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专题03 三角函数与解三角形（十一大题型）
题型01 求值域、最值 2
题型02 三角函数中解不等式 5
题型03 零点问题 8
题型04 实数解、方程根等问题 13
题型05 导数与三角形函数 18
题型06 解三角形，周长、面积问题 20
题型07 最值问题 22
题型08 取值范围问题 28
题型09 解三角形与数列 30
题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合 33
题型11 三角函数的实际应用 40
【解题规律·提分快招】
1、已知三角函数解析式求单调区间： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2、奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． 3、周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． 4、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 5、解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
题型01 求值域、最值
【典例1-1】．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知,
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其单调递减区间；
（2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域.
【解析】（1）,
由，可得，
即函数的单调递减区间为.
（2）当，，则，
故函数的值域为.
【变式1-1】．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案；
（2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【解析】（1）．
∴函数的最小正周期为．
（2），
，则．
令，因为，则．
当或，即或时，．
当，即时，．
【变式1-2】．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 1 0
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)设，求函数的值域；
【答案】(1)补充表格见解析，
(2)
【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格；
（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.
【解析】（1）由题意，解得，
所以函数的解析式为，
令时，解得，当时，，
将表中处的数据补充完整如下表：
0
0 1 0 0
（2）若，
则
，
因为，所以，
进而，
所以函数的值域为.
【变式1-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数.
(1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程；
(2)若在上的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)对称轴为直线
(2)
【分析】（1）根据题意，由恒等变换公式代入计算，化简，再由余弦型函数的性质，即可得到结果；
（2）根据题意，分在上单调以及在上不单调讨论，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【解析】（1）
，由题意得的最小正周期.
由图像可知，对称轴为直线.
（2）若在上单调，则，
得，
则
由，得，则，
所以.
若在上不单调，
则在上的图像上必定有一个最高点或最低点，
且在上的图像无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，
的取值范围均相同.
假设在上的图像的最高点为，则，
当，即时，，此时取得最小值，
且最小值是.易得，则，所以.
综上，的取值范围为.
题型02 三角函数中解不等式
【典例2-1】．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.
(1)求函数的表达式；
(2)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，化简，再根据为奇函数求解当时，函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，再根据奇函数的性质解不等式即可.
【解析】（1）当时，函数
.
当时，；
当时，，
即；
因为，
所以.
因此；
（2）当时，，
因此有在上严格单调递增；
而当时，
因此有在上严格单调递增；
原不等式可化为：；
而是定义在上的严格增函数，
所以；
因此不等式的解集为.
【变式2-1】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，．
(1)求函数的严格减区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再由正弦型函数的单调性可求出函数的减区间；
（2）求出的取值范围，由参变量分离法可得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【解析】（1）解：因为，
因为，则，由可得，
所以，函数的严格减区间为.
（2）解：由（1）可知，，则，
所以，，即，
所以，，
由可得，
所以，，所以，，
因此，实数的取值范围是.
题型03 零点问题
【典例3-1】．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）．
(1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间；
(2)若，，求函数的值域及零点．
【答案】(1)，；
(2)；.
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可；
（2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可.
【解析】（1）由，
若函数的最小正周期是，则，即，所以，
令，解之得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）由（1）知：，若，则，
则时，有，则，
故，函数值域为，
而在上，只有，即，
即函数的零点为.
【典例3-2】．（2024·上海·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的在上单调递减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间.
（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【解析】（1）依题意，
，
当时，，由，得，
所以函数的在上的单调递减区间为.
（2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点，
即函数在只有两个零点，
因此，解得，
所以的取值范围为.
【变式3-1】．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有.
(1)求实数的值；
(2)设，当时，，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值；
（2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果.
【解析】（1），
由的最小正周期为，知，
，
∴.
（2）由（1）可得：，
，
或，即或，，
又，则不妨令，故.
【变式3-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知，，
(1)若，求函数，的值域；
(2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得；
（2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围.
【解析】（1）若，则，
因为，所以，
所以当，即时，
函数，取最大值；
当，即时，
函数，取最小值，
所以，函数，的值域为；
（2）由，
因为最小正周期为，所以，
即，则.
令，，则.
于是函数在上恰有3个零点，
等价于函数在上恰有3个零点，
作出函数的图像可得，
解得.
所以，的取值范围为.

【变式3-3】．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.
【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以，
则当时，，
所以，得，
因为，所以取得，
（2）解法一：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，化简得，
又在上单调递减，
所以，则.
解法二：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，
记，对称轴为，
则由根的分布可得，即，解得，
所以.
【变式3-4】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为，
(1)设，求函数，的单调增区间；
(2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．
【答案】(1)增区间是，减区间是；
(2)．
【分析】（1）结合正弦函数的单调性求解；
（2）由，得，考虑正弦函数在上的零点，可得关于的不等式，解之可得．
【解析】（1），，，则，
时，，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
因此增区间是，减区间是；
（2）的最小正周期为，则，即，
，则，
由题意，解得．
题型04 实数解、方程根等问题
【典例4-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为.
(1)求函数的单调增区间；
(2)求方程在上的解.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可；
（2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可.
【解析】（1）由
，
令，解之得，
即该函数的单调增区间为；
（2）由（1）知：，
所以若，即，
因为，所以，
则满足题意的或，即或.
【变式4-1】．（2023·上海宝山·二模）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为.
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；
（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围．
【解析】（1），
则函数的最小正周期；
令，解得 ，
可得函数的单调递增区间为·
令 ，解得 ，
可得因数的单调递减区间为 ；
（2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减，
当，，由增大到1，
当，，由1减小到，
若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为
【变式4-2】．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可；
（2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可.
【解析】（1）由已知，
又，所以，
所以或，
所以或，
即在上的解为或；
（2）由已知
，
则在时有解，即在时有解，
因为，所以，
所以，
所以.
【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为．
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间；
（2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解.
【解析】（1）
，
由为奇函数，则，
即，，
又，所以，
又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，，
解得，
则，或，
当时，
令，，解得，，
即单调递减区间为，；
当时，
令，，解得，，
即单调递减区间为，；
（2）设，则方程可转化为，解得或，
当时，函数图像如图所示，
由，则，，
若，则，或或，即方程的解有，，；
若，则，则此时满足，即，
此时
当时，函数图像如图所示，
由，则，，
若，则，或，即方程的解有，；
若，由（1）得此时函数在上单调递减，
即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减，
又，且，，
所以在和分别各有一解，在上无解，
且满足与关于对称轴对称，
则，
此时.
题型05 导数与三角形函数
【典例5-1】．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中.
(1)若，求函数的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
【答案】(1)；
(2)7或15.
【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域.
（2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解.
【解析】（1）当时，，由，得，
则，，
所以函数的值域是.
（2）由，得，解得，
当时，而，则，
又函数在内有极小值，无极大值，则，
解得，于是或
，解得或，
当时，，又，无解；
当时，，又，则；
当时，，又，则；
当时，，又，无解，
所以的值是7或15.
【变式5-1】．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数.
(1)求函数在上的单调减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得，解得即可.
【解析】（1）因为
，
由，则，
令，解得，
所以函数在上的单调递减区间为；
（2）由，则，
因为函数在区间上有且只有两个极大值点，
所以，解得，
即实数的取值范围.
题型06 解三角形，周长、面积问题
【典例6-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，，.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简可得结果.
（2）根据两角和差公式，由二倍角公式得到和的值，利用正弦定理得到的值，同角三角函数的关系得到的值，最后代入求解.
【解析】（1）在中，由余弦定理得.
将题目条件代入得，解得.
（2）由于为三角形内角，故，
进而有，，
在中，由正弦定理得.
由于，故为锐角，得.
因此有.
【变式6-1】．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)当，时，求边长和的面积.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得；
（2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积.
【解析】（1）由正弦定理得，
由于，则，
展开得，
化简得，
则，
所以；
（2）由正弦定理，得，即有，
因为，所以是锐角，即，
因为，
所以，
，
所以
.
【变式6-2】．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出.
(2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果.
【解析】（1）由正弦定理得，所以
所以，整理得，
因为，所以，因此，所以，
所以.
（2）由的面积为，得，解得，
又,则，.
由余弦定理得，解得，，
所以的周长为.
题型07 最值问题
【典例7-1】．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理即可得；
（2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值.
【解析】（1）由题意可知，，
由正弦定理得，
因为，所以，
即.
（2）由（1）可知，
所以或.
在中，由余弦定理得
，
当时，，
，
当且仅当时取等号，即，
故的面积.
当时，，
，
当且仅当时取等号，即，
故的面积.
综上所述，的面积最大值为.
【变式7-1】．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求角，并计算的值；
(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．
【答案】(1)或；当时，；当时，
(2)
【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可；
（2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解.
【解析】（1）由，得，则，
又，所以或.
当时，；
当时，.
（2）若为锐角三角形，则，
有，解得.
由正弦定理，得，则，
所以
，
其中，又，所以，
则，故当时，取到最大值1，
所以的最大值为.
【变式7-2】．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值，并求其取得最大值时的值．
【答案】(1)或；
(2)最大值，.
【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解；
（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解．
【解析】（1），，，
又，，
．
又在中，，，，
因为，所以，
又在中，，，
再由三角形的余弦定理得：，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
（2），，．
．
其中，，，，
在中，，，
当时，取到最大值，
此时，．
【变式7-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
又，
所以，
即，又，所以，
又，所以；
（2）由正弦定理，
所以，，
则
，
其中，
又，所以当时取得最大值.
题型08 取值范围问题
【典例8-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角，
(1)求；
(2)求的取值范围是．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角函数的性质求解；
（2）根据三角形内角和定理结合三角恒等变换化简，再根据二次函数的性质求解即可.
【解析】（1）因为，且为钝角，
由正弦定理得，又，故，
由于在中，所以或（舍去），
所以；
（2）由于，，
所以，
故
，
由于，所以，
故，
故的取值范围为.
【变式8-1】．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.
(1)若,，求的面积；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数关系得到，结合为钝角得到
，，利用正弦定理得到，由三角形面积公式得到答案；
（2）由（1）知，，变形得到，求出，故得到.
【解析】（1），
因为，，故，
因为为钝角，所以，，
由正弦定理得，故，
其中，
所以，解得，
，
；
（2）由（1）知，，
，
因为为钝角，所以，且，
解得，
所以，
.
【变式8-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，角A、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和差公式求解可得；
（2）利用三角恒等变换公式化简，根据锐角三角形性质求得B的范围，再由正弦函数性质可得.
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得：，
且，则，可得，
则，
所以或.
（2）因为是锐角三角形，则，则，
则
，
由是锐角三角形可得，即，
则，可得，
所以的取值范围为.
题型09 三角函数或解三角形与数列
【典例9-1】．（20-21高三上·上海虹口·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求的面积；
（2）若a、b、c成等差数列，求b的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用数量积和余弦值得到，再利用面积公式计算即得结果；
（2）根据等差数列得到，再结合余弦定理进行运算得到关于b的关系，求值即可.
【解析】（1）由得，所以，
所以，所以，
所以；
（2）因为a、b、c成等差数列，所以，
由余弦定理得，
即，解得.
【典例9-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时的值；
(2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值.
【答案】(1)时，最大值
(2)
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值.
【解析】（1）解：由函数
，
当时，即，此时函数取得最大值.
（2）解：由函数，
因为，即，即，
又因为，可得，可得，解得，
因为成等差数列，可得，
又因为，可得，所以，
又由余弦定理可得，
即，所以.
【变式9-1】．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，逆用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边即得.
（2）由（1）的结论及已知设，再利用余弦定理结合唯一钝角三角形条件求解即得.
【解析】（1）在中，由，得，
即，
由正弦定理得，所以a、b、c成等差数列.
（2）由（1）及已知，设，显然，
，则有，又，
因此，由存在唯一的钝角满足条件，得，于是，
所以.
【变式9-2】．（2019·上海松江·一模）已知函数.
（1）求的最大值；
（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，进而可求得函数的最大值；
（2）由结合角的取值范围可求得角的值，由已知条件可得，利用平面向量数量积的定义可得出的值，再利用余弦定理可求得的值.
【解析】（1）
，
因此，；
（2），，
，则，，故.
、、成等差数列，则，
，，
由余弦定理可得，，.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
【变式9-3】．（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项和．
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可；
（2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可知，，即，解得，
所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2024项和为
．
题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合
【典例10-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数.
(1)求的最小正周期和严格增区间;
(2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径.
【答案】(1)的最小正周期；严格增区间
(2)1或2
【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据周期公式求最小正周期，根据正弦函数的单调性求单调增区间.
（2）已知和的值，可以先求出的值，再根据正弦定理（为外接圆半径）求出.
【解析】（1），
由两角差的正弦公式得.
所以，
展开得，即.
再根据辅助角公式得.
根据周期公式得，
因为的单调增区间是.
令，则，
解得，
所以的严格增区间是.
（2）已知.
因为是三角形内角，即，则.
所以，或，解得，或.
已知，根据正弦定理.
当，，则，解得.
当，，则，解得
则三角形的外接圆半径为1或2.
【典例10-2】．（24-25高三上·上海·期中）设向量，，.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，由平面向量数量积的坐标表示直接写出的解析式，再通过三角恒等变换化简，最后根据正弦型函数的性质求出最小正周期及单调增区间.
（2）由（1）先将代入函数解出A的值，再由余弦定理得出bc的值，最后根据三角形面积公式求出面积.
【解析】（1）由题意知，，
故函数的最小正周期.
令，解得，
因此函数的单调增区间为.
故函数的最小正周期为，单调增区间为.
（2）由题意知，即.
由于，故，
解得，即.
由余弦定理得，
故，
即，
故.
故的面积.
【变式10-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知．
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，若，，求的大小．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出，进而可得角的大小；
（2）用余弦定理结合题目所给条件可求出及，再用向量即可求解.
【解析】（1）,
,
,
,
，
.
（2）在中, 由余弦定理得,
,
又因为，
所以，
联立解得，
因为为边的中点，所以,
所以，
即，
所以.

【变式10-2】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的单调性，通过整体代入求解可得；
（2）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式展开后因式分解可解.
【解析】（1）由题意得，，
由，解得：，
所以单调递增区间为；
（2）由正弦定理边化角得，
因为在中，，则，
所以，即，
所以
当时，；
当，即时，．
因为，所以．
【变式10-3】．（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，.
(1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间；
(2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解；
（2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解.
【解析】（1）由题，，解得，故.
令，
所以的单调减区间为.
（2）由题，可得，，
因此，，又，得.
由，得.
再将代入，即.
由，解得.
因此的解析式为.
【变式10-4】．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可；
（2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案．
【解析】（1），
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
所以, 则，解得，
所以．
（2）由得，，
因为，所以，即，
，解得(舍负)，
过点作于点，如图所示，
由得，，则，
所以，则，
所以，则．
【变式10-5】．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，.
(1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围；
(2)设的三边分别是，若，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简函数解析式为，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. （2）先求出C，再用正弦定理边角互化，转化为三角函数求值域即可.
【解析】（1）
所以
所以即，由于，
即，故，而，故.
又由于，所以.
（2），所以，即或，
由于为的内角，故.
所以由正弦定理，，.
所以，.
所以的取值范围是.
题型11 三角函数的实际应用
【典例11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段、、表示为的函数，利用换元和二次函数的性质求取最大值时的值.
（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式，把种植总面积表示为的函数，利用导数研究单调性，求取最大值时的值.
【解析】（1）解：如下图，连接，则，
半圆的半径，在中，，即，
同理可得，且，
所以参观路线的长度，
令，即.
由二次函数性质可知，当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.
（2）解：由题知：扇形的面积，
的面积，
的面积，
所以杜鹃花的种植总面积，
，
令得或（舍），因为，所以，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，杜鹃花的种植总面积最大.
【变式11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．
(1)若，，求休闲步道总长（精确到米）；
(2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理得求得，再由弧长公式，求得的长，进而求得总周长，得到答案.
（2）若选择面积最小：设，得到，在中，由正弦定理，求得，，根据三角形的面积公式，结合三角恒等变换的公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解；
若选择周长最长：由正弦定理，求得，，利用三角恒等变换的公式，化简得到周长为，结合三角函数的饿性质，即可求解.
【解析】（1）解：由题意知，，所以，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，又由弧长公式，可得的长，
所以总周长为：.
（2）解：若选择面积最小：
设，因为，可得，
由正弦定理知，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
所以，当时，即时，面积取得最大值，最大值为，
又因为，
，
所以，.
若选择周长最长：
设，因为，可得，
由正弦定理知，
所以，
，
则的周长为
，
其中，
因为的最大值为，所以的周长的最大值为，
即时，即时，
所以时，
的周长的最大值为.
【变式11-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．

(1)当，时，求正方形纸片的边长；
(2)当变化时，求的最大值及对应的值．
【答案】(1)
(2)最大值为，
【分析】（1）设正方形的边长为，则再结合图形由三角函数计算得到，代入数据计算即可；
（2）分别求出和，再计算时，令，利用导数求其单调性，再求结果即可；
【解析】（1）设正方形的边长为，则
则
由即
整理得到，
当时，
（2）由（1）易知
则
则，
令，则
令，求导可得恒成立，
所以可得在上单调递减，
故，故的最大值为，
此时，故
一、解答题
1．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知函数，
(1)若当时，函数的值域为，求实数的值；
(2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间.
【答案】(1)；
(2)对称中心为，单调减区间为，的单调增区间为.
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，结合得到，从而列出方程组，求出实数的值；
（2）整体法求解函数的对称中心和单调区间.
【解析】（1）
，，
，又，
，因此，
∴，解得：.
（2）由（1）知，令，
整理得，
的图像的对称中心为，
令，整理得：，
得单调减区间为，
令，整理得：，
故的单调增区间为.
2．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.
【答案】(1)
(2)4，为等边三角形
【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求；
（2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状.
【解析】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因为是三角形内角，所以；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，此时为等边三角形.
3．（2023·上海普陀·三模）设函数，其中.
(1)若的最小正周期为，求的单调增区间；
(2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出，然后利用正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数的对称轴公式求参数的范围.
【解析】（1）由题意，，
又，于是，则，则，
根据正弦函数的单调递增区间，令，
解得，,即为的单调递增区间.
（2）当，，
注意到题干，则，
根据正弦函数的对称轴，
显然只有时一条对称轴，
于是，解得，
结合可得
4．（2023·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且．
(1)若，，求的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由已知条件可得出的值，再利用余弦定理可求得的值；
（2）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式化简得出，再利用为锐角三角形求出角的取值范围，即可求得的取值范围.
【解析】（1）因为，，，所以，，
由余弦定理可得，故.
（2）因为，由正弦定理可得，
即
，
因为为锐角三角形，则、、，所以，，
因为正弦函数在上为增函数，所以，，即，
由可得，故，
因此，的取值范围是.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 三角函数与解三角形（十一大题型）
题型01 求值域、最值 2
题型02 三角函数中解不等式 2
题型03 零点问题 3
题型04 实数解、方程根等问题 4
题型05 导数与三角形函数 4
题型06 解三角形，周长、面积问题 5
题型07 最值问题 5
题型08 取值范围问题 6
题型09 解三角形与数列 6
题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合 7
题型11 三角函数的实际应用 8
【解题规律·提分快招】
1、已知三角函数解析式求单调区间： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2、奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． 3、周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． 4、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 5、解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
题型01 求值域、最值
【典例1-1】．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知,
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,求函数的值域.
【变式1-1】．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值．
【变式1-2】．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 1 0
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)设，求函数的值域；
【变式1-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数.
(1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程；
(2)若在上的值域为，求的取值范围.
题型02 三角函数中解不等式
【典例2-1】．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.
(1)求函数的表达式；
(2)求关于x的不等式的解集.
【变式2-1】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，．
(1)求函数的严格减区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
题型03 零点问题
【典例3-1】．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）．
(1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间；
(2)若，，求函数的值域及零点．
【典例3-2】．（2024·上海·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的在上单调递减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【变式3-1】．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有.
(1)求实数的值；
(2)设，当时，，求的值.
【变式3-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知，，
(1)若，求函数，的值域；
(2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.
【变式3-3】．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
【变式3-4】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为，
(1)设，求函数，的单调增区间；
(2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．
题型04 实数解、方程根等问题
【典例4-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为.
(1)求函数的单调增区间；
(2)求方程在上的解.
【变式4-1】．（2023·上海宝山·二模）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【变式4-2】．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.
【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为．
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和．
题型05 导数与三角形函数
【典例5-1】．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中.
(1)若，求函数的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
【变式5-1】．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数.
(1)求函数在上的单调减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围.
题型06 解三角形，周长、面积问题
【典例6-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，，.
(1)求的值;
(2)求的值.
【变式6-1】．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)当，时，求边长和的面积.
【变式6-2】．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
题型07 最值问题
【典例7-1】．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
【变式7-1】．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求角，并计算的值；
(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．
【变式7-2】．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值，并求其取得最大值时的值．
【变式7-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．
题型08 取值范围问题
【典例8-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角，
(1)求；
(2)求的取值范围是．
【变式8-1】．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.
(1)若,，求的面积；
(2)求的取值范围.
【变式8-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，角A、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
题型09 三角函数或解三角形与数列
【典例9-1】．（20-21高三上·上海虹口·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求的面积；
（2）若a、b、c成等差数列，求b的值.
【典例9-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时的值；
(2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值.
【变式9-1】．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小.
【变式9-2】．（2019·上海松江·一模）已知函数.
（1）求的最大值；
（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长.
【变式9-3】．（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项和．
题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合
【典例10-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数.
(1)求的最小正周期和严格增区间;
(2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径.
【典例10-2】．（24-25高三上·上海·期中）设向量，，.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积.
【变式10-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知．
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，若，，求的大小．
【变式10-2】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．
【变式10-3】．（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，.
(1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间；
(2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式.
【变式10-4】．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角．
【变式10-5】．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，.
(1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围；
(2)设的三边分别是，若，，求的取值范围.
题型11 三角函数的实际应用
【典例11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
【变式11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．
(1)若，，求休闲步道总长（精确到米）；
(2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．
【变式11-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．

(1)当，时，求正方形纸片的边长；
(2)当变化时，求的最大值及对应的值．
一、解答题
1．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知函数，
(1)若当时，函数的值域为，求实数的值；
(2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间.
2．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.
3．（2023·上海普陀·三模）设函数，其中.
(1)若的最小正周期为，求的单调增区间；
(2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围.
4．（2023·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且．
(1)若，，求的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
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