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专题01 新增统计概率（根据教材精编）
题型01 伯努利分布、分布的表示 1
题型02 等可能分布或均匀分布 3
题型03 随机变量及其分布 4
题型04 随机变量的期望与方差 5
题型05 二项分布 8
题型06 超几何分布 11
题型07 正态分布 14
题型08 成对数据的统计分析 16
题型09 条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件 19
题型10 判断事件的类型 概率公式综合辨析 21
【解题规律·提分快招】
1、离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 2、求离散型随机变量ξ的期望与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由期望、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)． 3、判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 4、(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型． 5、解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
题型01 伯努利分布、分布的表示
【典例1-1】．抛掷1枚硬币，正面朝上的次数为X，则X的期望是 ．
【答案】/0.5
【分析】得到随机变量X的分布，求出期望值.
【解析】随机变量X的分布是，则．
故答案为：
【典例1-2】．以下分布中是伯努利分布的是（ ）．
A．掷一枚硬币正面次数的分布
B．掷两枚硬币正面次数的分布
C．抛一颗骰子点数的分布
D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布
【答案】A
【分析】根据伯努利分布的概念即可判断.
【解析】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布．
则选项A符合，选项BCD不符合.
故选：A.
【变式1-1】．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
【答案】/0.5
【分析】根据概率之和为1即可求解.
【解析】由题意可知或，
由于，所以，
故答案为：
【变式1-2】．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， .
【答案】 0.66 0.34
【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论.
【解析】由两点分布可知，
.
故答案为：0.66;0.34.
【变式1-3】．已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 .
【答案】 0.7/ 0.3/
【分析】根据两点分布的基本性质即可求解.
【解析】因为服从参数为0.3的两点分布，
所以， .
当时，，所以.
故答案为：0.7，0.3
【变式1-4】．以下各项中是分布的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分布列中各项概率大于，且概率之和为，从而得到正确答案.
【解析】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为，
显然AC选项不满足概率之和为，
D选项不满足各项概率大于，B选项满足要求.
故选：B.
题型02 等可能分布或均匀分布
【典例2-1】．已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ．
【答案】
【分析】由均匀分布可知，，求解即可.
【解析】随机变量X分布是均匀分布，所以，
，．
故答案为：
【变式2-1】．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解.
【解析】由分布列的性质得，且，
即可解出．
故答案为：.
题型03 随机变量及其分布
【典例3-1】．已知随机变量的分布，则 ．
【答案】/.
【分析】利用分布列的概率和为1求解即可.
【解析】由题意得随机变量X的所有可能值得概率的和为1，
所以，解得.
故答案为：
【典例3-2】．分别抛掷3枚硬币，正面次数的分布如下，其中c的值为 ．
【答案】/0.375
【分析】利用分布列的概率和为1求解参数即可.
【解析】由题意得随机变量X的所有可能值的概率的和为1，
故有，解得.
故答案为：
【变式3-1】．设是一个随机变量，其分布为，则实数 ．
【答案】
【分析】由概率大于等于0小于等于1，可以得到的范围；根据概率之和为1，可以计算出的值.
【解析】依题意：，解得.
故答案为：.
【变式3-2】．一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最大号码，则随机变量的分布为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知可取的值为，分别利用古典概型概率公式求相应事件的概率，可得的分布.
【解析】由题意可知随机变量表示摸出的3个球中的最大号码数，可取的值为3、4、5，
当时，3个小球编号为1、2、3，；
当时，3个小球一个编号为4，另外两个为1、2、3中的两个，；
当时，3个小球一个编号为5，另外两个为1、2、3、4中的两个，.
故选：C.
【变式3-3】．若随机变量的分布为，则 ， ．
【答案】 0.1/ 0.55/
【分析】直接由分布列第二行概率之和为1即可求出，再利用概率的可加性可得.
【解析】由题意，.
故答案为：0.1；0.55.
题型04 随机变量的期望与方差
【典例4-1】．已知随机变量的分布为，则的方差为 .
【答案】3.56
【分析】先根据分布列的性质及数学期望公式求出期望值，再利用方差公式求解即可.
【解析】根据分布列的性质得，解得，
所以，
所以的方差为.
故答案为：3.56
【典例4-2】．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ．
【答案】
【分析】利用随机变量均值的性质求解参数，再进行乘法运算即可.
【解析】，则，由，得，则．
故答案为：
【变式4-1】．已知随机变量的分布是，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列求出，求出期望即可．
【解析】由题意可得，解得，
．
．
故选：C．
【变式4-2】．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 .
【答案】5
【分析】先由概率之和为，求出，根据离散型随机变量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根据方差的性质，即可求出结果.
【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得，
，，
，
，.
故答案为：5
【变式4-3】．随机变量的分布为，若，则 .
【答案】
【分析】根据数学期望的性质可求得，并结合概率和为构造方程组求得，利用方差计算公式可求得结果.
【解析】，，
即，又，，，
.
故答案为：.
【变式4-4】．已知一个随机变量的分布为，且，则 .
【答案】0.4/
【分析】根据和分布列的性质求得的值,再利用方差的公式即可求解.
【解析】由题意得 ,解得,
故答案为:0.4
【变式4-5】．随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】因为a，b，c成等差数列，所以．结合分布列性质，及，求解，，，然后利用方差的计算公式计算即可.
【解析】因为a，b，c成等差数列，所以．
又由分布列性质知，所以．
又因为，所以，，，
所以．
故答案为：．
【变式4-6】．已知，随机变量的分布为，当增大时（ ）．
A．增大，增大 B．减小，增大
C．增大，减小 D．减小，减小
【答案】B
【分析】利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情况．
【解析】由题意得，，
所以当增大时，减小，
，
所以在上随的增大而增大.
故选：B．
题型05 二项分布
【典例5-1】．已知随机变量服从二项分布，则 .
【答案】
【分析】根据二项分布的概率公直接求解即可
【解析】表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为，
，
故答案为：
【典例5-2】．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ．
【答案】10
【分析】根据变量符合二项分布，写出试验发生次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．
【解析】
，
当时，．
显然当时，取得最大值．
故答案为：10
【变式5-1】．下列说法中正确的是
①设随机变量服X从二项分布，则；
②已知随机变量X服从正态分布且，则；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则；
④．
【答案】①②③
【分析】根据二项分布的概率公式判断①；
根据正态分布的性质判断②；
根据条件概率判断③；
根据期望与方差的性质判断④.
【解析】随机变量服从二项分布，则，故①正确；
随机变量服从正态分布且，则，故②正确；
事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，故③正确；
，故④错误.
故答案为：①②③.
【变式5-2】．如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 .
【答案】2025
【分析】由二项分布的概率公式和组合数的性质计算可得.
【解析】由题意可得，
，
因为，
所以，
所以使成立的的分别为，共2025个，
故答案为：2025.
【变式5-3】．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ．
【答案】
【分析】由随机变量X服从二项分布，及，求出，再由随机变量Y服从二项分布，则，计算可得.
【解析】因为随机变量X服从二项分布，
所以，
解得或（舍去），
又因为随机变量Y服从二项分布，
所以
．
故答案为: .
【变式5-4】．已知随机变量，若，则的值等于 ．
【答案】
【分析】根据二项分布的概率性质计算求解．
【解析】，解得（舍去），．
故答案为：．
【变式5-5】．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ．
【答案】/
【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得.
【解析】至少射击4次合格通过的概率为，
所以，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时得最大值，故．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：用表示至少射击4次合格通过的概率，并利用导数研究在上的最值即可.
题型06 超几何分布
【典例6-1】．某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则
【答案】
【分析】根据题意结合超几何分布的概率公式求解.
【解析】由题意得.
故答案为：
【典例6-2】．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 ．
【答案】/0.36
【分析】黑球的个数为，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，求出，然后求解记取出3个球中黑球的个数为，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可．
【解析】解：设黑球的个数为，由得，
记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3；
，，，
则分布列如下：
1 2 3
所以，
则．
故答案为：.
【变式6-1】．在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据超几何分布的概率公式直接计算.
【解析】由已知得，表示个白球，个红球，
故，
故答案为：.
【变式6-2】．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题．
根据题意，X的取值为0或1，代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可．
【解析】解：由题意可得
，
，
所以．
故答案为：．
【变式6-3】．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【解析】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.
又X的分布列
X 0 1 2
P
∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
η的分布列为
η 1 2 3
P
∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
题型07 正态分布
【典例7-1】．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可.
【解析】由正态分布的对称性知，，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【典例7-2】．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】0.35/
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【解析】由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为．
故答案为：0.35.
【变式7-1】．如图所示，该分布的0.25分位数为 ．
【答案】
【分析】根据分位数的定义和正态分布的性质，即可求解．
【解析】且对称轴为轴，
，
该分布的0.25分位数为．
故答案为：．
【变式7-2】．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ．
【答案】
【分析】根据正态分布的性质，求出，即可求得结果.
【解析】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为，
又，所以数学分数属于闭区间的概率为，
所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人.
故答案为：
【变式7-3】．若随机变量，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解.
【解析】随机变量，且，，
由正态密度曲线的对称性可知，，
所以.
故选：B
题型08 成对数据的统计分析
【典例8-1】．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 .
【答案】
【分析】根据线性相关系数的定义直接得解.
【解析】由已知样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，
则，
又，
所以满足负相关，
即，
故答案为：.
【典例8-2】．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）与体重（单位：kg）的数据如下表：
165 165 157 170 175 165 155 170
48 57 50 54 64 61 43 59
若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为 .
【答案】0.96
【分析】由线性回归方程先求时的值，再根据残差的计算公式即可求解.
【解析】令得，所以残差为
故答案为：
【变式8-1】．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
【答案】
【分析】一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可.
【解析】由条件可得，
，
，
一定在回归方程上，代入解得，
，
，
，
，
故答案为：
【变式8-2】．下列说法中，正确的有 （填序号）.
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②根据列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关；
④某项测量结果服从正态分布，则，则.
【答案】②④
【分析】根据回归直线的特征即可判断①，理解独立性检验的基本思想即可判断②，正确把握卡方值的含义即可判断③，利用正态曲线的对称性可判断④.
【解析】对于①，回归直线恒过点，但不一定过样本点，故①错误；
对于②，因独立性检验是选取一个零假设条件下的小概率事件，故②正确；
对于③，当的值很小时推断两类变量相关的把握小，但不能说无关，故③错误；
对于④，因为服从正态分布，且，所以与关于直线对称，
由可得，，则，故④正确.
故答案为：②④.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查回归分析，独立性检验，正态分布等知识点，属于基础题.
解决此类题的关键即是正确理解和把握以上概念和本质特征，如回归直线的图象体征，独立性检验中“零假设”的含义，正态分布曲线的对称性特征.
【变式8-3】．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7

若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则 （填，，，）
【答案】
【分析】根据散点图可知两个量呈负相关，且去掉数据后相关性变强，结合相关系数的概念判断即可.
【解析】根据散点图可知，羊只数量与草地植被指数呈负相关，则相关系数，，
当去掉第一年数据后，数据的线性相关性变强，所以，所以．
故答案为：
【变式8-4】．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
服用 50
未服用 50
合计 80 20 100
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ．
(参考公式：；参考值：）
【答案】
【分析】由题意列出不等式，结合近似计算求出m的取值范围，即可得答案.
【解析】由题意可知，
则，
解得或，而，
故m的最小值为44.
故答案为：44.
题型09 条件概率与全概率公式
【典例9-1】．甲 乙两气象站同时作天气预报，如果甲站 乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲 乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站 乙站预报都错误的概率为 .
【答案】/0.06
【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.
【解析】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”，
则
所以甲 乙都预报错误的概率为
故答案为：0.06
【变式9-1】．某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为 ．
质量/g
商品果率 0.7 0.8 0.8 0.9 0.7
【答案】/
【分析】
结合频率分布直方图及商品果率的频率分布表，利用全概率公式可直接求得答案.
【解析】
记事件 “从柳丁中任取1个为商品果”，由全概率公式可得
，
故答案为：.
【变式9-2】．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为，现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为 .
【答案】/0.8
【分析】根据题意结合条件概率公式分析运算.
【解析】用频率估计概率，记“学生近视”为事件A，“学生每天玩手机超过”为事件B，
由题意可得：，
因为，则，
所以.
故答案为：.
【变式9-3】．研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则 ．
【答案】/0.375
【分析】求出，结合求出，进而利用求条件概率公式求出答案.
【解析】由题意可知，则．
又，
所以，
题型10 判断事件的类型 概率公式综合辨析
【典例10-1】．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用独立事件的乘法公式和概率的性质逐项判断即可.
【解析】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，
故，故AB错误；
，故C正确；
,故D错误.
故选：C
【典例10-2】．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【答案】B
【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可.
【解析】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立，
A选项，，故A一定成立；
B选项，，
而，所以，故B不成立；
C选项，，
故C一定成立；
D选项，，
故D一定成立.
故选：B.
【变式10-1】．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则
【答案】A
【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率性质，逐个判断.
【解析】由，故选项A错误，选项B正确；
若A、独立，则，，故选项C正确；
若A、互斥，则，，故选项D正确.
故选：A.
【变式10-2】．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
【答案】D
【分析】A选项，写出事件包含的情况，得到，A错误；B选项，写出事件包含的情况，结合A选项，得到，B错误；C选项，写出事件包含的情况，故，C错误；D选项，写出事件和包含的情况，得到，D正确.
【解析】A选项，事件包含的情况有，
事件：至少有一颗点数为6包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，A错误；
B选项，事件包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，B错误；
C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况，
故，
事件包含的情况为，故，
故，故事件与事件不相互独立，C错误；
D选项，事件包含的情况有
，
，共18种情况，
故，
事件包含的情况有：，
故，
因为，所以事件与事件相互独立，D正确.
故选：D
【变式10-3】．现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B相互独立
C．A与互斥 D．A与相互独立
【答案】B
【分析】根据互斥事件判断AC，结合独立事件的概率乘法公式判断BD.
【解析】由题意可知：事件A为取到第1或4个礼品盒，事件B为取到第2或4个礼品盒，事件C为取到第3或4个礼品盒，
对于选项A：因为事件为取到第4个礼品盒，所以A与B不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，
可知，所以A与B相互独立，故B正确；
对于选项C：因为事件为取到第2或3或4个礼品盒，
则事件为取到第4个礼品盒，所以A与不互斥，故C错误；
对于选项D：因为事件为取到第4个礼品盒，则，
且事件为取到第4个礼品盒，则，
可知，所以A与不相互独立，故D错误；
故选：B.
【变式10-4】．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，是对立事件，则
B．若，是互斥事件，，则
C．若，且，则，是独立事件
D．若，是独立事件，，则
【答案】C
【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.
【解析】对于A，若是对立事件，则，A错误；
对于B，若是互斥事件，，则，B错误；
对于C，，则，，
又，则是独立事件，C正确；
对于D，若是独立事件，则是独立事件，而，
则，D错误.
故选：C
【变式10-5】．设A，B为两个随机事件，
①若A，B是互斥事件，，则；
②若A，B是对立事件，则；
③若A，B是独立事件，，，则；
④若，，且，则A，B是独立事件.
以上4个命题，正确的序号选项为（ ）.
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，对立事件的性质以及独立事件的概率乘法公式，可得答案.
【解析】①：由是互斥事件，则，故①错误；
②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确；
③：由是独立事件，则也是互相独立的，
即，故③正确；
④：由，，
则相互独立，即相互独立，故④正确.
故选：D.
【变式10-6】．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥
【答案】A
【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出的值，可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用互斥事件的定义可判断D选项.
【解析】依题意，，，，
，，B对，
，A错；
，，
所以，，所以，事件与事件不相互独立，C对，
由题意可知，事件、、中的任意两个事件都不可能同时发生，
因此，事件、、两两互斥，D对.
故选：A.
【变式10-7】．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）.
A．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件相互独立
B．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件相互独立
C．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
D．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
【答案】B
【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断.
【解析】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况，
(男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)，
则，，，事件与事件不相互独立，AC错误；
若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况，
(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，
(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误.
故选：B
一、填空题
1．（2024·上海·模拟预测）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【解析】由题意知，题库的比例为：，
各占比分别为，
则根据全概率公式知所求正确率．
故答案为：0.85．
2．（2024·上海·三模）设随机变量X服从成功概率为的二项分布，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据期望和方差可得关于的方程组，从而可求其值.
【解析】设,则,
所以，故，
故答案为：.
3．（2024·上海浦东新·三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 .
【答案】/
【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值.
【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
则，，，
所以，，
.
故答案为：.
二、单选题
4．（2023·上海奉贤·一模）下列结论不正确的是（ ）
A．若事件与互斥，则
B．若事件与相互独立，则
C．如果分别是两个独立的随机变量，那么
D．若随机变量的方差，则
【答案】A
【分析】由已知，选项A，根据事件与互斥，可知；选项B，根据事件与相互独立，可知；选项C，根据分别是两个独立的随机变量，可得；选项D，由，可得，即可作出判断.
【解析】由已知，
选项A，若事件与互斥，则，故该选项错误；
选项B，若事件与相互独立，则，故该选项正确；
选项C，若分别是两个独立的随机变量，那么，故该选项正确；
选项D，若随机变量的方差，则，故该选项正确；
故选：A.
5．（2024·上海浦东新·三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①，且；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
【答案】A
【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解.
【解析】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：，
摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，，
摸次甲获胜概率： ，
所以，
所以，
第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，
则，故①正确；
由，设，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以，即，
即，即，即，
则，即，解得，
所以不小于1992，所以②正确.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得其概率是等比数列，从而得到，利用数列求和和极限的知识进行求解.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 新增统计概率（根据教材精编）
题型01 伯努利分布、分布的表示 1
题型02 等可能分布或均匀分布 2
题型03 随机变量及其分布 2
题型04 随机变量的期望与方差 3
题型05 二项分布 4
题型06 超几何分布 4
题型07 正态分布 5
题型08 成对数据的统计分析 6
题型09 条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件 7
题型10 判断事件的类型 概率公式综合辨析 8
【解题规律·提分快招】
1、离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 2、求离散型随机变量ξ的期望与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由期望、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)． 3、判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 4、(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型． 5、解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
题型01 伯努利分布、分布的表示
【典例1-1】．抛掷1枚硬币，正面朝上的次数为X，则X的期望是 ．
【典例1-2】．以下分布中是伯努利分布的是（ ）．
A．掷一枚硬币正面次数的分布
B．掷两枚硬币正面次数的分布
C．抛一颗骰子点数的分布
D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布
【变式1-1】．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
【变式1-2】．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， .
【变式1-3】．已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 .
【变式1-6】．以下各项中是分布的为（ ）
A． B．
C． D．
题型02 等可能分布或均匀分布
【典例2-1】．已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ．
【变式2-1】．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ．
题型03 随机变量及其分布
【典例3-1】．已知随机变量的分布，则 ．
【典例3-2】．分别抛掷3枚硬币，正面次数的分布如下，其中c的值为 ．
【变式3-1】．设是一个随机变量，其分布为，则实数 ．
【变式3-2】．一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最大号码，则随机变量的分布为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】．若随机变量的分布为，则 ， ．
题型04 随机变量的期望与方差
【典例4-1】．已知随机变量的分布为，则的方差为 .
【典例4-2】．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ．
【变式4-1】．已知随机变量的分布是，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 .
【变式4-3】．随机变量的分布为，若，则 .
【变式4-4】．已知一个随机变量的分布为，且，则 .
【变式4-5】．随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ．
【变式4-6】．已知，随机变量的分布为，当增大时（ ）．
A．增大，增大 B．减小，增大
C．增大，减小 D．减小，减小
题型05 二项分布
【典例5-1】．已知随机变量服从二项分布，则 .
【典例5-2】．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ．
【变式5-1】．下列说法中正确的是
①设随机变量服X从二项分布，则；
②已知随机变量X服从正态分布且，则；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则；
④．
【变式5-2】．如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 .
【变式5-3】．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ．
【变式5-4】．已知随机变量，若，则的值等于 ．
【变式5-5】．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ．
题型06 超几何分布
【典例6-1】．某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则
【典例6-2】．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 ．
【变式6-1】．在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则 .
【变式6-2】．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求 ．
【变式6-3】．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号)
题型07 正态分布
【典例7-1】．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ．
【典例7-2】．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式7-1】．如图所示，该分布的0.25分位数为 ．
【变式7-2】．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ．
【变式7-3】．若随机变量，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型08 成对数据的统计分析
【典例8-1】．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 .
【典例8-2】．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）与体重（单位：kg）的数据如下表：
165 165 157 170 175 165 155 170
48 57 50 54 64 61 43 59
若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为 .
【变式8-1】．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
【变式8-2】．下列说法中，正确的有 （填序号）.
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②根据列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关；
④某项测量结果服从正态分布，则，则.
【变式8-3】．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7

若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则 （填，，，）
【变式8-4】．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
服用 50
未服用 50
合计 80 20 100
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ．
(参考公式：；参考值：）
题型09 条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件
【典例9-1】．甲 乙两气象站同时作天气预报，如果甲站 乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲 乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站 乙站预报都错误的概率为 .
【变式9-1】．某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为 ．
质量/g
商品果率 0.7 0.8 0.8 0.9 0.7
【变式9-2】．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为，现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为 .
【变式9-3】．研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则 ．
题型10 判断事件的类型 概率公式综合辨析
【典例10-1】．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例10-2】．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【变式10-1】．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则
【变式10-2】．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
【变式10-3】．现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B相互独立
C．A与互斥 D．A与相互独立
【变式10-4】．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，是对立事件，则
B．若，是互斥事件，，则
C．若，且，则，是独立事件
D．若，是独立事件，，则
【变式10-5】．设A，B为两个随机事件，
①若A，B是互斥事件，，则；
②若A，B是对立事件，则；
③若A，B是独立事件，，，则；
④若，，且，则A，B是独立事件.
以上4个命题，正确的序号选项为（ ）.
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【变式10-6】．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥
【变式10-7】．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）.
A．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件相互独立
B．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件相互独立
C．①中事件与事件相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
D．①中事件与事件不相互独立 ②中的事件与事件不相互独立
一、填空题
1．（2024·上海·模拟预测）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
2．（2024·上海·三模）设随机变量X服从成功概率为的二项分布，若，，则 ．
3．（2024·上海浦东新·三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 .
二、单选题
4．（2023·上海奉贤·一模）下列结论不正确的是（ ）
A．若事件与互斥，则
B．若事件与相互独立，则
C．如果分别是两个独立的随机变量，那么
D．若随机变量的方差，则
5．（2024·上海浦东新·三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①，且；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
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