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2025届高三最后冲刺训练解三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江大庆·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广西南宁·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北武汉·二模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2025·山东济宁·二模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江台州·二模）已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川泸州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
11．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、多选题
12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
三、填空题
13．（2025·福建厦门·三模）已知，则 .
14．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米.
15．（2025·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，是的角平分线，点在上，，，则的面积为 .
16．（2025·湖北·二模）已知，均为锐角，，，则 .
17．（2025·湖北·模拟预测）已知，，则 .
四、解答题
18．（2025·河北沧州·模拟预测）已知分别为的内角的对边，且．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值．
19．（2025·上海长宁·二模）已知向量．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
20．（2025·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，且，求的最小值.
21．（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
22．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
23．（2025·湖北十堰·三模）的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长．
24．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
26．（2024·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
《2025届高三最后冲刺训练解三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B B D B C B D
题号 11 12
答案 C BC
1．B
【分析】利用余弦定理求出的值，再根据面积公式求出三角形面积.
【详解】由余弦定理得，代入，
整理可得，所以.
故选：B
2．A
【分析】由诱导公式以及余弦函数的二倍角公式，可得答案.
【详解】
.
故选：A.
3．C
【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：C．
4．B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
5．B
【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得.
【详解】在中，，由余弦定理可得，
所以，所以，
又面积为，所以，所以，
所以，所以，
因为CD是的角平分线，，所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以，所以.
故选：B.
6．D
【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为的形式，然后根据的取值范围求出的取值范围，再结合图象与性质，找出函数在给定区间上有且仅有个零点时的取值范围．
【详解】对进行化简：
令，即，则．
根据正弦函数的性质，所以或，解得或．
因为且，
当时，，；
当时，，．
如图函数和大致图像，
由于函数在区间上有且仅有个零点，则需满足，解不等式组得到可得．
所以实数的取值范围是．
故选：D．
7．B
【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率.
【详解】由双曲线定义得，，，
设，则由图，，
在中，由余弦定理得，解得，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，故离心率.
故选：B.
8．C
【分析】首先求出，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，其中不符题意，
所以，
所以，
故选：C.
9．B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
10．D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
11．C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
12．BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
13．
【分析】由两角和的正切展开式计算即可.
【详解】，所以.
故答案为：.
14．
【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解.
【详解】过点作垂足为，可得，，
设,，在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又由阴影部分的面积：
，其中，
令，
可得，
令，可得，解得
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形，
因为，所以.
故答案为：

15．
【分析】由角平分线定理，根据三角形面积计算，建立方程，求得边长，结合三角形面积计算，可得答案.
【详解】在中，由角平分线定理得，所以，
，即，解得，，
所以.
故答案为：
16．
【分析】利用同角三角函数关系和两角和差的余弦公式求解即可.
【详解】因为，均为锐角，所以，
由，得，所以，
由，得，所以，
所以，解得，
所以，故，
故答案为：
17．
【分析】利用余弦差公式将已知条件展开，结合，求得，再利用正弦二倍角公式，将展开，代入即可求解.
【详解】因为，而，
所以，
所以.
故答案为：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，求出角的正切值，再通过倍角公式和同角三角函数的基本关系计算即可得解.
（2）将边角关系转化为角的正切关系，构造代数方程，利用均值不等式求最小值即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，，
则.
因为，所以.
，
则．
（2）由（1）可知，，即，
由可得
，
即，所以为锐角三角形.
由均值不等式可知，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
19．(1)，.
(2)
【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间；
（2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围.
【详解】（1），
令，则，其中，
故函数的单调递减区间为，.
（2）由题设有在有两个不同的零点，
而，故在有两个不同的解，
故与的图象在上有两个不同的交点，
而在为增函数，在为减函数，
且，故，
故.
20．(1).
(2)8.
【分析】（1）根据同角三角恒等变换化简即可；
（2）由题意，再根据平面向量的线性运算可得，进而两边平方化简可得，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由，可得，
所以，
即，即，
由于，，又，所以，化简可得，
由于，故.
（2）由于，所以，
故，
故，
即，
故，
化简得，又，
即，故，当且仅当时取等号，
故的最小值为8.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出，得解；
（2）根据三角形面积公式，正弦定理可得，结合，进而求出面积的取值范围.
【详解】（1）因为，则，又，
所以，则，
又，所以，
因为，解得．
（2）因为是锐角三角形，又，
所以，
所以
，
因为，所以，则，
从而，
故面积的取值范围是.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解；
（2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可．
【详解】（1）在锐角三角形中，因为，
所以由正弦定理得，
故，即，即，即，
所以，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）因为，由正弦定理，
所以，，
设的周长为，
则
，
因为在锐角三角形中，所以，，
所以，解得，
所以，所以，
故，则，即，
故周长的取值范围为．
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理、三角形的面积公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由（1）可得出的值，结合正弦定理可求得的知，结合已知条件求出的值，由此可求出的周长.
【详解】（1）由余弦定理可得，即，
因为，即，所以，
因为，故.
（2）由正弦定理可得，
由（1）可得，可得，
所以，，则，故，
因为，所以，
故，
因此，的周长为.
24．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
26．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
试卷第1页，共3页
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