线，两直线交于点C，
|AC|＝|y2﹣y1|，|BC|＝|x2﹣x1|，
∴＝＝．
16．如图，△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB，交AB于点D，延长BC至点E，使CE＝BC，连接AE．
（1）求证：CD∥AE；
（2）连接DE，若AC＝5，AB＝6，求△DCE的面积．
【分析】（1）证出∠ACD＝∠CAE，则可得出结论；
（2）求出AE＝8，由勾股定理求出AE＝8，根据三角形面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵AC＝BC，CE＝BC，
∴AC＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠ACD＝∠CAE，
∴CD∥AE；
（2）解：∵AC＝BC，CD平分∠ACB，
∴AD＝BD，CD⊥AB，
∵CD∥AE，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∵AC＝5，
∴AC＝BC＝CE＝5，
∴BE＝10，
∴AE＝＝8，
∴＝24，
∴，
∴＝6．
17．在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形ABCD，AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题：
（1）如图2，若AB＝3，BC＝4，CD＝4，求AD的长；
（2）如图3，若AC＝BD＝5，求四边形ABCD的面积；
（3）如图4，若AB＝3，，CD＝4，直接写出AD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可以求得AD的长；
（2）根据三角形的面积公式，可以计算出四边形ABCD的面积；
（3）先证明CD2+AB2＝AD2+BC2，然后即可计算出AD的长．
【解答】解：（1）∵CD＝BC＝4，
∴△BDC为等腰三角形．
∵AC⊥BD，
∴AC为DB的垂直平分线，
∴AD＝AB．
∵AB＝3，
∴AD＝3；
（2）∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC
＝
＝
＝
＝×5×5
＝．
（3）∵AC⊥BD，
∴CE2+DE2＝CD2，DE2+AE2＝AD2，AE2+BE2＝AB2，CE2+BE2＝BC2，
∴CD2+AB2＝CE2+DE2+AE2+BE2，
AD2+BC2＝DE2+AE2+CE2+BE2，
∴CD2+AB2＝AD2+BC2，
∵AB＝3，，CD＝4，
∴42+32＝AD2+（）2，
解得AD＝2．
二．勾股定理的证明
18．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　）
A．121 B．144 C．169 D．196
【分析】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a＝12，小正方形的面积为（a﹣b）2，则（a﹣b）2＝49，可得b＝5，则大正方形的面积为a2+b2，即可求解．
【解答】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a＝12，
又∵小正方形的面积为（a﹣b）2，则（a﹣b）2＝49，
解得b＝5，
∴大正方形的面积为a2+b2＝122+52＝169，
故选：C．
19．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝2，c＝10，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
【解答】解：由图可得，
a2+b2＝c2，
∴且a、b均大于0，
解得，
∴a+b＝6+8＝14，
故选：B．
20．（2023秋 宽城区期末）数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC的三条边为边长向外作正方形ABDE，正方形ACHI，正方形BCGF，连接CE．若BC＝8，AB＝10，则△BCE的面积为（　　）
A．40 B．32 C．24 D．18
【分析】连接AF，证明△BCE≌△BFA，再求出△BFA的面积即可．
【解答】解：连接AF，如图，
∵BC＝8，AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
∴S△ABC＝×6×8＝24，
∵四边形ABED和四边形BCGF都是正方形，
∴AB＝EB，BF＝BC，∠ABE＝∠CBF，
∴∠EBC＝∠ABF，
∴△BCE≌△BFA，
∵BF＝BC＝8，
∴S△BCE＝S△BFA＝64+24﹣（8+6）×8＝32，
故选：B．
21．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
【解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理；
B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b），
整理得a2+b2＝c2，
∴B选项可以证明勾股定理；
C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以证明勾股定理；
D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，
∴b2+a2+2×ab＝c2+2×ab，
整理得a2+b2＝c2，
∴D选项可以证明勾股定理，
故选：A．
22．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2025，则S2的值是（　　）
A．567 B．666 C．777 D．675
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝NG，CF＝DG＝NF，再根据三个正方形面积公式列式相加：S1+S2+S3＝12，求出GF2的值，从而可以计算结论即可．
【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，
∴S1＝（CG+DG）2，
＝CG2+DG2+2CG DG，
＝GF2+2CG DG，
S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG NF，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2＝2025，
∴GF2＝675，
∴S2＝675，
故选：D．
23．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】易知AB＝AD＝3，DE＝EF＝AC，BC＝AE，设AC＝a，由含30度角的直角三角形性质得AE＝，于是＝a+3，得到AC＝，再利用同底等高的三角形面积关系得到S△CEF＝，进而阴影部分的面积为4S△CEF．
【解答】解：如图，
由题意得，AB＝AD＝3，DE＝EF＝AC，BC＝AE，
设AC＝a，
在Rt△ACE中，∠CEA＝30°，
∴AE＝＝BC，即＝a+3，
解得：a＝，
∴AC＝，
∵S△CEF＝﹣＝＝＝＝＝，
∴阴影部分的面积为4S△CEF＝．
故选：D．
24．课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2+b2＝c2的是（　　）
A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行
C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行
【分析】图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积，根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可以直接表示出面积，从而验证勾股定理．
【解答】解：图甲中大正方形的面积为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
四个直角三角形的面积和为：，
则中间小正方形的面积为：a2+2ab+b2﹣2ab＝a2+b2，
∵中间小正方形边长为c，
∴面积为c2，
∴a2+b2＝c2，
∴图甲能利用面积验证勾股定理；
图乙中直角梯形的面积为：，
两个直角三角形的面积和为：，
中间等腰直角三角形的面积为：，
∵中间等腰直角三角形的两条直角边为c，
∴中间等腰直角三角形的面积为，
∴，
即a2+b2＝c2，
∴图乙能利用面积验证勾股定理；
综上分析可知，甲、乙都行，故C正确．
故选：C．
三．勾股定理的逆定理
25．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
26．下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝1：2：3 D．a＝3，b＝4，c＝5
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
C、∵a：b：c＝1：2：3，12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
D、∵a＝3，b＝4，c＝5，32+42＝25＝52，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
故选：C．
27．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
【分析】先根据非负数的性质求出a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝52＝25，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：B．
28．在△ABC中，AB＝m2+1，AC＝m2﹣1，BC＝2m（m为大于1的正整数），则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据AB＝m2+1，AC＝m2﹣1，BC＝2m，可以得到AC2+BC2＝AB2，然后即可判断△ABC的形状．
【解答】解：∵AB＝m2+1，AC＝m2﹣1，BC＝2m，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
29．如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　）m2．
A．24 B．30 C．48 D．60
【分析】连接AC，由AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°利用勾股定理可求出AC的长，在根据AB＝13m，BC＝12m，利用勾股定理的逆定理可证△ACB为直角三角形，然后即可求出这块地的面积．
【解答】解：连接AC，
∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵AB＝13m，BC＝12m，
∴AB2＝BC2+CD2，即△ABC为直角三角形，
∴这块地的面积为S△ABC﹣S△ACD＝AC BC﹣AD CD＝×5×12﹣×3×4＝24．
故选：A．
30．给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，16；③n2﹣1，2n，n2+1（n＞1）；④2m2﹣2n2，4mn，2m2+2n2（m＞n＞0）．其中，能作为直角三角形三条边长的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵62+72＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形；
②∵82+152＝289，162＝256；
∴82+152≠172，
∴不能构成直角三角形；
③∵（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n2+2n2+1，（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
∴能构成直角三角形；
④∵（2m2﹣2n2）2+（4mn）2＝4m4﹣8m2n2+4n4+16m2n2＝4m4+8m2n2+4n4，（2m2+2n2）2＝4m4+8m2n2+4n4，
∴（2m2﹣2n2）2+（4mn）2＝（2m2+2n2）2，
∴能构成直角三角形；
所以，上列几组数，其中，能作为直角三角形三条边长的是③④，
故选：D．
31．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC＝＝＝15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
＝AB BC+AC CD
＝×9×12+×15×8
＝54+60
＝114（cm2）．
四．勾股数
32．下列是勾股数的是（　　）
A．12，15，18 B．6，10，7 C．12，16，20 D．
【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、122+152≠182，不是勾股数，不符合题意；
B、62+72≠102，不是勾股数，不符合题意；
C、122+162＝202，是勾股数，符合题意；
D、不是整数，所以不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
33．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　）
A．4m2﹣1 B．4m2+1 C．m2﹣1 D．m2+1
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故选：D．
34．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
【分析】（1）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案；
（2）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
所以第六组勾股数为14，48，50．
（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下：
（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2．
35．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜115时，共有 　7　组这样的“完美勾股数”．
【分析】由于n＜115，114+115＝229，大于等于9小于229的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225一共8个，可得共有7组这样的“完美勾股数”．
【解答】解：∵n＜115，a2＝（n+1）2﹣n2＝2n+1，
∴a2＜2×115+1＝231
114+115＝229，
大于3小于231的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，一共7个，
∴共有7组这样的“完美勾股数”．
故答案为：7．
五．勾股定理的应用
36．一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18m，倒下后树顶落在距树根部大约12m处．这棵大树离地面约（　　）米处折断．
A．3m B．4m C．5m D．6m
【分析】设这棵大树离地面约x米处折断，G根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：设这棵大树离地面约x米处折断，
根据题意得，x2+122＝（18﹣x）2，
解得x＝5，
答：这棵大树离地面约5米处折断，
故选：C．
37．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可．
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
38．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【分析】设AC的长为x，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，CF＝3m，BE＝1m，
∴BD＝2m．
设AC的长为x m，则AB＝AC＝x （m），
所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．
在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5．
故选：B．
39．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB＝25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．
【解答】解：依题意，AC＝24，BC＝7cm，
在Rt△ABC中，cm，
∵AB＝AD＝25，DE＝20，
在Rt△ADE中，cm，
故选：A．
40．用一条长为20cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则腰长为 　6或8　cm．
【分析】分8cm长为腰与底边长分别求解即可．
【解答】解：当8cm长为底边长时，则腰长为（20﹣8）÷2＝6（cm），
∵6+6＞8，
∴能构成三角形，符合题意；
当8cm为腰长时，则底边长为20﹣8×2＝4（cm），
∵4+8＞8，
∴能构成三角形，符合题意；
∴腰长为6cm或8cm，
故答案为：6或8．
41．如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【分析】过点P作PD⊥AC于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根据三角函数AD，BD就可以PD表示出来，根据AB＝12海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD．从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险．
【解答】解：有触礁危险．
理由：过点P作PD⊥AC于D．
设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD＝90°﹣45°＝45度．
∴BD＝PD＝x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝x，
∵AD＝AB+BD，
∴x＝6+x，
∴x＝，
∵3（+1）＜9，
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
42．如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？
【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，由勾股定理求出DE＝20m，设DD′＝x m，则D′E＝（20﹣x）m，然后在Rt△CED′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
由题意得：AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m），CE＝AB+AC﹣BE＝17+5﹣2＝20（m），
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝20（m），
设DD′＝x m，则D′E＝（20﹣x）m，
在Rt△CED′中，由勾股定理得：D′E2+CE2＝CD′2，
即（20﹣x）2+202＝252，
解得：x＝5，
答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处.17章 勾股定理
【考点梳理】
考点一：勾股定理
勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。如图：
如图，在中，∠C＝90°，所对的边分别是，则有。
；；
考点二：勾股定理与特殊三角形
勾股定理与含30°直角三角形：由勾股定理可得30°所在直角三角形三边（从小到大）的比值为：
。
勾股定理与等腰直角三角形：由勾股定理可得等腰直角三角形三边（从小到大）的比值为：。
勾股定理与等边三角形：若等边三角形的边长为，则结合勾股定理与30°所在直角三角形可得等边三角形的面积为：。
考点三：两点间的距离公式
若平面直角坐标系中点与点，利用勾股定理可得两点间的距离公式为：（注意公式中坐标前后对应）
考点四：勾股定理的证明
证明勾股定理常用图形和方法：
图形：（常用图形）
方法：等面积法证明勾股定理。即用整体法与图形面积加和法分别表示图形的面积建立等式证明。
考点五：勾股定理逆定理
在△ABC中，若三角形的三边分别是且满足，则△ABC是直角三角形且∠C是直角。
勾股定理逆定理用来判断一个三角形是不是直角三角形。
判定直角三角形的方法：①勾股定理逆定理；
②有一个角是直角（有两个角互余）的三角形是直角三角形。
考点六：勾股数
满足勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
注意：①一定满足勾股定理；
②一定是正整数。
勾股数的常见类型（3，4，5）
①3，4，5的倍数型：
②奇数型：（n为大于等于3的奇数）
③偶数型：（n为大于等于3的偶数）
注意：以上三种类型的任何正数被均满足勾股定理，但不一定是勾股数。
【题型训练】
考点一：勾股定理
【考试题型1】求直角三角形的第三边
例题讲解：1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（　　）
A．4 B． C．4或 D．2或2
2．在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝（　　）
A．3 B．1 C． D．或3
【考试题型2】求线段长度
例题讲解：3．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【考试题型3】求“树状”图形面积
例题讲解：4．如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【考试题型4】确定数轴上的点表示的无理数
例题讲解：5．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以OA为边作长方形OABC，AB＝1，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　）
A．1 B． C． D．
【考试题型5】垂美四边形（对角线相互垂直的四边形）
例题讲解：7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　）
A．45 B．49 C．50 D．53
【考试题型6】勾股定理的应用
例题讲解：8．如图，钓鱼竿AB的长为5.4米，露在水面上的鱼线BC长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB'的位置时，露在水面上的鱼线B'C'长为4.2米，则CC'的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米．
考点二：勾股定理与特殊三角形
【考试题型1】利用特殊直角三角形求线段长度
例题讲解：10．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE．若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为（　　）
A．5cm B．cm C．6cm D．cm
考点三：两点间的距离公式
【考试题型1】求平面直角坐标系中两点的距离
例题讲解：11．在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（　　）
A．1 B． C． D．
考点四：勾股定理的证明
【考试题型1】判断图像是否能够证明勾股定理
例题讲解：12．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【考试题型2】利用勾股定理的证明求值
例题讲解：13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中勾a＝3，弦c＝5，则小正方形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点五：勾股定理逆定理
【考试题型1】判定直角三角形
例题讲解：14．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考试题型2】勾股定理逆定理的应用
例题讲解：15．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝8．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为边BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
考点六：勾股数
【考试题型1】判断一组数据是否为勾股数
例题讲解：16．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6
17．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（　　）
A．13 B． C．13或 D．不确定
【考试题型2】利用勾股数的规律求值
例题讲解：18．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； a，b，c．
（1）当a＝11时，求b，c的值
（2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【考试题型3】勾股数的证明
例题讲解：19．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
①　6　，8，10；②5，　12　，13：③8，15，　17　．
（2）任取两个正整数m和n（m＞n），请你证明这三个整数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数．
【过关测试】
一．勾股定理
1．已知，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为2、3，则它的斜边AB的长为（　　）
A． B．4 C． D．
2．一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（　　）
A．15 B．13 C．10 D．8
3．已知△ABC中，∠B＝90°，若c﹣a＝6，b＝2，则△ABC的面积为 　 　．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
5．如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形格点上，连接AB，AC，点C到AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为10，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（　　）
A．8 B．50 C．64 D．136
8．已知直角坐标平面内两点A（3，1）和B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 　 　．
9．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（　　）
A．225 B．289 C．324 D．170
11．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　）
A．166 B．186 C．196 D．256
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于E，交∠CAB的角平分线于F，连接CF、BF，若BF＝5，△CEF的周长为17，则AF的长度是（　　）
A． B．10 C．12 D．13
14．勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　）
A．n＝p B．m+q＝y
C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2
15．两点之间的距离公式：若数轴上两点A1，A2分别表示实数x1，x2，A1，A2两点间的距离记作|A1A2|，那么|A1A2|＝|x2﹣x1|．
问题提出：对于平面上的任意两点A1，A2间的距离是否有类似的结论呢？我们作出了如下猜想．
猜想：运用勾股定理，就可以推导出平面上任意两点之间的距离公式．根据这个思路，让我们一起进行如下探究吧!
问题探究：
（1）①如图1，A1，A2两点之间的距离|A1A2|＝　5　；
②如图2，已知平面上两点A（1，1），B（5，4），求这两点之间的距离|AB|；
（2）一般地，已知平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如图3，请计算A，B两点之间的距离|AB|．
16．如图，△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB，交AB于点D，延长BC至点E，使CE＝BC，连接AE．
（1）求证：CD∥AE；
（2）连接DE，若AC＝5，AB＝6，求△DCE的面积．
17．在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形ABCD，AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题：
（1）如图2，若AB＝3，BC＝4，CD＝4，求AD的长；
（2）如图3，若AC＝BD＝5，求四边形ABCD的面积；
（3）如图4，若AB＝3，，CD＝4，直接写出AD的长．
二．勾股定理的证明
18．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　）
A．121 B．144 C．169 D．196
19．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
20．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC的三条边为边长向外作正方形ABDE，正方形ACHI，正方形BCGF，连接CE．若BC＝8，AB＝10，则△BCE的面积为（　　）
A．40 B．32 C．24 D．18
21．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
22．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2025，则S2的值是（　　）
A．567 B．666 C．777 D．675
23．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
24．课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2+b2＝c2的是（　　）
A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行
C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行
三．勾股定理的逆定理
25．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
26．下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝1：2：3 D．a＝3，b＝4，c＝5
27．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
28．在△ABC中，AB＝m2+1，AC＝m2﹣1，BC＝2m（m为大于1的正整数），则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
29．如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　）m2．
A．24 B．30 C．48 D．60
30．给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，16；③n2﹣1，2n，n2+1（n＞1）；④2m2﹣2n2，4mn，2m2+2n2（m＞n＞0）．其中，能作为直角三角形三条边长的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
31．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
四．勾股数
32．下列是勾股数的是（　　）
A．12，15，18 B．6，10，7 C．12，16，20 D．
33．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　）
A．4m2﹣1 B．4m2+1 C．m2﹣1 D．m2+1
34．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
35．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜115时，共有 　7　组这样的“完美勾股数”．
五．勾股定理的应用
36．一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18m，倒下后树顶落在距树根部大约12m处．这棵大树离地面约（　　）米处折断．
A．3m B．4m C．5m D．6m
37．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
38．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）
A．4m B．5m C．6m D．8m
39．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
40．用一条长为20cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则腰长为 　 　cm．
41．如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
42．如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？

展开更多......

收起↑