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专题04 三角函数与解三角形(十二大题型)
题型01 任意角和弧度制 2
题型02 任意角的三角函数 2
题型03 同角三角函数的基本关系 3
题型04 三角函数的诱导公式 3
题型05 三角恒等变换 3
题型06 三角函数的有关概念 4
题型07 三角函数图像的变换 4
题型08 三角函数的求参问题 5
题型09 解三角形 5
题型10 解三角形—面积问题、解的个数等问题 5
题型11 解三角形与平面向量、数列等 6
题型12 三角函数与解三角形的实际应用 6
【解题规律·提分快招】
1、利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． 2、判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 3、诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法： (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 6、解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 7、判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 8、平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
题型01 任意角和弧度制
【典例1-1】．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 .
【典例1-2】．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ．
【变式1-1】．若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为 .
【变式1-2】．设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【变式1-3】．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则 d和所满足的恒等关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型02 任意角的三角函数
【典例2-1】．若角的终边过点，则 ．
【典例2-2】．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】．已知点是角终边上一点，若，则 .
【变式2-2】．下面有四个命题：
①若点为角的终边上一点，则；
②同时满足，的角有且只有一个；
③如果角满足，那么角是第二象限的角；
④满足条件的角的集合为.
其中真命题的序号为 .
【变式2-3】．已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为 ．
题型03 同角三角函数的基本关系
【典例3-1】．已知，则 .
【典例3-2】．设为第二象限角，若，则 .
【变式3-1】．若，则 的值为 .
【变式3-2】．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】．若，那么 ．
题型04 三角函数的诱导公式
【典例4-1】．已知，则 .
【典例4-2】．已知，则 ．
【变式4-1】．已知，则 ．
【变式4-2】．已知等差数列的前项和为，若，则 .
【变式4-3】．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 .
题型05 三角恒等变换
【典例5-1】．若，则 ．
【典例5-2】．已知，则 ．
【变式5-1】．若，且，则tanα＝ ．
【变式5-2】．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】．函数的值域为 .
题型06 三角函数的有关概念
【典例6-1】．函数的最小正周期为 ．
【典例6-2】．函数的单调递增区间是 .
【变式6-1】．已知函数，的部分图象如图所示，则 ．
【变式6-2】．函数，设为的最小正周期，若，则 .
【变式6-3】．函数的值域为 ．
题型07 三角函数图像的变换
【典例7-1】．把关于的函数的图像向左平移，可得函数的图像，则的值为 .
【典例7-2】．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
【变式7-1】．将函数的图像向左平行移动个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是
【变式7-2】．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 .
【变式7-3】．已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是 ．
题型08 三角函数的求参问题
【典例8-1】．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
【典例8-2】．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
【变式8-1】．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ．
【变式8-2】．关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 .
【变式8-3】．设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为 ．
题型09 解三角形
【典例9-1】．在中，若，则 .
【典例9-2】．在中，已知，则的值为 .
【变式9-1】．在中，角对应边为，其中.若，且，则边长为 .
【变式9-2】．中，，则 .
【变式9-3】．在中，已知角所对的边分别为，若，则 .
题型10 解三角形—面积问题、解的个数等问题
【典例10-1】．在中，已知，若，则的面积为 .
【典例10-2】．在中，，则 .
【变式10-1】．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是 ．
【变式10-2】．在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【变式10-3】．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型11 解三角形与平面向量、数列等
【典例11-1】．在中，是边的中点.若，，，则 .
【典例11-2】．已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 .
【变式11-1】．锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是
【变式11-2】．如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是 ．
【变式11-3】．已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是 ．
题型12 三角函数与解三角形的实际应用
【典例12-1】．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）

【典例12-2】．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm）
【变式12-1】．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.
已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为 .（结果四舍五入精确到）
【变式12-2】．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m)
【变式12-3】．随着市民健康意识的提升，越来越多的人开始运动，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM，ON分别是由OA，OB延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与弧相切于点F，且与OM，ON分别交于点C，D，另两条分别是和湖岸OA，OB垂直的FG，FH（垂足均不与O重合）．在区域内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①的取值范围是；
②新增步道CD的长度可以为20；
③新增步道FG，FH长度之和可以为7；
④当点F为弧的中点时，草坪的面积为．
一、填空题
1．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 .
2．（2024·上海·三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为
3．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 .
4．（2024·上海·三模）设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则 ．
5．（2024·上海崇明·二模）已知实数满足：，则的最大值是 ．
6．（2024·上海·三模）空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ．
二、单选题
7．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
8．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 三角函数与解三角形(十二大题型)
题型01 任意角和弧度制 2
题型02 任意角的三角函数 3
题型03 同角三角函数的基本关系 6
题型04 三角函数的诱导公式 7
题型05 三角恒等变换 9
题型06 三角函数的有关概念 11
题型07 三角函数图像的变换 13
题型08 三角函数的求参问题 15
题型09 解三角形 17
题型10 解三角形—面积问题、解的个数等问题 19
题型11 解三角形与平面向量、数列等 21
题型12 三角函数与解三角形的实际应用 26
【解题规律·提分快招】
1、利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． 2、判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 3、诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法： (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 6、解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 7、判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 8、平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
题型01 任意角和弧度制
【典例1-1】．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.
【解析】依题意，设扇形的圆心角为，
因为扇形的半径是，弧长为，
所以由，得，则.
故答案为：.
【典例1-2】．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ．
【答案】/
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为，根据底面周长等于侧面展开图的弧长计算可得.
【解析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为，
又母线，底面半径
则，即，解得.
故答案为：
【变式1-1】．若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为 .
【答案】3
【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解.
【解析】由题意可得：扇形的面积为.
故答案为：3.
【变式1-2】．设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【答案】C
【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解.
【解析】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C
【变式1-3】．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则 d和所满足的恒等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先用表示出d和，进而求得的值.
【解析】过点O作于D，则，
则，
则
故选：A
题型02 任意角的三角函数
【典例2-1】．若角的终边过点，则 ．
【答案】/0.8
【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式即可求得.
【解析】依题意，，
则.
故答案为：.
【典例2-2】．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【解析】当时，或，推不出；
当时，必有，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
【变式2-1】．已知点是角终边上一点，若，则 .
【答案】
【分析】由任意角的三角函数定义即可求解.
【解析】，又，
解得：，
所以，
故答案为：
【变式2-2】．下面有四个命题：
①若点为角的终边上一点，则；
②同时满足，的角有且只有一个；
③如果角满足，那么角是第二象限的角；
④满足条件的角的集合为.
其中真命题的序号为 .
【答案】④
【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断.
【解析】①若点为角的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），假命题；
②同时满足，，只要终边与相同的角都满足，假命题；
③如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题；
④满足条件的角，，真命题.
故答案为：④
【变式2-3】．已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为 ．
【答案】
【分析】先求得，然后利用三角恒等变换的知识求得
【解析】由于在单位圆上，所以，
由于是锐角，所以，则，
所以，
所以
.
故答案为：
题型03 同角三角函数的基本关系
【典例3-1】．已知，则 .
【答案】/
【分析】由，再将弦化切，最后代入计算可得.
【解析】因为，所以.
故答案为：
【典例3-2】．设为第二象限角，若，则 .
【答案】/
【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可.
【解析】为第二象限角，则，，
若，则有，解得，
所以.
故答案为：.
【变式3-1】．若，则 的值为 .
【答案】
【分析】弦化切，代入即可.
【解析】
故答案为：
【变式3-2】．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断.
【解析】角的终边不在坐标轴上，有，，，，
对于A，令，则，
，即，A不是；
对于B，令，则，即，B不是；
对于C，令，则，
于是，即，C不是；
对于D，，则，则一定成等比数列，D是.
故选：D
【变式3-3】．若，那么 ．
【答案】1
【分析】弦化切即可.
【解析】
故答案为：1
题型04 三角函数的诱导公式
【典例4-1】．已知，则 .
【答案】
【分析】由诱导公式化简即可得出答案.
【解析】.
故答案为：.
【典例4-2】．已知，则 ．
【答案】/
【分析】依题意利用两角之间的关系并根据诱导公式计算可得结果.
【解析】根据题意，由诱导公式可得,
所以.
故答案为：
【变式4-1】．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式将化简，求出，再利用二倍角公式求值.
【解析】因为，所以，所以，
所以．
故答案为：
【变式4-2】．已知等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【分析】由条件可得，然后可得，即可得到答案.
【解析】因为是等差数列的前项和，所以，即
所以
故答案为：
【变式4-3】．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 .
【答案】1
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得的值.
【解析】角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，
将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，
，，
所以，.
故答案为：1.
【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.
题型05 三角恒等变换
【典例5-1】．若，则 ．
【答案】
【分析】直接利用二倍角公式计算可得.
【解析】因为，
所以.
故答案为：
【典例5-2】．已知，则 ．
【答案】/
【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【解析】，
∴，则，故，
，
故答案为：
【变式5-1】．若，且，则tanα＝ ．
【答案】/
【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解．
【解析】由，
可得，
又，则，
即，
解得，
则，
故．
故答案为：．
【变式5-2】．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得.
【解析】因为，
，解得，
所以.
故选：A
【变式5-3】．函数的值域为 .
【答案】
【分析】由三角恒等变换得，再整体代换求解值域即可.
【解析】
，
因为，所以，
所以，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：
题型06 三角函数的有关概念
【典例6-1】．函数的最小正周期为 ．
【答案】/
【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果.
【解析】，所以函数的周期，
故答案为：.
【典例6-2】．函数的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】利用整体代入法求得的单调递增区间.
【解析】函数的单调区间为
由，
解得
所以函数的单调递增区间是
【变式6-1】．已知函数，的部分图象如图所示，则 ．
【答案】
【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案.
【解析】由题意得，函数周期为，所以，
所以，由，
得，即，
又因为，所以，所以.
故答案为：
【变式6-2】．函数，设为的最小正周期，若，则 .
【答案】/
【分析】由，代入函数解析式中，结合，可得的值.
【解析】函数，最小正周期，
由于，，
又，可得.
故答案为：.
【变式6-3】．函数的值域为 ．
【答案】
【分析】化简函数的解析式为，结合正弦函数的性质，即可求解.
【解析】由函数，
因为，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
题型07 三角函数图像的变换
【典例7-1】．把关于的函数的图像向左平移，可得函数的图像，则的值为 .
【答案】/
【分析】利用的图象变换规律，结合诱导公式即可得解.
【解析】把函数的图象向左平移，得函数的图象，
则，即，
因为，所以.
故答案为：.
【典例7-2】．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据偶函数即可求解,进而可求解.
【解析】，
由于是偶函数，所以,故，
所以，
故答案为：
【变式7-1】．将函数的图像向左平行移动个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是
【答案】
【分析】利用平移和伸缩变换得出答案：向左平移个单位，即将换成；横坐标变为原来的倍，即将换成.
【解析】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，
得到的图象，
再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，
得到的图象.
故答案为：.
【变式7-2】．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数的图象重合，比较系数，求出，然后求出的最小值.
【解析】解：，向右平移个单位可得：
，
又∵，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是基础题.
【变式7-3】．已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是 ．
【答案】/
【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值.
【解析】，函数的最小正周期为，，．
将的图像向左平移个单位长度，可得的图像，
根据所得图像关于轴对称，可得，，解得，，
又，则令，可得的值为．
故答案为：．
题型08 三角函数的求参问题
【典例8-1】．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围.
【解析】令，，解得，，
令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为，
故答案为：.
【典例8-2】．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
【答案】
【分析】先由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解.
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上存在最小值，
所以，解得，
所以实数的最小值是.
故答案为：.
【变式8-1】．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，结合函数值情况列出不等式求解即得.
【解析】当时，，
由，得；
由，得，
因此函数，
在上单调递增，函数值从增大到，
在上单调递减，函数值从减小到，
且，
由函数在上有两个零点，得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
【变式8-2】．关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 .
【答案】/
【分析】令,，将不等式转化成关于的一元二次不等式，根据一元二次函数性质即可求出结果.
【解析】因为，
所以，即，
令，，有
令，，要使不等式对于任意恒成立，
只需满足，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，即，得或，有最小值，
，得，所以实数的最大值为.
故答案为：.
【变式8-3】．设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数图象的性质得到不等式组，解得即可.
【解析】由已知得.
要使函数在区间上恰有三个极值点，
由图象可得，
解得，即.
故答案为：.
题型09 解三角形
【典例9-1】．在中，若，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
【解析】在中，由余弦定理得，
而，所以.
故答案为：
【典例9-2】．在中，已知，则的值为 .
【答案】/0.625
【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.
【解析】在中，由正弦定理得，而，
因此，即，所以.
故答案为：
【变式9-1】．在中，角对应边为，其中.若，且，则边长为 .
【答案】/
【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.
【解析】依题意，，
由正弦定理得，即，
，
由于，所以，则，
由正弦定理得，.
故答案为：.
【变式9-2】．中，，则 .
【答案】
【分析】利用正弦定理角化边，再结合勾股定理即可求得答案.
【解析】因为，所以，
设,则,
又，所以该三角形为直角三角形，
所以，
所以，
故答案为：.
【变式9-3】．在中，已知角所对的边分别为，若，则 .
【答案】
【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解.
【解析】由可得，
进而可得，
所以，
由于,故，
故答案为：
题型10 解三角形—面积问题、解的个数等问题
【典例10-1】．在中，已知，若，则的面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【解析】在中，，，
由余弦定理得，
解得，
所以的面积为.
故答案为：
【典例10-2】．在中，，则 .
【答案】或
【分析】由三角形面积公式求出，分类讨论得到，由余弦定理得出的值.
【解析】
∴，
当时，，
由余弦定理得，
当时，，
由余弦定理得，
∴或，
故答案为：或.
【变式10-1】．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由正弦定理得到，即，结合角的范围可得，，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解．
【解析】由，根据正弦定理得：，
由于，可知，即，
因为为钝角，则为锐角，即，
则，则．
．
因为为锐角，所以，即，则，
设，则，
．
因为，则，从而．
故答案为：
【变式10-2】．在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据满足条件的有两个，可得出，求出的取值范围，即可得解.
【解析】因为，，，且满足条件的有两个，
则，即，解得.
故选：B.
【变式10-3】．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由可求，对的取值进行讨论，求出使得B唯一时的取值范围，此时有唯一值.
【解析】由可得：，且，
若，则，由正弦定理可得,
则，所以B为锐角，
此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.
当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.
当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立.
故选：C
题型11 解三角形与平面向量、数列等
【典例11-1】．在中，是边的中点.若，，，则 .
【答案】
【分析】先由余弦定理计算出的余弦值，从而得到，的数量积，再根据平面向量基本定理将分解为，代入结合平面向量的计算即可求得答案.
【解析】如图所示，
由题意得，因为，，，
所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：，
所以，
又D是BC中点，所以，
所以.
故答案为：.
【典例11-2】．已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出点的坐标，求出，，代入数量积公式得到关于的三角函数，利用正弦函数的性质得出结论．
【解析】以所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，所以，，，
其外接圆的半径，则外接圆的圆心为，
外接圆的方程为，因为点是圆上的一个动点，
设，，
则，，
，
，，
，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【变式11-1】．锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是
【答案】
【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围.
【解析】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列，
则，解得，不妨设角为最小角，
设等差数列、、的公差为，则，，
所以，，
，
由题意可知，因为、为锐角，且，
即，解得，则，
所以，
.
故答案为：.
【变式11-2】．如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】，把向量内积通过投影转化为三角函数问题
【解析】
设,则,作交OC的延长线于点
由余弦定理
所以,即
,因为,所以
所以
所以
故答案为 ：
【变式11-3】．已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可知与的夹角为，从而根据正弦定理可得，再根据投影的定义表示出，最后对化简变形通过正弦函数的性质即可求解.
【解析】因为平面向量，的夹角为，与的夹角为，
所以与的夹角为，
所以根据正弦定理可得，，
所以，所以，
因为，所以，
所以在上的投影为，
在上的投影为，
所以
因为，所以，所以，
所以,所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的综合问题，考查向量投影，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是根据向量投影的概念表示出，考查计算能力，属于难题.
题型12 三角函数与解三角形的实际应用
【典例12-1】】．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）

【答案】
【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可.
【解析】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则，
由题意易知，
则，
所以，
由余弦定理知，
所以.
故答案为：.

【典例12-2】．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm）
【答案】14
【分析】延长交于点，由正弦定理得到，求出，在中，利用余弦定理求出，得到答案.
【解析】如图，延长交于点，因为，所以，
在中，由正弦定理得，，
，
由题意得，
在中，由余弦定理得，
，
故两点之间的距离为.
故答案为：14.
【变式12-1】．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.
已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为 .（结果四舍五入精确到）
【答案】
【分析】设，则，则利用面积公式可得，利用导数可求面积最大时对应的角.
【解析】因为，，
故，故，设，则，
又
，
设，
则，
，
记，，因为，故，
又当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，此时，
故，用度表示后约等于，
故答案为：.
【变式12-2】．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m)
【答案】
【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可.
【解析】解：作交于E，由题意可得如图：
，
所以，
，
在中，由正弦定理可得：
，
所以，
所以，
，
在直角中，，
故答案为：475.
【变式12-3】．随着市民健康意识的提升，越来越多的人开始运动，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM，ON分别是由OA，OB延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与弧相切于点F，且与OM，ON分别交于点C，D，另两条分别是和湖岸OA，OB垂直的FG，FH（垂足均不与O重合）．在区域内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①的取值范围是；
②新增步道CD的长度可以为20；
③新增步道FG，FH长度之和可以为7；
④当点F为弧的中点时，草坪的面积为．
【答案】②④
【分析】设，求出的取值范围，可判断命题①；利用基本不等式求出的最小值，可判断命题②；求出的取值范围，可判断命题③；计算出草坪的面积，可判断命题④.
【解析】设．
对于①，由题意可得，解得，故①错误．
对于②，易知，则，，
所以，
设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以新增步道CD的长度可以为20，故②正确．
对于③，，，
所以
．
因为，所以，
所以，
所以，
而，因此新增步道FG，FH的长度之和不可以为7，故③错误．
对于④，当F为弧的中点时，，则，
所以，同理可得，
则，
扇形AOB的面积，
此时，草坪的面积，故④正确．
故答案为：②④.
一、填空题
1．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 .
【答案】
【分析】由正弦定理求解．
【解析】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以．
故答案为：1.
2．（2024·上海·三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为
【答案】2
【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值.
【解析】由题意，所以，
所以，
又，所以，故的最大值为2.
故答案为：2.
3．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 .
【答案】
【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可.
【解析】分别过点作的垂线，垂足分别为，
则根据正切函数的定义得，，
则，解得.
故答案为：.
4．（2024·上海·三模）设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则 ．
【答案】
【分析】根据可求，再求出平移后图象对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值.
【解析】令，故即，
故，由题设有，故.
故，
将图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为：
，
整理得到：，
因为为偶函数，故，
所以，
故对无穷多个恒成立，故，
故.
故答案为:
5．（2024·上海崇明·二模）已知实数满足：，则的最大值是 ．
【答案】6
【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解.
【解析】因为
故令，且，
因为，
所以，
所以
，仅当时等号成立.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角换元及三角方程，结合三角函数的性质即可.
6．（2024·上海·三模）空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据公式对向量进行处理，再结合不等式得出，即可推出点在以M为球心4为半径的球面上，从可求得答案.
【解析】由题意可知，
设中点为，则，，
所以，
由，得，则，
当且仅当时等号成立，则，
即，即，
则，即，
即点在以M为球心4为半径的球面上，
先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；
设为半径为r的圆的内接三角形，
则
，当且仅当时等号成立，
即为正三角形时，其面积取到最大值，
由于点在以M为球心4为半径的球面上，故的面积S可以无限小，
，
即S的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用以及均值不等式推出，从而推出点在以M为球心4为半径的球面，即可求解.
二、单选题
7．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项.
【解析】设，由可得，
所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以，函数不是偶函数，A错B错；
当时，则
，
当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对；
因为，
结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错.
故选：C.
8．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得，其中，在上单调递增，然后结合函数的单调性及可得答案.
【解析】，
因在（其中）上单调递增，
则，.
又因，则取，则.
故选：A
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