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2024-2025学年安徽省芜湖市鸠江区沈巷中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025的绝对值是( )
A. 2025 B. C. D.
2.2024年9月25日，注定是一个值得深刻铭记的时刻.继俄罗斯、美国、英国等世界强国在洲际弹道导弹的试射失败之后，中国火箭军从海南岛向太平洋成功发射了一枚射程达12000000米的洲际弹道导弹用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
5.如图，，，C，D在同一条直线上，，则CD的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为
A.
B.
C.
D.
7.已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.二次函数是常数且的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
9.如图，在矩形OABC中，，，F是边AB上的一动点不与点A，B重合，过点F的反比例函数的图象与边BC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D，若，则k的值为( )
A. 1
B. 2
C.
D. 3
10.如图，在中，，，，以C为圆心、3为半径作，P为上一动点，连接AP、BP，则的最小值为( )
A. 7
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解：______.
12.A，B，C，D四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则A，B两位选手抽中相邻跑道的概率为______.
13.规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数与互为“Y函数”.若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为______.
14.如图，在中，点B是边CD上一点，，，，且，过边AD上一点P作，若，则PQ的长度为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
解方程：
16.本小题8分
如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点每个小正方形的顶点叫做格点，，，且，线段OA关于直线OB对称的线段为，将线段OB绕点O逆时针旋转得到线段；
画出线段，；
将线段OB绕点O逆时针旋转得到线段，连接若，求的度数.
17.本小题8分
一套衣服的上衣和裤子共100元.因市场需求变化，商家决定分开销售，裤子降价，上衣提价，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元.问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？
18.本小题8分
观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
写出第5个等式：______；
写出你猜想的第n个等式：______用含n的等式表示，并证明.
19.本小题10分
如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点
求点A的坐标和m的值.
平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长.
20.本小题10分
如图，在中，以AB为直径的与BC相交于点D，过点D作的切线交AC于点
求证：；
若的直径为13，，求DE的长.
21.本小题12分
实验中学团支部发起了以“完善自我，服务社会，关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查数据绘制成不完整的统计图如下：
补全频数分布直方图，这组数据的中位数是______次，众数是______次；
求被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数；
若该校九年级共有800名学生，请估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数.
22.本小题12分
如图，四边形ABCD，，对角线AC，BD相交于点O，，点E是BD上一点，，连接
求证：为等边三角形；
若M为AB边中点，连接DM并延长交CB的延长线于点N，，，，求MN的长.
23.本小题14分
如图1，抛物线与x轴相交于点、B，对称轴是直线，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点
求此抛物线的解析式；
若点N是x轴上一动点，分别连接MN，DN，求的最小值；
点P是直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点E，若，如图2，求点P的坐标.
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.A
6.D
7.D
8.D
9.B
10.D
11.
12.
13.或
14.
15.解：，
，
或，
解得：
16.解：如图，线段，即为所求；
，，，
，
，
，关于OB对称，
，

17.解：设调价前上衣的售价是x元，裤子的售价是y元，
根据题意得：，
解得：，
元，
元
答：调价后上衣的售价是72元，裤子的售价是36元．
18.解：

证明：
，
故成立．
19.解：在直线的图象上，
，即，
直线l的解析式为：，
当时，，
解得：，
，
直线l经过双曲线的左端点C，
当时，，
，
，即；
，
反比例函数解析式为：，
当时，，
，
平移直线到直线，
设直线的解析式为：，
直线经过，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
当时，2 ，
解得：，
，
，

20.证明：连接OD，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接AD，
为直径，
，，
，
的直径为13，，
，，
，
，

21.解：由题意得，被随机抽取的学生共有：人，
活动次数为3次的学生数为：人，
补全统计图如下：
这组数据的中，次数为4出现的次数最多，
众数是4次，
将20个数中按从小到大排列，第10个和第11个都是4次，
中位数是4次，
故答案为：4，4；
次，
被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数为次；
名
估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数约有520名．
22.证明：，，
是等边三角形，
，，
，
，
点A、B、C、D四点共圆，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
是等边三角形．
解：作交ND的延长线于点G，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

23.解：抛物线经过点，对称轴为直线，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
，
，
设直线AM的解析式为，则，
解得，
直线AM的解析式为，当时，，
如图1，
在y轴上作点D的对称点，连接交AB于点NN，此时的值最小．
过点M作轴于点T，
，
，
的值的最小值为；
抛物线的解析式为，
令时，；令时，，
解得，，，
，，
直线BC的解析式为如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，
设，则，，
，，
∽，
，，
，，
，
点P在抛物线上，
，
得，，
，
的坐标为或

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