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专题09 平面解析几何 (十一大题型)
题型01 2021-2025年高考+春考真题 1
题型02 直线与方程 8
题型03 圆与方程 9
题型04 圆与方程的应用 10
题型05 圆锥曲线的概念辨析 15
题型06 圆锥曲线的综合应用 17
题型07 角度问题 21
题型08 向量问题 23
题型09 与数列结合问题 24
题型10 空间中轨迹问题 25
题型11 选择压轴辨析题 27
【解题规律·提分快招】
1、判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2、根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 3、(1)双曲线渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
题型01 2021-2025年高考+春考真题
【典例1-1】．（2025 上海）已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．通过F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2的面积为，则a的值为 　　．
【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案．
【解析】解：已知，
则b2＝6﹣a2＞0，
解得，
又，
则，，
设B（xB，yB），
又△BF1F2的面积为，
则，
解得yB＝﹣3，
由题意可得直线AB的斜率，
则方程为，
将yB＝﹣3代入上式，
则，
解得，
由题意可得，
易知．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
【典例1-2】．（2024 上海）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 　　．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．
【解析】解：设P坐标为（x0，y0），
P到准线的距离为9，即x0+1＝9，解得x0＝8，代入抛物线方程，可得，
故P到x轴的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．
【典例1-3】．（2024 上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 　45°　．
【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小．
【解析】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1，
设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，
因为α∈[0，180°），
所以α＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题．
【典例1-4】．（2024 上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 　3　．
【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论．
【解析】解：由双曲线的定义，2c＝6，2a＝2，
解得c＝3，a＝1，
∴e＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【典例1-5】．（2023 上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　﹣3　．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．
【解析】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，
∴4+m＝1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
【典例1-6】．（2023 上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 　1　．
【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解析】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
【典例1-7】．（2022 上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 　[1，+∞）　．
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解析】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，
得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
【典例1-8】．（2022 上海）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 　6　．
【分析】根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．
【解析】解：由双曲线﹣y2＝1，可知：a＝3，
所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题．
【典例1-9】．（2021 上海）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为 　　．
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解析】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，
直线x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为，
故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
【典例1-10】．（2021 上海）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 　（1，2）　．
【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．
【解析】解：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
所以圆心坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．
【典例1-11】．（2021 上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　．
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．
【解析】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，
由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，
∴，
∴直线AB的斜率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．
【典例1-12】．（2021 上海）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是 　x＝1﹣　．
【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线PF1的方程并与抛物线方程联立，求出点P的坐标，由此可得PF2⊥F1F2，进而可以求出PF1，PF2的长度，再由椭圆的定义即可求解．
【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则抛物线y2＝4cx，
直线PF1：y＝x+c，联立方程组，解得x＝c，y＝2c，
所以点P的坐标为（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF
所以PF，
则c＝﹣1，
所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，
故答案为：x＝1﹣．
【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
【典例1-13】．（2023 上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP| |MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证|MP| |MQ|＝1是否恒成立即可．
【解析】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP| |MQ|＝1成立，故①正确，
在双曲线中，|PM|max→+∞，|PM|min＝0，当|PM|＝0时，Q点不存在；
当|PM|min＝n，0＜n≤1时，|QM|＝，
但当|PM|＝＞，此时|QM|＝＜n，这与|PM|min＝n矛盾，故②错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证|MP| |MQ|＝1是否成立是解决本题的关键，是中档题．
【典例1-14】．（2022 上海）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．
【解析】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，
当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，
表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆，
圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增，
相邻两个圆的圆心距d＝＝，相邻两个圆的半径之和为l＝2+2，
因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确，
若直线l斜率不存在，显然不成立，
设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，
d＝，r＝，
给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，
故直线l只与有限个圆相交，②错误．
故选：B．
【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
题型02 直线与方程
【典例2-1】．（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示）
【答案】
【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案.
【解析】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则，
解得.
故答案为：.
【典例2-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）直线l过点，法向量，则l的一般式方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，由直线方程的点法式代入计算，即可得到结果.
【解析】直线l的点法式方程为，化简可得.
故答案为：
【变式2-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若直线与直线互相垂直，则 ．
【答案】2
【分析】利用斜率相乘等于即可求解.
【解析】直线的斜率为，
直线的斜率为，
因为两直线垂直，所以，
解得，
故答案为：2
【变式2-2】．（2023·上海静安·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ．
【答案】/
【分析】运用两直线平行求得m的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果.
【解析】由直线与直线平行，
可知，即，
故直线为，
直线变形得，
故这两条直线间的距离为，
故答案为：.
【变式2-3】．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
【答案】/
【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.
【解析】设直线与直线的倾斜角分别为，
则，且，
所以，
因为，
所以，即两条直线的夹角为，
故答案为：.
题型03 圆与方程
【典例3-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可.
【解析】圆心为，圆过点，则圆的半径，
所以圆的标准方程是.
故答案为：.
【典例3-2】．（2024·上海普陀·模拟预测）已知圆的周长为，则实数的值为 .
【答案】-3
【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值.
【解析】设圆的半径为r，则由题意，故，
将圆一般式化为标准式得，
则.
故答案为：-3
【变式3-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆：与圆：外切，则实数 ．
【答案】或
【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和，先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据圆心距公式求出的值.
【解析】由圆：中，圆心坐标为，半径为，
圆：中，圆心坐标为，半径为，
若两圆外切，则，
即，解得：或，
故答案为：或.
【变式3-2】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 .
【答案】
【分析】根据题意，由题意可得直线过定点，当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，再由两点间距离公式，即可得到结果.
【解析】因为直线，即，令，解得，
所以直线经过的定点为，当圆心与定点的连线与直线垂直时，
距离最大为.
故答案为：
题型04 圆与方程的应用
【典例4-1】．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为 .
【答案】
【分析】先根据题目得到区域为一个圆环，进而求圆环的面积即可.
【解析】点集为以为圆心，为半径的圆上的点的集合，
又点在以为圆心，为半径的圆上，
所以平面点集所构成区域为图中阴影，
面积为.
故答案为：.
【典例4-2】．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

【答案】
【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.
【解析】如图，以为原点建系，易知，连接，

不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为，
化简得，所以圆心为，半径为，且经过点
即，化简得，
解得，
结合题意可得，故圆的周长为.
故答案为：
【变式4-1】．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可.
【解析】设，，
则，
由，得，
即，
则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，
设，，则，
由，得，
整理得，，
则复数对应的点是直线上一点，
又，
所以表示点与点之间的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式4-2】．（24-25高三上·上海嘉定·期中）设函数，若点满足，，记点P构成的图形为，则的面积是 .
【答案】
【分析】根据已知条件列不等式，画出图形，并计算出图形的面积.
【解析】依题意，
即，即，
不等式表示的点位于圆的圆上和圆内，
由此画出图形如下图阴影部分所示，
由于，所以，
所以图形的面积为.
故答案为：
【点睛】思路点睛:
不等式的表示与图形转换：首先通过分析给定的不等式，将其转化为几何图形，并通过绘制图形来直观理解该区域的范围,这一步是确保解题正确的基础.
结合图形计算面积：通过对图形的绘制，结合已知的半径，利用面积公式求解图形的面积,绘制准确的图形能够帮助更好地理解几何问题，从而简化计算过程.
【变式4-3】．（24-25高三上·上海·期中）已知实数、、、满足，，，记，则的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题目等式特征可知，实数对都在圆上，利用数形结合再根据可得，再利用不等式求出去掉绝对值后可得，求出的最小值即可求得w的最大值.
【解析】根据题意可设圆，，
显然两点在圆上，由可知，
可得；如图所示：

由不等式，可得，同理可得；
所以，
当取最小值时，的值最大，
由，
易知，所以，可得，
又，
所以，即，
当且仅当时取最小值，
此时，
即的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据题目信息和等式特点，将代数问题转化成几何图形，再利用向量和不等式即可求得结果.
【变式4-4】．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.
【解析】
如图，建立直角坐标系，记，
因为，所以点，
作，设其坐标为，因为，
所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即，
因为对任意的实数t，均有 ，
所以，
由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立，
则，即，
设又设，则，
整理得：，所以可知点在直线上，
又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且，
所以可以把看成两动点和的距离，
显然距离最小值为圆心到直线的距离减去半径1，
而点到直线的距离,
所以，即的最小值为3,
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：确定B，C点轨迹解决问题的关键.
题型05 圆锥曲线的概念辨析
【典例5-1】．（2024·上海崇明·一模）双曲线的渐近线方程是 ．
【答案】
【分析】将双曲线方程中的1变为0后可得渐近线方程.
【解析】双曲线的渐近线方程为即，
故答案为：.
【典例5-2】．（2024·上海青浦·二模）椭圆的离心率为，则 ．
【答案】
【分析】直接根据椭圆方程得出离心率公式，则a可求.
【解析】由题意得椭圆离心率为，
解得，
故答案为：2.
【变式5-1】．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程.
【解析】依题意，，
则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，
由，得，
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：
【变式5-2】．（2022·上海浦东新·一模）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线标准方程直接判断.
【解析】方程即为，
由方程表示双曲线，可得，
所以，，
所以虚轴长为，
故选：B.
【变式5-3】．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=
【答案】
【分析】根据抛物线性质得到方程，求出.
【解析】由题意得，解得.
故答案为：
【变式5-4】．（23-24高三下·上海·阶段练习）将抛物线:关于直线对称，得到抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为 .
【答案】
【分析】求出对称后的抛物线方程，再根据抛物线的几何意义计算可得.
【解析】将抛物线:关于直线对称得到，
即抛物线：，所以，则，
则抛物线的焦点到其准线的距离为.
故答案为：
【变式5-5】．（2024高三·全国·专题练习）已知焦点在x轴上的双曲线的离心率，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得，进而建立不等式组，解之即可求解.
【解析】依题意知，，
所以，则，
有，解得，
故k的取值范围为．
故答案为：
题型06 圆锥曲线的综合应用
【典例6-1】．（2023·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得A，B两点的坐标，进而求得线段AB的长
【解析】椭圆的右焦点坐标为，
则抛物线的焦点坐标为，
则，则，抛物线
由，解得或
则
故选：B
【典例6-2】．（2024·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案.
【解析】由题意可得，则，，
由椭圆离心率为，可得，则，
所以.
故答案为：.
【变式6-1】．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．

【答案】
【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积.
【解析】双曲线的焦点，渐近线方程为，
依题意，直线的方程为，
由，解得，则点的坐标为，
所以的面积为.
故答案为：
【变式6-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，可得圆心为抛物线的焦点，求出弦长，设出直线方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求解作答.
【解析】如图，圆的圆心为，半径
显然点为抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为，
设则，，
所以，
因此，即有，解得，
设直线的方程为，显然，由，
消去得，则有，解得.
故选：A.
【变式6-3】．（2024高三·上海·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，经过的直线与双曲线的右支相交于，两点，且，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】设，由已知结合双曲线的定义用表示，利用等腰三角形性质求出，再在中利用余弦定理列式即可求得双曲线的离心率．
【解析】令，由，得，
由双曲线的定义，得，则，
而，因此，，，，
在等腰中，，
令双曲线的半焦距为c，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C
【变式6-4】．（23-24高三下·上海·期中）设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 .
【答案】3
【分析】由双曲线定义可得，结合条件可求.
【解析】因为点在的右支上，为双曲线左、右焦点，
所以，
又，，
所以.
故答案为：.
【变式6-5】．（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率.
【解析】令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得，
，由椭圆的定义得，即，
所以椭圆的离心率.
故答案为：

题型07 角度问题
【典例7-1】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可得出为等腰三角形，结合求出，即可求得答案.
【解析】由题意知，而，
结合双曲线的对称性可知为等腰三角形，则，
故，结合可得，
故C的渐近线方程为，
故答案为：
【变式7-1】．（2023·上海闵行·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.
【解析】设，，则，
在中，，
所以，
所以，
所以，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，所以，
所以，所以，又，
所以.
故选：C
题型08 向量问题
【典例8-1】．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 .
【答案】4
【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可.
【解析】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，
由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，
令，则，由双曲线定义可知，
故有，即，即，，
中，由余弦定理，
，
即，得，
.
故答案为：4.
【变式8-1】．（23-24高三下·上海·阶段练习）设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设，利用坐标运算计算，然后解方程即可.
【解析】由已知，设，
则，，
由，
故选：C.
题型09 与数列结合问题
【典例9-1】．（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出即可得解.
【解析】令椭圆长半轴长为，半焦距为，依题意，，
即，解得，则椭圆短半轴长，
所以椭圆C的标准方程为.
故答案为：
【变式9-1】．（2020·上海·模拟预测）设数列的前项和为，，.已知，是双曲线：的左右焦点，，若对恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，求得，类比写出，，两式作差，整理得出，得到，进而求得，点可化为落在双曲线的渐近线上，结合双曲线的定义以及渐近线的性质，得到结果.
【解析】，，∵，∴，
，，
作差得，
，
∴，，
，，，，，，
设线段与双曲线交于点，，
得坐标可化为，
落在双曲线：的渐近线上，
当时，可近似看成第一象限双曲线上的点，，
∴.
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列与双曲线的综合题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项以及前项和，双曲线的性质，极限思想，属于较难题目.
题型10 空间中轨迹问题
【典例10-1】．（23-24高三下·上海·开学考试）已知四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上动点，则点Q在平面上的射影在（ ）
A．棱PB上 B．内部 C．外部 D．不确定
【答案】C
【分析】
将四棱锥补形为长方体，作出辅助线，证明线面垂直，进而得到点的投影落在上，得到答案.
【解析】四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，
将四棱锥补形为长方体，如下，
过点作⊥于点，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，故⊥平面，故点在平面的投影为，
连接，则当点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上运动时，点的投影落在上，
由图知：点Q在平面上的射影在外部.
故选：C
【变式10-1】．（2023·上海闵行·一模）已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ．
【答案】
【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案.
【解析】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，
平面，平面，故平面平面，
故到平面的距离即到的距离，
设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线，
不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交，
故共有个点满足条件.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键，
题型11选择压轴辨析题
【典例11-1】．（23-24高三上·上海宝山·期末）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（ ）
A．命题①正确；命题②错误. B．命题①错误；命题②正确.
C．命题①，②均正确. D．命题①，②均错误.
【答案】C
【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案.
【解析】不妨设，
如图1，连接，
当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点，
连接，则为等腰三角形，满足题意，
同理当为等腰三角形的底时，
也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；
如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
联立，消得，
解得或，
当时，，则交点有，
当，即时，
则圆与椭圆相交于点，连接，
其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意，
同理当为等腰三角形的腰时，
也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；
当，即时，
则圆与椭圆相交于点三点，
当，即时，则圆与椭圆相交于点两点，
综上，当为等腰三角形的腰时，符合题意的三角形的个数可能是个或个；
如图3，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点，
连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个，
如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点，
连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个，
由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，
而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，
综上所述，满足要求的等腰三角形个数为或，
所以满足条件的三角形至少有12个，最多有个，
所以命题①，②均正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去.
【变式11-1】．（2023·上海青浦·一模）定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（ ）.
A．和均为真命题 B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题
【答案】A
【分析】根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假．
【解析】记，
易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称，
从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹，
由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同），
由得，
时，或，
所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线，
当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线，
（实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可）
命题均正确，
故选：A．
【点睛】方法点睛：用方程确定曲线的性质，例如对称性，在曲线方程中用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，如果同时用替换，替换，方程不变，则说明曲线关于原点对称，同样如果互换后方程不变，曲线则关于直线对称等等，通过方程中变量的变化范围得出曲线点的坐标的变化范围，即曲线的范围，由变量变化的趋势得出曲线的变化趋势．
【变式11-2】．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题 D．①②都是真命题
【答案】B
【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.
【解析】椭圆是“自稳定曲线”.
设椭圆方程为，令，则，设，
由是的重心，知，直线过点，

当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
则当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
当时，，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与椭圆交于两点，且是的重心，
即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心，
综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题；
双曲线不是“自稳定曲线”.
由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设，
假设是的重心，则，直线过点，
当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此，
，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与双曲线不相交，
所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.
【变式11-3】．（2023·上海黄浦·三模）曲线：，下列两个命题：
命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；
命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4；
下面说法正确的是（ ）
A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题
【答案】A
【分析】把代入，变形等式并确定图形在直线的下方（除点外）判断命题甲；当取正偶数时，分析曲线的性质，判断点与曲线的位置关系判断乙命题作答.
【解析】命题甲：当时，曲线：是端点为，在第一象限的曲线段，
由，得，，
而，当且仅当或时取等号，
即有，则曲线除两个端点外均在直线的下方，
因此曲线除端点外，在直线与坐标轴围成的区域内，
直线交轴分别于点，，
所以当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128，甲是真命题；

命题乙：当k=2n，时，曲线：，显然，
即曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，且在平行直线和平行直线所围成矩形及内部，
曲线是封闭曲线，其面积是曲线与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所围面积的4倍，
显然，即点在曲线内，而以点为顶点的正方形面积为1，
曲线上的点，当x在0到1间任意取值时，y均大于1，当y在0到1间任意取值时，x均大于1，
因此，所以曲线围成的面积恒成立，乙是真命题.
故选：A
【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.
一、填空题
1．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解.
【解析】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：
2．（2024·上海奉贤·一模）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标.
【解析】抛物线的准线方程为，
设点，则，由于点到准线的距离为，可得，
因为点到轴的距离为，则，所以，，解得，
故抛物线的方程为，其焦点坐标为.
故答案为：.
3．（2024·上海杨浦·一模）中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01）
【答案】
【分析】根据椭圆上点到焦点距离最小值为，到焦点距离最大值为，列式运算得解.
【解析】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为，
变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为，
由题意可得，化简得，
即，解得（负值舍去）.
故答案为：.
4．（2024·上海闵行·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ．
【答案】
【分析】首先求出、，设，根据数量积的坐标表示及，求出点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得.
【解析】椭圆，则、，
设，因为，即，
即，又，解得，不妨取，
则的方程为，由，解得或，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
5．（2024·上海浦东新·三模）已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线的斜率为 .
【答案】/
【分析】首先证明当三点共线，到轴的距离最小，进而求出抛物线方程，然后抛物线方程和直线联立运用韦达定理即可求出.
【解析】如图：分别从作准线的垂线，垂足为,
设，中点，
,则到轴的距离为，
当到轴的距离最小时，最小，等号为三点共线时取得，所以，解得.
故抛物线方程为，当三点共线时，设直线的方程为，
与抛物线方程联立消去得：，所以，
所以，解得（负根舍去）.
故答案为：
6．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ．
【答案】8
【分析】先确定当线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，同理当直线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，再考虑如何作出，即可.
【解析】如图：
设，为正方形的两个点，且满足直线与平面所成的角为，过作于，连接，则为线与平面所成的角，是.
所以.
所以在平面内，以为圆心，为半径做圆，取为圆上一点，过作圆的切线，切线与正方形边的交点即为，.
又，所以与平面所成的角为，所以以为圆心，为半径做圆，做该圆的切线，与正方形边的交点即为，.
如图：
因为，所以与相离，两圆有4条公切线，与正方形的边有8个交点.
在这8个点中，任选一个点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为.
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚，点的作法.先根据直线与平面所成角的概念，判断，应满足的条件，以后的问题就好想多了.
二、单选题
7．（2023·上海嘉定·三模）已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意即有恒成立，设点，把表示为关于的二次函数，求出此函数的最小值，即可建立不等式求解.
【解析】设，因为，所以，
则，
所以当时取得最小值为，
依题意恒成立，所以，
即，化简整理得，，
即，又，所以，解得.
故选：C
8．（2022·上海黄浦·二模）将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【分析】对①，分析当时点的轨迹总落在某个椭圆上即可；
对②，设，，，则，利用点差法，化简可得，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上则为常数，再化简分析推出无解即可
【解析】设，，，则.
对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确；
对②，， .由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，，
两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上
故选：C
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 平面解析几何 (十一大题型)
题型01 2021-2025年高考+春考真题 1
题型02 直线与方程 2
题型03 圆与方程 3
题型04 圆与方程的应用 3
题型05 圆锥曲线的概念辨析 4
题型06 圆锥曲线的综合应用 4
题型07 角度问题 5
题型08 向量问题 5
题型09 与数列结合问题 6
题型10 空间中轨迹问题 6
题型11 选择压轴辨析题 6
【解题规律·提分快招】
1、判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2、根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 3、(1)双曲线渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
题型01 2021-2025年高考+春考真题
【典例1-1】．（2025 上海）已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．通过F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2的面积为，则a的值为 　　．
【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案．
【解答】解：已知，
则b2＝6﹣a2＞0，
解得，
又，
则，，
设B（xB，yB），
又△BF1F2的面积为，
则，
解得yB＝﹣3，
由题意可得直线AB的斜率，
则方程为，
将yB＝﹣3代入上式，
则，
解得，
由题意可得，
易知．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
【典例1-2】．（2024 上海）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 　　．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：设P坐标为（x0，y0），
P到准线的距离为9，即x0+1＝9，解得x0＝8，代入抛物线方程，可得，
故P到x轴的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．
【典例1-3】．（2024 上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 　45°　．
【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小．
【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1，
设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，
因为α∈[0，180°），
所以α＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题．
【典例1-4】．（2024 上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 　3　．
【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论．
【解答】解：由双曲线的定义，2c＝6，2a＝2，
解得c＝3，a＝1，
∴e＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【典例1-5】．（2023 上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　﹣3　．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，
∴4+m＝1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
【典例1-6】．（2023 上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 　1　．
【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
【典例1-7】．（2022 上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 　[1，+∞）　．
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，
得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
【典例1-8】．（2022 上海）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 　6　．
【分析】根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．
【解答】解：由双曲线﹣y2＝1，可知：a＝3，
所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题．
【典例1-9】．（2021 上海）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为 　　．
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解答】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，
直线x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为，
故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
【典例1-10】．（2021 上海）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 　（1，2）　．
【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
所以圆心坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．
【典例1-11】．（2021 上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　．
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．
【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，
由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，
∴，
∴直线AB的斜率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．
【典例1-12】．（2021 上海）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是 　x＝1﹣　．
【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线PF1的方程并与抛物线方程联立，求出点P的坐标，由此可得PF2⊥F1F2，进而可以求出PF1，PF2的长度，再由椭圆的定义即可求解．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则抛物线y2＝4cx，
直线PF1：y＝x+c，联立方程组，解得x＝c，y＝2c，
所以点P的坐标为（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF
所以PF，
则c＝﹣1，
所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，
故答案为：x＝1﹣．
【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
【典例1-13】．（2023 上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP| |MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证|MP| |MQ|＝1是否恒成立即可．
【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP| |MQ|＝1成立，故①正确，
在双曲线中，|PM|max→+∞，|PM|min＝0，当|PM|＝0时，Q点不存在；
当|PM|min＝n，0＜n≤1时，|QM|＝，
但当|PM|＝＞，此时|QM|＝＜n，这与|PM|min＝n矛盾，故②错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证|MP| |MQ|＝1是否成立是解决本题的关键，是中档题．
【典例1-14】．（2022 上海）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．
【解答】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，
当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，
表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆，
圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增，
相邻两个圆的圆心距d＝＝，相邻两个圆的半径之和为l＝2+2，
因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确，
若直线l斜率不存在，显然不成立，
设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，
d＝，r＝，
给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，
故直线l只与有限个圆相交，②错误．
故选：B．
【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
题型02 直线与方程
【典例2-1】．（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示）
【典例2-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）直线l过点，法向量，则l的一般式方程为 .
【变式2-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若直线与直线互相垂直，则 ．
【变式2-2】．（2023·上海静安·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ．
【变式2-3】．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
题型03 圆与方程
【典例3-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ．
【典例3-2】．（2024·上海普陀·模拟预测）已知圆的周长为，则实数的值为 .
【变式3-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆：与圆：外切，则实数 ．
【变式3-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 .
题型04 圆与方程的应用
【典例4-1】．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为 .
【典例4-2】．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

【变式4-1】．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【变式4-2】．（24-25高三上·上海嘉定·期中）设函数，若点满足，，记点P构成的图形为，则的面积是 .
【变式4-3】．（24-25高三上·上海·期中）已知实数、、、满足，，，记，则的最大值是 .
【变式4-4】．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为
题型05 圆锥曲线的概念辨析
【典例5-1】．（2024·上海崇明·一模）双曲线的渐近线方程是 ．
【典例5-2】．（2024·上海青浦·二模）椭圆的离心率为，则 ．
【变式5-1】．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 .
【变式5-2】．（2022·上海浦东新·一模）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=
【变式5-4】．（23-24高三下·上海·阶段练习）将抛物线:关于直线对称，得到抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为 .
【变式5-5】．（2024高三·全国·专题练习）已知焦点在x轴上的双曲线的离心率，则k的取值范围是 ．
题型06 圆锥曲线的综合应用
【典例6-1】．（2023·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】．（2024·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 .
【变式6-1】．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．

【变式6-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】．（2024高三·上海·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，经过的直线与双曲线的右支相交于，两点，且，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式6-4】．（23-24高三下·上海·期中）设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 .
【变式6-5】．（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .
题型07 角度问题
【典例7-1】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为 ．
【变式7-1】．（2023·上海闵行·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型08 向量问题
【典例8-1】．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 .
【变式8-1】．（23-24高三下·上海·阶段练习）设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型09 与数列结合问题
【典例9-1】．（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为 ．
【变式9-1】．（2020·上海·模拟预测）设数列的前项和为，，.已知，是双曲线：的左右焦点，，若对恒成立，则实数的取值范围是 .
题型10 空间中轨迹问题
【典例10-1】．（23-24高三下·上海·开学考试）已知四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上动点，则点Q在平面上的射影在（ ）
A．棱PB上 B．内部 C．外部 D．不确定
【变式10-1】．（2023·上海闵行·一模）已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ．
题型11选择压轴辨析题
【典例11-1】．（23-24高三上·上海宝山·期末）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（ ）
A．命题①正确；命题②错误. B．命题①错误；命题②正确.
C．命题①，②均正确. D．命题①，②均错误.
【变式11-1】．（2023·上海青浦·一模）定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（ ）.
A．和均为真命题 B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题
【变式11-2】．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题 D．①②都是真命题
【变式11-3】．（2023·上海黄浦·三模）曲线：，下列两个命题：
命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；
命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4；
下面说法正确的是（ ）
A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题
一、填空题
1．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 .
2．（2024·上海奉贤·一模）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ．
3．（2024·上海杨浦·一模）中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01）
4．（2024·上海闵行·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ．
5．（2024·上海浦东新·三模）已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线的斜率为 .
6．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ．
二、单选题
7．（2023·上海嘉定·三模）已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·上海黄浦·二模）将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
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