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大题仿真卷03（A组+B组+C组）
（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.

(1)求证：平面平面；
(2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.
2．已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
3．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
(1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
4．已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
(1)椭圆的离心率为，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
5．记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明：函数与不存在“S点”；
(2)若函数与存在“S点”，求实数的值；
(3)已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
一、解答题
1．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.

(1)若是弦的中点，且，求证：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小.
2．已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
3．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 57 60 63 66
件数（单位：件） 5 21 46 25 3
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量，则.
4．设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
5．设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
(1)若，试问是否为的控制函数”；
(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．
一、解答题
1．如图，在正四棱锥中，，.

(1)求四棱锥的表面积；
(2)求二面角的大小.（结果用反三角表示）
2．已知函数，其中（常数且）．
(1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集；
(2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围.
3．某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）.
(1)利用正态分布的知识求；
(2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案：
方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
（ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为
获赠的随机话费（单位：元） 50 100
概率
方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案.
①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望；
②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策.
（附：若，则，，）
4．已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
(2)若，求的取值范围；
(3)椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.
5．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.
(1)若函数存在“相关点”，求的值；
(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：
(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
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（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.

(1)求证：平面平面；
(2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）连接，作于，证明平面，再计算即得.
【解析】（1）连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则，
而平面，平面，则，又平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.

（2）连接，作于，由（1）知平面，平面，则，
而平面，则平面，
显然，，则，
而，于是≌，因此，
所以点到平面的距离为.
2．已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简得，再利用对称性求出函数的解析式；
（2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解.
【解析】（1）
由于函数的图像与函数的图像关于轴对称，
设上任一点关于轴对称的点在的图像上，
即，故；
（2）因为，
所以
所以，令，
则等式成立等价为在上成立，
，
当时，取得最小值；当时，取得最大值，
故得取值范围是
3．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
(1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
【答案】(1)表格见解析，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为，方差为
【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可.
（2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率.
（3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.
【解析】（1）根据数据补全列联表如下：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得，
因为，
所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为，
记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题.
（3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即，
所以；；
；；
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则；.
4．已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
(1)椭圆的离心率为，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，，或，，成等差数列
【分析】（1）根据题意可得，结合，求得，进而求得；
（2）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案；
（3）设点，，①若直线斜率为0，直接验证；②直线斜率不为0，设直线，，，则，，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解.
【解析】（1）由题意知，，故，
又离心率，故，于是.
（2）设点，其中，且，
则，
由，得，
，，，，，，只需，
又，故，
所以的取值范围是.
（3），，或，，成等差数列，证明如下：
若，则，设点，.
①若直线斜率为0，则点，不妨令点，，
则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列.
②直线斜率不为0，设直线，，，则点，
由得，，
故，，
因为，，，
所以
，
所以，，或，，成等差数列.
综合上述，，，或，，成等差数列.
【点睛】关键点睛：本题第三问与数列进行了综合，关键在于判断出结论，进而证明.先由直线斜率为0时，直接验证，，或，，成等差数列；直线斜率不为0时，结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简验证.
5．记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明：函数与不存在“S点”；
(2)若函数与存在“S点”，求实数的值；
(3)已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论；
（2）求导，设“S点”为，解方程组得结论．
（3）设“S点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围.
【解析】（1）因为，，则，，
假设存在函数与存在“S点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“S点”.
（2）因为与，则与，
设“S好点”为，满足，，
所以.
（3）由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，
解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，
，时，，且当时，，
所以，即．
【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题．
一、解答题
1．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.

(1)若是弦的中点，且，求证：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）取线段的中点，连接，证明，则即为异面直线与所成角，证明平面，再解即可.
【解析】（1）因为是弦的中点，
且，可知是线段的中点，
故在中，为边的中位线，
则，又面，且直线不在面，
则平面；
（2）取线段的中点，连接，
在中，线段是的中位线，
故，则即为异面直线与所成角，
由题意知，，
因为平面，平面，
所以，
因为是圆柱下底面的直径，所以，
又平面，所以平面，
所以平面，
又因平面，所以，
在中，，故，故，
故，
则异面直线与所成角的大小为.

2．已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.
【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以，
则当时，，
所以，得，
因为，所以取得，
（2）解法一：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，化简得，
又在上单调递减，
所以，则.
解法二：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，
记，对称轴为，
则由根的分布可得，即，解得，
所以.
3．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 57 60 63 66
件数（单位：件） 5 21 46 25 3
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量，则.
【答案】(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解；
（2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解．
【解析】（1）由题意可知，
则，
所以
；
（2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，，，
所以；
（ii）因为，
所以，
所以．
4．设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，，
(3)直线PQ恒过定点为．
【分析】（1）根据所给条件得到关于、的方程组，解得即可；
（2）设（或），，则，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，代入双曲线方程，整理可得；
（3）设，，则，即可得到、的方程，表示出、，根据对称性定点在轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可.
【解析】（1）依题意，解得，所以双曲线方程为；
（2）设（或），则，，，，
则，，所以，
又，即，
所以，
则，，
由，，三点共线得：；
又，，
由，，三点共线得：，
，，
，
，即，则，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，；
（3）设，，则，
直线：，即；
直线：，即．
由得，
所以，即，则，
同理，，
由对称性知，若过定点，则定点在轴上．
取，可得，，则直线PQ：，过点．
下证明直线恒过定点为．
由且得，
所以直线恒过定点为．
【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点；
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点；
（3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明.
5．设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
(1)若，试问是否为的控制函数”；
(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．
【答案】(1)是的控制函数
(2)证明见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；
（2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；
（3）设曲线在处的切线为，利用切线过求出与的关系，再利用控制函数的定义求解即可；
【解析】（1）当时，令，
所以，令解得或，
所以在单调递减，
又因为，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以由题意是的控制函数.
（2）当时，，，
所以，，
所以曲线在处的切线为，整理得，
令，则，
令解得，所以在单调递增，在单调递减，
又，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以是的控制函数，
由题意.
（3）由题意
设在处的切线为，
则，因为 且，
所以，
所以，
，
所以，
则即恒成立，
所以函数必是函数的“控制函数”.
是函数的“控制函数”
此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点，
由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有，
所以或.
所以曲线在处的切线过点，且，
当且仅当或时，.
【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过点可解出与的关系.
一、解答题
1．如图，在正四棱锥中，，.

(1)求四棱锥的表面积；
(2)求二面角的大小.（结果用反三角表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接底面对角线，得到相互垂直平分，在正棱锥中顶点和底面中心的连线垂直底面，所以得到直角三角形，利用勾股定理求出棱锥的高，再在侧面上由三垂直即可得到高，并求出高的值，得到侧面面积，从而求出四棱锥的表面积；
（2）由（1）得到三垂直，由此建立空间直角坐标系，由（1）中线段长得到点的坐标，利用空间向量求出面的法向量，然后求得二面角的余弦值，从而得到角.
【解析】（1）如图：连接，相交于点，连接，取中点，连接，

在正四棱锥中，平面，为、中点，
因为平面，所以，
因为平面，所以，
因为为中点，为中点，所以，
在正方形中，，在中，
在中，
因为在正四棱锥中，，所以，
所以，
所以四棱锥的表面积：
（2）由（1）可知，，，所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，

由（1）可知，，，，
所以，，，，
设分别为平面和平面的一个法向量，
所以，令，则，即
所以，令，则，即
设为二面角，由图形可知为钝角，
所以
，
所以.
2．已知函数，其中（常数且）．
(1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集；
(2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案；
（2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案.
【解析】（1）若函数的图象过点，则，
解得，舍去，所以，
由得，
解得或，
所以不等式的解集为或；
（2），
若存在，使得数列是等比数列，
则，可得，
由可得，
令，，
当时，，所以，
可得在上单调递减，所以，
则实数的取值范围.
3．某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）.
(1)利用正态分布的知识求；
(2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案：
方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
（ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为
获赠的随机话费（单位：元） 50 100
概率
方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案.
①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望；
②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策.
（附：若，则，，）
【答案】(1)0.8186
(2)分布列见解析，；选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好，理由见解析
【分析】（1）先求出7个地方的人均得分，进而，利用原则和正态曲线的性质计算即可求解；
（2）①可能的取值为元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；②由①知，即可下结论.
【解析】（1）样本中各地的人均得分分别为
，
所以7个地方的平均分为，
即，所以.
，
，
所以；
（2）①：由题意，得出的话费可能的取值为元，
得50元的情况为低于平均值，概率为；
得100元的情况为有1次机会获得100或2次机会获得50元，
概率为；
得150元的情况为有1次机会获得100和1次机会获得50元，
概率为；
得200元的情况为有2次机会都获得100元，概率为，
所以的分布列为：
50 100 150 200
故；
②：由①知，
所以小李应选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好.
4．已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
(2)若，求的取值范围；
(3)椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及其方向向量，再利用向量的夹角公式计算得解.
（2）设出点的坐标，利用数量积及向量模的坐标表示，结合双曲线有范围求解即得.
（3）求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆、双曲线方程联立分别求出点的坐标，再建立的关系式，利用基本不等式求解即得.
【解析】（1）双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量，
设两条直线夹角为，则，
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为.
（2）设，，显然、，，，
则，即，又点在双曲线上，有，即，
从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则，
，
所以.
（3）在椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为，
设，，直线的斜率为，，
则直线的方程为，
由，得，该方程的两根分别为和，
由，得，同理，于是，
记，，
则
，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为，此时点的坐标为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
5．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.
(1)若函数存在“相关点”，求的值；
(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：
(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）函数在 上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解；
（2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解；
（3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可.
【解析】（1）函数的对称轴为，
且函数在 上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极值点，
因为函数存在“相关点”，
由题意可得，，解得.
（2）由，则 ，
由题意可得，，即，即，
设，则，
所以函数在上单调递增，且，
所以方程存在唯一实数根1，即，即，
此时，则，
令，即；令，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”，
所以.
（3）由，得，即，
设，为函数的“2相关点”，则，
另一方面，，所以，
所以且，解得，，，
故，则，
因为过点存在3条直线与曲线相切，
设其中一个切点为，则，
整理得，
设，且函数有三个不同的零点，
则，
令，则；令，则或.
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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