资源简介

大题仿真卷02（A组+B组+C组）
（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若△ABC的面积为，求a．
【答案】(1)；
(2)6．
【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解；
（2）由（1）得，由三角形面积求得，再由余弦定理即可求得a．
【解析】（1）因为，
所以由余弦定理得，故，
所以，又，
所以；
（2）由（1）知，又，所以，
所以，所以，，
因为，所以，所以，
所以由余弦定理得,所以.
2．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，再结合中位线可得证；
（2）根据线线平行可证线面平行，进而可证直线，建立空间直角坐标系，可设，结合异面直线夹角可解得点，再根据向量法可得平面的法向量，进而可得二面角余弦值.
【解析】（1），平面平面，平面平面，平面，
又，分别是，的中点，
，
平面；
（2）
，平面平面
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则点在平面内，
即，，，，，
则，，，
而，平面，平面，
平面，
又平面与平面的交线为直线，
，
设,
则点坐标为，，，解得，
则点坐标为，，
设平面的法向量，
即，即，取，可得；
设平面法向量为，
则，即，取，可得；
，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
3．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）答案见解析
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；
（2）（i）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求；
（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解.
【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：.
（2）（i）设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得：，
，，
，，
故，
故（万元）.
（ii）由题设保费的变化为，故.
4．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点.
(1)求的值；
(2)记的面积分别为，若，求的取值范围；
(3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)2
(2)
(3)点在圆
【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得；
（2）根据（1）可得，由题意可得，结合椭圆方程列式求解；
（3）设直线，联立方程，根据题意结合韦达定理可知直线过定点，结合垂直关系分析圆的方程，注意分类讨论直线的斜率是否存在.
【解析】（1）由题意可知：，且焦点在x轴上，
可知，
所以.
（2）由（1）可知：，
若，即，可得，
又因为在椭圆上，则，即，
可得，解得或，
且，可得或，
所以的取值范围为.
（3）若直线的斜率存在，设直线，
联立方程，消去y得，
则，可得，
因为直线与的斜率之和为2，
则，
整理可得，则，
且，即，可得，整理可得，
此时直线过定点；
若直线的斜率不存在，则，
因为直线与的斜率之和为2，
则，即，
此时直线也过定点；
综上所述：直线过定点，
又因为，则点在以为直径的圆上，
且的中点为，且，
可知以为直径的圆的方程为，
所以点在圆上.
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
5．对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；
（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；
（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.
【解析】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，故在点处的切线方程为.
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域R上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.
一、解答题
1．如图所示四棱锥，其中交于点.

(1)求证：平面；
(2)若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为，
所以均在的垂直平分线上，所以，
图为，
所以，
图为，所以，
又圀为平面平面，
所以平面，
（2）因为平面，所以平面平面.
由(1)可知，
以为原点，所在直线分别为轴，
过点垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，
所以，所以，
从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知，
由(1)可知，所以，
由(1)可知，
而平面平面平面平面，
且二面角为，所以，
所以与轴所在直线的夹角为，所以，
因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，解得，
所以平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
2．已知函数为奇函数．
(1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）；
(2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减
(2)
【分析】（1）根据奇函数的含义可求得的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性；
（2）根据单调性以及奇函数性质可得，从而得到不等式，求解即可.
【解析】（1）因为函数为奇函数，定义域为R，则，
所以，即，
此时，满足，即为奇函数，
，定义域为R，对，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即函数在R上单调递减；
（2）由，则，
又因为为奇函数，所以，
又因为函数在R上单调递减，
所以，因为存在实数，使得，
所以，解得，
所以的取值范围为.
3．中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）：
下车站上车站 卡拉旺站 帕达拉朗站 德卡鲁尔站 总计
哈利姆站 5 20 15 40
卡拉旺站 10 20 30
帕达拉朗站 30 30
总计 5 30 65 100
用频率代替概率，根据上表解决下列问题：
(1)在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量，求的分布列及其数学期望；
(2)已知地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，地居民到哈利姆站乘车的概率为，到卡拉旺站乘车的概率为（地居民不可能在卡拉旺站下车）.在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自地的概率的比值.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）首先求出样本中从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率，即可得到，根据二项分布的概率公式求出分布列，再计算其期望即可；
（2）记事件：该乘客来自地；记事件：该乘客在哈利姆站上车；记事件：该乘客在卡拉旺站上车，依题意得到，，，，再由概率乘法公式得到，从而得到.
【解析】（1）从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率，
根据频率估计概率，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，
则这3人到德卡鲁尔站下车的人数，即的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
则；
（2）由表中数据可知，在高铁离开卡拉旺站时，在哈利姆站上车的有35人，在卡拉旺站上车的有30人.
记事件：该乘客来自地；记事件：该乘客在哈利姆站上车；记事件：该乘客在卡拉旺站上车；
，，，，
从哈利姆站上车的乘客中是来自地的概率为，从卡拉旺站上车的乘客中是来自地的概率为，
，，
，
，
，
在高铁离开卡拉旺站时，所求概率的比值为.
4．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
【答案】(1)与
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设的方程分别为与，将点的坐标代入的方程可求出，利用椭圆的定义可求出的值，从而可得，进而可得的方程；
（2）分点在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点的坐标；
（3）利用两点的斜率公式及点在上即可证明，设的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示，化简为常数，即可得出答案.
【解析】（1）设的方程分别为与，
由，得，故的坐标分别为，
所以故，
故与的方程分别为与.
（2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，
可知，故，
设点坐标为，可知且，
解得，故点的坐标为，
（3）设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为，
则，
的方程为，
代入可得，
故，
所以，
同理可得，又，故，
故，
即，所以存在，使得.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
【答案】(1)
(2)（i）2；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得的取值集合；
（2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个；
（ii）根据区间长度的定义，对参数进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.
【解析】（1）由题意，，，
恒成立，所以在上单调递增，
可得的值域为，
因此只需，
即可得，即，
则的取值集合为．
（2）（i）记函数，
则，
由得或；由得；
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
其中，因此当时，，不存在零点；
由在单调递减，易知，而，
由零点存在定理可知存在唯一的使得；
当时，，不存在零点．
综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．
（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，
则对，，
当时，由（i）得在单调递增，
，即，不满足要求；
当时，由（i）得在单调递增，
，
即，也不满足要求；
当时，闭区间，而显然在单调递增，
，
由（i）可得，，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.
一、解答题
1．已知数列满足，且．
(1)求的值；
(2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数运算性质可得，即可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，
（2）利用作差法可得对正整数恒成立，即可求解.
【解析】（1）由，得，故，即.
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
从而，.所以.
（2）设数列满足，
因为数列为严格增数列，
故对正整数恒成立，
即对正整数恒成立，
当时，取到最小值.所以.
2．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求证：平面平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可知平面，，再证平面，即可证平面平面；
（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，并取平面的一个法向量为，由题意可得，即可求解.
【解析】（1）证明：∵平面平面，，平面平面，
∴平面．
∵平面，∴，
又为圆O的直径，∴，
而，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，
即，令，可得
取平面的一个法向量为，
，即，解得，
则当的长为时，二面角的大小为．
3．某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）
男生 女生 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中，．若，，，．
【答案】(1)有关
(2)①，不独立，理由见解析；②977
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）①求出，，，再由条件概率公式求出，由相互独立事件的定义即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数.
【解析】（1）提出假设：学生对该问题的态度与性别无关．
根据列联表中的数据可求得，．
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．
（2）①因为事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，
所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”，
所以，，，
所以，
因为，所以事件、不独立．
②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为，
由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数．
因为，所以．
所以（人）．
所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为．
4．如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点．
(1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程；
(2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值；
(3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
(3)
【分析】（1）根据椭圆顶点坐标、焦点坐标、离心率和的关系直接求解即可；
（2）设，利用两点连线斜率公式表示出，结合在椭圆上直接化简整理即可；
（3）设直线与椭圆交于另一点，知关于坐标原点对称，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用可构造方程求得结果.
【解析】（1）由得：，，且的离心率为；
恰为的两个焦点，即椭圆的半焦距，
又椭圆的离心率，，，
椭圆的方程为：.
（2）设，则，即，
，，
，
为定值，定值为.
（3）
设直线与椭圆交于另一点，由椭圆对称性可知：关于坐标原点对称，
设直线，，，则，
由得：，
则，
，，
，
由（2）知：，
，
解得：，又，.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中的定值、参数值的求解问题；本题第三问求解的关键是能够通过椭圆的对称性将问题转化为一条直线与椭圆的交点问题，进而根据已知等量关系，利用韦达定理来进行求解.
5．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}；
(1)求函数的上确界；
(2)若，求的最大值；
(3)设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0；
【答案】(1)2
(2)4
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；
（2）求出的表达式，求导，再利用在上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；
（3）假设存在，由单调性可得，再取，且可得，推出①②互相矛盾，然后令，根据题意求出值域最后确定上确界即可.
【解析】（1）因为函数在区间上严格递减，
所以函数的值域为，
所以函数的上确界为2.
（2），，
因为记集合{在区间上是严格增函数}，
所以恒成立，
因为，当且仅当时取等号，所以，
所以的最大值为4.
（3）证明：因为函数有上界，设，
假设存在，使得，
设，
因为，所以在上严格递增，进而，
得，
取，且，
由于，得到，①
由，得，②
显然①②两式矛盾，所以假设不成立，
即对任意，均有，
令，则，
因为当时，，
所以在上严格递增，，
因为的值域为，
所以函数的上确界为零.
【点睛】关键点点睛：
（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；
（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取，再得到与当，得到矛盾.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)大题仿真卷02（A组+B组+C组）
（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若△ABC的面积为，求a．
2．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
3．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点.
(1)求的值；
(2)记的面积分别为，若，求的取值范围；
(3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由.
5．对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
一、解答题
1．如图所示四棱锥，其中交于点.

(1)求证：平面；
(2)若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
2．已知函数为奇函数．
(1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）；
(2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
3．中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）：
下车站上车站 卡拉旺站 帕达拉朗站 德卡鲁尔站 总计
哈利姆站 5 20 15 40
卡拉旺站 10 20 30
帕达拉朗站 30 30
总计 5 30 65 100
用频率代替概率，根据上表解决下列问题：
(1)在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量，求的分布列及其数学期望；
(2)已知地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，地居民到哈利姆站乘车的概率为，到卡拉旺站乘车的概率为（地居民不可能在卡拉旺站下车）.在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自地的概率的比值.
4．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
5．若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
一、解答题
1．已知数列满足，且．
(1)求的值；
(2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．
2．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求证：平面平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？
3．某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）
男生 女生 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中，．若，，，．
4．如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点．
(1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程；
(2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值；
(3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值．
5．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}；
(1)求函数的上确界；
(2)若，求的最大值；
(3)设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑