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2024~2025学年第一学期八年级期末学业质量监测
数学
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知，点为上一点，根据尺规作图的痕迹，小明判断．他得出这一结论的依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等 B. 同位角相等，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行
3. 平面直角坐标系中，已知点的坐标为．下列四个点中，与点关于轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（ ）
1 3
6 2 ▲
A. 3 B. C. 6 D.
6. 如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（ ）
A. B. C. D.
7. 八年级一班进行班级突出贡献奖评选，推选规则是全班同学无记名投票，且每人只能从四名候选人中推选一人，最终确定获奖者应关注的统计量是（ ）
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
8. 如图，直线与的交点坐标为，根据图象，小敏认为点坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是两个型号圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 把化成最简二次根式的结果为____________.
12. 太原南站作为山西省重要交通枢纽，每日迎送着数以万计的旅客．如图，将太原南站示意图放入平面直角坐标系中，若“自助取票机”所在位置的坐标为，“自动网络取票”所在位置的坐标为，则“东进站口”所在位置的坐标____________．
13. 某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有甲、乙、丙个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从个工厂的产品中抽样调查的只鸡腿的质量、如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买_____________厂的鸡腿.（填“甲”或“乙”或“丙”）.
14. 某商家销售山西博物院文创礼品“卣趣”毛绒玩具，市场调查发现，当售价为60元/套时，每天可售出200套；售价每降低5元，平均每天可多售出40套，该商家平均每天销售这种“卣趣”毛绒玩具的数量（套）与降价（元/套）之间的函数关系式为______________.
15. 如图，在中，，，点是上的一点，且，则的长为_________________.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16 计算：
（1）；
（2）．
17. （1）解方程组：
（2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务.
解方程组 解：①，得，③ 第一步 ②，得，④ 第二步 ④③，得， 第三步 解得， 第四步 将代入②，得 第五步 所以，原方程组的解为 第六步
任务：
①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________；
②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________；
③直接写出该方程组的正确解：_____________.
18. 已知：如图，在中，点，分别在边，上，连接，，点是线段延长线上的点，射线交于点．
（1）求证：；
（2）若点是线段延长线上的点，其余条件不变，请直接写出，与之间的数量关系．
19. 甲辰岁末，渗透着历史积淀和人文情怀的晋祠天龙山景区，被编织进“国家5A级景区”的华彩之中，为锦绣太原再添光华．为引导同学们了解家乡文化，学校举办了“品晋祠韵味·赏天龙神采”系列活动．
【活动一】晋祠-天龙山知识竞赛
小明随机调查了八年级若干名同学参加此次知识竞赛的成绩（共道题目，每答对1题得10分），并将结果绘制成如图的扇形统计图（其中A代表分，B代表分，C代表分，D代表分，E代表分）．
【活动二】晋祠-天龙山宣讲达人
学校拟招募一名晋祠-天龙山文化宣讲达人．现从知识储备、现场表达、仪容仪表三个方面对两位参选者进行了测评，成绩如右表（单位：分）．
甲 乙
知识储备 8 9
现场表达 8 8
仪容仪表 9 7
请根据有关信息解决下列问题：
（1）小明所调查的知识竞赛成绩的众数是______________分，中位数是______________分；
（2）小亮分析扇形统什图，发现小明虽未提供调查总人数，但根据统计结果仍可计算出这些同学此次知识竞赛成绩的平均数．你同意他的观点吗？若同意，列出算式（不必计算）；若不同意，说明理由；
（3）在晋祠-天龙山宣讲达人招募中，若将识储备、现场表达、仪容仪表三项按照的比例计算最终成绩，请通过计算说明甲、乙二人谁将会当选．
20. 阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务．
探索函数图像与性质之间的关系 图像与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图像的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法.例如，在研究正比例函数的图像与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图像几何特征，分析如下： 图像图像的几何特征函数的数量特征 图像经过①由表达式可知，当时，；图像经过第②象限因为，且， 所以当时，，当时，③， 即当时，，同号；从左往右图像上升趋势设点，是该函数图像上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，的值随值的增大而④.…………
类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图像与性质……
任务：
（1）上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________．
（2）如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图像．请你帮他写出该函数图象的一条几何特征，及相应函数的数量特征（注：不同水平的答案，得分不同）
图像 图像的几何特征 函数的数量特征
21. 闻喜花馍是山西省运城市闻喜县的传统名点，是第二批国家级非物质文化遗产．春节到来之际，某电商平台推出，两种型号的闻喜花馍礼盒，第一天售出礼盒10个、礼盒5个，总计收入1600元，第二天售出礼盒5个、礼盒10个，总计收入2700元；
（1），两种型号的闻喜花馍礼盒每盒的售价分别是多少元？
（2）李叔叔计划同时购买这两种礼盒，预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．（直接回答即可）
22. 学科实践
问题情境：体育课上，老师组织同学们进行往返障碍跑比赛.甲、乙二人在相邻两条直跑道上比赛（注：跑道长50米），他们从跑道同一起点出发，到达对面终点后，转身沿原路回到起点.
数学思考：同学们根据两人比赛信息画出了如图所示的部分图象（跑步的过程均视为匀速）.图中的折线是甲离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象；线段是乙去程中离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象.已知线段对应的函数表达式为.
问题解决：
（1）求点的坐标及线段对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）乙在对面终点处转身过程中因故耽误了2秒，结果仍比甲提前3秒回到起点.请在坐标系中画出表示乙转身及返程途中，离起点的距离（米）与比赛时间（秒）之间的函数图象，并标明表示乙返程图象的两个端点的坐标；
（3）请直接写出比赛过程中，当乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半时，比赛时间的值.
23. 综合与探究
问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系.
特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析：
①如图1，若，求此时和的度数；
②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论；
深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系.

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