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小题限时卷03（A组+B组+C组）
（模式：12+4 满分：72分 限时：50分钟）
一、填空题
1．已知集合，，则
2．与1920°终边相同的角中，最小的正角是
3．已知圆的方程为的面积为，则 .
4．已知，方程一个虚根为，则 .
5．已知，则 .
6．设函数，若，则实数的值为 .
7．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
8．班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示）
9．已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ．
10．近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本万元（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于 万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：）
11．已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为 ．
12．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“ ”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“ ”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为

二、单选题
13．已知为正数，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75 B．
C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
15．在正方体中，以下说法正确的是（ ）
A．若E为的中点，则 平面
B．若E为的中点，则 平面
C．若E为的中点，则
D．若E为的中点，则
16．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列两个命题：
命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；
命题：和之间存在“隔离直线”，且的最小值为.
则下列说法正确的是（ ）
A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题是假命题
C．命题为假命题，命题是真命题 D．命题、命题都是假命题
一、填空题
1．集合，则 .
2．复数 ，则 ．
3．不等式的解集为 ．
4．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 .
5．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
6．已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
7．某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为 .
8．若是函数的驻点，则实数的值为 .
9．已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 .
10．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上 下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上 下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上 下两部分母线长的总和为 .
11．已知抛物线，在轴正半轴上存在一点，使过的任意直线交抛物线于，都有为定值，则点的坐标为 ．
12．已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，则的最大值为 ．
二、单选题
13．已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
14．若，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．0或2
15．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）.
A．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件相互独立
B．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件相互独立
C．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
D．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
16．如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（ ）
命题甲：存在曲线满足要求
命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求
A．甲命题正确，乙命题正确 B．甲命题错误，乙命题正确
C．甲命题正确，乙命题错误 D．甲命题错误，乙命题错误
一、填空题
1．设，则 .
2．在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则 ．
3．函数的值域是 .
4．已知直线与直线平行，则 .
5．小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是 ．
6．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ．
7．设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则
8．若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为 ；
9．设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长 .
10．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是 （千米）.
11．已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为 ．
12．已知有穷数列共项，数列中任意连续三项，满足如下条件：
（1）至少有两项相等；
（2），，恒成立；
（3）以，，为边长的三角形两两均不全等．
若，则的最大值为 ．
二、单选题
13．设，则“”是“且”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．设，为随机事件，为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（ ）
A． B．
C． D．
15．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题 D．①②都是真命题
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（模式：12+4 满分：72分 限时：50分钟）
一、填空题
1．已知集合，，则
【答案】
【分析】根据一元二次不等式求解集合元素，结合交集
【解析】由，则.
故答案为：.
2．与1920°终边相同的角中，最小的正角是
【答案】120°
【分析】每增加或减少的整数倍，终边位置不变，代入即可求解.
【解析】,
所以与1920°终边相同的角中，最小的正角为120°.
故答案为：120°.
3．已知圆的方程为的面积为，则 .
【答案】
【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果.
【解析】由得，圆的半径为，
由圆的面积为得，，解得.
故答案为：.
4．已知，方程一个虚根为，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理求解即可.
【解析】因为方程一个虚根为，
则其另一个虚根为，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
5．已知，则 .
【答案】4
【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解.
【解析】由，整理得，
得，解得，所以.
另解：由题知，则，
利用基本不等式可得，
当且仅当时取等号，解得.
故答案为：4
6．设函数，若，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】通过分段函数以及，即可求解的值．
【解析】函数，
若，
当时，，或（舍），
当时，，解得，
综上的值为：或．
故答案为：或．
7．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
【答案】
【分析】一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可.
【解析】由条件可得，
，
，
一定在回归方程上，代入解得，
，
，
，
，
故答案为：
8．班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示）
【答案】
【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解.
【解析】每名学生可报一项或两项，所以有,
所以4名学生共有种.
故答案为：
9．已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ．
【答案】
【分析】根据线线垂直可得平面得是四面体的底面上的高，接着计算的面积及长度，再由三棱锥的体积公式计算即可得解．
【解析】由于E为棱的中点，且为等边三角形，故，
又，，且，平面，
平面，故是四面体的底面上的高，
，，
．
三棱锥的体积．
故答案为：
10．近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本万元（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于 万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：）
【答案】34.53
【分析】列用列举法可得，即可利用等比数列的求和公式求解,即可列不等式求解.
【解析】记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，由题意知，
所以
，
以此类推，，
所以，解得，
即每年的运营成本应不高于34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除运营成本后资金达到1500万元.
故答案为：34.53
11．已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用抛物线的性质，求得抛物线方程，先判断直线与抛物线的位置关系，然后设与抛物线相切且与平行的直线并求出来，根据两平行线之间的距离公式即可求得结果.
【解析】由题知，设，
则，，
又，
所以，抛物线方程为，
联立，得，无解，
则直线与抛物线没有公共点，
设与抛物线相切且与平行的直线为，
则联立，得，
则，解得，
则的最小值为.
故答案为：
12．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为

【答案】、、
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），
线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH为平行四边形，如图所示；
设四边形重心为M（x，y），
则，
由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，
则符合条件的直线一定经过点，
且过点的直线有无数条；
由过点和的直线有且仅有1条，
过点和的直线有且仅有1条，
过点和的直线有且仅有1条，
所以符合条件的点是、、．
故答案为：、、．
二、单选题
13．已知为正数，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【解析】当时，所以为增函数，所以，
当时，当时，则，当时，则，此时；
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
14．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75 B．
C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
【答案】B
【分析】根据众数的概念可得选项A正确；利用长方形面积之和为1可得选项B错误；根据百分位数的概念可得选项C正确；根据加权平均数的计算方法可得选项D正确.
【解析】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确.
根据题意可得，∴， B选项错误.
∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，
∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确.
∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为，
∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确．
故选：B．
15．在正方体中，以下说法正确的是（ ）
A．若E为的中点，则 平面
B．若E为的中点，则 平面
C．若E为的中点，则
D．若E为的中点，则
【答案】A
【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.根据 平面，平面与平面平面不平行判断；C.利用余弦定理判断；D.取 CD的中点F，由，判断.
【解析】A.如图所示：
连接AC，BD交于点O，则O为BD的中点，所以，又 平面， 平面，所以 平面，故正确；
B. 易知 平面，平面与平面平面不平行，所以与平面不垂直，故错误；
C.如图所示：
在矩形中，，设正方体的棱长为1，在中，，则，所以，则不垂直，故错误；
D.如图所示：
取 CD的中点F，易知，又，所以不平行，故错误；
故选：A
16．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列两个命题：
命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；
命题：和之间存在“隔离直线”，且的最小值为.
则下列说法正确的是（ ）
A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题是假命题
C．命题为假命题，命题是真命题 D．命题、命题都是假命题
【答案】B
【分析】对命题：和有公共点，故隔离直线过该公共点，设为，结合二次函数性质对参数分类讨论研究恒成立得，则直线为，再用导数法证恒成立即可；
对命题：设隔离直线为，则有对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可
【解析】（1）对命题：
设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立，若，记，，则二次函数有两个不同零点，记为，由，不妨设，解不等式可知，，即与对任意恒成立矛盾，故，
若，则符合题意，
若，由对任意x都成立，注意到的对称轴为，从而，即，所以，又的对称轴为，∴，即，∴，故，同理可得，，即，的最小值为，故命题为假命题；
（2）对命题：
注意到函数和均经过，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程，即，
由恒成立，即，整理得：对于均成立.
若，则上述不等式转化成，显然对于恒成立；
若，记，则该二次函数有两个不同零点且至少一个正零点：，此时是开口向上的二次函数，必有轴以下的部分，即对于无法成立.故，此时直线，
下面证明，
令，则，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题.
故选：B
一、填空题
1．集合，则 .
【答案】
【分析】根据集合的交集运算即可.
【解析】因为集合，则.
故答案为：.
2．复数 ，则 ．
【答案】/
【分析】根据共轭复数的定义，即可求解.
【解析】，所以.
故答案为：
3．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果.
【解析】由，得到，
等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
4．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 .
【答案】/
【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案.
【解析】设向量与的夹角为，
若，则，
所以，
可得.
故答案为：.
5．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
【答案】0.2/
【分析】根据正态分布的性质计算即可.
【解析】因为正态分布曲线的对称轴为，,
所以.
故答案为：.
6．已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.
【解析】设，
则在单调递增，又，
所以，即，故.
则.
由题意是的充分条件，则，
所以有，故实数m的取值范围是.
故答案为：.
7．某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为 .
【答案】6
【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.
【解析】同全区同学中答对的人数为人，答错或不答的人数为人，
所以全区同学该题得分的平均数为分，
则全区同学该题得分的方差为.
故答案为：6.
8．若是函数的驻点，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据驻点的定义可得，解得，验证即可.
【解析】由题意知，,
因为是函数的驻点，所以，
解得.
当时，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的驻点.
综上，.
故答案为：2e.
9．已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 .
【答案】100000
【分析】令，根据给定信息列出不等式，求出的范围即可得解.
【解析】设，依题意，，，
由，得，解得，因此，
则，，所以的最小值为100000.
故答案为：100000
10．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上 下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上 下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上 下两部分母线长的总和为 .
【答案】
【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式结合条件即得.
【解析】设上面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为高为，
根据圆台的母线长公式，带入数值计算得到；
设下面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为
由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到，带入数值计算得到；
所以该花盆上 下两部分母线长的总和为.
故答案为：
11．已知抛物线，在轴正半轴上存在一点，使过的任意直线交抛物线于，都有为定值，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设直线MN的解析式为，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P的坐标．
【解析】设．
设直线MN的解析式为，
联立得到：，
整理，得，则
设
则
即存在时，，
即存在，使得为定值
故答案为：．
12．已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】设出长度为的“等比伴随数列”的公比，利用定义建立不等式，变形不等式转化为不等式恒成立问题，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理求解即得.
【解析】设长度为的“等比伴随数列”的公比为，
则对任意正整数，当时，都有成立，
即对恒成立，
当时，有；当时，，即；
当时，有恒成立，即当时，，
令，求导得，
则函数在上单调递减，即当4时，.，
令，求导得，
则函数在上单调递减，即当4时，，
则，即，
令，求导得，
于是函数在上单调递减，又，
因此存在，使得，所以的最大值为6.
故答案为：6
【点睛】思路点睛：对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等.
二、单选题
13．已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.
【解析】根据直线与平面垂直的判定定理可知：
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.
而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交，
所以不一定能推出直线与平面垂直，
但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，
即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
14．若，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．0或2
【答案】B
【分析】根据正余弦二倍角公式转化即可求解结果．
【解析】由得，所以或
当时，不存在；
当时，
故选：B
15．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）.
A．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件相互独立
B．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件相互独立
C．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
D．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
【答案】B
【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断.
【解析】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况，
(男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)，
则，，，事件与事件不相互独立，AC错误；
若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况，
(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，
(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误.
故选：B
16．如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（ ）
命题甲：存在曲线满足要求
命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求
A．甲命题正确，乙命题正确 B．甲命题错误，乙命题正确
C．甲命题正确，乙命题错误 D．甲命题错误，乙命题错误
【答案】B
【分析】根据给定图形求出直线的斜率及对应方程，对命题甲中函数求导，利用导数的几何意义建立关系判断方程组有的情况判断；对于乙命题中函数求导，建立方程求出在处的导数值判断.
【解析】由图知点，直线的斜率分别为，
则直线AB的方程为，直线CD的方程为，
对于命题甲：曲线的导函数为，
当时，，当时，，代入得
，即，
又由，得，
而的取值集合为，要，
必有，又当时，，，
因此不存在，即方程组中a，b没有解，命题甲不正确；
对于命题乙：当时，由，求导得，
有，即，
即当时，曲线满足要求，命题乙正确.
故选：B
【点睛】思路点睛：函数在某点处的导数值，就是该函数图象在该点处切线斜率.
一、填空题
1．设，则 .
【答案】
【分析】首先要明确集合是函数的定义域，根据幂函数的性质求出集合；集合是函数的值域，根据指数函数的性质求出集合，最后求两个集合的交集.
【解析】对于函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，即，所以.
对于函数，因为对于任意都成立，所以.
因为，，所以.
故答案为：.
2．在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则 ．
【答案】
【分析】设，由已知条件可得，利用复数的乘法运算和模长公式即可得答案.
【解析】复数和的对应点关于直线对称，
设，则有，
由，得，
所以.
故答案为：2
3．函数的值域是 .
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性即可求解.
【解析】易知指数函数在上单调递减，
所以，即该函数在上的值域为.
故答案为：
4．已知直线与直线平行，则 .
【答案】1
【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可.
【解析】因为与平行，所以，解得或.
当时，直线，直线，两直线平行.
当时，直线，直线，化简为，
此时两直线重合，不符合要求，舍去.
故答案为：1.
5．小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是 ．
【答案】
【分析】把茎叶图的数据从小到大排列，结合百分数的计算方法，即可求解.
【解析】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：，
则，所以这组数据的第60百分位数是.
故答案为：.
6．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ．
【答案】
【分析】根据点面距公式代入计算即可得.
【解析】由点面距公式得.
故答案为：.
7．设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式求出，再利用二项分布概率公式求值即可.
【解析】依题意，，解得，
所以.
故答案为：
8．若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为 ；
【答案】/
【分析】先用辅助角公式得到，求出平移后的解析式，根据奇偶性得到，从而当时，求出的最小值.
【解析】，向右平移个单位后解析式为，
则要想使得为奇函数，只需，
解得：，
因为，所以，，解得：，，
当时，正数取得最小值，所以.
故答案为：
9．设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长 .
【答案】24
【分析】先由双曲线的方程求出，再由，运用双曲线的定义，求出，，由此能求出的周长．
【解析】解：双曲线的，，
两个焦点，，
即，
由，设，则，
由双曲线的定义知，，解得．
，，
，
则的周长为．
故答案为：24．
【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．
10．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是 （千米）.
【答案】2
【分析】根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可.
【解析】在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是2.
故答案为：2
11．已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为 ．
【答案】
【分析】函数的零点，即的零点，由于，则零点一共有3个，即可转化为时，有一个根即可，整理成方程在时有一个根，令，求，判断函数的单调性及取值情况，即可得m的取值.
【解析】解：的零点满足，即的根，
由于，所以，是的一个根；
所以的根三个，则满足当时，有一个根即可
又时，，所以，
所以在时有一个根，即在时有一个根
令，所以，得
所以时，，在上单调递减；时，，在上单调递增
又，；比增长的快，所以，
所以.
故答案为：.
12．已知有穷数列共项，数列中任意连续三项，满足如下条件：
（1）至少有两项相等；
（2），，恒成立；
（3）以，，为边长的三角形两两均不全等．
若，则的最大值为 ．
【答案】16
【分析】先讨论1的连续的个数，然后罗列出可满足题意得连续三项的可能值，其中部分不能和其他组相结合成为新的三项，只能排头或者尾，计算出总的项数即可得出结果.
【解析】当中含有“”时，；
当中含有“”时，不满足“1+1>2”，故舍去；
当中不含有连续的“1”时，
连续三项的可能为：
，，，
，，，，
，，，，
，，，，
其中，，，，，这6组不能同时满足于前一项，后一项构成3个符合题意得三角形.
所以这6组只能位于数列的前三项或后三项，且至多出现2次.剩余共12组，由于相邻4项组成的三角形中间2项是共用的，所以项数为三角形的个数加2项.
此时，
故当最大时:.
所以的最大值为16.
故答案为：16.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于讨论可知：不含有连续的1，进而列举符合的三项，分析其成立的条件.
二、单选题
13．设，则“”是“且”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】正向取反例即可，反向根据不等式性质即可，最后根据必要不充分条件判定即可.
【解析】正向来看，取，则，满足，但不满足且，故充分性不成立，
反向来看，，则，故必要性成立，
所以前者是后者的必要不充分条件.
故选：B.
14．设，为随机事件，为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】类比集合的运算，四个选项逐一分析即可判断
【解析】对于A，阴影部分表示，故A错误；
对于B，阴影部分表示，故B错误；
对于C，阴影部分表示，故C正确；
对于D，阴影部分表示，故D错误.
故选：C
15．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过作，过作，将几何体转化为三棱柱和两个三棱锥的体积之和求解.
【解析】过作，垂足为，连接，由对称性可得，
又，平面，平面，
过作，垂足为，连接，则，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，即空间几何体为直三棱柱.
∵，，所以，，
同理求得，，则，
又，等腰三角形的面积为，
空间几何体拆分为三棱柱、三棱锥和三棱锥三个部分，
∴空间几何体的体积为.
故选：D.
16．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题 D．①②都是真命题
【答案】B
【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.
【解析】椭圆是“自稳定曲线”.
设椭圆方程为，令，则，设，
由是的重心，知，直线过点，

当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
则当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
当时，，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与椭圆交于两点，且是的重心，
即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心，
综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题；
双曲线不是“自稳定曲线”.
由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设，
假设是的重心，则，直线过点，
当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此，
，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与双曲线不相交，
所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.
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