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专题03 函数综合(十四大题型)
题型01 定义域 1
题型02 值域 2
题型03 函数值 2
题型04 函数解析式 2
题型05 函数单调区间 2
题型06 求参数综合 2
题型07 指数、对数的运算及应用 3
题型08 指、幂、对数函数 3
题型09 函数中的解不等式综合 3
题型10 实际应用题 4
题型11 函数的图像与性质 4
题型12 零点问题 5
题型13 比较大小问题 5
题型14 函数的周期性与对称性 6
【解题规律·提分快招】
1、比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 2、求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 3、利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 4、利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． 5、利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 6、求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 7、利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 8、已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
题型01 定义域
【典例1-1】．函数的定义域是 ．
【变式1-1】．函数的定义域为 ．
题型02 值域
【典例2-1】．函数，的值域是 ．
【变式2-1】．函数的值域为 .
【变式2-2】．函数的值域为 ．
题型03 函数值
【典例3-1】．已知函数，其中，则 .
【变式3-1】．已知函数，满足，则 .
题型04 函数解析式
【典例4-1】．已知函数是奇函数，当时，，当时， .
【变式4-1】．已知，，则 ．
题型05 函数单调区间
【典例5-1】．函数的单调严格增区间为 ．
【变式5-1】．函数的单调递增区间是 .
【变式5-2】．函数的严格减区间为 ．
题型06 求参数综合
【典例6-1】．已知函数为奇函数，则 ．
【典例6-2】．设若，则 ．
【变式6-1】．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 .
【变式6-2】．设.若函数是定义在上的奇函数，则 .
【变式6-3】．已知函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是 ．
题型07 指数、对数的运算及应用
【典例7-1】．根式写成指数幂形式为 ．
【典例7-2】．已知，，则
【变式7-1】．若，，则 （用，表示）．
【变式7-2】．已知，，，则的最小值为 .
【变式7-3】．已知且，则 ．
题型08 指、幂、对数函数
【典例8-1】．若函数是幂函数，则= ．
【典例8-2】．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式8-1】．设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
【变式8-2】．方程的解是 .
【变式8-3】．函数是幂函数，且在上时是严格减函数，则实数 ．
题型09 函数中的解不等式综合
【典例9-1】．不等式的解集为 ．
【典例9-2】．不等式的解集为 ．
【变式9-1】．已知，则的解集是 ．
【变式9-2】．已知偶函数在区间上是严格减函数.若，则的取值范围是 .
【变式9-3】．设， ，则不等式的解集为 .
【变式9-4】．设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型10 实际应用题
【典例10-1】．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．C． D．
【变式10-1】．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车 .（精确到小时）
【变式10-2】．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）. 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时)
题型11 函数的图像与性质
【典例11-1】．下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）．
①； ②； ③ ； ④ ．
【典例11-2】．已知函数的大致图像如图所示，则 ．
【变式11-1】．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式11-2】．已知函数，若，则的最小值为 ．
【变式11-3】．已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是
【变式11-4】．已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
题型12 零点问题
【典例12-1】．已知，且，则函数的零点为 .
【变式12-1】．设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为 ．
【变式12-3】．已知函数是定义在的偶函数，当时，，若函数有且仅有个不同的零点，则实数取值范围 .
题型13 比较大小问题
【典例13-1】．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例13-2】．若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式13-1】．关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式13-2】．已知函数实数，，满足，且满足，若实数是函数的一个零点，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式13-3】．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型14 函数的周期性与对称性
【典例14-1】．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ．
【变式14-1】．定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面五个关于的命题：①是周期函数：②图象关于对称；③在上是增函数；④在上为减函数；⑤，其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
【变式14-2】．函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为 .
一、填空题
1．（2024·上海静安·二模）函数的定义域为 ．
2．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
3．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ．
4．（2024·上海嘉定·一模）已知，则的解集为 .
5．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01）
6．（2024·上海静安·一模）已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 .
7．（2024·上海·模拟预测）若存在实数，对任意的，不等式恒成立.则正数的取值范围是 .
8．（2023·上海徐汇·一模）已知函数，其中，存在实数 使得 成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 ．
二、单选题
9．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为．
命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 函数综合(十四大题型)
题型01 定义域 1
题型02 值域 2
题型03 函数值 2
题型04 函数解析式 2
题型05 函数单调区间 2
题型06 求参数综合 2
题型07 指数、对数的运算及应用 3
题型08 指、幂、对数函数 3
题型09 函数中的解不等式综合 3
题型10 实际应用题 4
题型11 函数的图像与性质 4
题型12 零点问题 5
题型13 比较大小问题 5
题型14 函数的周期性与对称性 6
【解题规律·提分快招】
1、比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 2、求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 3、利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 4、利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． 5、利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 6、求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 7、利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 8、已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
题型01 定义域
【典例1-1】．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解析】要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：．
【变式1-1】．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由题意可得关于x的不等式组求解．
【解析】由，解得且.
∴函数的定义域为．
故答案为：.
题型02 值域
【典例2-1】．函数，的值域是 ．
【答案】
【分析】根据函数单调性可得最值.
【解析】由函数，在上单调递减，
所以，
故答案为：.
【变式2-1】．函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.
【解析】当时，，
当时，则，即，
综上的值域为，
故答案为：.
【变式2-2】．函数的值域为 ．
【答案】
【分析】由题得，设，再求函数的值域得解.
【解析】由题得函数的定义域为，
由题得，
设，
所以.
由复合函数单调性得函数在上单调递增，
所以
所以函数的值域为.
故答案为：
题型03 函数值
【典例3-1】．已知函数，其中，则 .
【答案】0
【分析】根据分段函数解析式求函数值.
【解析】由解析式知.
故答案为：0
【变式3-1】．已知函数，满足，则 .
【答案】1
【分析】利用，求出，代入求值.
【解析】，故，解得，
则，.
故答案为：1
题型04 函数解析式
【典例4-1】．已知函数是奇函数，当时，，当时， .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质直接求解即可.
【解析】设，则，
因为是奇函数，
所以，
则.
故答案为：
【变式4-1】．已知，，则 ．
【答案】
【分析】根据两个函数的解析式可得出的表达式.
【解析】对于函数，有，
又因为，故.
故答案为：.
题型05 函数单调区间
【典例5-1】．函数的单调严格增区间为 ．
【答案】和
【分析】首先去绝对值，画出函数的图象，由图象判断函数的增区间.
【解析】，
由图像知，

该函数的单调增区间为和．
故答案为：和
【变式5-1】．函数的单调递增区间是 .
【答案】（或）
【分析】根据复合函数的单调性求解.
【解析】由在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
所以在上单调递增.
故答案为：（或）
【变式5-2】．函数的严格减区间为 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.
【解析】函数的定义域为R，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的严格减区间为.
故答案为：
题型06 求参数综合
【典例6-1】．已知函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，根据为奇函数且在定义域内，有，求出的值.
【解析】函数的定义域为，且为奇函数，
，得.
经检验符合题意.
故答案为：.
【典例6-2】．设若，则 ．
【答案】1
【分析】根据分段函数，分和求解即可.
【解析】当时，，解得：，满足；
当时，，方程无解，
所以，
故答案为：1
【变式6-1】．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】对符合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围.
【解析】令，则，要使得的值域为，则函数的值域满足，
当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0，
∴，∴，
当时，满足题意，
综上所述：.
故答案为：
【变式6-2】．设.若函数是定义在上的奇函数，则 .
【答案】1
【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，且满足，即可求出结果.
【解析】由函数是定义在上的奇函数，可知，
再由，
所以，
故答案为：1.
【变式6-3】．已知函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解得的取值范围．
【解析】根据题意，函数在R上是增函数，
则有，解得：，
即实数的取值范围为；
故答案为：．
题型07 指数、对数的运算及应用
【典例7-1】．根式写成指数幂形式为 ．
【答案】
【分析】由指数幂的定义改写，注意化简．
【解析】，
故答案为：.
【典例7-2】．已知，，则
【答案】/
【分析】应用指数幂的运算性质计算即可.
【解析】解：因为，，所以.
故答案为：
【变式7-1】．若，，则 （用，表示）．
【答案】
【分析】利用对数的运算性质用表示即可.
【解析】由题设，，
所以，，
所以，，而，
所以.
故答案为：
【变式7-2】．已知，，，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】由对数运算性质化简得，借助“”的代换由基本不等式求最值可得.
【解析】由可得，，即，
因为，，
由，
当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4.
故答案为：.
【变式7-3】．已知且，则 ．
【答案】64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【解析】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
题型08 指、幂、对数函数
【典例8-1】．若函数是幂函数，则= ．
【答案】2
【分析】由幂函数的定义可得，进而求函数值即可.
【解析】由是幂函数，则，，
所以，.
故答案为：2.
【典例8-2】．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数偶函数的定义判断各个选项的奇偶性即可.
【解析】观察各个选项，函数的定义域均为，关于原点对称，对于定义域内任意的，可代入判断如下：
对A选项，，可知其为偶函数；
对B选项，可知其为奇函数；
对C选项，，可知其为偶函数；
对D选项，，即不等于又不等于，可知其既不是奇函数，也不是偶函数.
故选：D
【变式8-1】．设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
【答案】
【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案.
【解析】令，可得恒成立，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
【变式8-2】．方程的解是 .
【答案】
【分析】根据对数的运算法则计算可得.
【解析】由方程，可得，
，解得.
故答案为：
【变式8-3】．函数是幂函数，且在上时是严格减函数，则实数 ．
【答案】0
【分析】由幂函数的定义结合其性质列出方程得出实数.
【解析】由，得或，
再把和分别代入，检验得．
故答案为：0
题型09 函数中的解不等式综合
【典例9-1】．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】对进行分类讨论，结合幂函数、指数函数的单调性即可求解.
【解析】当时，，当时，，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【典例9-2】．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据特殊点函数值和函数单调性得到不等式解集.
【解析】，，在严格单调递增，
故在严格单调递增，
而时，，
所以不等式解集为.
故答案为：
【变式9-1】．已知，则的解集是 ．
【答案】
【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可.
【解析】因为，
设，则，所以，
所以，
不等式，即或，解得或，
综上可得的解集.
故答案为：
【变式9-2】．已知偶函数在区间上是严格减函数.若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解析】因为偶函数在区间上是严格减函数，
所以在上单调递增，
所以不等式，即，所以，即，
解得，
即的取值范围是.
故答案为：
【变式9-3】．设， ，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】先分别写出和时的表达式，再分别解这两种情况下的不等式，最后将解集合并.
【解析】当时,首先求出的表达式，
因为，根据，而，所以，则.
然后解不等式，即，移项得到.
对于二次函数，其判别式，
且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式的解为.
当时,求出的表达式，因为，根据的定义.
解不等式，即，移项得到，
因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为.
故答案为：.
【变式9-4】．设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，由已知可得函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化，求解即可．
【解析】令，因为是定义域为R的奇函数，
所以的定义域为，且是偶函数，
且，
因为对任意，都有，
即对任意，都有，
所以时，，
所以在上单调递减，所以在上上单调递增，
因为，所以，所以，
当时，不等式等价于，即，
所以，解得，
当时，不等式等价于，即，
所以，解得，
综上，原不等式的解集为．
故选：D．
题型10 实际应用题
【典例10-1】．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【解析】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
【变式10-1】．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车 .（精确到小时）
【答案】4
【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可.
【解析】当时，由得，
解得，舍去；
当时，由得，即，
解得，
因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
故答案为：4
【变式10-2】．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）. 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时)
【答案】8
【分析】先求出，再利用，即可得出结论．
【解析】解：由题意，，∴，
，∴，
故答案为8．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
题型11 函数的图像与性质
【典例11-1】．下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）．
①； ②； ③ ； ④ ．
【答案】②
【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数性质即可判断.
【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故④不满足题意,
因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数，
根据奇函数的性质，
因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意；
因为的定义域为，且，故②满足题意；
因为的定义域为，且，故③不满足题意.
故答案为：②.
【典例11-2】．已知函数的大致图像如图所示，则 ．
【答案】
【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值.
【解析】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数；
又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，.
故答案为：.
【变式11-1】．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象和的奇偶性判断.
【解析】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
A. ，定义域为R，
又，所以是奇函数，符合题意，故正确；
B. ，，不符合图象，故错误；
C. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
【变式11-2】．已知函数，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解．
【解析】，
若，不妨设，
则，
所以，即，
所以，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：．
【变式11-3】．已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得.
【解析】当时，因，为减函数，故；
当时，因，为减函数，故.
依题意，该函数存在最小值，需使，解得.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式11-4】．已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
【答案】2
【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.
【解析】对于，可以把的图象看作：
由的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到；
对于的图象可看作由
的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到．
易知与都为奇函数，
则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．
因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小，
所以与的图象交点的纵坐标之和为0，
又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，
则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，
故与的图象交点的纵坐标之和为2．
故答案为：2
题型12 零点问题
【典例12-1】．已知，且，则函数的零点为 .
【答案】3
【分析】令，分和两种情况，解方程可得答案.
【解析】因为，则，所以，
令，则，
当时，，令，解得：；
当，，令，解得：(舍去)，
故函数的零点为
故答案为：3
【变式12-1】．设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合图像即可求解.
【解析】由画出函数图像，
结合图像可知，方程恰有一解，
的取值范围为.
故答案为：
【变式12-2】．已知函数是定义在的偶函数，当时，，若函数有且仅有个不同的零点，则实数取值范围 .
【答案】
【分析】由，可得或，作出函数的图象，数形结合可知，直线与函数的图象有个交点，则直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【解析】因为，
由，可得或，
由函数是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，如下图所示：

因为，由图可知，直线与函数的图象有个交点，
所以，直线与函数的图象有个交点，由图可得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
题型13 比较大小问题
【典例13-1】．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【解析】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
【典例13-2】．若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，构建函数，结合单调性分析可得，再结合对数函数单调性逐项分析判断.
【解析】因为，所以
构造函数，则在上单调递增，
故，所以，
对A、B：则，但无法确定与1的大小关系，故无法确定与0的大小关系，A、B错误；
对C、D：，且在定义域上单调递增，所以，C错误，D正确.
故选：D.
【变式13-1】．关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；
【解析】解：因为，
所以函数是一个偶函数，
又时，与是增函数，且函数值为正数，
故函数在上是一个增函数
由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，
此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，
函数值就小，反之也成立，
考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误；
B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；
C选项是正确的，由，一定得出；
D选项由，可得出，但不能得出，不成立，
故选：C．
【变式13-2】．已知函数实数，，满足，且满足，若实数是函数的一个零点，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】得到的定义域及单调性，结合，得到或，从而得到或，得到答案.
【解析】因为在上是增函数，又，，
所以中一项为负的、两项为正的或者三项都是负的，
即或．
由于实数是函数的一个零点，
当时，，
当时，，
综上，一定成立．
故选：C．
【变式13-3】．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知得出函数的图象关于直线对称，这样得出函数在上是减函数，再由奇函数得出在上是增函数，利用奇函数得，从而得出，确定的值或范围后利用单调性可比较大小．
【解析】因为是定义在R上的奇函数且满足，
，所以的图象关于直线对称，
在上是减函数，则在上是增函数，
又是奇函数，所以在上是增函数，
所以在上是增函数，在上是减函数，
结合奇函数得，所以，
，，，
所以，即，
故选：C．
题型14 函数的周期性与对称性
【典例14-1】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ．
【答案】1
【分析】根据题意可得函数的周期为4，再由解析式可求得一个周期内的函数值，即可得出答案.
【解析】由得，
所以函数是周期为4的周期函数，
又是奇函数，所以，，，，
所以，
可得.
故答案为：1
【变式14-1】．定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面五个关于的命题：①是周期函数：②图象关于对称；③在上是增函数；④在上为减函数；⑤，其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
【答案】①②⑤
【分析】由已知条件得到函数周期性判断命题①，结合周期性和对称性确定对称轴判断命题②；由已知单调区间，结合周期性和对称性判断命题③④；由周期性判断命题⑤.
【解析】定义域为，满足，则是周期函数，周期为2，命题①正确；
偶函数满足，所以图象关于对称，命题②正确；
为偶函数，在上是增函数，则在上是减函数，命题③错误；
在上是增函数，且周期为2，则在上为增函数，命题④错误；
周期为2，有，命题⑤正确.
故答案为：①②⑤
【变式14-2】．函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为 .
【答案】1518.5
【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，再利用函数的周期性求解.
【解析】解：函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，
函数的值域为，对任意，
都有，
要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，
，
的最小值估计值为，故的最小值取507，相应的最小值为1011.5，
则的最小值为1518.5.
故答案为：1518.5
一、填空题
1．（2024·上海静安·二模）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【解析】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
2．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.
【解析】设，
则在单调递增，又，
所以，即，故.
则.
由题意是的充分条件，则，
所以有，故实数m的取值范围是.
故答案为：.
3．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ．
【答案】/
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值.
【解析】当时，，即，
当时，，即，
于是，在上，都成立，即为偶函数.
由指数函数的单调性可知，在上单调递增，
因此，不等式等价于，
即，解得.
故m的最大值为.
故答案为：.
4．（2024·上海嘉定·一模）已知，则的解集为 .
【答案】
【分析】根据分段函数的性质，分情况整理不等式，当时，整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性，当时，利用中间值法，可得答案.
【解析】当时，可得，整理可得，
令，令，求导可得，
所以函数在单调递减，令，解得，则，
此时不等式的解集为；
当时，可得，由，则，
易知，此时不等式的解集为.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
5．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01）
【答案】
【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.
【解析】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为，
所以出租车空驶率，
对于甲，，满足题意；
对于乙，，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为，即.
故答案为：.
6．（2024·上海静安·一模）已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 .
【答案】100000
【分析】令，根据给定信息列出不等式，求出的范围即可得解.
【解析】设，依题意，，，
由，得，解得，因此，
则，，所以的最小值为100000.
故答案为：100000
7．（2024·上海·模拟预测）若存在实数，对任意的，不等式恒成立.则正数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先化简不等式，转化为两个不等式组，结合二次函数图象与一次函数图象分析确定满足条件的解.
【解析】存在实数，对任意的，不等式恒成立，
等价于或，
整理得①或②，
令，，，
则不等式①②等价于的图象夹在和之间，
令，解得，即，，
的对称轴为，设点关于直线的对称点为点，则，
对任意的，函数的图象必须夹在和图象之间，
所以，即，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题以及二次函数图象性质，关键是把不等式恒成立转化为函数图象需要满足特定条件，再结合图象分析计算，体现了转化思想和数形结合的思想.
8．（2023·上海徐汇·一模）已知函数，其中，存在实数 使得 成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可.
【解析】设，
又因为，
所以，
则，
当时，，
则，
显然存在任意正整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
当时，，
，
显然存在任意整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
综上，则实数的取值范围是.
故答案为：.
二、单选题
9．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为．
命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题
【答案】C
【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解.
【解析】对于命题，令函数，
则，此时，当函数不是奇函数，
所以命题为假命题，
对于命题，当时，都有，即，不可能，
即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题.
故选：C.
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